Изучаване на алгебра за 10 клас по учебника на А. Г. Мордкович и П. В. Семенов, учениците за първи път срещнаха функцията на цялата част от числото y = [x]. Някои се интересуваха от това, но имаше много малко теоретична информация и дори задачи, съдържащи цяла част от числото. За да подкрепим интереса на децата към темата, възникна идеята за създаването на този наръчник.
Изпълнението на програмата на курса е предназначено за 1-ва половина на 10-ти клас за ученици от физика и математика.
Цел на курса: разширяване на знанията на студентите за математически функциии развиват способността да използват знанията за функциите при решаване на уравнения и неравенства с различна степен на сложност. Представеният учебник съдържа теоретични сведения със справочен характер. Това е информация за функцията на цялата част на числото y = [x] и функцията на дробната част на числото y = (x), техните графики. Обясняват се трансформациите на графики, съдържащи цяла част от число. Разглеждат се решения на най-прости уравнения и неравенства, съдържащи цяла или дробна част от число. Както и методи за решаване на квадратни, дробно-рационални уравнения и неравенства, системи от уравнения, съдържащи цяла или дробна част от число.
Помагалото съдържа задачи за самостоятелно решаване.
Ръководството включва следните точки:
Въведение.
§1. Въведение във функциите y = [x] и y = (x).
§2. Уравнения, съдържащи дробна или цяла част от число.
2.1 Най-простите уравнения.
2.2 Решаване на уравнения от вида = g (x).
2.3 Графичен метод за решаване на уравнения.
2.4 Решаване на уравнения чрез въвеждане на нова променлива.
2.5 Системи уравнения.
§3. Преобразуване на графики на функции, съдържащи цяла част от число.
3.1 Построяване на графики на функции от вида y =
3.2 Построяване на графики на функции от вида y = f ([x]).
§4. Неравенства, съдържащи цяла или дробна част от число.
§5. Цели и дробни части на числата в олимпиадни задачи.
Отговори на задачи за самостоятелно решаване.
Помагалото осигурява развитие на представи за функцията и формиране на приложни умения.
Адресирано до учители решаващи проблемиспециализирано обучение.
Изтегли:
Преглед:
Розина Т.А
Задачи, съдържащи цяло
или дробна част от число
Междуреченск 2011г
Уважаеми гимназисти!
Предстои ви да започнете задълбочено изучаване на темата „Цяло число и дробна част от число“. Това ръководство ще ви позволи да разширите познанията си за математическите функции при решаване на уравнения и неравенства с различна степен на сложност. Представеното ръководство съдържа теоретична информация със справочен характер, обяснява трансформациите на графики, съдържащи цяло число или дробна част от число, и разглежда решения на най-простите уравнения. Както и методи за решаване на квадратни, дробни рационални уравнения и неравенства, системи уравнения. Помагалото съдържа задачи за самостоятелно решаване. Урокще ви помогне да систематизирате и обобщите знанията, които сте придобили по темата „Цяло число и дробна част от числото“.
Късмет!
§1. Въведение във функциите y = [x] и y = (x)………………………4
§2. Уравнения, съдържащи цяло число или дробна част от число......7
- Най-простите уравнения……………………………………7
- Решаване на уравнения от вида = g(x)……………………..8.
2.3 Графичен метод за решаване на уравнения………………10
- Решаване на уравнения чрез въвеждане на нова променлива……11
- Системи уравнения………………………………………….12
§3. Трансформации на графики на функции, съдържащи цяло число
Част от номера……………………………………………………....13
- 3.1 Построяване на графики на функции от вида y = ……………13
- 3.2 Построяване на графики на функции от вида y = f([x])……………15
§4. Неравенства, съдържащи цяла или дробна част от число...17
……
§5. Цяла или дробна част от число в олимпиадни задачи......20
Отговори на задачи за самостоятелно решаване……………...23
Използвана литература………………………………………………………………...25
§1. Въведение във функциите y = [x]
и y = (x)
История и определение на цели и дробни части от число
Концепцията за цяла част от число е въведена от немския математик Йохан Карл Фридрих Гаус (1771-1855), автор на Транзакции по теория на числата. Гаус също разви теорията на специалните функции, серии, числени методи, решавайки проблеми на математическата физика, създава математическата теория на потенциала.
Посочена е цялата част реално число x със символа [x] или E(x).
Символ [x] е въведен от К. Гаус през 1808 г.
Функцията на цялата част от числото е въведена от Адриен Мари Лежандр ( 1752-1833). - френски математик. Неговият труд „Опит в теорията на числата“, публикуван през 1798 г., е фундаментален труд, резултат от аритметичните постижения на 18 век. Именно в негова чест функцията y = [x] се нарича френската дума „Antier” (фр. „entier” - цяло), означена E(x).
определение: цялата част на число x е най-голямото цяло число c, което не превишава x, т.е. ако [x] = c, c ≤ x
Например: = 2;
[-1,5] = -2.
Използвайки някои стойности на функцията, можете да изградите нейната графика. Изглежда така:
Свойства на функцията y = [x]:
1. Областта на дефиниране на функцията y = [x] е множеството от всички реални числа R.
2. Диапазонът на функцията y = [x] е множеството от всички цели Z.
3. Функцията y = [x] е частично постоянна, ненамаляваща.
4. Обща функция.
5. Функцията не е периодична.
6. Функцията не е ограничена.
7. Функцията има точка на прекъсване.
8. y=0, при x.
Например: (3.7) = 0.7
{-2,4} = 0,6.
