Решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений. Обусловленность систем линейных уравнений Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Транскрипт

1 6. Вырожденные и плохо обусловленные СЛАУ 1 6. Вырожденные и плохо обусловленные СЛАУ Рассмотрим теперь два типа СЛАУ (27) с квадратной матрицей A размера MxM: вырожденная система (с нулевым определителем A =0); плохо обусловленная система (определитель A не равен нулю, но число обусловленности очень велико). Несмотря на то, что эти типы систем уравнений существенно отличаются друг от друга (для первого решение отсутствует, а для второго существует и единственно), с практической точки зрения вычислителя, между ними много общего. Вырожденная система это система, описываемая матрицей с нулевым определителем A =0 (сингулярной матрицей). Поскольку некоторые уравнения, входящие в такую систему, представляются линейной комбинацией других уравнений, то, фактически, сама система является недоопределенной. Несложно сообразить, что, в зависимости от конкретного вида вектора правой части b, существует либо бесконечное множество решений, либо не существует ни одного. Рассмотрим первый случай, когда СЛАУ A x=b с сингулярной квадратной матрицей A не имеет ни одного решения. Этот вариант сводится к построению нормального псевдорешения (т.е. выбору из бесконечного множества решений такого, которое наиболее близко к определенному, например, нулевому, вектору). Приведем пример такой задачи (для системы двух уравнений) A= , b= (37) СЛАУ (37) проиллюстрирована рис. 19, который показывает, что два уравнения, задающие систему, определяют на плоскости (x 1, x 2) две параллельные прямые. Прямые не пересекаются ни в

2 2 6. Вырожденные и плохо обусловленные СЛАУ одной точке координатной плоскости, и решения системы, соответственно, не существует. Заметим, что СЛАУ, заданная несингулярной квадратной матрицей размера 2x2, определяет на плоскости пару пересекающихся прямых (см. рис ниже). Также стоит сказать, что, если бы система была совместной, то геометрическим изображением уравнений были бы две совпадающие прямые, описывающие бесконечное число решений. Рис. 19. Графическое представление несовместной СЛАУ Рис. 20. График сечений невязки f(x)= A x b в зависимости от x 1 Несложно догадаться, что в рассматриваемом сингулярном случае псевдорешений системы (37), минимизирующих невязку A x b, будет бесконечно много, и лежать они будут на третьей прямой, параллельной двум показанным на рис. 19 и расположенной посередине между ними. Это иллюстрирует рис. 20, на котором представлено несколько сечений функции невязки f(x)= A x b, которые говорят о наличии семейства минимумов одинаковой глубины. Для определения единственного решения следует выбрать из всего множества псевдорешений то, которое обладает

3 6. Вырожденные и плохо обусловленные СЛАУ 3 наименьшей нормой. Таким образом, в сингулярном случае для получения выделенного решения надо численно решить многомерную задачу минимизации. Однако, как мы увидим в дальнейшем, более эффективным способом будет использование регуляризации или ортогональных матричных разложений (см. 7 и 10 соответственно). Обратимся теперь к плохо обусловленным системам, т.е. СЛАУ с матрицей A, у которой определитель не равен нулю, но число обусловленности A -1 A велико. Несмотря на то, что плохо обусловленные системы имеют единственное решение, на практике искать это решение чаще всего не имеет смысла. Рассмотрим свойства плохо обусловленных СЛАУ на двух конкретных примерах очень близких плохо обусловленных СЛАУ с одинаковой правой частью b и мало отличающимися матрицами A и B: A= B=, b=, 3 5. (38) Несмотря на близость этих систем, их точные решения оказываются очень далекими друг от друга, а именно: y A = , y B = (39) Если вспомнить о наличии шума, т.е. о всегда присутствующей погрешности входных данных, то становится ясным, что решать плохо обусловленные системы стандартными методами не имеет вовсе никакого смысла. Напомним, что задачи, для которых малые ошибки модели (матрицы A и вектора b) приводят к большим ошибкам решения, называются некорректными. Таким образом, плохо обусловленные СЛАУ являются типичным примером некорректных задач. Кроме того, следует отметить, что для системы двух уравнений точное решение получить легко, однако при решении СЛАУ большой размерности (в том числе и «точным» алгоритмом

4 4 6. Вырожденные и плохо обусловленные СЛАУ Гаусса) даже незначительные ошибки округления, неминуемо накапливаемые при расчетах, приводят к огромным погрешностям результата. Возникает вопрос: имеет ли смысл искать численное решение, если заранее известно, что, в силу неустойчивости самой задачи, оно может оказаться совершенно неправильным? Чтобы еще лучше понять причину некорректности, полезно сравнить графическую интерпретацию хорошо (рис. 21) и плохо (рис. 22) обусловленной системы двух уравнений. Решение системы визуализируется точкой пересечения двух прямых линий, изображающих каждое из уравнений. Рис. 21. График хорошо обусловленной СЛАУ Рис. 22. График плохо обусловленной СЛАУ Из рис. 22 видно, что прямые, соответствующие плохо обусловленной СЛАУ, располагаются в непосредственной близости друг от друга (почти параллельны). В связи с этим, малые ошибки в расположении каждой из прямых могут привести к значительным погрешностям локализации точки их пересечения (решения СЛАУ) в противоположность случаю хорошо обусловленной системы, когда малые погрешности в наклоне прямых мало повлияют на место точки их пересечения (рис. 21).

