Geometrická progresia. Rad tvorený geometrickou postupnosťou Súčet radu geometrickej postupnosti

TÉMA 8. PORADIE

ČÍSELNÁ SÉRIA

1. Základné pojmy číselného radu.

2. Séria geometrického postupu.

3. Základné vlastnosti konvergentných radov. Zvyšok radu.

4. Nevyhnutný znak konvergencie číselného radu.

5. Harmonická séria.

Séria je jedným z najdôležitejších nástrojov matematickej analýzy. Pomocou radov sa nájdu približné hodnoty funkcií, integrálov a riešení diferenciálnych rovníc. Všetky tabuľky, ktoré nájdete v aplikáciách, sú zostavené pomocou riadkov.

Historický odkaz

Teória číselných a funkčných radov bola vyvinutá v 17. a 18. storočí. V tom čase ešte neexistovali presné definície základných pojmov matematickej analýzy. Považovalo sa za možné považovať sériu bez ohľadu na jej konvergenciu a divergenciu za jednoduchý súčet. Hoci sa tento súčet považoval za „pozostávajúci z nekonečného počtu členov“, považovalo sa za súčet pozostávajúci z určitého (konečného) počtu členov. To niekedy viedlo k chybám vo výpočtoch, nevysvetliteľným vzhľadom na vtedajší stav matematickej vedy.

Sčítanie nekonečných geometrických postupností s menovateľom menším ako jedna sa uskutočňovalo už v staroveku (Archimedes).

Divergenciu harmonického radu stanovil taliansky vedec Meng v roku 1650 a potom dôslednejšie bratia Jacob a Nicholas Bernoulli. Mocninové rady zaviedol Newton (1665), ktorý ukázal, že môžu byť použité na reprezentáciu akejkoľvek funkcie. Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Riemann a mnohí ďalší vynikajúci matematici venovali veľa úsilia ďalšiemu rozvoju teórie sérií.

Medzi týchto vedcov nepochybne patrí Newtonov študent Taylor, ktorý publikoval svoje hlavné dielo „Metóda prírastkov, priamych a inverzných“, v roku 1715. V tejto knihe Taylor po prvýkrát uvádza odvodenie sériovej expanzie ľubovoľnej analytickej funkcie. Vďaka tomu sa mocenské rady stali „mostom“, ktorý umožnil prejsť z oblasti racionálnych funkcií k štúdiu transcendentálnych funkcií.

Zásadný význam tohto príspevku do matematiky si však hneď neuvedomili. V roku 1742 vyšlo slávne „Pojednanie o tokoch“ od Colina Maclaurina, v ktorom Maclaurin novým spôsobom získal sériu, ktorá nesie jeho meno, a uviedol, že táto séria sa nachádza v „Metóde prírastkov“. Keďže Maclaurin na veľkom množstve funkcií ukázal, že použitie tohto radu nesmierne zjednodušuje problém rozširovania funkcií, začala sa táto séria, a teda aj séria Taylor, tešiť veľkej obľube.

Význam Taylorovho radu vzrástol ešte viac, keď ho v roku 1772 Lagrange urobil základom všetkého diferenciálneho počtu. Veril, že teória sériovej expanzie funkcií obsahuje skutočné princípy diferenciálneho počtu, oslobodené od infinitezimálov a limitov.

Otázka 1. Základné pojmy číselných radov

Samotný koncept nekonečnej série nie je v podstate nový. Nekonečný rad je len zvláštnou formou číselnej postupnosti. Tento nový formulár má však niektoré funkcie, vďaka ktorým je používanie riadkov pohodlnejšie.

Dostaneme nekonečnú postupnosť čísel

a 1, a 2, …, a n,…

O.1.1. Vyjadrenie formy

(1)

volal číselný rad alebo jednoducho blízko.

Volajú sa čísla a 1, a 2, …, a n,… členov čísla, a volá sa číslo a n s ľubovoľným číslom n spoločný člen série (1).

Rad (1) sa považuje za daný, ak je známy všeobecný člen radu a n, vyjadrený ako funkcia jeho čísla n:

a n = f(n), n=1,2,…

Príklad 1. Séria so spoločným výrazom má tvar

O.1.2. Súčet prvých n členov radu (1) sa nazýva n-čiastkový súčet série a označuje sa S n, t.j.

Sn = a 1 + a 2 + …+ a n.

