Класът на ирационалните функции е много широк, така че просто не може да има универсален начин за тяхното интегриране. В тази статия ще се опитаме да идентифицираме най-характерните типове ирационални интегрални функции и да свържем метода на интегриране с тях.

Има случаи, когато е подходящо да се използва методът на абониране на диференциалния знак. Например при намиране на неопределени интеграли от формата, където стр– рационална дроб.

Пример.

Намерете неопределения интеграл .

Решение.

Не е трудно да го забележите. Затова го поставяме под знака за диференциал и използваме таблицата на антипроизводните:

Отговор:

.

13. Дробно линейно заместване

Интеграли от вида, където a, b, c, d са реални числа, a, b,..., d, g са естествени числа, се редуцират до интеграли на рационална функция чрез заместване, където K е най-малкото общо кратно на знаменателите на дробите

Всъщност от замяната следва, че

т.е. x и dx се изразяват чрез рационални функции на t. Освен това всяка степен на дробта се изразява чрез рационална функцияот т.

Пример 33.4. Намерете интеграла

Решение: Най-малкото общо кратно на знаменателите на дробите 2/3 и 1/2 е 6.

Следователно, поставяме x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Следователно,

Пример 33.5.Посочете заместването за намиране на интеграли:

Решение: За I 1 заместване x=t 2, за I 2 заместване

14. Тригонометрично заместване

Интегралите от тип се свеждат до интеграли на функции, които рационално зависят от тригонометрични функции, като се използват следните тригонометрични замествания: x = a sint за първия интеграл; x=a tgt за втория интеграл;

Пример 33.6.Намерете интеграла

Решение: Нека поставим x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Тогава

Тук интегралната функция е рационална функция по отношение на x и Чрез избиране на пълен квадрат под радикала и извършване на заместване, интегралите от посочения тип се редуцират до интеграли от вече разгледания тип, т.е. до интеграли от типа Тези интеграли могат да бъдат изчислени с помощта на подходящи тригонометрични замествания.

Пример 33.7.Намерете интеграла

Решение: Тъй като x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, тогава x+1=t, x=t-1, dx=dt. Ето защо Да сложим

Забележка: Интегрален тип Целесъобразно е да се намери чрез заместването x=1/t.

15. Определен интеграл

Нека една функция е дефинирана на сегмент и има първоизводна върху него. Разликата се нарича определен интеграл функции по протежение на отсечката и означават. Така,

Разликата е написана във формуляра, тогава . Извикват се номера граници на интеграция .

Например, една от първоизводните за функция. Ето защо

16 . Ако c е постоянно число и функцията ƒ(x) е интегрируема върху , тогава

това означава, че постоянният фактор c може да бъде изваден от знака на определения интеграл.

▼Нека съставим интегралната сума за функцията с ƒ(x). Ние имаме:

Тогава следва, че функцията c ƒ(x) е интегрируема върху [a; b] и формула (38.1) е валидна.▲

2. Ако функциите ƒ 1 (x) и ƒ 2 (x) са интегрируеми върху [a;b], то интегрируеми върху [a; b] тяхната сума u

тоест интегралът на сбора е равен на сбора на интегралите.

▼
▲

Свойство 2 се прилага към сумата от всеки краен брой членове.

3.

Това свойство може да се приеме по дефиниция. Това свойство се потвърждава и от формулата на Нютон-Лайбниц.

4. Ако функцията ƒ(x) е интегрируема върху [a; б] и а< с < b, то

това означава, че интегралът върху целия сегмент е равен на сумата от интегралите върху частите на този сегмент. Това свойство се нарича адитивност на определен интеграл (или свойството на адитивност).

Когато разделяме сегмента [a;b] на части, включваме точка c в броя на точките на разделяне (това може да стане поради независимостта на границата на интегралната сума от метода на разделяне на сегмента [a;b] на части). Ако c = x m, тогава интегралната сума може да бъде разделена на две суми:

Всяка от записаните суми е интегрална, съответно за отсечките [a; b], [a; s] и [s; b]. Преминавайки към границата в последното равенство при n → ∞ (λ → 0), получаваме равенство (38.3).

Свойство 4 е валидно за всяко местоположение на точки a, b, c (предполагаме, че функцията ƒ (x) е интегрируема върху по-големия от получените сегменти).

