Ciele lekcie:

• naučiť študentov riešiť rovnice vyšších stupňov pomocou Hornerovej schémy;
• rozvíjať schopnosť pracovať vo dvojiciach;
• vytvoriť v spojení s hlavnými časťami kurzu základ pre rozvoj schopností študentov;
• pomôcť študentovi posúdiť jeho potenciál, rozvíjať záujem o matematiku, schopnosť myslieť a vyjadrovať sa k téme.

Vybavenie: karty pre skupinovú prácu, plagát s Hornerovým diagramom.

Vyučovacia metóda: prednáška, príbeh, vysvetlenie, vykonávanie tréningových cvičení.

Forma kontroly: kontrola samostatného riešenia problémov, samostatná práca.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

2. Aktualizácia vedomostí žiakov

Ktorá veta vám umožňuje určiť, či je číslo koreňom danej rovnice (formulovať vetu)?

Bezoutova veta. Zvyšok delenia polynómu P(x) binomom x-c sa rovná P(c), číslo c sa nazýva koreň polynómu P(x), ak P(c)=0. Veta umožňuje bez vykonania operácie delenia určiť, či je dané číslo koreňom polynómu.

Aké výroky uľahčujú hľadanie koreňov?

a) Ak je vodiaci koeficient polynómu rovný jednej, potom korene polynómu treba hľadať medzi deliteľmi voľného člena.

b) Ak je súčet koeficientov polynómu 0, potom jeden z koreňov je 1.

c) Ak sa súčet koeficientov na párnych miestach rovná súčtu koeficientov na nepárnych miestach, potom sa jeden z koreňov rovná -1.

d) Ak sú všetky koeficienty kladné, potom korene polynómu sú záporné čísla.

e) Polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden skutočný koreň.

3. Učenie sa nového materiálu

Pri riešení celých algebraických rovníc musíte nájsť hodnoty koreňov polynómov. Táto operácia môže byť výrazne zjednodušená, ak sa výpočty vykonávajú pomocou špeciálneho algoritmu nazývaného Hornerova schéma. Tento okruh je pomenovaný po anglickom vedcovi Williamovi Georgeovi Hornerovi. Hornerova schéma je algoritmus na výpočet kvocientu a zvyšku delenia polynómu P(x) x-c. Stručne ako to funguje.

Nech je daný ľubovoľný polynóm P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Delením tohto polynómu x-c dostaneme jeho zobrazenie v tvare P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Čiastkové g(x)=v 0 x n-1 + v n x n-2 +...+v n-2 x + v n-1, kde v 0 =a 0, v n =st n-1 +a n , n=1,2,3,...n-1. Zvyšok r(x)= st n-1 +a n. Táto metóda výpočtu sa nazýva Hornerova schéma. Slovo „schéma“ v názve algoritmu je spôsobené tým, že jeho implementácia je zvyčajne formátovaná nasledovne. Najprv nakreslite tabuľku 2 (n+2). Do ľavej dolnej bunky napíšte číslo c a do horného riadku koeficienty polynómu P(x). V tomto prípade zostane ľavá horná bunka prázdna.

	v 0 = a 0	v 1 = st 1 + a 1	v 2 = sv 1 + A 2		v n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 + a n

Číslo, ktoré sa po vykonaní algoritmu ukáže ako zapísané v pravej dolnej bunke, je zvyšok delenia polynómu P(x) x-c. Ostatné čísla v 0, v 1, v 2,... v spodnom riadku sú koeficienty kvocientu.

Napríklad: Rozdeľte polynóm P(x)= x 3 -2x+3 x-2.

Dostaneme, že x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Konsolidácia študovaného materiálu

Príklad 1: Rozložte polynóm P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 do faktorov s celočíselnými koeficientmi.

Hľadáme celé korene medzi deliteľmi voľného termínu -1: 1; -1. Urobme si tabuľku:

X = -1 – koreň

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Skontrolujeme 1/2.

