Как да разширим квадратен трином. Факторизиране на квадратен трином

Този онлайн калкулатор е предназначен да факторизира функция.

Например разложете на множители: x 2 /3-3x+12. Нека го запишем като x^2/3-3*x+12. Можете също да използвате тази услуга, където се записват всички изчисления Word формат.

Например, разложете на термини. Нека го запишем като (1-x^2)/(x^3+x) . За да видите напредъка на решението, щракнете върху Показване на стъпките. Ако трябва да получите резултата във формат Word, използвайте тази услуга.

Забележка: числото "пи" (π) се записва като пи; квадратен корен като sqrt, например sqrt(3), допирателната tg се записва tan. За да видите отговора, вижте Алтернатива.

Ако е даден прост израз, например 8*d+12*c*d, тогава разлагането на израза означава представяне на израза под формата на множители. За да направите това, трябва да намерите общи фактори. Нека запишем този израз като: 4*d*(2+3*c) .
Представете продукта под формата на два бинома: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Тук вече трябва да намерите няколко общи фактора: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Изваждаме (x+7z) и получаваме: (x+7z)(x + 3y) .

вижте също Деление на полиноми с ъгъл (показани са всички стъпки на деление с колона)

Полезно при изучаване на правилата за факторизиране ще бъде формули за съкратено умножение, с помощта на които ще стане ясно как да отворите скоби с квадрат:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи за факторизиране

След като научите няколко техники факторизацияМоже да се направи следната класификация на решенията:

Използване на формули за съкратено умножение.
Намиране на общ множител.

Разлагането на квадратни триноми е една от училищните задачи, с които всеки се сблъсква рано или късно. Как да го направим? Каква е формулата за разлагане на квадратен трином? Нека да го разберем стъпка по стъпка с помощта на примери.

Обща формула

Разлагането на квадратни триноми се извършва чрез решаване квадратно уравнение. Това е проста задача, която може да се реши по няколко метода - чрез намиране на дискриминанта, чрез теоремата на Виета, има и графично решение. Първите два метода се изучават в гимназията.

Общата формула изглежда така:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритъм за изпълнение на задачата

За да разложите на множители квадратни триноми, трябва да знаете теоремата на Вита, да имате под ръка програма за решаване, да можете да намирате решение графично или да търсите корени на уравнение от втора степен, като използвате дискриминантната формула. Ако е даден квадратен трином и той трябва да бъде факторизиран, алгоритъмът е следният:

1) Приравнете оригиналния израз на нула, за да получите уравнение.

2) Дайте подобни условия (ако е необходимо).

3) Намерете корените на всяко по познат начин. Графичният метод се използва най-добре, ако предварително се знае, че корените са цели и малки числа. Трябва да се помни, че броят на корените е равен на максималната степен на уравнението, т.е. квадратното уравнение има два корена.

4) Заменете стойността хв израз (1).

5) Запишете разлагането на множители на квадратни триноми.

Примери

Практиката ви позволява най-накрая да разберете как се изпълнява тази задача. Примери илюстрират факторизацията на квадратен трином:

необходимо е да разширим израза:

Нека прибегнем до нашия алгоритъм:

1) x 2 -17x+32=0

2) подобни условия са намалени

3) използвайки формулата на Vieta, е трудно да се намерят корени за този пример, така че е по-добре да използвате израза за дискриминанта:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Нека заместим корените, които намерихме, в основната формула за разлагане:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Тогава отговорът ще бъде така:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Нека проверим дали решенията, намерени от дискриминанта, отговарят на формулите на Vieta:

14,845 . 2,155=32

За тези корени се прилага теоремата на Виета, те са намерени правилно, което означава, че разлагането, което получихме, също е правилно.

По подобен начин разширяваме 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

х 2 = -7-(337)1/2

В предишния случай решенията бяха нецели, а реални числа, които лесно се намират, ако имате калкулатор пред себе си. Сега нека да разгледаме повече сложен пример, в който корените ще бъдат комплексни: фактор x 2 + 4x + 9. Използвайки формулата на Vieta, корените не могат да бъдат намерени и дискриминантът е отрицателен. Корените ще бъдат на сложната равнина.

D=-20

Въз основа на това получаваме корените, които ни интересуват -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2, тъй като (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Получаваме желаното разлагане, като заместваме корените в общата формула.

