Понятие функциональной зависимости в данных Основной единицей представления данных в реляционной модели является отношение, которое математически задается списком имен атрибутов, иначе - схемой отношения. На стадии логического проектирования реляционной базы данных проектировщик определяет схемы отношений в рамках некоторой предметной области: представляет сущности, группирует их атрибуты, выявляет основные связи между сущностями. Проектирование реляционной базы данных заключается в обоснованном выборе конкретных схем отношений из множества различных альтернативных вариантов схем.

Понятие функциональной зависимости в данных На практике построение логической модели базы данных, независимо от используемой модели данных, выполняется с учетом двух основных требований: исключить избыточность и максимально повысить надежность данных. Эти требования вытекают из требования коллективного использования данных группой пользователей.

Понятие функциональной зависимости в данных Формальных средств описания данных, необходимых для проверки правильности заполнения конструкций моделей, недостаточно. Выбор сущностей, атрибутов и фиксация взаимосвязей между сущностями зависит от семантики предметной области и выполняется системным аналитиком субъективно в соответствии с его личным пониманием специфики прикладной задачи. Разные люди определяют и представляют данные по- разному!

Понятие функциональной зависимости в данных Любое априорное знание об ограничениях предметной области, накладываемых на взаимосвязи между данными и значения данных, и знания об их свойствах и взаимоотношениях между ними может сыграть важную роль. Формализация таких априорных знаний о свойствах данных предметной области базы данных нашла свое отражение в концепции функциональной зависимости данных, т.е. ограничений на возможные взаимосвязи между данными, которые могут быть текущими значениями схемы отношений.

Понятие функциональной зависимости в данных Кортежи отношений могут представлять экземпляры сущности предметной области или фиксировать их взаимосвязь. Но даже если эти кортежи определены правильно, т.е. отвечают схеме отношения и выбраны из допустимых доменов, не всякий из них может быть текущим значением некоторого отношения. Пример: возраст человека редко бывает более 120 лет, или один и тот же пилот не может одновременно выполнять два различных рейса.

Понятие функциональной зависимости в данных Определение функции не накладывает никаких ограничений на множество аргументов и множество значений функции, кроме их существования и наличия соответствия между их элементами. Поскольку ФЗ можно задать таблично, а таблица есть форма представления отношения, то становится очевидной связь между ФЗ и отношением. Отношение может задавать ФЗ.

Понятие функциональной зависимости в данных Определение 1. Пусть r (A1, A2,..., An) - схема отношения R, a X и Y - подмножества r. Говорят, что Х функционально определяет Y, если каждому значению атрибутов кортежа отношения из Х соответствует не более одного значения атрибутов того же кортежа отношения из Y. Такая ФЗ обозначается как

Понятие функциональной зависимости в данных Пример: ГРАФИК_ПОЛЕТОВ (Пилот, Рейс, Дата_вылета, Время_вылета) Иванов:20 Иванов:30 Исаев:00 Исаев:20 Исаев:30 Петров:20 Петров:30 Фролов:00 Фролов:00 Фролов:30

Понятие функциональной зависимости в данных Известно, что: каждому рейсу соответствует определенное время вылета; для каждого пилота, даты и времени вылета возможен только один рейс; на определенный день и рейс назначается определенный пилот. Следовательно: "Время_вылета" функционально зависим от "Рейс": "Рейс" "Время_вылета" ; "Рейс" функционально зависим от {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"}: {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"} "Рейс" ; "Пилот" функционально зависим от {"Рейс", "Дата_вылета"}: {"Рейс", "Дата_вылета"} "Пилот".

Понятие функциональной зависимости в данных Важной задачей при выявлении функциональных зависимостей на атрибутах отношения, которое по определению является множеством, является выяснение, какой из атрибутов выступает как аргумент, а какой - как значение ФЗ. Наиболее подходящими кандидатами в аргументы ФЗ являются возможные ключи, так как кортежи представляют экземпляры сущности, которые идентифицируются значениями атрибутов своего ключа. Нестрого говоря, функциональная зависимость имеет место на отношении, когда значения кортежа на одном множестве атрибутов однозначным образом определяют значения кортежа на другом множестве атрибутов.

Для получения формального (строгого) определения наличия ФЗ в отношении нужно обратиться к реляционным операциям. Определение 2. Пусть имеется отношение R со схемой r, X и Y - два подмножества R. ФЗ имеет место на R, если множество имеет не более одного кортежа для каждого значения х. Такая ФЗ называется также F-зависимостью. Понятие функциональной зависимости в данных

Если семантика предметной области базы данных сложна, то проверить кортежи на принадлежность к ФЗ достаточно сложно. Сложно вообще установить наличие самой функциональной зависимости, отвечающей природе рассматриваемых данных. С помощью такого формального метода можно выявить ФЗ, которые не являются реальными и носят случайный характер. Проектировщику реляционных баз данных следует знать о таком методе проверки наличия ФЗ, но при проектировании новой базы данных его применение малоэффективно. Он может быть полезен при реинжиниринге существующей базы данных.

Основные классы функциональных зависимостей Анализ связей между сущностями в предметных областях позволяет выделить различные классы функциональных зависимостей. Значения атрибутов могут зависеть от ключа по-разному. Различают классы полных и частичных ФЗ. ФЗ может быть частичной, когда значение неключевого атрибута зависит от значений некоторых атрибутов составного ключа, и полной, когда значения неключевого атрибута зависят от значений всех атрибутов составного ключа.

