Kedyčíslo sa samo násobí pre seba, práca volal stupňa.

Takže 2,2 = 4, druhá mocnina 2
2.2.2 = 8, kocka alebo tretia mocnina.
2.2.2.2 = 16, štvrtý stupeň.

Tiež 10,10 = 100, druhá mocnina 10.
10.10.10 = 1000, tretí stupeň.
10.10.10.10 = 10000 štvrtá mocnina.

A a.a = aa, druhá mocnina a
a.a.a = aaa, tretia mocnina a
a.a.a.a = aaaa, štvrtá mocnina a

Pôvodné číslo sa volá koreň mocniny tohto čísla, pretože je to číslo, z ktorého boli mocniny vytvorené.

Nie je však úplne vhodné, najmä v prípade vysokých právomocí, zapisovať všetky faktory tvoriace právomoci. Preto sa používa metóda skráteného zápisu. Koreň stupňa je napísaný iba raz a vpravo a trochu vyššie pri ňom, ale trochu menším písmom, koľkokrát koreň pôsobí ako faktor. Toto číslo alebo písmeno sa nazýva exponent alebo stupňačísla. Takže a 2 sa rovná a.a alebo aa, pretože odmocnina a sa musí vynásobiť sama sebou dvakrát, aby sme dostali mocninu aa. Tiež 3 znamená aaa, to znamená, že sa tu a opakuje tri krát ako multiplikátor.

Exponent prvého stupňa je 1, ale zvyčajne sa nezapisuje. Takže 1 sa píše ako a.

Nemali by ste si zamieňať stupne s koeficienty. Koeficient ukazuje, ako často sa hodnota berie ako Časť celá. Mocnina ukazuje, ako často sa množstvo odoberá ako faktor v práci.
Takže 4a = a + a + a + a. Ale a 4 = a.a.a.a

Schéma mocninového zápisu má zvláštnu výhodu v tom, že nám umožňuje vyjadrovať sa neznámy stupňa. Na tento účel sa namiesto čísla zapisuje exponent list. V procese riešenia problému môžeme získať množstvo, o ktorom vieme, že je niektoré stupňa inej veľkosti. Zatiaľ ale nevieme, či ide o štvorec, kocku alebo iný, vyšší stupeň. Takže vo výraze a x exponent znamená, že tento výraz má niektoré stupňa, aj keď nedefinovaný aký stupeň. Takže b m a d n sú umocnené na mocniny m a n. Keď sa nájde exponent, číslo sa nahrádza namiesto písmena. Takže, ak m=3, potom bm=b3; ale ak m = 5, potom b m = b 5.

Veľkou výhodou pri používaní je aj spôsob zápisu hodnôt pomocou mocnín výrazov. Teda (a + b + d) 3 je (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), teda kocka trojčlenky (a + b + d) . Ale ak tento výraz napíšeme po jeho zdvihnutí na kocku, bude to vyzerať
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ak vezmeme sériu mocnín, ktorých exponenty sa zväčšia alebo znížia o 1, zistíme, že súčin sa zväčší o spoločný multiplikátor alebo sa zníži o spoločný deliteľ a tento faktor alebo deliteľ je pôvodné číslo, ktoré je umocnené.

Takže v rade aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
alebo 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
ukazovatele, ak sa počítajú sprava doľava, sú 1, 2, 3, 4, 5; a rozdiel medzi ich hodnotami je 1. Ak začneme napravo množiť pomocou a, úspešne získame viacero hodnôt.

Takže a.a = a 2 , druhý člen. A 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , tretí člen. a 4 .a = a 5 .

Ak začneme vľavo rozdeliť do a,
dostaneme a 5:a = a 4 a a 3:a = a 2 .
a 4:a = a3 a 2:a = a 1

Tento proces delenia však môže pokračovať ďalej a získame nový súbor hodnôt.

Takže a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa): a = 1/aaa.

Celý riadok by bol: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Alebo 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Tu sú hodnoty napravo z jedného tam je obrátene hodnoty naľavo od jednej. Preto sa tieto stupne môžu nazývať inverzné mocniny a. Môžeme tiež povedať, že mocniny vľavo sú prevrátené mocniny vpravo.

