niektoré funkcie. Ak obnovíme funkciu z jej totálneho diferenciálu, nájdeme všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. Nižšie budeme hovoriť o metóda obnovenia funkcie z jej totálneho diferenciálu.

Ľavá strana diferenciálnej rovnice je celkovým diferenciálom nejakej funkcie U(x, y) = 0, ak je splnená podmienka.

Pretože plná diferenciálna funkcia U(x, y) = 0 Toto , čo znamená, že pri splnení podmienky sa uvádza, že .

potom .

Z prvej rovnice sústavy dostaneme . Funkciu nájdeme pomocou druhej rovnice systému:

Takto nájdeme požadovanú funkciu U(x, y) = 0.

Príklad.

Poďme nájsť všeobecné riešenie DE .

Riešenie.

V našom príklade. Podmienka je splnená, pretože:

Potom je ľavá strana počiatočnej diferenciálnej rovnice celkovým diferenciálom nejakej funkcie U(x, y) = 0. Túto funkciu musíme nájsť.

Pretože je celkový diferenciál funkcie U(x, y) = 0, Znamená:

.

Integrujeme podľa X 1. rovnica sústavy a diferencovať vzhľadom na r výsledok:

.

Z 2. rovnice sústavy dostaneme . znamená:

Kde S- ľubovoľná konštanta.

Všeobecný integrál danej rovnice teda bude .

Existuje aj druhý metóda výpočtu funkcie z jej celkového diferenciálu. Pozostáva z prevzatia úsečky integrálu pevného bodu (x 0, y 0) do bodu s premenlivými súradnicami (x, y): . V tomto prípade je hodnota integrálu nezávislá od cesty integrácie. Je vhodné vziať ako integračnú cestu prerušovanú čiaru, ktorej prepojenia sú rovnobežné so súradnicovými osami.

Príklad.

Poďme nájsť všeobecné riešenie DE .

Riešenie.

Kontrolujeme splnenie podmienky:

Ľavá strana diferenciálnej rovnice je teda úplným diferenciálom nejakej funkcie U(x, y) = 0. Nájdite túto funkciu výpočtom krivočiareho integrálu bodu (1; 1) predtým (x, y). Ako cestu integrácie berieme prerušovanú čiaru: prvá časť prerušovanej čiary prechádza po priamke y = 1 z bodu (1, 1) predtým (x, 1), druhá časť cesty preberá priamku z bodu (x, 1) predtým (x, y):

Takže všeobecné riešenie diaľkového ovládača vyzerá takto: .

Príklad.

Stanovme všeobecné riešenie DE.

Riešenie.

Pretože , čo znamená, že podmienka nie je splnená, potom ľavá strana diferenciálnej rovnice nebude úplným diferenciálom funkcie a je potrebné použiť druhú metódu riešenia (táto rovnica je diferenciálna rovnica s oddeliteľnými premennými).

Majúci štandardný tvar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, v ktorom je ľavá strana celkovým diferenciálom nejakej funkcie $F \left( x,y\right)$ sa nazýva totálna diferenciálna rovnica.

Rovnicu v celkových diferenciáloch možno vždy prepísať ako $dF\left(x,y\right)=0$, kde $F\left(x,y\right)$ je taká funkcia, že $dF\left(x, y\vpravo)=P\vľavo(x,y\vpravo)\cdot dx+Q\vľavo(x,y\vpravo)\cdot dy$.

Integrujme obe strany rovnice $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrál nulovej pravej strany sa rovná ľubovoľnej konštante $C$. Všeobecné riešenie tejto rovnice v implicitnom tvare je teda $F\left(x,y\right)=C$.

Aby daná diferenciálna rovnica bola rovnicou v totálnych diferenciáloch, je potrebné a postačujúce, aby podmienka $\frac(\čiastočné P)(\čiastočné y) =\frac(\čiastočné Q)(\čiastočné x) $ byť uspokojený. Ak je zadaná podmienka splnená, potom existuje funkcia $F\left(x,y\right)$, pre ktorú môžeme napísať: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, z čoho získame dva vzťahy : $\frac(\ čiastočné F)(\čiastočné x) =P\vľavo(x,y\vpravo)$ a $\frac(\čiastočné F)(\čiastočné y) =Q\vľavo(x,y\vpravo )$.