Uvažujme o postupnosti čiastočných súčtov série (1):

S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, ……., Sn = a 1 + a 2 + …+ a n, …… (2)

O.1.3. Riadok (1) sa volá konvergentné, ak existuje konečná limita S postupnosti jej čiastkových súčtov (2), t.j. . V tomto prípade sa volá číslo S súčet série (1).

Zaznamenané:

Z definície O.1.3 vyplýva, že súčet série nemusí nevyhnutne existovať. Toto je hlavný rozdiel medzi nekonečnými sériami a konečnými súčtami: každá konečná množina čísel nevyhnutne má súčet, „ale sčítanie nekonečnej množiny čísel nie je vždy možné“.

Ak neexistuje, alebo sa volá séria (1). divergentný. Táto séria nemá súčet.

Príklad 2.

1. riadok konverguje a jej súčet S = 0.

2. riadok sa rozchádza, pretože

Otázka 2. Séria geometrického postupu

O.2.1. Rad tvorený členmi geometrickej postupnosti, t.j. séria formulára

, a¹ 0, (3)

Nevyhnutná podmienka pre konvergenciu radu.

Harmonická séria

Veta o nevyhnutnej podmienke konvergencie radu.

Ak rad konverguje, potom sa limit postupnosti spoločných členov tohto radu rovná nule:

. (1.11)

Iná formulácia. Aby rad konvergoval, je potrebné (nie však postačujúce!), aby limita postupnosti spoločných členov radu bola rovná nule.

Komentujte. Niekedy sa kvôli stručnosti vynecháva slovo „sekvencia“ a hovorí sa: „limit spoločného člena radu je rovný nule“. To isté platí pre postupnosť čiastkových súm („limit čiastkových súm“).

Dôkaz vety. Predstavme si všeobecný pojem radu v tvare (1.10):

Podľa podmienok rad konverguje, preto Je zrejmé, že , pretože P A P-1 inklinuje k nekonečnu súčasne . Nájdite hranicu postupnosti bežných členov radu:

Komentujte. Opačné tvrdenie nie je pravdivé. Séria spĺňajúca podmienku (1.11) nemusí nevyhnutne konvergovať. Preto je podmienka alebo znamienko (1.11) nevyhnutné, ale nie postačujúce znamenie konvergencie radu.

Príklad 1. Harmonická séria. Zvážte sériu

(1.12)

Táto séria sa nazýva harmonická, pretože každý z jeho členov, počnúc druhým, je harmonickým priemerom susedných členov:

Napríklad:

Obr.1.3.1 Obr.1.3.2

Všeobecný člen harmonického radu spĺňa nevyhnutnú podmienku pre konvergenciu radu (1.11): (obr. 1.3.1). Neskôr sa však ukáže (pomocou Cauchyho integrálneho testu), že tento rad diverguje, t.j. jeho súčet sa rovná nekonečnu. Obrázok 1.3.2 ukazuje, že čiastkové súčty sa zvyšujú so zvyšujúcim sa počtom.

Dôsledok. Z nevyhnutnej podmienky pre konvergenciu radu to vyplýva dostatočný dôkaz o odlišnosti riadok: ak alebo neexistuje, potom sa séria rozchádza.

Dôkaz. Predpokladajme opak, t.j. (alebo neexistuje), ale rad konverguje. Ale podľa vety o nevyhnutnej podmienke konvergencie radu musí byť limit spoločného člena rovný nule: . Rozpor.

Príklad 2 Preskúmajte konvergenciu radu so spoločným členom .

Táto séria vyzerá takto:

Nájdite hranicu všeobecného pojmu série:

. Z toho vyplýva, že táto séria sa rozchádza.

Séria tvorená geometrickým postupom

Uvažujme sériu zloženú z členov geometrickej progresie. Pripomeňme, že geometrická postupnosť je číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule a nazýva sa menovateľom tohto postupu. Geometrická postupnosť vyzerá takto:

a séria zložená z jej členov:

Takáto séria sa nazýva geometrická séria, ale niekedy sa pre stručnosť nazýva jednoducho geometrická postupnosť. Názov „geometrická“ progresia bol daný, pretože každý z jej členov, počnúc druhým, sa rovná geometrický priemer jeho susediaci členovia:

, alebo .

Veta. Séria tvorená členmi geometrickej postupnosti

sa rozchádza pri a konverguje v , a v súčet série

Dôkaz. Všeobecný člen radu, rovnako ako všeobecný člen geometrickej progresie, má tvar: .

1) Ak , tak , pretože v tomto prípade - nekonečne veľká hodnota.

