Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare homogjene është gjithmonë. Sisteme homogjene ekuacionesh

Sistemi m ekuacionet lineare c n quhen të panjohura sistemi i homogjenit linear ekuacionet nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero. Një sistem i tillë duket si ky:

Ku dhe ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numrat e dhënë; x i– e panjohur.

Një sistem ekuacionesh homogjene lineare është gjithmonë konsistent, pasi r(A) = r(). Gjithmonë ka të paktën zero ( i parëndësishëm) zgjidhje (0; 0; …; 0).

Le të shqyrtojmë se në cilat kushte sistemet homogjene kanë zgjidhje jo zero.

Teorema 1. Një sistem ekuacionesh homogjene lineare ka zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij kryesore është r më pak numër i panjohur n, d.m.th. r < n.

□ 1). Le të ketë një sistem ekuacionesh homogjene lineare një zgjidhje jozero. Meqenëse grada nuk mund të tejkalojë madhësinë e matricës, atëherë, padyshim, r ≤ n. Le r = n. Pastaj një nga madhësitë e vogla n n të ndryshme nga zero. Prandaj, sistemi përkatës i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje unike: . Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje të tjera përveç atyre të parëndësishme. Pra, nëse ka një zgjidhje jo të parëndësishme, atëherë r < n.

2). Le r < n. Atëherë sistemi homogjen, duke qenë konsistent, është i pasigurt. Kjo do të thotë se ka një numër të pafund zgjidhjesh, d.m.th. ka zgjidhje jo zero. ■

Konsideroni një sistem homogjen n ekuacionet lineare c n i panjohur:

(2)

Teorema 2. Sistemi homogjen n ekuacionet lineare c n e panjohura (2) ka zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e saj e barabartë me zero: = 0.

□ Nëse sistemi (2) ka një zgjidhje jo zero, atëherë = 0. Sepse kur sistemi ka vetëm një zgjidhje të vetme zero. Nëse = 0, atëherë renditja r matrica kryesore e sistemit është më e vogël se numri i të panjohurave, d.m.th. r < n. Dhe, për rrjedhojë, sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh, d.m.th. ka zgjidhje jo zero. ■

Le të shënojmë zgjidhjen e sistemit (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n si një varg .

Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh homogjene lineare kanë këto veti:

1. Nëse linja është një zgjidhje për sistemin (1), atëherë vija është një zgjidhje për sistemin (1).

2. Nëse linjat dhe janë zgjidhje të sistemit (1), pastaj për çdo vlerë Me 1 dhe Me 2 kombinimi i tyre linear është gjithashtu një zgjidhje për sistemin (1).

Vlefshmëria e këtyre vetive mund të verifikohet duke i zëvendësuar drejtpërdrejt në ekuacionet e sistemit.

Nga vetitë e formuluara rezulton se çdo kombinim linear i zgjidhjeve në një sistem ekuacionesh homogjene lineare është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.

Sistemi i zgjidhjeve lineare të pavarura e 1 , e 2 , …, e r thirrur themelore, nëse çdo zgjidhje e sistemit (1) është një kombinim linear i këtyre zgjidhjeve e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Nëse renditet r matricat e koeficientëve për variablat e sistemit të ekuacioneve homogjene lineare (1) janë më të vogla se numri i variablave n, atëherë çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit (1) përbëhet nga n–r vendimet.

Kjo është arsyeja pse vendim të përbashkët sistemi i ekuacioneve homogjene lineare (1) ka formën:

Ku e 1 , e 2 , …, e r- çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit (9), Me 1 , Me 2 , …, me f- numra arbitrar, R = n–r.

Teorema 4. Zgjidhja e përgjithshme e sistemit m ekuacionet lineare c n e panjohura është e barabartë me shumën zgjidhje e përgjithshme sistemi përkatës i ekuacioneve homogjene lineare (1) dhe një zgjidhje e veçantë arbitrare për këtë sistem (1).

Shembull. Zgjidheni sistemin

Zgjidhje. Për këtë sistem m = n= 3. Përcaktor

nga Teorema 2, sistemi ka vetëm një zgjidhje të parëndësishme: x = y = z = 0.

Shembull. 1) Gjeni zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta të sistemit

2) Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve.

