jag. En uppsättning är en samling av några objekt eller siffror, sammansatta enligt några allmänna egenskaper eller lagar (många bokstäver på en sida, många egenbråk med en nämnare 5 , många stjärnor på himlen, etc.).

För att skriva en uppsättning, använd lockiga hängslen: «{ "- setet öppnas; "}" — många stänger. Och själva uppsättningen heter med stora latinska bokstäver: A, B, C och så vidare.

Exempel.

1 . Skrivset A, bestående av alla vokaler i ordet "matematik".

Lösning. A=(a, e, i). Du förstår: trots att i ordet "matematik" det finns tre bokstäver "A"- Flera upprepningar är inte tillåtna i inspelningen och brevet "A" spelas in endast en gång. Ett gäng A består av tre element.

2. Skriv ner mängden av alla egenbråk med en nämnare 5 .

Lösning. Låt oss komma ihåg: den korrekta kallas vanlig bråkdel, vars täljare är mindre än nämnaren. Låt oss beteckna med Iönskad uppsättning. Sedan:

Ett gäng I består av fyra element.

II. Mängder består av element och kan vara ändliga eller oändliga. En mängd som inte innehåller ett enda element kallas den tomma mängden och betecknas med Ø.

III. Ett gäng I kallas en delmängd av en mängd A, om alla delar av uppsättningen Iär delar av uppsättningen A.

3. Vilken av de två givna uppsättningarna I Och MED TILL,

Om I={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Lösning. Alla delar av uppsättningen MEDär också delar av uppsättningen TILL därför många MEDär en delmängd av uppsättningen TILL. Skriv ner:

IV. Skärning av uppsättningar A Och Iär en mängd vars element tillhör mängden A och många I.

4. Visa skärningspunkten mellan två uppsättningar M Och F med Euler-cirklar.

Lösning.

Begreppet mängd är ett av de grundläggande matematiska begreppen. Det är ett odefinierat begrepp och kan endast beskrivas eller förklaras genom exempel. Således kan vi prata om mängden bokstäver i det latinska alfabetet, mängden av alla böcker i ett givet bibliotek, mängden elever i en given grupp, mängden av alla punkter på en given linje. För att definiera en uppsättning, lista bara elementen eller specificera karakteristisk egenskaper hos element, dvs. en egenskap som ägs av alla element i en given mängd och endast de.

Definition 1.1. Föremål (objekt) som utgör en viss mängd kallas dess element.

Det är vanligt att beteckna en mängd med stora latinska bokstäver och elementen i mängden - med gemener. Vad xär en del av uppsättningen A, skrivs så här: x A(x tillhör A). Rekordvy x A(x A) betyder att x tillhör inte A, dvs. är inte en del av uppsättningen A.

Delar av en uppsättning är vanligtvis skrivna med lockiga hängslen. Till exempel om A – uppsättning som består av de tre första bokstäverna i det latinska alfabetet, sedan skrivs det så här: A={a,b,c} .

En mängd kan innehålla ett oändligt antal element (mängden punkter på en linje, mängden naturliga tal), ett ändligt antal element (mängden skolbarn i en klass), eller inte innehålla något element alls (mängden av elever i ett tomt klassrum).

Definition 1.2. En uppsättning som inte innehåller ett enda element kallas tom uppsättning, betecknad med Ø.

Definition 1.3. Ett gäng A kallad delmängd set B, om varje element i uppsättningen A tillhör många B. Detta anges A B(A – delmängd B).

Den tomma uppsättningen anses vara en delmängd av vilken uppsättning som helst. Om uppsättningen Aär inte en delmängd av uppsättningen B, så skriver de A B.

Definition 1.4. Två set A Och B kallad likvärdig, om de är delmängder av varandra. Beteckna A = B. Detta betyder att om x A, Den där x B och vice versa, dvs. om och , då .

Definition 1.5.Genomskärning set A Och B ringa ett set M, vars element samtidigt är element i båda uppsättningarna A Och B. Beteckna M=A B. De där. x A B, Den där x A Och x B.

Skriv ner A B={x | x A Och x B). (Istället för en fackförening Och - tecken, &).

Definition 1.6. Om A B=Ø, då säger de att uppsättningarna A Och B inte korsar varandra.

På samma sätt kan du definiera skärningspunkten mellan 3, 4 och valfritt ändligt antal uppsättningar.

Definition 1.7.Förening set A Och B ringa ett set M, vars element tillhör minst en av dessa uppsättningar M=A B. Den där. A B={x | x A eller x B). (Istället för en fackförening eller - skylten är placerad).

Uppsättningen definieras på liknande sätt A 1 A 2 … En . Den består av element, som var och en tillhör minst en av uppsättningarna A 1,A 2,…,En(och kanske flera samtidigt) .

Exempel 1.8. 1) om A=(1;2;3;4;5) och B=(1;3;5;7;9), då A B=(1;3;5) och A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) om A=(2;4) och B=(3;7), då A B=Ø och A B={2;3;4;7}.