Takže 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. A 1:(1/a 3) = a 3.

Je možné použiť rovnaký plán nahrávania polynómy. Takže pre a + b dostaneme množinu,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.

Pre pohodlie sa používa iná forma zápisu recipročných právomocí.

Podľa tohto tvaru 1/a alebo 1/a 1 = a -1. A 1/aaa alebo 1/a 3 = a -3 .
1/aa alebo 1/a2 = a-2. 1/aaaa alebo 1/a4 = a-4.

A aby sa vytvoril kompletný rad s 1 ako celkovým rozdielom s exponentmi, a/a alebo 1 sa považuje za niečo, čo nemá stupeň a píše sa ako 0 .

Potom, berúc do úvahy priame a inverzné sily
namiesto aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
môžete napísať 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Alebo +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

A séria iba jednotlivých stupňov bude vyzerať takto:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Koreň stupňa môže byť vyjadrený viacerými písmenami.

Takže aa.aa alebo (aa) 2 je druhá mocnina aa.
A aa.aa.aa alebo (aa) 3 je tretia mocnina aa.

Všetky mocniny čísla 1 sú rovnaké: 1.1 alebo 1.1.1. sa bude rovnať 1.

Umocnenie je nájdenie hodnoty ľubovoľného čísla vynásobením tohto čísla samotným. Pravidlo pre umocnenie:

Množstvo vynásobte toľkokrát, koľkokrát je uvedené v mocnine čísla.

Toto pravidlo je spoločné pre všetky príklady, ktoré môžu vzniknúť počas procesu umocňovania. Je však správne poskytnúť vysvetlenie, ako sa to vzťahuje na konkrétne prípady.

Ak je na mocninu umocnený iba jeden člen, potom sa sám násobí toľkokrát, koľkokrát udáva exponent.

Štvrtá mocnina a je 4 alebo aaaa. (Článok 195.)
Šiesta mocnina y je y 6 alebo yyyyyy.
N-tá mocnina x je x n alebo xxx..... n-krát opakovaných.

Ak je potrebné povýšiť výraz viacerých pojmov na moc, platí zásada, že mocnosť súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu týchto faktorov umocnených na mocninu.

Takže (ay) 2 = a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Ale ay.ay = ayy = aayy = a 2 y 2 .
Takže (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Preto pri hľadaní sily produktu môžeme buď operovať s celým produktom naraz, alebo môžeme operovať s každým faktorom samostatne a potom ich hodnoty vynásobiť mocnosťami.

Príklad 1. Štvrtá mocnina dhy je (dhy) 4 alebo d 4 h 4 y 4.

Príklad 2. Tretia mocnina je 4b, existuje (4b) 3 alebo 4 3 b 3 alebo 64b 3.

Príklad 3. N-tá mocnina 6ad je (6ad) n alebo 6 n a n d n.

Príklad 4. Tretia mocnina 3m.2y je (3m.2y) 3 alebo 27m 3 .8y 3.

Stupeň binomického členu pozostávajúceho z členov spojených + a - sa vypočíta vynásobením jeho členov. Áno,

(a + b) 1 = a + b, prvý stupeň.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, druhá mocnina (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tretia mocnina.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, štvrtá mocnina.

Druhá mocnina a - b je a 2 - 2ab + b 2.

Druhá mocnina a + b + h je a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Cvičenie 1. Nájdite kocku a + 2d + 3

Cvičenie 2. Nájdite štvrtú mocninu b + 2.

Cvičenie 3. Nájdite piatu mocninu x + 1.

Cvičenie 4. Nájdite šiestu mocninu 1 - b.

Súčet štvorcov sumy A rozdiely dvojčleny sa v algebre vyskytujú tak často, že je potrebné ich veľmi dobre poznať.

