Parciálne derivácie a diferenciály. Čiastočná derivácia, úplný diferenciál FNP

Čiastočná derivácia funkcie z = f(x, y podľa premennej x Derivácia tejto funkcie pri konštantnej hodnote premennej y sa nazýva, označuje sa alebo z" x.

Čiastočná derivácia funkcie z = f(x, y) podľa premennej y sa nazýva derivácia vzhľadom na y pri konštantnej hodnote premennej y; je určené alebo z" y.

Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných vzhľadom na jednu premennú je definovaná ako derivácia tejto funkcie vzhľadom na zodpovedajúcu premennú za predpokladu, že zostávajúce premenné sú konštantné.

Úplný diferenciál funkcia z = f(x, y) v určitom bode M(X, y) sa nazýva výraz

Kde a sú vypočítané v bode M(x, y) a dx = , dy = y.

Príklad 1

Vypočítajte úplný diferenciál funkcie.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 v bode M(1; 2)

Riešenie:

1) Nájdite parciálne derivácie:

2) Vypočítajte hodnotu parciálnych derivátov v bode M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Otázky na sebaovládanie:

1. Čo sa nazýva primitívny derivát? Uveďte vlastnosti primitívneho derivátu.

2. Čo sa nazýva neurčitý integrál?

3. Uveďte vlastnosti nie určitý integrál.

4. Uveďte základné integračné vzorce.

5. Aké metódy integrácie poznáte?

6. Čo je podstatou Newtonovho–Leibnizovho vzorca?

7. Uveďte definíciu určitého integrálu.

8. Čo je podstatou výpočtu určitého integrálu substitučnou metódou?

9. Čo je podstatou metódy výpočtu určitého integrálu po častiach?

10. Ktorá funkcia sa nazýva funkcia dvoch premenných? Ako je to určené?

11. Ktorá funkcia sa nazýva funkcia troch premenných?

12. Aká množina sa nazýva definičný obor funkcie?

13. Pomocou akých nerovností môžete nastaviť uzavretá oblasť D v lietadle?

14. Aká je parciálna derivácia funkcie z = f(x, y) vzhľadom na premennú x? Ako je to určené?

15. Aká je parciálna derivácia funkcie z = f(x, y) vzhľadom na premennú y? Ako je to určené?

16. Aký výraz sa nazýva totálny diferenciál funkcie

Téma 1.2 Obyčajné diferenciálne rovnice.

Úlohy vedúce k diferenciálnym rovniciam. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými. Všeobecné a špecifické riešenia. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu. Lineárne homogénne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Praktická lekciač. 7 „Hľadanie všeobecných a konkrétnych riešení diferenciálne rovnice s oddeliteľnými premennými"*

Praktická lekcia č. 8 „Lineárne a homogénne diferenciálne rovnice“

Praktická lekcia č. 9 „Riešenie diferenciálnych rovníc 2. rádu s konštantné koeficienty»*

L4, kapitola 15, s. 243 – 256

Smernice

Nech je funkcia definovaná v nejakej (otvorenej) doméne D bodov
dimenzionálny priestor a
– bod v tejto oblasti, t.j.
D.

Čiastočný prírastok funkcie z mnohých premenných pre akúkoľvek premennú je prírastok, ktorý funkcia dostane, ak tejto premennej dáme prírastok za predpokladu, že všetky ostatné premenné majú konštantné hodnoty.

Napríklad čiastočné zvýšenie funkcie o premennú bude

Čiastočná derivácia vzhľadom na nezávislú premennú v bode
funkcie sa nazýva limit (ak existuje) pomer čiastočného prírastku
funkcie na zvýšenie
premenlivý pri snažení
na nulu:

Čiastočná derivácia je označená jedným zo symbolov:

;
.

Komentujte. Index nižšie v týchto zápisoch iba označuje, ktorá z premenných je odvodená, a nesúvisí s ktorým bodom
vypočíta sa tento derivát.