3) om A=(sommarmånaderna) och B=(månader med 30 dagar), alltså A B=(juni) och A B=(april; juni; juli; augusti; september; november).

Definition 1.9.Naturlig siffrorna 1,2,3,4,... kallas, används för att räkna objekt.

Mängden naturliga tal betecknas med N, N=(1;2;3;4;…;n;…). Det är oändligt, har det minsta elementet 1 och har inget största element.

Exempel 1.10. A– mängden naturliga delare av talet 40. Lista elementen i denna mängd. Är det sant att 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

Exempel 1.11. Lista elementen i uppsättningar som definieras av karakteristiska egenskaper.

Det som här kommer i förgrunden är just det vi hittills i grunden har lämnat åt sidan, nämligen frågan om hur de ordningsrelationer som existerar i mängder av samma kardinalitet skiljer dessa mängder åt. När allt kommer omkring, dessa en-till-en-mappningar av allmän syn, som vi hittills har antagit, brutit mot alla dessa relationer - kom bara ihåg kartläggningen av en kvadrat på ett segment! Jag skulle särskilt vilja betona vikten av denna andra del av läran om set; denna undervisning kan trots allt inte ha som mål att eliminera genom att introducera nytt, mer allmänna begrepp de skillnader som länge har använts i matematik; snarare tvärtom, denna lära kan och bör tjäna till att erkänna dessa skillnader i deras djupaste väsen med hjälp av allmänna begrepp.

Ordinaltyper av räknebara uppsättningar.

Vårt syfte är nu att illustrera, genom vissa välkända exempel, konceptet med de olika möjliga arrangemangen av elementen i en uppsättning i en viss ordning. Om vi börjar med räknebara mängder, så känner vi redan till tre helt olika exempel på arrangemanget av element i sådana mängder, så olika varandra att likheten mellan deras kardinaliteter utgjorde, som vi såg, en speciell och inte i något fall självklar. sats; det här är följande uppsättningar:

1) mängden naturliga tal;

2) mängden av alla (negativa och positiva) heltal;

3) uppsättning av alla rationella nummer och mängden av alla algebraiska tal.

Arrangemanget av element i alla dessa tre uppsättningar har en allmän egendom, på grund av vilken den kallas linjär ordning i överflöd. Denna egenskap är följande: av vartannat element går det ena alltid före det andra, d.v.s. uttryckt algebraiskt, det är alltid känt vilket element som är mindre och vilket som är större, och vidare, om av de tre elementen a, b, c element a föregår element b, och element b föregår element c, då a alltid föregår element c (om , då

Men å andra sidan finns det i de övervägda exemplen sådana karakteristiska skillnader: i den första mängden finns det ett första element (noll), som föregår alla de andra, men det finns inget sista element som följer efter alla andra; den andra uppsättningen har varken det första eller det sista elementet. Men båda dessa mängder har det gemensamt, att varje element omedelbart följs av ett visst närmaste element, och varje element omedelbart föregås av ett visst annat element.

Däremot har den tredje uppsättningen alltid, som vi såg ovan, mellan vartannat element oändligt många andra element; Vi betecknade en sådan egenskap hos en mängd med termen "överallt tät mängd", så att särskilt bland alla de rationella eller algebraiska talen som ligger mellan a och b, förutom dessa tal själva, det varken finns det minsta eller det största siffra. Sålunda är sätten att arrangera element i dessa tre uppsättningar, d.v.s. deras ordinaltyper, olika från varandra, även om uppsättningarna själva har samma kardinaliteter. Man kan koppla ihop med denna - och detta görs faktiskt av representanter för mängdlära - frågan om alla allmänt möjliga ordinaltyper av räknebara mängder.

Kontinuitet av kontinuum. Låt oss nu övergå till övervägandet av kontinuumeffektuppsättningar; här känner vi till en mängd med en linjär ordning i sig, nämligen kontinuumet av alla riktiga nummer. Men tillsammans med det, i tvådimensionella och flerdimensionella fall, har vi exempel på uppsättningar med ett arrangemang av element som skiljer sig från vad vi kallade "linjära". Så, i fallet med en uppsättning, för att avgöra ömsesidigt arrangemang två punkter, inte en, utan två relationer av typen av ojämlikheter krävs.

Här är det viktigast att analysera begreppet kontinuitet i ett endimensionellt kontinuum; upptäckten att detta begrepp egentligen bara är baserat på de enkla egenskaperna hos den ordning som är inneboende i en mängd är den första anmärkningsvärda fördelen med läran om mängder i förtydligandet av grundläggande matematiska begrepp, nämligen att det visar sig att alla egenskaper hos kontinuum härstammar från det faktum att den senare är en linjär och ordnad uppsättning med följande två egenskaper:

1. Om vi delar upp mängden i två valfria delar A, B, men på ett sådant sätt att varje element tillhör någon av dessa delar och att alla element som ingår i del A föregår alla element i del B, så kommer i sådant fall antingen A har det sista elementet eller B har det första elementet.