Друг пример: трябва да разложите израза на множители 23x 2 -14x+7.

Имаме уравнението 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Това означава, че корените са 14+21.166i и 14-21.166i. Отговорът ще бъде:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(Х- 14+21,166i ).

Нека дадем пример, който може да бъде решен без помощта на дискриминант.

Да кажем, че трябва да разширим квадратното уравнение x 2 -32x+255. Очевидно може да се реши и с помощта на дискриминант, но в този случай е по-бързо да се намерят корените.

х 1 =15

х 2 =17

Средства x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Нека намерим сбора и произведението на корените на квадратното уравнение. Използвайки формули (59.8) за корените на горното уравнение, получаваме

(първото равенство е очевидно, второто се получава след просто изчисление, което читателят ще извърши самостоятелно; удобно е да се използва формулата за умножаване на сумата от две числа по тяхната разлика).

Доказано е следното

Теорема на Виета. Сборът от корените на горното квадратно уравнение е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението им е равно на свободния член.

В случай на нередуцирано квадратно уравнение трябва да заместите изразите на формула (60.1) във формули (60.1) и да приемете формата

Пример 1. Съставете квадратно уравнение, като използвате неговите корени:

Решение, а) Откриваме, че уравнението има формата

Пример 2. Намерете сумата от квадратите на корените на уравнението, без да решавате самото уравнение.

Решение. Сборът и произведението на корените са известни. Нека представим сумата от квадратни корени във формата

и получаваме

От формулите на Vieta е лесно да се получи формулата

изразяващо правилото за разлагане на квадратен трином.

Наистина, нека запишем формули (60.2) във формата

Сега имаме

което трябваше да получим.

Горното извеждане на формулите на Виета е познато на читателя от курс по алгебра гимназия. Друго заключение може да бъде дадено с помощта на теоремата на Безу и разлагането на полинома на множители (параграфи 51, 52).

Нека корените на уравнението тогава, съгласно общото правило (52.2), триномът от лявата страна на уравнението се факторизира:

Отваряйки скобите от дясната страна на това идентично равенство, получаваме

и сравняването на коефициентите при едни и същи степени ще ни даде формулата на Vieta (60.1).

Предимството на това извеждане е, че може да се приложи към уравнения от по-високи степени, за да се получат изрази за коефициентите на уравнението по отношение на неговите корени (без да се намират самите корени!). Например, ако корените на даденото кубично уравнение

същността е, че съгласно равенството (52.2) намираме

(в нашия случай, отваряйки скобите от дясната страна на равенството и събирайки коефициентите на различни степени, получаваме

Разширяването на полиноми за получаване на продукт понякога може да изглежда объркващо. Но не е толкова трудно, ако разбирате процеса стъпка по стъпка. Статията описва подробно как да факторизираме квадратен трином.

Много хора не разбират как да множат квадратен тричлен и защо се прави това. В началото може да изглежда като безсмислено упражнение. Но в математиката нищо не се прави за нищо. Трансформацията е необходима, за да се опрости изразът и да се улесни изчислението.

Полином от вида – ax²+bx+c, наречен квадратен трином.Терминът "а" трябва да бъде отрицателен или положителен. На практика този израз се нарича квадратно уравнение. Затова понякога го казват по различен начин: как да разширим квадратно уравнение.

Интересно!Полиномът се нарича квадрат поради най-голямата му степен, квадратът. И тричлен - заради 3-те компонента.

Някои други видове полиноми:

линеен бином (6x+8);
кубичен четиричлен (x³+4x²-2x+9).

Факторизиране на квадратен трином

Първо, изразът е равен на нула, след което трябва да намерите стойностите на корените x1 и x2. Може да няма корени, може да има един или два корена. Наличието на корени се определя от дискриминанта. Трябва да знаете формулата му наизуст: D=b²-4ac.

Ако резултатът D е отрицателен, няма корени. Ако е положителен, има два корена. Ако резултатът е нула, коренът е единица. Корените също се изчисляват по формулата.

Ако при изчисляване на дискриминанта резултатът е нула, можете да използвате всяка от формулите. На практика формулата е просто съкратена: -b / 2a.

Формулите за различните дискриминантни стойности са различни.