Ak vynásobíme a + h samo sebou alebo a - h samo sebou,
dostaneme: (a + h) (a + h) = a 2 + 2ah + h 2 tiež, (a - h) (a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

To ukazuje, že v každom prípade sú prvý a posledný člen druhou mocninou a a h a stredný člen je dvojnásobkom súčinu a a h. Odtiaľ možno pomocou nasledujúceho pravidla nájsť druhú mocninu súčtu a rozdielu dvojčlenov.

Druhá mocnina dvojčlenu, ktorého oba členy sú kladné, sa rovná druhej mocnine prvého člena + dvojnásobku súčinu oboch členov + druhej mocniny posledného člena.

Námestie rozdiely dvojčlenov sa rovná druhej mocnine prvého člena mínus dvojnásobok súčinu oboch členov plus druhá mocnina druhého člena.

Príklad 1. Štvorec 2a + b, existuje 4a 2 + 4ab + b 2.

Príklad 2. Štvorec ab + cd, existuje 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Príklad 3. Štvorec 3d - h, existuje 9d 2 + 6dh + h 2.

Príklad 4. Druhá mocnina a - 1 je a 2 - 2a + 1.

Metódu na nájdenie vyšších mocnín dvojčlenov nájdete v nasledujúcich častiach.

V mnohých prípadoch je efektívne zapisovať stupňa bez násobenia.

Druhá mocnina a + b je teda (a + b) 2.
N-tá mocnina bc + 8 + x je (bc + 8 + x) n

V takýchto prípadoch zátvorky zakrývajú Všetkyčlenovia pod titulom.

Ale ak koreň stupňa pozostáva z niekoľkých multiplikátory, zátvorky môžu pokrývať celý výraz alebo sa môžu použiť oddelene na faktory v závislosti od vhodnosti.

Štvorec (a + b) (c + d) je teda buď [(a + b).(c + d)]2 alebo (a + b)2.(c + d)2.

Pre prvý z týchto výrazov je výsledkom druhá mocnina súčinu dvoch faktorov a pre druhý je výsledkom súčin ich druhých mocnín. Ale sú si navzájom rovní.

Kocka a.(b + d) je 3 alebo a 3.(b + d) 3.

Treba brať do úvahy aj označenie pred zúčastnenými členmi. Je veľmi dôležité pamätať na to, že keď je koreň stupňa kladný, všetky jeho pozitívne sily sú tiež pozitívne. Ale keď je koreň záporný, hodnoty s zvláštny mocniny sú záporné, kým hodnoty dokonca stupne sú kladné.

Druhý stupeň (- a) je +a 2
Tretí stupeň (-a) je -a 3
Štvrtá mocnina (-a) je +a 4
Piata mocnina (-a) je -a 5

Preto akékoľvek zvláštny stupeň má rovnaké znamienko ako číslo. ale dokonca stupeň je kladný bez ohľadu na to, či má číslo záporné alebo kladné znamienko.
Takže, +a.+a = +a 2
A -a.-a = +a 2

Množstvo, ktoré už bolo umocnené, sa opäť zvýši na mocninu vynásobením exponentov.

Tretia mocnina 2 je a 2,3 = a 6.

Pre a 2 = aa; kocka aa je aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; čo je šiesta mocnina a, ale tretia mocnina 2.

Štvrtá mocnina a 3 b 2 je a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Tretia mocnina 4a 2 x je 64a 6 x 3.

Piata mocnina (a + b) 2 je (a + b) 10.

N-tá mocnina 3 je 3n

N-tá mocnina (x - y) m je (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Pravidlo platí rovnako pre negatívne stupňa.

Príklad 1. Tretia mocnina a -2 je a -3,3 =a -6.

Pre a -2 = 1/aa a tretia mocnina tohto
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Štvrtá mocnina a2b-3 je a8b-12 alebo a8/b12.

Štvorec je b 3 x -1, je tu b 6 x -2.

N-tá mocnina ax -m je x -mn alebo 1/x.

Tu však musíme pamätať na to, že ak znamenie predchádzajúce stupeň je "-", potom sa musí zmeniť na "+" vždy, keď je stupeň párne číslo.

Príklad 1. Druhá mocnina -a 3 je +a 6. Druhá mocnina -a 3 je -a 3 .-a 3, čo je podľa pravidiel znamienok pri násobení +a 6.

