KOMPLEXA NUMMER XI

§ 256. Trigonometrisk form av komplexa tal

Låt ett komplext tal a + bi motsvarar vektor O.A.> med koordinater ( a, b ) (se fig. 332).

Låt oss beteckna längden på denna vektor med r , och vinkeln den gör med axeln X , genom φ . Per definition av sinus och cosinus:

a / r =cos φ , b / r = synd φ .

Det är därför A = r cos φ , b = r synd φ . Men i det här fallet det komplexa talet a + bi kan skrivas som:

a + bi = r cos φ + ir synd φ = r (cos φ + i synd φ ).

Som bekant, kvadraten på längden av någon vektor lika med summan kvadrater av dess koordinater. Det är därför r 2 = a 2 + b 2, varifrån r = √a 2 + b 2

Så, vilket komplext tal som helst a + bi kan representeras i formen :

a + bi = r (cos φ + i synd φ ), (1)

där r = √a 2 + b 2 och vinkeln φ bestäms utifrån villkoret:

Denna form av att skriva komplexa tal kallas trigonometrisk.

siffra r i formel (1) kallas modul, och vinkeln φ - argument, komplext tal a + bi .

Om ett komplext tal a + bi är inte lika med noll, då är dess modul positiv; om a + bi = 0, alltså a = b = 0 och sedan r = 0.

Modulen för ett komplext tal bestäms unikt.

Om ett komplext tal a + bi inte är lika med noll, då bestäms dess argument av formler (2) definitivt exakt till en vinkel delbar med 2 π . Om a + bi = 0, alltså a = b = 0. I detta fall r = 0. Från formel (1) är det lätt att förstå det som ett argument φ i det här fallet kan du välja vilken vinkel som helst: trots allt för vilken som helst φ

0 (cos φ + i synd φ ) = 0.

Därför är null-argumentet odefinierat.

Modulen för ett komplext tal r ibland betecknad | z |, och argumentet är arg z . Låt oss titta på några exempel på att representera komplexa tal i trigonometrisk form.

Exempel. 1. 1 + i .

Låt oss hitta modulen r och argument φ detta nummer.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Synda därför φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, varifrån φ = π / 4 + 2nπ .

Således,

1 + i = √ 2 ,

Var P - vilket heltal som helst. Vanligtvis, från den oändliga uppsättningen värden i argumentet för ett komplext tal, väljs en som är mellan 0 och 2 π . I det här fallet är detta värde π / 4 . Det är därför

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i synd π / 4)

Exempel 2. Skriv ett komplext tal i trigonometrisk form √ 3 - i . Vi har:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, synd φ = - 1 / 2

Därför upp till en vinkel delbar med 2 π , φ = 11 / 6 π ; därav,

√ 3 - i = 2(cos 11/6 π + i synd 11/6 π ).

Exempel 3 Skriv ett komplext tal i trigonometrisk form i.

Komplext tal i motsvarar vektor O.A.> , som slutar vid punkt A på axeln på med ordinata 1 (fig. 333). Längden på en sådan vektor är lika med 1, och vinkeln den gör med x-axeln är lika med π / 2. Det är därför

i =cos π / 2 + i synd π / 2 .

Exempel 4. Skriv det komplexa talet 3 i trigonometrisk form.

Det komplexa talet 3 motsvarar vektorn O.A. > X abskissan 3 (fig. 334).

Längden på en sådan vektor är 3, och vinkeln den gör med x-axeln är 0. Därför

3 = 3 (cos 0 + i synd 0),

Exempel 5. Skriv det komplexa talet -5 i trigonometrisk form.

Det komplexa talet -5 motsvarar en vektor O.A.> slutar vid en axelpunkt X med abskiss -5 (fig. 335). Längden på en sådan vektor är 5, och vinkeln den bildar med x-axeln är lika med π . Det är därför

5 = 5(cos π + i synd π ).

Övningar

2047. Skriv dessa komplexa tal i trigonometrisk form och definiera deras moduler och argument:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Ange på planet en uppsättning punkter som representerar komplexa tal vars moduli r och argument φ uppfyller villkoren:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kan tal samtidigt vara modulen för ett komplext tal? r Och - r ?