Така например, ако a< b < с, то

(използвани са свойства 4 и 3).

5. „Теорема за средните стойности.“ Ако функцията ƒ(x) е непрекъсната на интервала [a; b], тогава има тонка с є [a; b] такова, че

▼По формулата на Нютон-Лайбниц имаме

където F"(x) = ƒ(x). Прилагайки теоремата на Лагранж (теоремата за крайното нарастване на функция) към разликата F(b)-F(a), получаваме

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Свойство 5 („теорема за средната стойност“) за ƒ (x) ≥ 0 има проста геометричен смисъл: стойността на определения интеграл е равна за някои c є (a; b) на площта на правоъгълник с височина ƒ (c) и основа b-a (виж фиг. 170). Номер

се нарича средна стойност на функцията ƒ(x) на интервала [a; b].

6. Ако функцията ƒ (x) запази знака си върху сегмента [a; b], където a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼По „теоремата за средната стойност“ (свойство 5)

където c є [a; b]. И тъй като ƒ(x) ≥ 0 за всички x О [a; b], тогава

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Следователно ƒ(с) (b-а) ≥ 0, т.е. ▲

7. Неравенство между непрекъснати функции на интервала [a; b], (а

▼Тъй като ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, тогава когато a< b, согласно свойству 6, имеем

Или, според свойство 2,

Обърнете внимание, че е невъзможно да се разграничат неравенствата.

8. Оценка на интеграла. Ако m и M са съответно най-малката и най-голямата стойност на функцията y = ƒ (x) на сегмента [a; b], (а< b), то

▼Тъй като за всяко x є [a;b] имаме m≤ƒ(x)≤М, то съгласно свойство 7 имаме

Прилагайки свойство 5 към екстремните интеграли, получаваме

▲

Ако ƒ(x)≥0, тогава свойство 8 се илюстрира геометрично: площта на криволинейния трапец е затворена между областите на правоъгълници, чиято основа е , и чиито височини са m и M (виж фиг. 171).

9. Модулът на определен интеграл не надвишава интеграла на модула на интегранта:

▼Прилагайки свойство 7 към очевидните неравенства -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, получаваме

Следва, че

▲

10. Производната на определен интеграл по отношение на променлива горна граница е равна на интегралната функция, в която интегралната променлива е заменена с тази граница, т.е.

Изчисляването на площта на фигура е един от най-трудните проблеми в теорията на площта. В училищния курс по геометрия се научихме да намираме областите на основните геометрични фигури, например кръг, триъгълник, ромб и др. Много по-често обаче трябва да се занимавате с изчисляване на площите на по-сложни фигури. При решаването на такива задачи трябва да се прибягва до интегрално смятане.

В тази статия ще разгледаме проблема с изчисляването на площта на криволинейния трапец и ще подходим към него в геометричен смисъл. Това ще ни позволи да открием пряката връзка между определения интеграл и площта на криволинейния трапец.

Нека функцията y = f(x)непрекъснат на сегмента и не променя знака върху него (т.е. неотрицателен или неположителен). Фигура Ж, ограничени с линии y = f(x), y = 0, x = aИ x = b, Наречен извит трапец. Нека означим неговата площ S(G).

Нека подходим към проблема за изчисляване на площта на криволинейния трапец, както следва. В раздела за квадратни фигури разбрахме, че кривият трапец е квадратна фигура. Ако разделите сегмента На нчасти с точки за обозначаване и изберете точки, така че за , тогава цифрите, съответстващи на долната и горната сума на Дарбу, могат да се считат за включени Пи изчерпателна Qмногоъгълни форми за Ж.

По този начин, дори и с увеличаване на броя на разделителните точки н, стигаме до неравенството , където е произволно малко положително число, и сИ С– долна и горна сума на Дарбу за дадено разбиване на отсечката . В друга публикация . Следователно, обръщайки се към концепцията за определен интеграл на Дарбу, получаваме .

Последното равенство означава, че определен интеграл за непрекъсната и неотрицателна функция y = f(x)представлява в геометричен смисъл площта на съответния извит трапец. Ето какво геометричен смисъл на определен интеграл.

Тоест, като изчислим определения интеграл, ще намерим площта на фигурата, ограничена от линиите y = f(x), y = 0, x = aИ x = b.

Коментирайте.

