5. Hlavné problémy aplikovanej štatistiky - popis údajov, odhad a testovanie hypotéz
Konzistentnosť, nestrannosť a účinnosť odhadov
Ako porovnávať metódy hodnotenia medzi sebou? Porovnanie sa vykonáva na základe takých ukazovateľov kvality metód hodnotenia, ako je konzistentnosť, nezaujatosť, efektívnosť atď.
Zvážte odhad θ nčíselný parameter θ, určený pri n= 1, 2, … Odhad θ n volal bohatý, ak konverguje v pravdepodobnosti k hodnote odhadovaného parametra θ s neobmedzeným nárastom veľkosti vzorky. Vyjadrime to, čo bolo povedané, podrobnejšie. Štatistika θ n je konzistentný odhad parametra θ práve vtedy, ak pre akékoľvek kladné číslo ε platí limitný vzťah
Príklad 3 Zo zákona veľkých čísel vyplýva, že θ n= je konzistentný odhad θ = M(X)(Čebyševova veta uvedená vyššie predpokladala existenciu disperzie D(X); ako však dokázal A.Ya. Khinchin, stačí splniť slabšiu podmienku – existenciu matematického očakávania M(X)).
Príklad 4. Všetky vyššie uvedené odhady parametrov normálneho rozdelenia sú konzistentné.
Vo všeobecnosti sú všetky (až na zriedkavé výnimky) odhady parametrov používané v pravdepodobnostno-štatistických metódach rozhodovania konzistentné.
Príklad 5. Takže podľa vety V.I. Glivenko, empirická distribučná funkcia Fn(X) je konzistentný odhad distribučnej funkcie výsledkov pozorovania F(X).
Pri vývoji nových metód hodnotenia by sa mala najskôr skontrolovať platnosť navrhovaných metód.
Druhou dôležitou vlastnosťou posudkov je nevysídlený. Nezaujatý odhad θ n je odhad parametra θ, ktorého matematické očakávanie sa rovná hodnote odhadovaného parametra: M(θ n) = θ.
Príklad 6. Z vyššie uvedených výsledkov vyplýva, že ide o neskreslené odhady parametrov m A σ 2 normálne rozdelenie. Keďže M() = M( m** ) = m, potom medián vzorky a polovičný súčet extrémnych členov radu variácií m** - tiež neskreslené odhady matematického očakávania m normálne rozdelenie. Avšak
preto odhaduje s 2 a ( σ 2)** nie sú konzistentné odhady rozptylu σ 2 normálne rozdelenie.
Odhady, pre ktoré je pomer M(θ n) = θ je nesprávne, nazýva sa neobjektívne. V tomto prípade je rozdiel medzi matematickým očakávaním odhadu θ n a odhadovaný parameter θ, t.j. M(θ n) – θ, sa nazýva skreslenie odhadu.
Príklad 7. Pre sadzbu s 2, ako vyplýva z vyššie uvedeného, posunutie sa rovná
M(s 2) - σ 2 = - σ 2/n.
Skreslenie odhadu s 2 má tendenciu k 0, keď n → ∞.
Nazýva sa odhad, pre ktorý sa odchýlka blíži k 0, keď sa veľkosť vzorky blíži k nekonečnu asymptoticky nezaujatý. Príklad 7 ukazuje, že odhad s 2 je asymptoticky nezaujatý.
Takmer všetky odhady parametrov používané v pravdepodobnostno-štatistických metódach rozhodovania sú buď nezaujaté alebo asymptoticky nezaujaté. Pri neskreslených odhadoch je indikátorom presnosti odhadu rozptyl – čím menší rozptyl, tým lepší odhad. Pre skreslené odhady je indikátorom presnosti matematické očakávanie druhej mocniny odhadu M(θ n– θ) 2 . Ako vyplýva zo základných vlastností matematického očakávania a disperzie,
tie. matematické očakávanie druhej mocniny chyby je súčtom rozptylu odhadu a druhej mocniny jeho odchýlky.
Pre veľkú väčšinu odhadov parametrov používaných v pravdepodobnostno-štatistických metódach rozhodovania je rozptyl rádovo 1/ n a posun nie je väčší ako 1/ n, Kde n- veľkosť vzorky. Pre takéto odhady na slobode n druhý člen na pravej strane (3) je zanedbateľný v porovnaní s prvým a platí pre nich približná rovnosť
Kde s– počet určený metódou na výpočet odhadov θ n a skutočnú hodnotu odhadovaného parametra θ.