5 6. Вырожденные и плохо обусловленные СЛАУ 5 Отметим, что плохая обусловленность матрицы типична и при реконструкции экспериментальных данных, задаваемых переопределенными (несовместными) СЛАУ (например, в задачах томографии). Для решения некорректных задач, в частности, вырожденных и плохо обусловленных СЛАУ, разработан очень эффективный метод, называемый регуляризацией. В его основе лежит учет дополнительной априорной информации о структуре решения, которая очень часто имеется в практических случаях.

10. QR- и SVD- разложения: «плохие» СЛАУ 1 10. QR- и SVD- разложения: «плохие» СЛАУ Среди матричных разложений особую роль играют ортогональные, обладающие свойством сохранения нормы вектора. Напомним

7. Регуляризация 1 7. Регуляризация Для решения некорректных задач советским математиком Тихоновым был предложен простой, но чрезвычайно эффективный метод, называемый регуляризацией и основанный на привлечении

Пример: взвешивание 1 Пример: взвешивание Приведем еще более простую интерпретацию обратной задачи, связанной с обработкой результатов какого-либо эксперимента, например, взвешивания предметов двух типов

Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

УДК 55 Исабеков КА Маданбекова ЭЭ ЫГУ им КТыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В данной статье приводятся алгоритмы двух методов решения плохо

Специальный вычислительный практикум с н с Андрушевский Николай Матвеевич, факультет ВМК МГУ Аннотация В основу практикума положено подробное изучение метода сингулярного разложения матриц и его применение

Переопределенные системы линейных уравнений Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Шевченко Александр Переопределенные СЛАУ Переопределенные СЛАУ Рассмотрим СЛАУ Ax = b, но в случае, когда уравнений больше,

Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y)(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. Методы спуска На прошлой лекции были рассмотрены итерационные методы вариационного типа. Для системы Au = f, для которой выполняется A = A, был введен функционал Φ(u, u)

11. Линейная редукция 1 11. Линейная редукция Завершим разговор о линейных обратных задачах представлением еще одного подхода, называемого редукцией. По сути, он очень близок к регуляризации (в некоторых

01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

УДК 57.9 Игрунова С.В., кандидат социологических наук, доцент доцент кафедры «Информационных систем» Россия, г. Белгород Кичигина А.К. студент 4 курс, институт «Инженерных технологий и естественных наук»

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

) Понятие СЛАУ) Правило Крамера решения СЛАУ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Параллельные вычисления в томографии Алгебраические методы вычислительной томографии. Задача вычислительной томографии в дискретной форме Задача вычислительной томографии в дискретной форме. В отличие

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Как правило, при решении большинства практических задач задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) встречается в виде некоторой вспомогательной подзадачи.

Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f(в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f(= f(+ f "((-. (5 Вместо уравнения (решим

Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Цели и задачи дисциплины 4. Место дисциплины в структуре ОПОП 4 3. Структура и содержание дисциплины 5 3.1. Структура дисциплины 5 3.. Содержание дисциплины 6 4. Перечень учебно-методического

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ Занятие НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Постановка задачи Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция f (), определенная на множестве X R Требуется исследовать

Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» (Финансовый университет) КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показать, что вектора;;) ;;) ; ;) образуют базис вектора и написать линейную комбинацию вектора Если;;) на эти вектора найти Х из уравнения Показать, что вектора;)

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Системы линейных уравнений с двумя переменными Система уравнений вида называется системой линейных уравнений с двумя переменными. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Методические

0 г 6 Труды ФОРА ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ МАТРИЦЫ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ Р Цей, ММ Шумафов Адыгейский государственный университет, г Майкоп Число обусловленности матрицы

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

ЛЕКЦИЯ 4 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ Для того чтобы уменьшить погрешность, связанную с округлением, прибегают к следующему алгоритму Пусть u точное решение системы, u численное решение Тогда введем

1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Ю.Е. Воскобойников А.А. Мицель НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В разделе «Численные методы линейной алгебры» рассматриваются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и численные методы решения задач

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Список вопросов к экзамену по численным методам (28 мая 2018г.) 0.1 Численное интегрирование 1. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла

Параллельные вычисления в томографии Метод простой итерации. Метод скорейшего спуска. Метод ART. Метод SIRT. В методе простой итерации релаксационные множители τ k и матрицы H k не зависят от номера

Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ На прошлой лекции была рассмотрена задача решения переопределенной системы. Такая система имеет вид: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, { a 1 x 1 + a x + + a x = f, { a 1 x 1 + a x

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Лекция 7 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. Преобразование базисов и координат на плоскости Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат с общим началом:

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

УДК. СИНТЕЗ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ Никитин Д.А., Ханов В.Х. Введение В современном арсенале методов синтеза рекурсивных

Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Вернемся вновь к СЛАУ Aх=b с квадратной матрицей А размера MхN , которая, в отличие от рассмотренного выше "хорошего" случая (см. разд. 8.Г), требует специального подхода. Обратим внимание на два похожих типа СЛАУ:

вырожденная система (с нулевым определителем |А|=0 );
плохо обусловленная система (определитель А не равен нулю, но число обусловленности очень велико).

Несмотря на то, что эти типы систем уравнений существенно отличаются друг от друга (для первого решение отсутствует, а для второго существует и единственно), с практической точки зрения вычислителя, между ними много общего.

Вырожденные СЛАУ

Вырожденная система - это система, описываемая матрицей с нулевым определителем |A|=0 (сингулярной матрицей). Поскольку некоторые уравнения, входящие в такую систему, представляются линейной комбинацией других уравнений, то фактически сама система является недоопределенной. Несложно сообразить, что, в зависимости от конкретного вида вектора правой части ь, существует либо бесконечное множество решений, либо не существует ни одного. Первый из вариантов сводится к построению нормального псевдорешения (т. е. выбора из бесконечного множества решений такого, которое наиболее близко к определенному, например, нулевому, вектору). Данный случай был подробно рассмотрен в разд. 8.2.2 (см. листинги 8.11-8.13).

Рис. 8.7 . Графическое представление несовместной системы двух уравнений с сингулярной матрицей

Рассмотрим второй случай, когда СЛАУ Aх=b с сингулярной квадратной матрицей А не имеет ни одного решения. Пример такой задачи (для системы двух уравнений) проиллюстрирован рис. 8.7, в верхней части которого вводятся матрица А и вектор b , а также предпринимается (неудачная, поскольку матрица А сингулярная) попытка решить систему при помощи функции isolve . График, занимающий основную часть рисунка, показывает, что два уравнения, задающие систему, определяют на плоскости (x0,x1) две параллельные прямые. Прямые не пересекаются ни в одной точке координатной плоскости, и решения системы, соответственно, не существует.

Примечание
Во-первых, заметим, что СЛАУ, заданная несингулярной квадратной матрицей размера 2x2, определяет на плоскости пару пересекающихся прямых (см. рис. 8.9 ниже). Во-вторых, стоит сказать, что, если бы система была совместной, то геометрическим изображением уравнений были бы две совпадающие прямые, описывающие бесконечное число решений .

Рис. 8.8 . График сечений функции невязки f (х) = |Ах-b|

Несложно догадаться, что в рассматриваемом сингулярном случае псевдорешений системы, минимизирующих невязку |Ax-b| , будет бесконечно много, и лежать они будут на третьей прямой, параллельной двум показанным на рис. 8.7 и расположенной в середине между ними. Это иллюстрирует рис. 8.8, на котором представлено несколько сечений функции f(x)= | Аx-b | , которые говорят о наличии семейства минимумов одинаковой глубины. Если попытаться использовать для их отыскания встроенную функцию Minimize , ее численный метод будет всегда отыскивать какую-либо одну точку упомянутой прямой (в зависимости от начальных условий). Поэтому для определения единственного решения следует выбрать из всего множества псевдорешений то, которое обладает наименьшей нормой. Можно пытаться оформить данную многомерную задачу минимизации в Mathcad при помощи комбинаций встроенных функций Minimize , однако более эффективным способом будет использование регуляризации (см. ниже) или ортогональных матричных разложений (см. разд. 8.3).

УДК 519.61:621.3

В.П. ВОЛОБОЕВ*, В.П. КЛИМЕНКО*

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ФИЗИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ

Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина

Анотація. Показано, що вірогідність результатів моделювання фізичних об"єктів, дискретна модель яких описується системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), залежить не від поганої обумовленості матриці, а від некоректного вибору змінних СЛАР на етапі складання рівнянь методом вузлових потенціалів або його аналогів, а сам метод є окремий випадок методу коректної постановки завдання. Запропоновано методику перевірки на коректність СЛАР, складеної методом вузлових потенціалів, що має невироджену й симетричну матрицю, і якщо необхідно перетворення її до коректного виду.

Ключові слова: система, моделювання, некоректне завдання, погана обумовленість, система лінійних алгебраїчних рівнянь, метод вузлових потенціалів, метод коректної постановки завдання, перевірка на коректність.