Ако функцията y = f(x)неположителен за сегмента , тогава площта на извит трапец може да се намери като .

Пример.

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии .

Решение.

Нека изградим фигура на равнина: права линия y = 0съвпада с оста x, прави линии х = -2И х = 3са успоредни на ординатната ос, а кривата може да се построи с помощта на геометрични трансформации на графиката на функцията.

По този начин трябва да намерим площта на извит трапец. Геометричният смисъл на определен интеграл ни показва, че желаната площ се изразява с определен интеграл. следователно . Този определен интеграл може да се изчисли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

Интеграли от формата (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - цели числа). В тези интеграли интегралната функция е рационална по отношение на променливата за интегриране и радикалите на x. Те се изчисляват чрез заместване на x=t s, където s е общият знаменател на дробите, ... При такава замяна на променливата всички отношения = r 1, = r 2, ... са цели числа, т.е. интегралът е редуцирана до рационална функция на променливата t:

Интеграли от формата (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - цели числа). Тези интеграли са чрез заместване:

където s е общият знаменател на дробите, ..., се свеждат до рационална функция на променливата t.

Интеграли от формата За да изчислите интеграла I 1, изберете пълен квадрат под радикалния знак:

и заместването се прилага:

В резултат на това този интеграл се свежда до табличен:

В числителя на интеграла I 2 диференциалът на израза под радикалния знак е подчертан и този интеграл е представен като сума от два интеграла:

където I 1 е интегралът, изчислен по-горе.

Изчисляването на интеграла I 3 се свежда до изчисляването на интеграла I 1 чрез заместване:

Интеграл на формата Специални случаи на изчисляване на интеграли от този тип са разгледани в предходния параграф. Има няколко различни метода за тяхното изчисляване. Нека разгледаме една от тези техники, базирана на използването на тригонометрични замествания.

Квадратният тричлен ax 2 +bx+c чрез изолиране на пълния квадрат и промяна на променливата може да бъде представен във формата По този начин е достатъчно да се ограничим до разглеждането на три вида интеграли:

Интеграл чрез заместване

u=ksint (или u=kcost)

се свежда до интеграла на рационална функция по отношение на sint и cost.

Интеграли от вида (m, n, p є Q, a, b є R). Разглежданите интеграли, наречени интеграли на диференциален бином, се изразяват чрез елементарни функции само в следните три случая:

1) ако p є Z, тогава се прилага заместването:

където s е общият знаменател на дробите m и n;

2) ако Z, тогава се използва заместването:

където s е знаменателят на дробта

3) ако Z, тогава се прилага заместването:

където s е знаменателят на дробта

Няма универсален начин за решаване на ирационални уравнения, тъй като техният клас се различава по количество. Статията ще подчертае характерни типове уравнения със заместване, използвайки метода на интегриране.

За да се използва методът на директно интегриране, е необходимо да се изчислят неопределени интеграли от вида ∫ k x + b p d x , където p е рационална дроб, k и b са реални коефициенти.

Пример 1

Намерете и изчислете първопроизводните на функцията y = 1 3 x - 1 3 .

Решение

Съгласно правилото за интегриране е необходимо да се приложи формулата ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, а таблицата с първоизводни показва, че има готово решение на тази функция . Разбираме това

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Отговор:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Има случаи, когато е възможно да се използва методът на субсумиране на диференциалния знак. Това се решава чрез принципа на намиране на неопределени интеграли от формата ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , когато стойността на p се счита за рационална дроб.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Решение

Обърнете внимание, че d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. След това е необходимо да включим диференциалния знак, като използваме таблици с първоизводни. Откриваме, че

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Отговор:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Решаването на неопределени интеграли включва формула от вида ∫ d x x 2 + p x + q, където p и q са реални коефициенти. След това трябва да изберете пълен квадрат от под корена. Разбираме това

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Прилагайки формулата, намираща се в таблицата на неопределените интеграли, получаваме:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

След това се изчислява интегралът:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Пример 3

Намерете неопределения интеграл от вида ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Решение

За да изчислите, трябва да извадите числото 2 и да го поставите пред радикала:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Изберете пълен квадрат в радикален израз. Разбираме това

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Тогава получаваме неопределен интеграл от вида 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + С

Отговор: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Интегрирането на ирационални функции се извършва по подобен начин. Приложимо за функции от вида y = 1 - x 2 + p x + q.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Решение

Първо трябва да извлечете квадрата на знаменателя на израза от под корена.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Интегралът на таблицата има формата ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, тогава получаваме, че ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Отговор:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Процесът на намиране на противопроизводни ирационални функции под формата y = M x + N x 2 + p x + q, където съществуващите M, N, p, q са реални коефициенти и са подобни на интегрирането на прости дроби от трети тип . Тази трансформация има няколко етапа:

сумиране на диференциала под корена, изолиране на пълния квадрат на израза под корена, използване на таблични формули.