Основные классы функциональных зависимостей Определение 3. Говорят, что неключевой атрибут функционально полно зависит от составного ключа, если он функционально зависит от ключа, но не находится в функциональной зависимости ни от какой части составного ключа. Если неключевой атрибут зависит от части составного ключа, то говорят о частичной ФЗ.

Основные классы функциональных зависимостей Первичным ключом отношения ПРЕПОДАВАТЕЛЬ_ПРЕДМЕТ является пара атрибутов Личный_номер-Предмет. Значения атрибута Количество_часов зависят от значения атрибута Предмет, т.е. имеем частичную ФЗ ПредметЧасы. Значения атрибута Фамилия зависят от значений атрибутов Личный_номер-Предмет, т.е. имеем полную функциональную зависимость {Личный_номер, Предмет} Фамилия.

Основные классы функциональных зависимостей Рассмотрим проблему избыточности данных с точки зрения существования определенных функциональных зависимостей. Избыточность данных может проявляться в виде дублирования значений некоторых атрибутов. Так, например, если несколько преподавателей находятся на одной и той же должности, то их оклады могут совпадать. Атрибут Оклад однозначно определяется атрибутом Должность. Разделение исходного отношения на два новых отношения позволит исключить дублирование данных.

Основные классы функциональных зависимостей Таким образом, выявление определенных функциональных зависимостей в отношениях базы данных позволяет преобразовать их с целью исключения избыточности и повышения надежности данных. Формирование схем отношений путем разбиения исходных отношений по их атрибутам с учетом функциональных зависимостей является одним из способов создания хороших схем реляционных баз данных.

Основные классы функциональных зависимостей Каким образом можно использовать это наблюдение с учетом семантики данных для конструирования отношений? Имеет смысл разбить все возможные зависимости на определенные типы ФЗ, и на основе этой классификации проанализировать, какие типы ФЗ к каким аномалиям в выполнении реляционных операций приводят.

Анализ связей между сущностями в предметных областях позволяет определить, наряду с частичной и полной ФЗ, еще несколько классов ФЗ. Одним из таких классов является класс транзитивных ФЗ. Определение 4. Пусть X, Y, Z - атрибуты отношения R. Если при этом имеются ФЗ и, но отсутствуют ФЗ и, то говорят, что Z транзитивно зависит от Х. Такие ФЗ называются транзитивными (Т-зависимостями). Основные классы функциональных зависимостей

Пример: Транзитивные ФЗ Личный номер преподавателя определяет его должность, т.е. имеет место ФЗ Личный_номерДолжность. С другой стороны, согласно тарификации каждой должности назначается определенный оклад, т.е. имеет место ФЗ ДолжностьОклад. Каждый преподаватель получает за работу соответствующий должности оклад, т.е. оклад преподавателя определяется через его должность.

Основные классы функциональных зависимостей Семантическая связь между атрибутами отношения может носить неоднозначный характер, это порождает существование класса многозначных зависимостей (MV- зависимостей). Пример: один преподаватель может преподавать несколько предметов, а один предмет может преподаваться несколькими преподавателями. Многозначная зависимость может быть следующих типов: 1:N (один ко многим), M:1 (многие к одному) и M:N (многие ко многим).

Основные классы функциональных зависимостей Определение 5. Пусть r - некоторая схема отношения, X и Y - подмножества атрибутов r. Если при заданных значениях атрибутов из {X} существует некоторое множество, состоящее из нуля или более взаимосвязанных значений атрибутов из {Y}, никак не связанных со значениями других атрибутов этого отношения r - X - Y, то говорят о существовании многозначной зависимости между атрибутами X и Y: (класс MV-зависимостей).

Основные классы функциональных зависимостей Разделение установленных функциональных зависимостей по различным отношениям может привести к нарушению принципа замкнутости реляционных операций, потере некоторых существующих кортежей или появлению мнимых кортежей. Поэтому есть необходимость выделения еще одного класса функциональных зависимостей - класса зависимостей по соединению (J-зависимостей). Этот класс ФЗ требует от ФЗ наличия свойства восстанавливаемости по своим проекциям с помощью естественного соединения.

Основные классы функциональных зависимостей Пусть U - универсальное отношение, полученное объединением всех атрибутов сущностей предметной области в одно отношение. Определение 6. Пусть r = {r_1, …, r_p} - множество схем на U. Отношение R из множества U удовлетворяет зависимости по соединению, если R разлагается без потерь на r как

Аксиомы вывода функциональных зависимостей Для каждой базы данных на множестве ее отношений можно рассмотреть все возможные, допустимые в семантическом смысле функциональные зависимости. Для каждого отношения существует вполне определенное множество ФЗ между его атрибутами. На практике число рассматриваемых атрибутов и ФЗ конечно (!).

Аксиомы вывода функциональных зависимостей Поскольку ФЗ являются высказываниями об атрибутах сущностей предметной области, то над ними могут быть определены операции, позволяющие логически получать одну зависимость из другой (или устанавливать между ними эквивалентность). Это позволяет определить для данной схемы базы данных базовый набор ФЗ, из которого может быть выведено все множество ФЗ, присущих этой схеме. Данное утверждение является важной конструктивной идеей в теории проектирования реляционных баз данных.

Математически задачу вывода базового набора ФЗ можно поставить следующим образом. Пусть U {A1, A2,..., An} - универсальное множество атрибутов, т.е. полный набор атрибутов отношения базы данных. Совокупность пар (X, Y), таких, что, задает структуру ФЗ отношения R. Такое отношение называют еще универсальным отношением. Задача состоит в построении такого набора ФЗ, из которого могут быть получены все ФЗ базы данных. Аксиомы вывода функциональных зависимостей

Информация всегда имела адекватный динамичный интерес. Развитие языков программирования, реляционных баз данных и информационных технологий кардинально изменило содержание и структуру интереса. Сложилась определенная строгая система представлений. Формализация, точная математика и бинарные отношения стали успешной и, стремительно развивающейся, областью знаний и опыта.