Аннотация. Показано, что достоверность результатов моделирования физических объектов, дискретная модель которых описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), зависит не от плохой обусловленности матрицы, а от некорректного выбора переменных СЛАУ на этапе составления уравнений методом узловых потенциалов или его аналогами, а сам метод есть частный случай метода корректной постановки задачи. Предложена методика проверки на корректность СЛАУ, составленной методом узловых потенциалов, имеющей невырожденную и симметричную матрицу, и если необходимо преобразование её к корректному виду.

Ключевые слова: система, моделирование, некорректная задача, плохая обусловленность, система линейных алгебраических уравнений, метод узловых потенциалов, метод корректной постановки задачи, проверка на корректность.

Abstract. The paper shows that reliability of results of simulation of the physical objects, which discrete model is described by a system of the linear algebraic equations (SLAE) depends not on poor-conditioned matrix but on an incorrect choice of variable SLAE at generation of equations stage by a node potential method or its analogues, and the method is a special case of a method of correct statement of a problem. It was suggested the check-out method on a correctness of SLAE, made by a node potential method, having nonsingular and a symmetric matrix and if it is necessary its transformation to a correct form.

Keywords: system, simulation, incorrect problem, poor-conditioned, system of the linear algebraic equations, node potential method, method of correct statement of a problem, check-out on a correctness.

1. Введение

Многие задачи моделирования физических (технических) объектов сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Поскольку все вычисления при решении таких систем выполняются с конечным числом значащих цифр, то точность может значительно теряться из-за ошибок округления. Плохо обусловленной (неустойчивой) системой или в более общей формулировке - некорректно поставленной задачей принято считать ту задачу, которая при фиксированном уровне ошибок входных данных и точности вычислений не гарантирует в решении никакой точности. В качестве априорной наихудшей оценки возможных ошибок решения СЛАУ используется число обусловленности . Как следует из литературы, разработка методов решения некорректно поставленных задач рассматривается как чисто математическая задача, в которой не учитываются особенности физических (технических) объектов, несмотря на то, что численное решение многих задач математической физики и математического моделирования сложных физических процес-

сов и технических систем является неиссякаемым источником задач линейной алгебры. Для перечисленного класса задач при разработке методов решения не рассматривается этап составления СЛАУ, на котором тем или иным способом можно учесть особенности конкретной задачи. В том, что этот этап необходимо учитывать, подтверждают результаты следующих работ.

Прежде всего, следует отметить работу , где приведены примеры матриц, для которых потеря точности при решении СЛАУ невелика, а величина числа обусловленности огромна, то есть показано, что общепринятый критерий априорной оценки точности решения СЛАУ по числу обусловленности есть необходимый, но недостаточный. Совершенно новый подход к решению некорректно поставленной задачи предложен в работах . Он заключается в том, что с целью повышения точности решения СЛАУ даже при большой величине числа обусловленности на этапе описания дискретной модели физического объекта предлагается корректно составлять СЛАУ. Это означает не только то, что такие матрицы существуют, как об этом сообщалось в работе , но и то, что предложен метод корректного составления матрицы СЛАУ, описывающей дискретную модель объекта. Метод составления матрицы СЛАУ рассмотрен применительно к задачам моделирования поведения электрических цепей , энергосистем , стержневых систем механики и эллиптических уравнений матфизики .

Суть данного метода заключается в том, что, в отличие от существующих методов, при формировании СЛАУ целенаправленным выбором переменных учитываются параметры дискретной модели физического объекта. Следует заметить, что метод применим только к тем объектам, топология дискретной модели которых представлена графом.

Этому требованию удовлетворяет расчетная модель электрической цепи и энергосистемы. Для многих задач математического моделирования сложных физических процессов, технических систем и математической физики представление топологии дискретной модели в виде графа не применяется. В работах показано, что вышеприведенное ограничение снимается за счет представления топологии элементов расчетных схем дискретной модели физического объекта в виде графа. Там же приведена методика представления топологии элементов в виде графов.

В данной работе будет предложен метод корректировки некорректно поставленной задачи для случая, когда топология дискретной модели не представлена в виде графа. При разработке метода учитывается тот факт, что общепринятый метод описания дискретных моделей задач математической физики и сложных физических процессов и технических систем (метод узловых потенциалов ) есть частный случай метода корректного составления матрицы СЛАУ.

2. Связь между точностью решения СЛАУ, описывающей дискретную модель объекта, и методом составления уравнений

Академик Воеводин В.В. в работе показал, что наибольшая точность результатов решения СЛАУ методом Гаусса достигается в случае применения метода с выбором главного элемента. На основе этой идеи было опубликовано огромное число работ. Однако решение практических задач показало, что точность решения СЛАУ, особенно в случае плохо обусловленных матриц, значительно теряется из-за ошибок округления, то есть для повышения точности результатов на этапе решения недостаточно одного применения метода Гаусса с выбором главных элементов.

