För fallet när integrationsdomänen är ett segment av en viss kurva som ligger i ett plan. Den allmänna notationen för en linjeintegral är följande:

Var f(x, y) är en funktion av två variabler, och L- kurva, längs ett segment AB vilken integration som sker. Om integranden är lika med ett, då linjeintegralen lika med längden båge AB .

Som alltid i integralkalkyl förstås en linjeintegral som gränsen för integralsummorna för några mycket små delar av något mycket stort. Vad summeras i fallet med kurvlinjära integraler?

Låt det finnas ett segment på planet AB någon kurva L, och en funktion av två variabler f(x, y) definieras vid punkterna i kurvan L. Låt oss utföra följande algoritm med detta segment av kurvan.

1. Delad kurva AB i delar med prickar (bilder nedan).
2. Välj fritt en punkt i varje del M.
3. Hitta värdet på funktionen vid valda punkter.
4. Funktionsvärden multipliceras med
   • längder på delar i fodral krökt integral av det första slaget ;
   • projektioner av delar på koordinataxeln i höljet krökt integral av det andra slaget .
5. Hitta summan av alla produkter.
6. Hitta gränsen för den hittade integralsumman förutsatt att längden på den längsta delen av kurvan tenderar mot noll.

Om den nämnda gränsen finns, då denna gränsen för integralsumman och kallas funktionens kurvlinjära integral f(x, y) längs kurvan AB .

första sorten

Fall av en krökt integral
andra sorten

Låt oss introducera följande notation.

Mjag ( ζ jag; η i)- en punkt med koordinater valda på varje plats.

fjag ( ζ jag; η i)- funktionsvärde f(x, y) vid den valda punkten.

Δ si- Längden på en del av ett kurvsegment (när det gäller en krökt integral av det första slaget).

Δ xi- projektion av en del av kurvsegmentet på axeln Oxe(när det gäller en krökt integral av det andra slaget).

d= maxΔ s i- längden på den längsta delen av kurvsegmentet.

Krökta integraler av det första slaget

Baserat på ovanstående om gränsen för integralsummor, skrivs en linjeintegral av det första slaget enligt följande:

.

Krökt integral av det första slaget har alla egenskaper som det har bestämd integral. Det finns dock en viktig skillnad. För en bestämd integral, när integrationens gränser byts om, ändras tecknet till det motsatta:

När det gäller en kurvlinjär integral av det första slaget spelar det ingen roll vilken punkt på kurvan AB (A eller B) anses vara början på segmentet, och vilket som är slutet, det vill säga

.

Krökta integraler av det andra slaget

Baserat på vad som har sagts om gränsen för integralsummor, skrivs en krökt integral av det andra slaget enligt följande:

.

I fallet med en kurvlinjär integral av det andra slaget, när början och slutet av ett kurvsegment byts om, ändras integralens tecken:

.

När man sammanställer integralsumman för en krökt integral av det andra slaget, värdena för funktionen fjag ( ζ jag; η i) kan också multipliceras med projiceringen av delar av ett kurvsegment på axeln Oj. Då får vi integralen

.

I praktiken används vanligtvis föreningen av kurvlinjära integraler av det andra slaget, det vill säga två funktioner f = P(x, y) Och f = F(x, y) och integraler

,

och summan av dessa integraler

kallad allmän kurvlinjär integral av det andra slaget .

Beräkning av kurvlinjära integraler av det första slaget

Beräkningen av kurvlinjära integraler av det första slaget reduceras till beräkningen av bestämda integraler. Låt oss överväga två fall.

Låt en kurva ges på planet y = y(x) och ett kurvsegment AB motsvarar en förändring i variabeln x från a innan b. Sedan vid punkterna i kurvan integrandfunktionen f(x, y) = f(x, y(x)) ("Y" måste uttryckas genom "X"), och bågens differential och linjeintegralen kan beräknas med hjälp av formeln

.

Om integralen är lättare att integrera över y, sedan från ekvationen av kurvan vi behöver uttrycka x = x(y) ("x" till "y"), där vi beräknar integralen med hjälp av formeln

.