Med tanke på Dedekinds definition av irrationella tal kan vi uttrycka denna egenskap så här: varje "sektion" i vår uppsättning produceras av ett av dess element.

2. Mellan två valfria element i en mängd finns det oändligt många andra element.

Denna andra egenskap innehas inte bara av kontinuumet utan också av den räknebara mängden av alla rationella tal; den första egenskapen indikerar en signifikant skillnad mellan dessa ordnade uppsättningar. Varje linjärt ordnad mängd som har båda dessa egenskaper kallas kontinuerlig i mängdteorin av den anledningen att det för den verkligen är möjligt att bevisa alla satser som gäller för ett kontinuum på grund av dess kontinuitet.

Jag vill också poängtera att dessa kontinuitetsegenskaper också kan formuleras något annorlunda, nämligen utifrån den så kallade ”grundläggande” Cantor-serien. Huvudserien är en sådan räknebar sekvens av element i en given mängd så att i själva mängden antingen eller Vissa element a i mängden kallas ett limitelement i huvudserien om det - i det första fallet - i huvudserien finns alltid element större än något element som ligger i den givna uppsättningen till a, men det finns inga element alls, bblpih minst ett element som ligger efter gränselementet i det andra fallet bestäms på liknande sätt. Om en mängd har egenskapen att varje grundserie som ingår i dess sammansättning motsvarar ett limitelement, så kallas mängden sluten om, tvärtom, varje element i mängden är ett limitelement av någon grundläggande serie isolerad från den, då kallas uppsättningen tät. Kontinuiteten hos uppsättningar som har kraften i kontinuum består huvudsakligen i kombinationen av båda dessa egenskaper.

På vägen vill jag här påminna om att när vi pratade om differential- och integralkalkyl så pratade vi också om ett annat kontinuum - kontinuumet

Veronese, som uppstår från det vanliga kontinuumet genom tillsats av faktiskt oändligt små mängder. Även om man på detta sätt också erhåller en linjärt ordnad mängd, har inte desto mindre detta kontinuum naturligtvis en helt annan typ av arrangemang än det vanliga kontinuumet, att varje grundserie har ett begränsande element, gäller inte här.

Mängd är ett grundläggande begrepp i matematik och definieras därför inte genom andra.

Vanligtvis förstås en uppsättning som en samling föremål förenade av en gemensam egenskap. Så vi kan prata om många elever i en grupp, många bokstäver i det ryska alfabetet, etc. I vardagen används istället för ordet ”set”, orden ”set”, ”samling”, ”grupp” etc. Uppsättningar betecknas vanligtvis med versaler i det latinska alfabetet: A, I, MED, ..., Z.

För nummeruppsättningar I matematik används speciella notationer:

N– uppsättning naturliga tal;

N 0 – uppsättning icke-negativa heltal;

Z– uppsättning heltal;

F– uppsättning rationella tal;

R– uppsättning reella tal.

Objekten som en mängd bildas av kallas dess element. Till exempel är september ett element i uppsättningen av årets månader, siffran 5 är ett element i uppsättningen naturliga tal. Element i en uppsättning betecknas vanligtvis med små bokstäver i det latinska alfabetet. Elementen i en uppsättning kan vara uppsättningar. Detta kan sägas om många grupper på institutet. Delarna i denna uppsättning är grupper, som i sin tur är uppsättningar av elever.

Kopplingen mellan en mängd och dess element uttrycks med ordet "hör till". Uttalandet "Element A tillhör många A" står skrivet så här: A  A, och det här inlägget kan läsas annorlunda: " A– element i uppsättningen A"," ett gäng A innehåller ett element A" Uttalandet "Element A hör inte till uppsättningen A" står skrivet så här: A  A(annars: " Aär inte en del av uppsättningen A"," ett gäng A innehåller inte element A»).

Om ordet "uppsättning" i dagligt tal är associerat med ett stort antal objekt, är detta inte nödvändigt i matematik. En uppsättning kan innehålla ett element eller inte innehålla några element.

En mängd som inte innehåller ett enda element kallas tom och betecknas med symbolen . Det finns bara en tom uppsättning. Exempel på en tom uppsättning är uppsättningen människor på solen, uppsättningen av naturliga rötter i ekvationen X+ 8 = 0.

Mängder kan vara ändliga eller oändliga.

En mängd kallas finit om den finns naturligt nummer P, så att alla element i uppsättningen kan numreras från 1 till P. annars kallas mängden oändlig. Ett exempel på en ändlig mängd är mängden siffror och ett exempel på en oändlig mängd är mängden naturliga tal.

§ 2. Metoder för att definiera mängder

En mängd anses given om det är möjligt att säga om något objekt om det tillhör denna mängd eller inte.

