Lösa värmeekvationen. Exempel på lösningar till värmeekvationen Hitta en lösning på värmeekvationsexemplet

Värmeledningsförmåga– Det här är en av typerna av värmeöverföring. Värmeöverföring kan utföras med olika mekanismer.

Alla kroppar sänder ut elektromagnetiska vågor. Vid rumstemperatur är det främst infraröd strålning. Det här är vad som händer strålningsvärmeöverföring.

I närvaro av ett gravitationsfält kan en annan mekanism för värmeöverföring i vätskor vara konvektion. Om värme tillförs ett kärl som innehåller en vätska eller gas genom botten, värms de nedre delarna av ämnet först, deras densitet minskar, de flyter upp och överför en del av den resulterande värmen till de övre skikten.

Med värmeledning sker energiöverföring som ett resultat av direkt överföring av energi från partiklar (molekyler, atomer, elektroner) med högre energi till partiklar med lägre energi.

Vår kurs kommer att undersöka överföring av värme genom ledning.

Låt oss först betrakta det endimensionella fallet, när temperaturen beror på endast en koordinat X. Låt två medier separeras av en plan skiljevägg av tjocklek l(Fig. 23.1). Medietemperaturer T 1 och T 2 hålls konstanta. Det kan experimentellt fastställas att mängden värme F, överförs genom en del av partitionen med ett område S under t lika

, (23.1)

där proportionalitetskoefficienten k beror på väggmaterialet.

På T 1 > T 2 värme överförs i positiv axelriktning X, kl T 1 < T 2 – negativ. Riktningen för värmeutbredning kan tas med i beräkningen om vi i ekvation (23.1) ersätter ( T 1 - T 2)/l på (- dT/dx). I det endimensionella fallet, derivatan dT/dx representerar temperaturgradient. Kom ihåg att gradienten är en vektor vars riktning sammanfaller med riktningen för den snabbaste ökningen skalär funktion koordinater (i vårt fall T) och modulen är lika med förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en liten förskjutning i denna riktning och avståndet vid vilket denna ökning inträffade.

För att ge ekvationerna som beskriver värmeöverföring en mer allmän och universell form, överväger vi värmeflödestäthet j - mängd värme som överförs genom en enhetsarea per tidsenhet

Då kan relation (23.1) skrivas i formen

Här reflekterar minustecknet det faktum att värmeflödets riktning är motsatt riktningen för temperaturgradienten (riktningen för dess ökning). Sålunda är värmeflödestätheten en vektorkvantitet. Värmeflödestäthetsvektorn är riktad mot sjunkande temperatur.

Om mediets temperatur beror på alla tre koordinaterna, tar relationen (23.3) formen

Var , - temperaturgradient ( e 1 ,e 2 ,e 3 - enhetsvektorer för koordinataxlar).

Relationer (23.3) och (23.4) representerar den grundläggande lagen om värmeledningsförmåga (Fouriers lag): Värmeflödestätheten är proportionell mot temperaturgradienten. Proportionalitetsfaktorn k kallas värmeledningskoefficient(eller helt enkelt värmeledningsförmåga). Därför att dimension av värmeflödestäthet [ j] = J/(m 2 s), och temperaturgradienten [ dT/dx] = K/m, sedan dimensionen för värmeledningskoefficienten [k] = J/(m×s×K).

I allmänt fall temperaturen vid olika punkter för ett ojämnt uppvärmt ämne förändras över tiden. Låt oss betrakta det endimensionella fallet när temperaturen beror på endast en rumslig koordinat X och tid t, och vi får värmeekvationen - differentialekvation, vilket funktionen uppfyller T = T(x,t).

Låt oss mentalt välja i miljön ett element med liten volym i form av en cylinder eller prisma, vars generatriser är parallella med axeln X, och baserna är vinkelräta (Figur 23.2). Basyta S, och höjden dx. Massan av denna volym dm= r Sdx och dess värmekapacitet c×dm där r är ämnets densitet, Med- specifik värmekapacitet. Släpp in en kort tid dt temperaturen i denna volym ändrades med dT. För att göra detta måste ämnet i volymen få en mängd värme som är lika med produkten av dess värmekapacitet och temperaturförändringen: . Å andra sidan, d F kan endast komma in i volymen genom cylinderns bas: (värmeflödestäthet j kan vara både positiva och negativa). Likställande av uttryck för d F, vi får

Genom att ersätta förhållandena mellan små inkrement med motsvarande derivator kommer vi fram till relationen

. (23.5)

Låt oss ersätta uttryck (23.3) för värmeflödestätheten med formel (23.5)

. (23.6)

Den resulterande ekvationen kallas värmeekvationen. Om mediet är homogent och den termiska konduktiviteten k inte beror på temperaturen, tar ekvationen formen

, (23.7)

där konstanten kallas termisk diffusivitetskoefficient miljö.

Ekvationerna (23.6) – (23.8) uppfylls av ett oändligt antal funktioner T = T(x,t).

För att isolera en unik lösning till värmeekvationen är det nödvändigt att lägga till initial och gränsförhållanden.

Utgångsvillkoret är att specificera temperaturfördelningen i mediet T(X,0) vid det första ögonblicket t = 0.

