1. Čiary druhého rádu na euklidovskej rovine.

2. Invarianty priamkových rovníc druhého rádu.

3. Určenie typu čiar druhého rádu z invariantov jeho rovnice.

4. Čiary druhého rádu na afinnej rovine. Teorém jedinečnosti.

5. Strediská liniek druhého rádu.

6. Asymptoty a priemery čiar 2. rádu.

7. Redukcia rovníc priamok druhého rádu na najjednoduchšie.

8. Hlavné smery a priemery čiar druhého rádu.

BIBLIOGRAFIA

1. Čiary druhého rádu v euklidovskej rovine.

Definícia:

Euklidovská rovina je priestor dimenzie 2,

(dvojrozmerný reálny priestor).

Čiary druhého rádu sú priesečníky kruhového kužeľa s rovinami, ktoré neprechádzajú jeho vrcholom.

Tieto riadky sa často nachádzajú v rôznych otázkach prírodných vied. Napríklad pohyb hmotného bodu pod vplyvom centrálneho gravitačného poľa nastáva pozdĺž jednej z týchto línií.

Ak rovina rezu pretína všetky priamočiare tvoriace priamky jednej dutiny kužeľa, potom rez vytvorí čiaru tzv. elipsa(obr. 1.1, a). Ak rovina rezu pretína tvoriace priamky oboch dutín kužeľa, potom rez vytvorí čiaru tzv. hyperbola(obr. 1.1,6). A nakoniec, ak je rovina rezu rovnobežná s jednou z tvoriacich čiar kužeľa (na 1.1, V- toto je generátor AB), potom sekcia vytvorí riadok tzv parabola. Ryža. 1.1 poskytuje vizuálne znázornenie tvaru príslušných čiar.

Obrázok 1.1

Všeobecná rovnica riadku druhého rádu je nasledovná:

(1)

(1*)

Elipsa je množina bodov na rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností dvapevné bodyF 1 AF 2 táto rovina, nazývaná ohniská, je konštantná hodnota.

V tomto prípade nie je vylúčená zhoda ohnísk elipsy. Samozrejme ak sa ohniská zhodujú, potom je elipsa kruh.

Na odvodenie kanonickej rovnice elipsy zvolíme počiatok O karteziánskeho súradnicového systému v strede segmentu F 1 F 2 , a osi Oh A OU Nasmerujme to, ako je znázornené na obr. 1.2 (ak triky F 1 A F 2 sa zhoduje, potom sa O zhoduje s F 1 A F 2 a pre os Oh môžete prejsť ktoroukoľvek osou O).

Nechajte dĺžku segmentu F 1 F 2 F 1 A F 2 majú súradnice (-с, 0) a (с, 0). Označme podľa 2a konštanta uvedená v definícii elipsy. Je zrejmé, že 2a > 2c, t.j. a > c ( Ak M- bod elipsy (pozri obr. 1.2), potom | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 a, a keďže súčet dvoch strán M.F. 1 A M.F. 2 trojuholník M.F. 1 F 2 viac tretej strany F 1 F 2 = 2c, potom 2a > 2c. Je prirodzené vylúčiť prípad 2a = 2c, odvtedy bod M umiestnený na segmente F 1 F 2 a elipsa degeneruje do segmentu. ).

Nechaj M (x, y)(obr. 1.2). Označme r 1 a r 2 vzdialenosti od bodu M na body F 1 A F 2 resp. Podľa definície elipsy rovnosť

r 1 + r 2 = 2a(1.1)

je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre umiestnenie bodu M (x, y) na danej elipse.

Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi dostaneme

(1.2)

Z (1.1) a (1.2) vyplýva, že pomer

(1.3)

predstavuje nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre umiestnenie bodu M so súradnicami x a y na danej elipse. Vzťah (1.3) preto možno považovať za elipsová rovnica. Použitím štandardnej metódy „ničenia radikálov“ sa táto rovnica zredukuje do tvaru

(1.4) (1.5)

Keďže rovnica (1.4) je algebraický dôsledok rovnica elipsy (1.3), potom súradnice x a y akýkoľvek bod M elipsa splní aj rovnicu (1.4). Keďže pri algebraických transformáciách spojených s zbavovaním sa radikálov sa môžu objaviť „extra korene“, musíme sa uistiť, že M, ktorého súradnice spĺňajú rovnicu (1.4), sa nachádza na tejto elipse. Na to, samozrejme, stačí dokázať, že hodnoty r 1 a r 2 pre každý bod splňte vzťah (1.1). Tak nech súradnice X A pri bodov M splniť rovnicu (1.4). Nahradením hodnoty o 2 z (1.4) na pravú stranu výrazu (1.2) pre r 1, po jednoduchých transformáciách zistíme, že Celkom podobne zistíme, že (1.6)

t.j. r 1 + r 2 = 2a, a preto sa bod M nachádza na elipse. Volá sa rovnica (1.4). kanonická rovnica elipsy. množstvá A A b sa nazývajú podľa toho hlavná a vedľajšia poloosi elipsy(názvy „veľký“ a „malý“ sú vysvetlené skutočnosťou, že a>b).