Exempel 1.

Var AB- rakt linjesegment mellan punkter A(1; −1) och B(2; 1) .

Lösning. Låt oss göra en ekvation av en rät linje AB, med hjälp av formeln (ekvationen för en linje som går genom två givna punkter A(x1 ; y 1 ) Och B(x2 ; y 2 ) ):

Från den räta linjeekvationen uttrycker vi y genom x :

Då och nu kan vi beräkna integralen, eftersom vi bara har "X" kvar:

Låt en kurva ges i rymden

Då vid punkterna i kurvan måste funktionen uttryckas genom parametern t() och bågsifferential , därför kan den kurvlinjära integralen beräknas med hjälp av formeln

Likaså om en kurva ges på planet

,

sedan beräknas den kurvlinjära integralen med formeln

.

Exempel 2. Beräkna linjeintegralen

Var L- del av en cirkellinje

ligger i den första oktanten.

Lösning. Denna kurva är en fjärdedel av en cirkellinje placerad i planet z= 3 . Det motsvarar parametervärdena. Därför att

sedan bågdifferentialen

Låt oss uttrycka integrandfunktionen genom parametern t :

Nu när vi har allt uttryckt genom en parameter t, kan vi reducera beräkningen av denna kurvlinjära integral till en bestämd integral:

Beräkning av kurvlinjära integraler av det andra slaget

Precis som i fallet med kurvlinjära integraler av det första slaget, reduceras beräkningen av integraler av det andra slaget till beräkningen av bestämda integraler.

Kurvan ges i kartesiska rektangulära koordinater

Låt en kurva på ett plan ges av ekvationen för funktionen "Y", uttryckt genom "X": y = y(x) och kurvans båge AB motsvarar förändring x från a innan b. Sedan ersätter vi uttrycket för "y" genom "x" i integranden och bestämmer differentialen för detta uttryck för "y" med avseende på "x": . Nu när allt uttrycks i termer av "x", beräknas linjeintegralen av det andra slaget som en bestämd integral:

En kurvlinjär integral av det andra slaget beräknas på liknande sätt när kurvan ges av ekvationen för "x"-funktionen uttryckt genom "y": x = x(y) , . I det här fallet är formeln för beräkning av integralen följande:

Exempel 3. Beräkna linjeintegralen

, Om

A) L- rakt segment O.A., Var HANDLA OM(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- parabelbåge y = x² från HANDLA OM(0; 0) till A(1; −1) .

a) Låt oss beräkna den kurvlinjära integralen över ett rakt linjesegment (blått i figuren). Låt oss skriva ekvationen för den räta linjen och uttrycka "Y" till "X":

.

Vi får dy = dx. Vi löser denna kurvlinjära integral:

b) om L- parabelbåge y = x², vi får dy = 2xdx. Vi beräknar integralen:

I det nyss lösta exemplet fick vi samma resultat i två fall. Och detta är inte en slump, utan resultatet av ett mönster, eftersom denna integral uppfyller villkoren för följande teorem.

Sats. Om funktionerna P(x,y) , F(x,y) och deras partiella derivat är kontinuerliga i regionen D funktioner och vid punkter i denna region är partiella derivator lika, då beror den krökta integralen inte på integrationens väg längs linjen L ligger i området D .

Kurvan ges i parametrisk form

Låt en kurva ges i rymden

.

och in i integranderna vi ersätter

uttrycka dessa funktioner genom en parameter t. Vi får formeln för att beräkna den kurvlinjära integralen:

Exempel 4. Beräkna linjeintegralen

,

Om L- del av en ellips

uppfylla villkoret y ≥ 0 .

Lösning. Denna kurva är den del av ellipsen som ligger i planet z= 2 . Det motsvarar parametervärdet.

vi kan representera den kurvlinjära integralen i form av en bestämd integral och beräkna den:

Om en kurvintegral ges och Lär en sluten linje, så kallas en sådan integral en sluten slinga integral och är lättare att beräkna med Greens formel .