Výpočet parciálnych derivácií nie je ničím novým v porovnaní s výpočtom obyčajnej derivácie, len si treba uvedomiť, že pri derivácii funkcie vzhľadom na akúkoľvek premennú sa všetky ostatné premenné berú ako konštanty. Ukážme si to na príkladoch.

Príklad 1Nájdite parciálne derivácie funkcie
.

Riešenie. Pri výpočte parciálnej derivácie funkcie
argumentom zvážiť funkciu ako funkcia len jednej premennej , t.j. tomu veríme má pevnú hodnotu. Pri pevnom funkciu
je mocenskou funkciou argumentu . Pomocou vzorca na diferenciáciu mocninovej funkcie dostaneme:

Podobne aj pri výpočte parciálnej derivácie predpokladáme, že hodnota je pevná a zvážte funkciu
Ako exponenciálna funkcia argument . V dôsledku toho dostaneme:

Príklad 2. NIT parciálne deriváty A funkcie
.

Riešenie. Pri výpočte parciálnej derivácie vzhľadom na danú funkciubudeme ju považovať za funkciu jednej premennej a výrazy obsahujúce , budú konštantné faktory, t.j.
pôsobí ako konštantný koeficient pri výkonová funkcia(
). Rozlíšenie tohto výrazu podľa , dostaneme:

Teraz naopak funkcia považovaný za funkciu jednej premennej , zatiaľ čo výrazy obsahujúce , pôsobia ako koeficient
(
).Rozlišovanie podľa pravidiel diferenciácie goniometrických funkcií získame:

Príklad 3 Vypočítajte parciálne derivácie funkcií
v bode
.

Riešenie. Najprv nájdeme parciálne derivácie tejto funkcie v ľubovoľnom bode
jeho doména definície. Pri výpočte parciálnej derivácie vzhľadom na tomu veríme
sú trvalé.

pri rozlišovaní podľa bude trvalý
:

a pri výpočte parciálnych derivátov vzhľadom na a podľa , podobne bude konštantné, resp.
A
, t.j.:

Teraz vypočítajme hodnoty týchto derivátov v bode
nahradením konkrétnych hodnôt premenných do ich výrazov. V dôsledku toho dostaneme:

11. Parciálne a úplné diferenciálne funkcie

Ak teraz k čiastočnému prírastku
aplikovať Lagrangeovu vetu o konečných prírastkoch v premennej , potom s ohľadom spojité, dostaneme nasledujúce vzťahy:

Kde
,
- nekonečne malé množstvo.

Parciálna diferenciálna funkcia podľa premennej sa nazýva hlavná lineárna časť čiastočného prírastku
rovná súčinu parciálnej derivácie vzhľadom na túto premennú a prírastku tejto premennej a označuje sa

Je zrejmé, že parciálny diferenciál sa líši od parciálneho prírastku o nekonečne malé číslo vyššieho rádu.

Plne funkčný prírastok mnohých premenných sa nazýva prírastok, ktorý dostane, keď dáme prírastok všetkým nezávislým premenným, t.j.

kde sú všetci
závisia a spolu s nimi inklinujú k nule.

Pod diferenciály nezávislých premenných súhlasil naznačovať svojvoľný prírastky
a označte ich
. Výraz pre čiastočný diferenciál teda bude mať tvar:

Napríklad čiastočný diferenciál Autor: je definovaná takto:

Úplný diferenciál
funkcia viacerých premenných sa nazýva hlavná lineárna časť celkového prírastku
, rovný, t.j. súčet všetkých jeho čiastočných diferenciálov:

Ak je funkcia
má spojité parciálne derivácie

v bode
potom ona diferencovateľné v danom bode.

Keď je dostatočne malý na diferencovateľnú funkciu
existujú približné rovnosti

pomocou ktorých môžete robiť približné výpočty.