Естественный мир информации не поменял своей динамики и, развивая содержание и структуру, поднялся на новую высоту. Он имеет плавные формы, и в природе нет ничего «прямоугольного» . Информация, безусловно, поддается формализации, но у нее есть динамика, меняются не только данные и алгоритмы их обработки, меняются сами задачи и области их применения.

Информация > формализация >> данные

Информация, превращается в информационная структура, база данных…) так, как это видит программист. Нет никакой гарантии, что это видение правильно, но если его программа решает поставленную задачу, значит данные были представлены возможно надлежащим образом.

Вопрос о том, насколько была правильно формализована информация - вопрос времени. До сих пор понятие динамики (самоадаптации к изменяющимся условиям использования) - только лишь мечта программирования.

Функциональная зависимость: «правильное решение = программа (программист)» и условие: «непрерывное соответствие задаче» действительны в большинстве случаев, но только совместно. Но это не та математическая основа, которая применяется при создании баз данных.

Прямое утверждение: естественная и непрерывная динамика информации и алгоритмов решения задач действительно всегда. А это бинарные отношения + строгая математика + точные формальные конструкции, + ...

и базы данных

Как хранятся данные уже давно неважно: будь то оперативная память или внешнее устройство. Аппаратная составляющая достигла уверенных темпов развития и обеспечивает хорошее качество в больших объемах.

Основные варианты хранения, отличающиеся вариантами использования данных:

• файлы;
• базы данных.

Первое отдано на откуп программисту (что записывать, в каком формате, как это делать, как читать…), второе сразу приносит необходимость познания простой функциональной зависимости.

Скорость выборки и записи информации при работе с файлами (разумного размера, а не астрономического) очень быстра, а скорость аналогичных операций с базой данных может порой быть заметно медленной.

Личный опыт и коллективный разум

В истории были попытки выйти за достигнутые пределы, но по сей день властвуют реляционные базы данных. Накоплен большой теоретический потенциал, практика применения обширная, а разработчики - высококвалифицированные.

Понятие функциональной зависимости разработчики баз данных навязывают программисту, даже если тот не намерен использовать богатый математическо-логический опыт построения сложных информационных структур, процессов работы с ними, выборки и записи информации.

Даже в самом простом случае программист зависит от логики базы данных, какую бы он ни выбрал для работы. Нет желания следовать канонам, можно использовать файлы, получится много файлов и много личного опыта. Будет потрачено много личного времени и задача будет решена за длительное время.

Какими бы сложными ни казались примеры функциональной зависимости, вовсе не обязательно погружаться в глубины смысла и логики. Часто следует признать, что коллективный разум сумел создать отличные базы данных, различного размера и функциональности:

• солидный Oracle;
• требовательный MS SQL Server;
• популярный MySQL.

Прекрасные с хорошей репутацией, удобные в использовании, быстрые в умелых руках. Их применение экономит время и избавляет от необходимости писать очередные простыни вспомогательного кода.

Особенности программирования и данных

У программирования с давних пор болезнь что-то постоянно переписывать, повторять труд предшественников, чтобы как-то что-то адаптировать к изменившейся информации, задаче или условиями ее использования.

Особенность функциональной зависимости в том, что, как и в программировании, ошибка может стоить очень дорого. Задача редко бывает простой. Обычно, в ходе формализации информации, получается сложное представление данных. Обычно выделяются их элементы, потом они увязываются ключами в определенные отношения, потом налаживаются алгоритмы формирования таблиц, запросы, алгоритмы выборки информации.

Часто большое значение имеет привязка к кодировке. Не все базы данных предлагают мобильные решения, часто можно столкнуться с тем, как прекрасно настроенный MySQL, на котором лежит десяток баз данных, отлично и стабильно работающий, вынуждает разработчика делать одиннадцатую базу подобной тем, которые уже есть.

Бывают случаи, когда общий хостинг ограничивает функциональность PHP и это накладывает отпечаток на программирование доступа к базе данных.

В современном программировании ответственность за алгоритм программы эквивалентна ответственности за создание модели данных. Все должно работать, но не всегда следует погружаться в дебри теории.

БД: простая зависимость в данных

Прежде всего, понятие БД - это и база данных как система управления (например, MySQL), так и некая информационная структура, отражающая данные задачи и связи между ними. Одна база MySQL «держит» на себе сколько угодно информационных структур по различным сферам применения. Одна база Oracle, может обеспечивать информационные процессы крупной компании или банка, контролировать вопросы безопасности и сохранности данных на высочайшем уровне, располагаясь на множестве компьютеров, находящихся на различном удалении, в различных инструментальных средах.

Принято полагать, что отношение есть основное в реляционной модели. Элементарное отношение - это множество колонок с именами и строк со значениями. Классический «прямоугольник» (таблица) - простое и эффективное достижение прогресса. Сложности и функциональная зависимость базы данных начинаются, когда «прямоугольники» начинают вступать в отношения друг с другом.

Имя каждой колонки в каждой таблице должно быть уникальным в контексте задачи. Одно и то же данное не может быть в двух таблицах. Знать смысл понятий:

• «определить сущности»;
• «исключить избыточность»;
• «зафиксировать взаимосвязи»;
• «обеспечить достоверность».

Элементарная необходимость для использования базы данных и построения модели данных для конкретной задачи.