En uppsättning kan definieras genom att lista alla dess element. Spela in MED= (a, b, c, d) betyder att mängden MED innehåller elementen a, b, c, d.

Varje element visas endast en gång i uppsättningen. Till exempel kommer många olika bokstäver i ordet "matematik" att skrivas så här: (m, a, t, e, i, k).

Denna metod är tillämplig för finita mängder som innehåller ett litet antal element.

Använder ibland den här metoden, kan du också ställa in ändlig uppsättning. Till exempel kan uppsättningen naturliga tal representeras som: N= (1, 2, 3, 4, ...). Denna inspelningsmetod är endast möjlig när det är klart från den inspelade delen av uppsättningen vad som är gömt under ellipsen.

Ett annat sätt att definiera mängder är som följer: ange den karakteristiska egenskapen för dess element. En karakteristisk egenskap är en egenskap som varje element som hör till en mängd har, och inte ett enda element som inte tillhör det.

Det händer att samma uppsättning kan definieras genom att indikera olika karakteristiska egenskaper hos dess element. Till exempel innehåller uppsättningen av tvåsiffriga tal som är delbara med 11 och uppsättningen naturliga tal av de första hundra, skrivna med två identiska siffror, samma element.

Med denna metod för att specificera kan en mängd skrivas så här: skriv först beteckningen på elementet inom parentes, rita sedan en vertikal linje, varefter skriv ner egenskapen som elementen i denna mängd har. Till exempel många A naturliga tal mindre än 5 kommer att skrivas enligt följande: A = {X XN, X < 5}.

Mängder. Operationer på uppsättningar.
Visar set. Setets kraft

Jag välkomnar dig till den första lektionen om högre algebra, som dök upp... på tröskeln till webbplatsens femårsjubileum, efter att jag redan hade skapat mer än 150 artiklar om matematik, och mitt material började sammanställas till en avslutad kurs. Jag hoppas dock att jag inte är sen - trots allt börjar många studenter fördjupa sig i föreläsningar endast för statliga prov =)

En universitets vyshmat-kurs bygger traditionellt på tre pelare:

– matematisk analys (gränser, derivat etc.)

– och slutligen inleds läsåret 2015/16 med lektioner Algebra för dummies, Element av matematisk logik, där vi kommer att analysera grunderna i avsnittet, samt bekanta oss med grundläggande matematiska begrepp och vanliga notationer. Jag måste säga att jag i andra artiklar inte överanvänder "squiggles" , men detta är bara en stil, och naturligtvis måste de kännas igen i alla förhållanden =). Jag informerar nyanlända läsare att mina lektioner är praktikinriktade och följande material kommer att presenteras i denna anda. För mer fullständig och akademisk information, se utbildningslitteratur. Gå:

Ett gäng. Exempel på set

Uppsättning är ett grundläggande begrepp inte bara av matematik, utan för hela omvärlden. Ta vilket föremål som helst i handen just nu. Här har du ett set som består av ett element.

I vidare mening, set är en samling objekt (element) som förstås som en helhet(enligt vissa egenskaper, kriterier eller omständigheter). Dessutom är dessa inte bara materiella föremål, utan också bokstäver, siffror, satser, tankar, känslor etc.

Uppsättningar betecknas vanligtvis med versaler (valfritt, med prenumerationer: etc.), och dess element är skrivna med hängslen, till exempel:

– många bokstäver i det ryska alfabetet;
– uppsättning naturliga tal;

Nåväl, det är dags att lära känna varandra lite:
– många elever på första raden

... jag är glad att se dina seriösa och koncentrerade ansikten =)

Uppsättningarna är slutlig(som består av ett ändligt antal element), och en mängd är ett exempel oändlig mängder. Därtill kommer den s.k tom uppsättning:

– en uppsättning där det inte finns ett enda element.

Exemplet är välkänt för dig - uppsättningen i tentamen är ofta tom =)

Medlemskapet av ett element i en uppsättning indikeras av symbolen, till exempel:

– bokstaven "be" tillhör många bokstäver i det ryska alfabetet;
- bokstaven "beta" Inte tillhör många bokstäver i det ryska alfabetet;
– talet 5 tillhör mängden naturliga tal;
– men siffran 5,5 finns inte längre;
– Voldemar sitter inte på första raden (och tillhör dessutom inte mängden eller =)).

I abstrakt och inte särskilt algebra betecknas elementen i en mängd med små latinska bokstäver och följaktligen är ägandet utformat i följande stil:

– elementet tillhör uppsättningen.

Ovanstående uppsättningar är skrivna direkt överföring element, men detta är inte det enda sättet. Det är bekvämt att definiera många uppsättningar med några skylt (s), vilket är inneboende alla dess element. Till exempel:

– mängden av alla naturliga tal mindre än hundra.

Kom ihåg: en lång vertikal pinne uttrycker ordspråket "vilket", "sådant". Ganska ofta används ett kolon istället: - låt oss läsa inlägget mer formellt: "mängden element som hör till mängden naturliga tal, Så att » . Bra gjort!