Пример 5

Намерете първопроизводните на функцията y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Решение

От условието имаме, че d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x и x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, тогава (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Нека изчислим интеграла: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Отговор:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Търсенето на неопределени интеграли на функцията ∫ x m (a + b x n) p d x се извършва чрез метода на заместване.

За да се реши, е необходимо да се въведат нови променливи:

1. Когато p е цяло число, тогава се разглежда x = z N и N е общият знаменател за m, n.
2. Когато m + 1 n е цяло число, тогава a + b x n = z N и N е знаменателят на p.
3. Когато m + 1 n + p е цяло число, тогава се изисква променливата a x - n + b = z N, а N е знаменателят на числото p.

Пример 6

Намерете определения интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Получаваме, че ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . От това следва, че m = - 1, n = 1, p = - 1 2, тогава m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 е цяло число. Можете да въведете нова променлива от формата - 9 + 2 x = z 2. Необходимо е да се изрази x чрез z. Като изход получаваме това

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Необходимо е да се направи заместване в дадения интеграл. Ние имаме това

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Отговор:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

За опростяване на решението на ирационални уравнения се използват основни методи за интегриране.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Дадени са основните методи за интегриране на ирационални функции (корени). Те включват: интегриране на линейна дробна ирационалност, диференциален бином, интеграли с корен квадратен от квадратен трином. Дадени са тригонометрични замествания и замествания на Ойлер. Разглеждат се някои елиптични интеграли, изразени чрез елементарни функции.

Съдържание

Интеграли от диференциални биноми

Интегралите от диференциалните биноми имат формата:
,
където m, n, p са рационални числа, a, b са реални числа.
Такива интеграли се свеждат до интеграли на рационални функции в три случая.

1) Ако p е цяло число. Заместване x = t N, където N е общият знаменател на дробите m и n.
2) Ако - цяло число. Заместване a x n + b = t M, където M е знаменателят на числото p.
3) Ако - цяло число. Заместване a + b x - n = t M, където M е знаменателят на числото p.

В други случаи такива интеграли не се изразяват чрез елементарни функции.

Понякога такива интеграли могат да бъдат опростени с помощта на формули за редукция:
;
.

Интеграли, съдържащи квадратен корен от квадратен тричлен

Такива интеграли имат формата:
,
където R е рационална функция. За всеки такъв интеграл има няколко метода за решаването му.
1) Използването на трансформации води до по-прости интеграли.
2) Приложете тригонометрични или хиперболични замествания.
3) Приложете замествания на Ойлер.

Нека разгледаме тези методи по-подробно.

1) Трансформация на функцията под интегранд

Прилагайки формулата и извършвайки алгебрични трансформации, намаляваме функцията интегранд до формата:
,
където φ(x), ω(x) са рационални функции.

Тип I

Интеграл на формата:
,
където P n (x) е полином от степен n.

Такива интеграли се намират по метода на неопределените коефициенти, като се използва идентичността:

.
Диференцирайки това уравнение и приравнявайки лявата и дясната страна, намираме коефициентите A i.

Тип II

Интеграл на формата:
,
където P m (x) е полином от степен m.

Заместване t = (x - α) -1този интеграл се свежда до предишния тип. Ако m ≥ n, тогава дробта трябва да има цяло число.