Нека начертаем функцията y = (x). Изглежда така:
Най-простите свойства на функцията y = (x):
1. Областта на дефиниране на функцията y = (x) е множеството от всички реални числа R.
2. Диапазонът от стойности на функцията y = (x) е половин интервал и y = (x) ще ви помогне да изпълните някои задачи.
ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ
1) Изграждане на функционални графики:
A) y = [x] + 5;
B) y = (x) - 2;
B) y = |[x]|.
2) Какви могат да бъдат числата x и y, ако:
A) [x + y] = y;
B) [x - y] = x;
B) (x - y) = x;
D) (x + y) = y.
3) Какво може да се каже за величината на разликата x - y, ако:
A) [x] = [y];
B) (x) = (y).
4) Кое е по-голямо: [a] или (a)?
§2. Уравнения, съдържащи цяло число или дробна част от число
2.1. Най-простите уравнения
Най-простите уравнения включват уравнения от формата [x] = a.
Уравнения от този тип се решават по дефиниция:
a ≤ x
Ако a е дробно число, тогава такова уравнение няма да има корени.
Нека да разгледаме примерно решениеедно от тези уравнения:
[x + 1.3] = - 5. По дефиниция такова уравнение се трансформира в неравенство:
5 ≤ x + 1,3
Това ще бъде решението на уравнението.
Отговор: x[-6,3;-5,3).
Нека разгледаме друго уравнение, което принадлежи към най-простата категория:
[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2
За решаване на уравнения от този тип е необходимо да се използва свойството на целочислената функция: Ако p е цяло число, тогава равенството е вярно
[x ± p] = [x] ± p
Доказателство: x = [x] + (x)
[[x] + (x) ± p] = [[x] + (x)] ± p
x = k + a, където k = [x], a = (x)
[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ± p.
Нека решим предложеното уравнение, като използваме доказаното свойство: Получаваме [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Нека въведем подобни членове и да получим най-простото уравнение [x] = 6. Решението му е полуинтервалът x = 1
Нека трансформираме уравнението в неравенство: 1 ≤ x 2 -5x+6
x 2 - 5x + 6
х 2 - 5x + 6 ≥ 1 и го решете;
x 2 - 5x + 4
x 2 - 5x + 5>0
Получаваме x(1;4)
Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),
X(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Отговор: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).
Решете уравненията:
1) = 1
2) = 0,487
3) – = 2
4) [x 2] = 4
5) [x] 2 = 4
6) = - 5
7) [x 2 – x + 4] = 2
8) = - 1
9) = 4,2
10) (x) – [x] + x = 0
11) x + (x) + [x] = 0
12) [4x – 5] = 7
2.2 Решаване на уравнения от вида =g(x)
Уравнение от вида =g(x) може да бъде решено чрез редуцирането им до уравнението
[x] = а.
Нека да разгледаме пример 1.
Решете уравнението
Нека заменим дясната страна на уравнението с нова променлива а и изразим от тук х
11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,
Тогава = =
Сега нека решим уравнението за променливатаА .
Нека разширим знака на цялата част по дефиниция и го напишем с помощта на системата от неравенства:
От интервала избираме всички цели числа a: 3;4;5;6;7 и извършваме обратната замяна:
Отговор:
Пример 2.
Решете уравнението:
Разделете всеки член на числителя в скоби на знаменателя:
От дефиницията на цялата част на числото следва, че (a+1) трябва да е цяло число, което означава, че a е цяло число.Числата a, (a+1), (a+2) са три последователни числа, което означава, че едно от тях задължително се дели на 2, а едно на 3. Следователно произведението на числата се дели на 6.
Това е цяло число. Средства
Нека решим това уравнение.
a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0
(a+1)(a(a+2) - 6) = 0
a + 1 = 0 или a 2 + 2a – 6 = 0
a = -1 D = 28
A = -1 ± (не са цели числа).
Отговор: -1.
Решете уравнението:
2.3. Графичен начин за решаване на уравнения
Пример 1. [x] = 2(x)
Решение. Нека решим това уравнение графично. Нека построим графики на функциите y = [x] и y = 2(x). Нека намерим абсцисите на техните пресечни точки.
Отговор: x = 0; х = 1,5.
В някои случаи е по-удобно да се използва графика, за да се намерят ординатите на точките на пресичане на графиките. След това заместете получената стойност в едно от уравненията и намерете желаните x стойности.
ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ
Решете графично уравненията:
- (x) = 1 – x;
- (x) + 1 = [x];
- = 3x;
- 3(x) = x;
- (x) = 5x + 2;
- [|x|] = x;
- [|x|] = x + 4;
- [|x|] = 3|x| - 1;
- 2(x) – 1 = [x] + 2;
10) Колко решения има уравнението 2(x) = 1?.
2.4. Решаване на уравнения чрез въвеждане на нова променлива.
Нека разгледаме първия пример:
(x) 2 -8(x)+7 = 0
Заменете (x) с a, 0 a
а 2 - 8a + 7 = 0, което решаваме с помощта на теоремата, обратна на теоремата на Виета: Получените корени са a = 7 и a = 1. Нека извършим обратното заместване и да получим две нови уравнения: (x) = 7 и (x) = 1. И двете от тези уравнения нямат корени. Следователно уравнението няма решения.
Отговор: няма решения.