Komentujte. Ak poloosi elipsy A A b sú rovnaké, potom je elipsa kružnica, ktorej polomer sa rovná R = a = b a stred sa zhoduje s pôvodom.

Hyperbola je množina bodov na rovine, pre ktorú je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností dvoch pevných bodovF 1 AF 2 tejto roviny, nazývanej ohniská, má konštantnú hodnotu ( Triky F 1 A F 2 je prirodzené považovať hyperboly za odlišné, pretože ak konštanta uvedená v definícii hyperboly nie je rovná nule, potom neexistuje jediný bod roviny, ak sa zhodujú F 1 A F 2 , ktorý by spĺňal požiadavky na definíciu hyperboly. Ak je táto konštanta nula a F 1 sa zhoduje s F 2 , potom ktorýkoľvek bod na rovine spĺňa požiadavky na definíciu hyperboly. ).

Na odvodenie kanonickej rovnice hyperboly zvolíme počiatok súradníc v strede segmentu F 1 F 2 , a osi Oh A OU Nasmerujme to, ako je znázornené na obr. 1.2. Nechajte dĺžku segmentu F 1 F 2 rovná 2 s. Potom vo zvolenom súradnicovom systéme body F 1 A F 2 majú súradnice (-с, 0) a (с, 0) Označme 2 A konštanta uvedená v definícii hyperboly. Zjavne 2a< 2с, т. е. a< с.

Nechaj M- bod roviny so súradnicami (x, y)(Obr. 1,2). Označme r 1 a r 2 vzdialenosti M.F. 1 A M.F. 2 . Podľa definície hyperboly rovnosť

(1.7)

je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre umiestnenie bodu M na danej hyperbole.

Pomocou výrazov (1.2) pre r 1 a r 2 a vzťahu (1.7) dostaneme nasledovné nevyhnutná a postačujúca podmienka pre umiestnenie bodu M so súradnicami x a y na danej hyperbole:

. (1.8)

Pomocou štandardnej metódy „deštrukcie radikálov“ zredukujeme rovnicu (1.8) do tvaru

(1.9) (1.10)

Musíme sa uistiť, že rovnica (1.9), získaná algebraickými transformáciami rovnice (1.8), nezískala nové korene. Na to stačí dokázať, že pre každý bod M, súradnice X A pri ktoré spĺňajú rovnicu (1.9), hodnoty r 1 a r 2 spĺňajú vzťah (1.7). Ak použijeme argumenty podobné tým, ktoré sa použili pri odvodzovaní vzorcov (1.6), nájdeme nasledujúce výrazy pre množstvá, ktoré nás zaujímajú r 1 a r 2:

(1.11)

Teda k predmetnému bodu M máme

, a preto sa nachádza na hyperbole.

Volá sa rovnica (1.9). kanonická rovnica hyperboly. množstvá A A b sa nazývajú skutočné a imaginárne, resp poloosi hyperboly.

Parabola je množina bodov v rovine, pre ktorú je vzdialenosť k nejakému pevnému boduFtáto rovina sa rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke, ktorá sa tiež nachádza v uvažovanej rovine.

Stiahnite si z Depositfiles

Prednáška č.9.Téma 3: Riadky druhého rádu

Nech je daná čiara definovaná rovnicou druhého stupňa v nejakom DSC

kde sú koeficienty
sa zároveň nerovnajú nule. Táto linka je tzv krivka resp riadok druhého rádu.

Môže sa stať, že nebudú žiadne body
s reálnymi súradnicami vyhovujúcimi rovnici (1). V tomto prípade sa predpokladá, že rovnica (1) definuje pomyselnú čiaru druhého rádu. Napríklad,
 Toto je rovnica imaginárneho kruhu.

Uvažujme tri dôležité špeciálne prípady rovnice (1).

3.1. Elipsa

Elipsa je definovaná rovnicou

(2)

Odds A A b sa nazývajú polohlavná a vedľajšia os a rovnica (2) je kanonický rovnica elipsy.

Položme
a označte na osi O Xbodov

volal triky elipsa. Potom môže byť elipsa definovaná ako

lokus bodov, súčet vzdialeností, od ktorých k ohniskám je konštantná hodnota rovná 2A.

pri

M K

— AF 1 O F 2 a X

— b

Ukážme to. Nechajte bod
 aktuálny bod elipsy. V tomto prípade dostaneme Potom musí platiť rovnosť

Predstavme výraz (3) vo forme

a umocnite obe strany výrazu

Odtiaľto sa dostaneme

Ešte raz utvorme tento výraz na druhú a použite vzťah
, Potom

(4)

Delenie oboch strán výrazu (4) o
, nakoniec získame kanonickú rovnicu elipsy

Pozrime sa na rovnicu (2). Ak v rovnici nahradíme, potom sa rovnica (2) nezmení. To znamená, že elipsa je symetrická podľa súradnicových osí. Pozrime sa preto podrobne na časť elipsy umiestnenú v prvej štvrtine. Je určená rovnicou
Je zrejmé, že elipsa prechádza bodmi
. Po dokončení schematickej konštrukcie v prvom štvrťroku symetricky zobrazíme jej graf vo všetkých štvrťrokoch. Elipsa je teda súvislá uzavretá krivka. Body sú tzv vrcholy elipsy.

