En första ordningens ekvation med tre okända har formen Ax + Ву + Cz + D = 0, och minst en av koefficienterna A, B, C måste skilja sig från noll. Den specificerar i rymden i rektangulärt system koordinater Oxyz algebraiska yta av första ordningen.

Egenskaperna hos en första ordningens algebraisk yta liknar på många sätt egenskaperna hos en rät linje på ett plan - geometrisk bild av en första ordningens ekvation med två okända.

Sats 5.1. Varje plan i rymden är en yta av första ordningen och vilken yta av första ordningen som helst i rymden är ett plan.

◄ Både påståendet om satsen och dess bevis liknar sats 4.1. Låt faktiskt planet π definieras av dess punkt M 0 och icke-noll vektor n, som är vinkelrät mot den. Sedan delas mängden av alla punkter i rymden upp i tre delmängder. Den första består av punkter som hör till planet, och de andra två - av punkter som ligger på ena och andra sidan av planet. Vilken av dessa uppsättningar som hör till en godtycklig punkt M av rymden beror på tecknet punkt produkt nM 0M. Om punkten M tillhör planet (fig. 5.1, a), då vinkeln mellan vektorer n och M 0 M är raka, och därför, enligt sats 2.7, är deras skalära produkt lika med noll:

nM 0 M = 0

Om punkten M inte tillhör planet, är vinkeln mellan vektorerna n och M 0 M spetsig eller trubbig, och därför nM 0 M > 0 eller nM 0 M

Låt oss beteckna punkternas koordinater M0, M och vektor n till (xO; yo; z0), (x; y; z) respektive (A; B; C). Eftersom M 0 M = (x - x 0 0; y - y 0; z - z 0 ), skriv därför skalärprodukten från (5.1) i koordinatform (2.14) som summan av parvisa produkter av samma koordinater av vektorerna n och M 0 M , erhåller vi villkoret för att punkten M ska tillhöra planet under övervägande i formen

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)

Att öppna parentesen ger ekvationen

Axe + Wu + Cz + D = 0, (5,3)

där D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 och åtminstone en av koefficienterna A, B eller C skiljer sig från noll, eftersom vektorn n = (A; B; C) är icke-noll. Detta betyder att planet är den geometriska bilden av ekvation (5.3), dvs. algebraisk yta av första ordningen.

Genom att utföra ovanstående bevis för det första påståendet i satsen i omvänd ordning kommer vi att bevisa att den geometriska bilden av ekvationen Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0, är ​​ett plan . Låt oss välja tre tal (x = x 0, y = y 0, z = z 0) som uppfyller denna ekvation. Sådana siffror finns. Till exempel, när A ≠ 0 kan vi sätta y 0 = 0, z 0 = 0 och sedan x 0 = - D/A. De valda siffrorna motsvarar punkten M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0), som hör till den geometriska bilden av den givna ekvationen. Av likheten Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 följer att D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Genom att ersätta detta uttryck i den aktuella ekvationen får vi Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, vilket är ekvivalent med (5.2). Jämställdhet (5.2) kan betraktas som vektor ortogonalitet kriterium n = (A; B; C) och M OM, där punkten M har koordinater (x; y; z). Detta kriterium är uppfyllt för punkter i planet som passerar genom punkten M 0 vinkelrät mot vektorn n = (A; B; C), och är inte uppfyllt för andra punkter i rymden. Detta betyder att ekvation (5.2) är ekvationen för det indikerade planet.

Ekvationen Ax + Wu + Cz + D = 0 kallas generell planekvation. Koefficienterna A, B, C för de okända i denna ekvation har en klar geometrisk betydelse: vektor n = (A; B; C) är vinkelrät mot planet. Han heter normal plan vektor. Den, liksom den allmänna ekvationen för planet, bestäms upp till en (icke-noll) numerisk faktor.

Med hjälp av de kända koordinaterna för en punkt som tillhör ett visst plan och en vektor som inte är noll vinkelrät mot det, med hjälp av (5.2), skrivs ekvationen för planet utan några beräkningar.

Exempel 5.1. Låt oss hitta den allmänna ekvationen för ett plan vinkelrätt mot radie vektor punkt A(2; 5; 7) och passerar genom punkt M 0 (3; - 4; 1).

Eftersom icke-nollvektorn OA = (2; 5; 7) är vinkelrät mot det önskade planet, har dess ekvation av typen (5.2) formen 2(x - 3) + 5(y + 4) + 7(z- 1) = 0. Genom att öppna parenteserna får vi den önskade allmänna ekvationen för planet 2x + 5y + 7z + 7 = 0.

Föreläsning 2. Planet som en yta av första ordningen. Planekvationer och deras studie. Rakt i rymden ömsesidigt arrangemang raka linjer i rymden, plan och raka linjer i rymden. En rät linje på ett plan, ekvationer av en rät linje på ett plan, avståndet från en punkt till en rät linje på ett plan. Andra ordningens kurvor; härledning av kanoniska ekvationer, studie av ekvationer och konstruktion av kurvor. Ytor av andra ordningen, studie av kanoniska ekvationer av ytor. Sektionsmetod. 1

Element av analytisk geometri § 1. Plan. Vi har OXYZ och någon yta S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definition 1: en ekvation med tre variabler kallas en ekvation för ytan S i rymden om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna för varje punkt som ligger på ytan och inte är nöjd med koordinaterna inte en enda punkt som ligger på den. 2

Exempel. Ekvation (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) vi definierar en sfär med centrum i punkten C(a, b, c) och radie R. M M (x , y, z) – variabel punkt M ϵ (S) |CM| = RC3