Prvý vzťah integrujeme $\frac(\čiastočné F)(\čiastočné x) =P\vľavo(x,y\vpravo)$ cez $x$ a dostaneme $F\left(x,y\vpravo)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kde $U\left(y\right)$ je ľubovoľná funkcia $y$.

Vyberme to tak, aby bol splnený druhý vzťah $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Aby sme to dosiahli, diferencujeme výsledný vzťah pre $F\left(x,y\right)$ vzhľadom na $y$ a výsledok prirovnáme k $Q\left(x,y\right)$. Dostaneme: $\frac(\čiastočný )(\čiastočný y) \ľavý(\int P\ľavý(x,y\vpravo)\cdot dx \vpravo)+U"\ľavý(y\vpravo)=Q\vľavo (x,y\vpravo)$.

Dalsie riesenie je:

• od poslednej rovnosti nájdeme $U"\left(y\right)$;
• integrovať $U"\left(y\right)$ a nájsť $U\left(y\right)$;
• dosaďte $U\left(y\right)$ do rovnosti $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ a nakoniec získame funkciu $F\left(x,y\right)$.

\

Nájdeme rozdiel:

Integrujeme $U"\left(y\right)$ cez $y$ a nájdeme $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Nájdite výsledok: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Všeobecné riešenie zapíšeme v tvare $F\left(x,y\right)=C$, a to:

Nájdite konkrétne riešenie $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Čiastočné riešenie má tvar: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Vyjadrenie problému v dvojrozmernom prípade

Rekonštrukcia funkcie viacerých premenných z jej celkového diferenciálu

9.1. Vyjadrenie problému v dvojrozmernom prípade. 72

9.2. Popis riešenia. 72

Toto je jedna z aplikácií krivočiareho integrálu druhého druhu.

Výraz pre celkový diferenciál funkcie dvoch premenných je daný:

Nájdite funkciu.

1. Keďže nie každý výraz tvaru je úplným diferenciálom nejakej funkcie U(X,r), potom je potrebné skontrolovať správnosť zadania úlohy, teda skontrolovať nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre celkový diferenciál, ktorý má pre funkciu 2 premenných tvar . Táto podmienka vyplýva z ekvivalencie tvrdení (2) a (3) vo vete z predchádzajúcej časti. Ak je naznačená podmienka splnená, problém má riešenie, teda funkciu U(X,r) je možné obnoviť; ak podmienka nie je splnená, potom problém nemá riešenie, to znamená, že funkcia sa nedá obnoviť.

2. Môžete nájsť funkciu z jej celkového diferenciálu, napríklad pomocou krivočiareho integrálu druhého druhu, ktorý ju vypočítate pozdĺž priamky spájajúcej pevný bod ( X 0 ,r 0) a variabilný bod ( x;y) (Ryža. 18):

Takto sa získa krivočiary integrál druhého druhu celkového diferenciálu dU(X,r) sa rovná rozdielu medzi hodnotami funkcie U(X,r) na koncových a začiatočných bodoch integračnej čiary.

Keď už vieme tento výsledok, musíme ho nahradiť dU do krivkového integrálneho výrazu a vypočítajte integrál pozdĺž prerušovanej čiary ( ACB), vzhľadom na jeho nezávislosť od tvaru integračnej čiary:

na ( A.C.): dňa ( NE) :

(1)

Takto bol získaný vzorec, pomocou ktorého sa obnoví funkcia 2 premenných z jeho celkového diferenciálu.

3. Funkciu je možné obnoviť z jej totálneho diferenciálu len po konštantný člen, od r d(U+ const) = dU. Preto v dôsledku riešenia úlohy získame množinu funkcií, ktoré sa navzájom líšia konštantným členom.

Príklady (rekonštrukcia funkcie dvoch premenných z jej celkového diferenciálu)

1. Nájdite U(X,r), Ak dU = (X 2 – r 2)dx – 2xydy.

Skontrolujeme podmienku pre celkový diferenciál funkcie dvoch premenných:

Podmienka úplného diferenciálu je splnená, čo znamená funkciu U(X,r) je možné obnoviť.