Zgjidhje. 1) Për këtë sistem m = n= 3. Përcaktor

sipas Teoremës 2, sistemi ka zgjidhje jozero.

Meqenëse ekziston vetëm një ekuacion i pavarur në sistem

x + y – 4z = 0,

atëherë prej saj do të shprehemi x =4z- y. Ku marrim një numër të pafund zgjidhjesh: (4 z- y, y, z) – kjo është zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Në z= 1, y= -1, marrim një zgjidhje të veçantë: (5, -1, 1). Duke vënë z= 3, y= 2, marrim zgjidhjen e dytë të veçantë: (10, 2, 3), etj.

2) Në zgjidhjen e përgjithshme (4 z- y, y, z) variablat y Dhe z janë të lira, dhe ndryshorja X- varur prej tyre. Për të gjetur një sistem themelor zgjidhjesh, ne caktojmë falas vlerat e ndryshueshme: ne fillim y = 1, z= 0, atëherë y = 0, z= 1. Përftojmë zgjidhje të pjesshme (-1, 1, 0), (4, 0, 1), të cilat formojnë sistemin themelor të zgjidhjeve.

Ilustrime:

Oriz. 1 Klasifikimi i sistemeve të ekuacioneve lineare

Oriz. 2 Studimi i sistemeve të ekuacioneve lineare

Prezantimet:

· Zgjidhja e SLAU_ metoda e matricës

· Zgjidhja e metodës SLAE_Cramer

· Zgjidhje Metoda SLAE_Gauss

· Paketat e zgjidhjeve problemet matematikore Mathematica, MathCad: kërko për analitike dhe zgjidhje numerike sistemet e ekuacioneve lineare

Pyetje kontrolli:

1. Përcaktoni një ekuacion linear

2. Çfarë lloj sistemi duket si? m ekuacionet lineare me n i panjohur?

3. Çfarë quhet zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare?

4. Cilat sisteme quhen ekuivalente?

5. Cili sistem quhet i papajtueshëm?

6. Cili sistem quhet nyje?

7. Cili sistem quhet i caktuar?

8. Cili sistem quhet i pacaktuar

9. Listoni shndërrimet elementare të sistemeve të ekuacioneve lineare

10. Listoni shndërrimet elementare të matricave

11. Tregoni teoremën e zbatimit transformimet elementare në një sistem ekuacionesh lineare

12. Cilat sisteme mund të zgjidhen duke përdorur metodën e matricës?

13. Cilat sisteme mund të zgjidhen me metodën e Cramer-it?

14. Cilat sisteme mund të zgjidhen me metodën e Gausit?

15. Listoni 3 raste të mundshme që lindin gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit

16. Përshkruani metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

17. Përshkruani metodën e Cramer-it për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

18. Përshkruani metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

19. Cilat sisteme mund të zgjidhen duke përdorur një matricë inverse?

20. Listoni 3 raste të mundshme që lindin gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer

Letërsia:

1. Matematikë e lartë për ekonomistët: Libër mësuesi për universitetet / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITET, 2005. – 471 f.

2. Lëndë e përgjithshme e matematikës së lartë për ekonomistë: Libër mësuesi. / Ed. NË DHE. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 f.

3. Përmbledhja e problemave në matematikën e lartë për ekonomistët: Tutorial/ Redaktuar nga V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 f.

4. Gmurman V. E. Udhëzues për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat magmatike. - M.: Shkolla e lartë, 2005. – 400 f.

5. Gmurman. V.E Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore. - M.: Shkolla e Lartë, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematikë e lartë në ushtrime dhe probleme. Pjesa 1, 2. – M.: Onyx shekulli 21: Peace and Education, 2005. – 304 f. Pjesa 1; – 416 f. Pjesa 2.

7. Matematika në ekonomi: Teksti mësimor: Në 2 pjesë / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Financa dhe Statistikat, 2006.

8. Shipaçev V.S. Matematika e lartë: Libër mësuesi për nxënës. universitetet - M.: Shkolla e Lartë, 2007. - 479 f.

Informacione të lidhura.

