Funkčná povaha predikátu znamená zavedenie ďalšieho konceptu - kvantifikátor. (kvantové – z latinčiny „koľko“) Kvantifikátorové operácie možno považovať za zovšeobecnenie operácií konjunkcie a disjunkcie v prípade konečných a nekonečných oblastí.
Všeobecný kvantifikátor (všetci, všetci, všetci, hociktorí (všetci – „všetci“)). Zodpovedajúci verbálny výraz znie takto:
"Pre každé x platí P(x)." Výskyt premennej vo vzorci môže byť viazaný, ak sa premenná nachádza buď bezprostredne za znamienkom kvantifikátora, alebo v rozsahu kvantifikátora, za ktorým sa premenná nachádza. Všetky ostatné výskyty sú voľné, prechod z P(x) na x(Px) alebo (Px) sa nazýva viazanie premennej x alebo pripájanie kvantifikátora k premennej x (alebo k predikátu P) alebo kvantifikácia premennej x. Volá sa premenná, ku ktorej je pripojený kvantifikátor súvisiace, sa nazýva nesúvisiaca kvantizačná premenná zadarmo.
Napríklad premenná x v predikáte P(x) sa nazýva voľná (x je ľubovoľné z M), vo výroku P(x) sa premenná x nazýva viazaná premenná.
Ekvivalencia je pravdivá: P(x 1)P(x 2)…P(x n),
P(x) – predikát definovaný na množine M=(x 1,x 2 ...x 4)
Kvantifikátor existencie(existovať – „existovať“). Zodpovedajúci verbálny výraz je: „Existuje x také, že P(x) je pravdivé. Výrok xP(x) už nezávisí od x, premenná x je spojená kvantifikátorom.
Ekvivalencia je spravodlivá:
xP(x) = P(x 1)P(x 2)…P(x n), kde
P(x) je predikát definovaný na množine M=(x 1 ,x 2 …x n ).
Všeobecný kvantifikátor a existenčný kvantifikátor sa nazývajú duálny, niekedy sa používa zápis kvantifikátora! - "existuje a navyše len jeden."
Je jasné, že výrok xP(x) je pravdivý iba v jedinečnom prípade, keď P(x) je zhodne pravdivý predikát, a výrok je nepravdivý iba vtedy, keď je P(x) rovnako nepravdivý predikát.
Kvantifikátorové operácie sa vzťahujú aj na predikáty s viacerými miestami. Aplikácia kvantifikačnej operácie na predikát P(x,y) vzhľadom na premennú x dáva do súladu s dvojmiestnym predikátom P(x,y) jednomiestny predikát xP(x,y) alebo xP( x,y), v závislosti od y a nezávisle od x.
Na dvojmiestny predikát môžete použiť operácie kvantifikátora na obe premenné. Potom dostaneme osem výrokov:
1. P(x,y); 2. P(x,y);
3. P(x,y); 4. P(x,y);
5. P(x,y); 6. P(x,y);
7. P(x,y); 8. P(x,y)
Príklad 3 Zvážte možné možnosti pripojenia kvantifikátorov k predikátu P(x,y) – “X deleno r“, definované na množine prirodzených čísel (bez nuly) N. Uveďte verbálne formulácie prijatých tvrdení a určte ich pravdivosť.
Operácia pripájania kvantifikátorov vedie k nasledujúcim vzorcom:
Výroky „pre akékoľvek dve prirodzené čísla je jedno deliteľné druhým“ (alebo 1) všetky prirodzené čísla sú deliteľné akýmkoľvek prirodzeným číslom; 2) akékoľvek prirodzené číslo je deliteľom akéhokoľvek prirodzeného čísla) nepravda;
Výroky „existujú dve prirodzené čísla, z ktorých prvé je deliteľné druhým“ (1. „existuje prirodzené číslo x, ktoré je deliteľné nejakým číslom y“; 2. „existuje prirodzené číslo y, ktoré je deliteľom niektoré prirodzené čísla x") sú pravdivé;
Výrok „existuje prirodzené číslo, ktoré je deliteľné akýmkoľvek prirodzeným číslom“ je nepravdivé;
Výrok „pre každé prirodzené číslo existuje prirodzené číslo, ktoré je deliteľné prvým“ (alebo pre každé prirodzené číslo existuje dividenda) je pravdivé;
Výrok „pre každé prirodzené číslo x existuje prirodzené číslo y, ktorým je deliteľné“ (alebo „pre každé prirodzené číslo existuje deliteľ“) je pravdivé;
Výrok „existuje prirodzené číslo, ktoré je deliteľom každého prirodzeného čísla“ je pravdivý (takýto deliteľ je jeden).
Vo všeobecnom prípade sa zmenou poradia kvantifikátorov mení význam výroku a jeho logický význam, t.j. napríklad výroky P(x,y) a P(x,y) sú rôzne.
Nech predikát P(x,y) znamená, že x je matkou y, potom P(x,y) znamená, že každý človek má matku – pravdivé tvrdenie. P(x,y) znamená, že existuje matka všetkých ľudí. Pravdivosť tohto tvrdenia závisí od množiny hodnôt, ktoré y môže nadobudnúť: ak ide o množinu súrodencov, potom je pravdivé, inak je nepravdivé. Preskupenie kvantifikátorov univerzálnosti a existencie teda môže zmeniť samotný význam a význam výrazu.
a) nahraďte začiatočné znamienko (alebo) opačným
b) dať znamienko pred zvyšok predikátu
Okrem nám známych logických operácií pre predikáty sa zavádzajú dve nové: operácia pripájania kvantifikátorov existencie a všeobecnosti.
"pre všetkých X" (pre hocikoho X, pre každý X) sa nazýva všeobecný kvantifikátor a je určený X.
Výrok „existuje X" (pre niektoré X, aspoň pre jedného X, existuje niečo také X) sa nazýva kvantifikátor existencie a je určený X.
Výrok „je len jeden“ X"(pre jeden význam X) sa nazýva kvantifikátor jedinečnosti : ! X.
Napríklad: „Všetky kríky sú rastliny.“ Toto vyhlásenie obsahuje všeobecný kvantifikátor („všetky“). Výrok „existujú čísla, ktoré sú násobkami 5 „obsahuje existenčný kvantifikátor („existovať“).