Definition 2: En yta S kallas en yta av n:te ordningen om, vid någon Kartesiskt system koordinater den ges algebraisk ekvation n:e graden F(x, y, z) = 0 (1) I exempel (S) är en cirkel, en yta av andra ordningen. Om S är en yta av n:e ordningen, så är F(x, y, z) ett polynom av n:te graden med avseende på (x, y, z Betrakta den enda ytan av 1:a ordningen - ett plan). Låt oss skapa en ekvation för ett plan som går genom punkten M (x, y, z), med en normalvektor 4

Låt M(x, y, z) vara en godtycklig (aktuell) punkt i planet. MM 0 O α eller i koordinatform: (2) Ekvation (2) är ekvationen för det plan som passerar genom punkten M med en given normalvektor. 5

D (*) (3) - fullständig ekvation plan Ofullständig ekvation av ett plan. Om i ekvation (3) flera koefficienter (men inte A, B, C samtidigt) = 0, så kallas ekvationen ofullständig och planet α har egenskaper i sin plats. Till exempel, om D = 0, så passerar α genom origo. 6

Avståndet från punkten M 1 till planet α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 tillämpas på punkten M 0 K 7

- avstånd från punkt M 1 till plan α Ekvation för planet "i segment" Låt oss skapa en ekvation av planet som skär bort segment som inte är noll på koordinataxlarna med C(0, 0, c) värden a, b, c. Låt oss ta B(0, b, 0) som värdet Låt oss skapa en ekvation för punkt A med A(a, 0, 0) 8

-ekvation för planet α "i segment" -ekvation för planet som passerar genom punkt A, vinkelrätt mot normalvektorn 9

§ 2. Allmän ekvation för en rät linje. En rät linje i rymden kan definieras genom skärningspunkten mellan två plan. (1) ekvation för en rät linje Ett system av typen (1) definierar en rät linje i rymden om koefficienterna A 1, B 1, C 1 samtidigt är oproportionerliga till A 2, B 2, C 2. 10

Parametriska och kanoniska ekvationer för linjen - godtycklig punkt för linjepunkten MM 0 Parametrisk ekvation t - parameter 11

Om vi ​​eliminerar t får vi: - kanonisk ekvation System (3) bestämmer rörelsen materiell punkt, rätlinjig och likformig från startpositionen M 0 (x 0, y 0, z 0) med hastighet i vektorns riktning. 12

Vinkeln mellan raka linjer i rymden. Villkor för parallellitet och vinkelräthet. Låt det finnas två linjer L 1, L 2 i rymden som ges av deras kanoniska ekvationer: Då reduceras uppgiften att bestämma vinkeln mellan dessa linjer till att bestämma vinkeln

deras riktningsvektorer: Med hjälp av definitionen av skalärprodukten och uttrycket i koordinater för den specificerade skalärprodukten och längderna av vektorerna q 1 och q 2, får vi fram: 15

Villkoret för parallellitet av räta linjer l 1 och l 2 motsvarar kollineariteten för q 1 och q 2, ligger i proportionaliteten av koordinaterna för dessa vektorer, dvs. den har formen: Villkoret för vinkelräthet följer av definitionen av skalärprodukten och dess likhet med noll (vid cos = 0) och har formen: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Vinkel mellan en rät linje och ett plan: villkor för parallellitet och vinkelräthet för en rät linje och ett plan Betrakta planet P, definierat av den allmänna ekvationen: Ax + By + Cz + D = 0, och den räta linjen L, definierad av den kanoniska ekvationen: 17

Eftersom vinkeln mellan den räta linjen L och planet P är komplementär till vinkeln mellan riktningsvektorn för den räta linjen q = (l, m, n) och normalvektorn för planet n = (A, B, C) , från definitionen av skalärprodukten q n = q n cos och likheten cos = sin (= 90 -), får vi: 18

Parallellitetstillståndet för den räta linjen L och planet П (inklusive det faktum att L tillhör П) är ekvivalent med villkoret för vinkelräthet för vektorerna q och n och uttrycks som = 0 skalärprodukt av dessa vektorer: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Villkoret för vinkelräthet för den räta linjen L och planet P är ekvivalent med villkoret för parallellism för vektorerna n och q och uttrycks av proportionaliteten av koordinaterna för dessa vektorer: 19

Villkor för att två linjer ska tillhöra samma plan Två linjer i rymden L 1 och L 2 kan: 1) skära varandra. 2) vara parallell; 3) korsning. I de två första fallen ligger linjerna L 1 och L 2 i samma plan. Låt oss fastställa villkoret för att två räta linjer definierade av kanoniska ekvationer ska tillhöra samma plan: 20

För att de två indikerade linjerna ska tillhöra samma plan är det uppenbarligen nödvändigt och tillräckligt att tre vektorer = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) och q 2 = (l 2, m 2, n 2), var koplanära, för vilka det i sin tur är nödvändigt och tillräckligt att den blandade produkten av dessa tre vektorer = 0, 21

Inspelning blandade verk av de angivna vektorerna i koordinater får vi de nödvändiga och tillräckligt skick tillhörande två raka linjer L 1 och L 2 till ett plan: 22

Villkor för att en rät linje ska tillhöra ett plan Låt det finnas en rät linje och ett plan Ax + Bi + Cz + D = 0. Dessa villkor har formen: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 och Al + Bm + Cn = 0, varav den första betyder att punkten M 1(x1, y1, z 1) genom vilken linjen passerar tillhör planet, och den andra är villkoret för parallellitet mellan linjen och planet. 23

Andra ordningens kurvor. § 1. Begreppet ekvation av en linje på ett plan. Ekvationen f (x, y) = 0 kallas ekvationen för linje L i det valda koordinatsystemet om den är uppfylld av koordinaterna för någon punkt som ligger på linjen och inte uppfylld av koordinaterna för någon punkt som inte ligger på den. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Exempel: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