Gränsförhållandena kan variera beroende på temperaturregim vid gränserna. Oftast uppstår situationer när temperaturen eller värmeflödestätheten anges vid gränserna som en funktion av tiden.

I vissa fall kan det finnas värmekällor i miljön. Värme kan frigöras som ett resultat av passage av elektrisk ström, kemiska eller kärnreaktioner. Närvaron av värmekällor kan tas med i beräkningen genom att införa den volymetriska energitätheten q(x,y,z), lika med mängden värme som frigörs av källor per volymenhet medium per tidsenhet. I det här fallet kommer termen att visas på höger sida av ekvation (23.5) q:

Nedan kommer vi att överväga flera problem för att bestämma temperaturfält för relativt enkla geometriska och fysikaliska förhållanden som tillåter analytiska lösningar som är enkla till formen och som samtidigt ger en användbar illustration av de karakteristiska fysikaliska processer som är förknippade med värmeöverföring i ett fast ämne.

Låt oss överväga en stång med en värmeisolerad sidoyta (fig. 38). I detta fall kan värmeöverföring ske längs stången. Om du kombinerar staven med axeln Kartesiskt system koordinater, då kommer den stationära värmeekvationen att ha formen

Vid konstanta värden för den termiska konduktivitetskoefficienten för den volymetriska värmeavgivningseffekten kan den sista ekvationen integreras två gånger

(75)

Integrationskonstanterna kan hittas från randvillkoren. Till exempel, om temperaturen i ändarna av staven är inställd på , . Sedan från (75) har vi

Härifrån hittar vi integrationens konstanter och . Lösningen under de angivna randvillkoren kommer att ta formen

Från den sista formeln är det klart att i frånvaro av värmekällor. Temperaturen i staven varierar linjärt från ett gränsvärde till ett annat

Låt oss nu överväga en annan kombination av randvillkor. Låt en extern källa skapa ett värmeflöde vid stavens vänstra ände. I den högra änden av spöet behåller vi det tidigare skicket, alltså har vi

Genom att uttrycka dessa villkor med hjälp av den allmänna integralen (75), får vi ett system med avseende på integrationskonstanterna

Efter att ha hittat de okända konstanterna från det resulterande systemet får vi en lösning i formen

Som i föregående exempel, i frånvaro av interna värmekällor, kommer temperaturfördelningen längs stången att vara linjär

I det här fallet kommer temperaturen i den vänstra änden av stången, där den externa värmekällan är placerad, att vara lika med .

Som nästa exempel, låt oss hitta en stationär temperaturfördelning längs radien i en solid lång cirkulär cylinder (fig. 39). I det här fallet kommer användningen av ett cylindriskt koordinatsystem att förenkla uppgiften avsevärt. När det gäller en cylinder med stort förhållande mellan längd och radie och konstant fördelning

Med tanke på den interna värmekällan kan temperaturen långt från cylinderns ändar anses vara oberoende av det cylindriska systemets axiella koordinater. Då kommer den stationära värmeekvationen (71) att ta formen

Att integrera den sista ekvationen två gånger (vid konstant ) ger

Symmetrivillkoret för temperaturfördelningen på cylinderaxeln () ger

Var får vi det ifrån?

Det sista villkoret kommer att vara uppfyllt när . Låt temperaturen på cylinderns yta () specificeras. Sedan kan vi hitta den andra integrationskonstanten från ekvationen

Härifrån hittar och skriver vi lösningen i dess slutliga form

Som ett numeriskt exempel på tillämpningen av det erhållna resultatet, låt oss betrakta temperaturfördelningen i plasman av en cylindrisk bågeurladdning med en radie på mm. Utsläppskanalgränsen är utformad som ett område där joniseringsprocesser stoppar. Vi såg ovan att märkbar jonisering av en gas under uppvärmning stannar vid K. Därför kan det givna värdet tas som gränsen K. Vi hittar den volymetriska effekttätheten för värmeavgivning i urladdningsplasman från Joule–Lenz-lagen, där σ - plasma elektrisk ledningsförmåga, E- spänning elektriskt fält i utloppskanalen. De karakteristiska värdena för en ljusbågsurladdning är 1/Ohm m, V/m. Värmeledningsförmågan för bågplasma är högre än i en neutral gas vid temperaturer i storleksordningen 10 000 K, dess värde kan tas lika med . Så parametern . Temperaturfördelningen längs radien visas i fig. 39. I detta fall kommer temperaturen vid utloppsaxeln () att vara 8000 K.

I nästa exempel kommer vi att betrakta ett termiskt fält som har sfärisk symmetri. Sådana förhållanden uppstår i synnerhet om en liten värmekälla är placerad i en stor grupp, till exempel ett interturnbågefel i lindningen av en stor elektrisk maskin. I det här fallet, genom att kombinera mitten av det sfäriska koordinatsystemet med värmekällan, kan vi få den stationära värmeekvationen (64) till formen:

Att integrera denna ekvation två gånger, finner vi

För att återgå till vårt exempel, anta att bågfelet inträffar inuti en sfärisk kavitet med radie (Fig. 40). Låt oss ta resistansen i ljusbågsurladdningen till Ohm, urladdningsströmmen A. Då blir kraften som frigörs i kaviteten . Låt oss överväga en lösning utanför värmekällans verksamhetsområde.