Na získanie výroku z viacmiestneho predikátu je potrebné spojiť každú premennú s kvantifikátormi. Napríklad, Ak P(x;y) je teda dvojmiestny predikát (xX) (yY) P(x; y)- vyhlásenie.
Ak nie je každá premenná spojená kvantifikátorom, potom to, čo sa získa, nie je výrok, ale predikát v závislosti od premennej, ktorá nie je spojená kvantifikátorom. Teda ak pred predikátom P(x;y) vložte kvantifikátor y, potom dostaneme predikát (yY) P(x; y), v závislosti od premennej X.
Poďme zistiť, ktoré z nasledujúcich viet sú výroky a ktoré predikáty: a) existuje taký X,Čo x+y = 2;
b) pre akékoľvek X A pri existuje rovnosť x + y = y + x.
Riešenie: Poďme identifikovať logickú štruktúru týchto viet.
a) veta „Existuje taká vec“ X,Čo x + y = 2“ môže byť napísané vo forme (xR) x + y = 2. Keďže iba premenná x je spojená s kvantifikátorom, príslušná veta s dvoma premennými je predikátom.
b) Ponuka „pre akékoľvek X A pri vyskytuje x + y = y + x“ môže byť napísané vo forme : (xR) (yR) x + y = y + x, Kde obe premenné spolu súvisia. Preto je táto veta konštatovaním.
Ak niektorá objektívna premenná vo vzorci nie je spojená s kvantifikátorom, potom sa volá voľné premenné.
Napríklad: (x) xy=uh. Tu je premenná pri nie je viazaný žiadnym kvantifikátorom, je teda voľný. Pravdivosť daného tvrdenia na ňom nezávisí.
Kvantifikátory (x) (x) sa volajú dvojaký navzájom.
Rovnomenné kvantifikátory je možné zamieňať, čo však neovplyvňuje pravdivosť výroku.
Napríklad: (y) (x) x + y = 5. Toto vyhlásenie má to isté význam, čo a (x) (y) x + y = 5.
V prípade odlišných kvantifikátorov môže zmena poradia viesť k zmene pravdivosti tvrdenia.
Napríklad: (x) (y) x<у , t.j. pre ľubovoľné číslo X je ich viac pri- pravdivé tvrdenie.
Vymeňme si kvantifikátory: (x) (y) x
V súvislosti so zavedením kvantifikátorov je potrebné vziať do úvahy nasledovné:
1. Formula predikátovej logiky nemôže obsahovať tú istú cieľovú premennú, ktorá by bola v jednej časti formule viazaná a v inej voľná.
2. Tá istá premenná nemôže byť v oblasti kvantifikátorov, ktoré sú navzájom duálne.
Porušenie týchto podmienok je tzv premenlivá kolízia.
Ako sa stanovuje pravdivostná hodnota výroku s kvantifikátorom?
Dokázať tvrdenie všeobecným kvantifikátorom musíte sa uistiť, že pri nahrádzaní každej z hodnôt X do predikátu P(x) to posledné sa mení na pravdivé tvrdenie. Ak je množina X konečná, potom sa to dá urobiť vymenovaním všetkých prípadov; ak je množina X nekonečná, potom je potrebné usudzovať vo všeobecnej forme.
Vyhlásenie (x) P(x) false, ak je možné takúto hodnotu zadať AX, na ktorom P(x) zmení na nepravdivé tvrdenie R(a). Preto, vyvrátiť tvrdenie všeobecným kvantifikátorom Stačí uviesť príklad.
Vyhlásenie (x) P(x) true, ak je možné takúto hodnotu zadať AX, na ktorom P(x) sa mení na pravdivé tvrdenie R(a). Preto v poriadku overiť pravdivosť výroku kvantifikátorom existencie , stačí uviesť príklad a tým ho dokázať.
Za účelom overiť nepravdivosť výroku s kvantifikátorom existencie (x) P(x), je potrebné overiť nepravdivosť každého P(x), P(x), …, P(x). Ak súprava X Samozrejme, dá sa to urobiť aj hrubou silou. Ak ich je veľa X nekonečne, potom je potrebné usudzovať vo všeobecnej forme.
Príklady.
1. Nájdite pravdivostnú hodnotu „medzi číslami“ 1, 2, 3, 4 existuje prvočíslo."
Riešenie: Výrok obsahuje existenčný kvantifikátor a možno ho teda reprezentovať ako disjunkciu výrokov: „ 1 - prvočíslo" alebo " 2 - prvočíslo" alebo " 3 - prvočíslo" alebo " 4 - Prvočíslo". Na preukázanie pravdivosti disjunkcie stačí pravdivosť aspoň jedného tvrdenia, napr. 3 je prvočíslo, ktoré je pravdivé. Preto je pravdivé aj pôvodné tvrdenie.
2. Dokážme, že každý štvorec je obdĺžnik.
Riešenie: Výpis obsahuje všeobecný kvantifikátor. Preto ho možno prezentovať ako spojenie: „štvorec - obdĺžnik“ a „štvorec - obdĺžnik“ a „štvorec - obdĺžnik“ atď. Keďže všetky tieto tvrdenia sú pravdivé, spojenie týchto tvrdení je pravdivé, teda pôvodná veta je pravdivá.
3. "Akýkoľvek trojuholník je rovnoramenný." Toto je nepravdivé tvrdenie. Aby sme to overili, stačí nakresliť trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný.a
Zostrojiť negáciu výroku s kvantifikátormi potrebné:
1) nahradiť kvantifikátor všeobecnosti kvantifikátorom existencie a kvantifikátor existencie kvantifikátorom všeobecnosti;
2) nahraďte predikát jeho negáciou.
Príklad. Formulujme negáciu pre nasledujúce tvrdenia:
a) všetky prvky súpravy Z dokonca; b) niektoré slovesá odpovedajú na otázku „čo robiť?“.
Riešenie: a) Nahradme kvantifikátor všeobecnosti kvantifikátorom existencie a jeho tvrdenie jeho negáciou: niektoré prvky množiny Z zvláštny.
b) Nahradme kvantifikátor existencie kvantifikátorom všeobecnosti a jeho vyjadrenie negáciou: všetky slovesá neodpovedajú na otázku „čo robiť?“
Predikát (lat. praedicatum- uviedol, uviedol, povedal) - akýkoľvek matematický výrok, v ktorom je aspoň jedna premenná. Predikát je hlavným predmetom štúdia v logike prvého poriadku.
