Производна на функция, указана имплицитно.
Производна параметрично дадена функция

В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в тестове на висша математика. За да усвоите успешно материала, трябва да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да се научите да намирате производни практически от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция. Ако уменията ви за разграничаване са наред, тогава да тръгваме.

Производна на функция, указана имплицитно

Или накратко – производна неявна функция. Какво е неявна функция? Нека първо си спомним самата дефиниция на функция на една променлива:

Функция на една променливае правило, според което всяка стойност на независимата променлива съответства на една и само една стойност на функцията.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция .

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека проведем дебрифинг, като използваме конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотен „играч“, а отдясно - само "Х". Тоест функцията изричноизразено чрез независимата променлива.

Нека да разгледаме друга функция:

Това е мястото, където променливите се смесват. освен това невъзможно по никакъв начинизразете "Y" само чрез "X". Какви са тези методи? Прехвърляне на членове от част в част със смяна на знака, поставянето им извън скоби, хвърляне на множители според правилото на пропорцията и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите „y“ явно: . Можете да въртите уравнението с часове, но няма да успеете.

Нека ви представя: – пример неявна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че неявната функция съществува(обаче не винаги), има графика (точно като „нормална“ функция). Неявната функция е абсолютно същата съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се спазват.

И в този урок ще научим как да намираме производната на функция, зададена имплицитно. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме в момента.

Да, и ще ви кажа добрата новина - задачите, разгледани по-долу, се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три песни.

Пример 1

1) На първия етап прикрепяме щрихи към двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила от урока Как да намерим производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да ги разграничим е напълно ясно. Какво да правим там, където има „игри“ под ударите?

- до степен на позор, производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим
Тук имаме сложна функция . Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "Y". Но факт е, че има само една буква "y" - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(вижте определението в началото на урока). По този начин синусът е външна функция и е вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Моля, имайте предвид, че – също е сложна функция, всяка „игра със звънци и свирки“ е сложна функция:

Самото решение трябва да изглежда така:


Ако има скоби, разгънете ги:

4) От лявата страна събираме термините, които съдържат „Y“ с просто число. Преместете всичко останало от дясната страна:

5) От лявата страна изваждаме производната извън скоби:

6) И според правилото за пропорцията, пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Производното е намерено. Готов.

Интересно е да се отбележи, че всяка функция може да бъде пренаписана имплицитно. Например функцията може да се пренапише така: . И го разграничете с помощта на току-що обсъдения алгоритъм. Всъщност изразите „имплицитна функция“ и „имплицитна функция“ се различават по един семантичен нюанс. Фразата „имплицитно определена функция“ е по-обща и правилна, – тази функция е посочена имплицитно, но тук можете да изразите „играта“ и да представите функцията изрично. Думите "имплицитна функция" по-често означават "класическата" имплицитна функция, когато "играта" не може да бъде изразена.

Трябва също да се отбележи, че „имплицитното уравнение“ може имплицитно да посочи две или дори голямо количествофункции, така че, например, уравнението на окръжност имплицитно определя функциите , , които определят полукръгове Но в рамките на тази статия няма да правим специално разграничение между термини и нюанси, това беше само информация за общо развитие. .

Второ решение

внимание!Можете да се запознаете с втория метод само ако знаете как да намерите уверено частични производни. Начинаещи да учат математически анализи чайници, моля не четете и прескочете тази точка, иначе в главата ти ще е пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция, използвайки втория метод.

Преместваме всички термини в лявата страна:

И разгледайте функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да се намери с помощта на формулата
Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да извършите проверка. Но не е препоръчително да пишат окончателния вариант на заданието, тъй като частичните производни се усвояват по-късно и ученик, изучаващ темата „Производна на функция на една променлива“, все още не трябва да знае частични производни.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Добавете щрихи към двете части:

Използваме правила за линейност:

Намиране на производни:

Отваряне на всички скоби:

Преместваме всички термини с в лявата страна, останалите в дясната страна:

Окончателен отговор:

Пример 3

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Цялостно решениеи примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно след диференциране да се появят дроби. В такива случаи трябва да се отървете от дроби. Нека разгледаме още два примера.