Då kommer integralen av värmeekvationen att förenklas

För att beräkna integrationskonstanterna använder vi först tillståndet vid punkter oändligt långt från utsläppsplatsen, där C är omgivningstemperaturen. Från det sista uttrycket finner vi . För att bestämma konstanten antar vi att den termiska energin som frigörs i urladdningen är jämnt fördelad över ytan av en sfärisk kavitet med radie . Därför kommer värmeflödet vid kavitetsgränsen att vara

Sedan , sedan från de två sista ekvationerna vi har

och det slutliga beslutet

I detta fall kommer temperaturen vid kavitetsgränsen (mm) vid W/mK att vara K (fig. 40).

Som det första exemplet på denna grupp, låt oss betrakta det termiska fältet i tvärsnittet av en rund tråd med en kylkanal (Fig. 41, A). Ledningar med kylkanaler används i lindningarna av kraftfulla elektriska maskiner och spolar för att producera starka magnetfält. Dessa enheter kännetecknas av långvarigt flöde av strömmar med en amplitud på hundratals och till och med tusentals ampere. Till exempel pumpas en vätska, såsom vatten, eller en gas (väte, luft), vilket säkerställer utvinning av termisk energi från kanalens inre yta och kylning av tråden som helhet. I detta fall har vi att göra med påtvingad konvektiv kylning av kanalytan, för vilken vi kan använda det tredje sorts gränsvillkoret (67) som motiverats ovan. Om det cylindriska koordinatsystemets axel är i linje med trådens axel, beror temperaturen endast på den radiella koordinaten. Vi erhöll den allmänna integralen av den stationära värmeekvationen för detta fall tidigare

Den volymetriska effekttätheten för värmeavgivning hittas från Joule-Lenz-lagen: , j- strömtäthet, σ - elektrisk konduktivitet,

Var R- trådsektionens radie, a- kylkanalens radie. Tråden omges på utsidan av lager av isolering, som jämfört med ledaren har relativt låg värmeledningsförmåga. Därför, som en första approximation, antar vi att trådens yttre yta är värmeisolerad, det vill säga värmeflödet på den

På kylkanalens yta bestäms värmeflödet av det tredje slagets tillstånd

där är värmeöverföringskoefficienten, är temperaturen på kylflödet. Minustecknet på höger sida tas på grund av att normalen till kanalens inre yta är riktad i motsatt riktning mot axeln.

Genom att ersätta uttryck för temperatur (76) i det första av de skrivna gränsvillkoren får vi

var . Det andra gränsvillkoret ger

var hittar vi det ifrån?

Samtidigt, från (76)

Jämför vi de två sista uttrycken finner vi

Efter att ha ersatt de funna konstanterna i den allmänna lösningen (76) och transformationer får vi

Temperaturen vid gränserna för trådtvärsnittet från den resulterande lösningen kommer att beräknas med hjälp av formlerna

Temperaturfördelning längs tvärsnittsradien för en tråd med en kylkanal med parametrar: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm visas i fig. 41, b.

Från fig. 41, b det följer att inom trådens tvärsnitt är temperaturförändringen relativt liten jämfört med dess medelvärde, vilket förklaras av den höga värmeledningsförmågan λ och relativt små trådtvärsnittsdimensioner.

En annan situation uppstår i temperaturfördelningen längs en tråd som består av separata sektioner i kontakt med varandra. Försämring av kvaliteten på kontakterna mellan de anslutna ledarna leder till en ökning av värmealstringen vid korsningen av två ledningar jämfört med själva ledningen. Fjärrmätning av trådtemperatur med hjälp av värmekamera eller pyrometrar gör att du kan diagnostisera kvaliteten på kontaktanslutningar.

Låt oss beräkna temperaturfördelningen längs ledningen i närvaro av en defekt kontakt. Det föregående exemplet visade att även under de mest svåra förhållanden är temperaturförändringen inom trådens tvärsnitt mycket liten. Därför kan vi för våra beräkningar, som en första approximation, anta att temperaturfördelningen inom trådtvärsnittet är enhetlig. Fördelningen av värmealstring längs tråden beror på fördelningen av elektriskt motstånd längs tråden, som är enhetlig långt från kontakten och ökar när man närmar sig den. Låt oss rikta in axeln för det kartesiska koordinatsystemet med trådens axel, och ursprunget för koordinaterna med mitten av kontaktytan (fig. 42). Som modell för fördelningen av resistans längs tråden tar vi följande fördelning av linjärt motstånd

där , är en parameter som kännetecknar kontaktytans linjära storlek. Effekten av värmegenerering per längdenhet av tråd är . Räknat per volymenhet är värmeavgivningseffekten lika med

Var S- trådtvärsnitt. Tråden kyls av naturlig konvektion från dess yta. Konvektivt värmeflöde per längdenhet tråd är

Var α - värmeöverföringskoefficient, - omgivningstemperatur, sid- omkrets av trådtvärsnittet. Värmeöverföringen till omgivningen per volymenhet av ledaren blir