Postoj
volalvýstrednosťelipsa. Pre elipsu
.

Priamy
sa volajú smerové čiary elipsy.

Nasledujúca vlastnosť smerových čiar je pravdivá::

Pomer vzdialeností od ohniska a smerovej čiary pre body elipsy je konštantná hodnota rovnajúca sa excentricite, t.j.

Dokazuje sa rovnakým spôsobom ako rovnosť (3).

Poznámka 1. Kruh
je špeciálny prípad elipsy. Pre ňu

3.2. Hyperbola

Kanonická rovnica hyperboly má tvar

tie. do rovnice (1) musíme dať

Odds A A b sa nazývajú skutočné a imaginárne poloosi, resp.

Umiestňovanie
, označte na osi O Xbodov
volal triky hyperbola. Potom môže byť hyperbola definovaná ako

lokus bodov, rozdiel vo vzdialenostiach od ktorých k ohniskám v absolútnej hodnote je 2A, t.j.

pri

TO M

F 1 —A O AF 2 X

Dôkaz je podobný ako pri elipse. Na základe tvaru rovnice hyperboly tiež usudzujeme, že jej graf je symetrický vzhľadom na osi súradnicového systému. Časť hyperboly ležiaca v prvej štvrtine má rovnicu
Z tejto rovnice je zrejmé, že pre dostatočne veľkéXhyperbola je blízko priamky
. Po schematickej konštrukcii v prvom štvrťroku symetricky zobrazíme graf vo všetkých štvrťrokoch.

Body
sa volajú vrcholov hyperbola. Priamy
sa volajú asymptoty - sú to priamky, ku ktorým smerujú vetvy hyperboly bez toho, aby ich pretínali.

Vzťah je tzvvýstrednosťhyperbola. Pre hyperbolu
.

Priame linky sú tzv riaditeľky hyperbola. Pre riadiace čiary hyperboly platí vlastnosť podobná vlastnostiam pre priame čiary elipsy.

Príklad. Nájdite rovnicu elipsy, ktorej vrcholy sú v ohniskách a ohniská sú vo vrcholoch hyperboly
.

Podľa podmienok
A

Konečne sa dostávame

10.3. Parabola

Parabola je definovaná kanonickou rovnicou
tie. do rovnice (1) musíme dať

TO koeficientR volal TOpri

ohniskový parameter. M

Označme na osi O Xbod

nazývané ohnisko

- elipsa;

- parabola;

- hyperbola.

Krivky druhého rádu na rovine sú priamky definované rovnicami, v ktorých sú premenné súradnice X A r sú obsiahnuté v druhom stupni. Patria sem elipsa, hyperbola a parabola.

Všeobecný tvar rovnice krivky druhého rádu je nasledujúci:

Kde A B C D E F- čísla a aspoň jeden z koeficientov A, B, C nerovná sa nule.

Pri riešení úloh s krivkami druhého rádu sa najčastejšie uvažuje s kanonickými rovnicami elipsy, hyperboly a paraboly. Zo všeobecných rovníc sa k nim dá ľahko prejsť, tomu bude venovaný príklad 1 úloh s elipsami.

Elipsa daná kanonickou rovnicou

Definícia elipsy. Elipsa je množina všetkých bodov roviny, pre ktoré je súčet vzdialeností k bodom nazývaným ohniská konštantnou hodnotou väčšou ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Ohniská sú znázornené ako na obrázku nižšie.

Kanonická rovnica elipsy má tvar:

Kde a A b (a > b) - dĺžky poloosi, t.j. polovica dĺžok segmentov odrezaných elipsou na súradnicových osiach.

Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy je jej osou symetrie. Ďalšou osou symetrie elipsy je priamka prechádzajúca stredom úsečky kolmej na túto úsečku. Bodka O priesečník týchto čiar slúži ako stred symetrie elipsy alebo jednoducho stred elipsy.

Os x elipsy sa pretína v bodoch ( a, O) A (- a, O) a zvislá os je v bodoch ( b, O) A (- b, O). Tieto štyri body sa nazývajú vrcholy elipsy. Úsek medzi vrcholmi elipsy na osi x sa nazýva jej hlavná os a na osi y - vedľajšia os. Ich segmenty od vrchu po stred elipsy sa nazývajú poloosi.

Ak a = b, potom rovnica elipsy nadobudne tvar . Toto je rovnica kruhu s polomerom a, a kruh je špeciálny prípad elipsy. Elipsu možno získať z kruhu s polomerom a, ak ho stlačíte do a/b krát pozdĺž osi Oj .

Príklad 1 Skontrolujte, či je čiara daná všeobecnou rovnicou , elipsa.