Пример 4

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Ограждаме двете части под щрихи и използваме правилото за линейност:

Диференцирайте с помощта на правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциране на частните :

Разширяване на скобите:

Сега трябва да се отървем от дробта. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта съдържа . Умножете На . В детайли ще изглежда така:

Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имаме друга дроб, например, тогава операцията ще трябва да се повтори - умножение всеки член на всяка частНа

От лявата страна го поставяме извън скоби:

Окончателен отговор:

Пример 5

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Това е пример, който можете да решите сами. Единственото нещо е, че преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.

Производна на параметрично дефинирана функция

Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете общата формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. IN параметрична формафункцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновената“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично дефинирана функция, можете да използвате моята програма.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра: – от първото уравнение и го заместваме във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на "x по отношение на променливата te":

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример, който можете да решите сами.

В статията Най-прости типови задачи с производниразгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Ще се научим да намираме производни на функции, зададени имплицитно, т.е. определени с определени уравнения, свързващи променливи хИ г. Примери за неявно посочени функции:

,

Производни на функции, посочени неявно, или производни на неявни функции, се намират доста лесно. Сега нека да разгледаме съответното правило и пример и след това да разберем защо е необходимо това като цяло.

За да намерите производната на функция, посочена имплицитно, трябва да разграничите двете страни на уравнението по отношение на x. Членовете, в които присъства само X, ще се превърнат в обичайната производна на функцията от X. И термините с играта трябва да се диференцират с помощта на правилото за диференциране на сложна функция, тъй като играта е функция на X. Казано съвсем просто, получената производна на члена с x трябва да доведе до: производната на функцията от y, умножена по производната от y. Например, производната на термин ще бъде написана като , производната на термин ще бъде написана като . След това, от всичко това, трябва да изразите този „удар на играта“ и желаната производна на имплицитно посочената функция ще бъде получена. Нека да разгледаме това с пример.

Пример 1.

Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x, като приемаме, че i е функция на x:

От тук получаваме производната, която се изисква в задачата:

Сега нещо за двусмисленото свойство на функциите, посочени имплицитно, и защо са необходими специални правила за тяхното диференциране. В някои случаи можете да проверите дали заместването в дадено уравнение(вижте примерите по-горе) вместо y, изразът му чрез x води до факта, че това уравнение става идентичност. Така. Горното уравнение имплицитно дефинира следните функции:

След като заместим израза за играта на квадрат през x в оригиналното уравнение, получаваме идентичността:

.

Изразите, които заместихме, бяха получени чрез решаване на уравнението за играта.

Ако трябваше да диференцираме съответната изрична функция

тогава ще получим отговора както в пример 1 - от функция, указана имплицитно:

Но не всяка функция, указана имплицитно, може да бъде представена във формата г = f(х) . Така например неявно посочените функции

не се изразяват чрез елементарни функции, тоест тези уравнения не могат да бъдат решени по отношение на играча. Следователно има правило за диференциране на функция, посочена имплицитно, което вече сме проучили и ще прилагаме последователно в други примери.

Пример 2.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

.

Изразяваме простото число и - на изхода - производната на имплицитно посочената функция:

Пример 3.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

.

Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x:

.

Пример 4.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

.

Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x:

.

Изразяваме и получаваме производната:

.

Пример 5.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:

Решение. Преместваме членовете от дясната страна на уравнението в лявата страна и оставяме нула отдясно. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x.

Производна на сложна функция. Общо производно

Нека z=ƒ(x;y) е функция на две променливи x и y, всяка от които е функция на независима променлива t: x = x(t), y = y(t). В този случай функцията z = f(x(t);y(t)) е сложна функция на една независима променлива t; променливите x и y са междинни променливи.

Ако z = ƒ(x;y) е функция, диференцируема в точката M(x;y) є D и x = x(t) и y = y(t) са диференцируеми функции на независимата променлива t, то производната на комплексната функция z(t ) = f(x(t);y(t)) се изчислява по формулата

Нека дадем на независимата променлива t увеличение Δt. Тогава функциите x = = x(t) и y = y(t) ще получат увеличения съответно Δx и Δy. Те от своя страна ще накарат функцията z да увеличи Az.