Нека разгледаме друг случайрешаване на уравнението чрез въвеждане на нов
променлива:
3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0
Нека направим промяната [x] = a, az. и ще вземем нещо ново кубично уравнениеОтзад 3 +2a 2 +5a-10=0. Ще намерим първия корен на това уравнение, като изберем: a=1 е коренът на уравнението. Разделяме нашето уравнение на (a-1). Получаваме квадратно уравнение 3а 2
+ 5a +10=0. Това уравнение има отрицателен дискриминант, което означава, че няма решения. Тоест a=1 е единственият корен на уравнението. Извършваме обратното заместване: [x]=a=1. Решаваме полученото уравнение, като дефинираме цялата част от числото: x 2 + 8[x]-9 = 0 10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0 2.5. Системи уравнения. Разгледайте системата от уравнения: 2[x] + 3[y] = 8, 3[x] – [y] = 1. Може да се реши чрез добавяне или чрез заместване. Нека се съсредоточим върху първия метод. 2[x] + 3[y] = 8, 9[x] – 3[y] = 3. След като съберем двете уравнения, получаваме 11[x] = 11. Следователно [x] = 1. Заместете тази стойност в първото уравнение на системата и получете [y] = 2. [x] = 1 и [y] = 2 са решения на системата. Това е х
18-x-y
3) 3[x] – 2(y) = 6
[x] 2 – 4(y) = 4
4) 3(x) – 4(y) = -6
6(x) – (y) 2 = 3.
§3. Трансформации на графики на функции, съдържащи цяла част от число
3.1. Построяване на графики на функции от вида y =
Нека има графика на функцията y = f(x). За да начертаете функцията y =, продължете както следва:
- Отбелязваме пресечните точки на правите y = n, y = n + 1 с графиката на функцията y = f(x). Тези точки принадлежат на графиката на функцията y =, тъй като техните ординати са цели числа (на фигурата това са точки A, B, C, D).
Нека начертаем функцията y = [x]. За това
- Начертайте прави линии y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ... и разгледайте една от ивиците, образувана от правите линии y = n, y = n + 1.
- Маркираме точките на пресичане на линиите y = n, y = n + 1 с графиката
Функции y = [x]. Тези точки принадлежат на графиката на функцията y = [x],
Тъй като техните координати са цели числа.
- За да получите останалите точки от графиката на функцията y = [x] в посочената лента, проектирайте частта от графиката y = x, която попада в лентата, успоредна на оста Oпри към правата y = n, y = n + 1. Тъй като всяка точка M от тази част от графиката на функцията y = x има такава ордината y 0 че n 0 0] = n
- Във всяка друга лента, където има точки от графиката на функцията y = x, конструкцията се извършва по подобен начин.
ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ
Графика на функциите:
3.2. Начертаване на функция във формата y = f([x])
Нека е дадена графика на някаква функция y = f(x). Графиката на функцията y = f([x]) се изгражда по следния начин:
- Начертайте прави линии x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
- Нека разгледаме една от ивиците, образувани от линиите y = n и y = n + 1. Точките A и B на пресичане на графиката на функцията y = f(x) с тези линии принадлежат на графиката на функцията y = f([x]), тъй като техните абциси са цели числа.
- За да получим останалите точки от графиката на функцията y = f([x]) в посочената лента, проектираме частта от графиката на функцията y = f(x), която попада в тази лента, успоредна на оста O y към правата линия y = f(n).
- Във всяка друга лента, където има точки от графиката на функцията y = f(x), конструкцията се извършва по подобен начин.
Помислете за начертаване на функцията y =. За целта ще начертаем графика на функцията y = с пунктирана линия. По-нататък
числа.
3. Във всяка друга лента, където има точки от графиката на функцията y =, строителството се извършва по подобен начин.
ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ
Графика на функциите:
§4. Неравенства, съдържащи цели или дробни части от число
Нека наречем следните отношения главни неравенства с [x] и (x): [x] > b и (x) > b. Удобен метод за решаването им е графичният метод. Нека го обясним с два примера.
Пример 1. [x] ≥ b
Решение. Нека въведем две функции y = [x] и y = b и да начертаем техните графики на един и същи чертеж. Ясно е, че тогава трябва да се разграничат два случая: b – цяло число и b – нецяло число.
Случай 1. b – цяло число
От фигурата се вижда, че графиките съвпадат при .
Следователно решението на неравенството [x] ≥ b ще бъде лъчът x ≥ b.
Случай 2. b е нецяло число.
В този случай графиките на функциите y = [x] и y = b не се пресичат. Но частта от графиката y = [x], лежаща над правата линия, започва в точката с координати ([b] + 1; [b] + 1). Така решението на неравенството [x] ≥ b е лъчът x ≥ [b] + 1.
Други видове основни неравенства се изучават по абсолютно същия начин. Резултатите от тези проучвания са обобщени в таблицата по-долу.
[Х] |
(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1 | Няма решения |
(x) ≥ b, (x) > b, b | (-∞; +∞) |
(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b | n + b ≤ x n+b |
(x) ≤ b, (x) | (-∞; +∞) |
(x) ≤ b, (x) | Няма решения |
(x) ≤ b, (x) | n≤x≤b+n |
Нека разгледаме един пример решения на неравенството:
Нека заменим [x] с променливата a, където a е цяло число.
>1; >0; >0; >0.
Използвайки интервалния метод, намираме a > -4 [x] > -4
За решаване на получените неравенства използваме съставената таблица:
x ≥ -3,
Отговор: [-3;1).
ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ.
1) [x]
2) [x] ≤ 2
3) [x] > 2,3
4) [x] 2
5) [x] 2 -5 [x] -6
6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0
7) 30[x] 2 -121[x] + 80
8) [x] 2 + 3[x]-4 0
9) 3(x) 2 -8(x)-4
10) 110[x] 2 -167[x] + 163 0
11) > 2
12) > 1
13) 0
14) 0
§5. Цяла или дробна част от число в олимпиадни задачи
Пример 1.