Tretia dôležitá vlastnosť metódy odhadu je spojená s rozptylom odhadu: efektívnosť. Efektívny odhad je nezaujatý odhad, ktorý má najmenší rozptyl zo všetkých možných neskreslených odhadov daného parametra.
Bolo dokázané, že a sú efektívne odhady parametrov m A σ 2 normálne rozdelenie. Zároveň platí limitný vzťah pre výberový medián
Inými slovami, účinnosť mediánu vzorky, t.j. variačný pomer odhadu efektívneho parametra m k rozptylu nezaujatého odhadu tohto parametra pre veľké n sa blíži k 0,637. Práve z dôvodu relatívne nízkej účinnosti výberového mediánu sa výberový aritmetický priemer zvyčajne používa ako odhad matematického očakávania normálneho rozdelenia.
Pojem efektívnosti sa zavádza pre neskreslené odhady, pre ktoré M(θ n) = θ pre všetky možné hodnoty parametra θ. Ak nepožadujeme nezaujatosť, môžeme naznačiť odhady, ktoré pre niektoré θ majú menší rozptyl a strednú štvorcovú chybu ako efektívne.
Príklad 8. Zvážte „odhad“ matematického očakávania m 1 ≡ 0. Potom D(m 1 ) = 0, t.j. vždy menší rozptyl D() efektívne hodnotenie. Očakávanie strednej štvorcovej chyby d n(m 1 ) = m 2 , t.j. keď máme d n(m 1 ) < d n(). Je však jasné, že štatistiky m Nemá zmysel považovať 1 ≡ 0 za odhad matematického očakávania m.
Príklad 9. Za zaujímavejší príklad uvažoval americký matematik J. Hodges:
To je jasné Tn– konzistentný, asymptoticky nezaujatý odhad matematického očakávania m, zatiaľ čo, ako je ľahké vypočítať,
Posledný vzorec ukazuje, že kedy m≠ 0 hodnotenie Tn nie horšie (v porovnaní so strednou štvorcovou chybou d n), a kedy m= 0 – štyrikrát lepšie.
Prevažná väčšina odhadov θ n, používané v pravdepodobnostno-štatistických metódach, sú asymptoticky normálne, t.j. platia pre ne tieto limitné vzťahy:
pre hocikoho X, Kde F(x)– funkcia štandardného normálneho rozdelenia s matematickým očakávaním 0 a rozptylom 1. To znamená, že pre veľké veľkosti vzoriek (prakticky niekoľko desiatok alebo stoviek pozorovaní) sú rozdelenia odhadov úplne opísané ich matematickými očakávaniami a rozptylmi. a kvalita odhadov je podľa hodnôt stredných štvorcových chýb d n(θ n).
| Predchádzajúce |
Distribúcia náhodnej premennej (distribúcia populácie) je zvyčajne charakterizovaná množstvom číselných charakteristík:
- pre normálne rozdelenie N(a, σ) je matematické očakávanie a a smerodajná odchýlka σ;
- pre rovnomerné rozdelenie R(a,b) sú hranice intervalu, v ktorom sa pozorujú hodnoty tejto náhodnej premennej.
Keď je skóre určené jedným číslom, volá sa bodový odhad. Bodový odhad ako funkcia vzorky je náhodná premenná a mení sa od vzorky k vzorke s opakovanými experimentmi.
Bodové odhady majú požiadavky, ktoré musia spĺňať, aby boli „benígne“ v akomkoľvek zmysle. Toto nevysídlený, efektívnosť A bohatstvo.
Intervalové odhady sú určené dvoma číslami - koncami intervalu, ktorý pokrýva odhadovaný parameter. Na rozdiel od bodových odhadov, ktoré nedávajú predstavu o tom, ako ďaleko od nich môže byť odhadovaný parameter, intervalové odhady nám umožňujú určiť presnosť a spoľahlivosť odhadov.
Ako bodové odhady matematického očakávania, disperzie a štandardnej odchýlky sa používajú charakteristiky vzorky, v tomto poradí, priemer vzorky, rozptyl vzorky a štandardná odchýlka vzorky.