2050. Kan argumentet för ett komplext tal samtidigt vara vinklar? φ Och - φ ?

Presentera dessa komplexa tal i trigonometrisk form och definiera deras moduler och argument:

2051*. 1 + cos α + i synd α . 2054*. 2(cos 20° - i sin 20°).

2052*. synd φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i sin 15°).

Operationer på komplexa tal skrivna i algebraisk form

Algebraisk form av ett komplext tal z =(a,b).kallas ett algebraiskt uttryck av formen

z = a + bi.

Aritmetiska operationer på komplexa tal z 1 =a 1 + b 1 i Och z 2 =a 2 + b 2 i, skrivna i algebraisk form, utförs enligt följande.

1. Summa (skillnad) av komplexa tal

z 1 ±z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

de där. addition (subtraktion) utförs enligt regeln för addering av polynom med reduktion av liknande termer.

2. Produkt av komplexa tal

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

de där. multiplikation utförs enligt den vanliga regeln för att multiplicera polynom, med hänsyn till det faktum att i 2 = 1.

3. Uppdelningen av två komplexa tal utförs enligt följande regel:

, (z 2 ≠ 0),

de där. division utförs genom att multiplicera utdelningen och divisorn med divisorns konjugerade tal.

Exponentiering av komplexa tal definieras enligt följande:

Det är lätt att visa det

Exempel.

1. Hitta summan av komplexa tal z 1 = 2 – i Och z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Hitta produkten av komplexa tal z 1 = 2 – 3i Och z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3jag∙ 5jag = 7+22i.

3. Hitta kvoten z från division z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Lös ekvationen: , x Och y Î R.

(2x+y) + (x+y)jag = 2 + 3i.

På grund av likheten mellan komplexa tal har vi:

var x =–1 , y= 4.

5. Beräkna: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , jag -2 .

6. Beräkna om .

.

7. Beräkna den reciproka av ett tal z=3-jag.

Komplexa tal i trigonometrisk form

Komplext plan kallas ett plan med kartesiska koordinater ( x, y), om varje punkt med koordinater ( a, b) är associerad med ett komplext tal z = a + bi. I detta fall kallas abskissaxeln verklig axel, och ordinataaxeln är imaginär. Sedan varje komplext tal a+bi geometriskt avbildad på ett plan som en punkt A (a, b) eller vektor.

Därför positionen för punkten A(och därför ett komplext tal z) kan specificeras av längden på vektorn | | = r och vinkel j, bildad av vektorn | | med den reella axelns positiva riktning. Längden på vektorn kallas modul för ett komplext tal och betecknas med | z |=r, och vinkeln j kallad komplext talargument och är utsedd j = arg z.

Det är tydligt att | z| ³ 0 och | z | = 0 Û z = 0.

Från fig. 2 är det tydligt att .

Argumentet för ett komplext tal bestäms tvetydigt, men med en noggrannhet på 2 pk,kÎ Z.

Från fig. 2 är det också klart att om z=a+bi Och j=arg z, Den där

cos j =,synd j =, tg j = .

Om zÎR Och z> 0, då arg z = 0 +2pk;

Om z ОR Och z< 0, då arg z = p+ 2pk;

Om z = 0,arg z odefinierat.

Huvudvärdet för argumentet bestäms av intervallet 0 £ arg z£2 p,

eller -s£ arg z £ sid.

Exempel:

1. Hitta modulen för komplexa tal z 1 = 4 – 3i Och z 2 = –2–2i.

2. Definiera områden på det komplexa planet som definieras av villkoren:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+i) | £3; 4) £6 | z – i| £7.

Lösningar och svar:

1) | z| = 5 Û Û - ekvation för en cirkel med radie 5 och centrum vid origo.

2) En cirkel med radie 6 med centrum i origo.

3) Cirkel med radie 3 med centrum i punkten z 0 = 2 + i.

