Givet en kvadratisk form (2) A(x, x) = , där x = (x 1 , x 2 , …, x n). Betrakta en kvadratisk form i rymden R 3, alltså x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(vi använde villkoret formsymmetri, nämligen A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). Låt oss skriva ut matrisen kvadratisk form A i grunden ( e}, A(e) =
. När grunden ändras ändras matrisen av kvadratisk form enligt formeln A(f) = C t A(e)C, Var C– övergångsmatris från basen ( e) till grund ( f), A C t– transponerad matris C.

Definition11.12. Formen av en kvadratisk form med en diagonal matris kallas kanonisk.

Så låt A(f) =
, Då A"(x, x) =
+
+
, Var x" 1 , x" 2 , x" 3 – vektorkoordinater x på en ny grund ( f}.

Definition11.13. Släppa in n V en sådan grund väljs f = {f 1 , f 2 , …, f n), där den andragradsformen har formen

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

Var y 1 , y 2 , …, y n– vektorkoordinater x i grunden ( f). Uttryck (3) kallas kanonisk syn kvadratisk form. Koefficienter  1, λ 2, …, λ n kallas kanonisk; en grund där en kvadratisk form har en kanonisk form kallas kanonisk grund.

Kommentar. Om den kvadratiska formen A(x, x) reduceras till kanonisk form, då generellt sett inte alla koefficienter  i skiljer sig från noll. Rangen för en kvadratisk form är lika med rangen för dess matris på vilken grund som helst.

Låt rangen av den kvadratiska formen A(x, x) är jämställd r, Var r ≤ n. En matris av kvadratisk form i kanonisk form har en diagonal form. A(f) =
, eftersom dess rang är lika r, då bland koefficienterna  i det måste finnas r, Inte lika med noll. Det följer att antalet kanoniska koefficienter som inte är noll är lika med rangordningen för den kvadratiska formen.

Kommentar. En linjär transformation av koordinater är en övergång från variabler x 1 , x 2 , …, x n till variabler y 1 , y 2 , …, y n, där gamla variabler uttrycks genom nya variabler med några numeriska koefficienter.

x 1 = α 11 y 1 + a 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = a n 1 y 1 + a n 2 y 2 + … + a nn y n .

Eftersom varje bastransformation motsvarar en icke-degenererad linjär koordinattransformation, kan frågan om att reducera en kvadratisk form till en kanonisk form lösas genom att välja motsvarande icke-degenererade koordinattransformation.

Sats 11.2 (huvudsats om andragradsformer). Vilken kvadratisk form som helst A(x, x), specificerad i n-dimensionellt vektorutrymme V, med användning av en icke-degenererad linjär koordinattransformation kan reduceras till kanonisk form.

Bevis. (Lagrange-metoden) Tanken med denna metod är att sekventiellt komplettera det kvadratiska trinomialet för varje variabel till en komplett kvadrat. Vi kommer att anta det A(x, x) ≠ 0 och i basen e = {e 1 , e 2 , …, e n) har formen (2):

A(x, x) =
.

Om A(x, x) = 0, sedan ( a I j) = 0, det vill säga formen är redan kanonisk. Formel A(x, x) kan transformeras så att koefficienten a 11 ≠ 0. Om a 11 = 0, då skiljer sig koefficienten för kvadraten av en annan variabel från noll, och genom att numrera om variablerna är det möjligt att säkerställa att a 11 ≠ 0. Omnumrering av variabler är en icke-degenererad linjär transformation. Om alla koefficienter för de kvadratiska variablerna är lika med noll, erhålls de nödvändiga transformationerna enligt följande. Låt t.ex. a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, alltså minst en koefficient a I j≠ 0). Tänk på förvandlingen

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, kl i = 3, 4, …, n.

Denna transformation är icke-degenererad, eftersom determinanten för dess matris är icke-noll
= = 2 ≠ 0.