Predikát je výraz s logickými premennými, ktoré majú zmysel pre akékoľvek prípustné hodnoty týchto premenných.
Výrazy: x > 5, x > y – predikáty.
Predikát ( n-miestne, príp n-ary) je funkcia s množinou hodnôt (0,1) (alebo „false“ a „true“), ktoré sú definované na množine. Teda každá množina prvkov množiny M charakterizované ako „pravda“ alebo „nepravda“.
Predikát môže byť spojený s matematickým vzťahom: ak n-ka patrí do vzťahu, potom na ňom predikát vráti 1. Predovšetkým unárny predikát vymedzuje vzťah príslušnosti k určitej množine.
Predikát je jedným z prvkov logiky prvého a vyššieho rádu. Počnúc logikou druhého rádu môžu byť kvantifikátory umiestnené na predikáty vo vzorcoch.
Predikát je tzv rovnako pravdivé a napíš:
ak na ľubovoľnej množine argumentov nadobudne hodnotu 1.
Predikát je tzv rovnako falošné a napíš:
ak na ľubovoľnej množine argumentov nadobudne hodnotu 0.
Predikát je tzv uskutočniteľné, ak má hodnotu 1 aspoň v jednej skupine argumentov.
Keďže predikáty majú iba dva významy, sú na ne použiteľné všetky operácie Booleovej algebry, napríklad: negácia, implikácia, konjunkcia, disjunkcia atď.
Kvantifikátor je všeobecný názov pre logické operácie, ktoré obmedzujú doménu pravdivosti predikátu. Najčastejšie spomínané:
Univerzálny kvantifikátor(označenie: znie: „pre každého...“, „pre každého...“ alebo „každý...“, „akýkoľvek...“, „pre každého...“).
Kvantifikátor existencie(označenie: , znie: „existuje...“ alebo „nájde sa...“).
Príklady
Označme P(X) predikát" X deliteľné 5." Pomocou všeobecného kvantifikátora môžeme formálne zapísať nasledujúce tvrdenia (samozrejme nepravdivé):
každé prirodzené číslo je deliteľné 5;
každé prirodzené číslo je násobkom 5;
všetky prirodzené čísla sú násobky 5;
nasledujúcim spôsobom:
.
Nasledujúce (už pravdivé) tvrdenia používajú existenciálny kvantifikátor:
existujú prirodzené čísla, ktoré sú násobkami 5;
existuje prirodzené číslo, ktoré je násobkom 5;
aspoň jedno prirodzené číslo je deliteľné 5.
Ich formálny zápis:
.Úvod do pojmu
Nech je predikát P(x) daný na množine X prvočísel: "Prvočíslo x je nepárne." Pred tento predikát nahraďme slovo „akýkoľvek“. Dostaneme nepravdivé tvrdenie „akékoľvek prvočíslo x je nepárne“ (tento výrok je nepravdivý, pretože 2 je prvočíslo párne).
Dosadením slova „existuje“ pred daný predikát P(x) dostaneme pravdivé tvrdenie „Existuje prvočíslo x, ktoré je nepárne“ (napríklad x = 3).
Predikát teda môžete zmeniť na výrok tak, že pred predikát umiestnite slová „všetko“, „existuje“ atď., ktoré sa v logike nazývajú kvantifikátory.
Kvantifikátory v matematickej logike
Príkaz znamená, že rozsah premennej X zahrnuté do domény pravdivosti predikátu P(X).
(„Pre všetky hodnoty (x) je výrok pravdivý.“)
Výrok znamená, že doména pravdivosti predikátu P(X) je neprázdny.
(„Existuje (x), pre ktoré je tvrdenie pravdivé“).
Otázka 31 Graf a jeho prvky. Základné pojmy. Incidencia, multiplicita, slučka, súvislosť. Typy grafov. Trasa v grafe a jej dĺžka. Klasifikácia ciest. Matice susednosti orientovaných a neorientovaných grafov.
V matematickej teórii grafov a informatike je graf súborom neprázdnej množiny vrcholov a množiny párov vrcholov.
Objekty sú reprezentované ako vrcholy alebo uzly grafu a spojenia sú reprezentované ako oblúky alebo hrany. Pre rôzne oblasti použitia sa typy grafov môžu líšiť v smerovosti, obmedzeniach počtu spojení a ďalších údajoch o vrcholoch alebo hranách.
Cesta (alebo reťazec) v grafe je konečná postupnosť vrcholov, v ktorej je každý vrchol (okrem posledného) spojený s nasledujúcim vrcholom v postupnosti vrcholov hranou.
Smerovaná cesta v digrafe je konečná postupnosť vrcholov v i, pre ktoré všetky páry ( v i,v i+ 1) sú (orientované) hrany.
Cyklus je dráha, na ktorej sa prvý a posledný vrchol zhodujú. V tomto prípade je dĺžka cesty (alebo cyklu) počtom jej komponentov rebrá. Všimnite si, že ak vrcholy u A v sú konce nejakej hrany, potom podľa tejto definície postupnosť ( u,v,u) je cyklus. Aby sa predišlo takýmto „degenerovaným“ prípadom, zaviedli sa nasledujúce pojmy.
Cesta (alebo cyklus) sa nazýva jednoduchá, ak sa jej okraje neopakujú; elementárny, ak je jednoduchý a jeho vrcholy sa neopakujú. Je ľahké vidieť, že:
Každá cesta spájajúca dva vrcholy obsahuje elementárnu cestu spájajúcu dva rovnaké vrcholy.
Akékoľvek jednoduché neelementárne cesta obsahuje elementárne cyklu.
akýkoľvek jednoduché cyklus prechádzajúci cez nejaký vrchol (alebo hranu) obsahuje elementárne(pod)cyklus prechádzajúci tým istým vrcholom (alebo hranou).
Slučka je elementárny cyklus.
Graf alebo neorientovaný graf G je objednaný pár G: = (V,E
V
E ide o množinu párov (v prípade neorientovaného grafu neusporiadaných) vrcholov, ktoré sa nazývajú hrany.