Denna uppsättning kan också skrivas genom direkt uppräkning:

Fler exempel:
– och om det är ganska många elever på första raden, så är en sådan post mycket bekvämare än att direkt lista dem.

– en uppsättning nummer som hör till segmentet . Observera att detta betyder flera giltig tal (mer om dem senare), som inte längre är möjliga att lista separerade med kommatecken.

Det bör noteras att elementen i en uppsättning inte behöver vara "homogena" eller logiskt sammankopplade. Ta en stor påse och börja slumpmässigt lägga in olika föremål i den. Det finns inget mönster i detta, men vi talar ändå om en mängd olika ämnen. Bildligt talat är en uppsättning ett separat "paket" där "av ödets vilja" hamnade en viss samling föremål.

Delmängder

Nästan allt framgår av själva namnet: en uppsättning är delmängd set om varje element i uppsättningen tillhör uppsättningen. Med andra ord, uppsättningen ingår i uppsättningen:

En ikon kallas en ikon inkludering.

Låt oss återgå till exemplet, där detta är en uppsättning bokstäver i det ryska alfabetet. Låt oss beteckna med – uppsättningen av dess vokaler. Sedan:

Du kan också välja en delmängd av konsonantbokstäver och i allmänhet en godtycklig delmängd som består av valfritt antal slumpmässigt (eller icke-slumpmässigt) tagna kyrilliska bokstäver. I synnerhet är alla kyrilliska bokstäver en delmängd av uppsättningen.

Det är bekvämt att avbilda relationerna mellan delmängder med hjälp av ett konventionellt geometriskt diagram som kallas Euler cirklar.

Låt vara uppsättningen studenter på första raden, vara uppsättningen gruppstudenter och vara uppsättningen universitetsstudenter. Då kan inkluderingsrelationen avbildas enligt följande:

Uppsättningen studenter från ett annat universitet bör avbildas som en cirkel som inte skär den yttre cirkeln; många studenter i landet - en cirkel som innehåller båda dessa cirklar osv.

Vi ser ett typiskt exempel på inneslutningar när vi överväger numeriska mängder. Låt oss upprepa skolmaterial som är viktigt att tänka på när man studerar högre matematik:

Nummeruppsättningar

Som ni vet var de första som dök upp historiskt sett naturliga tal avsedda för att räkna materiella föremål (människor, höns, får, mynt, etc.). Denna uppsättning har redan stött på i artikeln, det enda är att vi nu ändrar dess beteckning något. Faktum är att numeriska uppsättningar vanligtvis betecknas med fetstil, stiliserade eller tjocka bokstäver. Jag föredrar att använda fetstil:

Ibland ingår noll i mängden naturliga tal.

Om vi lägger till samma tal med motsatt tecken och noll till mängden får vi uppsättning heltal:

Innovatörer och lata människor skriver ner dess element med ikoner "plus minus":))

Det är helt klart att mängden naturliga tal är en delmängd av mängden heltal:
– eftersom varje element i uppsättningen tillhör uppsättningen. Således kan vilket naturligt tal som helst säkert kallas ett heltal.

Namnet på uppsättningen är också "talande": heltal – det betyder inga bråk.

Och eftersom de är heltal, låt oss omedelbart komma ihåg de viktiga tecknen på deras delbarhet med 2, 3, 4, 5 och 10, vilket kommer att krävas i praktiska beräkningar nästan varje dag:

Ett heltal är delbart med 2 utan rest, om det slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8 (dvs valfri jämn siffra). Till exempel siffror:
400, -1502, -24, 66996, 818 – delbart med 2 utan rest.

Och låt oss omedelbart titta på det "relaterade" tecknet: heltal delbart med 4, om ett tal som består av de två sista siffrorna (i den ordning de visas) delbart med 4.

400 – delbart med 4 (eftersom 00 (noll) är delbart med 4);
-1502 – ej delbart med 4 (eftersom 02 (två) inte är delbart med 4);
-24 är naturligtvis delbart med 4;
66996 – delbart med 4 (eftersom 96 är delbart med 4);
818 – ej delbart med 4 (eftersom 18 inte är delbart med 4).

Gör en enkel belägg för detta faktum själv.

Delbarhet med 3 är lite svårare: ett heltal är delbart med 3 utan en rest om summan av siffrorna som ingår i den delbart med 3.

Låt oss kontrollera om talet 27901 är delbart med 3. För att göra detta, summera dess siffror:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – ej delbart med 3
Slutsats: 27901 är inte delbart med 3.