Sedan 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, det vill säga i formen A(x, x) kvadrater av två variabler visas samtidigt.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Låt oss konvertera det tilldelade beloppet till formuläret:

A(x, x) = a 11
, (5)

medan koefficienterna a I jändra till . Tänk på den icke-degenererade transformationen

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Då får vi

A(x, x) =
. (6).

Om den kvadratiska formen
= 0, då frågan om gjutning A(x, x) till kanonisk form löses.

Om denna form inte är lika med noll, upprepar vi resonemanget, med tanke på koordinattransformationer y 2 , …, y n och utan att ändra koordinaten y 1 . Det är uppenbart att dessa omvandlingar kommer att vara icke-degenererade. I ett ändligt antal steg, den kvadratiska formen A(x, x) kommer att reduceras till kanonisk form (3).

Kommentar 1. Den nödvändiga transformationen av de ursprungliga koordinaterna x 1 , x 2 , …, x n kan erhållas genom att multiplicera de icke-degenererade transformationer som finns i resonemangsprocessen: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], sedan [ x] = AB[z] = ABC[t], det är [ x] = M[t], Var M = ABC.

Kommentar 2. Låt A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, där  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r och  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Tänk på den icke-degenererade transformationen

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. Som ett resultat A(x, x) kommer att ha formen: A(x, x) = + + … + – – … – som kallas normal form av kvadratisk form.

Exempel11.1. Reducera den kvadratiska formen till kanonisk form A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Lösning. Eftersom den a 11 = 0, använd omvandlingen

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Denna transformation har en matris A =
, det är [ x] = A[y] vi får A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Eftersom koefficienten kl inte är lika med noll, kan vi välja kvadraten på en okänd, låt den vara y 1 . Låt oss välja alla termer som innehåller y 1 .

A(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Låt oss utföra en transformation vars matris är lika med B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Vi får A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Låt oss välja de termer som innehåller z 2. Vi har A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Utföra en transformation med en matris C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Fick: A(x, x) = 2– 2+ 6kanonisk form av en kvadratisk form, med [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], härifrån [ x] = ABC[t];

ABC =


=
. Omvandlingsformlerna är följande

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

220400 Algebra och geometri Tolstikov A.V.

Föreläsningar 16. Bilinjära och kvadratiska former.

Planen

1. Bilinjär form och dess egenskaper.

2. Kvadratisk form. Matris av kvadratisk form. Koordinera transformation.

3. Reducering av den kvadratiska formen till kanonisk form. Lagrange metod.

4. Tröghetslagen för kvadratiska former.

5. Reducera den kvadratiska formen till kanonisk form med hjälp av egenvärdesmetoden.

6. Silversts kriterium för den positiva bestämheten hos en kvadratisk form.

1 kurs analytisk geometri Och linjär algebra. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Element av linjär algebra och analytisk geometri. 1997.

3. Voevodin V.V. Linjär algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Samling av problem för högskolor. Linjär algebra och grunder matematisk analys. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Linjär algebra i frågor och problem. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilinjär form och dess egenskaper. Låta V - n-dimensionellt vektorutrymme över ett fält P.

Definition 1.Bilinjär form, definieras på V, en sådan mappning kallas g: V2® P, som till varje beställt par ( x , y ) vektorer x , y från lägger in V matcha numret från fältet P, betecknad g(x , y ), och linjär i var och en av variablerna x , y , dvs. har egenskaper:

1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î V) ("en О P)g(a x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î V) ("en О P)g(x , a y ) = a g(x , y ).

Exempel 1. Några skalär produkt, definierad på ett vektorutrymme Vär en bilinjär form.

2 . Fungera h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 var x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)О R 2, bilinjär form på R 2 .

Definition 2. Låta v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matris bilinjär form g(x , y ) i förhållande till underlagetv kallas en matris B=(b ij)n ´ n, vars element beräknas med formeln b ij = g(v i, v j):

Exempel 3. Bilinjär matris h(x , y ) (se exempel 2) i förhållande till basen e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) är lika med .