Den stationära temperaturfördelningen längs tråden kommer att följa ekvationen för termisk konduktivitet

För ytterligare transformationer av den resulterande ekvationen, låt oss ta den termiska konduktivitetskoefficienten konstant längs tråden, ersätta uttrycken som erhållits ovan för och , och även som den önskade funktionen istället för T låt oss ta:

vi kommer fram till en linjär inhomogen differentialekvation

Vi kommer att leta efter en lösning på den resulterande ekvationen i form av summan av den allmänna lösningen homogen ekvation

och en speciell lösning i form av höger sida

Lösa algebraiska ekvationer med Newtons metod

En ganska populär metod för att lösa ekvationer är tangentmetoden, eller Newtons metod. I det här fallet en formekvation f(x) = 0 löses enligt följande. Först nollapproximationen (punkt x 0). Vid denna punkt konstrueras en tangent till grafen y = f(x). Skärningspunkten för denna tangent med x-axeln är nästa approximation för roten (punkt x 1). Vid denna punkt konstrueras återigen en tangent osv. Sekvens av poäng x 0 , x 1 , x 2 ... måste leda till rotens sanna värde. Villkoret för konvergens är .

Eftersom ekvationen för en linje som går genom en punkt är x 0 , f(x 0) (och detta är tangenten), skrivs i formen

och som nästa uppskattning x 1 för roten av den ursprungliga ekvationen, skärningspunkten för denna linje med abskissaxeln tas, då bör vi sätta vid denna punkt y = 0:

varifrån ekvationen följer omedelbart för att hitta nästa approximation genom den föregående:

I fig. Figur 3 visar implementeringen av Newtons metod med hjälp av Excel. Ange i cell B3 initial uppskattning (x 0 = -3), och sedan beräknas alla mellanvärden i de återstående cellerna i kolumnen fram till beräkningen x 1 . För att utföra det andra steget skrivs värdet från cell B10 in i cell C3 och beräkningsprocessen upprepas i kolumn C. Sedan, med cellerna C2:C10 markerade, kan du dra i handtaget i det nedre högra hörnet av markeringen för att utöka det till kolumner D:F. Som ett resultat erhålls värdet 0 i cell F6, dvs. värdet i cell F3 är roten till ekvationen.

Samma resultat kan erhållas med cykliska beräkningar. Sedan efter att ha fyllt den första kolumnen och fått det första värdet x 1, ange formeln =H10 i cell H3. I det här fallet kommer beräkningsprocessen att loopas och för att den ska kunna köras, i menyn Service | alternativ på fliken Beräkningar kryssrutan måste vara markerad Iterationer och indikera det begränsande antalet steg i den iterativa processen och det relativa felet (standardtalet 0,001 är helt klart otillräckligt i många fall), när beräkningsprocessen kommer att stoppas när den når.

Som bekant lyder fysikaliska processer som värmeöverföring och massöverföring under diffusion Ficks lag

Var l- koefficient för värmeledningsförmåga (diffusion), och T– temperatur (koncentration) och – flöde av motsvarande värde. Från matematik är det känt att flödets divergens är lika med källans volymetriska densitet F detta värde, dvs.

eller, för det tvådimensionella fallet, när temperaturfördelningen i ett plan studeras, kan denna ekvation skrivas som:

Att lösa denna ekvation analytiskt är endast möjligt för områden med enkel form: rektangel, cirkel, ring. I andra situationer är en exakt lösning av denna ekvation omöjlig, d.v.s. Det är också omöjligt att bestämma fördelningen av temperatur (eller koncentration av ett ämne) i komplexa fall. Då måste man använda ungefärliga metoder för att lösa sådana ekvationer.

En ungefärlig lösning av ekvation (4) i en domän med komplex form består av flera steg: 1) konstruktion av ett nät; 2) konstruktion av ett differensschema; 3) lösa ett system av algebraiska ekvationer. Låt oss överväga vart och ett av stegen sekventiellt och deras implementering med hjälp av Excel-paketet.

Nätkonstruktion. Låt området ha den form som visas i fig. 4. Med denna form är en exakt analytisk lösning av ekvation (4), till exempel genom metoden för separation av variabler, omöjlig. Därför kommer vi att leta efter en ungefärlig lösning av denna ekvation vid enskilda punkter. Låt oss applicera ett enhetligt rutnät på området, bestående av rutor med sidor h. Nu istället för att titta kontinuerlig lösning ekvation (4), definierad vid varje punkt i regionen, kommer vi att leta efter en ungefärlig lösning definierad endast vid nodpunkterna i rutnätet som tillämpas på regionen, dvs. i rutornas hörn.