Нарушение любого из этих понятий - низкая эффективность алгоритма, медленная выборка данных, потеря данных, и другие неприятности.

Функциональная зависимость: логика и смысл

Можно не читать про кортежи отношений, про то что функция - это соответствие множества аргументов множеству значений, а функция - это не только формула или график, но может быть задана множеством значений - таблицей.

Не обязательно, но вовсе не помешает представлять функциональную зависимость как:

F(x1, x2, …, xN) = (y1, y2, …, yN).

Но обязательно понимать, что на входе - таблица, на выходе тоже таблица или конкретное решение. Обычно функциональная зависимость устанавливает логику отношений между таблицами, запросами, привилегиями, триггерами, хранимыми процедурами и другими моментами (компонентами) базы данных.

Обычно, таблицы преобразуются друг в друга, потом в результат. Но использование функциональной зависимости не ограничивается только такой идеей. Программист сам строит свое представление картины данных, информационной структуры… неважно, как это именовать, но если оно работает на конкретной базе данных, оно должно строиться по ее логике, учитывать ее смысл и диалект используемого языка, как правило, SQL.

Можно утверждать, что свойства функциональных зависимостей базы данных доступны через диалект используемого языка SQL. Но гораздо важнее понимать: после всех перипетий развития, не так много баз данных выжило, но диалектов этого языка много и особенностей внутренних конструкций в базах тоже.

О старом добром Excel

Когда компьютер показал себя с положительной стороны, мир сразу разделился на программистов и пользователей. Как правило, первые используют:

• PHP, Perl, JavaScript, C++, Delphi.
• MySQL, Oracle, Visual FoxPro.

• Word.
• Excel.

Некоторые пользователи умудряют делать самостоятельно (без помощи программистов) в Word базы данных - реальный нонсенс.

Опыт работы пользователей в Excel по созданию баз данных - практичен и интересен. Важно то, что Excel, сам по себе, функционален, красочен и практичен.

Табличная идея, определила понятие функциональной зависимости наглядно и доступно, но нюансы есть у каждой базы данных. У каждой свое «лицо», но все от Excel до Oracle манипулируют простыми квадратами, то есть таблицами.

Если учесть, что Excel - это совсем не база данных, но многие юзеры (не программисты) его именно так используют, а Oracle - это сложнейшее и мощнейшее достижение большого коллектива разработчиков именно в области баз данных, то становится естественным признать - база данных это представление конкретного программиста (коллектива) о конкретной задаче и ее решении.

Что такое функциональная зависимость, с чем, куда, почему… очевидно только автору или коллективу таковых.

О том, куда реляционные отношения идут

Научно-технический прогресс - весьма мучительная процедура, а местами жестокая. Если вспомнить с чего начинались базы данных, что такое *.dbf, как клеймили кибернетику, потом полюбили информатику и стали устраивать препоны перемещению высоких технологий на уровне стран, становится ясно почему реляционные базы данных так живучи и хороши. Почему классический стиль программирования по сей день живет, а объектно-ориентированное программирование просто ценится, но еще не властвует.

Как бы ни была прекрасна функциональная зависимость в контексте математики:

Это не бинарные отношения, точнее, это повод переосмыслить идею устанавливать отношения между множеством атрибутов, исследовать связи «один к многим», «многие к одному», «многие ко многим» или «многие вообще, а одни в частности».

Вариантов отношений можно придумать великое множество. Это математика с логикой, и она строгая! Информация - это своя математика, особенная. В ней о формальности можно говорить только с очень большим минусом.

Можно формализовать работу отдела кадров, написать АСУ для добычи нефти или производства молока, хлеба, сделать выборку в огромной базе гугла, яндекса или рамблера, но результат будет всегда статичен и каждый момент времени одинаков!

Если функциональная зависимость = строгая логика и математика = основа для баз данных, то о какой динамике можно вести речь. Любое решение будет формальным, любая формальная модель данных + строгий алгоритм = точное и однозначное решение. Информация и область применения любой программы меняются всегда.

Выборка поисковой системы на одной и той же поисковой фразе не может быть одной и той же через час или через два и, однозначно, через день - если поисковая фраза относится к области информации, в которой количество сайтов, ресурсов, знаний, прочих элементов непрерывно меняется.

Даже если программа чисто математическая и ее база данных даже не мыслит о динамике, все всегда есть строки . А у строки есть длинна. И бесконечной она быть не может. Она не может быть даже переменной, только условно-переменной. Помимо всего прочего, любая база данных своим математическим и бинарным-бюрократическим аппаратом накладывает массу формальностей, а это скорость+качество выборки и обработки информации.

А если те или иные поля в базе данных числа, особенно вещественные то в ограничения добавятся: разрядность числа, наличие буквы "е", формата представления - короче везде и всегда имеем важные свойства функциональных зависимостей базы данных: строки условно-переменной длины с массой бинарных формальностей и строгих математических ограничений.

Если сменить тон и прислушаться к пульсу динамики, то все можно расписать на объекты. В первом приближении имя колонки в таблице - это объект, список имен - тоже объект, короче таблица - это объект шапки и в нем имена колонок в шапке. И шапки может вовсе не быть...

Но в таблице могут быть строки. И в строке могут быть значения. И почему их всегда должно быть одинаковое количество. Полная квадратная таблица - это частность, причем в большинстве случаев, частная.