Sats 1. LåtaX, Y - koordinatkolumner av vektorer respektivex , y i grundenv, B - matris av bilinjär formg(x , y ) i förhållande till underlagetv. Då kan den bilinjära formen skrivas som

g(x , y )=X t BY. (1)

Bevis. Från egenskaperna hos den bilinjära formen får vi

Exempel 3. Bilinjär form h(x , y ) (se exempel 2) kan skrivas i formuläret h(x , y )=.

Sats 2. Låta v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - två baser vektor utrymme V, T - övergångsmatris från basenv till grundu. Låta B= (b ij)n ´ n Och MED=(med ij)n ´ n - bilinjära matriserg(x , y ) respektive i förhållande till basernav ochu. Sedan

MED=T t BT.(2)

Bevis. Genom definition av övergångsmatrisen och den bilinjära formmatrisen finner vi:



Definition 2. Bilinjär form g(x , y ) kallas symmetrisk, Om g(x , y ) = g(y , x ) för alla x , y Î V.

Sats 3. Bilinjär formg(x , y )- symmetrisk om och endast om en matris av bilinjär form är symmetrisk med avseende på någon bas.

Bevis. Låta v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - bas för vektorutrymme V, B= (b ij)n ´ n- matriser av bilinjär form g(x , y ) i förhållande till basen v. Låt den bilinjära formen g(x , y ) - symmetrisk. Då per definition 2 för någon I j = 1, 2,…, n vi har b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Sedan matrisen B- symmetrisk.

Omvänt, låt matrisen B- symmetrisk. Sedan Bt= B och för alla vektorer x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, enligt formel (1), får vi (vi tar hänsyn till att talet är en matris av ordning 1 och ändras inte under transponering)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. Kvadratisk form. Matris av kvadratisk form. Koordinera transformation.

Definition 1.Kvadratisk form definieras på V, kallas kartläggning f:V® P, vilket för vilken vektor som helst x från V bestäms av jämlikhet f(x ) = g(x , x ), Var g(x , y ) är en symmetrisk bilinjär form definierad på V .

Fastighet 1.Enligt en given kvadratisk formf(x )den bilinjära formen hittas unikt av formeln

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

Bevis. För alla vektorer x , y Î V vi får från egenskaperna hos den bilinjära formen

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

Av detta följer formel (1). 

Definition 2.Matris av kvadratisk formf(x ) i förhållande till underlagetv = (v 1 , v 2 ,…, v n) är matrisen för den motsvarande symmetriska bilinjära formen g(x , y ) i förhållande till basen v.

Sats 1. LåtaX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- koordinatkolumn för vektornx i grundenv, B - matris av kvadratisk formf(x ) i förhållande till underlagetv. Sedan den kvadratiska formenf(x )

Definition 10.4.Kanonisk vy andragradsform (10.1) kallas följande form: . (10.4)

Låt oss visa att i en basis av egenvektorer tar den kvadratiska formen (10.1) en kanonisk form. Låta

- normaliserad egenvektorer, motsvarande egenvärden λ 1 , λ 2 , λ 3 matriser (10.3) på ortonormal basis. Då blir övergångsmatrisen från den gamla basen till den nya matrisen

. I den nya grunden matrisen A kommer att ha den diagonala formen (9.7) (genom egenskapen egenvektorer). Omvandla alltså koordinaterna med formlerna:

,

i den nya basen får vi den kanoniska formen av en kvadratisk form med koefficienter lika med egenvärdena λ 1, λ 2, λ 3:

Anmärkning 1. C geometrisk punkt Ur synvinkel är den övervägda koordinattransformationen en rotation av koordinatsystemet, som kombinerar de gamla koordinataxlarna med de nya.