Fler exempel på beräkning av linjeintegraler

Exempel 5. Beräkna linjeintegralen

Var L- ett rät linjesegment mellan punkterna i dess skärningspunkt med koordinataxlarna.

Lösning. Låt oss bestämma skärningspunkterna för den räta linjen med koordinataxlarna. Ersätter en rät linje i ekvationen y= 0, vi får , . Ersätter x= 0, vi får , . Alltså skärningspunkten med axeln Oxe - A(2; 0), med axel Oj - B(0; −3) .

Från den räta linjeekvationen uttrycker vi y :

.

, .

Nu kan vi representera linjeintegralen som en bestämd integral och börja beräkna den:

I integranden väljer vi faktorn och flyttar den utanför integraltecknet. I den resulterande integranden använder vi prenumerera på differentialtecknet och äntligen får vi det.

Definition: Låt vid varje punkt av en jämn kurva L=AB i planet Oxy given kontinuerlig funktion två variabler f(x,y). Låt oss godtyckligt dela upp kurvan L på n delar med prickar A = M 0, M 1, M 2, ... M n = B. Sedan på var och en av de resulterande delarna \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) väljer vi valfri punkt \(\bar((M)_(i))\vänster (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\höger)\)och gör summan $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\höger)\Delta (l)_(i)$$ där \(\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)\) - bågebåge \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i) ))\) . Det mottagna beloppet kallas integralsumma av det första slaget för funktionen f(x,y) , angiven på kurvan L.

Låt oss beteckna med d den största av båglängderna \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) (därmed d = \(max_(i)\Delta(l)_(i)\ )). Om vid d? 0 finns en gräns för integralsummor S n (oberoende av metoden för att dela upp kurvan L i delar och valet av punkter \(\bar((M)_(i))\)), då kallas denna gräns första ordningens kurvlinjära integral från funktion f(x,y) längs kurvan L och betecknas med $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Det kan bevisas att om funktionen f(x,y)är kontinuerlig, då existerar linjeintegralen \(\int_(L)f(x,y)dl\).

Egenskaper av en krökt integral av 1:a slaget

En kurvlinjär integral av det första slaget har egenskaper som liknar motsvarande egenskaper hos en bestämd integral:

• additivitet,
• linjäritet,
• modulbedömning,
• medelvärdessats.

Det finns dock en skillnad: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ dvs. en linjeintegral av det första slaget beror inte på integrationens riktning.

Beräkning av kurvlinjära integraler av det första slaget

Beräkningen av en kurvlinjär integral av det första slaget reduceras till beräkningen bestämd integral. Nämligen:

1. Om kurvan L ges av en kontinuerligt differentierbar funktion y=y(x), x \(\in \) , då $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right)) \ höger))^ 2)) dx) ;)$$ i detta fall uttrycket \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^2 ))) dx \) kallas båglängdsdifferensen.
2. Om kurvan L anges parametriskt, dvs. i formen x=x(t), y=y(t), där x(t), y(t) är kontinuerligt differentierbara funktioner på något intervall \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), sedan $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right), y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left( t \right)) \right))^2)) dt)) $$ Denna likhet sträcker sig till fallet med en rumslig kurva L definierad parametriskt: x=x(t), y=y(t), z=z( t), \(t\i \vänster [ \alfa ,\beta \höger ]\). I detta fall, om f(x,y,z) är en kontinuerlig funktion längs kurvan L, då $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left (( z"\left(t \right)) \right))^2)) dt)) $$
3. Om en plan kurva L ges av den polära ekvationen r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), då $$ (\int\ limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

Krökta integraler av 1:a slaget - exempel

Exempel 1

Beräkna en linjeintegral av det första slaget

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ där L är parabelns båge y 2 =2x, innesluten mellan punkterna (2,2) och (8,4).

Lösning: Hitta differentialen för bågen dl för kurvan \(y=\sqrt(2x)\). Vi har:

\((y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) \) $$ dl=\sqrt(1+\vänster ((y)" \höger)^(2)) dx= \sqrt( 1+\vänster (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Därför är denna integral lika med : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\vänster (1+2x \höger)^(\frac(3)(2))|_ (2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

Exempel 2

Beräkna den kurvlinjära integralen av det första slaget \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl \), där L är cirkeln x 2 +y 2 =ax (a>0).