Докажете, че дадено число се дели на 5 за всяко естествено число n.
Доказателство: Нека n е четно число, т.е. n=2m, където mН,
Ето защо.
Тогава този израз изглежда така: ,
тези. то се дели на 5 за всяко четно n.
Ако n = 2m -1, тогава
тогава този израз изглежда така:
Това число се дели на 5 за всяко нечетно n.
И така, този израз се дели на 5 за всяко естествено n.
Пример 2.
Намерете всички прости числана формата, където nН.
Решение. Нека бъде. Ако n=3k, тогава p=3k 2 . Това число ще бъде просто и равно на 3, с k=1.
Ако n=3k+1, k0, тогава
Че
Това число ще бъде просто и равно на 5, когато k=1.
Ако n = 3k + 2, k 0, тогава
Съставно число за всеки kN.
Отговор: 3;5
Пример 3.
Числата се записват в редица, които са кратни на две, три и шест. Намерете числото, което ще бъде на хилядна позиция в тази редица.
Решение:
Нека x е желаното число, тогава поредица от числа, които са кратни на две в тази серия - , са кратни на три - , са кратни на шест - . Но числата са кратни на шест, кратни на две и три, т.е. ще се брои три пъти. Следователно от сбора на числата. За кратни на две, три, шест, трябва да извадите два пъти броя на кратните на шест. Тогава уравнението за решаване на този проблем е:
Нека въведем следната нотация:
Тогава a+b-c=1000 (*) и по дефиницията на цялата част от число имаме:
Умножавайки всеки член на неравенството по 6, получаваме:
6a3x
6b2x
Събирайки първите две неравенства и изваждайки третото неравенство от тях, получаваме:
6(a+b+c) 4x
Нека използваме равенство (*), тогава: 60004x
1500x
Решенията на уравнението ще бъдат числата: 1500 и 1501, но според условията на задачата само числото 1500 е подходящо.
Отговор: 1500
Пример 4.
Известно е, че по-малкият брат е на не повече от 8, но не по-малко от 7 години. Ако броят на пълните години на по-малкия брат се удвои и броят на частичните години (т.е. месеци) от неговата възраст се утрои, тогава общата сума ще бъде възрастта на по-големия брат. Посочете възрастта на всеки от братята с точност до месеци, ако е известно, че общата им възраст е 21 години и 8 месеца.
Решение:
Тогава нека x (години) е възрастта на по-малкия брат(месеци) от неговата възраст. Според условията на проблема(години) – възрастта на по-големия брат. Общата възраст на двамата братя е:
(на годината).
3( , 3x + ,
Тъй като (x)=x - [x], тогава. (Уравнение от формата = bx + c, където a,b,c R)
N=6, n=7.
Когато n=6, x = - не отговаря на условията на проблема.
Когато n=7, x = .
По-малкият брат е на 7 години и 2 месеца.
По-големият брат е на 14 години и 6 месеца.
Отговор: възрастта на по-малкия брат е 7 години и 2 месеца,
По-големият брат е на 14 години и 6 месеца.
Задачи за самостоятелно решаване.
1. Решете уравненията: а) x+2[x] = 3,2; б) х 3 – [x] =3
2. Цели числа m и n са взаимно прости и n
Или
3. Дадено е число x, по-голямо от 1. Необходимо ли е равенство?
Решете системата от уравнения: x+[y]+(z) = 1,1
Y+[z]+(x)=2,2
Z+[x]+(y)=3,3.
4. Известно е, че броят на пълните метри в една лента е 4 пъти повече количествонепълни метри (т.е. сантиметри). Определете максималната възможна дължина на лентата.
Отговори на задачи за самостоятелно решаване.
§1 2. а) xЄ г) x Є Z; y Є >(a), ако a ≥ 1, (a) ≥ [a], ако a
§2. 2.1 1) , nЄ Z
3) , n Z
6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z
§5. 1. а) x = 1,2
Ако (x) е дробната част на числото x, тогава [x] + (x) = x.
Тогава [x] + (x) + 2[x] = 3,2. 3[x] + (x) = 3,2. Тъй като 3[x] е цяло число и 0 ≤ (x)
B) x =.
Забележка. [x] = x- (x), където 0 ≤ (x)
X 3 - x + (x) = 3, откъдето 2 2 - 1) ≤ 3.
- Първата сума е по-голяма от втората с m – n.
- Задължително.
Забележка. Ако [√] = n, тогава n 4 ≤ x 4 . Сега е лесно
Докажете, че [√ ] = n.
- (1; 0,2; 2,1)
- 3м 75см.
Библиография
- Алексеева В., Ускова Н. Задачи, съдържащи цели и дробни части от число // Математика. 1997. № 17. С.59-63.
- Воронова A.N. Уравнение с променлива под знака на цяло число или дробна част // Математика в училище. 2002.№4. стр. 58-60.
- Воронова A.N. Неравенства с променлива под знака на цялата част // Математика в училище. 2002. № 2. С.56-59.
- Галкин Е.В. Нестандартни задачи по математика. Алгебра: Учебник. помагало за ученици 7-11 клас. Челябинск: "Взгляд", 2004 г.
- Допълнителни глави към курса по математика за 10. клас за избираемите учебни часове: Помагало за ученици / Съст. ЗАД. евнух. М.: Образование, 1979.