Konstruktion av ett skillnadsschema. För att konstruera ett skillnadsschema, överväg en godtycklig intern rutnätsnod C (central) (Fig. 5). Fyra noder finns intill den: B (övre), N (nedre), L (vänster) och P (höger). Kom ihåg att avståndet mellan noderna i rutnätet är h. Sedan, med hjälp av uttryck (2) för att ungefärligt skriva andraderivatan i ekvation (4), kan vi ungefär skriva:

från vilket det är lätt att få ett uttryck som relaterar temperaturvärdet vid den centrala punkten med dess värden vid angränsande punkter:

Uttryck (5) låter oss, med kännedom om temperaturvärdena vid angränsande punkter, beräkna dess värde vid den centrala punkten. Ett sådant schema, där derivator ersätts med ändliga skillnader, och för att söka efter värden vid en rutnätspunkt, endast värdena vid de närmaste angränsande punkterna används, kallas ett centralt differensschema, och själva metoden kallas för finita differensmetoden.

Det är nödvändigt att förstå att vi får en ekvation som liknar (5) FÖR VARJE rutnätspunkt, som alltså visar sig vara kopplade till varandra. Det vill säga, vi har ett system av algebraiska ekvationer där antalet ekvationer är lika med antalet rutnätsnoder. Ett sådant ekvationssystem kan lösas med olika metoder.

Lösa ett system av algebraiska ekvationer. Iterationsmetod. Låt temperaturen vid gränsnoderna vara inställd och lika med 20, och värmekällans effekt lika med 100. Dimensionerna för vår region är inställda och lika vertikalt med 6 och horisontellt till 8, så sidan av rutnätet ( steg) h= 1. Därefter uttryck (5) för beräkning av temperaturen i interna punkter tar formen

Låt oss tilldela varje NODE en cell på Excel-arket. I cellerna som motsvarar gränspunkterna anger vi numret 20 (de är markerade i grått i fig. 6). I de återstående cellerna skriver vi formel (6). Till exempel, i cell F2 kommer det att se ut så här: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Efter att ha skrivit denna formel i cell F2 kan du kopiera den och klistra in den i de återstående cellerna i området som motsvarar de interna noderna. I det här fallet kommer Excel att rapportera omöjligheten att utföra beräkningar på grund av looping av resultaten:

Klicka på "Avbryt" och gå till fönstret Verktyg|Alternativ|Beräkningar, där kryssa i rutan i avsnittet "Iterationer" och anger som relativt fel värde 0,00001, och som begränsande antal iterationer 10000:

Sådana värden kommer att ge oss ett litet RÄNKBART fel och garantera att iterationsprocessen når det angivna felet.

Dessa värden säkerställer dock INTE ett litet fel i själva metoden, eftersom den senare beror på felet när man ersätter andraderivator med ändliga skillnader. Uppenbarligen är detta fel mindre, ju mindre rutsteget är, dvs. storleken på kvadraten som vårt skillnadsschema bygger på. Detta betyder att det noggrant BERÄKNADE temperaturvärdet vid rutnätsnoderna, presenterat i fig. 6 kan faktiskt visa sig vara helt osann. Det finns bara en metod för att kontrollera den hittade lösningen: hitta den på ett finare rutnät och jämför den med den föregående. Om dessa lösningar skiljer sig lite, kan vi anta att den hittade temperaturfördelningen motsvarar verkligheten.

Låt oss minska steget med hälften. Istället för 1 blir det lika med ½. Vårt antal noder kommer att ändras i enlighet med detta. Vertikalt, istället för 7 knop (det fanns 6 steg, dvs. 7 knop) kommer det att finnas 13 (12 rutor, d.v.s. 13 knop), och horisontellt istället för 9 kommer det att finnas 17. Man bör inte glömma att stegstorleken har varit halveras och nu i formel (6) istället för 1 2 måste du ersätta (1/2) 2 på höger sida. Som en kontrollpunkt där vi kommer att jämföra de hittade lösningarna, tar vi punkten med den maximala temperaturen, markerad i fig. 6 i gult. Resultatet av beräkningarna visas i fig. 9:

Det kan ses att en minskning av steget ledde till en betydande förändring av temperaturvärdet vid kontrollpunkten: med 4 %. För att öka noggrannheten hos den hittade lösningen bör rutnätssteget reduceras ytterligare. För h= ¼ får vi 199,9 vid kontrollpunkten, och för h = 1/8 är motsvarande värde 200,6. Du kan plotta beroendet av det hittade värdet på stegstorleken:

Från figuren kan vi dra slutsatsen att ytterligare minskning av steget inte kommer att leda till en signifikant förändring av temperaturen vid kontrollpunkten och noggrannheten hos den hittade lösningen kan anses vara tillfredsställande.

Med hjälp av funktionerna i Excel-paketet kan du konstruera en temperaturyta som visuellt representerar dess fördelning i studieområdet.

ANALYTISKA METODER FÖR LÖSNING AV VÄRMELEDNINGSEKVATIONEN

För närvarande har ett mycket stort antal endimensionella värmeledningsproblem lösts analytiskt.

A.V. Lykov, till exempel, överväger fyra metoder för att lösa värmeekvationen under villkoren för ett endimensionellt problem: metoden för separation av variabler, metoden för källor, den operativa metoden, metoden för ändliga integraltransformationer.

I det följande kommer vi bara att fokusera på den första metoden, som har blivit mest utbredd.

