Лабораторна работа №10

Целта на работата е експериментално да се провери валидността на теоремата за реципрочността на преместванията и въз основа на нея да се изгради еластична линия на гредата.

Основна информация

Теоремата за реципрочност на работата гласи, че работата, извършена от първата сила при преместване на точката на нейното прилагане под действието на втората сила, е равна на работата на втората сила при преместване на точката на нейното прилагане под действието на първата сила , т.е.

F 1 y 12 = F 2 y 21 = W.(10.1)

Ако силите са равни, тогава теоремата се превръща в теорема за реципрочността на преместванията: преместването на първото сечение под действието на сила, приложена във второто сечение, е равно на преместването на второто сечение под действието на същата сила, но приложена в първата секция.

y 12 = y 21. (10.2)

Ред за изпълнение и обработка на резултатите

Експериментите се провеждат на настолна инсталация SM-4, която представлява двуопорна греда, описана в лабораторна работа № 9.

Проверката на теоремата за реципрочността на преместванията (фиг. 10.1) се извършва по следния начин.

Ориз. 10.1. Проверка на теоремата за взаимността на преместванията

В две произволни секции на гредата са монтирани циферблатни индикатори и закачалки за тежести (секции 1 и 2, фиг. 10.1, а). Първоначалното отчитане се взема на индикатора на секция 2, гредата се натоварва в секция 1 с товар F и се взема показанието на индикатора, монтиран в секция 2 (виж фиг. 10.1, b). Разликата между това и първоначалните показания е равна на стойността на деформация при 21 в секция 2. След това гредата се разтоварва.

Данните за F и y 21 се записват в тестовия дневник. След това първоначалното отчитане се взема на индикатора, монтиран в секция 1, гредата се натоварва в секция 2 със същия товар F, а разликата в показанията на индикатор 1 определя стойността на деформация при 12 (виж фиг. 10.1, c ).

Гредата се разтоварва и данните за y 12 се въвеждат в тестовия дневник. Чрез сравняване на получените данни с помощта на равенство (10.2) се проверява теоремата за реципрочността на преместванията. Ако равенството (10.2) не е изпълнено, определете процента на грешката

и направете изводи.

Използвайки теоремата за реципрочността на преместванията, е възможно, използвайки един индикатор, постоянно фиксиран в секцията за прилагане на натоварването на дадена проектна схема (фиг. 10.2), експериментално да се определи изместването на греда във всяка секция и да се изгради еластична линия на лъча.

Ориз. 10.2. Построяване на еластична линия на греда

Индикаторът за линейно преместване се монтира в участъка на гредата, в който се прилага определеното натоварване съгласно проектната схема. Едно окачване на тежестта е поставено върху конзолата, второто - вътре в обхвата.

Преместванията на секцията, в която е монтиран индикаторът, се определят, когато дадено натоварване F се прилага последователно към проектни точки 1 ... 10 (виж фиг. 10.2). Тази операция включва инсталиране на окачване на тежестта в изчислената точка, вземане на първоначално отчитане на индикатора, прилагане на дадено натоварване F към окачването на тежестта, вземане на показание на индикатора и определяне на увеличението на показанията, равно на определеното изместване. За прилагане на натоварване в секции, разположени на конзолата, се използва второ окачване на тежестта.

Съгласно теоремата за реципрочността на движенията, тези движения ще бъдат равни на движенията на проектните точки при прилагане на натоварване F в участъка на инсталацията на индикатора.

Получените стойности на изместване се записват в дневника на изпитването.

За да се сравнят експерименталните премествания с теоретичните, последните се изчисляват за даденост

Нека към системата е приложена сила в първото състояние, а във второто състояние - (фиг. 6). Нека обозначим преместванията, причинени от единични сили (или единични моменти) със символ. Тогава движението на разглежданата система по посока на единична сила в първото състояние (т.е. причинено от силата) е , а движението по посока на силата във второто състояние е .

Въз основа на теоремата за реципрочност на работата:

Но, следователно, или в общ случайдействия на всяка единица сили:

Полученото равенство (1.16) се нарича теорема за реципрочността на преместванията (или теорема на Максуел): за две единични състояния на еластична система преместването в посока на първата единична сила, причинено от втората единична сила, е равно на изместване по посока на втората сила, причинено от първата сила.

Изчисляване на премествания по метода на Мор

Методът, описан по-долу, е универсален методопределяне на премествания (както линейни, така и ъглови), възникващи във всяка прътова система от произволно натоварване.

Нека разгледаме две състояния на системата. Нека в първия от тях (натоварено състояние) върху гредата е приложено произволно натоварване, а във второто (единично състояние) концентрирана сила (фиг. 7).

Работа A21 на сила върху изместване, произтичаща от силите на първото състояние:

Използвайки (1.14) и (1.15), ние изразяваме A21 (и, следователно, и) по отношение на фактори на вътрешна сила:

Знакът "+", получен при определянето, означава, че посоката на желаното преместване съвпада с посоката на единичната сила. Ако е дефинирано линейно преместване, тогава обобщената единична сила е безразмерната концентрирана единична сила, приложена във въпросната точка; и ако се определи ъгълът на завъртане на сечението, тогава обобщената единична сила е безразмерен концентриран единичен момент.

Понякога (1.17) се записва като:

където е движението по посока на силата, причинено от действието на група сили. Продуктите в знаменателя на формула (1.18) се наричат ​​съответно коравини на огъване, опън (компресия) и срязване; при постоянни размери на напречното сечение по дължина и един и същ материал тези величини могат да бъдат извадени от интегралния знак. Изразите (1.17) и (1.18) се наричат ​​интеграли (или формули) на Мор.