2) Keď sa riadok správa inak, pretože naberá rôzne typy.

o ;

Pretože limita konštanty sa rovná samotnej konštante. Pretože podľa podmienok vety , spoločný člen radu nemá tendenciu k nule.

o ; nie je tam žiadny limit.

Ak teda nie je splnená potrebná podmienka pre konvergenciu radu:

V dôsledku toho sa séria (1.13) rozchádza.

3) Ak , potom sa progresia nazýva nekonečne klesajúca. Zo školského kurzu je to známe nČiastočný súčet série (1.13) môže byť reprezentovaný ako:

Poďme nájsť súčet série. Odkedy (nekonečne malá hodnota), teda

Teda kedy rad (1.13) konverguje a má súčet rovný

. (1.16)

Toto je súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.

Príklad 1º.

Obr.1.4.1

=2.

Odhadnime jej súčet, t.j. Skúsme určiť, k čomu smeruje postupnosť jeho čiastkových súčtov.

Je vidieť, že postupnosť čiastkových súčtov smeruje k číslu 2 (obr. 1.4.1).

Teraz to dokážme. Využime skutočnosť, že tento rad je rad zložený z členov geometrickej postupnosti, kde . Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie

Príklad 2º.

Vypočítava sa podobne. Keďže mnohé výrazy série majú na rozdiel od predchádzajúceho príkladu znamienko mínus, súčet sa ukázal byť menší.

Príklad 3º.

Toto je geometrický rad, kde >1. Táto séria sa rozchádza.

Vlastnosti konvergentných radov

Zvážte dva konvergentné rady:

, (1.17)

. (1.18)

1. Rad získaný po členoch sčítaním (odčítaním) dvoch konvergentných radov tiež konverguje a jeho súčet sa rovná algebraickému súčtu pôvodného radu, t.j.

. (1.19)

Dôkaz. Urobme čiastočné súčty radov (1.17) a (1.18):

Pretože Podľa podmienok sa tieto rady zbližujú, existujú limity pre tieto čiastkové súčty:

, .

Zostavme čiastočný súčet radu (1.19) a nájdime jeho limitu:

Príklad.

;

Komentujte. Opačné tvrdenie je nepravdivé, t.j. konvergencia radu na lavej strane rovnosti (1.19) neimplikuje konvergenciu radu a . Napríklad rad uvažovaný v príklade 4 konverguje a jeho súčet je 1; všeobecný pojem tejto série bol transformovaný do podoby:

Preto sa séria môže písať takto:

Uvažujme teraz oddelene riadky:

Tieto série sa rozchádzajú, pretože ide o harmonické série. Konvergencia algebraického súčtu radov teda neznamená konvergenciu členov.

2. Ak všetky členy konvergentného radu so súčtom S vynásobte rovnakým číslom s, potom bude výsledný rad tiež konvergovať a bude mať súčet cS:

. (1.20)

Dôkaz je podobný ako pri prvej vlastnosti (dokážte sami).

Príklad.c= 10000;

Obe série sa zbližujú, pretože ich sumy sú konečné.

Konvergentné rady teda možno sčítať, odčítať a násobiť člen po člen konštantným faktorom.

3. Veta o vyradení niekoľkých prvých členov série.

Odstránenie (alebo pridanie) niekoľkých prvých členov radu neovplyvní konvergenciu alebo divergenciu tohto radu. Inými slovami, ak rad konverguje

potom rad konverguje

. (1.22)

(suma však môže byť iná). A naopak, ak rad (1.22) konverguje, potom konverguje aj rad (1.21).

Poznámka 1. V matematike pojem „niekoľko“ znamená „konečné číslo“, t.j. môže to byť 2 alebo 100 alebo 10 100 alebo viac.

Poznámka 2. Z tejto vlastnosti vyplýva, že rady so spoločnými pojmami a sú ekvivalentné v zmysle konvergencie. Napríklad harmonický rad má spoločný výraz a rad so spoločnými výrazmi a - aj harmonický.

4. Zvyšok riadku. Jeho majetok. Ak sú prvé v rade vyradené kčlenov, potom dostaneme novú sériu s názvom zvyšok série po k-člen.

Definícia. k- zvyšok série

volal rad

(1.23),

získané vyradením prvého kčlenovia pôvodnej série.

Index k znamená, koľko prvých výrazov série je vyradených. teda

atď.

Obr.1.5.2

Môžete skonštruovať postupnosť zvyškov a skúmať ich konvergenciu pri

, na rozdiel od predchádzajúcej vety, kde inklinovala k nekonečnu P. Každý nasledujúci člen tejto postupnosti má „menej“ členov (v skutočnosti ich má každý zvyšok nekonečný počet). Môžeme tiež povedať, že tu sa dynamika odohráva na začiatku série, a nie na jej konci.