Sistemet e ekuacioneve lineare homogjene- ka formën ∑a k i x i = 0. ku m > n ose m Një sistem homogjen ekuacionesh lineare është gjithmonë konsistent, pasi rangA = rangB. Është e qartë se ka një zgjidhje të përbërë nga zero, e cila quhet i parëndësishëm.

Qëllimi i shërbimit. Llogaritësi në internet është krijuar për të gjetur një zgjidhje jo të parëndësishme dhe themelore për SLAE. Zgjidhja që rezulton ruhet në Skedari Word(shih zgjidhjen shembull).

Udhëzimet. Zgjidhni dimensionin e matricës:

Vetitë e sistemeve të ekuacioneve homogjene lineare

Në mënyrë që sistemi të ketë zgjidhje jo të parëndësishme, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës të jetë më i vogël se numri i të panjohurave.

Teorema. Një sistem në rastin m=n ka një zgjidhje jotriviale nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e këtij sistemi është e barabartë me zero.

Teorema. Çdo kombinim linear i zgjidhjeve të një sistemi është gjithashtu një zgjidhje për atë sistem.
Përkufizimi. Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh homogjene lineare quhet sistemi themelor i zgjidhjeve, nëse ky grup përbëhet nga zgjidhje linearisht të pavarura dhe çdo zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i këtyre zgjidhjeve.

Teorema. Nëse rangu r i matricës së sistemit është më i vogël se numri n i të panjohurave, atëherë ekziston një sistem themelor zgjidhjesh që përbëhet nga zgjidhje (n-r).

Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare homogjene

Gjetja e renditjes së matricës.
Ne zgjedhim minorin bazë. Dallojmë të panjohurat e varura (themelore) dhe të lira.
Ne kryqëzojmë ato ekuacione të sistemit, koeficientët e të cilëve nuk janë përfshirë bazë e vogël, pasi ato janë pasoja të të tjerave (nga teorema mbi bazën e vogël).
I zhvendosim termat e ekuacioneve që përmbajnë të panjohura të lira në anën e djathtë. Si rezultat, marrim një sistem r ekuacionesh me r të panjohura, ekuivalente me atë të dhënë, përcaktorja e të cilit është jozero.
Ne e zgjidhim sistemin që rezulton duke eliminuar të panjohurat. Ne gjejmë marrëdhënie që shprehin ndryshore të varura përmes atyre të lira.
Nëse rangu i matricës nuk është i barabartë me numrin e variablave, atëherë gjejmë zgjidhjen themelore të sistemit.
Në rastin rang = n kemi një zgjidhje të parëndësishme.

Shembull. Gjeni bazën e sistemit të vektorëve (a 1, a 2,...,a m), renditni dhe shprehni vektorët në bazë të bazës. Nëse a 1 =(0,0,1,-1), dhe 2 =(1,1,2,0), dhe 3 =(1,1,1,1), dhe 4 =(3,2,1 ,4) dhe 5 =(2,1,0,3).
Le të shkruajmë matricën kryesore të sistemit:

Shumëzojeni rreshtin e tretë me (-3). Le të shtojmë rreshtin e 4-të në rreshtin e 3-të:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Shumëzojeni rreshtin e 4-të me (-2). Le të shumëzojmë rreshtin e 5-të me (3). Le të shtojmë rreshtin e 5-të në rreshtin e 4-të:
Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:
Le të gjejmë gradën e matricës.
Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Duke përdorur metodën e eliminimit të të panjohurave, gjejmë një zgjidhje jo të parëndësishme:
Ne morëm marrëdhënie që shprehin variablat e varur x 1 , x 2 , x 3 përmes atyre të lira x 4 , domethënë gjetëm një zgjidhje të përgjithshme:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Ekuacioni linear quhet homogjene, nëse termi i lirë i tij është i barabartë me zero, dhe johomogjen ndryshe. Një sistem i përbërë nga ekuacione homogjene quhet homogjen dhe ka formë e përgjithshme:

Është e qartë se çdo sistem homogjen është konsistent dhe ka një zgjidhje zero (të parëndësishme). Prandaj, kur aplikohet në sisteme homogjene të ekuacioneve lineare, shpesh duhet të kërkohet një përgjigje për pyetjen e ekzistencës së zgjidhjeve jozero. Përgjigja për këtë pyetje mund të formulohet si teorema e mëposhtme.