V(a preto E, inak by to bola multimnožina) sa zvyčajne považujú za konečné množiny. Mnohé dobré výsledky získané pre konečné grafy nie sú pravdivé (alebo sa nejakým spôsobom líšia). nekonečné grafy. Mnohé úvahy sa totiž v prípade nekonečných množín stávajú nesprávnymi.
Vrcholy a hrany grafu sa nazývajú aj prvky grafu, počet vrcholov v grafe | V| - poradie, počet hrán | E| - veľkosť grafu.
Vrcholy u A v sa nazývajú koncové vrcholy (alebo jednoducho konce) hrany e = {u,v). Hrana zase spája tieto vrcholy. Dva koncové vrcholy tej istej hrany sa nazývajú susedné.
Dve hrany sa nazývajú susediace, ak majú spoločný koncový vrchol.
Dve hrany sa nazývajú viacnásobné, ak sa množiny ich koncových vrcholov zhodujú.
Hrana sa nazýva slučka, ak sa jej konce zhodujú, tj e = {v,v}.
stupeň stup V vrcholov V zavolajte počet hrán, ktoré k nemu patria (v tomto prípade sa slučky počítajú dvakrát).
Vrchol sa považuje za izolovaný, ak nie je koncom žiadnej hrany; visiaci (alebo list), ak ide o koniec presne jednej hrany.
Orientovaný graf (skrátený digraph) G je objednaný pár G: = (V,A), pri ktorej sú splnené tieto podmienky:
V je neprázdna množina vrcholov alebo uzlov,
A je to množina (usporiadaných) párov odlišných vrcholov, nazývaných oblúky alebo orientované hrany.
Arc je usporiadaná dvojica vrcholov (v, w), kde je vrchol v nazývaný začiatok a w- koniec oblúka. Dá sa povedať, že oblúk vedie zhora v navrchol w.
Zmiešaný graf
Zmiešaný graf G je graf, v ktorom môžu byť niektoré hrany smerované a niektoré môžu byť neorientované. Napísané ako objednaná trojka G: = (V,E,A), Kde V, E A A definované rovnako ako vyššie.
Orientované a neorientované grafy sú špeciálnymi prípadmi zmiešaných grafov.
Izomorfné grafy (?)
Graf G sa nazýva izomorfný s grafom H, ak existuje bijekcia f z množiny vrcholov grafu G do množiny vrcholov grafu H, ktorý má nasledujúcu vlastnosť: ak je v grafe G z vrcholu je hrana A navrchol B, potom v grafe H f(A) navrchol f(B) a naopak - ak je v grafe H z vrcholu je hrana A navrchol B, potom v grafe G z vrcholu musí byť hrana f − 1 (A) navrchol f − 1 (B). V prípade orientovaného grafu musí táto bijekcia zachovať aj orientáciu hrany. V prípade váženého grafu musí bijekcia zachovať aj váhu hrany.
Matica priľahlosti grafu G s konečným počtom vrcholov n(číslované od 1 do n) je štvorcová matica A veľkosť n, v ktorom je hodnota prvku a ij rovný počtu hrán z i vrchol grafu v j-tý vrchol.
Niekedy, najmä v prípade neorientovaného grafu, slučka (hrana z i vrchol do seba) sa počíta ako dve hrany, teda hodnota diagonálneho prvku a ii v tomto prípade sa rovná dvojnásobku počtu slučiek okolo i vrchol.
Matica susedstva jednoduchého grafu (neobsahujúceho slučky ani viac hrán) je binárna matica a obsahuje nuly na hlavnej diagonále.
Otázka 32 Funkcia. Metódy priraďovania. Klasifikácia funkcií. Základné elementárne funkcie a ich grafy. Zloženie funkcií. Elementárne funkcie.
Funkcia je matematický pojem, ktorý odráža vzťah medzi prvkami množín. Môžeme povedať, že funkcia je „zákon“, podľa ktorého každý prvok jednej množiny (tzv doména definície ) sa dáva do súladu s niektorým prvkom inej množiny (tzv rozsah hodnôt ).
Matematický koncept funkcie vyjadruje intuitívnu predstavu o tom, ako jedna veličina úplne určuje hodnotu inej veličiny. Takže hodnota premennej X jednoznačne definuje význam výrazu X 2, pričom hodnota mesiaca jednoznačne určuje hodnotu mesiaca nasledujúceho po ňom, taktiež ľubovoľnú osobu je možné porovnávať s inou osobou – svojím otcom. Podobne, niektoré vopred vytvorené algoritmy vytvárajú určité výstupné údaje na základe meniacich sa vstupných údajov.
Metódy určenia funkcie
Analytická metóda
Funkcia je matematický objekt, ktorý je binárnym vzťahom, ktorý spĺňa určité podmienky. Funkciu možno zadať priamo ako množinu usporiadaných párov, napríklad: existuje funkcia . Táto metóda je však úplne nevhodná pre funkcie na nekonečných množinách (čo sú obvyklé reálne funkcie: mocninná, lineárna, exponenciálna, logaritmická atď.).
Ak chcete zadať funkciu, použite výraz: . pričom X je premenná, ktorá prechádza doménou definície funkcie a r- rozsah hodnôt. Tento záznam označuje prítomnosť funkčného vzťahu medzi prvkami množín. X A r môže prechádzať akýmikoľvek súbormi objektov akejkoľvek povahy. Môžu to byť čísla, vektory, matice, jablká, farby dúhy. Vysvetlime si to na príklade:
Nech je súbor jablko, lietadlo, hruška, stolička a mnoho muž, lokomotíva, námestie. Definujme funkciu f takto: (jablko, osoba), (lietadlo, lokomotíva), (hruška, štvorec), (stolička, osoba). Ak zavedieme premennú x prechádzajúcu množinou a premennú y prechádzajúcu množinou, zadanú funkciu môžeme analyticky špecifikovať ako: .
Číselné funkcie môžu byť špecifikované podobne. Napríklad: kde x prechádza množinou reálnych čísel a definuje nejakú funkciu f. Je dôležité pochopiť, že samotný výraz nie je funkciou. Funkcia ako objekt je množina (usporiadaných párov). A tento výraz ako objekt je rovnosťou dvoch premenných. Definuje funkciu, ale nie je jednou.
V mnohých odvetviach matematiky je však možné označiť pomocou f(x) ako samotnú funkciu, tak aj analytický výraz, ktorý ju definuje. Táto syntaktická konvencia je mimoriadne pohodlná a opodstatnená.
