2. prednáška. Rovina ako plocha prvého rádu. Rovinné rovnice a ich štúdium. Priamka v priestore, vzájomná poloha priamok v priestore, rovina a priamka v priestore. Priamka na rovine, rovnice priamky na rovine, vzdialenosť od bodu k priamke v rovine. Krivky druhého rádu; odvodzovanie kanonických rovníc, štúdium rovníc a konštrukcia kriviek. Plochy druhého rádu, štúdium kanonických rovníc plôch. Sekčná metóda. 1

Prvky analytickej geometrie § 1. Rovina. Máme OXYZ a nejakú plochu S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definícia 1: rovnica s tromi premennými sa nazýva rovnica plochy S v priestore, ak túto rovnicu spĺňajú súradnice každej z nich. bod ležiaci na povrchu a nevyhovujúci súradnicami ani jeden bod ležiaci na ňom. 2

Príklad. Rovnica (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) definujeme guľu so stredom v bode C(a, b, c) a polomerom R. M M (x , y, z) – premenný bod M ϵ (S) |CM| = RC3

Definícia 2: Plocha S sa nazýva plocha n-tého rádu, ak je v niektorom karteziánskom súradnicovom systéme daná algebraickou rovnicou n-tého stupňa F(x, y, z) = 0 (1) V príklade (S) - kruh, plocha druhého rádu . Ak S je plocha n-tého rádu, potom F(x, y, z) je polynóm n-tého stupňa vzhľadom na (x, y, z) Uvažujme jedinú plochu 1. rádu - rovinu. Vytvorme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom M (x, y, z), s normálovým vektorom 4

Nech M(x, y, z) je ľubovoľný (aktuálny) bod roviny. M M 0 O α alebo v súradnicovom tvare: (2) Rovnica (2) je rovnica roviny prechádzajúcej bodom M s daným normálovým vektorom. 5

D (*) (3) - úplná rovnica roviny Neúplná rovnica roviny. Ak je v rovnici (3) viacero koeficientov (ale nie A, B, C súčasne) = 0, potom sa rovnica nazýva neúplná a rovina α má znaky vo svojom umiestnení. Napríklad, ak D = 0, potom α prechádza počiatkom. 6

Vzdialenosť od bodu M 1 k rovine α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 sa vzťahuje na bod M 0 K 7

- vzdialenosť od bodu M 1 k rovine α Rovnica roviny „v segmentoch“ Vytvorme rovnicu roviny orezávajúcej nenulové segmenty na súradnicových osiach s hodnotami C(0, 0, c) a, b, c. Zoberme si B(0, b, 0) ako hodnotu. Vytvorme rovnicu pre bod A s A(a, 0, 0) 8

-rovnica roviny α "v segmentoch" -rovnica roviny prechádzajúcej bodom A, kolmá na normálový vektor 9

§ 2. Všeobecná rovnica priamky. Priamka v priestore môže byť definovaná priesečníkom 2 rovín. (1) rovnica priamky Systém typu (1) definuje priamku v priestore, ak sú koeficienty A 1, B 1, C 1 súčasne neproporcionálne k A 2, B 2, C 2. 10

Parametrické a kanonické rovnice priamky - ľubovoľný bod bodu priamky M M 0 Parametrická rovnica t - parameter 11

Elimináciou t dostaneme: - kanonická rovnica Sústava (3) určuje pohyb hmotného bodu, priamočiary a rovnomerný z počiatočnej polohy M 0 (x 0, y 0, z 0) rýchlosťou v smere vektora. 12

Uhol medzi priamymi čiarami v priestore. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti. Nech sú v priestore dve priamky L 1, L 2 dané ich kanonickými rovnicami: Potom sa úloha určenia uhla medzi týmito priamkami zredukuje na určenie uhla

ich smerových vektorov: Pomocou definície skalárneho súčinu a vyjadrenia v súradniciach zadaného skalárneho súčinu a dĺžok vektorov q 1 a q 2 dostaneme: 15

Podmienka rovnobežnosti priamok l 1 a l 2 zodpovedá kolinearite q 1 a q 2, spočíva v úmernosti súradníc týchto vektorov, t.j. má tvar: Podmienka kolmosti vyplýva z definície skalárny súčin a jeho rovnosť nule (pri cos = 0) a má tvar : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Uhol medzi priamkou a rovinou: podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamky a roviny Uvažujme rovinu P, definovanú všeobecnou rovnicou: Ax + By + Cz + D = 0, a priamku L, definovanú kanonická rovnica: 17

Keďže uhol medzi priamkou L a rovinou P je komplementárny k uhlu medzi smerovým vektorom priamky q = (l, m, n) a normálovým vektorom roviny n = (A, B, C) , potom z definície skalárneho súčinu q n = q n cos a rovnosti cos = sin (= 90 -), dostaneme: 18