Teorema . Një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse rangu i tij është më i vogël se numri i të panjohurave .

Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem rangu i të cilit është i barabartë ka një zgjidhje jo zero. Është e qartë se nuk e kalon. Në rast se sistemi ka një zgjidhje unike. Meqenëse një sistem ekuacionesh lineare homogjene ka gjithmonë një zgjidhje zero, atëherë zgjidhja zero do të jetë kjo zgjidhje unike. Kështu, zgjidhjet jo zero janë të mundshme vetëm për .

Përfundimi 1 : Një sistem homogjen ekuacionesh, në të cilin numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave, ka gjithmonë një zgjidhje jo zero.

Dëshmi: Nëse një sistem ekuacionesh ka , atëherë rangu i sistemit nuk e kalon numrin e ekuacioneve, d.m.th. . Kështu, kushti është i kënaqur dhe, për rrjedhojë, sistemi ka një zgjidhje jo zero.

Përfundimi 2 : Një sistem homogjen ekuacionesh me të panjohura ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e tij është zero.

Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem ekuacionesh homogjene lineare, matrica e të cilit me përcaktorin , ka një zgjidhje jo zero. Pastaj, sipas teoremës së provuar, dhe kjo do të thotë se matrica është njëjës, d.m.th. .

Teorema Kronecker-Capelli: Një SLU është konsistente nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së sistemit është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar të këtij sistemi. Një sistem ur quhet konsistent nëse ka të paktën një zgjidhje.

Sistemi homogjen linear ekuacionet algjebrike .

Një sistem m ekuacionesh lineare me n ndryshore quhet sistem ekuacionesh lineare homogjene nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me 0. Një sistem ekuacionesh lineare homogjene është gjithmonë konsistent, sepse gjithmonë ka të paktën një zgjidhje zero. Një sistem ekuacionesh homogjene lineare ka një zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij të koeficientëve për ndryshoret është më i vogël se numri i ndryshoreve, d.m.th. për gradën A (n. Çdo kombinim linear

Zgjidhjet e sistemit Lin. homogjene. ur-ii është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.

Një sistem zgjidhjesh të pavarura lineare e1, e2,...,еk quhet themelor nëse secila zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i zgjidhjeve. Teorema: nëse rangu r i matricës së koeficientëve për ndryshoret e një sistemi ekuacionesh homogjene lineare është më i vogël se numri i ndryshoreve n, atëherë çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit përbëhet nga zgjidhjet n-r. Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e sistemit linear. një ditë ur-th ka formën: c1e1+c2e2+...+skek, ku e1, e2,..., ek është çdo sistem themelor zgjidhjesh, c1, c2,...,ck janë numra arbitrar dhe k=n-r. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi m ekuacionesh lineare me n ndryshore është e barabartë me shumën

e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit që i përgjigjet është homogjene. ekuacionet lineare dhe një zgjidhje e veçantë arbitrare e këtij sistemi.

7. Hapësirat lineare. Nënhapësirat. Baza, dimensioni. Predha lineare. Hapësira lineare quhet n-dimensionale, nëse përmban një sistem linear vektorë të pavarur, dhe çdo sistem nga më shumë vektorët janë të varur në mënyrë lineare. Numri thirret dimensioni (numri i dimensioneve) hapësirë lineare dhe është caktuar . Me fjalë të tjera, dimensioni i një hapësire është numri maksimal i vektorëve linearisht të pavarur të kësaj hapësire. Nëse ekziston një numër i tillë, atëherë hapësira quhet dimensionale e fundme. Nëse për dikë numri natyror n në hapësirë ekziston një sistem i përbërë nga vektorë linearisht të pavarur, atëherë një hapësirë e tillë quhet infinite-dimensionale (e shkruar: ). Në vijim, përveç rasteve kur përcaktohet ndryshe, do të merren parasysh hapësirat me dimensione të fundme.

Baza e një hapësire lineare n-dimensionale është një koleksion i renditur i vektorëve linearisht të pavarur ( vektorët bazë).