Дальнейшим развитием этой идеи есть метод, предложенный в работе , где предлагается на этапе составления описания дискретной модели объекта формировать диагональные элементы матрицы как главные. Для этого при составлении описания используется дополнительная информация, а именно, параметры дискретной модели. Эффективность данного подхода, а именно, зависимость точности решения СЛАУ, описывающей дискрет-

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

ную модель объекта, от метода составления уравнений будет продемонстрирована на модельном примере. Ниже будет рассмотрено составление описания модельного примера методом, описанным в , с выбором главного элемента и без выбора и его решение.

В качестве модельного примера выбрана электрическая цепь, приведенная на рис. 1.

Рис. 1. Электрическая цепь

Известно , что обусловленность СЛАУ, описывающей электрическую цепь, зависит от диапазона разброса величин проводимостей (сопротивлений) компонент цепи. Выбранный диапазон изменения проводимостей компонент электрической цепи, равный 15 порядкам, обеспечивает плохую обусловленность СЛАУ и тем самым, как принято считать, некорректность задачи. На примере расчета потенциала узла 2 (напряжение на компоненте G2) будет анализироваться зависимость достоверности результатов расчета от способа формирования диагонального элемента при составлении описания электрической цепи.

Ниже приведены основные положения, необходимые для решения модельного примера методом корректной постановки задачи . Построение математической модели электрической цепи данным методом базируется на основной системе уравнений электрической цепи, куда входят компонентные уравнения и уравнения, составленные на основе законов Кирхгофа. Для модельного примера компонентное уравнение имеет вид

где U i - напряжение, падающее на компоненте, I - ток, протекающий через компоненту, Gt - проводимость компоненты.

Для описания графа электрической цепи и, соответственно, уравнений на основе законов Кирхгофа применяются топологические матрицы контуров и сечений. Граф цепи совпадает с электрической цепью. Составление топологических матриц контуров и сечений включает выбор дерева графа цепи и составление контуров для выбранного дерева. Дерево графа электрической цепи выбирается таким образом, чтобы все источники напряжения включались в дерево, а все источники тока в хорды. Элементы в векторах напряжений U и токов I компонент цепи группируются на входящие в дерево (индекс Д), то есть ветви и хорды (индекс X), таким образом:

Контуры образуются присоединением хорд к дереву графа схемы. В этом случае

топологическая матрица контуров имеет вид

где 1 - единичная подматрица хорд, t

Обозначает транспонирование матрицы, а топологическая матрица сечений - вид |1 -F , где 1 - единичная подматрица ветвей. Как следует из , диагональные члены матрицы

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

будут главными в том случае, когда проводимости компонент дерева в контурах имеют максимальную проводимость. Учитывая вид топологических матриц, уравнения цепи, составленные на основе законов Кирхгофа, в матричном виде можно записать следующим образом:

их =-ґид, (3)

Переменные составляемой системы уравнений выбираются из напряжений и/или токов компонент в результате анализа основной системы уравнений. В случае выбора в качестве переменных напряжений компонент, входящих в ветви дерева, компонентные уравнения (1) и уравнения (3), (4) можно преобразовать к следующему виду:

Gд U д - F(Gx (- FUд)) = 0.

Ниже будет приведено составление уравнений для модельного примера. Вначале составляется описание электрической цепи таким образом, чтобы диагональные члены матрицы были главными. Этому требованию удовлетворяет набор компонент E1, G6, G3, G2, входящих в дерево (на рис. 1 ветви дерева выделены жирной линией). Выбранному дереву соответствуют следующие векторы напряжений, токов компонент:

и топологические матрицы

Уравнение (5), с учетом (6), (7) и компонентных уравнений после преобразований, имеет следующий вид:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

СЛАУ (8) есть плохо обусловленная, так как собственные числа матрицы \= 1,5857864376253, Я2 = 5,0E +14+j5,0E +14, А, = 5,0E +14 - j5,0E +14. Для того, чтобы определить, как зависит точность результатов решения системы от выбора варианта составления уравнений, расчет потенциала Uq узла 2 будет выполнен в общем виде:

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

(g1+g2 +g4 +g5)-

Из анализа вычислительного процесса (9-11) следует, что, несмотря на большой диапазон изменения величин проводимостей (15 порядков), нет жестких требований к конечной точности представления чисел как при составлении уравнений, так и при их решении. Для получения достоверного результата достаточно выполнить вычислительный процесс составления и решения СЛАУ с точностью представления чисел в две значащие цифры.

Следует заметить, что в СЛАУ (8) диагональный элемент второй строки (столбца) матрицы G+G4+G5I значительно больше (на 15 порядков) суммы остальных членов

строки (столбца) | G4 + 2G51. Это означает, что, приняв UG = 0, можно упростить СЛАУ

(8), сохранив достоверность результатов. В эпоху ручного счета этому приему соответствовало объединение узла 2 с 3 (рис. 1).