Grafická metóda
Numerické funkcie je možné špecifikovať aj pomocou grafu. Nech je reálna funkcia n premenných.
Uvažujme nejaký (n+1)-rozmerný lineárny priestor nad poľom reálnych čísel (keďže funkcia je reálna). V tomto priestore si vyberieme ľubovoľný základ (). Každý bod funkcie je spojený s vektorom: . Budeme mať teda množinu lineárnych priestorových vektorov zodpovedajúcich bodom danej funkcie podľa zadaného pravidla. Body zodpovedajúceho afinného priestoru vytvoria určitú plochu.
Ak vezmeme euklidovský priestor voľných geometrických vektorov (riadených segmentov) ako lineárny priestor a počet argumentov funkcie f nepresiahne 2, zadaná množina bodov môže byť vizuálne znázornená vo forme kresby (grafu ). Ak sa navyše pôvodná báza považuje za ortonormálnu, získame „školskú“ definíciu grafu funkcie.
Pre funkcie 3 alebo viacerých argumentov nie je táto reprezentácia použiteľná z dôvodu nedostatku geometrickej intuície viacrozmerných priestorov.
Pre takéto funkcie však možno prísť s vizuálnou semi-geometrickou reprezentáciou (napríklad každá hodnota štvrtej súradnice bodu môže byť spojená s určitou farbou na grafe)
Proporcionálne množstvá. Ak premenné r A x sú priamo úmerné
r = k x ,
Kde k- konštantná hodnota ( faktor proporcionality).
Rozvrh priama úmernosť– priamka prechádzajúca počiatkom súradníc a tvoriaca priamku s osou X uhol, ktorého dotyčnica sa rovná k: opálenie = k(obr. 8). Preto sa koeficient proporcionality nazýva aj tzv sklon. Obrázok 8 zobrazuje tri grafy pre k = 1/3, k= 1 a k = 3 .
Lineárna funkcia. Ak premenné r A X súvisia podľa rovnice 1. stupňa:
A x + B y = C ,
kde je aspoň jedno z čísel A alebo B sa nerovná nule, potom je graf tejto funkčnej závislosti priamka. Ak C= 0, potom prejde počiatkom, inak nie. Grafy lineárnych funkcií pre rôzne kombinácie A,B,C sú znázornené na obr.9.
Inverzná úmernosť. Ak premenné r A x sú nepriamo úmerné, potom funkčný vzťah medzi nimi vyjadruje rovnica:
r = k / X,
Kde k- konštantná hodnota.
Inverzne úmerný graf – hyperbola(obr. 10). Táto krivka má dve vetvy. Hyperboly sa získajú, keď sa kruhový kužeľ pretína s rovinou (pre kužeľosečky pozri časť „Kužeľ“ v kapitole „Stereometria“). Ako je znázornené na obr. 10, súčinom súradníc bodov hyperboly je konštantná hodnota, v našom príklade rovná 1. Vo všeobecnom prípade je táto hodnota rovná k, čo vyplýva z rovnice hyperboly: xy = k.
Hlavné charakteristiky a vlastnosti hyperboly:
X 0, rozsah: r 0 ;
Funkcia je monotónna (klesajúca) pri X< 0a o x> 0, ale nie
monotónny celkovo kvôli bodu zlomu X = 0);
Neohraničená funkcia, nespojitá v bode X= 0, nepárne, neperiodické;
- Funkcia nemá nuly.
Kvadratická funkcia. Toto je funkcia: r = sekera 2 + bx + c, Kde a, b, c- trvalý, a b=c= 0 a r = sekera 2. Graf tejto funkcie štvorcová parabola - OY, ktorá sa volá os paraboly.Bodka O vrchol paraboly.
Kvadratická funkcia. Toto je funkcia: r = sekera 2 + bx + c, Kde a, b, c- trvalý, a 0. V najjednoduchšom prípade máme: b=c= 0 a r = sekera 2. Graf tejto funkcie štvorcová parabola - krivka prechádzajúca počiatkom súradníc (obr. 11). Každá parabola má os symetrie OY, ktorá sa volá os paraboly.Bodka O priesečník paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly.
Graf funkcie r = sekera 2 + bx + c- aj štvorcová parabola rovnakého typu ako r = sekera 2, ale jeho vrchol neleží v počiatku, ale v bode so súradnicami:
Tvar a umiestnenie štvorcovej paraboly v súradnicovom systéme úplne závisí od dvoch parametrov: koeficientu a pri X 2 a diskriminačný D:D=b 2 – 4ac. Tieto vlastnosti vyplývajú z analýzy koreňov kvadratickej rovnice (pozri príslušnú časť v kapitole „Algebra“). Všetky možné rôzne prípady pre štvorcovú parabolu sú znázornené na obr.
Hlavné charakteristiky a vlastnosti štvorcovej paraboly:
Rozsah funkcie: < X+ (t.j. X R) a oblasť
hodnoty: … (Prosím, odpovedzte na túto otázku sami!);
Funkcia ako celok nie je monotónna, ale vpravo alebo vľavo od vrcholu
správa sa monotónne;
Funkcia je neobmedzená, nepretržitá všade, aj keď b = c = 0,
a neperiodické;
- pri D< 0 не имеет нулей.
Exponenciálna funkcia. Funkcia r = a x, Kde a- volá sa kladné konštantné číslo exponenciálna funkcia.Argument X prijíma akékoľvek platné hodnoty; funkcie sa považujú za hodnoty iba kladné čísla, keďže inak máme viachodnotovú funkciu. Áno, funkcia r = 81X má pri X= 1/4 štyroch rôznych hodnôt: r = 3, r = 3, r = 3 i A r = 3 i(Skontrolovať prosím!). Ale považujeme to len za hodnotu funkcie r= 3. Grafy exponenciálnej funkcie pre a= 2 a a= 1/2 sú uvedené na obr. Prechádzajú bodom (0, 1). o a= 1 máme graf priamky rovnobežnej s osou X, t.j. funkcia sa zmení na konštantnú hodnotu rovnú 1. Keď a> 1 sa exponenciálna funkcia zvyšuje a pri 0< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:
Rozsah funkcie: < X+ (t.j. X R);
rozsah: r> 0 ;
Funkcia je monotónna: zvyšuje sa s a> 1 a klesá na 0< a < 1;
- Funkcia nemá nuly.