2. Ale kocka -a 3 je -a 9. Pre -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-tá mocnina -a 3 je 3n.

Tu môže byť výsledok kladný alebo záporný v závislosti od toho, či je n párne alebo nepárne.

Ak zlomok sa zvýši na mocninu, potom sa čitateľ a menovateľ zvýši na mocninu.

Druhá mocnina a/b je a2/b2. Podľa pravidla pre násobenie zlomkov,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a2b 2

Druhá, tretia a n-tá mocnina 1/a sú 1/a 2, 1/a 3 a 1/a n.

Príklady dvojčlenky, v ktorom je jedným z pojmov zlomok.

1. Nájdite druhú mocninu x + 1/2 a x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Druhá mocnina a + 2/3 je 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Štvorec x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Druhá mocnina x - b/m je x 2 - 2bx/m + b2/m2.

Predtým sa to ukázalo zlomkový koeficient možno presunúť z čitateľa do menovateľa alebo z menovateľa do čitateľa. Pomocou schémy na písanie vzájomných mocnín je zrejmé, že ľubovoľný multiplikátor dá sa aj premiestniť, ak sa zmení znamienko stupňa.

Takže v zlomku ax -2 /y môžeme presunúť x z čitateľa do menovateľa.
Potom ax-2 /y = (a/y).x-2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

V zlomku a/po 3 môžeme presunúť y z menovateľa do čitateľa.
Potom a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Rovnakým spôsobom môžeme presunúť faktor, ktorý má kladný exponent do čitateľa alebo faktor so záporným exponentom do menovateľa.

Takže ax 3 /b = a/bx -3. Pre x 3 je inverzná hodnota x -3 , čo je x 3 = 1/x -3.

Preto môže byť menovateľ ľubovoľného zlomku úplne odstránený alebo čitateľ môže byť zredukovaný na jeden bez toho, aby sa zmenil význam výrazu.

Takže a/b = 1/ba-1 alebo ab-1.

Vzorce stupňov používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele pripočítajú:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = an/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(a m) n = a m n.

Každý vzorec vyššie platí v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná podielu dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:

4. Ak zvýšite stupeň koreňa v n raz a zároveň zabudovať do n mocnina je radikálne číslo, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň koreňa v n súčasne extrahujte koreň n-tá mocnina radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla s kladným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina vydelená mocninou toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n =a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj s m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n =a m - n sa stal spravodlivým, keď m=n, vyžaduje sa prítomnosť nulového stupňa.

Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek čísla, ktoré sa nerovná nule s nulovým exponentom, sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A na stupeň m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m-tá mocnina tohto čísla A.

možno nájsť pomocou násobenia. Napríklad: 5+5+5+5+5+5=5x6. Hovorí sa, že takýto výraz je, že súčet rovnakých výrazov sa poskladá do súčinu. A naopak, ak túto rovnosť prečítame sprava doľava, zistíme, že sme rozšírili súčet rovnakých pojmov. Podobne môžete zbaliť súčin niekoľkých rovnakých faktorov 5x5x5x5x5x5=5 6.

To znamená, že namiesto vynásobenia šiestich rovnakých faktorov 5x5x5x5x5x5 napíšu 5 6 a povedia „päť na šiestu mocninu“.

Výraz 5 6 je mocninou čísla, kde:

5 - základ stupňa;

6 - exponent.

Akcie, pri ktorých sa súčin rovnakých faktorov redukuje na mocninu, sa nazývajú pozdvihnutie k moci.

Všeobecne platí, že stupeň so základom „a“ a exponentom „n“ sa píše nasledovne

Zvýšenie čísla a na mocninu n znamená nájsť súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná a

Ak sa základ stupňa „a“ rovná 1, potom sa hodnota stupňa pre ľubovoľné prirodzené číslo n bude rovnať 1. Napríklad 1 5 =1, 1 256 =1

Ak zvýšite číslo „a“ na prvý stupeň, potom dostaneme samotné číslo a: a 1 = a

Ak zvýšite akékoľvek číslo na nultý stupeň, potom ako výsledok výpočtov dostaneme jeden. a 0 = 1

Druhá a tretia mocnina čísla sa považujú za špeciálne. Vymysleli im mená: volá sa druhý stupeň odmocni číslo, tretí - kocka toto číslo.