Podmienka rovnobežnosti priamky L a roviny П (vrátane toho, že L patrí do П) je ekvivalentná podmienke kolmosti vektorov q a n a je vyjadrená = 0 skalárnym súčinom týchto vektorov: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Podmienka kolmosti priamky L a roviny P je ekvivalentná podmienke rovnobežnosti vektorov n a q a je vyjadrená úmernosťou súradníc týchto vektorov: 19

Podmienky na to, aby dve priamky patrili do tej istej roviny Dve priamky v priestore L 1 a L 2 sa môžu: 1) pretínať; 2) byť paralelné; 3) krížiť sa. V prvých dvoch prípadoch ležia priamky L 1 a L 2 v rovnakej rovine. Stanovme podmienku, aby dve priamky definované kanonickými rovnicami patrili do tej istej roviny: 20

Je zrejmé, že na to, aby dve označené čiary patrili do rovnakej roviny, je nevyhnutné a postačujúce, aby tri vektory = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) a q 2 = (l 2, m 2, n 2), boli koplanárne, pre ktoré je zase potrebné a postačujúce, aby zmiešaný súčin týchto troch vektorov = 0,21

Zápisom zmiešaných súčinov uvedených vektorov v súradniciach získame nevyhnutnú a postačujúcu podmienku, aby dve priamky L 1 a L 2 patrili do tej istej roviny: 22

Podmienka, aby priamka patrila do roviny Nech existuje priamka a rovina Ax + Bi + Cz + D = 0. Tieto podmienky majú tvar: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 a Al + Bm + Cn = 0, z ktorých prvá znamená, že bod M 1(x1, y1, z 1), ktorým priamka prechádza, patrí do roviny a druhá je podmienkou rovnobežnosti priamky a roviny. 23

Krivky druhého rádu. § 1. Pojem rovnice priamky na rovine. Rovnica f (x, y) = 0 sa nazýva rovnica priamky L vo zvolenom súradnicovom systéme, ak je splnená súradnicami ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke a nevyhovuje súradniciam žiadneho bodu, ktorý na nej neleží. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Príklad: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Priamka L sa nazýva priamka n-tého rádu, ak je v niektorom karteziánskom súradnicovom systéme daná algebraickou rovnicou n-tého stupňa vzhľadom na x a y. Poznáme jedinú priamku 1. rádu - priamku: Ax + By + D = 0 Budeme uvažovať krivky 2. rádu: elipsa, hyperbola, parabola. Všeobecná rovnica čiar 2. rádu je: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Elipsa (E) Definícia. Elipsa je množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností dvoch pevných bodov roviny F 1 a F 2, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota a veľká vzdialenosť medzi ohniskami. Označme konštantu ako 2 a, vzdialenosť medzi ohniskami ako 2 c. Nakreslite os X cez ohniská (a > c, a > 0, c > 0). Os Y cez stred ohniskovej vzdialenosti. Nech M je ľubovoľný bod elipsy, t. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), kde r 1, r 2 je ohniskových 27 polomerov E.

Napíšme (1) v súradnicovom tvare: (2) Toto je rovnica elipsy vo zvolenom súradnicovom systéme. Zjednodušením (2) dostaneme: b 2 = a 2 - c 2 (3) – kanonická rovnica elipsy. Dá sa ukázať, že (2) a (3) sú ekvivalentné: 28

Štúdium tvaru elipsy pomocou kanonickej rovnice 1) Elipsa je krivka 2. rádu 2) Symetria elipsy. keďže x a y sú v (3) zahrnuté len v párnych mocninách, elipsa má 2 osi a 1 stred súmernosti, ktoré sa vo zvolenom súradnicovom systéme zhodujú s vybranými súradnicovými osami a bodom O. 29

3) Umiestnenie elipsy To znamená, že celé E sa nachádza vo vnútri obdĺžnika, ktorého strany sú x = ± a a y = ± b. 4) Priesečník s osami. Ai(-a; 0); A2(a; 0); C OX: vrcholy elipsy C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); Vzhľadom na symetriu elipsy budeme uvažovať o jej správaní (↓) len v prvej štvrtine. tridsať

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Vyriešením (3) vzhľadom na y dostaneme: v prvej štvrtine x > 0 a elipsu klesá."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbola (Г) Definícia: Г je množina všetkých bodov roviny, modul rozdielu vzdialeností k 2 pevným bodom roviny F 1, F 2 je konštantná hodnota a