Lösning: Låt oss introducera polära koordinater: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Sedan x 2 +y 2 =r 2, har cirkelns ekvation formen: \(r^(2)=arcos\varphi \), det vill säga \(r=acos\varphi \), och differentialen av bågen $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

I det här fallet, \(\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] \). Därför $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

Teoretiskt minimum

Kurvilinjära och ytintegraler finns ofta i fysiken. De finns i två typer, varav den första diskuteras här. Detta
typen av integraler är konstruerade enligt det allmänna schemat, enligt vilket bestämda, dubbla och trippelintegraler. Låt oss kort påminna om detta schema.
Det finns något objekt över vilket integrationen utförs (endimensionell, tvådimensionell eller tredimensionell). Detta föremål är uppdelat i små delar,
en punkt väljs i varje del. Vid var och en av dessa punkter beräknas integrandens värde och multipliceras med måttet på delen som
tillhör given poäng(längden av ett segment, area eller volym av en delregion). Sedan summeras alla sådana produkter och gränsen är uppfylld
övergång till att bryta objektet i oändligt små delar. Den resulterande gränsen kallas integralen.

1. Definition av en krökt integral av det första slaget

Låt oss betrakta en funktion definierad på en kurva. Kurvan antas vara likriktbar. Låt oss komma ihåg vad detta betyder, grovt sett,
att en streckad linje med godtyckligt små länkar kan skrivas in i en kurva, och i gränsen för ett oändligt stort antal länkar måste längden på den streckade linjen förbli
slutlig. Kurvan är uppdelad i partiella längdbågar och en punkt väljs på var och en av bågarna. Ett arbete håller på att sammanställas
summering utförs över alla delbågar . Sedan utförs passagen till gränsen med tendensen till längden av den största
från partiella bågar till noll. Gränsen är en kurvlinjär integral av det första slaget
.
En viktig egenskap hos denna integral, som direkt följer av dess definition, är dess oberoende från integrationens riktning, d.v.s.
.

2. Definition av ytintegral av det första slaget

Betrakta en funktion definierad på en slät eller bitvis slät yta. Ytan är uppdelad i delområden
med områden väljs en punkt i varje sådant område. Ett arbete håller på att sammanställas , genomförs summering
över alla delområden . Sedan genomförs passagen till gränsen med tendensen till diametern på den största av alla partiella
områden till noll. Gränsen är en ytintegral av det första slaget
.

3. Beräkning av en krökt integral av det första slaget

Metoden för att beräkna en krökt integral av det första slaget kan ses redan av dess formella notation, men följer i själva verket direkt av
definitioner. Integralen reduceras till en bestämd en du behöver bara skriva ner differentialen för kurvans båge längs vilken integrationen utförs.
Låt oss börja med det enkla fallet med integration längs en plan kurva som ges av en explicit ekvation. I det här fallet är bågdifferentialen
.
Sedan utförs en förändring av variabeln i integranden, och integralen tar formen
,
där segmentet motsvarar förändringen i variabeln längs den del av kurvan längs vilken integrationen utförs.

Mycket ofta anges kurvan parametriskt, d.v.s. formens ekvationer Sedan bågdifferentialen
.
Denna formel är mycket enkelt motiverad. I huvudsak är detta Pythagoras sats. Bågdifferentialen är faktiskt längden på den infinitesimala delen av kurvan.
Om kurvan är jämn, kan dess oändliga del anses vara rätlinjig. För en rät linje har vi relationen
.
För att det ska kunna utföras för en liten båge av kurvan bör man gå från ändliga steg till differentialer:
.
Om kurvan anges parametriskt beräknas skillnaderna helt enkelt:
etc.
Följaktligen, efter att ha ändrat variabler i integranden, beräknas linjeintegralen enligt följande:
,
där den del av kurvan längs vilken integrationen utförs motsvarar segmentet av parameterändringen.