En linje L kallas en linje av n:te ordningen om den i något kartesiskt koordinatsystem ges av en algebraisk ekvation av n:te graden med avseende på x och y. Vi känner till den enda linjen av 1:a ordningen - en rät linje: Ax + By + D = 0 Vi kommer att överväga kurvor av 2:a ordningen: ellips, hyperbel, parabel. Den allmänna ekvationen för andra ordningens rader är: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Ellips (E) Definition. Ellips är mängden av alla punkter i planet, summan av avstånden till två fasta punkter i planet F 1 och F 2, kallade foci, är ett konstant värde och ett stort avstånd mellan brännpunkterna. Låt oss beteckna konstanten som 2 a, avståndet mellan brännpunkterna som 2 c Rita X-axeln genom brännpunkterna, (a > c, a > 0, c > 0). Y-axel genom mitten av brännvidden. Låt M vara en godtycklig punkt på ellipsen, så M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), där r 1, r 2 är fokala 27 radier för E.

Låt oss skriva (1) i koordinatform: (2) Detta är ekvationen för en ellips i det valda koordinatsystemet. Förenklat (2) får vi: b 2 = a 2 - c 2 (3) – ellipsens kanoniska ekvation. Det kan visas att (2) och (3) är ekvivalenta: 28

Studie av formen på en ellips med hjälp av den kanoniska ekvationen 1) Ellips är en kurva av 2:a ordningen 2) Symmetri av ellipsen. eftersom x och y ingår i (3) endast i jämna potenser har ellipsen 2 axlar och 1 symmetricentrum, som i det valda koordinatsystemet sammanfaller med de valda koordinataxlarna och punkten O. 29

3) Plats för ellipsen Det vill säga att hela E är beläget inuti en rektangel, vars sidor är x = ± a och y = ± b. 4) Skärning med axlar. A 1(-a; 0); A2(a; 0); C OX: hörn av ellipsen C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); På grund av ellipsens symmetri kommer vi att överväga dess beteende (↓) endast under det första kvartalet. trettio

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Upplösning (3) med avseende på y får vi: i första kvartalet x > 0 och ellipsen minskar."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbola (Г) Definition: Г är mängden av alla punkter i planet, modulen för skillnaden i avstånd till 2 fasta punkter i planet F 1, F 2 är ett konstant värde och

Förenklat (1): (2) är den kanoniska ekvationen för G. (1) och (2) är ekvivalenta. Studie av en hyperbel med hjälp av den kanoniska ekvationen 1) Г är en linje av 2:a ordningen 2) Г har två axlar och ett symmetricentrum, som i vårt fall sammanfaller med koordinataxlarna och origo. 3) Plats för hyperbeln. 34

Hyperbeln är placerad utanför remsan mellan linjerna x = a, x = -a. 4) Skärningspunkter med axlar. OX: OY: har inga lösningar A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reella hörn Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginära hörn Г 2 a – reell axel Г 2 b – imaginär axel Г 35

5) Asymptoter av en hyperbel. På grund av symmetrin hos Г överväger vi dess del under det första kvartalet. Efter att ha löst (2) med avseende på y, får vi: ekvation Г i första kvartalet x ≥ 0 Betrakta den räta linjen: eftersom i första kvartalet x>0, det vill säga i första kvartalet med samma abskiss, ordinatan av linjen > ordna den motsvarande punkten Г, dvs i den första fjärdedelen Г ligger under denna räta linje. Hela G ligger inuti en vertikal vinkel med sidorna 36

6) Det kan visas att i den första delen ökar G 7) Plan för att konstruera G a) bygg en rektangel 2 a, 2 b b) rita dess diagonaler c) markera A 1, A 2 - de verkliga hörnen för G och 38 skriv dessa grenar

Parabol (P) Betrakta d (direktrix) och F (fokus) på planet. Definition. П – uppsättning av alla punkter i planet på samma avstånd från linje d och punkt F (fokus) 39

d-directrix F-fokus XOY-punkt М П sedan, |MF| = |MN| (1) ekvation av P, vald i koordinatsystemet Förenkla (1) får vi y 2 = 2 px (2) – kanoniska ekvationer för P. (1) och (2) är ekvivalenta 40.

Studie av P med den kanoniska ekvationen x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Cylindrar. Cylindriska ytor med generatriser parallella med koordinataxlarna Genom punkt x på linjen L drar vi en rät linje parallellt med OZ-axeln. Ytan som bildas av dessa raka linjer kallas en cylindrisk yta eller cylinder (C). Varje rät linje parallell med OZ-axeln kallas en generatris. l är styrningen av XOY-planets cylindriska yta. Z(x, y) = 0 (1) 42

Låt M(x, y, z) vara en godtycklig punkt på en cylindrisk yta. Låt oss projicera det på L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 det vill säga , koordinaterna M uppfyller (1), är det uppenbart att om M C så projiceras den inte till punkten M 0 ϵ L och därför kommer koordinaterna för M inte att uppfylla ekvation (1), som definierar C med en generatrisparallell till OZ-axeln i rymden. På liknande sätt kan det visas att: Ф(x, z) = 0 i utrymmet Г || OY 43 (y, z) = 0 definierar i utrymmet C || OXE

Projektion av en rumslig linje på ett koordinatplan En linje i rymden kan definieras parametriskt och genom skärningspunkten mellan ytor. Samma linje kan definieras som ∩ av olika ytor. Låt den rumsliga linjen L ges ∩ av två ytor α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 ekvation L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Låt oss hitta projektionen av L på XOY-planet från ekvation (1) och exkludera Z. Vi får ekvationen: Z(x, y) = 0 – i rymden är detta ekvationen Ε med generatorn || OZ och guide L. 46