Zjednodušenie (1): (2) je kanonická rovnica G. (1) a (2) sú ekvivalentné. Štúdium hyperboly pomocou kanonickej rovnice 1) Г je priamka 2. rádu 2) Г má dve osi a jeden stred symetrie, ktoré sa v našom prípade zhodujú so súradnicovými osami a počiatkom. 3) Umiestnenie hyperboly. 34

Hyperbola sa nachádza mimo pásu medzi čiarami x = a, x = -a. 4) Priesečníky s osami. OX: OY: nemá žiadne riešenia A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reálne vrcholy Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginárne vrcholy Г 2 a – reálna os Г 2 b – imaginárna os Г 35

5) Asymptoty hyperboly. Vzhľadom na symetriu Г uvažujeme o jeho časti v prvom štvrťroku. Po vyriešení (2) vzhľadom na y dostaneme: rovnicu Г v prvej štvrtine x ≥ 0 Uvažujme priamku: keďže v prvej štvrtine x>0, teda v prvej štvrtine s rovnakou osou, je ordináta priamky > ordinuje príslušný bod Г, t.j. v prvej štvrtine Г leží pod touto priamkou. Celé G leží vo zvislom uhle so stranami 36

6) Dá sa ukázať, že v prvej časti sa G zväčšuje 7) Plán zostrojenia G a) postavte obdĺžnik 2 a, 2 b b) nakreslite jeho uhlopriečky c) označte A 1, A 2 - zapíšte skutočné vrcholy G a 38 tieto pobočky

Parabola (P) Uvažujme d (smernica) a F (ohnisko) na rovine. Definícia. П – množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od priamky da bodu F (ohnisko) 39

d-directrix F-focus XOY bod М П potom |MF| = |MN| (1) rovnica P, zvolená v súradnicovom systéme. Zjednodušením (1) dostaneme y 2 = 2 px (2) – kanonická rovnica P. (1) a (2) sú ekvivalentné 40

Štúdium P pomocou kanonickej rovnice x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Valce. Valcové plochy s tvoriacimi priamkami rovnobežnými so súradnicovými osami Bodom x priamky L vedieme priamku rovnobežnú s osou OZ. Plocha tvorená týmito priamkami sa nazýva valcová plocha alebo valec (C). Akákoľvek priamka rovnobežná s osou OZ sa nazýva tvoriaca čiara. l je vedenie valcovej plochy roviny XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Nech M(x, y, z) je ľubovoľný bod valcovej plochy. Premietnime to na L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 tzn. , súradnice M vyhovujú (1), je zrejmé, že ak M C, potom sa nepremietne do bodu M 0 ϵ L a teda súradnice M nebudú spĺňať rovnicu (1), ktorá určuje C s rovnobežkou tvoriacej čiary k osi OZ v priestore. Podobne je možné ukázať, že: Ф(x, z) = 0 v priestore Г || OY 43 (y, z) = 0 definuje v priestore C || VÔL

Priemet priestorovej priamky na súradnicovú rovinu Čiaru v priestore je možné definovať parametricky a priesečníkom plôch. Rovnaká čiara môže byť definovaná ako ∩ rôznych povrchov. Nech je priestorová priamka L daná ∩ dvoch plôch α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 rovnica L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Nájdime priemet L do roviny XOY z rovnice (1) a vylúčme Z. Dostaneme rovnicu: Z(x, y) = 0 – v priestore je to rovnica Ε s generátorom || OZ a sprievodca L. 46

Priemet: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Plochy druhého rádu Elipsoid - kanonická rovnica plochy má tvar: 1) Elipsoid - plocha druhého rádu. 2) X, Y, Z zadajte rovnicu len v párnych mocninách => plocha má 3 roviny a 1 stred symetrie, ktoré sa vo zvolenom súradnicovom systéme zhodujú so súradnicovými rovinami a počiatkom. 47

3) Umiestnenie elipsoidu Povrch je uzavretý medzi || roviny s rovnicami x = a, x = -a. Podobne, t.j. celý povrch je obsiahnutý vo vnútri pravouhlého rovnobežnostena. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Plochu budeme skúmať metódou rezov - pretínanie plochy súradnicovými rovinami || koordinovať. V reze získame čiary, podľa tvaru ktorých budeme posudzovať tvar plochy. 48

Pretínajme plochu s rovinou XOY. V sekcii dostaneme čiaru. - elipsa a a b – poloosi Podobne ako rovina YOZ - elipsa s poloosami b a c Rovina || XOY Ak h(0, c), potom osi elipsy klesnú z aab na 0. 49

a = b = c - guľa Paraboloidy a) Hyperbolický paraboloid - plocha s kanonickou rovnicou: 1) Plocha druhého rádu 2) Keďže x, y vstupujú do rovnice len v párnych mocninách, plocha má roviny symetrie, ktoré sa zhodujú pre danú voľbu súradníc s 50 rovinami XOZ, YOZ.