- Еровенко В.А., О.В. Михаскова О.В. Методическият принцип на Окам, използвайки примера на функциите на целите и дробните части на число // Математика в училище. 2003. № 3. С.58-66.
7. Кирзимов В. Решение на уравнения и неравенства, съдържащи цяло число и
Дробна част от число // Математика. 2002.№30. стр. 26-28.
8. Shreiner A.A. „Задачи на регионални олимпиади по математика
Новосибирска област". Новосибирск 2000 г.
9. Справочник “Математика”, Москва “АСТ-ПРЕС” 1997г.
10. Райхмист Р.Б. „Графики на функции. Задачи и упражнения“. Москва.
“Училище – преса” 1997г.
11. Мордкович А.Г., Семенов П.В. и др. „Алгебра и началото на анализа. 10
Клас. Част 2. Проблемна книга. Ниво на профил" Смоленск
"Мнемозина" 2007 г.
y=b(bZ)
y=b(bZ)
Йохан Гаус
Адриен Лежандре
Математически игри и забавления
Любими
Редактор Копилова A.N.
техн. Редактор Мурашова Н.Я.
Коректор Secheiko L.O.
Предаден за набор на 26.09.2003г. Подписан за печат на 14 декември 2003 г. Формат 34×103¼. Phys. фурна л. 8,375. Условно фурна л. 13.74. Уч. изд. л. 12,88. Тираж 200 000 бр. Поръчка № 279. Цена на книгата 50 рубли.
Доморяд А.П.
Математически игри и забавления. Любими. – Волгоград: VSPU, 2003, - 20 с.
Книгата представя избрани задачи от монографията на Доморяд А.П. „Математически игри и развлечения“, издадена през 1961 г. от Държавното издателство за физико-математическа литература в Москва.
ISBN 5-09-001292-X BBK 22.1я2я72
© Издателство ВГПУ, 2003
Определяне на планираното число с помощта на три таблици
Разпределете числата от 1 до 60 в един ред във всяка от трите таблици, така че в първата таблица да стоят в три колони по двадесет числа, във втората - в четири колони по 15 числа, а в третата - в пет колони с по 12 числа всяка (вижте фиг. 1), лесно е бързо да се определи числото N (N≤), замислено от някого, ако числата α, β, γ на колоните, съдържащи замисленото число в 1-ва, 2-ра и 3-ти са посочени в таблиците: N ще бъде равно на остатъка от деленето на числото 40α+45β+36γ на 60 или сумата (40α+45β+36γ) по модул 60. Например, с α=3, β=2, γ=1:
40α+45β+36γ=0+30+36=6(mod60), т.е. N=6
| Ι | II | III |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ |
| аз | II | III | IV |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| аз | II | III | IV | V |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
| ▪ | ▪ | ▪ | ▪ | ▪ |
Фиг. 1
Подобен въпрос може да възникне за числата до 420, поставени в четири таблици с три, четири, пет и седем колони: ако α, β, γ са номерата на колоните, в които се появява желаното число, тогава то е равно на остатък от деленето на числото 280α+ 105β+336+120δ на 420.
Тения
Игра наречена тения се играе на дъска с тридесет и три полета.
Такава дъска може лесно да се получи, като покриете шахматната дъска с лист картон с кръстообразен изрез.
На фигурата всяка клетка е обозначена с двойка числа, указващи номерата на хоризонталните и вертикалните редове, в пресечната точка на които се намира клетката. В началото на играта всички клетки, с изключение на една, са заети от пулове.
Изисква се премахване на 31 пула и е посочена празна „начална“ клетка ( а,б) и „окончателен“ ( c,d), върху който трябва да се постави пулът, оцелял в края на играта. Правилата на играта са
са: всеки пул може да бъде изваден от дъската, ако до него (в хоризонтална или вертикална посока) има пул от едната страна („премахване“), а от другата страна има празно поле, на което „премахване“ Пулът трябва да бъде прехвърлен едновременно.
От теорията на игрите следва, че ще има решение тогава и само ако a c(mod3) и b d(mod3).
Нека дадем пример за задача, в която клетка (44) е едновременно начална и крайна клетка.
- 64-44
- 56-54
- 44-64
- 52-54
- 73-53
- 75-73
- 43-63
- 73-53
- 54-52
- 35-55
- 65-45
- 15-35
- 45-25
- 37-35
- 57-37
- 34-36
- 37-35
- 25-45
- 46-44
- 23-43
- 31-33
- 43-23
- 51-31
- 52-32
- 31-33
- 14-34
- 34-32
- 13-33
- 32-34
- 34-54
- 64-44
Тук, в записа на всеки ход, номерата на оригиналния пул са посочени за "премахващия" пул
Клетки и номера на клетката, на която е поставен (в този случай пулът се премахва от дъската,
стоящ на междинен квадрат)
Опитайте да премахнете 31 пула:
а) Начална клетка (5,7) и крайна клетка (2,4);
б) Начална клетка (5,5) и крайна клетка (5,2).
Събиране и изваждане вместо умножение
Преди изобретяването на логаритмичните таблици, за улесняване на умножението на многоцифрени числа, т.нар простасферен таблици (от гръцките думи "aphairesis" - отнемане), които са таблици на стойностите на функциите
За естествени стойности на Z. Тъй като за a и b са цели числа (числата a+b и a-b са или справедливи, или и двете странни; в последния случай дробните части на y и са идентични), тогава умножаването на a по b намалява дефиницията на a+b и a-b и накрая разликите на числата 
,заети маси.