Projektion: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Andra ordningens ytor Ellipsoid - den kanoniska ekvationen för en yta har formen: 1) Ellipsoid - en andra ordningens yta. 2) X, Y, Z anger ekvationen endast i jämna potenser => ytan har 3 plan och 1 symmetricentrum, som i det valda koordinatsystemet sammanfaller med koordinatplanen och origo. 47

3) Placering av ellipsoiden Ytan är innesluten mellan || plan med ekvationerna x = a, x = -a. På liknande sätt, dvs. hela ytan är innesluten i en rektangulär parallellepiped. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Vi kommer att undersöka ytan med metoden för sektioner - skära ytan med koordinatplan || samordna. I avsnittet kommer vi att få linjer, av vilkas form vi kommer att bedöma formen på ytan. 48

Låt oss skära ytan med XOY-planet. I avsnittet får vi en rad. - ellips a och b – halvaxlar Liknar YOZ-planet - ellips med halvaxlar b och c Plan || XOY Om h(0, c), minskar ellipsaxlarna från a och b till 0. 49

a = b = c - sfär paraboloider a) Hyperbolisk paraboloid– en yta med en kanonisk ekvation: 1) En andra ordningens yta 2) Eftersom x, y kommer in i ekvationen endast i jämna potenser, har ytan symmetriplan, som för ett givet val av koordinater sammanfaller med 50 plan XOZ, YOZ.

3) vi undersöker ytan med hjälp av sadelsnittsmetoden. XOZ I tvärsnitt är parabeln symmetrisk mot OZ-axeln, stigande. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" area ||XOY för h > 0 hyperboler, med verklig halvaxel längs OX, för h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Tvåarkshyperboloid 1) yta av andra ordningen 2) har 3 plan och 1 symmetricentrum 3) ytplacering x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Ytan består av två delar placerade utanför remsan mellan planen med ekvationerna x = a, x = -a 4) vi studerar snittmetoden (På egen hand!) 57

Andra ordningens kon En andra ordningens kon är en yta vars kanoniska ekvation har formen: 1) en andra ordningens yta 2) har 3 plan och 1 symmetricentrum 3) vi studerar snittmetoden kvadrat. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" kvadrat ||XOY |h| –>∞ från 0 till ∞ kvadrat YOZ par raka linjer, passerar genom"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

I rymden studerar analytisk geometri ytor som bestäms i rektangulära kartesiska koordinater av algebraiska ekvationer först, andra osv. grader i förhållande till X,Y,Z:

Axe+By+Cz+D=0 (1)

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

och så vidare. Ordningen för en ekvation kallas ordningen på den yta som den definierar. Vi har redan sett att ekvationen första beställning(linjär) (1) anger alltid planär den enda första ordningens yta. Det finns redan många andra ordningens ytor. Låt oss titta på de viktigaste av dem.

§2. Cylindriska ytor med generatriser parallella med en av koordinataxlarna.

Låt till exempel en viss linje L ges i XОY-planet, dess ekvation är F(x,y)=0 (1) . Sedan bildar uppsättningen räta linjer parallella med oz-axeln (generatorer) och som går genom punkter på L en yta S som kallas cylindrisk yta.

Låt oss visa att ekvation (1), som inte innehåller variabeln z, är ekvationen för denna cylindriska yta S. Ta en godtycklig punkt M(x,y,z) som hör till S. Låt generatrisen som går genom M skära L vid punkt N. Punkt N har koordinater N(x,y,0), de uppfyller ekvation (1), eftersom (·)N tillhör L. Men då uppfyller även koordinaterna (x,y,z,) (1), eftersom den innehåller inte z. Detta betyder att koordinaterna för varje punkt på den cylindriska ytan S uppfyller ekvation (1). Detta betyder att F(x,y)=0 är ekvationen för denna cylindriska yta. Kurva L kallas guide (kurva) cylindrisk yta. Observera att i rumsliga system L bör i själva verket ges av två ekvationer F(x,y)=0, z=0, som en skärningslinje.

Exempel:

Guiderna i howe-planet är ellips, parabel, hyperbel. Uppenbarligen definierar ekvationerna F=(y,z)=0 och F(x,z)=0 cylindriska ytor med generatorer parallella med OX- och OY-axlarna. Deras guider ligger i YOZ- respektive XOZ-planen.

Kommentar. En cylindrisk yta är inte nödvändigtvis en andra ordningens yta. Det finns till exempel en cylindrisk yta av 3:e ordningen, och ekvationen y=sin(x) anger en sinusformad cylinder, till vilken ingen ordning är tilldelad, detta är inte en algebraisk yta alls.

§3. Ekvation för en rotationsyta.

Vissa andra ordningens ytor är ytor av rotation. Låt någon kurva L F(y,z)=0(1) ligga i YOZ-planet. Låt oss ta reda på vad ekvationen för ytan S kommer att bli, bildad genom att rotera kurvan (1) runt oz-axeln.

Låt oss ta en godtycklig punkt M(x,y,z) på ytan S. Den kan anses erhållen från (.) N som hör till L, då är applikationerna för punkterna M och N lika (=z). Ordinatan för punkt N är här rotationsradien, eftersom .Men C(0,0,z) och pga. . Men punkt N ligger på kurvan och därför uppfyller dess koordinater den. Betyder (2) . Ekvation (2) uppfylls av koordinaterna för rotationsytan S. Detta betyder (2) är ekvationen för rotationsytan. Tecknen "+" eller "-" tas beroende på i vilken del av YOZ-planets kurva (1), där y>0 eller .