Anmärkning 2. Om några egenvärden för matrisen (10.3) sammanfaller, kan vi lägga till en enhetsvektor ortogonal till var och en av dem till motsvarande ortonormala egenvektorer, och på så sätt konstruera en bas där den kvadratiska formen tar den kanoniska formen.

Låt oss ta den kvadratiska formen till kanonisk form

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Dess matris har formen I exemplet som diskuterades i föreläsning 9 finns egenvärdena och ortonormala egenvektorer för denna matris:

Låt oss skapa en övergångsmatris till basen från dessa vektorer:

(ordningen på vektorerna ändras så att de bildar en högerhänt trippel). Låt oss omvandla koordinaterna med hjälp av formlerna:

.

Så den kvadratiska formen reduceras till kanonisk form med koefficienter lika med egenvärdena för matrisen för den kvadratiska formen.

Föreläsning 11.

Andra ordningens kurvor. Ellips, hyperbel och parabel, deras egenskaper och kanoniska ekvationer. Reducera en andra ordningens ekvation till kanonisk form.

Definition 11.1.Andra ordningens kurvor på ett plan kallas skärningslinjerna för en cirkulär kon med plan som inte passerar genom dess vertex.

Om ett sådant plan skär alla generatriserna i en hålighet i konen, visar det sig i avsnittet ellips, i skärningspunkten mellan generatriserna för båda hålrummen – hyperbel, och om skärplanet är parallellt med någon generator, då är könens sektion parabel.

Kommentar. Alla andra ordningens kurvor specificeras av andragradsekvationer i två variabler.

Ellips.

Definition 11.2.Ellipsär den uppsättning punkter i planet för vilken summan av avstånden till två fasta punkter är F 1 och F knep, är ett konstant värde.

Kommentar. När punkterna sammanfaller F 1 och F 2 förvandlas ellipsen till en cirkel.

Låt oss härleda ellipsekvationen genom att välja det kartesiska systemet

y M(x,y) koordinater så att axeln Åh sammanföll med en rak linje F 1 F 2, början

r 1 r 2 koordinater – med mitten av segmentet F 1 F 2. Låt längden på detta

segment är lika med 2 Med, sedan i det valda koordinatsystemet

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Låt poängen M(x, y) ligger på ellipsen, och

summan av avstånden från den till F 1 och F 2 är lika med 2 A.

Sedan r 1 + r 2 = 2a, men ,

därför införa notationen b² = a²- c² och efter att ha utfört enkla algebraiska transformationer får vi kanonisk ellipsekvation: (11.1)

Definition 11.3.Excentricitet av en ellips kallas magnituden e=s/a (11.2)

Definition 11.4.Rektor D i ellips som motsvarar fokus F i F i i förhållande till axeln OU vinkelrätt mot axeln Åh på distans a/e från ursprunget.

Kommentar. Med ett annat val av koordinatsystem kan ellipsen inte specificeras kanonisk ekvation(11.1), men en andragradsekvation av en annan typ.

Ellipsegenskaper:

1) En ellips har två sinsemellan vinkelräta symmetriaxlar (ellipsens huvudaxlar) och ett symmetricentrum (ellipsens centrum). Om en ellips ges av en kanonisk ekvation, är dess huvudaxlar koordinataxlarna, och dess centrum är ursprunget. Eftersom längderna på segmenten som bildas av ellipsens skärning med huvudaxlarna är lika med 2 A och 2 b (2a>2b), Den där huvudaxel, som passerar genom brännpunkterna kallas ellipsens huvudaxel, och den andra stora axeln kallas mindreaxeln.

2) Hela ellipsen finns i rektangeln

3) Ellipsexcentricitet e< 1.

Verkligen,

4) Ellipsens riktningar är belägna utanför ellipsen (eftersom avståndet från ellipsens centrum till riktlinjen är a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, och hela ellipsen ligger i en rektangel)

5) Avståndsförhållande r jag från ellipspunkt till fokus F i till avståndet d i från denna punkt till riktningen som motsvarar fokus är lika med ellipsens excentricitet.