Situationen är något mer komplicerad i fallet då kurvan anges i kurvlinjära koordinater. Denna fråga diskuteras vanligtvis inom ramen för differential
geometri. Låt oss ge en formel för att beräkna integralen längs kurvan som anges i polära koordinater ekvation:
.
Låt oss ge en motivering för bågens differential i polära koordinater. Detaljerad diskussion om konstruktion av polära koordinatnät
centimeter. . Låt oss välja en liten båge av kurvan placerad i förhållande till koordinatlinjerna som visas i fig. 1. På grund av att alla de som visas är små
bågen igen kan vi tillämpa Pythagoras sats och skriva:
.
Härifrån följer det önskade uttrycket för bågens differential.

Ur en rent teoretisk synvinkel är det ganska enkelt att förstå att en krökt integral av det första slaget måste reduceras till sitt speciella fall -
till en bestämd integral. Genom att göra ändringen dikterad av parametriseringen av kurvan längs vilken integralen beräknas, etablerar vi
en-till-en-mappning mellan en del av en given kurva och ett segment av parameterändring. Och detta är en reduktion till integralen
längs en rät linje som sammanfaller med koordinataxel- en bestämd integral.

4. Beräkning av ytintegralen av det första slaget

Efter föregående punkt bör det stå klart att en av huvuddelarna för att beräkna en ytintegral av det första slaget är att skriva ytelementet,
över vilken integrationen utförs. Återigen, låt oss börja med det enkla fallet med en yta som definieras av en explicit ekvation. Sedan
.
En substitution görs i integranden och ytintegralen reduceras till en dubbel:
,
var är det område av planet som den del av ytan över vilken integrationen utförs projiceras.

Det är dock ofta omöjligt att definiera en yta med en explicit ekvation, och då definieras den parametriskt, d.v.s. formens ekvationer
.
Ytelementet i det här fallet är skrivet mer komplicerat:
.
Ytintegralen kan skrivas därefter:
,
var är området för ändring av parametrar som motsvarar den del av ytan över vilken integrationen utförs.

5. Fysisk betydelse av kurvlinjära och ytintegraler av det första slaget

De diskuterade integralerna har en mycket enkel och tydlig fysisk betydelse. Låt det finnas någon kurva vars linjära täthet inte är det
konstant och är en funktion av punkten . Låt oss hitta massan av denna kurva. Låt oss bryta kurvan i många små element,
inom vilken dess densitet kan betraktas ungefär som konstant. Om längden på en liten del av en kurva är lika med , då dess massa
, där är valfri punkt i den valda delen av kurvan (vilken som helst, eftersom densiteten är inom
denna bit antas ungefär vara konstant). Följaktligen erhålls massan av hela kurvan genom att summera massorna av dess individuella delar:
.
För att jämlikheten ska bli korrekt måste man gå till gränsen för att dela upp kurvan i oändliga delar, men detta är en kurvlinjär integral av det första slaget.

Frågan om kurvans totala laddning löses på liknande sätt om den linjära laddningstätheten är känd .

Dessa argument kan lätt överföras till fallet med en ojämnt laddad yta med en ytladdningstäthet . Sedan
ytladdningen är en ytintegral av det första slaget
.

Notera. En besvärlig formel för ett ytelement definierat parametriskt är obekvämt att komma ihåg. Ett annat uttryck erhålls i differentialgeometri,
den använder den sk först kvadratisk form ytor.

Exempel på beräkning av kurvlinjära integraler av det första slaget

Exempel 1. Integral längs en linje.
Beräkna integral

längs ett linjesegment som går genom punkterna och .

Först skriver vi ekvationen för den räta linjen längs vilken integrationen utförs: . Låt oss hitta ett uttryck för:
.
Vi beräknar integralen:

Exempel 2. Integral längs en kurva i ett plan.
Beräkna integral

längs en parabelbåge från punkt till punkt.

Börvärden och låter dig uttrycka en variabel från parabelekvationen: .

Vi beräknar integralen:
.