Skontrolujte: – správne.

odpoveď: U(X,r) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Nájdite funkciu takú, že

Skontrolujeme potrebné a postačujúce podmienky pre úplný diferenciál funkcie troch premenných: , , , ak je daný výraz.

V riešenom probléme

sú splnené všetky podmienky pre úplný diferenciál, preto je možné funkciu obnoviť (problém je formulovaný správne).

Funkciu obnovíme pomocou krivočiareho integrálu druhého druhu, pričom ju vypočítame pozdĺž určitej priamky spájajúcej pevný bod a premenný bod, pretože

(táto rovnosť je odvodená rovnakým spôsobom ako v dvojrozmernom prípade).

Na druhej strane krivočiary integrál druhého druhu z totálneho diferenciálu nezávisí od tvaru integračnej čiary, takže je najjednoduchšie vypočítať ho pozdĺž prerušovanej čiary pozostávajúcej zo segmentov rovnobežných so súradnicovými osami. V tomto prípade ako pevný bod môžete jednoducho zobrať bod s konkrétnymi číselnými súradnicami, sledovať len to, že v tomto bode a pozdĺž celej integračnej línie je splnená podmienka existencie krivočiareho integrálu (teda tak, že funkcie a sú nepretržité). Berúc do úvahy túto poznámku, v tejto úlohe môžeme brať ako pevný bod napríklad bod M 0. Potom na každom z odkazov prerušovanej čiary budeme mať

10.2. Výpočet plošného integrálu prvého druhu. 79

10.3. Niektoré aplikácie plošného integrálu prvého druhu. 81

Môže sa stať, že na ľavej strane diferenciálnej rovnice

je celkový diferenciál nejakej funkcie:

a preto rovnica (7) nadobúda tvar .

Ak je funkcia riešením rovnice (7), potom , a teda,

kde je konštanta a naopak, ak nejaká funkcia zmení konečnú rovnicu (8) na identitu, potom derivovaním výslednej identity dostaneme , a preto, kde je ľubovoľná konštanta, je všeobecný integrál pôvodného rovnica.

Ak sú uvedené počiatočné hodnoty, potom sa konštanta určí z (8) a

je požadovaný parciálny integrál. Ak je v bode , potom rovnica (9) je definovaná ako implicitná funkcia .

Na to, aby ľavá strana rovnice (7) bola úplným diferenciálom nejakej funkcie , je potrebné a postačujúce to

Ak je táto podmienka špecifikovaná Eulerom splnená, potom rovnicu (7) možno ľahko integrovať. Naozaj,. Na druhej strane, . teda

Pri výpočte integrálu sa množstvo považuje za konštantu, preto je to ľubovoľná funkcia . Na určenie funkcie derivujeme nájdenú funkciu vzhľadom na a keďže dostaneme

Z tejto rovnice určíme a integráciou nájdeme .

Ako je známe z priebehu matematickej analýzy, je ešte jednoduchšie určiť funkciu jej celkovým diferenciálom, pričom sa použije krivočiary integrál medzi určitým pevným bodom a bodom s premenlivými súradnicami pozdĺž akejkoľvek cesty:

Najčastejšie je ako integračná cesta vhodné použiť prerušovanú čiaru zloženú z dvoch prepojení rovnobežných so súradnicovými osami; v tomto prípade

Príklad. .

Ľavá strana rovnice je celkový diferenciál nejakej funkcie, od r

Preto má všeobecný integrál tvar

Na definovanie funkcie je možné použiť inú metódu:

Ako začiatočný bod zvolíme napríklad počiatok súradníc a ako integračnú cestu prerušovanú čiaru. Potom

a všeobecný integrál má tvar

Čo sa zhoduje s predchádzajúcim výsledkom, čo vedie k spoločnému menovateľovi.

V niektorých prípadoch, keď ľavá strana rovnice (7) nie je úplný diferenciál, je ľahké vybrať funkciu, po vynásobení ktorej sa ľavá strana rovnice (7) zmení na úplný diferenciál. Táto funkcia sa nazýva integračný faktor. Všimnite si, že násobenie integračným faktorom môže viesť k objaveniu sa zbytočných čiastkových riešení, ktoré tento faktor vynulujú.