3) povrch skúmame metódou sedlového rezu. XOZ V priereze je parabola symetrická k osi OZ, stúpajúca. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" plocha ||XOY pre h > 0 hyperbol, so skutočnou poloosou pozdĺž OX, pre h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Dvojvrstvový hyperboloid 1) povrch druhého rádu 2) má 3 roviny a 1 stred symetrie 3) umiestnenie povrchu x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Povrch sa skladá z dvoch častí umiestnených mimo pásu medzi rovinami s rovnicami x = a, x = -a 4) študujeme metódu rezov (Sami!) 57

Kužeľ 2. rádu Kužeľ 2. rádu je plocha, ktorej kanonická rovnica má tvar: 1) plocha 2. rádu 2) má 3 roviny a 1 stred symetrie 3) študujeme metódu štvorcových rezov. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" štvorec ||XOY |h| –>∞ od 0 do ∞ štvorec YOZ pár rovných čiar, prechádzajúc cez"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

V ďalších odsekoch je ustanovené, že povrchy prvého rádu sú roviny a iba roviny a uvažujeme o rôznych formách zápisu rovníc rovín.

198. Veta 24. V karteziánskych súradniciach je každá rovina definovaná rovnicou prvého stupňa.

Dôkaz. Za predpokladu, že je daný určitý karteziánsky pravouhlý súradnicový systém, uvažujeme ľubovoľnú rovinu a a dokážeme, že táto rovina je určená rovnicou prvého stupňa. Zoberme si nejaký bod M na rovine a 0 (d: 0; y0; z0); Okrem toho zvoľme ľubovoľný vektor (len nie rovný nule!), kolmý na rovinu a. Zvolený vektor označíme písmenom p, jeho priemetmi na súradnicové osi- písmená A, B, C.

Nech M(x; y; z) je ľubovoľný bod. Leží na rovine práve vtedy, ak je vektor MqM je kolmý na vektor n. Inými slovami, bod Ж ležiaci v rovine a je charakterizovaný podmienkou:

Rovnicu roviny a dostaneme, ak túto podmienku vyjadríme súradnicami x, y, z. Za týmto účelom si zapíšeme súradnice vektorov M 0 mil.:

MOM=(x-x0; y-y0; z-z0), P=(A; B; C).

Podľa paragrafu 165 znakom kolmosti dvoch vektorov je rovnosť k nule ich skalárneho súčinu, teda súčtu párových súčinov zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov. Takže M 0 mil. J_ p vtedy a len vtedy

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Toto je požadovaná rovnica roviny a, pretože je splnená súradnicami lz, y, z bod M práve vtedy, ak M leží v rovine a (t.j J_«).

Po otvorení zátvoriek uvádzame rovnicu(1) ako

Ax + By + Cz + (- A x 0 - By 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Vidíme, že rovina a je skutočne určená rovnicou prvého stupňa. Veta bola dokázaná.

199. Každý (nenulový) vektor kolmý na určitú rovinu sa nazýva vektor k nej kolmý. Pomocou tohto názvu môžeme povedať, že rovnica

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-zo)=0

je rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 (x 0; y 0; z0) a majúci normálny vektor n-(A; B; S). Rovnica formulára

Ax + Bu-\- Cz + D = 0

nazývaná všeobecná rovnica roviny.

200. Veta 25. V karteziánskych súradniciach každá rovnica prvého stupňa definuje rovinu.

Dôkaz. Za predpokladu, že je daný nejaký karteziánsky pravouhlý súradnicový systém, zvážte ľubovoľnú rovnicu prvého stupňa

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Keď hovoríme „ľubovoľná“ rovnica, myslíme tým, že koeficienty A, B, C, D môžu byť ľubovoľné čísla, ale, samozrejme, s výnimkou

prípad súčasnej rovnosti k nule všetkých troch koeficientov A, B, C. Musíme dokázať, že rovnica(2) je rovnica nejakej roviny.

Nech lg 0, y 0, r 0- nejaké riešenie rovnice(2), teda trojica čísel, ktorá vyhovuje tejto rovnici*). Nahradením čísel v 0, z0 namiesto aktuálnych súradníc na ľavej strane rovnice(2), dostaneme aritmetickú identitu

Ax0 + By0 + Cz0 + D^O. (3)

Odčítajte z rovnice(2) identita (3). Dostaneme rovnicu

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

čo je podľa predchádzajúceho rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 (jc0; y 0; z0) a majúci normálny vektor n-(A; B; C). Ale rovnica(2) je ekvivalentná rovnici(1), od rovnice(1) získané z rovnice(2) odčítaním identity po jednotlivých termínoch(3) a rovnica (2) sa získa z rovnice(1) pridávaním identity po jednotlivých termínoch(3). Preto rovnica(2) je rovnica rovnakej roviny.