Metod för att separera variabler vid lösning av värmeekvationen

Differentialekvationen för värmeledning under villkoren för ett endimensionellt problem och utan värmekällor har formen

T/?f = a ? 2 t/?x 2 .(3.1)

Denna ekvation är ett specialfall av en homogen differentialekvation med konstanta koefficienter för någon funktion t av två variabler x och φ:

Det är lätt att kontrollera att en viss lösning på denna ekvation är uttrycket

t = C exp (bx + vf).(3.3)

Verkligen:

?t/?x = bС exp (bx + vf);?t/?ф = вС exp (bx + vf);
? 2 t/ax2 = b2C exp (bx + vf);
? 2 t/?f2 = i 2C exp (bx + vf); 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + vf).(3.4)

Att lösa de sista sju ekvationerna tillsammans ger

a 1 b 2 + b 1 bv + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0.(3,5)

Den sista ekvationen kallas koefficientekvationen.

När vi går vidare till ekvation (3.1) och jämför den med ekvation (3.2), drar vi slutsatsen att

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0; a 1 = - a; l 1 = 1.(3.6)

Koefficientekvationen (3.5) för ett specialfall av ekvation (3.1) har formen

B 2 a + c = 0(3,7)

c = b 2 a.(3,8)

Den specifika lösningen (3.3) är således en integral av differentialekvationen (3.1) och tar formen med hänsyn till (3.8)

t = C exp (b 2 af + bx).(3,9)

I den här ekvationen kan du ställa in valfria talvärden för C, b, a.

Uttryck (3.9) kan representeras som en produkt

t = C exp (b 2 aph) exp (bx), (3,10)

där faktorn exp (b 2 af) endast är en funktion av tiden f, och faktorn exp (bx) endast är en funktion av avståndet x:

exp (b 2 af) = f (f) = c (x).

När tiden φ ökar, ökar temperaturen i alla punkter kontinuerligt och kan bli högre än det förutbestämda värdet, vilket inte förekommer i praktiska problem. Därför tar de vanligtvis bara de värden av b för vilka b 2 är negativ, vilket är möjligt när b är ett rent imaginärt värde. Låt oss acceptera

b = ± iq, (3,12)

där q är godtycklig riktigt nummer(tidigare betecknade symbolen q det specifika värmeflödet),

I det här fallet kommer ekvation (3.10) att ha följande form:

t = C exp (- q 2 aph) exp (± iqx).(3.13)

Med hänvisning till den berömda Euler-formeln

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3,14)

och genom att använda den transformerar vi ekvation (3.13). Vi får två lösningar i komplex form:

Vi summerar vänster och höger sida av ekvationerna (3.15), separerar sedan det reella från de imaginära delarna i summans vänstra och högra sida och likställer dem därefter. Då får vi två lösningar:

Låt oss presentera följande notation:

(C1 + C2)/2 = D; (C1 - C2)/2 = C(3,17)

då får vi två lösningar som uppfyller differentialvärmeekvationen (3.1):

t 1 = D exp (- q 2 aph) cos (qx); t 2 = C exp (- q 2 aph) sin (qx).(3.18)

Det är känt att om den önskade funktionen har två partiella lösningar, så kommer summan av dessa partiella lösningar att uppfylla den ursprungliga differentialekvationen (3.1), dvs lösningen till denna ekvation kommer att vara

t = C exp (- q 2 aph) sin (qx) + D exp (- q 2 aph) cos (qx),(3.19)

och den allmänna lösningen som uppfyller denna ekvation kan skrivas som följer:

Alla värden på q m, q n, C i, D i i ekvation (3.20) kommer att uppfylla ekvation (3.1). Specifikationen i valet av dessa värden kommer att bestämmas av de initiala och randvillkoren för varje särskilt praktiskt problem, och värdena för q m och qn bestäms från randvillkoren, och C i och Di, från initiala.

Förutom den allmänna lösningen av värmeekvationen (3.20) där det finns en produkt av två funktioner, varav den ena beror på x och den andra på φ, finns det också lösningar där en sådan separation är omöjlig, till exempel:

Båda lösningarna uppfyller värmeledningsekvationen, som är lätt att verifiera genom att först differentiera dem med avseende på φ och sedan 2 gånger med avseende på x och ersätta resultatet i differentialekvationen (3.1).

Ett särskilt exempel på ett icke-stationärt temperaturfält i en vägg

Låt oss överväga ett exempel på att tillämpa lösningen som erhållits ovan.

Inledande data.

1. Givet en betongvägg med tjockleken 2X = 0,80 m.
2. Temperaturen på omgivningen som omger väggen och = 0°C.
3. Vid det inledande ögonblicket är väggtemperaturen vid alla punkter F(x)=1°C.
4. Väggvärmeöverföringskoefficient b = 12,6 W/(m 2 °C); värmeledningskoefficient för väggen l = 0,7 W/(m ° C); väggmaterialets densitet c = 2000 kg/m 3 ; specifik värmekapacitet c=1,13·103 J/(kg·°С); termisk diffusivitetskoefficient a=1,1·10-3 m^/h; relativ värmeöverföringskoefficient b/l = h=18,0 1/m. Det är nödvändigt att bestämma temperaturfördelningen i väggen 5 timmar efter den första tiden.