Если представить все конструкции в базе данных объектами, то, быть может, не придется выстраивать строгие бинарные отношения. В этом есть естественный и реальный смысл хотя бы потому, что это по объективной (однозначно не математической) логике отражает динамику информации и среды, в которой существуют задачи.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Примеры функциональных зависимостей

Функциональная зависимость - форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями или отражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение других. Объективно Ф. з. проявляется в виде законов и отношений, обладающих точной количественной определенностью. Они могут быть в принципе выражены в виде уравнений, объединяющих данные величины или явления как функцию и аргумент. Ф. з. может характеризовать связь:

1) между свойствами и состояниями материальных объектов и явлений;

2) между самими объектами, явлениями или же материальными системами в рамках целостной системы более высокого порядка;

3) между объективными количественными законами, находящимися в отношении субординации, в зависимости от их общности и сферы действия;

4) между абстрактными математическими величинами множествами, функциями или структурами, безотносительно к тому, что они выражают.

Ключ к небольшой математической проблеме

Отметим, что не всякую функциональную зависимость удается выразить краткой формулой, мы не случайно в качестве примера предоставляем вам, ключ от дверного замка: сейчас он в буквальном смысле слова послужит ключом к небольшой математической проблеме, к которой нас подводит беседа о функциях. Знаете ли вы, как таким ключом открывается дверной замок? Что происходит внутри этого слесарно-механического устройства, когда вы вставляете ключ в замочную скважину и делаете положенное число оборотов?

Чтобы замок открылся, нужно провернуть барабан, в котором сделана скважина. Но этому препятствуют штифты, стоящие тесным строем внутри скважины, скользящие вверх-вниз. Каждый из штифтов нужно поднять на такую высоту, чтобы их верхние торцы оказались вровень с поверхностью барабана. Если они выступят за нее, то войдут в прорезь обоймы, расположенную точно над заочной скважиной; если не достигнут поверхности барабана, то из прорези обоймы находящиеся там штифты вдвинутся в замочную скважину. И в том и в другом случае вращение барабана будет застопорено.

Штифты в замочной скважине поднимает ключ, вдвигаемый в нее. При этом высота каждого штифта, будучи сложена с высотой профиля ключа в соответствующей точке, должна дать в сумме диаметр барабана. Только тогда он провернется.

Ну а причем здесь функция? Да притом, что, с точки зрения математика, вся эта механика есть не что иное, как операция сложения двух функций. Одна из них -- это профиль ключа. Другая -- линия, очерчивающая верхние торцы штифтов, когда замок заперт.

Операция сложения функций состоит в том, что в каждой точке из общей области их определения к значению одной функции прибавляется значение другой.

Золотое правило механики

Вся богатейшая семья механизмов, окружающих современного человека, начиналась когда-то с семи простых машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот, винт, наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти нехитрые по теперешним представлениям устройства умножали силу человека. Но, во сколько раз выиграешь в силе -- во столько же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое правило механики, заключающее в себе теорию семи простых машин.

График, приведенный на этой странице, есть наглядное выражение знаменитого правила. По горизонтальной оси отложена сила, с которой, например, нужно давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз на заданную высоту. По вертикальной оси -- расстояние, которое пройдет при этом точка приложения силы. Линия, выражающая такую функциональную зависимость, называется гиперболой.

Закон обратной пропорциональности глядит на нас и со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки, и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда чисел -- метры и мегагерцы, длина волн и их частота. Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь: при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась длина волны, во столько же раз упала частота.

График гиперболы можно увидеть на лабораторном столе физика, демонстрирующего явления капиллярности. В штативе несколько тонких стеклянных трубочек, расположенных в порядке возрастания диаметров. Известно, что в тонком канале смачивающая жидкость поднимается тем выше, чем меньше его диаметр. Поэтому в самом узком канале жидкость поднялась выше всего, в другом канале, диаметр которого в два раза больше, -- в два раза ниже, в третьем, что толще первого в три раза, -- в три раза ниже и так далее.

Информационный бум

Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет. Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции.

Примем объем информации в некоторый год за единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом координат, в которых будет строиться график, по вертикальной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над единичой отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет.

Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой «два», соответствующей второму десятку, еще вдвое больший -- над точкой «три». Декада за декадой-- избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифметической прогрессии: один, два, три, четыре... Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое, -- по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать...

Звездный график

Сколько звезд на небе? Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие исследователи могли следить за возникновением и угасанием звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие -- второй, еще столь же менее яркие -- третьей и так далее в порядке равномерного убывания видимого блеска -- до звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.

Когда ученые получили в свое распоряжение чувствительные приборы для световых измерений, стало возможным точно определять блеск звезд. Стало возможным сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по видимому блеску, произведенное на глаз.Оценки того и другого рода сведем на одном графике. От каждой из шести групп, на которые звезды распределил Гиппарх, возьмем по одному типичному представителю. По вертикальной оси будем откладывать блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную величину, по горизонтальной -- показания приборов. С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, как могло бы показаться, а примерно в два с половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает источники света по блеску, задаваясь вопросом «во сколько раз?», а не вопросом «на сколько?». Мы отмечаем не абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда нам кажется, что он возрастает или убывает равномерно, в действительности мы шагаем по его шкале все более размашистыми шагами, покрывая при этом поистине гигантский диапазон: в миллион миллионов раз различаются по блеску источники света, самый слабый и самый мощный, воспринимаемые человеческим глазом.

Именно в силу описанной физиологической особенности звезды, ярко горящие на ночном небе, не видны днем, тонут в ослепительном блеске солнца, рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние звезд дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению с мерцанием неба, во втором же (днем) составляет весьма незначительную долю от солнечного блеска (менее чем миллиардную даже для самых ярких звезд). Оттого же и голос солиста, когда его пение подхватывает хор, тонет в многоголосом звучании...