Vlastnosť nestranného odhadu.
Žiaducou požiadavkou na posúdenie je absencia systematickej chyby, t.j. pri opakovanom použití namiesto parametra θ jeho odhadu je priemerná hodnota aproximačnej chyby nulová - to je vlastnosť nestranného odhadu.
Definícia. Odhad sa nazýva nestranný, ak sa jeho matematické očakávanie rovná skutočnej hodnote odhadovaného parametra:
Aritmetický priemer vzorky je nezaujatý odhad matematického očakávania a rozptylu vzorky 
- neobjektívny odhad všeobecného rozptylu D. Nezaujatý odhad všeobecného rozptylu je odhad
Vlastnosť konzistentnosti hodnotenia.
Druhá požiadavka na odhad – jeho konzistentnosť – znamená, že odhad sa zlepšuje s rastúcou veľkosťou vzorky.
Definícia. stupeň 
sa nazýva konzistentný, ak v pravdepodobnosti konverguje k odhadovanému parametru θ ako n→∞.
Konvergencia pravdepodobnosti znamená, že pri veľkej veľkosti vzorky je pravdepodobnosť veľkých odchýlok odhadu od skutočnej hodnoty malá.
Vlastnosť efektívneho odhadu.
Tretia požiadavka vám umožňuje vybrať najlepší odhad z niekoľkých odhadov toho istého parametra.
Definícia. Nezaujatý odhad je účinný, ak má najmenší rozptyl medzi všetkými nezaujatými odhadmi.
To znamená, že efektívny odhad má minimálny rozptyl vzhľadom na skutočnú hodnotu parametra. Všimnite si, že nie vždy existuje efektívny odhad, ale z dvoch odhadov je zvyčajne možné vybrať ten efektívnejší, t.j. s menším rozptylom. Napríklad pre neznámy parameter a normálnej populácie N(a,σ) možno ako nezaujatý odhad brať ako aritmetický priemer vzorky, tak aj medián vzorky. Ale rozptyl mediánu vzorky je približne 1,6-krát väčší ako rozptyl aritmetického priemeru. Preto je efektívnejší odhad výberový aritmetický priemer.
Príklad č.1. Nájdite neskreslený odhad rozptylu meraní niektorej náhodnej veličiny pomocou jedného zariadenia (bez systematických chýb), ktorého výsledky merania (v mm): 13,15,17.
Riešenie. Tabuľka na výpočet ukazovateľov.
| X | |x - x priem | | (x - x priemer) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Jednoduchý aritmetický priemer(nezaujatý odhad matematického očakávania)
Disperzia- charakterizuje mieru rozptylu okolo svojej priemernej hodnoty (miera rozptylu, t.j. odchýlka od priemeru - skreslený odhad).
Nestranný odhad rozptylu- konzistentný odhad rozptylu (opravený rozptyl).
Príklad č.2. Nájdite neskreslený odhad matematického očakávania meraní určitej náhodnej veličiny jedným zariadením (bez systematických chýb), ktorého výsledky merania (v mm): 4,5,8,9,11.
Riešenie. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4
Príklad č.3. Nájdite korigovaný rozptyl S2 pre veľkosť vzorky n = 10, ak je rozptyl vzorky D = 180.
Riešenie. S2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
) problémy matematickej štatistiky.
Predpokladajme, že existuje parametrická rodina rozdelení pravdepodobnosti (pre jednoduchosť budeme uvažovať rozdelenie náhodných premenných a prípad jedného parametra). Tu je číselný parameter, ktorého hodnota nie je známa. Je potrebné ho odhadnúť na základe dostupnej vzorky hodnôt generovaných týmto rozdelením.
Existujú dva hlavné typy hodnotenia: bodové odhady A intervaly spoľahlivosti.
Bodový odhad
Bodový odhad je typ štatistického odhadu, pri ktorom je hodnota neznámeho parametra aproximovaná samostatným číslom. To znamená, že je potrebné špecifikovať funkciu vzorky (štatistiky)
,ktorých hodnota sa bude považovať za aproximáciu neznámej skutočnej hodnoty.
Medzi bežné metódy konštrukcie bodových odhadov parametrov patria: metóda maximálnej pravdepodobnosti, metóda momentov, kvantilová metóda.