Lösning. Om vi vänder oss till den allmänna lösningen (3.20) och med tanke på att de initiala och efterföljande temperaturfördelningarna är symmetriska i förhållande till väggaxeln, drar vi slutsatsen att serien av sinus i denna allmänna lösning försvinner, och för x = X kommer den att ha formen

Värdena bestäms utifrån randvillkoren (utan ytterligare förklaringar här) och ges i tabell 3.1.

Med värdena från tabell 3.1 hittar vi den nödvändiga serien av värden med hjälp av formeln

Tabell 3.1 Värden på funktioner som ingår i formel (3.24)


	0,982 0,189	--0,862 --0,507	0,713 0,701	10,03 --0,572 --0,820	13,08 0,488 0,874

dvs Dl = 1,250; D2 = -- 0,373; D3 = 0,188; D4 = -- 0,109; D5 = 0,072.

Den initiala temperaturfördelningen i väggen i fråga kommer att ha följande form:

För att erhålla den beräknade temperaturfördelningen 5 timmar efter det första ögonblicket är det nödvändigt att bestämma en serie värden för en tid efter 5 timmar. Dessa beräkningar utförs i tabell 3.2.

Tabell 3.2 Värden på funktioner som ingår i formeln (3.23)


A=(q ni X) 2 (af/X 2)

Det slutliga uttrycket för temperaturfördelningen i väggens tjocklek 5 timmar efter det initiala ögonblicket

Figur 3.1 visar temperaturfördelningen i väggens tjocklek vid den initiala tiden och efter 5 timmar allmänt beslut Kvotienterna är också avbildade här, och kvotkurvorna som motsvarar på varandra följande termer i serien (3.25) och (3.26) anges med romerska siffror.

Fig.3.1.

När man löser praktiska problem finns det vanligtvis inget behov av att bestämma temperaturen på alla punkter på väggen. Du kan begränsa dig till att bara beräkna temperaturen för en punkt, till exempel för en punkt i mitten av väggen. I det här fallet kommer mängden beräkningsarbete med formeln (3.23) att minska avsevärt.

Om den initiala temperaturen i det ovannämnda fallet inte är 1 °C, utan T c, kommer ekvation (3.20) att ha formen

Lösa värmeekvationen under olika randvillkor

Vi kommer inte att ge en sekventiell progression för att lösa värmeekvationen under andra randvillkor, som är av praktisk betydelse för att lösa vissa problem. Nedan kommer vi att begränsa oss endast till formuleringen av deras villkor med en visning av tillgängliga färdiga lösningar.

Inledande data. Väggen har en tjocklek på 2X. I det första ögonblicket, på alla dess punkter utom ytan, temperaturen T c Temperaturen på ytan på 0 ° C bibehålls under hela beräkningsperioden.

Vi måste hitta t = f(x, φ).

Den stationära reservoaren blev täckt av is vid temperaturen med högsta vattentäthet (Tc = 4°C). Reservoarens djup är 5 m (X = 5 m). Beräkna vattentemperaturen i behållaren 3 månader efter frysning. Termisk diffusivitet för stilla vatten a = 4,8·10 -4 m 2 /h. Det finns inget värmeflöde i botten, det vill säga vid x = 0.

Under beräkningsperioden (f=3·30·24=2160h) hålls temperaturen på ytan konstant och lika med noll vid x = XTp = 0°C. Vi sammanfattar hela beräkningen i tabellen. 3 och 4. Dessa tabeller låter dig beräkna temperaturvärden 3 månader efter det första ögonblicket för djup nära botten, och sedan högre efter 1 m, d.v.s. t 0 (botten) = 4 ° C; ti = 4°C; t2 = 3,85°C; t3 = 3,30°C; t4 = 2,96°C; t5(sur) = 0°C.

Tabell 3.3

Tabell 3.4

Som vi ser, i absolut stilla vatten tränger temperaturstörningar djupt ner i vattnet mycket långsamt. I naturliga förhållanden i reservoarer under istäcke observeras alltid strömmar, antingen gravitationella (strömmande), eller konvektiva (olika tätheter), eller slutligen orsakade av inflödet av grundvatten. All variation av dessa naturliga egenskaper bör beaktas i praktiska beräkningar, och rekommendationer för dessa beräkningar finns i manualer och i K.I. Rossinskys verk.

Kroppen är begränsad på ena sidan (halvplan). Vid tidpunkten φ = 0 vid alla punkter är kroppstemperaturen lika med T c. Under alla tidpunkter f > 0 hålls temperaturen Tp = 0°C på kroppens yta.

Det krävs för att hitta temperaturfördelningen i kroppens tjocklek och värmeförlusten genom fri yta som funktion av tiden: t = f (x, f),

Lösning. Temperatur när som helst i kroppen och när som helst

var är Gauss-integralen. Dess värden beroende på funktionen anges i tabell 3.5.

Tabell 3.5

I praktiken börjar lösningen med att bestämma förhållandet i vilket x och φ anges i problemformuleringen.