Dokázali sme, že ľubovoľná rovnica prvého stupňa definuje rovinu; Tým je veta dokázaná.

201. Povrchy, ktoré sú určené rovnicami prvého stupňa v karteziánskych súradniciach, sa, ako vieme, nazývajú povrchy prvého rádu. Pomocou tejto terminológie môžeme zistené výsledky vyjadriť takto:

Každá rovina je povrchom prvého rádu; každý povrch prvého rádu je rovina.

Príklad. Napíšte rovnicu pre rovinu, ktorá prechádza bodom Afe(l; 1; 1) kolmo na vektor i*=( 2; 2; 3}.

Riešenie.Podľa ods 199 požadovaná rovnica je

2(*- 1)+2 (y-1)+3 (y-1)=0,

alebo

2x+2y+3g-7 = 0.

*) Rovnica (2), ako každá rovnica prvého stupňa s tromi neznámymi má nekonečne veľa riešení. Ak chcete nájsť ktorúkoľvek z nich, musíte dvom neznámym priradiť číselné hodnoty a potom nájsť tretiu neznámu v rovnici.

202. Na záver tejto časti dokážeme nasledujúci výrok: ak dve rovnice Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 a A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 definujú rovnakú rovinu, potom sú ich koeficienty úmerné.

Skutočne, v tomto prípade vektory nx = (A 1; Bx\ a p2- (/42; B 2 ; Cr) sú kolmé na rovnakú rovinu, preto sú navzájom kolineárne. Ale potom podľa ods 154 čísel Аъ В 2, С 2 úmerné číslam A1g B1gCx; ak označíme faktor proporcionality p, máme: A 2-A 1ts, B2 = Bx\i, C2 =.Cj\i. Nech M 0 (x 0; y 0 ; ^-ľubovoľný bod roviny; jeho súradnice musia spĺňať každú z uvedených rovníc, teda Axx 0 + Vxu 0

Cxz0 = 0 a A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Vynásobme prvú z týchto rovnosti p. a odpočítať od druhého; dostaneme D2-Djp = 0. Preto D%-Dx\i a

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1 ^

Naše tvrdenie je teda dokázané.

1.7.1. Lietadlo.

Uvažujme v karteziánskej báze ľubovoľnú rovinu P a normálový vektor (kolmý) na ňu `n (A, B, C). Zoberme si ľubovoľný pevný bod M0(x0, y0, z0) a aktuálny bod M(x, y, z) v tejto rovine.

Je zrejmé, že ?`n = 0 (1,53)

(pozri (1.20) pre j = p/2). Toto je rovnica roviny vo vektorovom tvare. Prejdeme na súradnice a získame všeobecnú rovnicu roviny

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Dá sa ukázať, že v karteziánskych súradniciach je každá rovina určená rovnicou prvého stupňa a naopak každá rovnica prvého stupňa určuje rovinu (t.j. rovina je plocha prvého rádu a plocha prvý rád je lietadlo).

Uvažujme o niektorých špeciálnych prípadoch umiestnenia roviny špecifikovanej všeobecnou rovnicou:

A = 0 – rovnobežne s osou Ox; B = 0 – rovnobežne s osou Oy; C = 0 – rovnobežne s osou Oz. (Takéto roviny kolmé na jednu zo súradnicových rovín sa nazývajú premietacie roviny); D = 0 – prechádza cez začiatok; A = B = 0 – kolmá na os Oz (rovnobežná s rovinou xOy); A = B = D = 0 – zhoduje sa s rovinou xOy (z = 0). Všetky ostatné prípady sa analyzujú podobne.

Ak D? 0, potom vydelením oboch strán (1,54) -D dostaneme rovnicu roviny do tvaru: (1,55),

a = – D/A, b = –D/B, c = –D/C. Vzťah (1.55) sa nazýva rovnica roviny v segmentoch; a, b, c – úsečka, ordinácia a aplikácia priesečníkov roviny s osami Ox, Oy, Oz a |a|, |b|, |c| – dĺžky segmentov odrezaných rovinou na príslušných osiach od začiatku súradníc.

Vynásobenie oboch strán (1,54) normalizačným faktorom (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

kde cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm sú smerové kosínusy normály k rovine, p je vzdialenosť k rovine od počiatku.