					X = 1/2 - koreň

Preto môže byť polynóm P(x) reprezentovaný v tvare

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Príklad 2: Vyriešte rovnicu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Keďže súčet koeficientov polynómu zapísaných na ľavej strane rovnice je rovný nule, potom jeden z koreňov je 1. Použijeme Hornerovu schému:

						X = 1 - koreň

Dostaneme P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Budeme hľadať korene medzi deliteľmi voľného termínu 2.

Zistili sme, že tam už nie sú neporušené korene. Skontrolujeme 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - koreň

Odpoveď: 1; -1/2.

Príklad 3: Vyriešte rovnicu 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Korene tejto rovnice budeme hľadať medzi deliteľmi voľného člena 5: 1;-1;5;-5. x=1 je koreň rovnice, pretože súčet koeficientov je nula. Využime Hornerovu schému:

Uveďme rovnicu ako súčin troch faktorov: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Riešením kvadratickej rovnice 5x 2 -7x+5=0 sme dostali D=49-100=-51, neexistujú žiadne korene.

Karta 1

1. Faktor polynómu: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Vyriešte rovnicu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

karta 2

1. Faktor polynómu: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Vyriešte rovnicu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

karta 3

1. Započítajte: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Riešte rovnicu: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Karta 4

1. Faktor: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Riešte rovnicu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Zhrnutie

Testovanie vedomostí pri riešení vo dvojiciach prebieha na hodine rozpoznávaním spôsobu akcie a názvu odpovede.

Domáca úloha:

Riešte rovnice:

a) x 4 - 3 x 3 + 4 x 2 - 3 x + 1 = 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4 x 2

d) x 4 + 2 x 3 - x - 2 = 0

Literatúra

1. N.Ya. Vilenkin a kol., Algebra a začiatky analýzy, ročník 10 (hĺbkové štúdium matematiky): Osvietenie, 2005.
2. U.I. Sacharčuk, L.S. Sagatelova, Riešenie rovníc vyšších stupňov: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Číselné sústavy a ich aplikácia.

2 Hornerova schéma

3 Voľné funkcie

4 Hľadanie koreňov polynómov

Zoznam použitých informačných zdrojov

1 Hľadanie koreňov rovníc (1. časť rovnice)

Jednou z najbežnejších metód hľadania koreňov rovníc je Newtonova metóda a jej modifikácie. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť rovnicu

. Budeme predpokladať, že x je riešením rovnice. Rozšírme funkciu f(x) do radu v bode x0 blízkom bodu x a obmedzme sa len na prvé dva členy rozšírenia.

Pretože x je koreň rovnice, potom

. teda

Ak teda poznáme približnú hodnotu koreňa rovnice, výsledná rovnica nám ju umožňuje spresniť. Je jasné, že proces spresňovania možno mnohokrát opakovať, kým sa hodnota funkcie nelíši od nuly o hodnotu menšiu, než je špecifikovaná presnosť vyhľadávania. Ďalšiu k-tu aproximáciu nájdeme podľa vzorca

Obmedzením expanzie iba na prvé dva členy sme v skutočnosti nahradili funkciu f(x) priamočiarou dotyčnicou v bode x0, a preto sa Newtonova metóda nazýva aj metóda dotyčnice. Nie je vždy vhodné nájsť analytický výraz pre deriváciu funkcie. To však nie je zvlášť potrebné: keďže v každom kroku získame približnú hodnotu koreňa, môžeme použiť približnú hodnotu derivácie na jej výpočet.

Ako malé množstvo

môžete vziať napríklad danú presnosť výpočtu, potom bude mať vzorec výpočtu formu (1.1)

Na druhej strane, na výpočet derivácie môžete použiť hodnoty funkcií získané v predchádzajúcich dvoch krokoch,

(1.2)

V tejto forme sa metóda nazýva sekantová metóda. V tomto prípade však nastáva problém s výpočtom prvej aproximácie. Zvyčajne sa tomu verí

to znamená, že prvý krok výpočtov sa vykonáva pomocou vzorca (1.1) a všetky nasledujúce kroky sa vykonávajú pomocou vzorca (1.2). Práve táto výpočtová schéma je implementovaná v balíku Mathcad. Použitím sekantovej metódy nemôžeme zaručiť, že koreň leží medzi poslednými dvoma aproximáciami. Je však možné vypočítať ďalšiu aproximáciu pomocou hraníc intervalu, v ktorom funkcia mení znamienko. Táto metóda sa nazýva akordová metóda (falsepositionmethod).