Zvyšok radu možno definovať aj ako rozdiel medzi súčtom radu a jeho čiastočným súčtom (obr. 1.5.1):

. (1.24)

Obr.1.5.2

Nájdime limitu postupnosti pre konvergentný rad so súčtom S pri . Z definície súčtu radu vyplýva:

Potom z (1.24) vyplýva:

Zistili sme, že zvyšok konvergentného radu je nekonečne malé množstvo at , t.j. keď počet vyradených členov radu má tendenciu k nekonečnu. Je to vidieť na obrázkoch 1.5.1 a 1.5.2.

Komentujte. Veta o vyradení niekoľkých členov radu môže byť formulovaná nasledovne: na to, aby rad konvergoval, je potrebné a postačujúce, aby jeho zvyšok inklinoval k nule.

§ 1.6. Pozitívna séria

Predstavte si rad s nezápornými výrazmi

Takéto série budeme nazývať kladné znamenie. Uvažujme postupnosť čiastkových súčtov kladného radu (1.26). Správanie tejto sekvencie je obzvlášť jednoduché: zvyšuje sa monotónne ako n, t.j. . (keďže ku každému nasledujúcemu čiastkovému súčtu sa pripočíta nezáporné číslo).

Podľa Weierstrassovej vety každá monotónna ohraničená postupnosť konverguje (pozri I semester prvého ročníka). Na základe toho formulujeme všeobecné kritérium konvergencia radov s kladnými členmi.

Veta(všeobecné kritérium pre konvergenciu kladných radov). Aby mohol kladný rad konvergovať, je potrebné a postačujúce, aby postupnosť jeho čiastkových súčtov bola ohraničená.

Pripomeňme si definíciu ohraničenosti postupnosti: postupnosť sa nazýva ohraničená, ak existuje M>0 tak, že pre (obr. 1.6.1). Pre pozitívne série , a môžeme hovoriť o ohraničenosti zhora, pretože je dole ohraničená nulou.

Dôkaz. 1) Nevyhnutnosť. Nech rad (1.26) konverguje a postupnost ciastocnych scitov nech ma limitu, t.j. konverguje. Podľa vety o ohraničenosti konvergentnej postupnosti je každá konvergentná postupnosť ohraničená Þ ohraničená.

2) Dostatok. Nech je postupnosť čiastkových súčtov radov (1.26) ohraničená.

Pretože , t.j. monotónna. Podľa Weierstrassovej vety o monotónnych ohraničených postupnostiach konverguje a rad (1.26) konverguje.

Poznáte úžasnú legendu o zrnách na šachovnici?

Legenda o zrnách na šachovnici

Keď tvorca šachu (starodávny indický matematik menom Sessa) ukázal svoj vynález vládcovi krajiny, hra sa mu natoľko zapáčila, že umožnil vynálezcovi, aby si sám vybral odmenu. Mudrc požiadal kráľa, aby mu zaplatil jedno zrnko pšenice za prvé pole šachovnice, dve za druhé, štyri za tretie atď., čím sa počet zŕn na každom nasledujúcom poli zdvojnásobil. Vládca, ktorý nerozumel matematike, rýchlo súhlasil, aj keď bol trochu urazený takým nízkym hodnotením vynálezu, a prikázal pokladníkovi, aby vypočítal a dal vynálezcovi požadované množstvo obilia. Keď však o týždeň pokladník stále nevedel vypočítať, koľko zŕn treba, vladár sa spýtal, čo je dôvodom meškania. Pokladník mu ukázal výpočty a povedal, že nie je možné zaplatiť. Kráľ s úžasom počúval starcove slová.

Povedz mi toto príšerné číslo,“ povedal.

18 biliónov 446 kvadriliónov 744 biliónov 73 miliárd 709 miliónov 551 tisíc 615, Pane!

Ak predpokladáme, že jedno pšeničné zrno má hmotnosť 0,065 gramu, tak celková hmotnosť pšenice na šachovnici bude 1200 biliónov ton, čo je viac ako celý objem zozbieranej pšenice v celej histórii ľudstva!

Definícia

Geometrická progresia- postupnosť čísel ( členovia progresie), v ktorom každé nasledujúce číslo, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho vynásobením určitým číslom ( menovateľ progresie):

Napríklad postupnosť 1, 2, 4, 8, 16, ... je geometrická ()