Bevis.

Avstånd från punkt M(x, y) upp till ellipsens foci kan representeras enligt följande:

Låt oss skapa riktningsekvationerna:

(D 1), (D 2). Sedan Härifrån r i/di = e, vilket var det som behövde bevisas.

Hyperbel.

Definition 11.5.Överdriftär den uppsättning punkter i planet för vilken modulen för skillnaden i avstånd till två fasta punkter är F 1 och F 2 av detta plan, kallad knep, är ett konstant värde.

Låt oss härleda den kanoniska ekvationen för en hyperbel i analogi med härledningen av ekvationen för en ellips, med samma notation.

|r 1 - r 2 | = 2a, varifrån Om vi ​​betecknar b² = c² - a², härifrån kan du få

- kanonisk hyperbelekvation. (11.3)

Definition 11.6.Excentricitet en hyperbel kallas en kvantitet e = c/a.

Definition 11.7.Rektor D i hyperbel som motsvarar fokus F i, kallas en rät linje som ligger i samma halvplan med F i i förhållande till axeln OU vinkelrätt mot axeln Åh på distans a/e från ursprunget.

Egenskaper hos en hyperbel:

1) En hyperbel har två symmetriaxlar (hyperbolens huvudaxlar) och ett symmetricentrum (hyperbelns centrum). I det här fallet skär en av dessa axlar hyperbeln vid två punkter, som kallas hyperbelns hörn. Det kallas hyperbelns verkliga axel (axel Åh för det kanoniska valet av koordinatsystemet). Den andra axeln har inga gemensamma punkter med hyperbeln och kallas dess imaginära axel (i kanoniska koordinater - axeln OU). På båda sidor om den finns hyperbelns högra och vänstra grenar. En hyperbels brännpunkter är belägna på dess verkliga axel.

2) Hyperbelns grenar har två asymptoter, bestämda av ekvationerna

3) Tillsammans med hyperbel (11.3) kan vi betrakta den så kallade konjugerade hyperbeln, definierad av den kanoniska ekvationen

för vilken den reella och imaginära axeln byts ut samtidigt som samma asymptoter bibehålls.

4) Hyperbelns excentricitet e> 1.

5) Avståndsförhållande r jag från hyperbelpunkt till fokus F i till avståndet d i från denna punkt till riktningen som motsvarar fokus är lika med hyperbelns excentricitet.

Beviset kan utföras på samma sätt som för ellipsen.

Parabel.

Definition 11.8.Parabelär den uppsättning punkter på planet för vilken avståndet till någon fast punkt är F detta plan är lika med avståndet till någon fast rät linje. Punkt F kallad fokus paraboler, och den räta linjen är dess rektor.

För att härleda parabelekvationen väljer vi den kartesiska

koordinatsystem så att dess ursprung är mitten

D M(x,y) vinkelrät FD, utelämnad från fokus på direktivet

r su, a koordinataxlar var placerade parallellt och

vinkelrätt mot regissören. Låt längden på segmentet FD

D O F x är lika med R. Sedan från jämställdheten r = d följer det

eftersom den

Med hjälp av algebraiska transformationer kan denna ekvation reduceras till formen: y² = 2 px, (11.4)

kallad kanonisk parabelekvation. Magnitud R kallad parameter paraboler.

Egenskaper hos en parabel:

1) En parabel har en symmetriaxel (parabelaxel). Punkten där parabeln skär axeln kallas parabelns vertex. Om en parabel ges av en kanonisk ekvation, så är dess axel axeln Åh, och vertex är ursprunget till koordinaterna.

2) Hela parabeln är placerad i planets högra halvplan Åh.