Låt oss summera siffrorna för -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – delbart med 3
Slutsats: talet -825432 är delbart med 3

Heltal delbart med 5, om det slutar med en femma eller en nolla:
775, -2390 – delbart med 5

Heltal delbart med 10 om det slutar på noll:
798400 – delbart med 10 (och uppenbarligen med 100). Tja, alla kommer säkert ihåg att för att dividera med 10 behöver du bara ta bort en nolla: 79840

Det finns också tecken på delbarhet med 6, 8, 9, 11, etc., men det finns praktiskt taget ingen praktisk användning av dem =)

Det bör noteras att de listade tecknen (till synes så enkla) är strikt bevisade i talteori. Den här delen av algebra är generellt sett ganska intressant, men dess satser... är precis som en modern kinesisk avrättning =) Och det räckte för Voldemar vid sista skrivbordet... men det är okej, snart ska vi göra livgivande fysiska övningar =)

Nästa numeriska uppsättning är uppsättning rationella tal:
– det vill säga vilket rationellt tal som helst kan representeras som ett bråk med ett heltal täljare och naturliga nämnare.

Uppenbarligen är uppsättningen heltal delmängd uppsättning rationella tal:

Och i själva verket kan vilket heltal som helst representeras som en rationell bråkdel, till exempel: etc. Således kan ett heltal helt legitimt kallas ett rationellt tal.

Ett karakteristiskt "identifierande" särdrag för ett rationellt tal är det faktum att när man dividerar täljaren med nämnaren blir resultatet antingen
– heltal,

eller
– slutlig decimal,

eller
– oändligt periodisk decimal (repriset kanske inte startar omedelbart).

Njut av division och försök att göra den här åtgärden så lite som möjligt! I organisationsartikeln Högre matematik för dummies och i andra lektioner har jag upprepade gånger upprepat, upprepar och kommer att upprepa detta mantra:

I högre matematik Vi strävar efter att utföra alla handlingar i vanliga (riktiga och oegentliga) bråk

Håller med om att det är mycket bekvämare att hantera ett bråk än med decimaltalet 0,375 (för att inte tala om oändliga bråk).

Låt oss gå vidare. Förutom rationella tal finns det många irrationella tal, som vart och ett kan representeras som oändliga ICKE PERIODISK decimal. Med andra ord finns det inget mönster i de "oändliga svansarna" av irrationella tal:
("Leo Tolstojs födelseår" två gånger)
etc.

Det finns gott om information om de berömda konstanterna "pi" och "e", så jag kommer inte att uppehålla mig vid dem.

Kombinationen av rationella och irrationella tal bildas uppsättning reella tal:

– ikon föreningar set.

Den geometriska tolkningen av en uppsättning är bekant för dig - det här är tallinjen:

Varje reellt tal motsvarar en viss punkt på tallinjen, och vice versa - varje punkt på tallinjen motsvarar nödvändigtvis ett visst reellt tal. I huvudsak har jag nu formulerat kontinuitetsegenskap reella tal, vilket, även om det verkar uppenbart, är strikt bevisat under matematisk analys.

Tallinjen betecknas också med ett oändligt intervall, och notationen eller motsvarande notation symboliserar det faktum att den tillhör mängden reella tal (eller helt enkelt "x" är ett reellt tal).

Allt är transparent med inbäddningar: uppsättningen av rationella tal är delmängd uppsättningar av reella tal:
, sålunda kan vilket rationellt tal som helst säkert kallas ett reellt tal.

Många irrationella siffror är det också delmängd riktiga nummer:

Samtidigt, delmängder och skär inte varandra- det vill säga inte ett enda irrationellt tal kan representeras som en rationell bråkdel.

Finns det några andra nummersystem? Existera! Detta är t.ex. komplexa tal, som jag rekommenderar att bekanta dig med bokstavligen under de kommande dagarna eller till och med timmarna.

Tja, för nu går vi vidare till studiet av operationer på uppsättningar, vars anda redan har materialiserats i slutet av detta avsnitt:

Åtgärder på uppsättningar. Venn-diagram

Venn-diagram (liknande Euler-cirklar) är en schematisk representation av åtgärder med mängder. Återigen, jag varnar dig för att jag inte kommer att överväga alla operationer:

1) Genomskärning OCH och indikeras av ikonen

Skärningen av mängder är en mängd, vars element tillhör Och många, Och för många. Grovt sett är skärningspunkten den gemensamma delen av uppsättningar:

Så, till exempel, för uppsättningar:

Om uppsättningar inte har identiska element, är deras skärningspunkt tom. Vi stötte precis på det här exemplet när vi övervägde numeriska uppsättningar:

Uppsättningarna av rationella och irrationella tal kan schematiskt representeras av två disjunkta cirklar.

Korsningsoperationen är också tillämplig för mer kvantitet uppsättningar, i synnerhet, Wikipedia har en bra sådan ett exempel på skärningspunkten mellan uppsättningar bokstäver av tre alfabet.

2) En förening uppsättningar kännetecknas av en logisk koppling ELLER och indikeras av ikonen

En förening av mängder är en mängd, vars element tillhör mängden eller för många:

Låt oss skriva föreningen av uppsättningar:
– grovt sett måste du här lista alla element i uppsättningarna och , och samma element (i det här fallet är enheten i skärningspunkten mellan uppsättningar) bör anges en gång.