За да умножите три числа, можете да използвате идентичността
от което следва, че ако имате таблица с функционални стойности, изчисляването на произведението abc може да се сведе до определяне на числата a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a и запомнете - използвайки таблицата - дясната страна на равенството (*).
Нека дадем за пример такава таблица за .
Таблицата показва: големи числа – стойности и малки числа – значение к, къде
| ЕДИНИЦИ | |||||||||||
| ДЕСЕТКИ | 1 3 | 2 16 | 5 5 | 9 0 | 14 7 | 21 8 | 30 9 | ||||
| 55 11 | 72 0 | 91 13 | 114 8 | 140 15 | 170 16 | 204 17 | 243 0 | 285 19 | |||
| 333 8 | 385 21 | 443 16 | 506 23 | 576 0 | 651 1 | 732 8 | 820 3 | 914 16 | 1016 5 |
Не е трудно, като използвате формулата (*) и таблицата, да получите:
9·9·9=820 3 – 30 9 – 30 9 – 30 9 =297,
17 8 4 = 1016 5 –385 21 – 91 13 + 5 5 = 544 (Проверете!!)
Функция [x] (цяла част от x)
Функцията [x] е равна на най-голямото цяло число, което не превишава x (x е всяко реално число, например:).
| |
Фигура 2 показва графика на тази функция, като левият край на всеки от хоризонталните сегменти принадлежи на графиката (удебелени точки), а десният край не.
от диагоналите на квадрат са равни на едно и също число 
Ако само сумите на числата във всяка хоризонтала и вертикала са еднакви, тогава се нарича квадрат полумагически.
Магическият 4-квадрат е кръстен на Дюрер, математик и художник от 16 век, който изобразява квадрата в известната картина „Меланхолия“.
Между другото, двете долни средни числа на този квадрат образуват числото 1514 - датата на създаване на картината.
Има осем магически квадрата с девет клеткиот които са огледална картинаедин друг са показани на фигурата; останалите шест могат да бъдат получени от тези квадрати, като ги завъртите около центъра на 90,180,270.
Цели на урока:запознават учениците с понятието цяло число и дробна част от числото; формулират и доказват някои свойства на цялата част от числото; запознава учениците с широк спектър от употреби на целите и дробните части на числото; подобряват способността за решаване на уравнения и системи от уравнения, съдържащи цели и дробни части от число.
Оборудване:плакат „Който прави и мисли сам от малък, по-късно става по-надежден, по-силен, по-умен“ (В. Шукшин).
Проектор, магнитна дъска, справочник по алгебра.
План на урока.
- Организиране на времето.
- Проверка на домашните.
- Учене на нов материал.
- Решаване на задачи по темата.
- Обобщение на урока.
- Домашна работа.
По време на часовете
I. Организационен момент:съобщение за темата на урока; поставяне на целта на урока; съобщение за етапите на урока.
II. Проверка на домашните.
Отговорете на въпросите на учениците за домашна работа. Решете проблеми, които са причинили затруднения при писане на домашна работа.
III. Учене на нов материал.
В много задачи по алгебра трябва да вземете предвид най-голямото цяло число, което не надвишава дадено число. Такова цяло число е получило специално наименование „цяла част от число“.
1. Определение.
Цялата част на реално число x е най-голямото цяло число, което не превишава x. Цялата част от числото x се обозначава със символа [x] или E(x) (от френския Entier “antier” ─ “цяло”). Например = 5, [π ] = 3,
От дефиницията следва, че [x] ≤ x, тъй като цялата част не превишава x.
От друга страна, защото [x] е най-голямото цяло число, което удовлетворява неравенството, тогава [x] +1>x. Следователно [x] е цяло число, определено от неравенствата [x] ≤ x< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.
Числото α = υ ─ [x] се нарича дробна част от числото x и се обозначава (x). Тогава имаме: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.
2. Някои свойства на антие.
1. Ако Z е цяло число, тогава = [x] + Z.
2. За всякакви реални числа x и y: ≥ [x] + [y].
Доказателство: тъй като x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.
Ако 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].
Ако 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и
= [x] + [y]+1>[x] + [y].
Това свойство се простира до всеки краен брой термини:
≥ + + + … + .
Способността да се намери цялата част от количеството е много важна при приблизителните изчисления. Всъщност, ако знаем как да намерим цялата част от стойността x, тогава, приемайки [x] или [x]+1 като приблизителна стойност на стойността x, ще направим грешка, чиято стойност не е по-голяма от единица , от
≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.
Освен това стойността на цялата част от количеството ви позволява да намерите стойността му с точност до 0,5. За тази стойност можете да вземете [x] + 0,5.
Способността да намерите цялата част от число ви позволява да определите това число с всякаква степен на точност. Наистина, тъй като
≤ Nx ≤ +1, тогава
За по-голямо N грешката ще бъде малка.
IV. Разрешаване на проблем.
(Получават се чрез извличане на корени с точност до 0,1 с недостиг и излишък). Събирайки тези неравенства, получаваме
1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.
Тези. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.
Имайте предвид, че числото 3,25 се различава от x с не повече от 0,15.
Задача 2.Намерете най-малкото естествено число m, за което
Проверката показва, че за k = 1 и k = 2 полученото неравенство не е валидно за нито едно естествено m, а за k = 3 има решение m = 1.
Това означава, че необходимият брой е 11.
Отговор: 11.
Antje в Eqs.
Решаването на уравнения с променлива под знака „цяла част“ обикновено се свежда до решаване на неравенства или системи от неравенства.