Во втором случае (без выбора диагонального элемента главным) достаточно выбрать в дерево компоненты Ex, G6, G4, G2 (на рис. 1 ветви дерева помечены прерывистой

линией). Падения напряжений на этих компонентах соответствуют узловым потенциалам 1, 4, 3, 2, отсчитываемым от нулевого узла. Это означает, что при таком выборе компонент в дерево метод корректного составления матрицы СЛАУ совпадает с методом узловых потенциалов. Выбранному дереву и хордам соответствуют следующие векторы напряжений, токов компонент:

U Д = UG UG G4 , Ux = G1 UG3 UG G Д G ig G4 , Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ig G2 G5

и топологических матриц

Уравнение (5), с учетом (12), (13) и компонентных уравнений, примет следующий

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

Система уравнений (14) есть плохая обусловленная, так как имеет следующие собственные числа матрицы: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015 . Как в первом варианте примера, будет выполнен расчет потенциала UG узла 2 в общем виде:

(G + G + G)------------

V 3 4 У (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

Из анализа вычислительного процесса решения системы уравнений (15-17) следует, что достоверность результатов зависит как при составлении, так и решении уравнений от конечной точности представления чисел. Так, если вычислительный процесс решения системы (15-17) выполняется с точностью меньше 15 значащих цифр, то результат будет

1015 +1015 ~ o,

а в случае, когда с точность больше 15 значащих цифр, будет

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

Из сравнения матриц (8) и (14), а также вычислительных процессов решения систем уравнений, вытекают следующие выводы.

Метод узловых потенциалов есть частный случай метода, предложенного в , а именно, в методе узловых потенциалов всегда в дерево выбраны ребра графа, связывающие базовый узел с остальными.

Диагональные элементы матрицы по модулю больше остальных элементов, как в строках, так и столбцах, независимо от того, матрица составлена с или без выбора максимальных диагональных. Различие заключается только в том, насколько диагональные элементы больше недиагональных. Это означает, что решение такого типа СЛАУ методом Г аусса с выбором главного элемента не повышает точности результатов для данного класса задач.

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

Конечное число значащих цифр, используемых при решении методом Г аусса, существенным образом зависит от того, матрица составлена с или без выбора максимальных диагональных элементов. Отличие одного варианта задачи от другого заключается только в том, что на этапе составления уравнений в одном случае компонента с максимальной проводимостью выбирается в дерево и тем самым напряжение этой компоненты выступает в качестве переменной составляемой СЛАУ. Проводимость этой компоненты участвует только при формировании диагонального элемента матрицы. В другом случае эта компонента попадает в хорды. Как следует из уравнения (3), напряжение компоненты определяется через напряжения компонент дерева. Из уравнения (4) следует, что проводимость компоненты участвует в формировании элементов строк и столбцов и тем самым проводимость хорды определяет величину этих элементов матрицы.

3. Преобразование матрицы СЛАУ, составленной методом узловых потенциалов, к виду, соответствующему корректной постановке

При численном решении задач математической физики и математического моделирования сложных физических процессов и технических систем для составления СЛАУ, описывающих дискретные модели этих задач, в основном применяется метод узловых потенциалов или его аналоги. Отличительной чертой этого метода есть то, что в качестве переменных СЛАУ применяются потенциалы расчетной схемы дискретной модели, отсчитываемые от базового узла к остальным узлам, простой алгоритм составления уравнений, слабо заполненная матрица СЛАУ. Платой за такую эффективность может быть некорректность поставленной задачи. Учитывая, что метод узловых потенциалов есть всего лишь один из вариантов метода корректной постановки задачи, то некорректно поставленную задачу можно откорректировать, применив преобразование матрицы. Ниже будет рассмотрен алгоритм преобразования некорректно составленной методом узловых потенциалов задачи.

Из всего многообразия физических объектов будут рассмотрены только те объекты, линейная дискретная модель которых описывается СЛАУ с невырожденной и симметричной матрицей.

3.1. Алгоритм преобразования матрицы

При разработке алгоритма преобразования матрицы используется тот факт, что j -ый недиагональный элемент i -ой строки матрицы входит в матрицу со знаком минус и содержит параметр дискретной модели, описывающий связь между i -ым и j -ми узлами дискретной модели. Диагональный элемент входит в матрицу с положительным знаком, содержит сумму недиагональных элементов и параметр дискретной модели, описывающий связь между i -ым узлом и базовым. Обычно при нумерации узлов дискретной модели базисный узел принято считать нулевым.

Как следует из исследования, выполненного выше, некорректность поставленной задачи на уровне составленной СЛАУ возникает только в том случае, если хотя бы один из недиагональных элементов строки будет значительно больше параметра дискретной модели, входящего только в диагональный элемент. Ниже приводится методика проверки на корректность составленной СЛАУ.