Men mängderna får naturligtvis inte skära varandra, som är fallet med rationella och irrationella tal:

I det här fallet kan du rita två icke-korsande skuggade cirklar.

Den fackliga verksamheten är också tillämplig för ett större antal uppsättningar, till exempel om , då:

I det här fallet behöver siffrorna inte ordnas i stigande ordning. (Jag gjorde detta av rent estetiska skäl). Utan vidare kan resultatet skrivas så här:

3) Genom skillnad Och hör inte till uppsättningen:

Skillnaden läses som följer: "a utan vara." Och du kan resonera på exakt samma sätt: överväg uppsättningarna . För att skriva ner skillnaden måste du "kasta bort" från uppsättningen alla element som finns i uppsättningen:

Exempel med nummeruppsättningar:
– här är alla naturliga tal exkluderade från uppsättningen av heltal, och själva posten lyder så här: "en uppsättning heltal utan en uppsättning naturliga tal."

Speglad: skillnad mängder och kallas en mängd, vars varje element hör till mängden Och hör inte till uppsättningen:

För samma set
– det som finns i setet ”slängs ut” från setet.

Men denna skillnad visar sig vara tom: . Och faktiskt, om du utesluter heltal från uppsättningen av naturliga tal, kommer faktiskt ingenting att finnas kvar :)

Dessutom övervägs det ibland symmetrisk skillnad, som förenar båda "halvmånarna":
– med andra ord, detta är "allt utom skärningspunkten mellan uppsättningar."

4) Kartesisk (direkt) produkt sätter och kallas en mängd alla beordrade par i vilket element och element

Låt oss skriva ner den kartesiska produkten av set:
– det är bekvämt att räkna upp par med hjälp av följande algoritm: "först kopplar vi varje element i uppsättningen sekventiellt till det första elementet i uppsättningen, sedan kopplar vi varje element i uppsättningen till det andra elementet i uppsättningen, sedan fäster vi varje element i uppsättningen till det tredje elementet i uppsättningen":

Speglad: kartesisk produkt sätter och kallas mängden av alla beordrade par i vilka I vårt exempel:
– här är inspelningsschemat liknande: först lägger vi till alla element i uppsättningen sekventiellt till "minus ett", sedan till "de" lägger vi till samma element:

Men detta är rent för bekvämligheten - i båda fallen kan paren listas i valfri ordning - det är viktigt att skriva ner här Allt möjliga par.

Och nu programmets höjdpunkt: den kartesiska produkten är inget annat än vår inföddas poäng Kartesiskt koordinatsystem .

Träning för självfixering av material:

Utför åtgärder om:

Ett gäng Det är bekvämt att beskriva det genom att lista dess element.

Och en liten sak med intervall av reella tal:

Låt mig påminna dig om att hakparentesen betyder inkludering siffror i intervallet, och den runda en - dess icke-inkludering, det vill säga "minus ett" tillhör uppsättningen och "tre" Inte tillhör uppsättningen. Försök ta reda på vad den kartesiska produkten av dessa uppsättningar är. Om du har några problem, följ ritningen ;)

En kort lösning på problemet i slutet av lektionen.

Visar set

Visa många till många är regel, enligt vilken varje element i uppsättningen är associerat med ett element (eller element) i uppsättningen. I händelse av att korrespondensen görs den enda element, då kallas denna regel klart definierad funktion eller bara fungera.

En funktion, som många vet, betecknas oftast med en bokstav - den lägger in korrespondens till varje element har ett enda värde som hör till mängden.

Nåväl, nu kommer jag igen att störa många elever på första raden och erbjuda dem 6 ämnen för uppsatser (många):

Installerad (frivilligt eller påtvingat =)) Regeln tilldelar varje elev i uppsättningen ett enda ämne i uppsättningens uppsats.

...och du kunde förmodligen inte ens föreställa dig att du skulle spela rollen som ett funktionsargument =) =)

Beståndsdelarna i uppsättningsformen domän funktioner (betecknade med ), och elementen i uppsättningen är räckvidd funktioner (betecknas med ).

Den konstruerade kartläggningen av uppsättningar har en mycket viktig egenskap: det är den en till en eller bijektiv(bijektion). I i detta exempel det betyder att till varje eleven matchas en unikämnet för uppsatsen och tillbaka - för varjeÄmnet för uppsatsen är tilldelat en och endast en student.

Man ska dock inte tro att varje kartläggning är bijektiv. Om du lägger till en 7:e elev på 1:a raden (till uppsättningen) försvinner en-till-en-korrespondensen - eller så kommer en av eleverna att lämnas utan ett ämne (det blir ingen visning alls), eller så kommer något ämne att gå till två elever samtidigt. Den motsatta situationen: om ett sjunde ämne läggs till i uppsättningen, kommer en-till-en-mappningen också att gå förlorad - ett av ämnena kommer att förbli outtagna.