Задача 3.Решете уравнението:
Задача 4.Решете уравнението
По дефиницията на цялата част полученото уравнение е еквивалентно на двойното неравенство
Задача 5.Решете уравнението 
Решение: ако две числа имат една и съща цяла част, тогава тяхната разлика в абсолютната стойност е по-малка от 1 и следователно неравенството следва от това уравнение
И следователно, първо, х≥ 0, и второ, в сумата в средата на полученото двойно неравенство всички членове, започвайки от третия, са равни на 0, така че х < 7 .
Тъй като x е цяло число, остава само да проверим стойностите от 0 до 6. Решенията на уравнението са числата 0,4 и 5.
в) маркиране.
VI. Домашна работа.
Допълнителна задача (по желание).
Някой измери дължината и ширината на правоъгълник. Той умножи цялата част от дължината по цялата част от ширината и получи 48; умножи цялата част от дължината по дробната част от ширината и получи 3,2; умножи дробната част от дължината по цялата част от ширината и получи 1,5. Определете площта на правоъгълника.
Издателство „Школник“.
Волгоград, 2003
А.П.Доморяд
ББК 22.1я2я72
Доморяд Александър Петрович
Математически игри и забавления
Любими
Редактор Копилова A.N.
техн. редактор Мурашова Н.Я.
Коректор Secheiko L.O.
Предаден за набор на 26.09.2003г. Подписан за печат на 14 декември 2003 г. Формат 84x 108 ¼.Phys.print.l. 8,375. Условно пир.л. 13.74. Академик-ред.л. 12.82. Тираж 200 000 бр. Заповед № 979. Цената на книгата е 50 рубли.
Доморяд А.П.
Математически игри и забавления: Любими: VSPU, 2003. - 20 с.
Книгата представя избрани задачи от монографията на Доморяд А.П. „Математически игри и развлечения“, издадена през 1961 г. от държавното издателство за физико-математическа литература в Москва.
ISBN5-09-001292-Х ББК22.1я2я72
© Издателство "ВГПУ", 2003 г
Предговор 6
Определяне на планираното число с помощта на три таблици 7
Пасианс 8
Събиране и изваждане вместо умножение 11
Функция [x] (цяла част от x) 12
Фигури от квадратни части 14
Магически квадрати 16
Приложение 17
Предговор
От разнообразния материал, обединен от различни автори под общото наименование математически игри и забавления, могат да се разграничат няколко групи „класически забавления“, които отдавна привличат вниманието на математиците:
Развлечения, свързани с търсене на оригинални решения на проблеми, които позволяват почти неизчерпаемо разнообразие от решения; Обикновено те се интересуват от установяване на броя на решенията, разработване на методи, които дават големи групи от решения или решения, които отговарят на някои специални изисквания.
Математически игри, т.е. игри, в които два „хода“, играещи един до друг, направени последователно в съответствие с определени правила, се стремят към определена цел и се оказва възможно всяка начална позиция да предопредели победителя и да посочи как - с всякакви ходове на противникът - той може да постигне победа.
„Игри на един човек“, т.е. забавление, при което чрез поредица от операции, извършвани от един играч в съответствие с тези правила, е необходимо да се постигне определена, предварително определена цел; тук те се интересуват от условията, при които целта може да бъде постигната, и търсят най-малкия брой ходове, необходими за постигането й.
Всеки може да се опита, като прояви постоянство и изобретателност, да получи интересни (свои!) резултати.
Ако такова класическо забавление, като например съставянето на „магически квадрати“, може да се хареса на сравнително тесен кръг от хора, тогава съставянето например на симетрични фигури от детайлите на изрязан квадрат, търсенето на числови любопитства и т.н., без да се изисква всяко математическо обучение, може да достави удоволствие както на любителите, така и на нелюбителите на математиката. Същото може да се каже и за развлеченията, които изискват подготовка в 9-11 клас на гимназията.
Много забавления и дори отделни задачи могат да предложат теми за самостоятелно изследване на любителите на математиката.
Като цяло книгата е предназначена за читатели с математическа подготовка в 10-11 клас, въпреки че по-голямата част от материала е достъпен за деветокласници, а някои въпроси са достъпни дори за ученици от 5-8 клас.
Много параграфи могат да се използват от учителите по математика за организиране на извънкласни дейности.
Различните категории читатели могат да използват тази книга по различни начини: хората, които не се интересуват от математика, могат да се запознаят с любопитните свойства на числата, цифрите и т.н., без да се задълбочават в обосновката на игрите и забавленията, като приемат отделни твърдения на вяра; Съветваме любителите на математиката да изучават отделни части от книгата с молив и хартия, като решават предложените задачи и отговарят на отделни въпроси, предложени за размисъл.
Определяне на планираното число с помощта на три таблици
Като поставите числата от 1 до 60 в ред във всяка от трите таблици, така че в първата таблица да са в три колони по двадесет числа, във втората - в четири колони по 15 числа, а в третата - пет колони. от по 12 числа всяко (вижте фиг. 1), лесно е бързо да се определи числото N (N≤60), замислено от някого, ако числата α, β, γ на колоните, съдържащи замисленото число в 1-ва, 2-ра и 3-ти са посочени таблици: N ще бъде точно остатъкът от деленето на числото 40α+45β+36γ на 60 или, с други думи, N ще бъде точно по-малкото положително число, сравнимо със сумата (40α+45β+36γ) по модул 60. Например при α=3, β =2, γ=1:40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), т.е. N=6.
| аз | II | III | IV | V |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
| 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| аз | II | III |
|||
| 1 | 2 | 3 |
|||
| 4 | 5 | 6 |
|||
| 7 | 8 | 9 |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| . | . | . |
|||
| 55 | 56 | 57 |
|||
| 58 | 59 | 60 |
|||
| аз | II | III | IV |
||
| 1 | 2 | 3 | 4 |
||
| 5 | 6 | 7 | 8 |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| . | . | . | . |
||
| 53 | 54 | 55 | 56 |
||
| 57 | 58 | 59 | 60 |
||
Подобен въпрос може да бъде решен за числа до 420, поставени в четири таблици с три, четири, пет и седем колони: ако - номерата на колоните, в които е желаното число, то то е равно на остатъка след разделянето на число 280α+105β+336γ+120δ на 420.