III тип

Тук правим заместването:
.
След което интегралът ще приеме формата:
.
След това константите α, β трябва да бъдат избрани така, че коефициентите на t в знаменателя да станат нула:
B = 0, B 1 = 0.
Тогава интегралът се разлага на сумата от интеграли от два вида:
,
,
които са интегрирани чрез замествания:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Тригонометрични и хиперболични замествания

За интеграли от вида , a > 0 ,
имаме три основни замествания:
;
;
;

За интеграли, a > 0 ,
имаме следните замествания:
;
;
;

И накрая, за интегралите, a > 0 ,
заместванията са както следва:
;
;
;

3) Замествания на Ойлер

Освен това интегралите могат да бъдат редуцирани до интеграли на рационални функции на едно от трите замествания на Ойлер:
, за a > 0;
, за c > 0;
, където x 1 е коренът на уравнението a x 2 + b x + c = 0. Ако това уравнение има реални корени.

Елиптични интеграли

В заключение, разгледайте интегралите от формата:
,
където R е рационална функция, . Такива интеграли се наричат ​​елиптични. Като цяло те не се изразяват чрез елементарни функции. Има обаче случаи, когато има връзки между коефициентите A, B, C, D, E, в които такива интеграли се изразяват чрез елементарни функции.

По-долу е даден пример, свързан с рефлексивни полиноми. Изчисляването на такива интеграли се извършва чрез замествания:
.

Пример

Изчислете интеграла:
.

Да направим замяна.

.
Тук при x > 0 (u > 0 ) вземете горния знак ′+ ′. При х< 0 (ф< 0 ) - нисък '- '.

.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.

Вижте също:

план:

1. Интегриране на прости рационални дроби.
2. Интегриране на някои ирационални функции.
3. Универсално тригонометрично заместване.

1. Интегриране на прости рационални дроби

Спомнете си, че функция на формата P(x)=a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…+ a n-1 x n + a n, Където , a o, a 1 ...a p –се наричат ​​постоянни коефициенти полином или рационална функция . Номер ПНаречен степен на полином .

Дробна рационална функциясе нарича функция, равна на отношението на два полинома, т.е. .

Нека разгледаме някои прости интеграли на дробни рационални функции:

1.1. Да се ​​намерят интеграли на формата (А - конст) ще използваме интеграли на някои сложни функции: = .

Пример 20.1.Намерете интеграла.

Решение.Нека използваме горната формула = . Получаваме това = .

1.2. Да се ​​намерят интеграли на формата (А - конст) ще използваме метода за избиране на пълен квадрат в знаменателя. В резултат на трансформациите първоначалният интеграл ще бъде намален до един от двата таблични интеграла: или .

Нека разгледаме изчисляването на такива интеграли, използвайки конкретен пример.

Пример 20.2.Намерете интеграла.

Решение.Нека се опитаме да изолираме пълния квадрат в знаменателя, т.е. стигна до формула (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2.

За това 4 хпредстави го като удвоен продукт 2∙2∙ х. Следователно, към израза х 2 + 4хза да получите пълен квадрат, трябва да добавите квадрата на числото две, т.е. 4: х 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 . x + 2) 2 извадете 4. Получаваме следната верига от трансформации:

x + 2 = И, Тогава . Да заместим ИИ dxв получения интеграл: = = . Нека използваме табличния интеграл: , Където А=3. Разберете това =. Нека заместим вместо това Иизразяване x+ 2:

Отговор: = .

1.3. Да се ​​намерят интеграли на формата (M, N - конст) ще използваме следното алгоритъм :

1. Изберете пълен квадрат в знаменателя.

2. Означаваме израза в скоби като нова променлива T.Ще намерим х, dxи ги сглобете с Tв оригиналния интеграл (получаваме интеграл, съдържащ само променливата T).

3. Разделяме получения интеграл на сумата от два интеграла, всеки от които се изчислява отделно: единият интеграл се решава чрез метода на заместване, вторият се редуцира до една от формулите или .

Пример 20.3.Намерете интеграла.

Решение. 1. Нека се опитаме да изолираме пълния квадрат в знаменателя . За това 6 хпредстави го като удвоен продукт 2∙3∙ х. След това към израза х 2 - 6хтрябва да добавите квадрата на числото три, т.е. номер 9: х 2 – 6х + 9 = (Х - 3) 2 . Но за да не се промени изразът в знаменателя, е необходимо от ( Х- 3) 2 извадете 9. Получаваме верига от трансформации:

2. Нека въведем следната замяна: let х-3=T(Означава , Х=t+ 3), тогава . Да заместим t, x, dxв интеграла:

3. Нека си представим получения интеграл като сбор от два интеграла:

Нека ги намерим отделно.