Ако D е положителен:

Ако D е нула:

Онлайн калкулатори

В интернет има онлайн калкулатор. Може да се използва за извършване на факторизация. Някои ресурси предоставят възможност за преглед на решението стъпка по стъпка. Такива услуги помагат да се разбере по-добре темата, но трябва да се опитате да я разберете добре.

Полезно видео: Разлагане на множители на квадратен трином

Примери

Каним ви да разгледате прости примери, как да факторизирам квадратно уравнение.

Пример 1

Това ясно показва, че резултатът е две х, защото D е положително. Те трябва да бъдат заменени във формулата. Ако корените се окажат отрицателни, знакът във формулата се променя на противоположния.

Знаем формулата за разлагане на квадратен трином: a(x-x1)(x-x2). Поставяме стойностите в скоби: (x+3)(x+2/3). Няма число пред член в степен. Това означава, че има един там, той отива надолу.

Пример 2

Този пример ясно показва как се решава уравнение, което има един корен.

Заменяме получената стойност:

Пример 3

Дадено: 5x²+3x+7

Първо, нека изчислим дискриминанта, както в предишните случаи.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминантът е отрицателен, което означава, че няма корени.

След получаване на резултата трябва да отворите скобите и да проверите резултата. Трябва да се появи оригиналният тричлен.

Алтернативно решение

Някои хора така и не успяха да се сприятеляват с дискриминатора. Има друг начин за разлагане на квадратен трином. За удобство методът е показан с пример.

Дадено е: x²+3x-10

Знаем, че трябва да получим 2 скоби: (_)(_). Когато изразът изглежда така: x²+bx+c, в началото на всяка скоба поставяме x: (x_)(x_). Останалите две числа са произведението, което дава "c", т.е. в този случай -10. Единственият начин да разберете кои са тези числа е чрез избор. Заместените числа трябва да съответстват на оставащия член.

Например, умножаването на следните числа дава -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Не.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Не.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Не.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Пасва.

Това означава, че трансформацията на израза x2+3x-10 изглежда така: (x-2)(x+5).

важно!Трябва да внимавате да не объркате знаците.

Разгъване на сложен тричлен

Ако "а" е по-голямо от едно, започват трудностите. Но всичко не е толкова трудно, колкото изглежда.

За да разложите на множители, първо трябва да видите дали нещо може да бъде разложено на множители.

Например, даден е изразът: 3x²+9x-30. Тук числото 3 е извадено от скоби:

3(x²+3x-10). Резултатът е вече добре познатият тричлен. Отговорът изглежда така: 3(x-2)(x+5)

Как да разложим, ако членът, който е в квадрата, е отрицателен? В този случай числото -1 е извадено от скоби. Например: -x²-10x-8. Тогава изразът ще изглежда така:

Схемата се различава малко от предишната. Има само няколко нови неща. Да кажем, че е даден изразът: 2x²+7x+3. Отговорът също е изписан в 2 скоби, които трябва да бъдат попълнени в (_)(_). Във 2-ра скоба се пише х, а в 1-ва какво остава. Изглежда така: (2x_)(x_). В противен случай се повтаря предишната схема.

Числото 3 се дава от числата:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Решаваме уравнения, като заместваме тези числа. Последният вариант е подходящ. Това означава, че трансформацията на израза 2x²+7x+3 изглежда така: (2x+1)(x+3).

Други случаи

Не винаги е възможно да се преобразува израз. При втория метод не се изисква решаване на уравнението. Но възможността за трансформиране на термини в продукт се проверява само чрез дискриминанта.

Струва си да практикувате решаването на квадратни уравнения, така че при използването на формулите да няма трудности.

Полезно видео: разлагане на тричлен на множители

Заключение

Можете да го използвате по всякакъв начин. Но е по-добре да практикувате и двете, докато станат автоматични. Освен това е необходимо да се научат как да решават добре квадратни уравнения и да разлагат полиноми на множители, за тези, които планират да свържат живота си с математиката. Всички следващи математически теми са изградени върху това.

Във връзка с

За да се факторизира, е необходимо да се опростят изразите. Това е необходимо, за да може да се намали допълнително. Развиването на полином има смисъл, когато степента му не е по-ниска от две. Полином с първа степен се нарича линеен.

Статията ще обхване всички концепции за разлагане, теоретична основаи методи за факторизиране на полином.