Nasledujú niektoré vlastnosti, ktoré bodové odhady môžu alebo nemusia mať.
Bohatstvo
Jednou z najzreteľnejších požiadaviek na bodový odhad je, že pre dostatočne veľkú veľkosť vzorky možno očakávať primerane dobrú aproximáciu k skutočnej hodnote parametra. To znamená, že odhad by mal konvergovať k skutočnej hodnote pri . Táto vlastnosť hodnotenia sa nazýva bohatstvo. Keďže hovoríme o náhodných premenných, pre ktoré existujú rôzne typy konvergencie, táto vlastnosť môže byť presne formulovaná rôznymi spôsobmi:
Keď sa len používa výraz bohatstvo, vtedy väčšinou máme na mysli slabú konzistenciu, t.j. konvergencia v pravdepodobnosti.
Podmienka konzistencie je prakticky povinná pre všetky odhady používané v praxi. Odhady porúch sa používajú veľmi zriedkavo.
Nezaujatosť a asymptotická nezaujatosť
Odhad parametra sa nazýva nezaujatý, ak sa jeho matematické očakávanie rovná skutočnej hodnote odhadovaného parametra:
.Slabší stav je asymptotický nezaujatý, čo znamená, že matematické očakávanie odhadu konverguje k skutočnej hodnote parametra, keď sa veľkosť vzorky zvyšuje:
.Nezaujatosť je odporúčaná vlastnosť pre odhady. Jeho význam však netreba preceňovať. Najčastejšie existujú nestranné odhady parametrov a potom sa snažia brať do úvahy len ich. Môžu sa však vyskytnúť štatistické problémy, pri ktorých neexistujú nestranné odhady. Najznámejší príklad je nasledujúci: zvážte Poissonovo rozdelenie s parametrom a položte problém s odhadom parametra . Dá sa dokázať, že pre tento problém neexistuje žiadny objektívny odhad.
Porovnanie hodnotenia a účinnosti
Na porovnanie rôznych odhadov toho istého parametra sa používa nasledujúca metóda: vyberte niektoré riziková funkcia, ktorý meria odchýlku odhadu od skutočnej hodnoty parametra a za najlepší sa považuje ten, pre ktorý táto funkcia nadobúda menšiu hodnotu.
Najčastejšie sa za rizikovú funkciu považuje matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky odhadu od skutočnej hodnoty.
Pre nestranné odhady je to jednoducho rozptyl.
Existuje dolná hranica tejto rizikovej funkcie, tzv Cramer-Rao nerovnosť.
(Nezaujaté) odhady, pre ktoré je dosiahnutá táto dolná hranica (t. j. s čo najmenším rozptylom), sa nazývajú efektívne. Existencia efektívneho odhadu je však dosť silnou požiadavkou na úlohu, čo nie je vždy prípad.
Slabší stav je asymptotická účinnosť, čo znamená, že pomer rozptylu nezaujatého odhadu ku Cramer-Raovej dolnej hranici má tendenciu k jednote pri .
Všimnite si, že za dostatočne širokých predpokladov o študovanom rozdelení poskytuje metóda maximálnej pravdepodobnosti asymptoticky efektívny odhad parametra, a ak efektívny odhad existuje, potom poskytuje efektívny odhad.
Dostatočná štatistika
Štatistiky sú tzv dostatočné pre parameter , ak podmienené rozdelenie odberu vzoriek za predpokladu , nezávisí od parametra pre všetkých .
Dôležitosť konceptu dostatočnej štatistiky určuje nasledovné schválenie. Ak je dostatočná štatistika a je nezaujatým odhadom parametra, potom podmienené očakávanie je tiež nezaujatým odhadom parametra a jeho rozptyl je menší alebo rovný rozptylu pôvodného odhadu.
Pripomeňme, že podmienené matematické očakávanie je náhodná premenná, ktorá je funkciou . V triede nezaujatých odhadov teda stačí brať do úvahy len tie, ktoré sú funkciami dostatočnej štatistiky (za predpokladu, že takáto štatistika pre daný problém existuje).
(Nezaujatý) odhad efektívneho parametra je vždy dostatočnou štatistikou.
Dá sa povedať, že dostatočné štatistiky obsahujú všetky informácie o odhadovanom parametri, ktoré sú obsiahnuté vo vzorke.