Logaritmická funkcia. Funkcia r=log a x, Kde a– volá sa konštantné kladné číslo, ktoré sa nerovná 1 logaritmický. Táto funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii; jej graf (obr. 18) získame otočením grafu exponenciálnej funkcie okolo osi 1. súradnicového uhla.
Hlavné charakteristiky a vlastnosti logaritmickej funkcie:
Rozsah funkcie: X> 0 a rozsah hodnôt: < r+
(t.j. y R);
Toto je monotónna funkcia: zvyšuje sa ako a> 1 a klesá na 0< a < 1;
Funkcia je neobmedzená, všade nepretržitá, neperiodická;
Funkcia má jednu nulu: X = 1.
Goniometrické funkcie. Pri konštrukcii goniometrických funkcií používame radián miera uhlov.Potom funkcia r= hriech X je znázornená grafom (obr. 19). Táto krivka sa nazýva sínusoida.
Graf funkcie r=cos X znázornené na obr. 20; toto je tiež sínusoida vyplývajúca z pohybu grafu r= hriech X pozdĺž osi X doľava o 2
Z týchto grafov sú zrejmé charakteristiky a vlastnosti týchto funkcií:
doména: < X+ rozsah hodnôt: 1 r +1;
Tieto funkcie sú periodické: ich perióda je 2;
Obmedzené funkcie (| r| , všade kontinuálne, nie monotónne, ale
majúci tzv intervaly monotónnosti, vo vnútri ktorej sa nachádzajú
správať sa ako monotónne funkcie (pozri grafy na obr. 19 a obr. 20);
Funkcie majú nekonečný počet núl (viac podrobností nájdete v časti
"trigonometrické rovnice").
Funkčné grafy r= opálenie X A r= detská postieľka X 21 a 22, v tomto poradí.
Z grafov je zrejmé, že tieto funkcie sú: periodické (ich perióda ,
neobmedzené, vo všeobecnosti nie monotónne, ale majú intervaly monotónnosti
(ktoré?), nespojité (aké body nespojitosti majú tieto funkcie?). región
definície a rozsah hodnôt týchto funkcií:
Funkcie r= Arcin X(obr.23) a r= Arccos X(obr. 24) viachodnotový, neobmedzený; ich doména definície a rozsah hodnôt, v tomto poradí: 1 X+1 a < r+ . Keďže tieto funkcie majú viacero hodnôt, nerobte to
uvažované v elementárnej matematike sa ich hlavné hodnoty považujú za inverzné goniometrické funkcie: r= arcsin X A r= arccos X; ich grafy sú na obr. 23 a obr. 24 zvýraznené hrubými čiarami.
Funkcie r= arcsin X A r= arccos X majú nasledujúce vlastnosti a vlastnosti:
Obe funkcie majú rovnakú definičnú oblasť: 1 X +1 ;
ich rozsah hodnôt: /2 r/2 pre r= arcsin X a 0 r Pre r= arccos X;
(r= arcsin X- zvýšenie funkcie; r= arccos X - klesajúci);
Každá funkcia má jednu nulu ( X= 0 pre funkciu r= arcsin X A
X= 1 pre funkciu r= arccos X).
Funkcie r= Arktan X(obr.25) a r= Arccot X(obr. 26) - viachodnotové, neobmedzené funkcie; ich doména definície: X+ . Ich hlavné významy r= arktan X A r= arccot X sa považujú za inverzné goniometrické funkcie; ich grafy sú na Obr. 25 a Obr. 26 zvýraznené hrubými vetvami.
Funkcie r= arktan X A r= arccot X majú nasledujúce vlastnosti a vlastnosti:
Obe funkcie majú rovnakú definičnú oblasť: X + ;
ich rozsah hodnôt: /2<r < /2 для r= arktan X a 0< r < для r= arccos X;
Funkcie sú obmedzené, neperiodické, spojité a monotónne
(r= arktan X- zvýšenie funkcie; r= arccot X - klesajúci);
Iba funkcia r= arktan X má jednu nulu ( X= 0);
funkciu r= arccot X nemá nuly.
Zloženie funkcií
Ak sú zadané dve mapy a , kde , potom má zmysel „mapa od konca do konca“ daná vzorcom, ktorá sa nazýva zloženie funkcií a a označuje sa .
Obr.1.30 Celoplošné zobrazenie od do
V predikátovej logike sa berú do úvahy dve operácie, ktoré transformujú jednomiestny predikát na výrok, na tento účel sa používajú špeciálne slová, ktoré sa umiestňujú pred predikáty. V logike sa nazývajú kvantifikátory.
Existujú dva typy kvantifikátorov:
1. Všeobecný kvantifikátor;
2. Kvantifikátor existencie.
1. Všeobecný kvantifikátor.
Nech je na množine M definovaný predikát P(x).
Symbol sa nazýva univerzálny kvantifikátor(spoločenstvo). Toto je obrátené prvé písmeno anglického slova All – všetko. Čítajú „všetci“, „každý“, „akýkoľvek“, „každý“. Premenná x in predikát P(x) sa nazýva zadarmo ( môže mať rôzny význam od M), do vyhlásenie volajú x súvisiace univerzálny kvantifikátor.
Príklad č. 1: P(x) – „Prvočíslo x je nepárne“
Pridajme všeobecný kvantifikátor – „Každé prvočíslo x je nepárne“ – nepravdivé tvrdenie.
Výraz je výrok, ktorý je pravdivý, keď P(x) je pravdivé pre každý prvok x z množiny M a inak je nepravdivé. Tento výrok už nezávisí od x.
2. Kvantifikátor existencie.
Nech P(x) - predikát definovaný na množine M. Výrazom rozumieme vyhlásenie, čo je pravda, ak existuje prvok, pre ktorý je P(x) pravda, a inak nepravda. Tento výrok už nezávisí od x. Zodpovedajúci verbálny výraz je: „Existuje x také, že P(x) je pravdivé. Symbol sa nazýva kvantifikátor existencie. Vo výroku je premenná x viazaná týmto kvantifikátorom (k nej je pripojený kvantifikátor).