Teorema 8.1 mbi zgjerimin e një vektori në terma të një baze. Nëse është baza e një hapësire lineare n-dimensionale, atëherë çdo vektor mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve bazë:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dhe përveç kësaj e vetmja mënyrë, d.m.th. koeficientët përcaktohen në mënyrë unike. Me fjalë të tjera, çdo vektor i hapësirës mund të zgjerohet në një bazë dhe, për më tepër, në një mënyrë unike.

Në të vërtetë, dimensioni i hapësirës është . Sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur (kjo është një bazë). Pas shtimit të ndonjë vektori në bazë, marrim në mënyrë lineare sistemi i varur(pasi ky sistem përbëhet nga vektorë të hapësirës n-dimensionale). Duke përdorur vetinë e 7 vektorëve të varur linearisht dhe të pavarur linearisht, marrim përfundimin e teoremës.

Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent dhe ka një zgjidhje të parëndësishme
. Që të ekzistojë një zgjidhje jo e parëndësishme, është e nevojshme që rangu i matricës ishte më pak se numri i të panjohurave:

Sistemi themelor i zgjidhjeve sistem homogjen
quaj një sistem zgjidhjesh në formën e vektorëve kolonë
, të cilat i përgjigjen bazës kanonike, d.m.th. bazë në të cilën konstante arbitrare
vendosen në mënyrë alternative të barabartë me një, ndërsa pjesa tjetër vendosen në zero.

Atëherë zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen ka formën:

Ku
- konstante arbitrare. Me fjalë të tjera, zgjidhja e përgjithshme është një kombinim linear sistemi themelor vendimet.

Kështu, zgjidhjet bazë mund të merren nga zgjidhja e përgjithshme nëse të panjohurave të lira u jepet vlera e një me radhë, duke vendosur të gjitha të tjerat të barabarta me zero.

Shembull. Le të gjejmë një zgjidhje për sistemin

Le të pranojmë, atëherë marrim një zgjidhje në formën:

Le të ndërtojmë tani një sistem themelor zgjidhjesh:

Zgjidhja e përgjithshme do të shkruhet si:

Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh lineare homogjene kanë këto veti:

Me fjalë të tjera, çdo kombinim linear i zgjidhjeve në një sistem homogjen është përsëri një zgjidhje.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare i ka interesuar matematikanët për disa shekuj. Rezultatet e para u morën në shekullin e 18-të. Në 1750, G. Kramer (1704–1752) botoi veprat e tij mbi përcaktuesit e matricave katrore dhe propozoi një algoritëm për gjetjen e matricës së kundërt. Në 1809, Gauss përshkroi një metodë të re zgjidhjeje të njohur si metoda e eliminimit.

Metoda e Gausit, ose metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave, konsiston në faktin se, duke përdorur transformimet elementare, një sistem ekuacionesh reduktohet në një sistem ekuivalent të një forme hapi (ose trekëndëshi). Sisteme të tilla bëjnë të mundur gjetjen sekuenciale të të gjitha të panjohurave në një rend të caktuar.

Le të supozojmë se në sistemin (1)
(që është gjithmonë e mundur).

(1)

Shumëzimi i ekuacionit të parë një nga një me të ashtuquajturat numra të përshtatshëm

dhe duke shtuar rezultatin e shumëzimit me ekuacionet përkatëse të sistemit, marrim një sistem ekuivalent në të cilin në të gjitha ekuacionet përveç të parit nuk do të ketë asnjë të panjohur. X 1

(2)

Le të shumëzojmë tani ekuacionin e dytë të sistemit (2) me numra të përshtatshëm, duke supozuar se

dhe duke e shtuar me të poshtmet, eliminojmë variablin nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.

Vazhdimi i këtij procesi, pas
hapi që marrim:

(3)

Nëse të paktën një nga numrat
nuk është e barabartë me zero, atëherë barazia përkatëse është kontradiktore dhe sistemi (1) është i paqëndrueshëm. Anasjelltas, për çdo sistem numrash të përbashkët
janë të barabarta me zero. Numri nuk është gjë tjetër veçse rangu i matricës së sistemit (1).

Kalimi nga sistemi (1) në (3) quhet drejt përpara Metoda e Gausit dhe gjetja e të panjohurave nga (3) - në të kundërt .