Myšlienka sekantovej metódy je rozvinutá v Mullerovej metóde. Pri tejto metóde sa však tri predchádzajúce body používajú na nájdenie ďalšej aproximácie. Inými slovami, metóda nepoužíva lineárnu, ale kvadratickú interpoláciu funkcie. Výpočtové vzorce metódy sú nasledovné:

Znamienko pred odmocninou je zvolené tak, aby absolútna hodnota menovateľa bola maximálna.

Pretože hľadanie koreňa končí, keď je splnená podmienka

, potom sa môžu objaviť falošné korene. Napríklad pri rovnici sa zobrazí falošný koreň, ak je presnosť vyhľadávania nastavená na menej ako 0,0001. Zvýšením presnosti vyhľadávania sa môžete zbaviť falošných koreňov. Tento prístup však nefunguje pre všetky rovnice. Napríklad pre rovnicu , ktorá zjavne nemá žiadne skutočné korene, pre akúkoľvek presnosť, bez ohľadu na to, aká malá, existuje hodnota x, ktorá spĺňa kritérium pre ukončenie vyhľadávania. Vyššie uvedené príklady ukazujú, že výsledky počítačových výpočtov by sa mali vždy posudzovať kriticky a mali by sa analyzovať z hľadiska vierohodnosti. Aby ste sa vyhli nástrahám pri používaní akéhokoľvek štandardného balíka, ktorý implementuje numerické metódy, musíte aspoň minimálne rozumieť tomu, ktorá numerická metóda je implementovaná na vyriešenie konkrétneho problému.

V prípade, že je známy interval, na ktorom sa nachádza koreň, môžete použiť iné metódy na nájdenie riešenia rovnice.

Ridderova metóda vypočítava hodnotu funkcie v strede intervalu

. Potom vyhľadajte exponenciálnu funkciu takú, že Potom použite metódu akordu pomocou hodnôt . Ďalšia hodnota sa vypočíta pomocou vzorca (1.5)

Brentova metóda kombinuje rýchlosť Ridderovej metódy a zaručenú konvergenciu bisekčnej metódy. Metóda používa inverznú kvadratickú interpoláciu, to znamená, že hľadá x ako kvadratickú funkciu y. V každom kroku sa kontroluje umiestnenie koreňa. Vzorce metódy sú dosť ťažkopádne a nebudeme ich uvádzať.

Na nájdenie koreňov polynómu sa používajú špeciálne metódy. V tomto prípade možno nájsť všetky korene. Po nájdení jedného z koreňov polynómu možno stupeň polynómu znížiť a potom sa hľadanie koreňa zopakuje.

Lobačevského metóda, metóda približného (numerického) riešenia algebraických rovníc, ktorú nezávisle od seba našli belgický matematik J. Dandelin, ruský matematik N. I. Lobačevskij (v roku 1834 v najdokonalejšej podobe) a švajčiarsky matematik C. Greffe. Podstatou lineárnej metódy je zostrojiť rovnicu f1(x) = 0, ktorej korene sú odmocniny pôvodnej rovnice f(x) = 0. Potom sa zostrojí rovnica f2(x) = 0, odmocniny z rovnice f1(x) = 0. Niekoľkonásobným opakovaním tohto procesu vznikne rovnica, ktorej korene sú veľmi oddelené. Ak sú všetky korene pôvodnej rovnice skutočné a líšia sa v absolútnej hodnote, existujú jednoduché výpočtové schémy pre lineárne metódy na nájdenie približných hodnôt koreňov. V prípade koreňov rovnakých v absolútnej hodnote, ako aj komplexných koreňov, sú výpočtové schémy lineárnych metrov veľmi zložité.

Laguerrova metóda je založená na nasledujúcich vzťahoch pre polynómy

Znamienko pred koreňom sa volí tak, aby sa získala najväčšia hodnota menovateľa.