Akékoľvek číslo môže byť umocnené - kladné, záporné alebo nulové. V tomto prípade neplatia nasledujúce pravidlá:

Pri hľadaní mocniny kladného čísla je výsledkom kladné číslo.

Pri výpočte nuly k prirodzenému výkonu dostaneme nulu.

x m · x n = x m + n

napríklad: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Komu deľte právomoci s rovnakými základmi Nezmeníme základ, ale odčítame exponenty:

x m / x n = x m - n , Kde, m > n,

napríklad: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Pri výpočte pozdvihnutie moci na moc Nemeníme základ, ale násobíme exponenty navzájom.

(pri m ) n = y m n

napríklad: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

napríklad:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Pri vykonávaní výpočtov podľa pozdvihnutie zlomku na moc zvýšime čitateľa a menovateľa zlomku na danú mocninu

(x/y)n = x n / r n

napríklad: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Postupnosť výpočtov pri práci s výrazmi obsahujúcimi stupeň.

Pri výpočtoch výrazov bez zátvoriek, ale obsahujúcich mocniny, vykonávajú v prvom rade umocňovanie, potom násobenie a delenie a až potom operácie sčítania a odčítania.

Ak potrebujete vypočítať výraz obsahujúci zátvorky, najprv vykonajte výpočty v zátvorkách v poradí uvedenom vyššie a potom zvyšné akcie v rovnakom poradí zľava doprava.

Veľmi široko v praktických výpočtoch sa na zjednodušenie výpočtov používajú hotové tabuľky výkonov.

Pokračujúc v rozhovore o sile čísla je logické zistiť, ako nájsť hodnotu sily. Tento proces sa nazýva umocňovanie. V tomto článku budeme študovať, ako sa vykonáva umocňovanie, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov – prirodzeného, ​​celočíselného, ​​racionálneho aj iracionálneho. A podľa tradície podrobne zvážime riešenia príkladov zvyšovania čísel na rôzne sily.

Navigácia na stránke.

Čo znamená „umocnenie“?

Začnime vysvetlením toho, čo sa nazýva umocňovanie. Tu je relevantná definícia.

Definícia.

Umocňovanie- ide o zistenie hodnoty mocniny čísla.

Teda nájsť hodnotu mocniny čísla a s exponentom r a zvýšiť číslo a na mocninu r je to isté. Napríklad, ak je úlohou „vypočítať hodnotu mocniny (0,5) 5“, potom ju možno preformulovať takto: „Zvýšte číslo 0,5 na mocninu 5“.

Teraz môžete prejsť priamo k pravidlám, podľa ktorých sa vykonáva umocňovanie.

Zvýšenie čísla na prirodzenú silu

V praxi sa rovnosť na základe zvyčajne uplatňuje vo forme . To znamená, že pri zvýšení čísla a na zlomkovú mocninu m/n sa najprv vyberie n-tá odmocnina čísla a, potom sa výsledný výsledok zvýši na celé číslo m.

Pozrime sa na riešenia príkladov zvýšenia na zlomkovú mocninu.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu stupňa.

Riešenie.

Ukážeme si dve riešenia.

Prvý spôsob. Podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom. Vypočítame hodnotu stupňa pod koreňovým znakom a potom extrahujeme odmocninu kocky: .

Druhý spôsob. Podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom a na základe vlastností koreňov platia nasledujúce rovnosti: . Teraz vytiahneme koreň , nakoniec to zvýšime na celé číslo .

Je zrejmé, že získané výsledky zvýšenia na zlomkovú moc sa zhodujú.

odpoveď:

Všimnite si, že zlomkový exponent môže byť zapísaný ako desatinný zlomok alebo zmiešané číslo, v týchto prípadoch by mal byť nahradený zodpovedajúcim obyčajným zlomkom a potom umocnený.