Mängden värme som förloras av en enhetsyta av en kropp till miljön bestäms av Fouriers lag. För hela faktureringsperioden från det första ögonblicket till faktureringen

Vid det första ögonblicket var jordtemperaturen från ytan till ett betydande djup konstant och lika med 6°C. I detta ögonblick sjönk temperaturen vid markytan till 0°C.

Det är nödvändigt att bestämma jordtemperaturen på ett djup av 0,5 m efter 48 timmar vid ett värde på jordens termiska diffusivitetskoefficient a = 0,001 m 2 /h, och även att uppskatta mängden värme som går förlorad av ytan under denna tid.

Enligt formel (3.29) är jordtemperaturen på ett djup av 0,5 m efter 48 timmar t=6·0,87=5,2°С.

Den totala mängden värmeförlust per enhet jordyta, med en värmeledningskoefficient l = 0,35 W/(m °C), specifik värme c = 0,83 10 3 J/(kg °C) och densitet c = 1500 kg/m 3 bestäms med formeln (3.30) Q = 1,86·106 J/m2.

integrerad värmeledningsförmåga värmekropp

Fig.3.2

På grund av viss yttre påverkan genomgår temperaturen på ytan av en kropp begränsad på ena sidan (halvplan) periodiska fluktuationer runt noll. Vi kommer att anta att dessa svängningar är harmoniska, dvs yttemperaturen varierar längs en cosinuskurva:

var är svängningens varaktighet (period), T 0 är yttemperaturen,

T 0 max -- dess maximala avvikelse.

Det är nödvändigt att bestämma temperaturfältet som en funktion av tiden.

Amplituden för temperaturfluktuationer ändras med x enligt följande lag (Fig. 3.2):

Exempel på problem nr 3. Temperaturförändringen på ytan av torr sandjord under året kännetecknas av en cosinusrörelse. Den genomsnittliga årstemperaturen är 6°C med maximala avvikelser från genomsnittet på sommaren och vintern som når 24°C.

Det är nödvändigt att bestämma temperaturen på jorden på ett djup av 1 m i det ögonblick då yttemperaturen är 30°C (konventionellt 1/VII).

Cosinusuttrycket (3.31) i förhållande till detta fall (yttemperatur) vid T 0 max = 24 0 C kommer att ha formen

T 0 = 24 cos (2рф/8760) + 6.

På grund av det faktum att markytan har en genomsnittlig årlig temperatur på 6°C, och inte noll, som i ekvation (3.32), kommer designekvationen att ha följande form:

Om man tar termisk diffusivitetskoefficient a = 0,001 m 2 /h för marken och kom ihåg att det enligt villkoren för problemet är nödvändigt att bestämma temperaturen i slutet av beräkningsperioden (8760 timmar från det första ögonblicket), vi hittar

Det beräknade uttrycket (3,34) kommer att ha följande form: t = 24e -0,6 ·0,825 + 6 = 16,9 °C.

På samma djup av 1 m kommer den maximala amplituden för den årliga temperaturfluktuationen, enligt uttrycket (3.33), att vara

Ti max = 24e -0,6 = 13,2 °C,

och den maximala temperaturen på ett djup av 1 m

ti max = T x max + 6 = 13,2 + 6 = 19,2 °C.

Sammanfattningsvis noterar vi att de övervägda problemen och tillvägagångssätten kan användas för att lösa problem relaterade till utsläpp av varmt vatten i en reservoar, såväl som med den kemiska metoden för att bestämma vattenflöde och i andra fall.

Härledning av värmeekvationen

Låt oss föreställa oss en homogen kropp och isolera en elementär volym med sidor från den (Figur 1).

Figur 1. Kontrollera volymen in rektangulärt system koordinater

Vi betecknar inkommande värmeflöden placerade vinkelrätt mot ytorna som, . Vi uttrycker flödena på motsatta ytor från Taylor-serien:

Det kan också finnas inre värmekällor inuti kroppen, om det finns avlopp, om:

Förändring i intern energi:

Låt oss ersätta ekvationerna (1.1.1) i den resulterande ekvationen (1.1.5):

Genom att ersätta dem med ekvation (1.1.6) får vi värmeledningsekvationen i allmän syn för tredimensionellt utrymme:

Låt oss introducera den termiska diffusivitetskoefficienten:

och sänka de interna värmekällorna. Vi får ekvationen för värmeledningsförmåga i tredimensionellt utrymme utan interna värmekällor:

Unikitetsvillkor

Ekvation (1.1) beskriver processen i allmän form. För att tillämpa det på ett specifikt problem krävs ytterligare villkor, så kallade entydighetsvillkor. Dessa villkor inkluderar geometriska (kroppens form och storlek), fysiska (kroppens fysiska egenskaper), tid (initial temperaturfördelning) och randvillkor (beskriv processen för värmeväxling med omgivningen).

Randvillkor kan delas in i tre huvudtyper:

1. Dirichlet randvillkor: värdet av funktionen på gränsen anges.

I fallet med termisk konduktivitetsproblem specificeras temperaturvärdena på kroppens yta.

2. Neumann randvillkor: normalderivatan av funktionen på gränsen anges.

Ställ in värmeflödestätheten på kroppens yta.

3. Robin randvillkor: givna Linjär kombination funktionens värden och dess derivata vid gränsen.