Príklad 4.Nájdite úplný diferenciál funkcie
tri premenné
.

Riešenie. Najprv nájdeme parciálne derivácie:

Všimnite si, že sú nepretržité pre všetky hodnoty
, nájdeme:

Pre diferenciály funkcií mnohých premenných platia všetky vety o vlastnostiach diferenciálov, dokázané pre prípad funkcií jednej premennej, napr. A – nepretržitý funkcie premenných
, ktoré majú spojité parciálne derivácie vzhľadom na všetky premenné, a A sú ľubovoľné konštanty, potom:

(6)

Uvažujme o zmene funkcie pri zadávaní prírastku iba jedného z jej argumentov - x i, a nazvime to .

Definícia 1.7.Čiastočná derivácia funguje argumentom x i volal .

Označenia: .

Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných je teda vlastne definovaná ako derivácia funkcie jedna premenná – x i. Preto sú pre ňu platné všetky vlastnosti derivácií dokázané pre funkciu jednej premennej.

Komentujte. Pri praktickom výpočte parciálnych derivácií používame zaužívané pravidlá pre derivovanie funkcie jednej premennej za predpokladu, že argument, ktorým sa derivácia vykonáva, je premenlivý a ostatné argumenty sú konštantné.

1. z = 2X² + 3 xy –12r² + 5 X – 4r +2,

2. z = xy,

Geometrická interpretácia parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných.

Zvážte rovnicu povrchu z = f(x,y) a nakreslite rovinu x = konšt. Vyberte bod na priesečníku roviny a povrchu M(x,y). Ak uvediete argument pri prírastok Δ pri a zvážte bod T na krivke so súradnicami ( x, y+Δ y, z+Δy z), potom dotyčnica uhla, ktorý zviera sečna MT s kladným smerom osi O pri, sa bude rovnať . Prechodom na limitu v bode , zistíme, že parciálna derivácia sa rovná dotyčnici uhla, ktorý zviera dotyčnica k výslednej krivke v bode M s kladným smerom osi O u. V súlade s tým sa parciálna derivácia rovná dotyčnici uhla s osou O X dotyčnica ku krivke získanej ako výsledok delenia povrchu z = f(x,y) lietadlo y= konšt.

Definícia 2.1. Volá sa úplný prírastok funkcie u = f(x, y, z).

Definícia 2.2. Ak prírastok funkcie u = f (x, y, z) v bode (x 0 , y 0 , z 0) možno znázorniť v tvare (2.3), (2.4), potom sa funkcia nazýva diferencovateľná pri tento bod a výraz sa nazýva hlavná lineárna časť prírastku alebo celkového diferenciálu príslušnej funkcie.

Označenia: du, df (x 0, y 0, z 0).

Rovnako ako v prípade funkcie jednej premennej sa diferenciály nezávislých premenných považujú za ich ľubovoľné prírastky, preto

Poznámka 1. Takže tvrdenie „funkcia je diferencovateľná“ nie je ekvivalentné tvrdeniu „funkcia má parciálne derivácie“ – pre diferenciovateľnosť je tiež potrebná spojitosť týchto derivácií v danom bode.

4. Dotyková rovina a normála k povrchu. Geometrický význam diferenciálu.

Nechajte funkciu z = f (x, y) je diferencovateľný v okolí bodu M (x 0, y 0). Potom jeho parciálne derivácie sú uhlové koeficienty dotyčníc k priesečníkom povrchu z = f (x, y) s lietadlami y = y 0 A x = x 0, ktorá sa bude dotýkať samotného povrchu z = f (x, y). Vytvorme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu týmito priamkami. Vektory smeru dotyčnice majú tvar (1; 0; ) a (0; 1; ), takže normála k rovine môže byť reprezentovaná ako vektorový produkt: n = (-,-, 1). Preto rovnicu roviny možno zapísať takto:

Kde z 0 = .