Uvažujme o základných vzťahoch použitých pri výpočtoch. Uhol medzi rovinami A1x + B1y + C1z + D1 = 0 a A2x + B2y + C2z + D2 = 0 možno jednoducho definovať ako uhol medzi normálami týchto rovín `n1 (A1, B1, C1) a

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Z (1.57) je ľahké získať podmienku kolmosti

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

a paralelizmus (1,59) roviny a ich normály.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M0(x0, y0, z0) k rovine (1.54)

sa určuje výrazom: (1.60)

Rovnicu roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) je najvhodnejšie napísať pomocou podmienky koplanarity (1.25) vektorov. kde M(x, y , z) – aktuálny bod roviny.

(1.61)

Uveďme rovnicu zväzku rovín (t.j.

Množiny rovín prechádzajúcich jednou priamkou) - je vhodné použiť pri mnohých problémoch.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Kde l О R a v zátvorkách sú rovnice akýchkoľvek dvoch rovín lúča.

Kontrolné otázky.

1) Ako skontrolovať, či daný bod leží na povrchu definovanom touto rovnicou?

2) Aký je charakteristický znak, ktorý odlišuje rovnicu roviny v karteziánskom súradnicovom systéme od rovnice iných plôch?

3) Ako je rovina umiestnená vzhľadom na súradnicový systém, ak jej rovnica neobsahuje: a) voľný člen; b) jedna zo súradníc; c) dve súradnice; d) jedna zo súradníc a voľný termín; e) dve súradnice a voľný termín?

1) Dané body M1(0,-1,3) a M2(1,3,5). Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M1 a kolmej na vektor Vyber správnu odpoveď:

A) ; b) .

2) Nájdite uhol medzi rovinami a . Vyber správnu odpoveď:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Rovno. Roviny, ktorých normály nie sú kolineárne alebo sa pretínajú, pričom priamku jednoznačne definujú ako priamku ich priesečníka, čo je napísané takto:

Cez túto čiaru (zväzok rovín (1.62)) možno nakresliť nekonečné množstvo rovín, vrátane tých, ktoré ju premietajú na súradnicové roviny. Na získanie ich rovníc stačí transformovať (1.63), pričom z každej rovnice vylúčime jednu neznámu a zredukujeme ich napr. (1.63`).

Stanovme si úlohu - nakresliť cez bod M0(x0,y0,z0) priamku rovnobežnú s vektorom `S (l, m, n) (nazýva sa to smerovacia čiara). Zoberme si ľubovoľný bod M(x,y,z) na želanej priamke. Vektory a musí byť kolineárne, z čoho získame kanonické rovnice priamky.

(1,64) alebo (1.64`)

kde cosa, cosb, cosg sú smerové kosínusy vektora `S. Z (1.64) je ľahké získať rovnicu priamky prechádzajúcej danými bodmi M1(x1, y1, z1) a M2(x2, y2, z2) (je rovnobežná )

Alebo (1,64")

(Hodnoty zlomkov v (1.64) sú rovnaké pre každý bod na priamke a možno ich označiť t, kde t R. To vám umožní zadať parametrické rovnice čiary

Každá hodnota parametra t zodpovedá množine súradníc x, y, z bodu na priamke alebo (inak) - hodnotám neznámych, ktoré spĺňajú rovnice priamky).

Pomocou už známych vlastností vektorov a operácií s nimi a kanonických rovníc priamky je ľahké získať nasledujúce vzorce:

Uhol medzi rovnými čiarami: (1.65)

Podmienka paralelnosti (1,66).

kolmosť l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) priamky.

Uhol medzi priamkou a rovinou (ľahko sa získa nájdením uhla medzi priamkou a kolmicou k rovine, ktorý sa sčíta k požadovanému p/2)

(1.68)

Z (1.66) dostaneme podmienku rovnobežnosti Al + Bm + Cn = 0 (1,69)

a kolmosť (1,70) priamky a roviny. Nevyhnutnú a postačujúcu podmienku, aby dve čiary boli v rovnakej rovine, možno ľahko získať z podmienky koplanarity (1.25).

(1.71)

Kontrolné otázky.

1) Aké sú spôsoby, ako definovať priamku v priestore?

1) Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodom A(4,3,0) rovnobežnej s vektorom Uveďte správnu odpoveď:

A) ; b) .

2) Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(2,-1,3) a B(2,3,3). Uveďte správnu odpoveď.

A) ; b) .

3) Nájdite priesečník priamky s rovinou: , . Uveďte správnu odpoveď:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Povrchy druhého rádu. Ak lineárna rovnica v trojrozmernej karteziánskej báze jednoznačne definuje rovinu, každá nelineárna rovnica obsahujúca x, y, z opisuje nejaký iný povrch. Ak má rovnica tvar

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, potom opisuje povrch druhého rádu (všeobecná rovnica povrchu druhého rádu). Výberom alebo transformáciou karteziánskych súradníc možno rovnicu čo najviac zjednodušiť, čo vedie k jednej z nasledujúcich foriem opisujúcich zodpovedajúci povrch.