Så, regeln: För att hitta ekvationen för ytan som bildas genom att rotera kurvan L runt OZ-axeln, måste du ersätta variabeln y i ekvationen för kurvan

Ekvationerna för rotationsytor runt OX- och OY-axlarna är konstruerade på liknande sätt.

§7. Plan som en yta av första ordningen. Planets allmänna ekvation. Ekvation för ett plan som går genom en given punkt vinkelrät mot en given vektor Låt oss introducera ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem Oxyz i rymden och betrakta en ekvation av första graden (eller linjärekvationen) för x, y, z: (7.1) Axe.  Genom  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Sats 7.1. Vilket plan som helst kan specificeras i ett godtyckligt rektangulärt kartesiskt koordinatsystem med en ekvation av formen (7.1). På exakt samma sätt som i fallet med en linje på ett plan, är satsen motsats 7.1 giltig. Sats 7.2. Varje ekvation av formen (7.1) definierar ett plan i rymden. Beviset för satserna 7.1 och 7.2 kan utföras på samma sätt som beviset för satserna 2.1, 2.2. Av satserna 7.1 och 7.2 följer att planet och endast det är en yta av första ordningen. Ekvation (7.1) kallas den allmänna planekvationen. Dess -koefficienter A, B, C tolkas geometriskt som koordinaterna för vektorn n vinkelrät mot det plan som definieras av denna ekvation. Denna vektor  n(A, B, C) kallas normalvektorn till det givna planet. Ekvation (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 för alla möjliga värden av koefficienterna A, B, C definierar alla plan som passerar genom punkten M 0 ( x0, y0, z0). Det kallas ekvationen för ett gäng plan. Valet av specifika värden för A, B, C i (7.2) betyder valet av planet P från länken som går genom punkten M 0 vinkelrätt mot den givna vektorn n(A, B, C) (Fig. 7.1) ). Exempel 7.1. Skriv ekvationen för planet P som går genom punkten   A(1, 2, 0) parallellt med vektorerna a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normalvektorn n till P är ortogonal mot de givna vektorerna a och b (Fig. 7.2),   därför kan vi för n ta deras vektor n produkt: A    P i j k       1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n       a  4k. Låt oss ersätta koordinaterna i fig. 7.2. Till exempel, 7.1 P M0  punkt M 0 och vektor n i ekvation (7.2), får vi Fig. 7.1. Till ekvationen för planet för en bunt av plan P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 eller P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1s om två av koefficienterna . A, B, C i ekvationen (7.1) är lika med noll, den anger ett plan parallellt med ett av koordinatplanen. Till exempel, när A  B  0, C  0 – plan P1: Cz  D  0 eller P1: z   D / C (Fig. 7.3). Den är parallell med Oxy-planet, eftersom dess normalvektor  n1(0, 0, C) är vinkelrät mot detta plan. För A  C  0, B  0 eller B  C  0, A  0, ekvation (7. 1) definierar planen P2: Med  D  0 och P3: Ax  D  0, parallellt med koordinatplanen Oxz och Oyz, eftersom   deras normalvektorer n2(0, B, 0) och n3(A, 0) , 0 ) är vinkelräta mot dem (fig. 7.3). Om endast en av koefficienterna A, B, C i ekvation (7.1) är lika med noll, så specificerar den ett plan parallellt med en av koordinataxlar(eller innehåller den, om D  0). Planet P: Ax  By  D  0 är alltså parallellt med Oz-axeln, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Plan P: Axe  B y  D  0, parallellt med Oz-axeln Fig. 7.3. Planen är parallella med koordinatplanen  eftersom dess normalvektor n(A, B, 0) är vinkelrät mot Oz-axeln. Observera att den passerar genom den räta linjen L: Axe  By  D  0 som ligger i Oxy-planet (Fig. 7.4). För D  0, anger ekvation (7.1) ett plan som går genom koordinaternas ursprung. Exempel 7.2. Hitta värdena för parametern  för vilken ekvationen x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definierar planet parallellt med P: a) av koordinatplanen; b) parallell med en av koordinataxlarna; c) passerar genom koordinaternas ursprung. Låt oss skriva ner det given ekvation i formen x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) För vilket värde som helst på  definierar ekvation (7.3) ett visst plan, eftersom koefficienterna för x, y, z i (7.3) inte försvinner samtidigt. a) För   0 definierar ekvation (7.3) ett plan P parallellt med planet Oxy, P: z  3 / 2, och för   2 definierar det ett plan P 2 parallellt med planet Oyz, P: x  5/ 2. För inga värden på  är planet P som definieras av ekvation (7.3) parallellt med planet Oxz, eftersom koefficienterna för x, z i (7.3) inte försvinner samtidigt. b) För   1 definierar ekvation (7.3) ett plan P parallellt med Oz-axeln, P: x  3y  2  0. För andra värden av parametern  definierar den inte ett plan parallellt med endast en av koordinataxlarna. c) För   3 definierar ekvation (7.3) planet P som passerar genom origo, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Exempel 7.3. Skriv ekvationen för planet P som passerar genom: a) punkt M (1,  3, 2) parallell med den plana axeln Oxy; b) Ox-axeln och punkt M (2, – 1, 3).   a) För normalvektorn n till P här kan vi ta vektorn k (0, 0,1) - enhetsvektorn för Oz-axeln, eftersom den är vinkelrät mot Oxy-planet. Byt ut koordinaterna för punkten  M (1,  3, 2) och vektorn n i ekvation (7.2), vi får ekvationen för planet P: z 3  0.   b) Normalvektorn n till P är ortogonal mot vektorerna i (1, 0, 0) och OM (2,  1, 3) ,  därför kan vi ta deras vektorprodukt som n:    i j k        i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Ersätt koordinaterna för punkt O och vektor n i ekvation (7.2), vi får ekvationen för planet P:  3(y  0)  (z  0)  0 eller P: 3 y  z  0 .◄ 3