Det var dock möjligt att utföra beräkningar på annat sätt, med fördel av att kurvan ges av en ekvation löst med avseende på variabeln.
Om vi ​​tar variabeln som en parameter kommer detta att leda till en liten förändring i uttrycket för bågdifferentialen:
.
Följaktligen kommer integralen att ändras något:
.
Denna integral beräknas enkelt genom att ersätta variabeln under differentialen. Resultatet är samma integral som i den första beräkningsmetoden.

Exempel 3. Integral längs en kurva i ett plan (med hjälp av parametrisering).
Beräkna integral

längs den övre halvan av cirkeln .

Du kan givetvis uttrycka en av variablerna från en cirkels ekvation och sedan utföra resten av beräkningarna på vanligt sätt. Men du kan också använda
parametrisk kurvspecifikation. Som ni vet kan en cirkel definieras med ekvationer. Övre halvcirkel
motsvarar en ändring av parametern inom . Låt oss beräkna bågdifferentialen:
.
Således,

Exempel 4. Integral längs en kurva på ett plan specificerat i polära koordinater.
Beräkna integral

längs lemniscatens högra lob .

Ritningen ovan visar ett lemniscat. Integration måste utföras längs dess högra lob. Låt oss hitta bågdifferentialen för kurvan :
.
Nästa steg är att bestämma gränserna för integration över den polära vinkeln. Det är klart att ojämlikheten måste tillfredsställas, och därför
.
Vi beräknar integralen:

Exempel 5. Integral längs en kurva i rymden.
Beräkna integral

längs spiralens varv som motsvarar gränserna för parameterändring

1:a sorten.

1.1.1. Definition av en krökt integral av 1:a slaget

Släpp på planet Oxy given kurva (L). Låt för valfri punkt på kurvan (L) kontinuerlig funktion definierad f(x;y). Låt oss bryta bågen AB rader (L) prickar A=P 0, P 1, P n = B på n godtyckliga bågar Pi-1 Pi med längder ( i = 1, 2, n) (Fig. 27)

Låt oss välja på varje båge Pi-1 Pi godtycklig punkt M i (x i; y i), låt oss beräkna värdet på funktionen f(x;y) vid punkten M i. Låt oss göra en integral summa

Låt var.

λ→0 (n→∞), oberoende av metoden för att dela upp kurvan ( L)till elementära delar, inte heller från valet av punkter M i kurvlinjär integral av 1:a slaget från funktion f(x;y)(krökt integral längs bågens längd) och beteckna:

Kommentar. Definitionen av funktionens kurvlinjära integral introduceras på liknande sätt f(x;y;z) längs den rumsliga kurvan (L).

Fysisk betydelse av en krökt integral av det första slaget:

Om (L)- platt kurva med ett linjärt plan, då hittas kurvans massa med formeln:

1.1.2. Grundläggande egenskaper hos en krökt integral av det första slaget:

3. Om integrationsvägenär uppdelad i delar så att , och har en enda gemensam punkt, då .

4. Den kurvlinjära integralen av den första typen beror inte på integrationens riktning:

5. , var är längden på kurvan.

1.1.3. Beräkning av en krökt integral av 1:a slaget.

Beräkningen av en kurvlinjär integral reduceras till beräkningen av en bestämd integral.

1. Låt kurvan (L) ges av ekvationen. Sedan

Det vill säga, bågdifferentialen beräknas med hjälp av formeln.

Exempel

Beräkna massan av ett rät linjesegment från en punkt A(1;1) till poängen B(2;4), Om .

Lösning

Ekvation för en linje som går genom två punkter: .

Sedan linjens ekvation ( AB): , .

Låt oss hitta derivatan.

Sedan . = .

2. Låt kurvan (L) specificeras parametriskt: .

Sedan, det vill säga bågdifferentialen beräknas med hjälp av formeln.

För det rumsliga fallet att specificera en kurva: Sedan

Det vill säga, bågdifferentialen beräknas med hjälp av formeln.

Exempel

Hitta båglängden på kurvan, .

Lösning

Vi hittar längden på bågen med hjälp av formeln: .

För att göra detta hittar vi bågdifferentialen.