1. Ako vodidlá slúžia kanonické rovnice valcov druhého rádu, ktorých generátory sú rovnobežné s osou Oz a zodpovedajúce krivky druhého rádu ležiace v rovine xOy:

(1.72), (1,73), y2 = 2 pixely (1,74)

eliptický, hyperbolický a parabolický valec.

(Pripomeňme, že valcová plocha je plocha získaná pohybom priamky, nazývanej tvoriaca čiara, rovnobežne so sebou samým. Priamka priesečníka tejto plochy s rovinou kolmou na tvoriacu čiaru sa nazýva vodiaca čiara – určuje tvar povrch).

Analogicky môžeme zapísať rovnice rovnakých valcových plôch s tvoriacimi priamkami rovnobežnými s osou Oy a osou Ox. Vedenie môže byť definované ako priesečník povrchu valca a príslušnej súradnicovej roviny, t.j. sústava rovníc v tvare:

2. Rovnice kužeľa druhého rádu s vrcholom v počiatku:

(1.75)

(osi kužeľa sú osi Oz, Oy a Ox, v tomto poradí)

3. Kanonická rovnica elipsoidu: (1,76);

Špeciálnymi prípadmi sú napríklad elipsoidy revolúcie – povrch získaný rotáciou elipsy okolo osi Oz (At

a > c je elipsoid stlačený, pričom a x2 + y2+ z2 + = r2 – rovnica gule s polomerom r so stredom v počiatku).

4. Kanonická rovnica jednolistového hyperboloidu

(znak „–“ sa môže objaviť pred ktorýmkoľvek z troch pojmov na ľavej strane – mení sa iba poloha plochy v priestore). Špeciálnymi prípadmi sú napríklad jednovrstvové hyperboloidy revolúcie – povrch získaný rotáciou hyperboly okolo osi Oz (imaginárnej osi hyperboly).

5. Kanonická rovnica dvojlistového hyperboloidu

(znak „–“ sa môže objaviť pred ktorýmkoľvek z troch výrazov na ľavej strane).

Špeciálnymi prípadmi sú dvojlistové rotačné hyperboloidy, napríklad povrch získaný rotáciou hyperboly okolo osi Oz (reálna os hyperboly).

6. Kanonická rovnica eliptického paraboloidu

(p >0, q >0) (1,79)

7. Kanonická rovnica hyperbolického paraboloidu

(p >0, q >0) (1,80)

(premenná z môže meniť miesto s ktoroukoľvek z premenných x a y - zmení sa poloha plochy v priestore).

Všimnite si, že predstavu o vlastnostiach (tvare) týchto povrchov možno ľahko získať zvážením rezov týchto povrchov rovinami kolmými na súradnicové osi.

Kontrolné otázky.

1) Aká množina bodov v priestore určuje rovnicu?

2) Aké sú kanonické rovnice valcov druhého rádu; kužeľ druhého rádu; elipsoid; jednolistový hyperboloid; dvojlistový hyperboloid; eliptický paraboloid; hyperbolický paraboloid?

1) Nájdite stred a polomer gule a označte správnu odpoveď:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5;2,5;2);

2) Určte typ povrchu daný rovnicami: . Uveďte správnu odpoveď:

a) jednolistový hyperboloid; hyperbolický paraboloid; eliptický paraboloid; kužeľ.

b) dvojlistový hyperboloid; hyperbolický paraboloid; eliptický paraboloid; kužeľ.