Riešenie. Transformujeme všeobecnú rovnicu. Používame presun voľného člena na pravú stranu, členenie rovnice po členoch rovnakým číslom a redukciu zlomkov:

Odpoveď. Rovnica získaná ako výsledok transformácií je kanonickou rovnicou elipsy. Preto je táto čiara elipsa.

Príklad 2 Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej poloosi sú 5 a 4.

Riešenie. Pozrieme sa na vzorec pre kanonickú rovnicu elipsy a náhrady: hlavná poloos je a= 5, vedľajšia os je b= 4. Získame kanonickú rovnicu elipsy:

Body a , označené zelenou farbou na hlavnej osi, kde

sa volajú triky.

volal výstrednosť elipsa.

Postoj b/a charakterizuje „sploštenosť“ elipsy. Čím menší je tento pomer, tým viac je elipsa pretiahnutá pozdĺž hlavnej osi. Stupeň predĺženia elipsy sa však častejšie vyjadruje prostredníctvom excentricity, ktorej vzorec je uvedený vyššie. Pre rôzne elipsy sa excentricita mení od 0 do 1, pričom vždy zostáva menšia ako jednota.

Príklad 3 Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak vzdialenosť medzi ohniskami je 8 a hlavnou osou je 10.

Riešenie. Urobme niekoľko jednoduchých záverov:

Ak sa hlavná os rovná 10, potom jej polovica, t.j. poloos a = 5 ,

Ak je vzdialenosť medzi ohniskami 8, potom číslo c ohniskových súradníc sa rovná 4.

Nahradíme a vypočítame:

Výsledkom je kanonická rovnica elipsy:

Príklad 4. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej hlavná os je 26 a jej excentricita je .

Riešenie. Ako vyplýva z veľkosti hlavnej osi a rovnice excentricity, hlavná poloos elipsy a= 13. Z rovnice excentricity vyjadríme číslo c, potrebné na výpočet dĺžky vedľajšej poloosi:

Vypočítame druhú mocninu dĺžky vedľajšej poloosi:

Zostavíme kanonickú rovnicu elipsy:

Príklad 5. Určte ohniská elipsy dané kanonickou rovnicou.

Riešenie. Nájdite číslo c, ktorý určuje prvé súradnice ohnísk elipsy:

Dostaneme ohniská elipsy:

Príklad 6. Ohniská elipsy sú umiestnené na osi Vôl symetricky podľa pôvodu. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak:

1) vzdialenosť medzi ohniskami je 30 a hlavná os je 34

2) vedľajšia os 24 a jedno z ohniskov je v bode (-5; 0)

3) excentricita a jedno z ohniskov je v bode (6; 0)

Pokračujme v riešení problémov elipsy spoločne

Ak je ľubovoľný bod elipsy (označený zelenou farbou v pravej hornej časti elipsy na výkrese) a je to vzdialenosť k tomuto bodu od ohniska, potom vzorce pre vzdialenosti sú nasledovné:

Pre každý bod patriaci do elipsy je súčet vzdialeností od ohnísk konštantnou hodnotou rovnajúcou sa 2 a.

Čiary definované rovnicami

sa volajú riaditeľky elipsa (na výkrese sú pozdĺž okrajov červené čiary).

Z dvoch rovníc vyššie vyplýva, že pre ktorýkoľvek bod elipsy

kde a sú vzdialenosti tohto bodu od smerových osí a .

Príklad 7. Daná elipsa. Napíšte rovnicu pre jeho smerové čiary.

Riešenie. Pozrieme sa na priamkovú rovnicu a zistíme, že potrebujeme nájsť excentricitu elipsy, t.j. Máme na to všetky údaje. Vypočítame:

Získame rovnicu osí elipsy:

Príklad 8. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej ohniská sú body a smerové čiary sú priamky.

Riadky druhého rádu.
Elipsa a jej kanonická rovnica. Kruh

Po dôkladnom preštudovaní priamky v rovine Pokračujeme v štúdiu geometrie dvojrozmerného sveta. Stávky sú dvojnásobné a pozývam vás na návštevu malebnej galérie elips, hyperbol, parabol, ktoré sú typickými predstaviteľmi linky druhého rádu. Exkurzia sa už začala a najskôr krátka informácia o celej výstave na rôznych poschodiach múzea:

Pojem algebraickej priamky a jej poradie

Čiara na rovine sa nazýva algebraické, ak je v afinný súradnicový systém jeho rovnica má tvar , kde je polynóm pozostávajúci z členov tvaru ( – reálne číslo, – nezáporné celé čísla).

Ako vidíte, rovnica algebraickej priamky neobsahuje sínus, kosínus, logaritmy a iné funkčné beau monde. Sú tam len X a Y nezáporné celé čísla stupňa.

Poradie riadkov rovná maximálnej hodnote pojmov v ňom zahrnutých.

Podľa zodpovedajúcej vety pojem algebraickej čiary, ako aj jej poradie, nezávisia od výberu afinný súradnicový systém, preto pre jednoduchosť existencie predpokladáme, že všetky nasledujúce výpočty prebiehajú v Kartézske súradnice.