Komentoni : Është më i përshtatshëm për të kryer transformime jo me vetë ekuacionet, por me matricën e zgjeruar të sistemit (1).

Shembull. Le të gjejmë një zgjidhje për sistemin

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit:

Le të shtojmë të parën në rreshtat 2,3,4, shumëzuar me (-2), (-3), (-2) përkatësisht:

Le të shkëmbejmë rreshtat 2 dhe 3, pastaj në matricën që rezulton shtojmë rreshtin 2 në rreshtin 4, shumëzuar me :

Shtoni në rreshtin 4 rreshti 3 shumëzuar me
:

Është e qartë se
Prandaj, sistemi është konsistent. Nga sistemi i ekuacioneve që rezulton

ne gjejmë zgjidhjen me zëvendësim të kundërt:

,
,
,
.

Shembulli 2. Gjeni një zgjidhje për sistemin:

Është e qartë se sistemi është i paqëndrueshëm, sepse
, A
.

Përparësitë e metodës Gauss :

Më pak punë intensive se metoda e Cramer.

Vendos në mënyrë të paqartë përputhshmërinë e sistemit dhe ju lejon të gjeni një zgjidhje.

Bën të mundur përcaktimin e renditjes së çdo matrice.

2.4.1. Përkufizimi. Le të na jepet një sistem johomogjen ekuacionesh lineare

Konsideroni një sistem homogjen

matrica e koeficientëve të së cilës përkon me matricën e koeficientëve të sistemit (2.4.1). Atëherë thirret sistemi (2.4.2). sistemi homogjen i reduktuar (2.4.1).

2.4.2. Teorema. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi johomogjen është e barabartë me shumën e disa zgjidhjeve të veçanta të sistemit johomogjen dhe zgjidhjes së përgjithshme të sistemit homogjen të reduktuar.

Kështu, për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për sistemin johomogjen (2.4.1) mjafton:

1) Hulumtoni për pajtueshmërinë. Në rast të përputhshmërisë:

2) Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të sistemit homogjen të reduktuar.

3) Gjeni ndonjë zgjidhje të veçantë për atë origjinale (johomogjene).

4) Duke mbledhur zgjidhjen e gjetur të veçantë dhe zgjidhjen e përgjithshme të asaj të dhënë, gjeni zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal.

2.4.3. Ushtrimi. Hetoni sistemin për pajtueshmërinë dhe, në rastin e përputhshmërisë, gjeni zgjidhjen e përgjithshme të tij në formën e shumës së të veçantës dhe të përgjithshmes së dhënë.

Zgjidhje. a) Për të zgjidhur problemin, zbatojmë skemën e mësipërme:

1) Ne ekzaminojmë sistemin për pajtueshmëri (me metodën e kufirit të të miturve): Renditja e matricës kryesore është 3 (shih zgjidhjen e ushtrimit 2.2.5, a), dhe minorja jozero e rendit maksimal përbëhet nga elementë të 1-rë, Rreshtat 2, 4 dhe kolonat 1, 3, 4. Për të gjetur rangun e matricës së zgjeruar, e kufizojmë atë me rreshtin e 3-të dhe kolonën e 6-të të matricës së zgjeruar: =0. Do të thotë, rg A =rg=3, dhe sistemi është konsistent. Në veçanti, është ekuivalente me sistemin

2) Le të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme X 0 sistemi homogjen i reduktuar

X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(shih zgjidhjen e ushtrimit 2.2.5, a)).

3) Le të gjejmë ndonjë zgjidhje të veçantë x h të sistemit origjinal . Për ta bërë këtë, në sistemin (2.4.3), ekuivalent me atë origjinal, të panjohurat e lira x 2 dhe x Supozojmë se 5 është e barabartë me, për shembull, zero (kjo është e dhëna më e përshtatshme):

dhe zgjidhni sistemin që rezulton: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Kështu, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ është një zgjidhje e veçantë e sistemit.

4) Gjeni zgjidhjen e përgjithshme X n të sistemit origjinal :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

Koment. Krahasoni përgjigjen që keni marrë me përgjigjen e dytë në shembullin 1.2.1 c). Për të marrë përgjigjen në formën e parë për 1.2.1 c) merren të panjohurat themelore x 1 , x 3 , x 5 (e vogla për të cilën gjithashtu nuk është e barabartë me zero), dhe si ¾ e lirë x 2 dhe x 4 .