Príklad.

Vypočítajte (44,89) 2,5.

Riešenie.

Napíšme exponent vo forme obyčajného zlomku (ak je to potrebné, pozri článok): . Teraz vykonáme zvýšenie na zlomkovú silu:

odpoveď:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Malo by sa tiež povedať, že zvyšovanie čísel na racionálne sily je pomerne náročný proces (najmä ak čitateľ a menovateľ zlomkového exponentu obsahuje dostatočne veľké čísla), ktorý sa zvyčajne vykonáva pomocou počítačovej technológie.

Na záver tohto bodu sa zastavme pri zvýšení čísla nula na zlomkovú mocninu. Zlomkovej mocnine nuly tvaru sme dali nasledujúci význam: keď máme a pri nule k m/n výkon nie je definovaný. Takže nula až zlomková kladná mocnina je nula, napr. . A nula v zlomkovej zápornej mocnine nedáva zmysel, napríklad výrazy 0 -4,3 nedávajú zmysel.

Pozdvihnutie k iracionálnej moci

Niekedy je potrebné zistiť hodnotu mocniny čísla s iracionálnym exponentom. V tomto prípade na praktické účely zvyčajne stačí získať hodnotu stupňa s presnosťou na určité znamienko. Okamžite si všimnime, že v praxi sa táto hodnota počíta pomocou elektronických počítačov, pretože manuálne zvýšenie na iracionálnu silu vyžaduje veľké množstvo ťažkopádnych výpočtov. Ale aj tak vo všeobecnosti popíšeme podstatu akcií.

Na získanie približnej hodnoty mocniny čísla a s iracionálnym exponentom sa zoberie nejaká desatinná aproximácia exponentu a vypočíta sa hodnota mocniny. Táto hodnota je približnou hodnotou mocniny čísla a s iracionálnym exponentom. Čím presnejšia je na začiatku desatinná aproximácia čísla, tým presnejšia bude nakoniec hodnota stupňa.

Ako príklad si vypočítame približnú hodnotu mocniny 2 1,174367... . Zoberme si nasledujúcu desatinnú aproximáciu iracionálneho exponentu: . Teraz zvýšime 2 na racionálnu mocninu 1,17 (podstatu tohto procesu sme opísali v predchádzajúcom odseku), dostaneme 2 1,17 ≈2,250116. teda 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ak vezmeme napríklad presnejšiu desatinnú aproximáciu iracionálneho exponentu, získame presnejšiu hodnotu pôvodného exponentu: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnica matematiky pre 5. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 7. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 9. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).

Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom opakovaného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si to vzorcom: a1 * a2 * … * an = an.

Napríklad a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Vo všeobecnosti sa umocňovanie často používa v rôznych vzorcoch v matematike a fyzike. Táto funkcia má vedeckejší účel ako štyri hlavné: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Zvýšenie čísla na mocninu nie je zložitá operácia. S násobením súvisí podobne ako vzťah medzi násobením a sčítaním. Zápis an je krátky zápis n-tého počtu čísel „a“ vynásobených navzájom.

Zvážte umocňovanie pomocou najjednoduchších príkladov a prejdite na zložité.

Napríklad 42, 42 = 4 * 4 = 16. Štyri na druhú (na druhú mocninu) sa rovná šestnástim. Ak nerozumiete násobeniu 4 * 4, prečítajte si náš článok o násobení.

Pozrime sa na ďalší príklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Päť kociek (na tretiu mocninu) sa rovná sto dvadsaťpäťke.

Ďalší príklad: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deväť kociek sa rovná sedemstodvadsaťdeväť.

Vzorce umocňovania

Ak chcete správne zvýšiť výkon, musíte si zapamätať a poznať vzorce uvedené nižšie. Nie je v tom nič extra prirodzené, hlavné je pochopiť podstatu a potom si ich nielen zapamätajú, ale budú sa aj zdať ľahké.

Povýšenie monomiálu na moc

Čo je to monomial? Ide o súčin čísel a premenných v akomkoľvek množstve. Napríklad dvojka je jednočlenný. A tento článok je práve o pozdvihnutí takýchto monomálov na mocnosti.