Математические портреты пословиц

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Функции -- это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций, нам показалось естественным обратиться к пословицам. Ведь пословицы -- это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

«Выше меры конь не скачет» Если представить траекторию скачущего коня как график некоторой функции, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой». Это будет знакомый график функции синуса.

«Пересев хуже недосева» Урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум-- это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

«Не круто начинай, круто кончай»и «Горяч на почине, да скоро остыл»

функциональный зависимость математический уравнение

Обе функции, зависящие от времени, возрастающие. Но, как видно, расти можно по-разному. Наклон одной кривой постоянно увеличивается. Рост функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью.

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.

курсовая работа , добавлен 01.10.2011


Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.

курсовая работа , добавлен 08.01.2013


Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Правило Крамера. Графическое отображение точек экспериментальных данных. Аномалии и допустимые значения исходных данных. Листинг программы на С++. Результаты выполнения задания.

курсовая работа , добавлен 03.02.2011


Схематическое изображение и краткое описание заданной гидравлической системы, выражение работы данной системы с помощью уравнений. Написание уравнения системы виде входа-выхода, решение задачи в символьном виде. Разложение уравнения в ряд Тейлора.

лабораторная работа , добавлен 11.03.2012


Функциональное уравнение как уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Общая характеристика функциональных уравнений, определяющих показательную, логарифмическую и степенную функцию. Свойства их нетривиальных решений.

контрольная работа , добавлен 07.10.2011


Сущность и основные понятия теории графов, примеры и сферы ее использования. Формирование следствий из данных теорий и примеры их приложений. Методы разрешения задачи о кратчайшем пути, о нахождении максимального потока. Графическое изображение задачи.

курсовая работа , добавлен 14.11.2009


Виды и методы решения функциональных уравнений, изучаемых в школьном курсе математики, с применением теории матриц, элементов математического анализа и сведения функционального уравнения к известному выражению с помощью замены переменной и функции.

курсовая работа , добавлен 07.02.2016


Интерполяция (частный случай аппроксимации). Аппроксимация функцией. Метод наименьших квадратов. Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей: аналитический, графический, табличный.

реферат , добавлен 26.05.2006


дипломная работа , добавлен 01.10.2011


Определение системы с двумя переменными, способ ее решения. Специфика преобразования линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения и замены переменных в этом виде уравнений, примеры их графиков. Алгоритм нахождения количества системы уравнений.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Предмет – математика

Раздел – “Проект”

Форма проведения – творческий моно проект с открытой координацией.

Цели:

• Образовательный аспект: способствовать обобщению знаний по разделу “Функциональные зависимости”, расширить математические представления обучающихся о функции, и ее применении в других науках и повседневной жизни; способствовать овладению конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.
• Развивающий аспект: развивать основные способы мыслительной деятельности обучающихся (умение анализировать, ставить и разрешать проблемы), формировать и развивать познавательный интерес к предмету, развивать речь и способность убедительно излагать мысли, способствовать развитию самостоятельности обучающихся.
• Воспитательный аспект: воспитывать взаимопонимание и терпимость, самостоятельность, умение презентовать себя, оценивать себя и других, руководить коллективом.
• Профориентационный аспект: способствовать созданию условий для формирования индивидуальной траектории развития профессиональных интересов обучающихся, выработке профессионально значимых качеств личности (творческих, организаторских, ораторских).

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, Интернет.

Оформление : презентация, творческие работы обучающихся.

Мудрые мысли:

• “Величие человека - в его способности мыслить”.
  Б.Паскаль
• “Математика - это язык, на котором говорят все точные науки”.
  Н.И.Лобачевский

Золотые слова:

• Наука и труд, дивные всходы дают.
• Больше узнаешь – сильнее станешь.
• Будешь книги читать – будешь все знать.

Структура занятия

Этапы занятия	Содержание этапа	Материально-техническая база
1.Организационно-подготовительный	Приветствие. Проверка явки обучающихся на занятие, их готовности. Активизация обучающихся. Формулировка темы, целей занятия. Постановка перед обучающимися учебной задачи.	Оценочные листы
2.Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности	Вступительное слово преподавателей	Оформление занятия: Компьютер Мультимедийный проектор
3. Защита проектных работ	Представление проектов, презентация окончательных результатов. Самооценка и взаимооценка выступлений. Оценивание качества выполнения работ всеми обучающимися	Проектные работы обучающихся:
4. Подведение итогов	Оценивание творческих работ	Оценочные листы

Ход урока

Вступление.

Преподаватель:

Доброе утро, дорогие друзья!

Наш звездный час “Познай мир” посвящен функциям. Значение их велико. Функции и реальный мир неотделимы. Они описывают явления в природе. Устанавливают закономерности, помогают открывать законы, которые служат человечеству.

К этому занятию каждый из вас выполнил определенную работу, которую продолжим сейчас. Постепенно открывая пункты плана, которые закрывают такие красивые звездочки, ведущие подведут нас к заключительному этапу звездного часа. (План заранее написан на доске)

Преподаватель:

Дорогие ребята!

Прошел этап рутинной подготовки к этому занятию. Вы много трудились. Задачи, которые необходимо было решить при выполнении проектной работы, были следующие:

• установить значимость понятия “функциональная зависимость” в реальных процессах и явлениях и в других науках;
• найти информацию из ресурсов интернет, относящиеся к теме проекта;
• подготовить показ конечного продукта своей работы в форме презентаций;

Преподаватель. Основополагающие вопросы, направляющие проект “Всё ли может описать функция? Как использовать математические навыки в своей профессиональной деятельности?”