Všeobecná rovnica riadok druhého rádu má tvar , kde – ľubovoľné reálne čísla (Je zvykom písať to s faktorom dva), pričom koeficienty sa zároveň nerovnajú nule.

Ak , potom sa rovnica zjednoduší na , a ak sa koeficienty zároveň nerovnajú nule, tak je to presne toto všeobecná rovnica „plochej“ čiary, ktorý predstavuje riadok prvého poriadku.

Mnohí pochopili význam nových pojmov, no napriek tomu, aby sme materiál zvládli na 100 %, strčíme prsty do zásuvky. Ak chcete určiť poradie riadkov, musíte vykonať iteráciu všetky termíny jeho rovnice a nájdite pre každú z nich súčet stupňov prichádzajúce premenné.

Napríklad:

výraz obsahuje „x“ na 1. mocninu;
výraz obsahuje „Y“ na 1. mocnine;
V člene nie sú žiadne premenné, takže súčet ich mocnín je nulový.

Teraz poďme zistiť, prečo rovnica definuje čiaru druhý objednať:

výraz obsahuje „x“ na 2. mocnine;
sčítanec má súčet mocnín premenných: 1 + 1 = 2;
výraz obsahuje „Y“ na 2. mocnine;
všetky ostatné výrazy - menej stupňa.

Maximálna hodnota: 2

Ak do našej rovnice dodatočne pridáme povedzme, potom to už určí riadok tretieho rádu. Je zrejmé, že všeobecný tvar čiarovej rovnice 3. rádu obsahuje „úplnú množinu“ členov, pričom súčet mocnin premenných sa rovná trom:
, kde koeficienty sa zároveň nerovnajú nule.

V prípade, že pridáte jeden alebo viac vhodných výrazov, ktoré obsahujú , potom už budeme hovoriť o riadky 4. rádu, atď.

S algebraickými čiarami 3., 4. a vyšších rádov sa budeme musieť stretnúť viackrát, najmä pri oboznamovaní sa s polárny súradnicový systém.

Vráťme sa však k všeobecnej rovnici a spomeňme si na jej najjednoduchšie školské variácie. Ako príklad vzniká parabola, ktorej rovnica sa dá ľahko zredukovať na všeobecný tvar, a hyperbola s ekvivalentnou rovnicou. Nie všetko je však také hladké...

Významnou nevýhodou všeobecnej rovnice je, že takmer vždy nie je jasné, ktorú čiaru definuje. Ani v tom najjednoduchšom prípade si okamžite neuvedomíte, že ide o hyperbolu. Takéto rozloženia sú dobré iba na maškaráde, takže typický problém sa zvažuje v priebehu analytickej geometrie uvedenie priamkovej rovnice 2. rádu do kanonického tvaru.

Aký je kanonický tvar rovnice?

Toto je všeobecne akceptovaná štandardná forma rovnice, keď je v priebehu niekoľkých sekúnd jasné, aký geometrický objekt definuje. Okrem toho je kanonická forma veľmi vhodná na riešenie mnohých praktických úloh. Teda napríklad podľa kanonickej rovnice „plochý“ rovný, po prvé je hneď jasné, že ide o priamku, a po druhé, bod, ktorý k nej patrí, a smerový vektor sú ľahko viditeľné.

Je zrejmé, že akékoľvek riadok 1. poriadku je priamka. Na druhom poschodí nás už nečaká strážca, ale oveľa rozmanitejšia spoločnosť deviatich sôch:

Klasifikácia línií druhého rádu

Pomocou špeciálneho súboru akcií sa každá rovnica riadku druhého rádu zredukuje na jednu z nasledujúcich foriem:

(a sú kladné reálne čísla)

1) – kanonická rovnica elipsy;

2) – kanonická rovnica hyperboly;

3) – kanonická rovnica paraboly;

4) – imaginárny elipsa;

5) – pár pretínajúcich sa čiar;

6) – pár imaginárny pretínajúce sa čiary (s jedným platným priesečníkom na začiatku);

7) – pár rovnobežných čiar;

8) – pár imaginárny rovnobežné čiary;

9) – pár zhodných čiar.

Niektorí čitatelia môžu mať dojem, že zoznam je neúplný. Napríklad v bode č.7 rovnica určuje dvojicu priamy, rovnobežné s osou a vyvstáva otázka: kde je rovnica, ktorá určuje priamky rovnobežné s osou? Odpovedz nepovažuje sa za kanonické. Rovné čiary predstavujú rovnaký štandardný prípad otočený o 90 stupňov a dodatočný záznam v klasifikácii je nadbytočný, keďže neprináša nič zásadne nové.

Existuje teda deväť a iba deväť rôznych typov liniek 2. rádu, ale v praxi sú najbežnejšie elipsa, hyperbola a parabola.

Najprv sa pozrime na elipsu. Ako obvykle sa sústredím na tie body, ktoré majú veľký význam pre riešenie úloh, a ak potrebujete podrobné odvodenie vzorcov, dôkazy viet, pozrite si napríklad učebnicu Bazyleva/Atanasjana alebo Aleksandrova.