Vybrané charakteristiky. bohatý,
Na začiatku kurzu boli uvažované pojmy ako klasická a štatistická pravdepodobnosť.
Ak je klasická pravdepodobnosť teoretickou charakteristikou, ktorú možno určiť bez použitia skúseností, potom možno štatistickú pravdepodobnosť určiť iba z výsledkov experimentu. Pri väčšom počte experimentov sa hodnota W(A) môže slúžiť ako odhad pravdepodobnosti P(A). Stačí pripomenúť klasické experimenty Buffona a Pearsona. V podobných analógiách možno pokračovať ďalej. Napríklad pre teoretickú charakteristiku M(x) taká analógia by bola - priemer:
= i f i / n ,
pre rozptyl D(x) empirickým analógom by bol štatistický rozptyl:
S 2 (X) = (x i - ) 2 f i/n .
Empirické vlastnosti, S 2 (X) ,W(A) sú odhady parametrov M(x) ,D(x) ,P(A) . V prípadoch, keď sú empirické charakteristiky určené na základe veľkého počtu experimentov, ich použitie ako teoretických parametrov nepovedie k významným chybám v štúdii, ale v prípadoch, keď je počet experimentov obmedzený, bude chyba pri nahradení významná. . Preto sú na empirické charakteristiky kladené tri požiadavky, ktoré sú odhadmi teoretických parametrov:
odhady musia byť konzistentné, nestranné a efektívne.
Odhad sa nazýva konzistentný, ak pravdepodobnosť jeho odchýlky od odhadovaného parametra o hodnotu menšiu ako ľubovoľne malé kladné číslo má tendenciu k jednote s neobmedzeným nárastom počtu pozorovaní. n, tie.
P(| - | < ) = 1
Kde - nejaký parameter bežnej populácie,
/ - vyhodnotenie tohto parametra. Väčšina odhadov rôznych číselných parametrov spĺňa tieto požiadavky. Samotná táto požiadavka však nestačí. Je potrebné, aby boli aj nevytesnené.
Odhad sa nazýva nestranný, ak sa matematické očakávanie tohto odhadu rovná odhadovanému parametru:
M ( / ) = .
Príkladom konzistentného a nezaujatého odhadu systematického očakávania je aritmetický priemer:
M() = .
Príkladom konzistentného a skresleného odhadu je
rozptyl:
M ( S 2 (X)) = [ (n – 1)/ n ] D(x) .
Preto získať nezaujatý odhad teoretického rozptylu D(x) potrebujú empirický rozptyl S 2 (X) vynásobiť n/(n – 1) , t.j.
S 2 (X) = (x i - ) 2 f i/n n/(n – 1) = (x i - ) 2 f i /(n – 1) .
V praxi sa táto korekcia robí pri výpočte odhadu rozptylu v prípadoch, keď n< 30 .
Môže existovať niekoľko platných nezaujatých odhadov. Napríklad na odhadnutie stredu disperzie normálneho rozdelenia spolu s aritmetickým priemerom možno použiť medián . Medián je tiež nezaujatým konzistentným odhadom stredu zoskupenia. Z dvoch konzistentných nezaujatých odhadov pre ten istý parameter je prirodzené uprednostniť ten s menším rozptylom.
Takéto odhad, ktorého rozptyl je najmenší vzhľadom na odhadovaný parameter, sa nazýva efektívny. Napríklad z dvoch odhadov stredu disperzie normálneho rozdelenia M(x) efektívne hodnotenie nie je , keďže rozptyl je menší ako rozptyl . Porovnávacia účinnosť týchto odhadov s veľkou vzorkou sa približne rovná: D()/D= 2/ = 0,6366.
V praxi to znamená, že stred rozloženia obyvateľstva (nazvime ho 0) je určený s rovnakou presnosťou pre n pozorovaní ako pre 0,6366 n pozorovania pomocou aritmetického priemeru.
4.4. Vlastnosti výberových priemerov a rozptylov.
1. Ak je veľkosť vzorky dostatočne veľká, potom na základe zákona veľkých čísel s pravdepodobnosťou blízkou jednote možno tvrdiť, že aritmetický priemer a rozptyl S 2 sa bude čo najmenej líšiť od M(x) A D(x ), t.j.