Тъй като по условие функцията z - ƒ(x;y) е диференцируема в точката M(x;y), нейният общ прираст може да бъде представен във формата

където а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (виж параграф 44.3). Нека разделим израза Δz на Δt и отидем до границата при Δt→0. Тогава Δх→0 и Δу→0 поради непрекъснатостта на функциите x = x(t) и y = y(t) (съгласно условията на теоремата те са диференцируеми). Получаваме:

Специален случай: z=ƒ(x;y), където y=y(x), т.е. z=ƒ(x;y(x)) е сложна функция на една независима променлива x. Този случай се свежда до предишния, а ролята на променливата t играе x. Съгласно формула (44.8) имаме:

Формула (44.9) се нарича формула за обща производна.

Общ случай: z=ƒ(x;y), където x=x(u;v), y=y(u;v). Тогава z= f(x(u;v);y(u;v)) е сложна функция на независимите променливи u и v. Неговите частни производни могат да бъдат намерени с формула (44.8), както следва. След като фиксираме v, ние го заместваме със съответните частни производни

Както е известно, неявно дадена функция на една променлива се дефинира по следния начин: функцията y на независимата променлива x се нарича неявна, ако е дадена от уравнение, което не е разрешено по отношение на y:

Пример 1.11.

Уравнението

имплицитно определя две функции:

И уравнението

не посочва никаква функция.

Теорема 1.2 (съществуване на неявна функция).

Нека функцията z =f(x,y) и нейните частни производни f"x и f"y са дефинирани и непрекъснати в някаква околност UM0 на точката M0(x0y0). В допълнение, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогава уравнение (1.33) дефинира в околността на UM0 неявна функция y= y(x), непрекъсната и диференцируема в някакъв интервал D с център в точка x0 и y(x0)=y0.

Няма доказателство.

От теорема 1.2 следва, че на този интервал D:

тоест има идентичност в

където „общата“ производна се намира съгласно (1.31)

Тоест, (1.35) дава формула за намиране на производната на имплицитно дадена функция на една променлива x.

Неявна функция на две или повече променливи се дефинира по подобен начин.

Например, ако в някакъв регион V на пространството Oxyz уравнението е валидно:

тогава при определени условия върху функцията F той неявно дефинира функцията

Освен това, по аналогия с (1.35), неговите частни производни се намират, както следва:

Пример 1.12. Ако приемем, че уравнението

имплицитно дефинира функция

намерете z"x, z"y.

следователно, съгласно (1.37), получаваме отговора.

11. Използване на частни производни в геометрията.

12. Екстремуми на функция на две променливи.

Концепциите за максимум, минимум и екстремум на функция на две променливи са подобни на съответните концепции на функция на една независима променлива (вижте раздел 25.4).

Нека функцията z = ƒ(x;y) е дефинирана в някаква област D, точка N(x0;y0) О D.

Точка (x0;y0) се нарича максимална точка на функцията z=ƒ(x;y), ако има d-околност на точката (x0;y0), така че за всяка точка (x;y), различна от (xo;yo), от тази околност е в сила неравенството ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

А Минималната точка на функцията се определя по подобен начин: за всички точки (x; y), различни от (x0; y0), от d-околността на точката (xo; yo) е в сила следното неравенство: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

На фигура 210: N1 е максималната точка, а N2 е минималната точка на функцията z=ƒ(x;y).

Стойността на функцията в точката на максимум (минимум) се нарича максимум (минимум) на функцията. Максимумът и минимумът на една функция се наричат ​​нейни екстремуми.

Обърнете внимание, че по дефиниция екстремната точка на функцията се намира вътре в областта на дефиниция на функцията; максимумът и минимумът имат локален (локален) характер: стойността на функцията в точка (x0; y0) се сравнява с нейните стойности в точки, достатъчно близки до (x0; y0). В регион D една функция може да има няколко екстремума или нито един.

46.2. Необходими и достатъчни условия за екстремум

Нека разгледаме условията за съществуване на екстремум на функция.

Теорема 46.1 (необходими условия за екстремум). Ако в точка N(x0;y0) диференцируемата функция z=ƒ(x;y) има екстремум, то нейните частни производни в тази точка са равни на нула: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Нека поправим една от променливите. Нека поставим например y=y0. Тогава получаваме функция ƒ(x;y0)=φ(x) на една променлива, която има екстремум при x = x0. Следователно, съгласно необходимото условие за екстремума на функция на една променлива (вижте раздел 25.4), φ"(x0) = 0, т.е. ƒ"x(x0;y0)=0.

По подобен начин може да се покаже, че ƒ"y(x0;y0) = 0.