Тения
| 737773 | 747774 | 757775 | ||||
| 636663 | 642264 | 656665 | ||||
| 515551 | 555252 | 535553 | 544554 | 554455 | 555556 | 555557 |
| 414441 | 424442 | 434443 | 444444 | 454445 | 464446 | 474447 |
| 313331 | 323332 | 333333 | 343334 | 353335 | 363336 | 373337 |
| 232223 | 242224 | 252225 | ||||
| 131113 | 141114 | 111115 |
Игра наречена тения се играе на дъска с тридесет и три полета. Тази дъска може лесно да се получи, като покриете шахматната дъска с лист картон с кръстообразен изрез.
Полезно и вълнуващо забавление включва съставянето на фигури от седем части на квадрат, изрязани в съответствие с фиг. 3, (а), като при съставянето на дадените фигури трябва да се използват всичките седем части, като те трябва да се застъпват, дори частично, с всяка друго.
На фиг. Фигура 4 показва симетрични фигури 1. Опитайте се да съберете тези фигури от части от квадрата, показан на фиг. 3, (а).
(а) (б)
Фиг.3
Ориз. 4
От същите рисунки можете да създадете много други фигури (например изображения на различни предмети, животни и др.).
По-рядко срещана версия на играта е да се правят фигури от части от квадрата, показан на фиг. 3, (b).
Магически квадрати
магически квадрат"н 2 -квадрат"нека наречем квадрат, разделен на н 2 клетки, запълнени първи н 2 естествени числа, така че сборовете на числата във всеки хоризонтален или вертикален ред, както и на всеки от диагоналите на квадрата, да са равни на едно и също числоАко само сумите на числата във всеки хоризонтален и вертикален ред са еднакви, тогава се извиква квадрат полумагически.
функция [ х] е равно на най-голямото цяло число, по-голямо от х (х– всяко реално число). Например:
функция [ х] има „точки на прекъсване“: за целочислени стойности хто „се променя рязко“.
Фигура 2 показва графика на тази функция, като левият край на всеки от хоризонталните сегменти принадлежи на графиката (удебелени точки), а десният край не.
Опитайте се да докажете, че ако каноничното разлагане на число н! има тогава 
Подобни формули важат за
Знаейки това, лесно е да определите например с колко нули завършва числото 100! Наистина, нека бъде. Тогава
И 
.
Следователно 100! Разделено на, т.е. завършва с двадесет и четири нули.
Фигури от квадратни парчета
Полезно и вълнуващо забавление включва съставянето на фигури от седем части на квадрат, изрязани в съответствие с фиг. 3, (а), като при съставянето на дадените фигури трябва да се използват всичките седем части, като те трябва да се застъпват, дори частично, с всяка друго.
На фиг. Фигура 4 показва симетрични фигури 1. Опитайте се да съберете тези фигури от части от квадрата, показан на фиг. 3, (а).
От същите рисунки можете да създадете много други фигури (например изображения на различни предмети, животни и др.).
По-рядко срещана версия на играта е да се правят фигури от части от квадрата, показан на фиг. 3, (b).
Магически квадрати
магически квадрат"н 2 -квадрат"нека наречем квадрат, разделен на н 2 клетки, запълнени първи н 2 естествени числа, така че сборовете на числата във всеки хоризонтален или вертикален ред, както и на всеки от диагоналите на квадрата, да са равни на едно и също число
Ако само сумите на числата във всеки хоризонтален и вертикален ред са еднакви, тогава се извиква квадрат полумагически.
Магическият квадрат 4 2 е кръстен на Дюрер, математик и художник от 16-ти век, който изобразява квадрат в известната картина „Меланхолия“.
Между другото, двете долни средни числа на този квадрат образуват числото 1514, датата на създаване на картината.
Има само осем магически квадрата с девет клетки. Два от тях, които са огледални образи един на друг, са показани на фигурата; останалите шест могат да бъдат получени от тези квадрати, като ги завъртите около центъра на 90°, 180°, 270°
2. Не е трудно да се изследва напълно въпросът за магическите квадрати за n=3
Всъщност S 3 = 15 и има само осем начина да се представи числото 15 като сбор от различни числа (от едно до девет):
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
Обърнете внимание, че всяко от числата 1, 3, 7, 9 е включено в две, а всяко от числата 2, 4, 6, 8 е включено в три посочени суми и само числото 5 е включено в четири суми. От друга страна, от осем реда с три клетки: три хоризонтални, три вертикални и два диагонални, три реда минават през всяка от ъгловите клетки на квадрата, четири през централната клетка и два реда през всяка от останалите клетки . Следователно числото 5 трябва задължително да е в централната клетка, числата 2, 4, 6, 8 - в ъгловите клетки, а числата 1, 3, 7, 9 - в останалите клетки на квадрата.
Подобни статии