Med skillnaden att istället för "platta" grafer, kommer vi att överväga de vanligaste rumsliga ytorna och också lära oss hur man kompetent bygger dem för hand. Jag ägnade ganska lång tid åt att välja mjukvaruverktyg för att skapa tredimensionella ritningar och hittade ett par bra applikationer, men trots all enkel användning löser dessa program inte en viktig praktisk fråga väl. Faktum är att inom en överskådlig historisk framtid kommer eleverna fortfarande att vara beväpnade med en linjal och en penna, och även om de har en högkvalitativ "maskin" -ritning, kommer många inte att kunna överföra den korrekt till rutigt papper. Därför, i manualen, ägnas särskild uppmärksamhet åt tekniken för manuell konstruktion, och en betydande del av sidans illustrationer är handgjorda produkter.

Hur skiljer sig detta referensmaterial från analoger?

Med anständig praktisk erfarenhet vet jag mycket väl vilka ytor jag oftast har att göra med i verkliga applikationer högre matematik, och jag hoppas att den här artikeln hjälper dig att snabbt fylla på ditt bagage med relevant kunskap och tillämpade färdigheter, vilket borde räcka i 90-95% av fallen.

Vad behöver du kunna göra just nu?

Det mest grundläggande:

För det första måste du kunna bygga rätt rumsligt kartesiskt koordinatsystem (se början av artikeln Grafer och egenskaper hos funktioner) .

Vad får du efter att ha läst den här artikeln?

Flaska Efter att ha bemästrat lektionsmaterialet kommer du att lära dig att snabbt bestämma typen av yta genom dess funktion och/eller ekvation, föreställa dig hur den är placerad i rymden och, naturligtvis, göra ritningar. Det är okej om du inte får allt i huvudet efter den första behandlingen - du kan alltid återgå till valfritt stycke senare vid behov.

Information ligger inom allas makt - för att behärska den behöver du ingen superkunskap, speciell konstnärlig talang eller rumslig vision.

Börja!

I praktiken är den rumsliga ytan vanligtvis given funktion av två variabler eller en formekvation (konstanten på höger sida är oftast lika med noll eller ett). Den första beteckningen är mer typisk för matematisk analys, den andra – för analytisk geometri. Ekvationen är i huvudsak implicit givet en funktion av 2 variabler, som i typiska fall lätt kan reduceras till formen . Jag påminner dig enklaste exemplet c:

–plan ekvation snäll .

– planfunktion i uttryckligen .

Låt oss börja med det:

Vanliga ekvationer av plan

Typiska alternativ för arrangemang av plan i ett rektangulärt koordinatsystem diskuteras i detalj i början av artikeln. Planekvation. Låt oss dock återigen uppehålla oss vid de ekvationer som är av stor betydelse för praktiken.

Först och främst måste du helt automatiskt känna igen ekvationerna för plan som är parallella med koordinatplan. Fragment av plan avbildas som standard som rektanglar, som i de två sista fallen ser ut som parallellogram. Som standard kan du välja vilka dimensioner som helst (inom rimliga gränser, förstås), men det är önskvärt att punkten där koordinataxeln "genomborrar" planet är symmetricentrum:


Strängt taget bör koordinataxlarna avbildas med prickade linjer på vissa ställen, men för att undvika förvirring kommer vi att försumma denna nyans.

– (vänster ritning) ojämlikheten specificerar halvrummet längst bort från oss, exklusive planet självt;

– (mitten ritning) ojämlikheten anger det högra halvrummet, inklusive planet;

– (höger ritning) den dubbla olikheten definierar ett "lager" som ligger mellan planen, inklusive båda planen.

För självuppvärmning:

Exempel 1

Rita en kropp avgränsad av plan
Skapa ett system av ojämlikheter som definierar en given kropp.

En gammal bekant borde dyka upp under ledningen av din penna. kubisk. Glöm inte att osynliga kanter och ansikten måste ritas med en prickad linje. Ritade klart i slutet av lektionen.

Snälla du, FÖRSVARA INTE inlärningsuppgifter, även om de verkar för enkla. Annars kan det hända att du missade det en gång, missade det två gånger och sedan spenderade en hel timme på att försöka lista ut en tredimensionell ritning i något verkligt exempel. Dessutom kommer mekaniskt arbete att hjälpa dig att lära dig materialet mycket mer effektivt och utveckla din intelligens! Det är ingen slump att på dagis och grundskola Barn är laddade med ritning, modellering, byggsatser och andra uppgifter för finmotorik i fingrarna. Ursäkta avvikelsen, men mina två anteckningsböcker om utvecklingspsykologi borde inte försvinna =)

Vi kommer villkorligt att kalla nästa grupp av plan "direkt proportionalitet" - det här är plan som passerar genom koordinataxlarna:

2) en ekvation av formen anger ett plan som passerar genom axeln;

3) en ekvation av formen anger ett plan som går genom axeln.

Även om det formella tecknet är uppenbart (vilken variabel saknas i ekvationen – planet passerar genom den axeln), det är alltid användbart att förstå essensen av händelserna som äger rum:

Exempel 2

Konstruera plan

Vad är det bästa sättet att bygga? Jag föreslår följande algoritm:

Låt oss först skriva om ekvationen i formen , från vilken det tydligt framgår att "y" kan ta några betydelser. Låt oss fixa värdet, det vill säga vi kommer att överväga koordinatplanet. Ekvationer uppsättning rumslig linje, som ligger i ett givet koordinatplan. Låt oss avbilda denna linje på ritningen. Den räta linjen passerar genom koordinaternas ursprung, så för att konstruera den räcker det med att hitta en punkt. Låt . Lägg åt sidan en punkt och rita en rak linje.