4) En ring som begränsas av cirklar med radier 6 och 7 med ett centrum i en punkt z 0 = i.

3. Hitta modul och argument för talen: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Tips: När du bestämmer huvudargumentet, använd det komplexa planet.

Således: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Föreläsning

Trigonometrisk form av ett komplext tal

Planen

1. Geometrisk representation av komplexa tal.

2.Trigonometrisk notation komplexa tal.

3. Åtgärder på komplexa tal i trigonometrisk form.

Geometrisk representation av komplexa tal.

a) Komplexa tal representeras av punkter på ett plan enligt följande regel: a + bi = M ( a ; b ) (Figur 1).

Bild 1

b) Ett komplext tal kan representeras av en vektor som börjar vid punktenHANDLA OM och slutet vid en given punkt (fig. 2).

figur 2

Exempel 7. Konstruera punkter som representerar komplexa tal:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figur 3

Trigonometrisk notation av komplexa tal.

Komplext talz = a + bi kan specificeras med hjälp av radievektorn med koordinater( a ; b ) (Fig. 4).

Figur 4

Definition . Vektor längd , som representerar ett komplext talz , kallas modulen för detta tal och betecknas ellerr .

För alla komplexa talz dess modulr = | z | bestäms unikt av formeln .

Definition . Storleken på vinkeln mellan den reella axelns positiva riktning och vektorn , som representerar ett komplext tal, kallas argumentet för detta komplexa tal och betecknasA rg z ellerφ .

Komplext talargumentz = 0 odefinierat. Komplext talargumentz≠ 0 – en kvantitet med flera värden och bestäms inom en term2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Vararg z – huvudvärdet för argumentet i intervallet(-π; π] , det är-π < arg z ≤ π (ibland tas ett värde som hör till intervallet som huvudvärdet för argumentet .

Denna formel närr =1 ofta kallad Moivres formel:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Exempel 11: Beräkna(1 + i ) 100 .

Låt oss skriva ett komplext tal1 + i i trigonometrisk form.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +jag syndar )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i synd ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extrahera kvadratroten ur ett komplext tal.

När du tar kvadratroten ur ett komplext tala + bi vi har två fall:

Omb >o , Den där ;

2.3. Trigonometrisk form av komplexa tal

Låt vektorn specificeras på det komplexa planet med talet .

Låt oss beteckna med φ vinkeln mellan den positiva halvaxeln Ox och vektorn (vinkeln φ anses vara positiv om den mäts moturs, och negativ annars).

Låt oss beteckna vektorns längd med r. Sedan . Vi betecknar också

Skriva ett icke-noll komplext tal z i formuläret

kallas den trigonometriska formen av det komplexa talet z. Talet r kallas modulen för det komplexa talet z, och talet φ kallas argumentet för detta komplexa tal och betecknas med Arg z.

Trigonometrisk form för att skriva ett komplext tal - (Eulers formel) - exponentiell form för att skriva ett komplext tal:

Det komplexa talet z har oändligt många argument: om φ0 är något argument för talet z, så kan alla andra hittas med formeln

För ett komplext tal är argumentet och den trigonometriska formen inte definierade.

Således är argumentet för ett komplext tal som inte är noll vilken lösning som helst på ekvationssystemet:

(3)

Värdet φ för argumentet för ett komplext tal z, som uppfyller olikheterna, kallas huvudvärdet och betecknas med arg z.

Argumenten Arg z och arg z är relaterade till

, (4)

Formel (5) är en konsekvens av system (3), därför uppfyller alla argument för ett komplext tal likhet (5), men inte alla lösningar φ av ekvation (5) är argument för talet z.

Huvudvärdet för argumentet för ett komplext tal som inte är noll hittas enligt formlerna:

Formler för att multiplicera och dividera komplexa tal i trigonometrisk form är följande:

. (7)

När man höjer ett komplext tal till en naturlig potens, används Moivre-formeln:

När man extraherar roten till ett komplext tal används formeln:

, (9)

där k=0, 1, 2, …, n-1.

Uppgift 54. Beräkna var .