Пусть СЛАУ имеет вид

где x - вектор узловых потенциалов (узловых воздействий), у - вектор внешних потоков, A - матрица вида

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

а11 а1і a1j a1n

аі1 а,і aj ain , (21)

aJ1 an1 аі aJJ ann

где n - размер матрицы. Элементы матрицы удовлетворяют следующим требованиям:

аи > 0, а. < 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Ниже будет рассмотрена проверка на корректность і -ой строки матрицы и, если необходимо, её корректировка.

Прежде всего определяется параметр дискретной модели ait, входящий только в диагональный элемент і -ой строки матрицы,

Считается, что і -ая строка матрицы корректно составлена, если параметр ait удовлетворяет условию

1 < j < n, при j Ф і.

При невыполнении условия (24) выполняется корректировка і -ой строки. Вначале из недиагональных элементов выбирается наибольший. Пусть это будет j -ый элемент і -ой строки. Нетрудно убедиться, что в силу специфики составления матрицы (условие (22)) параметр дискретной модели, который участвует в формировании элементов о. и а.^ і -ой и j -ой строк, входит как составная часть в элементы aii и а. . Суть корректировки і -ой строки заключается в преобразовании і -ой и j -ой строк матрицы таким образом, чтобы величина элемента а. входила только в элемент aii. Нетрудно убедиться, что, представив переменную xi в виде

X = xj + xj (25)

и выполнив следующее преобразование элементов j -ого столбца матрицы СЛАУ

о = аі. + ai, 1 < 1 < n , (26)

получим новый j -ый столбец матрицы, в котором преобразованные элементы а. и а. не содержат параметр дискретной модели, формировавший элементы а. и а. .

На следующем шаге выполняется преобразование j -ой строки по формуле

aji = а.і + аіі, 1 < l < n . (27)

Элементы a і преобразованной j -строки уже не содержат параметр дискретной модели, соответствующий элементу а і .

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

Проверка на корректность матрицы СЛАУ и корректировка некорректных строк выполняются для всей матрицы. В данной работе рассмотрен только подход к построению алгоритма преобразования матрицы к корректному виду. Вопросы, связанные с разработкой эффективно работающего алгоритма преобразования матрицы к корректному виду, в этой работе не рассматриваются. Ниже будет приведен пример преобразования матрицы СЛАУ (14), составленной методом узловых потенциалов.

3.2. Демонстрационный пример

Прежде всего следует отметить, что матрица (14) симметричная и невырожденная. Коэффициенты матрицы удовлетворяют условию (22). Узловые потенциалы соответствуют падению напряжений на компонентах

U4 = UG^, U3 = UG,U2 =UG

Учитывая (28), СЛАУ (14) можно представить следующим образом:

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Проверка на корректность матрицы включает следующие операции.

Определение по формуле (23) параметра дискретной модели ait, входящего только

в диагональный элемент. Для первой строки матрицы это будет G6, для второй строки G4 и для третьей - (Gl + G2) .

Проверка строк матрицы на корректность выполняется в соответствии с формулой (24). В результате этой проверки оказывается, что вторая строка не удовлетворяет требованию корректности, так как (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Параметр G3 входит также в третью строку матрицы, поэтому в соответствии с формулой (25) выбирается представление переменной U3 в виде

U3 = U2 + U23 , (30)

В результате преобразования элементов 3 -го столбца, в соответствии с формулой (26), получаем матрицу (29) следующего вида:

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

а после преобразования третьей строки, в соответствии с формулой (27), матрица (31) будет иметь вид

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

СЛАУ (32) удовлетворяет требованию корректности, поэтому корректировка считается завершенной. Переменные СЛАУ (32) соответствуют переменным СЛАУ (8), то есть в

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

результате преобразования в дерево были выбраны те же компоненты, что и в методе корректной постановки задачи. Из сравнения СЛАУ (8) и (32) следует, что недиагональные элементы матрицы (32) второго столбца и второй строки отличаются по знаку от матрицы (8). Это есть результат того, что при преобразовании матрицы (14) было выбрано направление тока компоненты G3, противоположное направлению, выбранному при составлении СЛАУ (8). Выполнив замену переменной U23 на U23 = -U23 и поменяв во втором уравнении знаки элементов на противоположные, получим матрицу (8).

4. Заключение

Моделирование стало неотъемлемой частью интеллектуальной деятельности человечества, а достоверность результатов моделирования - основным критерием оценки результатов моделирования. Для обеспечения достоверности результатов требуются новые подходы к разработке методов и алгоритмов описания сложных объектов и их решения.