Nu återgår vi till planets ekvation. Eftersom "Y" accepterar några värden, då "replikeras" den räta linjen som är konstruerad i planet kontinuerligt till vänster och höger. Det är precis så vårt plan bildas, som passerar genom axeln. För att slutföra ritningen lägger vi två parallella linjer till vänster och höger om den räta linjen och "stänger" det symboliska parallellogrammet med tvärgående horisontella segment:

Eftersom villkoret inte innebar ytterligare restriktioner kunde ett fragment av planet avbildas i något mindre eller lite större storlekar.

Låt oss återigen upprepa innebörden av rumslig linjär ojämlikhet med hjälp av exemplet. Hur bestämmer man halvutrymmet det definierar? Låt oss ta en punkt inte tillhör plan, till exempel, en punkt från halvrummet närmast oss och ersätter dess koordinater med olikheten:

Mottagen verklig ojämlikhet, vilket innebär att olikheten anger det lägre (i förhållande till planet) halvrummet, medan själva planet inte ingår i lösningen.

Exempel 3

Konstruera flygplan
A);
b) .

Dessa är uppgifter för självkonstruktion vid svårigheter, använd liknande resonemang. Korta instruktioner och ritningar i slutet av lektionen.

I praktiken är flygplan särskilt vanliga, parallella axlar. Det speciella fallet när planet passerar genom axeln diskuterades just i avsnittet "vara", och nu kommer vi att analysera ett mer allmänt problem:

Exempel 4

Konstruera plan

Lösning: variabeln "z" är inte explicit inkluderad i ekvationen, vilket betyder att planet är parallellt med den applicerade axeln. Låt oss använda samma teknik som i de tidigare exemplen.

Låt oss skriva om ekvationen för planet i formen från vilket det är klart att "zet" kan ta några betydelser. Låt oss fixa det och rita en vanlig "platt" rak linje i det "inhemska" planet. För att konstruera det är det bekvämt att ta referenspunkter.

Eftersom "Z" accepterar Allt värden, då "multipliceras" den konstruerade räta linjen kontinuerligt upp och ner och bildar därigenom det önskade planet . Vi gör noggrant upp ett parallellogram av rimlig storlek:

Redo.

Ekvation för ett plan i segment

Den viktigaste tillämpade sorten. Om Allt odds planets allmänna ekvation icke-noll, då kan det representeras i formen som kallas planets ekvation i segment. Det är uppenbart att planet skär koordinataxlarna vid punkter , och den stora fördelen med en sådan ekvation är att det är lätt att konstruera en ritning:

Exempel 5

Konstruera plan

Lösning: Låt oss först skapa en ekvation av planet i segment. Låt oss kasta den fria termen till höger och dividera båda sidor med 12:

Nej, det finns inga stavfel här och allt händer i rymden! Vi undersöker den föreslagna ytan med samma metod som nyligen användes för plan. Låt oss skriva om ekvationen i formuläret , varav det följer att "zet" tar några betydelser. Låt oss fixa och konstruera en ellips i planet. Eftersom "zet" accepterar Allt värden, då "replikeras" den konstruerade ellipsen kontinuerligt upp och ner. Det är lätt att förstå att ytan oändlig:

Denna yta kallas elliptisk cylinder. En ellips (på valfri höjd) kallas guide cylinder, och parallella linjer som går genom varje punkt på ellipsen kallas formning cylinder (som bokstavligen bildar den). Axeln är symmetriaxel yta (men inte en del av den!).

Koordinaterna för varje punkt som hör till en given yta uppfyller nödvändigtvis ekvationen .

Rumslig olikheten definierar "insidan" av det oändliga "röret", inklusive själva den cylindriska ytan, och följaktligen definierar den motsatta olikheten uppsättningen av punkter utanför cylindern.

Mest populär i praktiska tillämpningar specialfall, När guide cylindern är cirkel:

Exempel 8

Bygg en yta ges av ekvationen

Det är omöjligt att avbilda ett ändlöst "rör", så konsten är vanligtvis begränsad till "trimning".

Först är det bekvämt att konstruera en cirkel med radie i planet, och sedan ytterligare ett par cirklar över och under. De resulterande cirklarna ( guider cylinder) anslut försiktigt med fyra parallella raka linjer ( formning cylinder):

Glöm inte att använda prickade linjer för linjer som är osynliga för oss.

Koordinaterna för varje punkt som hör till en given cylinder uppfyller ekvationen . Koordinaterna för varje punkt som ligger strikt innanför "röret" tillfredsställer ojämlikheten och ojämlikheten definierar en uppsättning punkter för den externa delen. För en bättre förståelse rekommenderar jag att du överväger flera specifika punkter i rymden och ser själv.

Exempel 9

Konstruera en yta och hitta dess projektion på planet

Låt oss skriva om ekvationen i formuläret av vilket det följer att "x" tar några betydelser. Låt oss fixa och avbilda i planet cirkel– med centrum i origo, enhetsradie. Eftersom "x" kontinuerligt accepterar Allt värden, då genererar den konstruerade cirkeln en cirkulär cylinder med en symmetriaxel. Rita en annan cirkel ( guide cylinder) och anslut dem försiktigt med raka linjer ( formning cylinder). På vissa ställen fanns det överlappningar, men vad kan du göra, det finns en sådan lutning:

Den här gången begränsade jag mig till en bit av en cylinder i springan, och detta är ingen tillfällighet. I praktiken är det ofta nödvändigt att avbilda endast ett litet fragment av ytan.