Elipsa a jej kanonická rovnica

Pravopis... prosím neopakujte chyby niektorých používateľov Yandexu, ktorí sa zaujímajú o „ako postaviť elipsu“, „rozdiel medzi elipsou a oválom“ a „excentricita elipsy“.

Kanonická rovnica elipsy má tvar , kde sú kladné reálne čísla a . Samotnú definíciu elipsy sformulujem neskôr, ale teraz je čas dať si pauzu od rozprávania a vyriešiť bežný problém:

Ako postaviť elipsu?

Áno, vezmi si to a nakresli. Úloha sa vyskytuje často a významná časť študentov sa s kresbou nevyrovná správne:

Príklad 1

Zostrojte elipsu danú rovnicou

Riešenie: Najprv privedieme rovnicu do kanonickej podoby:

Prečo priniesť? Jednou z výhod kanonickej rovnice je, že vám umožňuje okamžite určiť vrcholy elipsy, ktoré sa nachádzajú v bodoch. Je ľahké vidieť, že súradnice každého z týchto bodov vyhovujú rovnici.

V tomto prípade :

Úsečka volal hlavná os elipsa;
úsečka – vedľajšej osi;
číslo volal polohlavný hriadeľ elipsa;
číslo – vedľajšej osi.
v našom príklade: .

Aby ste si rýchlo predstavili, ako konkrétna elipsa vyzerá, stačí sa pozrieť na hodnoty „a“ a „be“ jej kanonickej rovnice.

Všetko je v poriadku, hladké a krásne, ale je tu jedna výhrada: kresbu som urobil pomocou programu. A môžete urobiť kresbu pomocou akejkoľvek aplikácie. V drsnej realite je však na stole károvaný papier a na rukách nám tancujú myši v kruhoch. Ľudia s umeleckým talentom sa samozrejme môžu hádať, ale máte aj myši (hoci menšie). Nie je zbytočné, že ľudstvo vynašlo pravítko, kompas, uhlomer a ďalšie jednoduché zariadenia na kreslenie.

Z tohto dôvodu je nepravdepodobné, že budeme schopní presne nakresliť elipsu, ak poznáme iba vrcholy. Je v poriadku, ak je elipsa malá, napríklad s poloosami. Prípadne môžete zmenšiť mierku a podľa toho aj rozmery výkresu. Vo všeobecnosti je však veľmi žiaduce nájsť ďalšie body.

Existujú dva prístupy ku konštrukcii elipsy – geometrický a algebraický. Nemám rád konštrukciu pomocou kružidla a pravítka, pretože algoritmus nie je najkratší a kresba je výrazne neprehľadná. V prípade núdze si prosím pozrite učebnicu, ale v skutočnosti je oveľa racionálnejšie použiť nástroje algebry. Z rovnice elipsy v návrhu rýchlo vyjadríme:

Rovnica sa potom rozdelí na dve funkcie:
– definuje horný oblúk elipsy;
– definuje spodný oblúk elipsy.

Elipsa definovaná kanonickou rovnicou je symetrická vzhľadom na súradnicové osi, ako aj vzhľadom na počiatok. A to je skvelé – symetria je takmer vždy predzvesťou darčekov zadarmo. Očividne stačí riešiť 1. súradnicovú štvrtinu, takže funkciu potrebujeme . Žiada, aby ste našli ďalšie body s úsečkami . Ťuknime na tri SMS správy na kalkulačke:

Samozrejme, je tiež pekné, že ak sa vo výpočtoch urobí vážna chyba, okamžite sa to prejaví počas výstavby.

Označme body na výkrese (červená), symetrické body na zvyšných oblúkoch (modrá) a opatrne spojíme celú spoločnosť čiarou:

Počiatočný náčrt je lepšie nakresliť veľmi tenko a až potom zatlačte ceruzkou. Výsledkom by mala byť celkom slušná elipsa. Mimochodom, chceli by ste vedieť, čo je to za krivku?

Definícia elipsy. Ohniská elipsy a excentricita elipsy

Elipsa je špeciálny prípad oválu. Slovo „ovál“ by sa nemalo chápať vo filistínskom zmysle („dieťa nakreslilo ovál“ atď.). Ide o matematický pojem, ktorý má podrobnú formuláciu. Účelom tejto lekcie nie je uvažovať o teórii oválov a ich rôznych typoch, ktorým sa v štandardnom kurze analytickej geometrie prakticky nevenuje pozornosť. A v súlade s aktuálnejšími potrebami okamžite prejdeme k prísnej definícii elipsy:

Elipsa je množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností ku každému z dvoch daných bodov, tzv triky elipsa, je konštantná veličina, ktorá sa číselne rovná dĺžke hlavnej osi tejto elipsy: .
V tomto prípade sú vzdialenosti medzi ohniskami menšie ako táto hodnota: .