Ďalšou metódou, ktorá sa používa na nájdenie koreňov polynómov, je metóda sprievodnej matice. Dá sa dokázať, že matica

nazývaná sprievodná matica pre polynóm

, má vlastné hodnoty rovné koreňom polynómu. Pripomeňme, že vlastné hodnoty matice sú tie čísla , pre ktoré platí rovnosť alebo . Existujú veľmi účinné metódy na nájdenie vlastných hodnôt, o niektorých z nich budeme diskutovať ďalej. Problém hľadania koreňov polynómu teda možno zredukovať na problém hľadania vlastných hodnôt sprievodnej matice.

2 Hornerova schéma

Výpočet pomocou Hornerovej schémy sa ukazuje ako efektívnejší a nie je príliš zložitý. Táto schéma je založená na nasledujúcom znázornení polynómu:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Zoberme si všeobecný polynóm tvaru:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Budeme predpokladať, že všetky koeficienty an, ..., a0 sú známe, konštantné a uložené v poli. To znamená, že jediným vstupom na vyhodnotenie polynómu je hodnota x a výstupom programu musí byť hodnota polynómu v bode x.

Vlastnosti

kde sú (vo všeobecnom prípade komplexné) korene polynómu, prípadne s opakovaniami, a ak sú medzi koreňmi polynómu rovnaké, ich spoločná hodnota sa nazýva viacnásobný koreň.

Hľadanie koreňov

Metóda hľadania koreňov lineárnych a kvadratických polynómov, teda metóda riešenia lineárnych a kvadratických rovníc, bola známa už v staroveku. Hľadanie vzorca na presné riešenie všeobecnej rovnice tretieho stupňa pokračovalo dlho (treba spomenúť metódu navrhnutú Omarom Khayyamom), až kým nebolo v prvej polovici 16. storočia korunované úspechom v prac. zo Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia a Gerolamo Cardano. Vzorce pre korene kvadratických a kubických rovníc umožnili pomerne jednoducho získať vzorce pre korene rovníc štvrtého stupňa.

To, že korene všeobecnej rovnice piateho stupňa a vyššie nemožno vyjadriť pomocou racionálnych funkcií a radikálov koeficientov, dokázal v roku 1826 nórsky matematik Niels Abel. To vôbec neznamená, že korene takejto rovnice nemožno nájsť. Po prvé, v špeciálnych prípadoch, pre určité kombinácie koeficientov, môžu byť korene rovnice určené s určitou vynaliezavosťou. Po druhé, existujú vzorce pre korene rovníc stupňa 5 a vyššie, ktoré však využívajú špeciálne funkcie – eliptické alebo hypergeometrické (pozri napr. Bring root).

Ak sú všetky koeficienty polynómu racionálne, potom nájdenie jeho koreňov vedie k nájdeniu koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi. Pre racionálne korene takýchto polynómov existujú algoritmy na hľadanie kandidátov vyhľadávaním pomocou Hornerovej schémy a pri hľadaní celých koreňov možno vyhľadávanie výrazne obmedziť vyčistením koreňov. Aj v tomto prípade môžete použiť polynomický algoritmus LLL.

Na približné nájdenie (s akoukoľvek požadovanou presnosťou) reálnych koreňov polynómu s reálnymi koeficientmi sa používajú iteračné metódy, napr. metóda sečnice, metóda bisekcie, Newtonova metóda. Počet reálnych koreňov polynómu na intervale možno odhadnúť pomocou Sturmovej vety.

pozri tiež

Poznámky

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Kanalizácia
• Slovník pojmov vexilológie

Pozrite sa, čo je „koreň polynómu“ v iných slovníkoch:

Koreň algebraickej rovnice

Koreň rovnice- Koreň polynómu nad poľom k je prvok, ktorý po jeho dosadení za x zmení rovnicu na identitu. Vlastnosti Ak c je koreň polynómu p(x ... Wikipedia