Här finns det förresten 6 generatriser - ytterligare två raka linjer "täcker" ytan från det övre vänstra och nedre högra hörnet.

Låt oss nu titta på projektionen av en cylinder på ett plan. Många läsare förstår vad projektion är, men låt oss ändå genomföra ytterligare en fem minuters fysisk träning. Ställ dig och böj ditt huvud över ritningen så att axelns punkt pekar vinkelrätt mot din panna. Vad en cylinder ser ut att vara från denna vinkel är dess projektion på ett plan. Men det verkar vara en ändlös remsa, innesluten mellan raka linjer, inklusive de raka linjerna själva. Denna projektion är exakt domän funktioner (den övre "rännan" på cylindern), (nedre "rännan").

Låt oss förresten klargöra situationen med projektioner på andra koordinatplan. Låt solens strålar lysa på cylindern från spetsen och längs axeln. Skuggan (projektionen) av en cylinder på ett plan är en liknande oändlig remsa - en del av planet som begränsas av räta linjer (- alla), inklusive de raka linjerna själva.

Men projektionen på planet är något annorlunda. Om du tittar på cylindern från spetsen av axeln, kommer den att projiceras i en cirkel med enhetsradie , som vi började bygga med.

Exempel 10

Konstruera en yta och hitta dess projektioner på koordinatplan

Detta är en uppgift för dig att lösa på egen hand. Om tillståndet inte är särskilt tydligt, kvadrera båda sidorna och analysera resultatet; ta reda på vilken del av cylindern som anges av funktionen. Använd konstruktionstekniken som används upprepade gånger ovan. En kort lösning, ritning och kommentarer i slutet av lektionen.

Elliptisk och andra cylindriska ytor kan förskjutas i förhållande till koordinataxlarna, till exempel:

(baserat på välbekanta motiv i artikeln om 2:a ordningens rader) – en cylinder med enhetsradie med en symmetrilinje som går genom en punkt parallell med axeln. Men i praktiken påträffas sådana cylindrar ganska sällan, och det är helt otroligt att möta en cylindrisk yta som är "sned" i förhållande till koordinataxlarna.

Parabolcylindrar

Som namnet antyder, guide en sådan cylinder är parabel.

Exempel 11

Konstruera en yta och hitta dess projektioner på koordinatplan.

Jag kunde inte motstå det här exemplet =)

Lösning: Låt oss gå längs den upptrampade stigen. Låt oss skriva om ekvationen i formen, av vilken det följer att "zet" kan ta vilket värde som helst. Låt oss fixa och konstruera en vanlig parabel på planet, efter att tidigare ha markerat de triviala referenspunkterna. Eftersom "Z" accepterar Allt värden, då "replikeras" den konstruerade parabeln kontinuerligt upp och ner till oändligheten. Vi lägger samma parabel, säg, på en höjd (i planet) och ansluter dem försiktigt med parallella raka linjer ( bildar cylindern):

Jag påminner dig användbar teknik: om du från början är osäker på kvaliteten på ritningen, är det bättre att först rita linjerna väldigt tunt med en penna. Sedan utvärderar vi kvaliteten på skissen, tar reda på de områden där ytan är dold för våra ögon och först därefter trycker vi på pennan.

Projektioner.

1) Projektionen av en cylinder på ett plan är en parabel. Det bör noteras att det i det här fallet är omöjligt att prata om definitionsdomän för en funktion av två variabler– av det skälet att cylinderekvationen inte kan reduceras till funktionell form.

2) Projektionen av en cylinder på ett plan är ett halvplan, inklusive axeln

3) Och slutligen, projektionen av cylindern på planet är hela planet.

Exempel 12

Konstruera paraboliska cylindrar:

a) begränsa dig till ett fragment av ytan i det närmaste halvutrymmet;

b) i intervallet

Vid svårigheter skyndar vi oss inte och resonerar analogt med tidigare exempel som tur är har tekniken utvecklats grundligt. Det är inte kritiskt om ytorna blir lite klumpiga - det är viktigt att visa den grundläggande bilden korrekt. Jag själv bryr mig inte riktigt om linjernas skönhet; om jag får en tveksam ritning med C-betyg, gör jag vanligtvis inte om den. Förresten, provlösningen använder en annan teknik för att förbättra kvaliteten på ritningen ;-)

Hyperboliska cylindrar

Guider sådana cylindrar är hyperboler. Denna typ av yta, enligt mina observationer, är mycket mindre vanlig än tidigare typer, så jag kommer att begränsa mig till en enda schematisk ritning av en hyperbolisk cylinder:

Principen för resonemang här är exakt densamma - det vanliga skolhyperbol från planet "multipliceras" kontinuerligt upp och ner till oändligheten.

De betraktade cylindrarna tillhör de sk 2:a ordningens ytor, och nu kommer vi att fortsätta att bekanta oss med andra representanter för denna grupp:

Ellipsoid. Kula och boll

Kanonisk ekvation en ellipsoid i ett rektangulärt koordinatsystem har formen , var finns positiva tal ( axelaxlar ellipsoid), som i allmänt fall annorlunda. En ellipsoid kallas yta, alltså kropp, begränsad av en given yta. Kroppen, som många har gissat, bestäms av ojämlikhet och koordinater för ev inre punkt(liksom vilken punkt som helst på ytan) nödvändigtvis tillfredsställa denna ojämlikhet. Designen är symmetrisk med avseende på koordinataxlar och koordinatplan:

Ursprunget till termen "ellipsoid" är också uppenbart: om ytan är "skuren" av koordinatplan, kommer sektionerna att resultera i tre olika (i det allmänna fallet)

Liknande artiklar