3.1 Първият интеграл се изчислява по метода на заместване. Нека означим знаменателя на дробта, тогава . Оттук. Да заместим ИИ дтв интеграла и го приведете във вида: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+C.Остава да се върнем към променливата х. От тогава ln|t 2+16|+C = ln|x 2 - 6х+25|+C.

3.2 Вторият интеграл се изчислява по формулата: (Където а= 4). Тогава = = .

3.3 Първоначалният интеграл е равен на сумата от интегралите, намерени в параграфи 3.1 и 3.2: = ln|x 2 - 6х+25|+ .

Отговор: =ln|x 2 - 6х+25|+ .

Методите за интегриране на други рационални функции се обсъждат в пълния курс на математическия анализ (виж, например, Pismenny D.T. Лекции по висша математика, част 1 - М.: Airis-press, 2006.).

1. Интегриране на някои ирационални функции.

Нека разгледаме намирането на неопределени интеграли на следните видове ирационални функции: и ( a,b,c – const).За да ги намерим, ще използваме метода за изолиране на пълен квадрат в ирационален израз. Тогава разглежданите интеграли могат да бъдат сведени до следните форми: ,

Нека да разгледаме намирането на интеграли на някои ирационални функции, използвайки конкретни примери.

Пример 20.4.Намерете интеграла.

Решение.Нека се опитаме да изолираме пълния квадрат в знаменателя . За това 2 хпредстави го като удвоен продукт 2∙1∙ х. След това към израза х 2 +2хтрябва да се добави квадрат на единица ( х 2 + 2х + 1 = (x + 1) 2) и извадете 1. Получаваме верига от трансформации:

Нека изчислим получения интеграл, използвайки метода на заместване. Да сложим x + 1 = И, Тогава . Да заместим и dx , Където А=4 . Нека заместим вместо това Иизразяване x+ 1:

Отговор: = .

Пример 20.5.Намерете интеграла.

Решение.Нека се опитаме да изолираме пълен квадрат под знака за корен . За това 8 хпредстави го като удвоен продукт 2∙4∙ х. След това към израза х 2 -8хтрябва да добави квадрат на четири ( х 2 - 8х + 16 = (Х - 4) 2) и го извадете. Получаваме верига от трансформации:

Нека изчислим получения интеграл, използвайки метода на заместване. Да сложим Х - 4 = И, Тогава . Да заместим и dxв получения интеграл: = . Нека използваме табличния интеграл: , Където А=3 . Нека заместим вместо това Иизразяване Х- 4:

Отговор: = .

1. Универсално тригонометрично заместване.

Ако искате да намерите неопределения интеграл на функция, съдържаща sinxИ cosx, които са свързани само с операциите събиране, изваждане, умножение или деление, тогава можете да използвате универсално тригонометрично заместване .

Същността на това заместване е, че sinxИ cosxможе да се изрази чрез тангенса на полуъгъла, както следва: , . Тогава, ако въведем заместването , тогава sinxИ cosxще се изрази чрез Tпо следния начин: , . Остава да изразя хпрез Tи намери dx.

Ако, тогава. Ще намерим dx: = .

Така че, за да приложите универсална замяна, достатъчно е да посочите sinxИ cosxпрез T(формулите са подчертани в рамка) и dxпишете като. В резултат на това под интегралния знак трябва да получите рационална функция, чието интегриране беше разгледано в параграф 1. Обикновено методът за използване на универсално заместване е много тромав, но винаги води до резултата.

Нека разгледаме пример за използване на универсалното тригонометрично заместване.

Пример 20.6.Намерете интеграла.

Решение.Нека приложим универсално заместване, тогава , , dx=. Следователно = = = = = ., тогава са взети ").

Има много интеграли, наречени " невзет ". Такива интеграли не се изразяват чрез познатите ни елементарни функции. Например, невъзможно е да се вземе интеграл, тъй като няма елементарна функция, чиято производна би била равна на интеграла на Поасон и се използва широко в теорията на вероятностите.

Има и други важни „неинтегрируеми“ интеграли: - интегрален логаритъм (използван в теорията на числата) и - интеграли на Френел (използван във физиката). За тях са съставени подробни таблици със стойности за различни стойности на аргумента. х.

Контролни въпроси:

Подобни статии