Prineste koreň- Skontrolujte informácie. Je potrebné skontrolovať správnosť faktov a spoľahlivosť informácií uvedených v tomto článku. Na diskusnej stránke by malo byť vysvetlenie. V algebre je Bring root alebo ultraradikál analytická funkcia taká, že pre... ... Wikipédiu

koreň (jednoznačné označenie)- Koreň: Wikislovník má článok „koreň“ Koreň (v botanike) je vegetatívny axiálny podzemný orgán rastliny, ktorá má sp ... Wikipedia

koreň (v matematike)- Koreň v matematike, 1) K. stupeň n čísla a ≈ číslo x (označené), ktorého n-tý stupeň sa rovná a (tj xn = a). Akcia nájdenia K. sa nazýva extrakcia koreňov. Pre ¹ 0 existuje n rôznych hodnôt K. (všeobecne povedané ... ...

Root- Koreň (radix) je jedným z hlavných vegetatívnych orgánov listnatých rastlín (s výnimkou machov), ktorý slúži na pripevnenie k substrátu, absorpciu vody a živín z neho, primárnu premenu množstva absorbovaných látok,.. .... Veľká sovietska encyklopédia

ROOT- 1) K. stupeň n od čísla a číslo n a i stupeň x n k číslu sa rovná a. 2) Rovnica algebraickej rovnice nad poľom K, prvkom, ktorý po jeho dosadení na miesto zmení rovnicu na identitu. K. tejto rovnice sa nazýva. aj K. polynóm Ak sa objaví... ... Matematická encyklopédia

Viacnásobný koreň- polynóm f (x) = a0xn + a1xn ​​​​1 +... + an, číslo c také, že f (x) je deliteľné bezo zvyšku druhou alebo vyššou mocninou dvojčlenu (x c). V tomto prípade sa c nazýva koreň násobnosti, ak f (x) je deliteľné (x c) k, ale nie... ... Veľká sovietska encyklopédia

Konjugovaný koreň- Ak je daný nejaký neredukovateľný polynóm nad kruhom a sú vybrané niektoré jeho korene v predĺžení, potom sa združený koreň pre daný koreň polynómu nazýva ľubovoľný koreň polynómu ... Wikipedia

Druhá odmocnina z 2- rovná sa dĺžke prepony v pravouhlom trojuholníku s dĺžkou nohy 1. Druhá odmocnina z čísla 2 je kladná ... Wikipedia

Ak je funkcia f(x) polynóm, potom všetky jej korene možno určiť pomocou vstavanej funkcie

kde v je vektor zložený z koeficientov polynómu.

Keďže polynóm n-tého stupňa má presne n koreňov (niektoré z nich môžu byť násobky), vektor v musí pozostávať z n+1 prvkov. Výsledkom funkcie polyroots() je vektor zložený z n koreňov príslušného polynómu. V tomto prípade nie je potrebné zavádzať žiadnu počiatočnú aproximáciu, ako v prípade funkcie root(). Príklad hľadania koreňov polynómu štvrtého stupňa je na obr. 4.6:

Ryža. 4.6. Hľadanie koreňa polynómu

Koeficienty polynómu uvažované v príklade sú zapísané ako stĺpcový vektor začínajúci voľným členom a končiaci koeficientom s najvyššou mocninou x n.

Pre funkciu polyroots() si môžete vybrať jednu z dvoch numerických metód – metódu Laggerovho polynómu (štandardne je nainštalovaná) alebo metódu párovej matice. Ak chcete zmeniť metódu, musíte vyvolať kontextové menu kliknutím pravým tlačidlom myši na slovo polyroots a vybrať buď LaGuerre alebo Companion Matrix v hornej časti kontextového menu. Potom je potrebné kliknúť mimo funkcie polyroots - a ak je zapnutý režim automatického výpočtu, korene polynómu sa prepočítajú v súlade s novo zvolenou metódou.

Aby ste výber metódy riešenia nechali na Mathcad, musíte zaškrtnúť políčko AutoSelect výberom položky s rovnakým názvom v rovnakom kontextovom menu.

Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Zvážte riešenie systému n nelineárnych rovníc s m neznámymi

f 1 (x 1,...,x m) = 0,

f n (x 1,...,x m) = 0,

Tu f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) sú niektoré skalárne funkcie skalárnych premenných x 1 ,... ,х m a príp. , z akýchkoľvek iných premenných. V rovniciach môže byť viac alebo menej premenných. Všimnite si, že vyššie uvedený systém môže byť formálne prepísaný ako

kde x je vektor zložený z premenných x 1,...,x m a f (x) je zodpovedajúca vektorová funkcia.

Na riešenie systémov existuje špeciálna výpočtová jednotka pozostávajúca z troch častí, ktoré prichádzajú postupne za sebou:

Dané - kľúčové slovo;

Systém napísaný pomocou booleovských operátorov vo forme rovnosti a prípadne nerovností;

Find(x 1,...,x m) - vstavaná funkcia na riešenie systému vzhľadom na premenné x 1,...,x m.

Blok Given/Find používa na nájdenie riešenia iteračné metódy, preto je rovnako ako funkcia root() potrebné nastaviť počiatočné hodnoty pre všetky x 1,...,x m. Toto je potrebné urobiť pred napísaním kľúčového slova Given. Hodnota funkcie Find je vektor zložený z riešenia pre každú premennú. Počet vektorových prvkov sa teda rovná počtu argumentov Find.

Pozrime sa na príklad. Vyriešte sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi:

s presnosťou 0,01. Oddeľte korene graficky.

Uveďme rovnice systému vo forme nasledujúcich funkcií jednej premennej:

Vyberme diskrétne hodnoty premenných:

Poďme nájsť korene rovnice pomocou bloku Given – Find():

Na obr. 4.7 ukazuje ďalší príklad riešenia sústavy dvoch rovníc:

Ryža. 4.7. Riešenie sústavy rovníc

Najprv Obr. 4.7 sú zavedené funkcie, ktoré definujú sústavu rovníc. Potom sa premenným x a y, voči ktorým sa to bude riešiť, priradia počiatočné hodnoty. Nasleduje kľúčové slovo Given a dva boolovské operátory rovnosti vyjadrujúce predmetnú sústavu rovníc. Výpočtový blok dopĺňa funkcia Find, ktorej hodnota je priradená vektoru v. Potom sa vytlačí obsah vektora v, teda riešenie sústavy. Prvý prvok vektora je prvým argumentom funkcie Find, druhý prvok je jej druhým argumentom. Na záver bola skontrolovaná správnosť riešenia rovníc. Všimnite si, že rovnice môžu byť definované priamo vo výpočtovej jednotke.

Grafická interpretácia uvažovaného systému je uvedená na obr. 4.8. Každá z rovníc je znázornená v rovine xy grafom. Prvá rovnica je znázornená krivkou, druhá plnou čiarou. Dva priesečníky kriviek zodpovedajú súčasnému vykonávaniu oboch rovníc, t.j. požadovaným reálnym koreňom systému. Ako je ľahko vidieť, na obr. 4.7 bolo nájdené iba jedno z dvoch riešení - nachádza sa v pravej dolnej časti grafu. Ak chcete nájsť druhé riešenie, mali by ste zopakovať výpočty a zmeniť počiatočné hodnoty tak, aby ležali bližšie k inému priesečníku grafu grafy, napríklad x = -1, y = -1.

Ryža. 4.8. Grafické riešenie sústavy dvoch rovníc

Uvažovalo sa o príklade sústavy dvoch rovníc a rovnakého počtu neznámych, ktorá sa vyskytuje najčastejšie. Sú však prípady, kedy sa počet rovníc a neznámych nemusí zhodovať. Okrem toho je možné do výpočtovej jednotky pridať ďalšie podmienky vo forme nerovností. Napríklad zavedenie obmedzenia na vyhľadávanie iba záporných hodnôt x v príklade diskutovanom vyššie povedie k nájdeniu iného riešenia, ako je znázornené na obr. 4.9:

Ryža. 4.9. Riešenie sústavy rovníc a nerovníc

Napriek rovnakým počiatočným hodnotám ako na obr. 4.8, na obr. 4.9 sa získa ďalší koreň. Stalo sa tak práve vďaka zavedeniu ďalšej nerovnosti, ktorá je definovaná v bloku Dané (x< 0).