Pomocou vzorcov na umocnenie nebude ťažké vypočítať umocnenie jednočlenu.

Napríklad, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ak zvýšite jednočlen na mocninu, potom sa každá zložka jednočlena zvýši na mocninu.

Zvýšením premennej, ktorá už má mocninu, sa mocniny znásobia. Napríklad (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Povýšenie na negatívnu silu

Záporná mocnosť je prevrátená hodnota čísla. Aké je recipročné číslo? Prevrátená hodnota ľubovoľného čísla X je 1/X. To znamená, že X-1 = 1/X. Toto je podstata negatívneho stupňa.

Zvážte príklad (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

prečo je to tak? Keďže v stupni je mínus, jednoducho tento výraz prenesieme do menovateľa a potom ho zvýšime na tretiu mocninu. Jednoduché nie?

Zvýšenie na zlomkovú silu

Začnime tým, že sa na danú problematiku pozrieme na konkrétnom príklade. 43/2. Čo znamená stupeň 3/2? 3 – čitateľ, znamená zvýšenie čísla (v tomto prípade 4) na kocku. Číslo 2 je menovateľ; je to extrakcia druhej odmocniny čísla (v tomto prípade 4).

Potom dostaneme druhú odmocninu z 43 = 2^3 = 8. odpoveď: 8.

Takže menovateľ zlomkovej mocniny môže byť 3 alebo 4 a až do nekonečna akékoľvek číslo a toto číslo určuje stupeň druhej odmocniny z daného čísla. Samozrejme, menovateľ nemôže byť nula.

Pozdvihnutie koreňa k moci

Ak je koreň zvýšený na stupeň rovný stupňu samotného koreňa, potom bude odpoveďou radikálny výraz. Napríklad (√x)2 = x. A tak v každom prípade, stupeň koreňa a stupeň zdvihnutia koreňa sú rovnaké.

Ak (√x)^4. Potom (√x)^4=x^2. Pre kontrolu riešenia prevedieme výraz na výraz s desatinnou mocninou. Keďže odmocnina je štvorcová, menovateľ je 2. A ak sa odmocnina zvýši na štvrtú mocninu, potom je čitateľ 4. Dostaneme 4/2=2. Odpoveď: x = 2.

V každom prípade je najlepšou možnosťou jednoducho previesť výraz na výraz so zlomkovou mocninou. Ak sa zlomok neruší, potom je to odpoveď za predpokladu, že koreň daného čísla nie je izolovaný.

Zvýšenie komplexného čísla na mocninu

Čo je to komplexné číslo? Komplexné číslo je výraz, ktorý má vzorec a + b * i; a, b sú reálne čísla. i je číslo, ktoré po druhej mocnine dáva číslo -1.

Pozrime sa na príklad. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prihláste sa na kurz „Zrýchlite mentálnu aritmetiku, NIE mentálnu aritmetiku“, aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca extrahovať odmocniny. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché triky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné úlohy.

Umocňovanie online

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať zvýšenie čísla na mocninu:

Umocňovanie 7. ročník

Školáci sa začínajú zvyšovať až v siedmom ročníku.

Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom opakovaného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si to vzorcom: a1 * a2 * … * an=an.

Napríklad, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Príklady riešenia:

Prezentácia umocňovania

Prezentácia o zvyšovaní síl, určená pre žiakov siedmeho ročníka. Prezentácia môže objasniť niektoré nejasné body, ale tieto body sa pravdepodobne vďaka nášmu článku nevyjasnia.

Spodná čiara

Pozreli sme sa len na špičku ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike – prihláste sa na náš kurz: Zrýchlenie mentálnej aritmetiky – NIE mentálnej aritmetiky.

Na kurze sa naučíte nielen desiatky techník na zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie a počítanie percent, ale precvičíte si ich aj v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Mentálna aritmetika si tiež vyžaduje veľa pozornosti a koncentrácie, ktoré sa aktívne trénujú pri riešení zaujímavých problémov.

Podobné články