§7. Rovina ako plocha prvého rádu. Všeobecná rovnica roviny. Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor Zaveďme v priestore pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxyz a uvažujme rovnicu prvého stupňa (alebo lineárnu rovnicu) pre x, y, z: (7.1) Ax  Podľa  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Veta 7.1. Akákoľvek rovina môže byť špecifikovaná v ľubovoľnom pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme rovnicou v tvare (7.1). Presne tak, ako v prípade priamky v rovine, platí aj opačná veta 7.1. Veta 7.2. Akákoľvek rovnica tvaru (7.1) definuje rovinu v priestore. Dôkaz viet 7.1 a 7.2 možno vykonať podobne ako dôkaz viet 2.1, 2.2. Z viet 7.1 a 7.2 vyplýva, že rovina a iba ona je povrchom prvého rádu. Rovnica (7.1) sa nazýva všeobecná rovinná rovnica. Jeho  koeficienty A, B, C sú interpretované geometricky ako súradnice vektora n kolmé na rovinu definovanú touto rovnicou. Tento vektor  n(A, B, C) sa nazýva normálový vektor k danej rovine. Rovnica (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 pre všetky možné hodnoty koeficientov A, B, C definuje všetky roviny prechádzajúce bodom M 0 ( x0, y0, z0). Nazýva sa to rovnica zväzku rovín. Voľba konkrétnych hodnôt A, B, C v (7.2) znamená voľbu roviny P od spojnice prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na daný vektor n(A, B, C) (obr. 7.1 ). Príklad 7.1. Napíšte rovnicu roviny P prechádzajúcej bodom   A(1, 2, 0) rovnobežným s vektormi a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normálový vektor n až P je ortogonálny k daným vektorom a a b (obr. 7.2),   preto pre n môžeme vziať ich vektor n súčin: A    P i j k   1 2  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n  2 0 1 n   a  4k. Dosadíme súradnice z obr. 7.2. Napríklad 7.1 P M0  bod M 0 a vektor n do rovnice (7.2), dostaneme Obr. 7.1. K rovnici roviny zväzku rovín P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 alebo P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Ak sú koeficienty dva A, B, C rovnice (7.1) sa rovnajú nule, udáva rovinu rovnobežnú s jednou zo súradnicových rovín. Napríklad, keď A  B  0, C  0 – rovina P1: Cz  D  0 alebo P1: z   D / C (obr. 7.3). Je rovnobežná s rovinou Oxy, pretože jej normálový vektor  n1(0, 0, C) je na túto rovinu kolmý. Pre A  C  0, B  0 alebo B  C  0, A  0 platí rovnica (7. 1) definuje roviny P2: Podľa  D  0 a P3: Ax  D  0, rovnobežné so súradnicovými rovinami Oxz a Oyz, pretože   ich normálové vektory n2(0, B, 0) a n3(A, 0 , 0 ) sú na ne kolmé (obr. 7.3). Ak sa len jeden z koeficientov A, B, C rovnice (7.1) rovná nule, potom udáva rovinu rovnobežnú s jednou zo súradnicových osí (alebo ju obsahuje, ak D  0). Rovina P: Ax  By  D  0 je teda rovnobežná s osou Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Obr. 7.4. Rovina P: Ax  B y  D  0, rovnobežná s osou Oz Obr. 7.3. Roviny sú rovnobežné so súradnicovými rovinami , pretože jeho normálový vektor n(A, B, 0) je kolmý na os Oz. Všimnite si, že prechádza cez priamku L: Ax  By  D  0 ležiacu v rovine Oxy (obr. 7.4). Pre D  0 rovnica (7.1) špecifikuje rovinu prechádzajúcu počiatkom. Príklad 7.2. Nájdite hodnoty parametra , pre ktoré rovnica x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definuje rovinu P: a) rovnobežnú s jednou súradnicových rovín; b) rovnobežne s jednou zo súradnicových osí; c) prechod cez počiatok súradníc. Napíšme túto rovnicu v tvare x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Pre ľubovoľnú hodnotu  definuje rovnica (7.3) určitú rovinu, keďže koeficienty x, y, z v (7.3) súčasne nezanikajú. a) Pre   0 rovnica (7.3) definuje rovinu P rovnobežnú s rovinou Oxy, P: z  3 / 2 a pre   2 definuje rovinu P 2 rovnobežnú s rovinou Oyz, P: x  5/ 2. Pre žiadne hodnoty  nie je rovina P definovaná rovnicou (7.3) rovnobežná s rovinou Oxz, keďže koeficienty x, z v (7.3) súčasne nemiznú. b) Pre   1 rovnica (7.3) definuje rovinu P rovnobežnú s osou Oz, P: x  3y  2  0. Pre ostatné hodnoty parametra  nedefinuje rovinu rovnobežnú len s jednou zo súradnicových osí. c) Pre   3 rovnica (7.3) definuje rovinu P prechádzajúcu počiatkom, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Príklad 7.3. Napíšte rovnicu roviny P prechádzajúcej: a) bodom M (1,  3, 2) rovnobežným s osou roviny Oxy; b) os Ox a bod M (2, – 1, 3).   a) Pre normálový vektor n až P tu môžeme vziať vektor k (0, 0,1) - jednotkový vektor osi Oz, pretože je kolmý na rovinu Oxy. Dosadíme súradnice bodu  M (1,  3, 2) a vektora n do rovnice (7.2), dostaneme rovnicu roviny P: z 3  0.   b) Normálny vektor n do P je ortogonálne k vektorom i (1, 0, 0) a OM (2,  1, 3) ,  preto ich vektorový súčin môžeme považovať za n:    i j k       i n  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Dosadíme súradnice bodu O a vektora n do rovnice (7.2), dostaneme rovnicu roviny P:  3(y  0)  (z  0)  0 alebo P: 3 y  z  0 .◄ 3

Podobné články