Ak sa pokúsite vyriešiť nekompatibilný systém, Mathcad zobrazí chybové hlásenie, že nebolo nájdené žiadne riešenie a mali by ste skúsiť zmeniť počiatočné hodnoty alebo chybovú hodnotu.

Výpočtová jednotka používa konštantu CTOL na odhad chyby pri riešení rovníc zadaných po kľúčovom slove Dané. Napríklad, ak CTOL=0,001, potom rovnica x=10 sa bude považovať za splnenú pri x=10,001 aj pri x=9,999. Ďalšia konštanta TOL určuje podmienku pre zastavenie iterácií numerickým algoritmom. Hodnotu CTOL môže zadať užívateľ rovnakým spôsobom ako TOL, napríklad CTOL:=0,01. V predvolenom nastavení sa predpokladá, že CTOL=TOL=0,001, ale v prípade potreby ich môžete prepísať.

Osobitnú pozornosť treba venovať pri riešení systémov s väčším počtom neznámych, ako je počet rovníc. Môžete napríklad odstrániť jednu z dvoch rovníc z obrázku, ktorý sme skúmali. 4.7, snažiac sa vyriešiť jedinú rovnicu g(x,y)=0 s dvoma neznámymi x a y. V tejto formulácii má úloha nekonečný počet koreňov: pre ľubovoľné x a teda y = -x/2 je splnená podmienka definujúca jedinú rovnicu. Avšak aj keď existuje nekonečný počet koreňov, numerická metóda bude vykonávať výpočty len dovtedy, kým nie sú splnené logické výrazy vo výpočtovej jednotke (v rámci hranice chyby). Potom sa iterácie zastavia a vráti sa riešenie. V dôsledku toho sa nájde iba jeden pár hodnôt (x, y), ktorý sa zistí ako prvý.

Výpočtový blok s funkciou Find dokáže nájsť aj koreň rovnice s jednou neznámou. Akcia Nájsť je v tomto prípade úplne podobná príkladom, o ktorých sme už hovorili v tejto časti. Problém nájdenia koreňa sa považuje za riešenie systému pozostávajúceho z jednej rovnice. Jediný rozdiel je v tom, že číslo vrátené funkciou Find() je skôr skalárne než vektorové. Príklad riešenia rovnice z predchádzajúcej časti je na obr. 4.10.

Ryža. 4.10. Nájdenie koreňa rovnice v jednej neznámej pomocou funkcie Find().

Mathcad ponúka tri rôzne typy gradientových metód na riešenie systému nelineárnych rovníc pomocou bloku Given – Find(). Ak chcete zmeniť číselnú metódu, musíte:

Kliknite pravým tlačidlom myši na názov funkcie Nájsť;

V kontextovej ponuke, ktorá sa zobrazí, vyberte položku Nelineárne;

Vyberte jednu z troch metód: Conjugate Gradient (predvolené), Quasi-Newton alebo Levenberg-Marquardt.

§ 13. Celé funkcie (polynómy) a ich základné vlastnosti. Riešenie algebraických rovníc na množine komplexných čísel 165

13.1. Základné definície 165

13.2. Základné vlastnosti celočíselných polynómov 166

13.3. Základné vlastnosti koreňov algebraickej rovnice 169

13.4. Riešenie základných algebraických rovníc na množine komplexných čísel 173

13.5. Cvičenia na samostatnú prácu 176

Samotestovacie otázky 178

Slovník 178

1. Základné definície

Celá algebraická funkcia alebo algebraický polynóm (polynóm )argument X nazývaná funkcia nasledujúceho typu

Tu n–stupeň polynómu ( prirodzené číslo alebo 0), X - variabilné (skutočné alebo komplexné), a 0 , a 1 , …, a n –polynomické koeficienty (reálne alebo komplexné čísla), a 0  0.

Napríklad,

;
;
,
– štvorcová trojčlenka;

,
;.

číslo X 0 taký, že P n (X 0)0, tzv nulová funkcia P n (X) alebo koreň rovnice
.