Kommentar. Med hjälp av egenskaperna för riktningarna för en ellips och en hyperbel och definitionen av en parabel kan vi bevisa följande påstående:

Uppsättningen av punkter på planet för vilken relationen e avståndet till någon fast punkt till avståndet till någon rät linje är ett konstant värde, det är en ellips (med e<1), гиперболу (при e>1) eller parabel (med e=1).

Relaterad information.

Denna metod består av att sekventiellt välja kompletta kvadrater i kvadratisk form.

Låt den kvadratiska formen ges

Kom ihåg att på grund av matrisens symmetri

,

Det finns två möjliga fall:

1. Åtminstone en av kvadraternas koefficienter skiljer sig från noll. Utan förlust av generalitet, kommer vi att anta (detta kan alltid uppnås genom lämplig omnumrering av variabler);

2. Alla koefficienter

men det finns en koefficient som skiljer sig från noll (för visshetens skull, låt det vara).

I det första fallet transformera den kvadratiska formen enligt följande:

,

och alla andra termer betecknas med.

är en kvadratisk form av (n-1) variabler.

De behandlar henne på samma sätt och så vidare.

Lägg märke till att

Andra fallet substitution av variabler

kommer ner till den första.

Exempel 1: Reducera den kvadratiska formen till kanonisk form genom en icke-degenererad linjär transformation.

Lösning. Låt oss samla alla termer som innehåller det okända , och lägg till dem till en hel ruta

.

(Därför att .)

eller

(3)

eller


(4)

och från okänd
form kommer att ta formen. Nästa antar vi

eller

och från okänd
form kommer att anta den kanoniska formen

Låt oss lösa jämlikheter (3) med avseende på
:

eller

Sekventiell exekvering av linjära transformationer
Och
, Var

,

har en matris

Linjär transformation av okända
ger en kvadratisk form till den kanoniska formen (4). Variabler
associerade med nya variabler
relationer

Vi bekantade oss med LU-nedbrytning i verkstad 2_1

Låt oss komma ihåg uttalandena från workshop 2_1

Uttalanden(se L.5, s. 176)

Det här skriptet är utformat för att förstå LU:s roll i Lagrange-metoden; du måste arbeta med det i EDITOR-anteckningsblocket med F9-knappen.

Och i uppgifterna nedan är det bättre att skapa dina egna M-funktioner som hjälper till att beräkna och förstå linjära algebraproblem (inom ramen för detta arbete)

Ax=X."*A*X % får vi den kvadratiska formen

Ax=simple(Ax) % förenkla det

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% hittar LU-sönderdelningen utan att ordna om raderna i matrisen A

% Vid konvertering av en matris till echelonform

%utan radpermutationer får vi en matris av M1 och U3

% U erhålls från A U3=M1*A,

% med denna matris av elementära transformationer

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

%vi får U3=M1*A, där

4.0000 -2.0000 2.0000

% från M1 är det lätt att få L1 genom att byta skyltar

% i den första kolumnen i alla rader utom den första.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 är sådan att

A_=L1*U % detta är den LU-nedbrytning vi behöver

% Element på huvuddiagonalen U -

% är koefficienter för kvadrater y i ^2

% i konverterad kvadratisk form

% i vårt fall finns det bara en koefficient

% betyder att i de nya koordinaterna kommer det bara att finnas 4y 1 2 i kvadrat,

% för de återstående koefficienterna 0y 2 2 och 0y 3 2 är lika med noll

% kolumner av matris L1 är sönderdelningen av Y med X

% i den första kolumnen ser vi y1=x1-0,5x2+0,5x3

% för sekunden ser vi y2=x2; enligt den tredje y3=x3.

% om L1 transponeras,

% som är T=L1."