Геометрично, равенствата ƒ"x(x0;y0)=0 и ƒ"y(x0;y0)=0 означават, че в екстремната точка на функцията z=ƒ(x;y) допирателната равнина към повърхността, представляваща функция ƒ(x;y) ), е успоредна на равнината Oxy, тъй като уравнението на допирателната равнина е z=z0 (виж формула (45.2)).

З Забележка. Една функция може да има екстремум в точки, където поне една от частните производни не съществува. Например функцията има максимум в точка O(0;0) (виж Фиг. 211), но няма частични производни в тази точка.

Точката, в която частните производни от първи ред на функцията z ≈ ƒ(x; y) са равни на нула, т.е. f"x=0, f"y=0, се нарича стационарна точка на функцията z.

Стационарни точки и точки, в които не съществува поне една частична производна, се наричат ​​критични точки.

В критични точки функцията може или не може да има екстремум. Равенството на частните производни на нула е необходимо, но не достатъчно условиеналичие на екстремум. Да разгледаме например функцията z = xy. За него точката O(0; 0) е критична (при нея z"x=y и z"y - x се нулира). Функцията z=xy обаче няма екстремум в нея, тъй като в достатъчно малка околност на точката O(0; 0) има точки, за които z>0 (точки от първа и трета четвърт) и z< 0 (точки II и IV четвертей).

По този начин, за да се намерят екстремуми на функция в дадена област, е необходимо всяка критична точка на функцията да бъде подложена на допълнително изследване.

Теорема 46.2 (достатъчно условие за екстремум). Нека функцията ƒ(x;y) в стационарна точка (xo; y) и някои от нейните околности имат непрекъснати частни производни до втори ред включително. Нека изчислим в точката (x0;y0) стойностите A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Нека обозначим

1. ако Δ > 0, тогава функцията ƒ(x;y) в точката (x0;y0) има екстремум: максимум, ако A< 0; минимум, если А > 0;

2. ако Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

В случай на Δ = 0 може да има или да няма екстремум в точката (x0;y0). Необходими са още изследвания.

ЗАДАЧИ

1.

Пример.Намерете интервалите на нарастващи и намаляващи функции. Решение.Първата стъпка е намиране на областта на дефиниция на функция. В нашия пример изразът в знаменателя не трябва да отива на нула, следователно, . Нека да преминем към производната функция: За да определим интервалите на нарастване и намаляване на функция въз основа на достатъчен критерий, ние решаваме неравенства в областта на дефиниция. Нека използваме обобщение на интервалния метод. Единственият истински корен на числителя е х = 2, а знаменателят отива на нула при х = 0. Тези точки разделят дефиниционната област на интервали, в които производната на функцията запазва своя знак. Нека отбележим тези точки на числовата ос. Условно означаваме с плюсове и минуси интервалите, при които производната е положителна или отрицателна. Стрелките по-долу схематично показват нарастването или намаляването на функцията на съответния интервал. По този начин, И . В точката х = 2функцията е дефинирана и непрекъсната, така че трябва да се добави както към нарастващия, така и към намаляващия интервал. В точката х = 0функцията не е дефинирана, така че не включваме тази точка в необходимите интервали. Представяме графика на функцията, за да сравним резултатите, получени с нея. Отговор:функцията се увеличава с , намалява на интервала (0; 2] .

2.

Примери.

Задайте интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на крива г = 2 – х 2 .

Ще намерим г"" и определете къде втората производна е положителна и къде е отрицателна. г" = –2х, г"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

г = д х. защото г"" = д x > 0 за всяко х, тогава кривата е вдлъбната навсякъде.

г = х 3 . защото г"" = 6х, Че г"" < 0 при х < 0 и г"" > 0 при х> 0. Следователно, когато х < 0 кривая выпукла, а при х> 0 е вдлъбнат.

3.

4. Дадена е функцията z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка A(3,2). Намерете dz/dl (доколкото разбирам, производната на функцията по посока на вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Нека намерим частните производни: z(по отношение на x)=2x+5 z(по отношение на y)=-2y+4 Нека намерим стойностите на производните в точка A(3,2): z(с по отношение на x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Откъдето gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Производна на функция z в посока на вектор l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y)*cosb , a, b-ъгли на вектора l с координатни оси. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Подобни статии