Príklad. .

Je zrejmé, že po vynásobení faktorom sa ľavá strana zmení na totálny diferenciál. Skutočne, po vynásobení dostaneme

alebo integráciou, . Vynásobením 2 a zosilnením dostaneme .

Samozrejme, nie vždy sa integrujúci faktor volí tak jednoducho. Vo všeobecnom prípade je na nájdenie integračného faktora potrebné vybrať aspoň jedno parciálne riešenie rovnice v parciálnych deriváciách alebo v rozšírenom tvare, ktoré nie je identicky nulové.

ktorý sa po vydelení a prenesení niektorých pojmov do inej časti rovnosti zredukuje na tvar

Vo všeobecnom prípade nie je integrácia tejto parciálnej diferenciálnej rovnice v žiadnom prípade jednoduchšou úlohou ako integrácia pôvodnej rovnice, ale v niektorých prípadoch nie je výber konkrétneho riešenia rovnice (11) zložitý.

Okrem toho, ak vezmeme do úvahy, že integračný faktor je funkciou iba jedného argumentu (napríklad je funkciou iba alebo iba , alebo funkciou iba , alebo len , atď.), možno ľahko integrovať rovnicu (11) a uveďte podmienky, za ktorých existuje integračný faktor uvažovaného typu. Toto identifikuje triedy rovníc, pre ktoré možno ľahko nájsť integračný faktor.

Napríklad nájdime podmienky, za ktorých má rovnica integračný faktor, ktorý závisí len od , t.j. . V tomto prípade rovnica (11) zjednodušuje a nadobudne tvar , z ktorého, ak uvažujeme ako spojitú funkciu , dostaneme

Ak je funkciou iba , potom integračný faktor závisí len od , existuje a rovná sa (12), inak integračný faktor tvaru neexistuje.

Podmienka existencie integračného faktora závislého len od je splnená napríklad pre lineárnu rovnicu alebo . Naozaj, a preto. Úplne podobným spôsobom možno nájsť podmienky pre existenciu integrujúcich faktorov formy a pod.

Príklad. Má rovnica integračný faktor tvaru?

Označme . Rovnica (11) at má tvar , odkiaľ alebo

Pre existenciu integrujúceho činiteľa daného typu je potrebné a za predpokladu kontinuity postačujúce, aby bol iba funkciou . V tomto prípade teda integračný faktor existuje a je rovný (13). Keď dostaneme. Vynásobením pôvodnej rovnice číslom ju zredukujeme do tvaru

Integráciou dostaneme , a po potenciácii budeme mať , alebo v polárnych súradniciach - rodinu logaritmických špirál.

Príklad. Nájdite tvar zrkadla, ktoré odráža rovnobežne s daným smerom všetky lúče vychádzajúce z daného bodu.

Umiestnime počiatok súradníc do daného bodu a nasmerujeme os úsečky rovnobežne so smerom zadaným v problémových podmienkach. Nechajte lúč dopadať na zrkadlo v bode . Uvažujme rez zrkadla rovinou prechádzajúcou osou x a bodom . Nakreslíme dotyčnicu k rezu zrkadlového povrchu v bode . Keďže uhol dopadu lúča sa rovná uhlu odrazu, trojuholník je rovnoramenný. teda

Výsledná homogénna rovnica sa ľahko integruje zmenou premenných, ale ešte jednoduchšie je, zbavená iracionality v menovateli, prepísať ju do tvaru . Táto rovnica má zrejmý integračný faktor , , , (skupina parabol).

Tento problém je možné vyriešiť ešte jednoduchšie v súradniciach a , kde , a rovnica pre rez požadovaných plôch má tvar .

Je možné dokázať existenciu integračného faktora, alebo, čo je to isté, existenciu nenulového riešenia parciálnej diferenciálnej rovnice (11) v nejakej oblasti, ak funkcie a majú spojité derivácie a aspoň jednu z nich funkcie nezmiznú. Preto možno metódu integračného faktora považovať za všeobecnú metódu na integrovanie rovníc tvaru , avšak vzhľadom na náročnosť nájdenia integračného faktora sa táto metóda najčastejšie používa v prípadoch, keď je integračný faktor zrejmý.

Podobné články