Теория

Теорема 1

Когато всеки полином със степен n, имащ формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, са представени като продукт с постоянен фактор с най-висока степен a n и n линейни фактора (x - x i), i = 1, 2, ..., n, тогава P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , където x i, i = 1, 2, …, n са корените на полинома.

Теоремата е предназначена за корени от комплексен тип x i, i = 1, 2, …, n и за комплексни коефициенти a k, k = 0, 1, 2, …, n. Това е в основата на всяка декомпозиция.

Когато коефициентите от формата a k, k = 0, 1, 2, …, n са реални числа, тогава сложни корени, които ще се появят в конюгирани двойки. Например корени x 1 и x 2, свързани с полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 се считат за комплексно спрегнати, тогава другите корени са реални, от което получаваме, че полиномът приема формата P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, където x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Коментирайте

Корените на полинома могат да се повтарят. Нека разгледаме доказателството на теоремата на алгебрата, следствие от теоремата на Безу.

Основна теорема на алгебрата

Теорема 2

Всеки полином със степен n има поне един корен.

Теорема на Безу

След разделяне на полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 върху (x - s), тогава получаваме остатъка, който е равен на полинома в точка s, тогава получаваме

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , където Q n - 1 (x) е полином със степен n - 1.

Следствие от теоремата на Безу

Когато коренът на полинома P n (x) се счита за s, тогава P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Това следствие е достатъчно, когато се използва за описание на решението.

Факторизиране на квадратен трином

Квадратният трином от формата a x 2 + b x + c може да бъде разложен на линейни множители. тогава получаваме, че a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , където x 1 и x 2 са корени (комплексни или реални).

Това показва, че самото разширение се свежда до последващо решаване на квадратното уравнение.

Пример 1

Разложете на множители квадратния трином.

Решение

Необходимо е да се намерят корените на уравнението 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. За да направите това, трябва да намерите стойността на дискриминанта с помощта на формулата, след което получаваме D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Оттук нататък имаме това

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

От това получаваме, че 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

За да извършите проверката, трябва да отворите скобите. Тогава получаваме израз от формата:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

След проверка стигаме до оригиналния израз. Тоест можем да заключим, че разлагането е извършено правилно.

Пример 2

Разложете на множители квадратния трином от формата 3 x 2 - 7 x - 11 .

Решение

Откриваме, че е необходимо да изчислим полученото квадратно уравнение във формата 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

За да намерите корените, трябва да определите стойността на дискриминанта. Разбираме това

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

От това получаваме, че 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Пример 3

Разложете полинома на множители 2 x 2 + 1.

Решение

Сега трябва да решим квадратното уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и да намерим неговите корени. Разбираме това

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Тези корени се наричат комплексно спрегнати, което означава, че самото разширение може да бъде изобразено като 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Пример 4

Разложете квадратния трином x 2 + 1 3 x + 1 .

Решение

Първо трябва да решите квадратно уравнение от формата x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и да намерите неговите корени.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

След като получихме корените, пишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Коментирайте

Ако дискриминантната стойност е отрицателна, тогава полиномите ще останат полиноми от втори ред. От това следва, че няма да ги разлагаме на линейни множители.

Методи за факторизиране на полином от степен по-висока от две

При разлагането се предполага универсален метод. Повечето от всички случаи се основават на следствие от теоремата на Bezout. За да направите това, трябва да изберете стойността на корена x 1 и да намалите степента му, като разделите на полином на 1, като разделите на (x - x 1). Полученият полином трябва да намери корена x 2 и процесът на търсене е цикличен, докато получим пълно разширение.

Ако коренът не е намерен, тогава се използват други методи за факторизация: групиране, допълнителни термини. Тази тема включва решаване на уравнения с по-високи степении цели коефициенти.

Изваждане на общия множител извън скоби

Да разгледаме случая, когато свободният член е равен на нула, тогава формата на полинома става P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

Може да се види, че коренът на такъв полином ще бъде равен на x 1 = 0, тогава полиномът може да бъде представен като израза P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Този метод се счита за изваждане на общия множител извън скоби.

Пример 5

Разложете на множители полином от трета степен 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Решение

Виждаме, че x 1 = 0 е коренът на дадения полином, тогава можем да премахнем x от скобите на целия израз. Получаваме:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Нека да преминем към намирането на корените на квадратния тричлен 4 x 2 + 8 x - 1. Нека намерим дискриминанта и корените:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Тогава следва това

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Като начало, нека вземем под внимание метод на разлагане, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, където коефициентът на най-високата степен е 1.