M(x) ,S2 (x) D (x ) a rozptyl D() bez ohľadu na veľkosť vzorky n, pokiaľ je počet vzoriek dostatočne veľký.
4. Pri rozptyle D(x ), populácia je neznáma, potom pre veľké hodnoty n S väčšou pravdepodobnosťou malej chyby možno rozptyl priemerov vzorky vypočítať približne podľa rovnosti:
D() = S 2 (x)/n,
Kde S 2 (X) = (x i - ) 2 f i/n - rozptyl veľkej vzorky.
Definícia.Náhodná premenná sa nazýva hodnotenie neznámy parameter, ak hodnotu tejto náhodnej veličiny, zistenú z výsledkov série meraní, možno brať ako približnú hodnotu tohto parametra, t.j. ak je rovnosť pravdivá.
Príklad. Ak sa pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti považuje za neznámy parameter, potom odhadom tohto parametra je frekvencia výskytu udalosti v nezávislých pokusoch (pozri štatistickú definíciu pravdepodobnosti a Bernoulliho vetu).
Príklad. Nechajte náhodné premenné majú rovnaké matematické očakávanie, t.j. . Potom je odhad hodnoty všeobecného matematického očakávania takýchto náhodných premenných aritmetickým priemerom tieto náhodné premenné. Dôležitý osobitný prípad uvažovanej situácie je nasledujúci
Príklad. Odhad určitého parametra je aritmetický priemer výsledky nezávislé merania tohto parametra (pozri Čebyševovu vetu).
Pri priamom použití približnej rovnosti rozprávať sa o bodový odhad neznámy parameter.
Je to tiež možné intervalový odhad neznámy parameter. Aby sme vysvetlili, z čoho pozostáva, uvádzame nasledujúce pojmy.
Definícia.Pre ľubovoľný interval je tzv interval spoľahlivosti;v tomto prípade sa nazýva samotné množstvo hraničná výberová chyba.
Definícia.Pravdepodobnosť, že neznáma hodnota odhadovaného parametra je pokrytá intervalom spoľahlivosti, sa nazýva pravdepodobnosť dôvery.
Teda ak – odhad parametrov , To
– pravdepodobnosť spoľahlivosti (predpokladáme, že odhad je spojitá náhodná premenná).
Intervalový odhad spočíva napríklad vo výpočte pravdepodobnosti spoľahlivosti pre danú maximálnu výberovú chybu.
Riešenie problému intervalového odhadu je spojené s určením charakteru distribučného zákona použitého odhadu .
Uvažujme teraz o niektorých vlastnostiach odhadov.
Definícia.Odhad parametra sa nazýva nezaujatý, ak sa matematické očakávanie tohto odhadu rovná odhadovanému parametru, t.j.
Definícia.Odhad parametra sa nazýva bohatý, ak pre ľubovoľnú platí nasledujúci limitný vzťah
Inými slovami, odhad parametra je konzistentný, ak tento odhad konverguje v pravdepodobnosti k danému parametru. (Pripomeňme, že príklady konvergencie tohto druhu sú dané Bernoulliho a Čebyševovou vetou, pozri § 6.2.)
Definícia.Nestranný odhad nejakého parametra sa nazýva efektívne, ak má najmenší rozptyl spomedzi všetkých nezaujatých odhadov zistených zo vzorky danej veľkosti.
Príklad. Frekvencia výskyt nejakej udalosti je nezaujatý, konzistentný a efektívny odhad pravdepodobnosti táto udalosť . Všimnite si, že vlastnosti nezaujatosti a konzistencie frekvencie sme v skutočnosti zvažovali skôr v trochu inom kontexte. Frekvenčná nezaujatosť – rovnosť – je skutočne jednou z vlastností binomicky rozloženej náhodnej premennej (pozri § 3.3). Konzistenciu frekvencie vyjadruje Bernoulliho veta (pozri § 6.2).
Príklad. Aritmetický priemer určitého počtu nezávislých a identicky rozdelených náhodných premenných je nestranným a konzistentným odhadom všeobecného matematického očakávania týchto náhodných premenných. V skutočnosti je nezaujatosť vlastnosťou 5 matematického očakávania (pozri § 3.3). Konzistenciu potvrdzuje Čebyševova veta (pozri § 6.2).
Podobné články