Låt oss hitta derivatorna , , Sedan längden på bågen: .

3. Låt kurvan (L) specificerat i det polära koordinatsystemet: . Sedan

Det vill säga, bågdifferentialen kommer att beräknas med hjälp av formeln.

Exempel

Beräkna massan av linjebågen, 0≤ ≤ om .

Lösning

Vi hittar massan av bågen med formeln:

För att göra detta hittar vi bågdifferentialen.

Låt oss hitta derivatan.

1.2. Krökt integral av 2:a slaget

1.2.1. Definition av en krökt integral av 2:a slaget

Släpp på planet Oxy given kurva (L). Låtsas om (L) en kontinuerlig funktion ges f(x;y). Låt oss bryta bågen AB rader (L) prickar A = Po, P1, Pn = B i riktning från punkten A till poängen I på n godtyckliga bågar Pi-1 Pi med längder ( i = 1, 2, n) (Fig. 28).

Låt oss välja på varje båge Pi-1 Pi godtycklig punkt M i (x i; y i), låt oss beräkna värdet på funktionen f(x;y) vid punkten M i. Låt oss göra en integral summa, där - bågprojektionslängd P i -1 P i per axel Åh. Om rörelseriktningen längs projektionen sammanfaller med axelns positiva riktning Åh, då beaktas projektionen av bågarna positiv, annars - negativ.

Låt var.

Om det finns en gräns på integralsumman vid λ→0 (n→∞), oberoende av metoden för uppdelning av kurvan (L) i elementära delar, inte heller från valet av punkter M i i varje elementär del, då kallas denna gräns krökt integral av 2:a slaget från funktion f(x;y)(krökt integral över koordinaten X) och beteckna:

Kommentar. Den kurvlinjära integralen över y-koordinaten introduceras på liknande sätt:

Kommentar. Om (L)är en sluten kurva, betecknas integralen över den

Kommentar. Om på ( L) tre funktioner ges samtidigt och från dessa funktioner finns integraler , , ,

då anropas uttrycket: + + allmän kurvlinjär integral av 2:a slaget och skriv ner:

1.2.2. Grundläggande egenskaper hos en krökt integral av det andra slaget:

3. När integrationens riktning ändras ändrar den krökta integralen av 2:a slaget sitt tecken.

4. Om integrationsvägen är uppdelad i delar så att , och har en enda gemensam punkt, då

5. Om kurvan ( L) ligger i planet:

Vinkelrät axel Åh, sedan =0;

Vinkelrät axel Oj, Den där ;

Vinkelrät axel Uns, sedan =0.

6. En kurvlinjär integral av 2:a slaget över en sluten kurva beror inte på valet av startpunkt (beror endast på riktningen för att korsa kurvan).

1.2.3. Fysisk betydelse av en krökt integral av 2:a slaget.

Job A rörliga krafter materiell punkt massaenhet från en punkt M exakt N längs ( MN) är lika med:

1.2.4. Beräkning av en krökt integral av 2:a slaget.

Beräkningen av en krökt integral av 2:a slaget reduceras till beräkningen av en bestämd integral.

1. Låt kurvan ( L) ges av ekvationen .

Exempel

Beräkna var ( L) - avbruten linje OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Lösning

Sedan (fig. 29), då

1) Ekvation (OA): , ,

2) Ekvation för en linje (AB): .

2. Låt kurvan (L) specificerat parametriskt: .

Kommentar. I det rumsliga fallet:

Exempel

Beräkna

Var ( AB)- segment från A(0;0;1) innan B(2;-2;3).

Lösning

Låt oss hitta linjens ekvation ( AB):

Låt oss gå vidare till den parametriska registreringen av ekvationen för en rät linje (AB). Sedan .

Punkt A(0;0;1) motsvarar parametern t lika: därför t=0.

Punkt B(2;-2;3) motsvarar parametern t, lika: därför, t=1.

När man flyttar från A Till I,parameter tändras från 0 till 1.

1.3. Greens formel. L ) inkl. M(x;y;z) med axlar Ox, oj, Oz

Liknande artiklar