Когато полиномът има цели числа, тогава те се считат за делители на свободния член.

Пример 6

Разложете израза f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Решение

Нека помислим дали има пълни корени. Необходимо е да се запишат делителите на числото - 18. Получаваме това ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. От това следва, че този полином има цели числа. Можете да проверите с помощта на схемата на Horner. Това е много удобно и ви позволява бързо да получите коефициентите на разширение на полином:

От това следва, че x = 2 и x = - 3 са корените на оригиналния полином, който може да бъде представен като произведение от вида:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Пристъпваме към разширяването на квадратен трином от формата x 2 + 2 x + 3.

Тъй като дискриминантът е отрицателен, това означава истински корениНе.

Отговор: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Коментирайте

Разрешено е да се използва избор на корен и деление на полином на полином вместо схема на Хорнер. Нека да преминем към разглеждане на разширяването на полином, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , най-високото от които е равно на едно.

Този случай се среща при рационални дроби.

Пример 7

Разложете на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Решение

Необходимо е да замените променливата y = 2 x, трябва да преминете към полином с коефициенти, равни на 1 на най-висока степен. Трябва да започнете, като умножите израза по 4. Разбираме това

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Когато получената функция на формата g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 има цели числа, тогава тяхното местоположение е сред делителите на свободния член. Записът ще изглежда така:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Нека да преминем към изчисляване на функцията g (y) в тези точки, за да получим нула като резултат. Разбираме това

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Откриваме, че y = - 5 е коренът на уравнение във формата y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, което означава, че x = y 2 = - 5 2 е коренът на оригиналната функция.

Пример 8

Необходимо е да се раздели с колона 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2.

Решение

Нека го запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Проверката на делителите ще отнеме много време, така че е по-изгодно да факторизирате получения квадратен трином от вида x 2 + 7 x + 3. Чрез приравняване на нула намираме дискриминанта.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Следва, че

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Изкуствени техники за факторизиране на полином

Рационалните корени не са присъщи на всички полиноми. За да направите това, трябва да използвате по специални начиниза намиране на фактори. Но не всички полиноми могат да бъдат разширени или представени като продукт.

Метод на групиране

Има случаи, когато можете да групирате членовете на полином, за да намерите общ множител и да го поставите извън скоби.

Пример 9

Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Решение

Тъй като коефициентите са цели числа, тогава корените вероятно също могат да бъдат цели числа. За да проверите, вземете стойностите 1, - 1, 2 и - 2, за да изчислите стойността на полинома в тези точки. Разбираме това

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Това показва, че няма корени, необходимо е да се използва друг метод за разширяване и решение.

Необходимо е да се групират:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

След като групирате оригиналния полином, трябва да го представите като произведение на два квадратни тринома. За да направим това, трябва да разложим на множители. разбираме това

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Коментирайте

Простотата на групирането не означава, че изборът на термини е достатъчно лесен. Няма специфичен метод за решаване, така че е необходимо да се използват специални теореми и правила.

Пример 10

Разложете полинома на множители x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Решение

Даденият полином няма цели корени. Термините трябва да бъдат групирани. Разбираме това

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

След разлагането на множители получаваме това

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Използване на формули за съкратено умножение и бином на Нютон за факторизиране на полином

Външният вид често не винаги показва кой метод трябва да се използва по време на разграждането. След като трансформациите са направени, можете да изградите линия, състояща се от триъгълника на Паскал, в противен случай те се наричат бином на Нютон.

Пример 11

Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Решение

Необходимо е изразът да се преобразува във формата

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Последователността на коефициентите на сумата в скоби се обозначава с израза x + 1 4 .

Това означава, че имаме x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

След като приложим разликата на квадратите, получаваме

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Помислете за израза, който е във втората скоба. Ясно е, че там няма рицари, така че трябва да приложим отново формулата за разликата на квадратите. Получаваме израз на формата

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Пример 12

Разложете на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Решение

Нека започнем да трансформираме израза. Разбираме това

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Необходимо е да се приложи формулата за съкратено умножение на разликата на кубовете. Получаваме:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3