Napríklad,

jeho korene
,
,
.

pretože
A
.

Poznámka (k definícii núl celej algebraickej funkcie)

V literatúre sú často funkčné nuly
sa nazývajú jeho korene. Napríklad čísla
A
sa nazývajú korene kvadratickej funkcie
.

1. Základné vlastnosti celočíselných polynómov

 Totožnosť (3) platí pre  X 
(alebo X  ), teda platí pre
; suplovanie
, dostaneme A n = b n. Dovoľte nám vzájomne zrušiť podmienky uvedené v (3) A n A b n a obe časti rozdeľte X:

Táto identita platí aj pre  X vrátane toho, kedy X= 0, teda za predpokladu X= 0, dostaneme A n – 1 = b n – 1 .

Dovoľte nám vzájomne zrušiť podmienky v (3") A n– 1 a b n– 1 a obe strany vydeľte X, ako výsledok dostaneme

Ak budeme pokračovať v úvahe podobne, dostaneme to A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .

Je teda dokázané, že z identickej rovnosti dvoch celočíselných polynómov vyplýva, že ich koeficienty sa zhodujú pre rovnaké mocniny X.

Opačné tvrdenie je celkom zrejmé, to znamená, že ak dva polynómy majú rovnaké všetky koeficienty, potom sú to rovnaké funkcie definované na množine
, preto sa ich hodnoty zhodujú pre všetky hodnoty argumentu
, čo znamená ich identickú rovnosť. Vlastnosť 1 bola úplne preukázaná.

Príklad (identická rovnosť polynómov)

.

 Napíšme vzorec na delenie so zvyškom: P n (X) = (X – X 0)∙Q n – 1 (X) + A,

Kde Q n – 1 (X) - polynóm stupňa ( n – 1), A- zvyšok, ktorý je číslom vďaka známemu algoritmu na delenie polynómu binomom „v stĺpci“.

Táto rovnosť platí pre  X vrátane toho, kedy X = X 0; veriaceho
, dostaneme

P n (X 0) = (X 0 – X 0)Q n – 1 (X 0) + A  A = P n (X 0) 

Dôsledkom preukázanej vlastnosti je tvrdenie o delení bezo zvyšku polynómu binomom, známe ako Bezoutova veta.

Bezoutova veta (o delení celočíselného polynómu binomom bez zvyšku)

Ak číslo je nula polynómu , potom je tento polynóm bezo zvyšku deliteľný rozdielom , teda rovnosť je pravdivá  (5)

 Dôkaz Bezoutovej vety je možné vykonať bez použitia predtým preukázanej vlastnosti delenia celočíselného polynómu
binomicky
. Naozaj, napíšme vzorec na delenie polynómu
binomicky
so zvyškom A=0:

Teraz to zoberme do úvahy je nula polynómu
a napíšte poslednú rovnosť pre
:

Príklady (faktorizácia polynómu pomocou Bezoutovho tzv.)

1) pretože P 3 (1)0;

2) pretože P 4 (–2)0;

3) pretože P 2 (–1/2)0.

Dôkaz tejto vety presahuje rámec nášho kurzu. Preto prijímame vetu bez dôkazu.

Poďme pracovať na tejto vete a Bezoutovej vete s polynómom P n (X):

po n-viacnásobnou aplikáciou týchto teorém získame, že

Kde a 0 je koeficient pri X n v polynomickom zápise P n (X).

V prípade rovnosti (6) kčísla zo sady X 1 ,X 2 , …X n sa zhodujú navzájom as číslom , potom v súčine vpravo dostaneme faktor ( X–) k. Potom číslo X= sa volá k-násobný koreň polynómu P n (X ) , alebo koreň násobnosti k . Ak k= 1, potom číslo
volal jednoduchý koreň polynómu P n (X ) .

Príklady (polynomiálna lineárna faktorizácia)

1) P 4 (X) = (X – 2)(X – 4) 3  X 1 = 2 - jednoduchý koreň, X 2 = 4 - trojitý koreň;

2) P 4 (X) = (X – i) 4  X = i- koreň násobnosti 4.

Podobné články