(Prečítajte si: „V M je x také, že P v x je pravdivé.“)
Výraz je výrok, ktorý je pravdivý, ak existuje prvok x€M (aspoň jeden), pre ktorý je P(x) pravdivé a inak nepravdivé.
Príklad č. 2: P(x) „Číslo x je násobkom 5“
Akékoľvek prirodzené číslo je násobkom 5"
Každé prirodzené číslo je násobkom 5" nepravdivých tvrdení
Všetky prirodzené čísla sú násobky 5."
Existuje prirodzené číslo deliteľné 5
Nájdite prirodzené číslo deliteľné 5 pravdivými tvrdeniami
Aspoň jedno prirodzené číslo je deliteľné 5
Kvantifikátorové operácie sa vzťahujú aj na predikáty s viacerými miestami. Nech je napríklad na množine M daný dvojmiestny predikát P(x,y). Aplikácia kvantifikačnej operácie na predikát P(x,y) vzhľadom na premennú x dáva do súladu s dvojmiestnym predikátom P(x,y) jednomiestny predikát (alebo jednomiestny predikát) v závislosti od premennú y a nezávislú od premennej x. Môžete na ne aplikovať kvantifikátorové operácie na premennej y, čo povedie k príkazom nasledujúcich typov:
Na zostavenie negácií s kvantifikátormi potrebujete:
1) nahradiť kvantifikátor všeobecnosti kvantifikátorom existencie a nahradiť kvantifikátor existencie kvantifikátorom všeobecnosti;
2) nahraďte predikát jeho negáciou.
Platia teda nasledujúce vzorce:
Negácia vety by sa mala písať ako a negácia vety ako . Je zrejmé, že veta má rovnaký význam, a teda aj rovnakú pravdivostnú hodnotu ako veta a veta má rovnaký význam ako veta. Inými slovami, je ekvivalentné ; ekvivalent
PRÍKLAD č.3. Zostrojte negáciu výroku „Niektoré dvojciferné čísla sú deliteľné 12“.
Riešenie. Nahradme kvantifikátor existencie (vyjadrený slovom „niektorí“) kvantifikátorom všeobecnosti „všetci“ a zostrojme negáciu vety za slovom „niektorí“, pričom časticu „nie“ umiestnime pred slovesa. Dostaneme výrok „Všetky dvojciferné čísla nie sú deliteľné 12“.
PRÍKLAD č.4. Formulujte negáciu výroku „V každej triede aspoň jeden žiak neuspel v teste“.
Riešenie: Tento výrok obsahuje všeobecný kvantifikátor vyjadrený slovom „každý“ a kvantifikátor existencie vyjadrený slovami „aspoň jeden“. Podľa pravidla pre konštrukciu negácií výrokov s kvantifikátormi je potrebné nahradiť kvantifikátor všeobecnosti kvantifikátorom existencie a kvantifikátor existencie kvantifikátorom všeobecnosti a odstrániť časticu „nie“ zo slovesa. Dostaneme: "Existuje trieda, v ktorej všetci študenti prešli testom."
Pri štúdiu expresívnych foriem (predikátov) bol naznačený jeden zo spôsobov získania výrokov: substitúcia nejakej hodnoty premennej v P(x) z určitej množiny A. Napr.
P(x): "x je prvočíslo." Dosadením x = 7 dostaneme výrok
"7 je prvočíslo." Zoznámime sa ešte s dvomi logickými operáciami: pripojením všeobecného kvantifikátora a existenčného kvantifikátora, ktoré nám umožňujú získavať výroky z expresívnych foriem.
Pred výrazovú formu P(x) dosadíme slovo „akýkoľvek“: „akékoľvek x je prvočíslo“. Dostali sme nepravdivé vyhlásenie. Pred P(x) dosaďte slovo „niektoré“: „niektoré čísla x sú prvočísla“. Dostali sme pravdivé vyhlásenie.
V matematike sa slová „akýkoľvek“, „niektoré“ a ich synonymá nazývajú kvantifikátory, ktoré sa nazývajú všeobecný kvantifikátor (") a kvantifikátor existencie ($). Všeobecný kvantifikátor sa v slovných formuláciách nahrádza slovami: ľubovoľný , všetci, každý, každý atď. Kvantifikátor existencie v slovesnej formulácii nahrádzame slovami: existuje, aspoň jeden, je nejaký atď.
Nech P(x) je expresívny tvar na M. Zápis
("хОМ) Р(х)
znamená: pre ľubovoľný prvok x (z množiny M) platí P(x), čo je už výrok. Aby ste dokázali, že tvrdenie („x)P(x) je pravdivé, musíte prejsť cez všetky prvky a, b, c atď. z M a uistiť sa, že P(a), P(b), P( c) ,... sú pravdivé, a ak nie je možné vymenovať prvky M, musia argumentáciou dokázať, že pre ľubovoľné a z M platí tvrdenie P(a). Na overenie, že ("x)P( x) je nepravda, stačí nájsť len jeden prvok AOM, pre ktorý je P(a) nepravda.
PRÍKLAD. Expresívna forma daná
B(x): "je prvočíslo."
B(1): 2 2 + 1 = 5 - prvočíslo;
B(2): = 17 - prvočíslo;
B(3): = 257 - prvočíslo;
B(4): = 65537 je prvočíslo.
Môžeme povedať, že ("x)B(x)? To treba dokázať. Leonard Euler dokázal, že B(5) je nepravda, t.j. + 1 = 2 32 + 1 je deliteľné číslom 641, a preto (" x) B(x) - nepravda.
PRÍKLAD. Zvážte výrok ("x)C(x), kde on N dané C(x): "x 3 + 5x je delené 6."
Je zrejmé, že C(1), C(2), C(3), C(4) sú pravdivé. Ale ak skontrolujeme čo i len milión hodnôt x, vždy existuje nebezpečenstvo, že pre prvý milión hodnôt x sa výrok C(x) ukáže ako nepravdivý.
Môžete to dokázať napríklad takto:
x 3 + 5x = x 3 - x + 6x = x(x 2 - 1) + 6x = (x - 1)x(x + 1) + 6x
Výraz (x - 1)x(x + 1) je deliteľný 3, keďže z troch po sebe idúcich prirodzených čísel je aspoň jedno deliteľné 3; tento výraz je tiež deliteľný 2, keďže z troch po sebe idúcich čísel je jedno alebo dve párne čísla. Druhý člen 6x je deliteľný 6, preto je celý súčet deliteľný 6, t.j. ("x)C(x) - pravda.