В отличие от существующего подхода к разработке методов решения некорректных задач, в данной работе предлагается некорректно поставленную задачу (плохо обусловленную) приводить к корректному виду. Показано, что не плохая обусловленность матрицы затрудняет получение достоверных результатов при решении СЛАУ, описывающих дискретные модели физических объектов, а некорректный выбор переменных СЛАУ на этапе составления уравнений, а метод узловых потенциалов и его аналоги, которые применяются для составления СЛАУ, описывающих дискретную модель, есть частный случай метода корректной постановки задачи. Предложена методика проверки на корректность составленной методом узловых потенциалов СЛАУ для случая, когда матрица СЛАУ есть невырожденная и симметричная. Рассмотрен алгоритм преобразования матрицы к корректному виду.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калиткин Н.Н. Количественный критерий обусловленности систем линейных алгебраических уравнений / Н.Н. Калиткин, Л.Ф. Юхно, Л.В. Кузьмина // Математическое моделирование. - 2011. Т. 23, № 2. - С. 3 - 26.

2. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. - 2008. - № 4. - С. 111 - 122.

3. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию энергосистем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. - 2009. - № 4. - С. 106 - 118.

4. Волобоев В.П. Механика стержневых систем и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. - 2012. - № 2. - С. 81 - 96.

5. Волобоев В.П. Метод конечных элементов и теория графов / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. - 2013. - № 4. - С. 114 - 126.

6. Пухов Г.Е. Избранные вопросы теории математических машин / Пухов Г.Е. - Киев: Изд-во Академии наук УССР, 1964. - 264 с.

7. Сешу С. Линейные графы и электрические цепи / С. Сешу, М.Б. Рид. - М.: Высшая школа, 1971. - 448 с.

8. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. -318 с.

9. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / Воеводин В.В. - М.: Наука, 1977. -304 с.

10. Теоретические основы электротехники: учебник для ВУЗов / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. - . - Питер, 2003. - Т. 2. - 572 с.

Искомый вектор

Если , то система (1) называется плохо обусловленной. В этом случае погрешности коэффициентов матрицы и правых частей или погрешности округления при расчетах могут сильно исказить решение.

При решении многих задач правая часть системы (1) и коэффициенты матрицы А известны приближенно. При этом вместо точной системы (1) имеем некоторую другую систему

такую, что

Полагаем, что величины и d известны.

Так как вместо системы (1) имеем систему (2), то можем найти лишь приближенное решение системы (1). Метод построения приближенного решения системы (1) должен быть устойчивым к малым изменениям исходных данных.

Псевдорешением системы (1) называется вектор , минимизирующий невязку на всем пространстве .

Пусть х 1 –некоторый фиксированный вектор из , определяемый обычно постановкой задачи.

Нормальным относительно вектора х 1 решением системы (1) называется псевдорешение х 0 с минимальной нормой , то есть

где F-совокупность всех псевдорешений системы (1).

Причем

где ¾компоненты вектора х.

Для любой системы вида (1) нормальное решение существует и единственно. Задача нахождения нормального решения плохо обусловленной системы (1) является некорректно поставленной.

Для нахождения приближенного нормального решения системы (1) воспользуемся методом регуляризации.

Согласно указанному методу построим сглаживающий функционал вида

и найдем вектор , минимизирующий на этот функционал. Причем параметр регуляризации a однозначно определен из условия

где .

Вырожденные и плохо обусловленные системы могут быть неразличимы в рамках заданной точности. Но если имеется информация о разрешимости системы (1), то вместо условия (5) следует использовать следующее условие:

Компоненты вектора являются решениями системы линейных алгебраических уравнений, которая получается из условия минимума функционала (4)

и имеет вид

где Е-единичная матрица,

¾эрмитово сопряженная матрица.

На практике для выбора вектора нужны дополнительные соображения. Если их нет, то полагают =0.

Для =0 систему (7) запишем в виде

где

Найденный вектор будет являться приближенным нормальным решением системы (1).

Остановимся на выборе параметра a. Если a=0, то система (7) переходит в плохо обусловленную систему. Если a велико, то система (7) будет хорошо обусловлена, но регуляризованное решение не будет близким к искомому решению системы (1). Поэтому слишком большое или слишком малое a не пригодны.

Обычно на практике проводят расчеты с рядом значений параметра a. Например,

Для каждого значения a находят элемент , минимизирующий функционал (4). В качестве искомого значения параметра регуляризации берется такое число a, для которого с требуемой точностью выполняется равенство (5) или (6).

III. ЗАДАНИЕ

1. Построить систему линейных алгебраических уравнений, состоящую из трех уравнений с тремя неизвестными, с определителем, величина которого имеет порядок 10 -6 .

2. Построить вторую систему, аналогичную первой, но имеющую другие свободные члены, отличающиеся от свободных членов первой системы на величину 0,00006.

3. Решить построенные системы методом регуляризации (полагая =0 и d=10 -4) и каким-либо другим методом (например, методом Гаусса).

4. Сравнить полученные результаты и сделать выводы о применимости использованных методов.

IV. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

В отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. 286 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.