Låt oss presentera lösningen på detta uttryck i exponentiell form genom att skriva ett komplext tal: .

Om då.

Sedan, . Därför alltså Och , Var .

Svar: , kl.

Uppgift 55. Skriv komplexa tal i trigonometrisk form:

A); b) ; V); G); d); e) ; och).

Eftersom den trigonometriska formen av ett komplext tal är , då:

a) I ett komplext tal: .

,

Det är därför

b) , Var ,

G) , Var ,

e) .

och) , A , Den där .

Det är därför

Svar: ; 4; ; ; ; ; .

Uppgift 56. Hitta den trigonometriska formen av ett komplext tal

.

Låt, .

Sedan, , .

Sedan och , , sedan , och

Därför, därför

Svar: , Var .

Uppgift 57. Använd den trigonometriska formen av ett komplext tal och utför följande åtgärder: .

Låt oss föreställa oss siffrorna och i trigonometrisk form.

1) , var Sedan

Hitta värdet på huvudargumentet:

Låt oss byta ut värdena och in i uttrycket får vi

2) , var då

Sedan

3) Låt oss hitta kvoten

Om vi ​​antar att k=0, 1, 2 får vi tre olika betydelserönskad rot:

Om då

om då

om då .

Svar: :

:

: .

Uppgift 58. Låt , , , vara olika komplexa tal och . Bevisa det

ett nummer är ett verkligt positivt tal;

b) jämställdheten gäller:

a) Låt oss representera dessa komplexa tal i trigonometrisk form:

Därför att .

Låt oss låtsas att . Sedan

.

Det sista uttrycket är ett positivt tal, eftersom sinustecknen innehåller tal från intervallet.

sedan numret verklig och positiv. Faktum är att om a och b är komplexa tal och är reella och större än noll, då .

Förutom,

därför är den erforderliga jämlikheten bevisad.

Uppgift 59. Skriv talet i algebraisk form .

Låt oss representera talet i trigonometrisk form och sedan hitta dess algebraiska form. Vi har . För vi får systemet:

Detta innebär jämlikhet: .

Använder Moivres formel: ,

vi får

Den trigonometriska formen av det givna talet hittas.

Låt oss nu skriva detta tal i algebraisk form:

.

Svar: .

Uppgift 60. Hitta summan , ,

Låt oss överväga beloppet

Genom att tillämpa Moivres formel finner vi

Denna summa är summan av n termer geometrisk progression med nämnare och den första medlemmen .

Genom att tillämpa formeln för summan av termer för en sådan progression har vi

Att isolera den imaginära delen i det sista uttrycket finner vi

Om vi ​​isolerar den verkliga delen får vi även följande formel: , , .

Uppgift 61. Hitta summan:

A) ; b) .

Enligt Newtons formel för exponentiering har vi

Med hjälp av Moivres formel hittar vi:

Genom att likställa de verkliga och imaginära delarna av de resulterande uttrycken för har vi:

Och .

Dessa formler kan skrivas i kompakt form enligt följande:

,

, Var - hela delen siffror a.

Uppgift 62. Hitta alla , för vilka .

Eftersom den , sedan med formeln

, För att utvinna rötterna får vi ,

Därav, , ,

, .

Punkterna som motsvarar siffrorna är placerade vid hörnen på en kvadrat inskriven i en cirkel med radie 2 med centrum i punkten (0;0) (Fig. 30).

Svar: , ,

, .

Uppgift 63. Lös ekvationen , .

Efter villkor ; Det är därför given ekvation har ingen rot, och därför motsvarar den ekvationen.

För att talet z ska vara roten till en given ekvation måste talet vara roten n:e graden från nummer 1.

Härifrån drar vi slutsatsen att den ursprungliga ekvationen har rötter bestämda från likheterna

,

Således,

,

dvs. ,

Svar: .

Uppgift 64. Lös ekvationen i mängden komplexa tal.

Eftersom talet inte är roten till denna ekvation, är denna ekvation ekvivalent med ekvationen

Det vill säga ekvationen.

Alla rötter till denna ekvation erhålls från formeln (se problem 62):

; ; ; ; .