Kära studenter på första raden, var inte upprörda - de återstående 20 personerna efter klasserna kommer att gå för att rengöra universitetets territorium från höstens lövverk. Vaktmästaren kommer att dela ut tjugo golik, varefter en en-till-en-korrespondens upprättas mellan huvuddelen av gruppen och kvastarna... och Voldemar hinner också springa till affären =)). definitionsområde motsvarar hans eget unik"y" och vice versa - för alla värden på "y" kan vi entydigt återställa "x". Så det är en bijektiv funktion.

! För säkerhets skull kommer jag att eliminera alla möjliga missförstånd: min ständiga reservation om definitionens omfattning är inte tillfällig! En funktion kanske inte är definierad för alla "X" och dessutom kan den vara en-till-en i detta fall också. Typiskt exempel:

Men kl kvadratisk funktion inget liknande observeras, för det första:
- det är, olika betydelser"x" dök upp samma innebörden av "yay"; och för det andra: om någon beräknade värdet på funktionen och berättade att , då är det inte klart om detta "y" erhölls vid eller vid ? Det behöver inte sägas att det inte ens finns en antydan om ömsesidig entydighet här.

Uppgift 2: vy grafer över grundläggande elementära funktioner och skriv ner de bijektiva funktionerna på ett papper. Checklista i slutet av denna lektion.

Setets kraft

Intuition antyder att termen kännetecknar storleken på en mängd, nämligen antalet element. Och vår intuition lurar oss inte!

Kardinaliteten för en tom uppsättning är noll.

Uppsättningens kardinalitet är sex.

Kraften i uppsättningen bokstäver i det ryska alfabetet är trettiotre.

Och i allmänhet - kraften i någon slutlig av en mängd är lika med antalet element i en given mängd.

...kanske inte alla helt förstår vad det är slutlig set – om du börjar räkna elementen i denna uppsättning kommer räkningen förr eller senare att sluta. Som de säger kommer kineserna så småningom ta slut.

Naturligtvis kan uppsättningar jämföras i termer av kardinalitet och deras likhet i denna mening kallas lika makt. Ekvivalens bestäms enligt följande:

Två uppsättningar har samma kardinalitet om en en-till-en överensstämmelse kan upprättas mellan dem.

Uppsättningen studenter motsvarar uppsättningen av uppsatsämnen, uppsättningen bokstäver i det ryska alfabetet motsvarar vilken uppsättning som helst med 33 element, etc. Lägg märke till exakt vad någon uppsättning av 33 element - i det här fallet är det bara deras antal som spelar roll. Bokstäverna i det ryska alfabetet kan jämföras inte bara med många siffror
1, 2, 3, …, 32, 33, men vanligtvis med en besättning på 33 kor.

Situationen med oändliga uppsättningar är mycket mer intressant. Oändligheter är också olika! ...grönt och rött De minsta oändliga uppsättningarna är räkning mängder. Helt enkelt kan elementen i en sådan uppsättning numreras. Referensexemplet är en uppsättning naturliga tal . Ja - det är oändligt, men vart och ett av dess element, i PRINCIP, har ett nummer.

Det finns många exempel. I synnerhet är uppsättningen av alla jämna naturliga tal räknebar. Hur bevisar man detta? Du måste fastställa dess en-till-en-överensstämmelse med uppsättningen naturliga tal eller helt enkelt numrera elementen:

En en-till-en-korrespondens upprättas, därför är uppsättningarna lika och uppsättningen kan räknas. Paradoxalt nog, ur maktsynpunkt, finns det lika många jämna naturliga tal som det finns naturliga tal!

Uppsättningen av heltal kan också räknas. Dess element kan till exempel numreras så här:

Dessutom kan uppsättningen av rationella tal också räknas . Eftersom täljaren är ett heltal (och de, som just visas, kan numreras), och nämnaren är ett naturligt tal, så kommer vi förr eller senare att "komma till" vilket rationellt bråk som helst och tilldela det ett tal.

Men uppsättningen av reella siffror finns redan oräknelig, dvs. dess element kan inte numreras. Detta faktum, även om det är uppenbart, är strikt bevisat i mängdteorin. Kardinaliteten av uppsättningen av reella tal kallas också kontinuum, och jämfört med räknebara uppsättningar är detta en "mer oändlig" uppsättning.

Eftersom det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan mängden och nummerraden (se ovan), då är uppsättningen punkter på tallinjen också oräknelig. Och dessutom finns det samma antal punkter på både kilometer- och millimetersegmentet! Klassiskt exempel:

Genom att rotera strålen moturs tills den är i linje med strålen, kommer vi att upprätta en en-till-en-överensstämmelse mellan punkterna i de blå segmenten. Det finns alltså lika många punkter på segmentet som det finns på segmentet och !