Teraz bude všetko jasnejšie:

Predstavte si, že modrá bodka „cestuje“ pozdĺž elipsy. Takže bez ohľadu na to, ktorý bod elipsy vezmeme, súčet dĺžok segmentov bude vždy rovnaký:

Uistime sa, že v našom príklade je hodnota súčtu skutočne rovná ôsmim. V duchu umiestnite bod „um“ na pravý vrchol elipsy a potom: , čo je potrebné skontrolovať.

Ďalší spôsob kreslenia je založený na definícii elipsy. Vyššia matematika je niekedy príčinou napätia a stresu, takže je čas na ďalšiu vybíjanú. Vezmite prosím papier Whatman alebo veľký hárok kartónu a pripevnite ho na stôl dvoma klincami. To budú triky. Na vyčnievajúce hlavičky nechtov priviažte zelenú niť a ceruzkou ju potiahnite až na doraz. Tuha ceruzky skončí v určitom bode, ktorý patrí elipse. Teraz začnite pohybovať ceruzkou pozdĺž kúska papiera, pričom držte zelenú niť napnutú. Pokračujte v procese, kým sa nevrátite na východiskový bod... skvelé... kresbu môže skontrolovať lekár a učiteľ =)

Ako nájsť ohniská elipsy?

Vo vyššie uvedenom príklade som zobrazil „hotové“ ohniská a teraz sa naučíme, ako ich extrahovať z hĺbky geometrie.

Ak je elipsa daná kanonickou rovnicou, potom jej ohniská majú súradnice , kde to je vzdialenosť od každého ohniska k stredu symetrie elipsy.

Výpočty sú jednoduchšie ako jednoduché:

! Konkrétne súradnice ohnísk nemožno identifikovať s významom „tse“! Opakujem, že toto je VZDIALENOSŤ od každého ohniska do stredu(ktorý vo všeobecnom prípade nemusí byť umiestnený presne v mieste pôvodu).
A preto vzdialenosť medzi ohniskami tiež nemôže byť viazaná na kanonickú polohu elipsy. Inými slovami, elipsu je možné presunúť na iné miesto a hodnota zostane nezmenená, pričom ohniská prirodzene zmenia svoje súradnice. Berte to prosím do úvahy pri ďalšom skúmaní témy.

Výstrednosť elipsy a jej geometrický význam

Excentricita elipsy je pomer, ktorý môže nadobúdať hodnoty v rozsahu .

V našom prípade:

Poďme zistiť, ako závisí tvar elipsy od jej excentricity. Pre to opraviť ľavý a pravý vrchol uvažovanej elipsy, to znamená, že hodnota hlavnej poloosi zostane konštantná. Potom bude mať vzorec excentricity tvar: .

Začnime približovať hodnotu excentricity k jednote. To je možné len vtedy, ak . Čo to znamená? ...pamätajte na triky . To znamená, že ohniská elipsy sa budú „pohybovať“ pozdĺž osi x k bočným vrcholom. A keďže „zelené segmenty nie sú gumené“, elipsa sa nevyhnutne začne sploštiť a zmení sa na tenšiu a tenšiu klobásu navlečenú na osi.

teda čím bližšie je hodnota excentricity elipsy k jednote, tým je elipsa predĺžená.

Teraz modelujme opačný proces: ohniská elipsy kráčali k sebe, blížili sa k stredu. To znamená, že hodnota „ce“ sa znižuje a zmenšuje, a preto excentricita smeruje k nule: .
V tomto prípade sa „zelené segmenty“ naopak „preplnia“ a začnú „tlačiť“ elipsu nahor a nadol.

teda Čím je hodnota excentricity bližšie k nule, tým je elipsa podobná... pozrite sa na obmedzujúci prípad, keď sa ohniská úspešne zjednotia na začiatku:

Kruh je špeciálny prípad elipsy

V prípade rovnosti poloosí má totiž kanonická rovnica elipsy tvar , ktorý sa reflexne transformuje na rovnicu kruhu so stredom v počiatku polomeru „a“, dobre známu zo školy.

V praxi sa častejšie používa zápis s „hovoriacim“ písmenom „er“: . Polomer je dĺžka segmentu, pričom každý bod kruhu je vzdialený od stredu o polomer.

Všimnite si, že definícia elipsy zostáva úplne správna: ohniská sa zhodujú a súčet dĺžok zhodných segmentov pre každý bod na kruhu je konštantný. Keďže vzdialenosť medzi ohniskami je , potom excentricita akéhokoľvek kruhu je nulová.

Zostrojenie kruhu je jednoduché a rýchle, stačí použiť kružidlo. Niekedy je však potrebné zistiť súradnice niektorých jej bodov, v tomto prípade ideme známou cestou - rovnicu prenesieme do veselého Matanova tvaru:

– funkcia horného polkruhu;
– funkcia spodného polkruhu.

Potom nájdeme požadované hodnoty, odlíšiť, integrovať a robiť iné dobré veci.

Článok je, samozrejme, len orientačný, ale ako môžete žiť vo svete bez lásky? Kreatívna úloha pre samostatné riešenie

Príklad 2

Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak je známe jedno z jej ohnísk a vedľajšia os (stred je v počiatku). Nájdite vrcholy, ďalšie body a nakreslite čiaru na výkrese. Vypočítajte excentricitu.