Nech C(x) je nejaký expresívny tvar. Záznam
znamená: existuje prvok x z množiny M, pre ktorý platí C(x). ($x)C(x) je už vyhlásenie. Ak v množine M nájdeme prvok a, pre ktorý platí C(a), potom je výrok ($x)C(x) pravdivý. Ak v M nie je jediný prvok a, pre ktorý platí C(a), výrok ($x)C(x) je nepravdivý.
PRÍKLAD. Na scéne N dané C(x):" ". C(1) - nepravda, C(2) - nepravda, C(5) - pravda. Preto je ($x)C(x) pravdivé tvrdenie.
PRÍKLAD. Na scéne N dané pomocou K(x): „x 2 + 2x + 3 je delené 7“. K(1) = 6, 6 nie je deliteľné 7; K(2) = 11, 11 nie je deliteľné 7 atď.
Hypotéza: ($x)K(x) - nepravdivá.
Poďme to dokázať. Podľa deliacej vety so zvyškom môže byť akékoľvek prirodzené číslo reprezentované ako n = 7q + r, kde r< 7.
n2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2 (7q + r) + 3 = 7 (7q 2 + 2qr + 2q) + r2 + 2r + 3.
Takže číslo n 2 + 2n + 3 je deliteľné 7 práve vtedy, ak r 2 + 2r + 3 je deliteľné 7. Zvyšok je r О ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ). Pomocou metódy hrubej sily sa presvedčíme, že r 2 + 2r + 3 nie je deliteľné číslom 7. Takže ($x)K(x) je nepravda.
Ako zostrojiť negáciu výroku s kvantifikátorom?
Aby bolo možné skonštruovať negáciu výroku s kvantifikátorom, je potrebné nahradiť všeobecný kvantifikátor (") existenčným kvantifikátorom ($) a naopak, existenčný kvantifikátor všeobecným kvantifikátorom a vetu, ktorá nasleduje za kvantifikátorom s jeho negáciou, t.j.
[("x)P(x) Û ($x) P(x);
[($x)P(x) Û ("x) P(x).
Predpokladajme napríklad, že sú uvedené dve vyhlásenia:
A: „každé prvočíslo je nepárne“;
Otázka: Každé prvočíslo je párne.
Bude B negáciou A? Nie, pretože žiadne z tvrdení nie je pravdivé. V tomto prípade
A: „nie každé prvočíslo je nepárne, t.j. existuje párne prvočíslo“ je pravdivé tvrdenie.
V budúcnosti uvažujeme, že negácia vety sa skonštruuje vtedy, ak sa jej negácia jednoducho zapíše, ale výsledná veta sa pretransformuje do tvaru, kde sa pred jednoduchšími výrazmi objavia znaky negácie. Napríklad negácia vety v tvare A Ù B sa nebude považovať za (A Ù B), ale za jej ekvivalent: A Ú B.
Nech A(x,y) je expresívny tvar s dvoma premennými.
Potom ("x)A(x,y), ($x)A(x,y), ("x)A(x,y), ($x)A(x,y) sú tiež expresívne formy, ale s jedna premenná. V tomto prípade sa hovorí, že kvantifikátor spája jednu premennú. Na získanie výroku z expresívneho tvaru A(x,y) je potrebné spojiť obe premenné. Napríklad ("x)($y)A(x,y) je výrok.
Pre expresívny tvar P(x,y): „ x< y”, заданной на Z, zvážte všetky prípady získania výroku pridaním (s) kvantifikátormi:
1) ("x)("y)P(x,y) Û l - "Pre každé x a pre každé y x< y”;
2) („y) („x) (x< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;
3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;
4) ($y)($x) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;
5) („x) ($y) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;
6) ($y)("x) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;
7) ("y)($x) (x< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;
8) ($x)("y) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.
` Venujte pozornosť tvrdeniam (1) a (2), (3) a (4). Štruktúry týchto tvrdení sa líšia iba v poradí kvantifikátorov s rovnakým názvom, ale význam a pravdivostné hodnoty vyhlásení sa nemenia.
Výroky (5) a (6), (7) a (8) sa líšia v poradí, v akom sa objavujú opačné kvantifikátory, čo vedie k zmene významu a prípadne aj pravdivosti výroku. Vyhlásenie (7) tvrdí prítomnosť v Z najmenšie číslo, ktoré je nepravdivé. (8) uvádza, že nič také ako pravda neexistuje.
Teoretické otázky:
1. Pojem predikátu z jednej alebo viacerých premenných.
2. Príklady jednomiestnych a dvojmiestnych predikátov. 3. Oblasť pravdivosti predikátu.
4. Kvantifikátory všeobecnosti a existencie. Voľné a viazané premenné. Operácie na predikátoch. Čo je doménou pravdy; ; ; ? Poskytnite geometrické interpretácie.
5. Transformácia formúl predikátovej logiky. Definícia identicky pravdivého a identicky nepravdivého predikátu, súvislosť s doménou pravdy. Základné ekvivalencie.
Cvičenia
5.1. Zadajte niekoľko hodnôt premenných, pre ktoré sú nasledujúce predikáty pravdivé alebo nepravdivé:
1. x 2, x О N; 9. = - x, x 0R;
2. x< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,
3. x > 6® x ³ 3, xÎZ; 11. sin x = - , xО R;
4. x + 3x +6 = 0, x О R; 12. cos x =, x ОR;
5 = 0, xÎR; 13. x ³ y , x, y О R;
6. | x - 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;
7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x О R; 15. x (y - 1) = 0, x, yÎR;
8. = x, x 0R; 16. x + y = 4, x, y ОR.
5.2. Nájdite doménu pravdy predikátov v cvičení 5.1. Nakreslite prípady 13 - 16 na rovinu súradníc.
5.3.
1 = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;
2. = ; 8. | 5x - 3 |< 7;
3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;
4. 
; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;
5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;
6. > 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4.
5.4. Nájdite doménu pravdivosti predikátov:
1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 - 0,5 x);
2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);
3. (- +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );
4. (- + x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );
5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x(x - 5);
6.((x - 6x + 9)(2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);
7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)
8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;
9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );
Podobné články