И чтобы ответить на эти вопросы, вам было дано задание, систематизировать и расширить основные знания по разделу “Функция”, рассмотреть и ответить на следующие проблемные вопросы учебной темы проекта:

• Какова роль функции в твоей профессии?
• И какова роль функции в реальной жизни и в изучении других наук?

При подготовке необходимо было рассмотреть следующие учебные вопросы:

• Как возникла функция?
• Какие реальные явления она описывает?
• Как применяется в других науках и в профессиональной деятельности?
• Роль синусоиды в реальной жизни?
• Роль функции в математике?

Преподаватель. Оценивать ваши работы предстоит вам самим. На каждом столе у вас находится оценочный лист, вы выставляете оценку в свой оценочный лист, при этом вы должны учитывать:

• актуальность темы
• значимость разработки
• объем и полнота разработки
• уровень творчества
• аргументированность предлагаемых решений
• качество доклада
• объем и глубина знаний по теме
• ответы на вопросы.

Выступающим могут быть заданы вопросы.

Преподаватель: Занятие сегодня пройдет в необычной форме, роль преподавателей возьмут на себя ваши сокурсники: Мастренко Дмитрий – группа ТО-13 и Чапаев Виталий группа ТО –11.

Преподаватель: Настало время продемонстрировать то, что у вас получилось. Желаю вам успехов! В добрый путь! Мы начинаем.

Основная часть занятия.

Защита проектных работ. Презентации. Презентация 1. “История создания функции”

Презентация 2. “Функция в математике”

Презентация 3. “Синусоида в образах”

Презентация 4. “Функция в профессии”

Презентация 5 “Функциональные зависимости в других науках”

Презентация 6 “Функция в экономике”

1 студент

(Убирая звездочку, читает написанные на ней слова Галилея):

“Именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения присущие природе”.

Продолжает. “Функция выражает зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: химия, физика, биология, социология и др. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими объектами в реальном мире”.

2 студент

Впервые функция вошла в математику под именем “переменная величина ” в труде французского математика и философа Рене Декарта в 1637 г. Сложный, очень длительный путь развития понятия функции. С какими великими именами связано это понятие нам расскажет студент группы ТО- 13 - Бигвава Даниил.

(Показ презентации).

1 студент

Понятие функции – одно из основных в математике.

2 студент

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, какую же роль играет функция в математике.

1 студент

Сейчас многие науки берут на вооружение математический аппарат. Такие функциональные зависимости, например, возраст деревьев, развитие амебы, развитие папоротника изучает наука биология.

2 студент

1 студент

Наряду с другими функциями, тригонометрические функции занимают важное место. Математический образ синусоиды можно получить, рассматривая зависимость солнечной энергии от угла падения на некоторый участок плоскости.

(Убирает вторую звездочку, читает на ней): “О солнце! Без тебя не стало б в мире жизни”. (После паузы продолжает): “Да будет свет!”.

2 студент

Функции помогают описывать процессы механического движения тел, небесных и земных. С помощью них ученые рассчитывают траектории движения космических кораблей и решают множество технических проблем.

1 студент

(Убирает звездочку и читает стихотворение Пушкина А.С.)

О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья век!

2 студент (Обращаясь к выступающему),

Скажите, пожалуйста, а вы сделали для себя маленькое открытие?

Выступающий

Да, я у меня изменилось представление о функции. Да, и вообще, я понял для чего мне нужно изучать математику.

1 студент

Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет. Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции.

2 студент

Примем объем информации в некоторый год за единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом координат, в которых будет строиться график, по вертикальной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над единичной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет.

1 студент

Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой “два”, соответствующей второму десятку, еще вдвое больший - над точкой “три”. Декада за декадой - избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифметической прогрессии: один, два, три, четыре... Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое,- по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать...

2 студент

Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной гладкой линией - ведь количество информации нарастает от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачками. Перед нами график показательной функции.

1 студент

Снимает звездочку, читает:

2 студент

На сегодняшний день.

1 студент

А причем здесь функция?

2 студент

Мы сейчас узнаем.

1 студент

(Снимает последнюю звезду со словами М.В. Ломоносова):

Открылась бездна, звезд полна;
Звездам числа нет, бездне дна.

2 - й преподаватель:

Астрономы сравнивают величину блеска звезд по логарифмической функции. Сегодня на нашем небосклоне зажглись несколько математических звездочек.

Награждение.

4. Подведение итогов.

Преподаватель:

Чему научились в процессе выполнения проектной работы?

В процессе реализации проекта мы приобрели следующие конкретные умения:

• свободно ориентироваться в многообразных функциональных зависимостях;
• применять полученные знания на практике;
• выдвигать гипотезы;
• быстро и точно подбирать необходимые для работы ресурсы, вести поиск в Интернете;
• работать в различных поисковых системах;
• точно формулировать вопрос;
• представлять результаты исследований в виде презентаций;
• интерпретировать результаты исследования;
• делать выводы;
• обсуждать результаты исследования, участвовать в дискуссии.

Преподаватель: Главная цель, которую мы определили, начиная работу над проектом, - считаю достигнутой. А как считаете, вы? У вас на столах система координат, постройте, пожалуйста, график функции, оценивающий все презентации.

План урока.

Группа: 13 «Э».

Учебник: Н.В. Богомолов «Математика».