% T - övergångsmatris från (X) till (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – matris av transformerad kvadratisk form

% Note U=A2*L1." och A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Så vi fick nedbrytningen A_=L1* A2*L1." eller A_=T."* A2*T

% visar förändring av variabler

% y1=x1-0,5x2+0,5x3

% och representation av kvadratisk form i nya koordinater

A_=T."*A2*T % T=L1." övergångsmatris från (X) till (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % måste matcha original A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % hitta övergångsmatrisen från (Y) till (X)

% Låt oss hitta transformationen,

% kvadratisk Ax=X."*A*X

% till den nya typen Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% andra transformationsmatris,

% vilket är mycket enklare att kompilera.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Ql*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % icke-degenererad linjär transformation

% för att få operatormatrisen till kanonisk form.

det(R) %-determinanten är inte lika med noll - transformationen är icke-degenererad

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Låt oss formulera en algoritm för att reducera quads ratisk form till kanonisk form genom ortogonal transformation:

Reducera en kvadratisk form till kanonisk form.

Kanonisk och normal form av kvadratisk form.

Linjära transformationer av variabler.

Begreppet kvadratisk form.

Fyrkantiga former.

Definition: Den kvadratiska formen av variabler är ett homogent polynom av andra graden med avseende på dessa variabler.

Variabler kan ses som affina koordinater punkter i aritmetiskt rymd A n eller som koordinater för en vektor av n-dimensionellt rymd V n. Vi kommer att beteckna den kvadratiska formen av variabler som.

Exempel 1:

Om liknande termer redan har reducerats i kvadratisk form, betecknas koefficienterna för, och för () - . Sålunda tror man att. Den kvadratiska formen kan skrivas på följande sätt:

Exempel 2:

Systemmatris (1):

- ringde matris av kvadratisk form.

Exempel: Matriserna för kvadratiska former i exempel 1 har formen:

Exempel 2 kvadratisk formmatris:

Linjär transformation av variabler kalla en sådan övergång från ett system av variabler till ett system av variabler där gamla variabler uttrycks genom nya med hjälp av formerna:

där koefficienterna bildar en icke-singular matris.

Om variabler betraktas som koordinaterna för en vektor i det euklidiska rymden i förhållande till någon bas, så kan linjär transformation (2) betraktas som en övergång i detta rum till en ny bas, i förhållande till vilken samma vektor har koordinater.

I det följande kommer vi att betrakta kvadratiska former endast med reella koefficienter. Vi kommer att anta att variablerna endast tar verkliga värden. Om variablerna i kvadratisk form (1) utsätts för en linjär transformation (2), kommer en kvadratisk form av de nya variablerna att erhållas. I det följande kommer vi att visa att med ett lämpligt val av transformation (2) kan den kvadratiska formen (1) reduceras till en form som endast innehåller kvadraterna av de nya variablerna, dvs. . Denna typ av kvadratisk form kallas kanonisk. Matrisen av kvadratisk form i detta fall är diagonal: .

Om alla koefficienter bara kan ta ett av värdena: -1,0,1 anropas motsvarande typ vanligt.

Exempel: Ekvation för den centrala kurvan av andra ordningen med hjälp av övergången till ett nytt koordinatsystem

kan reduceras till formen: , och den kvadratiska formen i detta fall kommer att ha formen:

Lemma 1: Om den kvadratiska formen(1)inte innehåller kvadraterna på variablerna, då kan den med hjälp av en linjär transformation bringas till en form som innehåller kvadraten på minst en variabel.

Bevis: Enligt konventionen innehåller den kvadratiska formen endast termer med produkter av variabler. Låt för någon olika betydelser i och j skiljer sig från noll, dvs. är en av dessa termer som ingår i den kvadratiska formen. Om du utför en linjär transformation och lämnar allt annat oförändrat, d.v.s. (determinanten för denna transformation skiljer sig från noll), då kommer även två termer med kvadrater av variabler att visas i kvadratisk form: . Dessa termer kan inte försvinna när liknande termer läggs till, eftersom var och en av de återstående termerna innehåller minst en variabel som skiljer sig från eller från.