Uppgift 65. Rita på det komplexa planet en uppsättning punkter som uppfyller ojämlikheterna: . (2:a sättet att lösa problem 45)

Låta .

Komplexa tal med identiska moduler motsvarar punkter i planet som ligger på en cirkel centrerad vid origo, därför är olikheten tillfredsställa alla punkter i en öppen ring som begränsas av cirklar med ett gemensamt centrum vid origo och radier och (Fig. 31). Låt någon punkt av det komplexa planet motsvara talet w0. siffra , har en modul flera gånger mindre än modulen w0, och ett argument som är större än argumentet w0. MED geometrisk punkt Ur synvinkeln kan den punkt som motsvarar w1 erhållas med hjälp av homoteti med centrum vid origo och koefficient , såväl som en rotation i förhållande till origo med en vinkel moturs. Som ett resultat av att tillämpa dessa två transformationer på ringens punkter (fig. 31), kommer den senare att omvandlas till en ring som begränsas av cirklar med samma centrum och radier 1 och 2 (fig. 32).

Omvandling implementeras med hjälp av parallell överföring till vektor. Genom att överföra ringen med centrum i punkten till den indikerade vektorn får vi en ring av samma storlek med centrum i punkten (Fig. 22).

Den föreslagna metoden, som använder idén om geometriska transformationer av ett plan, är förmodligen mindre bekväm att beskriva, men är mycket elegant och effektiv.

Problem 66. Hitta om .

Låt , sedan och . Den initiala jämlikheten kommer att ta formen . Från villkoret för likhet med två komplexa tal får vi , , där , . Således, .

Låt oss skriva talet z i trigonometrisk form:

, Var , . Enligt Moivres formel finner vi .

Svar: – 64.

Uppgift 67. För ett komplext tal, hitta alla komplexa tal så att , och .

Låt oss representera talet i trigonometrisk form:

. Härifrån, . För talet vi får kan vara lika med eller .

I det första fallet , på sekunden

.

Svar: , .

Uppgift 68. Hitta summan av tal så att . Ange ett av dessa nummer.

Observera att från själva formuleringen av problemet kan det förstås att summan av ekvationens rötter kan hittas utan att beräkna själva rötterna. Faktum är att summan av ekvationens rötter är koefficienten för , taget med motsatt tecken (generaliserad Vietas sats), d.v.s.

Elever, skoldokumentation, drar slutsatser om graden av behärskning detta koncept. Sammanfatta studiet av egenskaperna hos matematiskt tänkande och processen att bilda begreppet ett komplext tal. Beskrivning av metoder. Diagnostik: Steg I. Samtalet fördes med en matematiklärare som undervisar i algebra och geometri i årskurs 10. Samtalet ägde rum efter en tid sedan början...

Resonans" (!)), som även innefattar en bedömning av det egna beteendet. 4. Kritisk bedömning av sin förståelse av situationen (tvivel). 5. Slutligen användandet av rekommendationer från rättspsykologin (juristen tar hänsyn till det psykologiska aspekter av de professionella handlingar som utförs - professionell psykologisk beredskap). Låt oss nu överväga psykologisk analys av juridiska fakta...

Matematik för trigonometrisk substitution och testning av effektiviteten hos den utvecklade undervisningsmetodik. Arbetsstadier: 1. Utveckling av en valbar kurs på ämnet: "Tillämpning av trigonometrisk substitution för att lösa algebraiska problem" med elever i klasser med avancerad matematik. 2. Genomförande av den utvecklade valbara kursen. 3. Genomföra ett diagnostiskt test...

Kognitiva uppgifter är endast avsedda att komplettera befintliga läromedel och måste vara i lämplig kombination med alla traditionella medel och delar av utbildningsprocessen. Skillnaden mellan utbildningsuppgifter i undervisningen i humaniora och de exakta vetenskaperna, fr.o.m matematiska problem Det enda problemet är att historiska problem saknar formler, strikta algoritmer etc, vilket komplicerar deras lösning. ...

Liknande artiklar