Тема урока: Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Цель урока: помочь студентам осознать социальную, практическую и личностную значимость учебного материала, связанного с использованием функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Задачи урока:

закрепить знания и умения по исследованию функций и построению графиков;

учить применять знания, умения по теме «Исследование функции» в реальных процессах и явлениях;

развивать практические навыки по построению графиков функции с использованием компьютера;

воспитывать чувство ответственности при работе в малых группах.

Формы работы и взаимодействия студентов: фронтальная, индивидуальная, индивидуальная интерактивная, парная интерактивная, групповая интерактивная.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Оборудование: интерактивная доска, компьютеры, мультимедийный проектор, экран, слайды презентации, раздаточный материал - карточки с тестовыми заданиями, карточки по рефлексии, карточки с задачами, заготовки с координатными осями для изображения пословиц, карточки для ответов по тестам.

Деятельность

преподавателя

Деятельность студентов

Формируемые УУД

Средства определения результата

Организационный этап

Приветствует студентов, проверяет готовность группы, проводит рефлексию настроения на начало урока(изобразите свое настроение на начало урока). Задает вопросы по представленным на слайдах изображениях, и подводит к формулировке темы урока. Корректирует ответы студентов, уточняет тему и задачи урока. Объявляет критерии оценок за работу на уроке.

Приветствуют преподавателя, изображают свое настроение на начало урока. Отвечают на поставленные вопросы. Пытаются озвучить тему урока и цели. Подписывают конверты- копилки, куда будут складывать баллы за работу на уроке.

Регулятивные: постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование.

Выборочный фронтальный опрос

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

1. Проводит фронтальный опрос по графику на интерактивной доске.

Что такое функция?

Какова область определения функции?

Назовите множество значений функции.

Имеет ли функция нули?

Имеет ли данная функция точки экстремума?

Назовите промежутки монотонности функции.

Какой является функция: четной или нечетной?

Можно ли ее назвать периодической?

Проводит тестовую проверку знаний по вариантам с последующей самопроверкой по ключу.

Отвечают на вопросы преподавателя.

Выполняют тестовую работу и проверяют её. Набирают себе баллы.

Регулятивные: контроль, коррекция, оценка; личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке; коммуникативные: умение отвечать на вопросы; познавательные: контролирует и оценивает процесс и результаты деятельности;

Фронтальный опрос.

Тестовая работа.

Воспроизведение знаний и умений, проверка их качества.

1.Защита проектов.

Студенты, объединённые в группы, должны были представить собранную информацию по категориям « Демографическая ситуация в Пензенской области на примере п.Сосновоборска и с.Индерки в 2013г.», « Среднемесячная температура воздуха в Пензенской области за 2013г», « Атмосферное давление Пензенской области за октябрь 2013г», «Курс доллара за 9 месяцев текущего года» в виде графиков функций. Анализируются графики функций.

2. Работа с пословицами. Организует посредством групповой работы поиск решения поставленной задачи (Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функции, можно обратиться к пословицам. Ведь пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом. Изобразите пословицу в виде графика – как вы его понимаете, а затем обоснуйте своё решение. На доске заранее начерчены системы координат для экспериментов. Чья группа справится быстрее?

• Выше меры конь не скачет.

  Пересев хуже недосева).

Анализируют и высказывают решения своих проектных работ.

Совместно в группе пытаются графически изобразить пословицы и доказать свое решение.

Регулятивные: постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, саморегуляция;

познавательные: структурирует знания, строит речевое высказывание в устной форме, выбирает эффективный способ решения проблемной ситуации, совместно с учителем создаёт алгоритм деятельности;

коммуникативные: умеет слушать и вступать в диалог, участвует в коллективном обсуждении проблемы, формулирует собственное мнение и позицию, приходит к общему решению в совместной деятельности;

личностные: интерес к новому учебному материалу и способам деятельности.

Воспроизведение знаний и применение их.

Постановка и решение практических задач.

1. Решение задачи по дисциплине «Защита и охрана лесов» с использованием компьютера. Преподаватель совместно со студентами выполняют решение задачи.

   Контроль самостоятельной работы по решению задачи, связанной со специальностью экономика по компьютеру и коррекция знаний.

Выполняют решение задачи в программе Excel с помощью преподавателя.

Решают задачи экономического характера самостоятельно за компьютером и посылают решение на рабочий стол преподавателя.

Регулятивные: планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка;

личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке, понимание причин успеха; коммуникативные: умение слушать и задавать вопросы, контролирует действия партнера, использует речевые средства для различных коммуникативных задач;

познавательные: выбирает эффективные способы решения задач, контролирует и оценивает процесс и результаты деятельности.

Выполнение по образцу.

Анализ деятельности студентов.

Рефлексия урока. Д/з

Творческое домашнее задание: отыскать функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы встречали на уроках физики. Исследуйте эти функции. У кого есть возможность, выдайте график на компьютере. Выставляет оценки. Организует соотнесение результата деятельности с учебной задачей. Проводит рефлексию настроения(изобразите свое настроение в конце урока и сравните его в начале и в конце урока).

Записывают домашнее задание. Подсчитывают баллы, набранные на уроке, и выставляют себе оценке по критериям. Дорисовывают свое настроение на конец урока и сравнивают с тем, что было в начале урока. По кругу дополняют одно из предложений:

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

теперь я могу…

я почувствовал…

я приобрел…

я научился…

у меня получилось

я смог…

я попробую…

меня удивило…

урок дал мне для жизни…

Личностные: имеет адекватную самооценку;

коммуникативные: строит понятные для партнеров речевые высказывания, допускает возможность существования у людей различных точек зрения.

Анализ высказываний студентов, оценочная шкала.

Похожие статьи