Exempel:

Lemma 2: Om kvadratisk form (1) innehåller en term med kvadraten på variabeln, till exempel och minst en term till med en variabel , sedan använda en linjär transformation,f kan konverteras till variabel form , har formen: (2), Var g – kvadratisk form som inte innehåller någon variabel .

Bevis: Låt oss välja i kvadratisk form (1) summan av termer som innehåller: (3) här betecknar g 1 summan av alla termer som inte innehåller.

Låt oss beteckna

(4), där anger summan av alla termer som inte innehåller.

Låt oss dividera båda sidorna av (4) med och subtrahera den resulterande likheten från (3), efter att ha tagit med liknande kommer vi att ha:

Uttrycket på höger sida innehåller ingen variabel och är en kvadratisk form av variabler. Låt oss beteckna detta uttryck med g, och koefficienten med, och då kommer f att vara lika med: . Om vi ​​gör en linjär transformation: , vars determinant skiljer sig från noll, så kommer g att vara en kvadratisk form av variablerna, och den kvadratiska formen f kommer att reduceras till formen (2). Lemmat är bevisat.

Sats: Vilken kvadratisk form som helst kan reduceras till kanonisk form med hjälp av en transformation av variabler.

Bevis: Låt oss utföra induktion på antalet variabler. Den andragradsformen av har formen: , som redan är kanonisk. Låt oss anta att satsen är sann för den kvadratiska formen i n-1 variabler och bevisa att den är sann för den kvadratiska formen i n variabler.

Om f inte innehåller kvadrater av variabler, kan den med Lemma 1 reduceras till en form som innehåller kvadraten av minst en variabel, med Lemma 2 kan den resulterande kvadratiska formen representeras i formen (2). Därför att kvadratisk form är beroende av n-1 variabler, sedan kan den genom induktivt antagande reduceras till kanonisk form med hjälp av en linjär transformation av dessa variabler till variabler, om vi lägger till en formel till formlerna för denna övergång, så får vi formler för en linjär transformation som leder till kanonisk form den kvadratiska formen som finns i likhet (2). Sammansättningen av alla transformationer av variabler som övervägs är den önskade linjära transformationen, vilket leder till den kanoniska formen av den kvadratiska formen (1).

Om den kvadratiska formen (1) innehåller kvadraten på någon variabel, behöver Lemma 1 inte tillämpas. Den givna metoden kallas Lagrange metod.

Från den kanoniska formen, där, kan du gå till den normala formen, var, om, och, om, med hjälp av transformationen:

Exempel: Reducera den kvadratiska formen till kanonisk form med hjälp av Lagrange-metoden:

Därför att Eftersom den kvadratiska formen f redan innehåller kvadraterna för vissa variabler behöver Lemma 1 inte tillämpas.

Vi väljer ut medlemmar som innehåller:

3. För att få en linjär transformation som direkt reducerar formen f till formen (4), finner vi först transformationerna inversa till transformationerna (2) och (3).

Nu, med hjälp av dessa transformationer, kommer vi att bygga deras sammansättning:

Om vi ​​ersätter de erhållna värdena (5) till (1), får vi omedelbart en representation av den kvadratiska formen i formen (4).

Från den kanoniska formen (4) med hjälp av transformationen

du kan gå till den normala vyn:

Linjär transformation, vilket för den kvadratiska formen (1) till normal form, uttrycks med formlerna:

Bibliografi:

1. Voevodin V.V. Linjär algebra. St Petersburg: Lan, 2008, 416 sid.

2. Beklemishev D.V. Kurs i analytisk geometri och linjär algebra. M.: Fizmatlit, 2006, 304 sid.

3. Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Del II. Grunderna i algebra: lärobok för universitet, -M. : Fysik och matematiklitteratur, 2000, 368 sid.

Föreläsning nr 26 (II termin)

Ämne: Tröghetslagen. Positiva bestämda former.

Liknande artiklar