§3. Disa aplikacione.

3.1. Për çështjen e ekuacioneve të matricës. Ju kujtojmë se ekuacioni i matricës mbi fushë F është një ekuacion në të cilin e panjohura është një matricë mbi fushë F .

Ekuacionet më të thjeshta të matricës janë ekuacionet e formës

sëpata=B , XA =B (2.5.1)

Ku A , B ¾ matricë e dhënë (e njohur) mbi një fushë F , A X ¾ matrica të tilla, me zëvendësimin e të cilave ekuacionet (2.5.1) kthehen në barazime të vërteta të matricës. Në veçanti, metoda e matricës së sistemeve të caktuara reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni matricor.

Në rastin kur matricat A në ekuacionet (2.5.1) janë jo të degjeneruara, përkatësisht kanë zgjidhje X =A B Dhe X =B.A. .

Në rastin kur të paktën një nga matricat në anën e majtë të ekuacioneve (2.5.1) është njëjës, kjo metodë nuk është më e përshtatshme, pasi matrica përkatëse e kundërt A nuk ekziston. Në këtë rast, gjetja e zgjidhjeve të ekuacioneve (2.5.1) reduktohet në zgjidhjen e sistemeve.

Por së pari, le të prezantojmë disa koncepte.

Le të quajmë grupin e të gjitha zgjidhjeve të sistemit vendim i përgjithshëm . Le të quajmë një zgjidhje të marrë veçmas të një sistemi të pacaktuar zgjidhje private .

3.1.1. Shembull. Vendosni ekuacioni i matricës mbi fushë R.

A) X = ; b) X = ; V) X = .

Zgjidhje. a) Meqenëse =0, atëherë formula X =A B nuk është i përshtatshëm për zgjidhjen e këtij ekuacioni. Nëse në vepër XA =B matricë A ka 2 rreshta, pastaj matricën X ka 2 kolona. Numri i rreshtave X duhet të përputhet me numrin e rreshtave B . Kjo është arsyeja pse X ka 2 rreshta. Kështu, X ¾ disa matricë katrore të rendit të dytë: X = . Le të zëvendësojmë X në ekuacionin origjinal:

Duke shumëzuar matricat në anën e majtë të (2.5.2), arrijmë në barazinë

Dy matrica janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse kanë të njëjtat dimensione dhe elementet përkatëse të tyre janë të barabarta. Prandaj (2.5.3) është ekuivalente me sistemin

Ky sistem është i barabartë me sistemin

Duke e zgjidhur atë, për shembull, duke përdorur metodën Gaussian, arrijmë në një grup zgjidhjesh (5-2 b , b , -2d , d ), Ku b , d vrapojnë të pavarur nga njëri-tjetri R. Kështu, X = .

b) Ngjashëm me a) kemi X = dhe.

Ky sistem është i paqëndrueshëm (shikoni!). Prandaj, ky ekuacion matricor nuk ka zgjidhje.

c) Le ta shënojmë këtë ekuacion me sëpata =B . Sepse A ka 3 kolona dhe B atëherë ka 2 kolona X ¾ një matricë e dimensionit 3'2: X = . Prandaj kemi zinxhirin e mëposhtëm të ekuivalencave:

Ne zgjidhim sistemin e fundit duke përdorur metodën Gaussian (ne i lëmë komentet)

Kështu, arrijmë te sistemi

zgjidhja e të cilit është (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Ku z , w vrapojnë të pavarur nga njëri-tjetri R.

Përgjigje: a) X = , b , d Î R.

b) Nuk ka zgjidhje.

V) X = z , w Î R.

3.2. Për çështjen e përndryshueshmërisë së matricave. NË rast i përgjithshëm produkti i matricave është i pakomutueshëm, domethënë nëse A Dhe B sikurse AB Dhe B.A. janë të përcaktuara, atëherë, në përgjithësi, AB ¹ B.A. . Por një shembull i një matrice identiteti E tregon se është e mundur edhe ndërrimi A.E. =E.A. për çdo matricë A , nëse vetëm A.E. Dhe E.A. u përcaktuan.