Definícia 4.1. Rovina definovaná rovnicou (4.1) sa nazýva dotyková rovina do grafu funkcie z = f (x, y) v bode so súradnicami (x 0, y 0, z 0).

Zo vzorca (2.3) pre prípad dvoch premenných vyplýva, že prírastok funkcie f v blízkosti bodu M môže byť reprezentovaný ako:

V dôsledku toho je rozdiel medzi aplikáciami grafu funkcie a dotykovej roviny nekonečne malý viac ako vysoký poriadok, ako ρ, pri ρ→ 0.

V tomto prípade diferenciálna funkcia f má tvar:

čo zodpovedá prírastok dotyčnicovej roviny sa aplikuje na graf funkcie. Toto je geometrický význam diferenciál.

Definícia 4.2. Nenulový vektor kolmý na dotykovú rovinu v bode M (x 0, y 0) povrchy z = f (x, y), volal normálne na povrch v tomto bode.

Je vhodné vziať vektor -- n = { , ,-1}.

Linearizácia funkcie. Dotyková rovina a normála k povrchu.

Deriváty a diferenciály vyšších rádov.

1. Čiastočné deriváty FNP *)

Zvážte funkciu A = f(P), РÎDÌR n alebo čo je to isté,

A = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Opravme hodnoty premenných X 2 , ..., x n a premenná X 1 dajme prírastok D X 1. Potom funkcia A dostane prírastok určený rovnosťou

= f (X 1 + D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Tento prírastok sa nazýva súkromný prírastok funkcie A podľa premennej X 1 .

Definícia 7.1. Funkcia parciálnej derivácie A = f(X 1 , X 2 , ..., x n) podľa premennej X 1 je hranica pomeru čiastočného prírastku funkcie k prírastku argumentu D X 1 v D X 1 ® 0 (ak tento limit existuje).

Čiastočná derivácia vzhľadom na X 1 znakov

Teda podľa definície

Čiastkové derivácie vzhľadom na iné premenné sa určujú podobne X 2 , ..., x n. Z definície je zrejmé, že parciálna derivácia funkcie vzhľadom na premennú x i je obvyklá derivácia funkcie jednej premennej x i, keď sa ostatné premenné považujú za konštanty. Na nájdenie derivácie funkcie viacerých premenných je preto možné použiť všetky predtým študované pravidlá a vzorce diferenciácie.

Napríklad pre funkciu u = X 3 + 3xy – z 2 máme

Ak je teda explicitne daná funkcia viacerých premenných, potom sa otázky existencie a nájdenia jej parciálnych derivácií redukujú na zodpovedajúce otázky týkajúce sa funkcie jednej premennej – tej, pre ktorú je potrebné deriváciu určiť.

Uvažujme implicitne definovanú funkciu. Nech platí rovnica F( X, r) = 0 definuje implicitná funkcia jedna premenná X. Fér

Veta 7.1.

Nechaj F( X 0 , r 0) = 0 a funkcie F( X, r), F¢ X(X, r), F¢ pri(X, r) sú súvislé v určitom susedstve bodu ( X 0 , pri 0) a F¢ pri(X 0 , r 0) ¹ 0. Potom funkcia pri, dané implicitne rovnicou F( X, r) = 0, má v bode ( X 0 , r 0) derivácia, ktorá sa rovná

Ak sú podmienky vety splnené v ktoromkoľvek bode oblasti DÌ R 2, potom v každom bode tejto oblasti .

Napríklad pre funkciu X 3 –2pri 4 + uh+ 1 = 0 nájdeme

Teraz rovnica F( X, r, z) = 0 definuje implicitnú funkciu dvoch premenných. Poďme nájsť a. Od výpočtu derivácie vzhľadom na X vyrábané pri pevnom (konštantnom) pri, potom za týchto podmienok rovnosť F( X, r=konšt., z) = 0 definuje z ako funkcia jednej premennej X a podľa vety 7.1 dostaneme