Riešenie a kreslenie na konci hodiny

Pridajme akciu:

Otočiť a paralelne preložiť elipsu

Vráťme sa ku kanonickej rovnici elipsy, totiž k stavu, ktorého záhada trápi zvedavé mysle už od prvej zmienky o tejto krivke. Tak sme sa pozreli na elipsu , ale nie je možné v praxi rovnicu splniť ? Napokon, aj tu sa však zdá, že ide o elipsu!

Tento druh rovnice je zriedkavý, ale vyskytuje sa. A vlastne definuje elipsu. Poďme demystifikovať:

V dôsledku konštrukcie bola získaná naša natívna elipsa otočená o 90 stupňov. teda - Toto nekanonický záznam elipsa . Záznam!- rovnica nedefinuje žiadnu inú elipsu, keďže na osi nie sú žiadne body (ohniská), ktoré by vyhovovali definícii elipsy.

Uvažujme čiary definované rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice

Koeficienty rovnice sú reálne čísla, ale aspoň jedno z čísel A, B alebo C je iné ako 0. takéto čiary sa nazývajú čiary druhého rádu (krivky). Nižšie ukážeme, že rovnica (1) definuje elipsu, hyperbolu alebo parabolu v rovine.

Kruh

Najjednoduchšia krivka druhého rádu je kruh. Pripomeňme, že kružnica s polomerom R so stredom v bode M 0 sa nazýva množina bodov M roviny spĺňajúca podmienku MM 0 =R. Nech bod M 0 v Oxy sústave má súradnice x 0 ,y 0 a M(x,y) je ľubovoľný bod na kružnici. Potom alebo

-kanonická rovnica kruhu . Za predpokladu, že x 0 = y 0 = 0 dostaneme x 2 + y 2 = R 2

Ukážme, že rovnicu kruhu možno zapísať ako všeobecnú rovnicu druhého stupňa (1). Aby sme to urobili, odmocnime pravú stranu kruhovej rovnice a získame:

Aby táto rovnica zodpovedala (1), je potrebné, aby:

1) koeficient B=0,

2). Potom dostaneme: (2)

Posledná rovnica sa nazýva všeobecná rovnica kruhu . Vydelením oboch strán rovnice A ≠0 a pridaním členov obsahujúcich x a y do celého štvorca dostaneme:

(2)

Porovnaním tejto rovnice s kanonickou rovnicou kruhu zistíme, že rovnica (2) je skutočne rovnicou kruhu, ak:

1)A=C, 2)B=0, 3)D2+E2-4AF>0.

Ak sú tieto podmienky splnené, stred kruhu sa nachádza v bode O a jeho polomer .

Elipsa

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

Podľa definície 2 >2c, teda >c. Na odvodenie rovnice elipsy budeme predpokladať, že ohniská F 1 a F 2 ležia na osi Ox a t.O sa zhoduje so stredom úsečky F 1 F 2 potom F1 (-c, 0), F2 (c, 0).

Nech M(x,y) je ľubovoľný bod elipsy, potom podľa definície elipsy MF 1 +MF 2 =2 je

Toto je rovnica elipsy. Môžete ho previesť do jednoduchšej formy takto:

Štvorec:

štvorec

Pretože 2 -c 2 >0 dáme 2 -c 2 =b 2

Potom bude mať posledná rovnica tvar:

je rovnica elipsy v kanonickom tvare.

Tvar elipsy závisí od pomeru: keď b= elipsa sa zmení na kruh. Rovnica bude mať tvar . Pomer sa často používa ako charakteristika elipsy. Táto veličina sa nazýva excentricita elipsy a 0< <1 так как 0

Štúdium tvaru elipsy.

1) rovnica elipsy obsahuje x a y, len v párnom stupni, preto je elipsa symetrická vzhľadom na osi Ox a Oy, ako aj vzhľadom na TO (0,0), ktorý sa nazýva stred elipsy.

2) nájdite priesečníky elipsy so súradnicovými osami. Pri nastavení y=0 nájdeme A 1 ( ,0) a A 2 (- ,0), v ktorých elipsa pretína Ox. Ak dáme x=0, nájdeme B 1 (0,b) a B 2 (0,-b). Body A 1 , A 2 , B 1 , B 2 sa nazývajú vrcholy elipsy. Segmenty A 1 A 2 a B 1 B 2, ako aj ich dĺžky 2 a 2b, sa nazývajú hlavné a vedľajšie osi elipsy. Čísla a b sú hlavné a vedľajšie poloosi.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Všetky body elipsy teda ležia vo vnútri obdĺžnika tvoreného priamkami x=± ,y=±b. (Obr.2.)

4) V rovnici elipsy je súčet nezáporných členov rovný jednej. V dôsledku toho, keď sa jeden člen zvýši, druhý sa zníži, to znamená, ak |x| zvyšuje, potom |y| - klesá a naopak. Zo všetkého, čo bolo povedané, vyplýva, že elipsa má tvar znázornený na obr. (oválna uzavretá krivka).