Повечето обща формаИнтеграл на Мор има в случай, когато в напречни сеченияВ основата на системата възникват всичките шест вътрешни силови фактора:

Алгоритъмът за изчисляване на преместването по метода на Мор е следният:

• 1. Дефинирайте изрази вътрешни усилияот дадено натоварване като функция на координатата Z на произволно сечение.
• 2. Прилага се обобщена единична сила в посоката на желаното преместване (съсредоточена сила - при изчисляване на линейно преместване; концентриран момент - при изчисляване на ъгъла на завъртане).
• 3. Определяне на изрази за вътрешни сили от обобщена единична сила като функции на координатата Z на произволно сечение.
• 4. Заменете израза за вътрешни сили, намиращ се в параграфи 1.3 в (1.18) или (1.19) и чрез интегриране на секции по цялата дължина на конструкцията, определете желаното изместване.

Формулите на Мор са подходящи и за елементи, които са пръти с малка кривина, със замяната на елемента с дължина dz в интегранта с елемента на дъгата ds.

В повечето случаи на равнинна задача се използва само един член от формула (1.18). По този начин, ако се разглеждат конструкции, които работят предимно при огъване (греди, рамки и частично арки), тогава във формулата за изместване с достатъчна точност може да се остави само интегралът в зависимост от моментите на огъване; При изчисляване на конструкции, чиито елементи работят главно при централно напрежение (компресия), например ферми, деформациите на огъване и срязване могат да бъдат пренебрегнати, т.е. във формулата за изместване ще остане само терминът, съдържащ надлъжни сили.

По същия начин, в повечето случаи на пространствен проблем, формулата на Мор (1.19) е значително опростена. По този начин, когато елементите на системата работят предимно при огъване и усукване (например при изчисляване на равнинно-пространствени системи, счупени пръти и пространствени рамки), само първите три члена остават в (1.19); и при изчисляване на пространствени ферми - само четвъртият член.

Твърдение на теоремата за реципрочност на работата (теорема на Бети), доказано през 1872 г. от Е. Бети: възможната работа на силите на първото състояние върху съответните премествания, причинени от силите на второто състояние, е равна на възможната работа на силите на второто състояние върху съответните премествания, причинени от силите на първата държава.

24. Теорема за реципрочността на преместванията (Максуел)

Нека бъде. Теорема за реципрочност на преместваниятакато се вземе предвид приетото обозначение за преместване от единица сила има вида: .Теоремата за реципрочността на преместванията е доказана от Максуел. Формулировка на теоремата за реципрочност на преместванията: преместването на точката на приложение на първата единична сила, причинено от действието на втората сила, е равно на изместването на точката на приложение на втората единична сила, причинено от действието на първата единична сила

25. Теорема на Рейли за реципрочността на реакциите.

26. Теорема на Гвоздев за реципрочността на преместванията и реакциите.

27. Определяне на премествания от натоварване. Формула на Мор.

Морова формула

28. Определяне на премествания от температурни въздействия и премествания.

Температурен ефект.

Чернова

29. Правилото на Верещагин. Формула за трапецовидно умножение, формула на Симпсън.

Формула за умножение на трапец.

Формула за умножение на криви трапеци

31. Свойства на статически неопределени системи.

За да се определят силите и реакциите, уравненията на статиката не са достатъчни; необходимо е да се използват уравненията на непрекъснатостта на деформацията и преместването.

Силите и реакциите зависят от съотношението на коравините на отделните елементи.

Промените в температурата и слягането на опората предизвикват появата на вътрешни сили.

При липса на натоварване е възможно състояние на собствено напрежение.

32. Определяне на степента на статична неопределеност, принципи за избор на основната система на метода на силите.

За статично неопределени системи W<0

Броят на допълнителните връзки се определя по формулата:

L = -У+ 3K,

където W е броят на независимите геометрични параметри, които определят позицията на конструкцията в равнината, без да се отчита деформацията на конструкцията (броят на степените на свобода), K е броят на затворените контури (контури, в които има без панта).

У= 3D – 2SH – Co

Формулата на Чебишев за определяне на степента на свобода, където D е броят на дисковете, Ш е броят на пантите, Co е броят на опорните пръти.

OSMS трябва да бъде геометрично непроменим.

Трябва да бъде статично дефинируем (премахнете A ненужните връзки).

Тази система трябва да бъде лесна за изчисляване.

Ако оригиналната система е била симетрична, тогава OSMS, ако е възможно, е избрана да бъде симетрична.

33. Канонични уравнения на силовия метод, тяхното физическо значение.

Канонични уравнения:

Физическо значение:

Общото движение в посока на всяка отдалечена връзка трябва да бъде = 0

34. Изчисляване на коефициенти на канонични уравнения, тяхното физическо значение, проверка на коректността на намерените коефициенти.

Движение в посока на отдалечена връзка, причинено от една сила.

Движение в посока на отдалечена връзка, причинено от външен товар.

За да проверите правилността на намерените коефициенти, трябва да ги замените в системата от канонични уравнения и да намерите X1 и X2.

Доказателство на теоремата за реципрочност на работата

Нека маркираме две точки 1 и 2 на гредата (фиг. 15.4, а).

Нека приложим статична сила в точка 1. Това ще причини отклонение в тази точка, а в точка 2 – .

Ние използваме два индекса, за да посочим движенията. Първият индекс означава мястото на движение, а вторият – причината, предизвикваща това движение. Тоест, почти като на плик за писмо, където посочваме: къде и от кого.

Така например това означава отклонението на гредата в точка 2 от товара.

След приключване на растежа на силата. Нека приложим статична сила (15.4, b) към деформираното състояние на гредата в точка 2. Гредата ще получи допълнителни отклонения: в точка 1 и в точка 2.

Нека създадем израз за работата, която тези сили извършват върху съответните им премествания: .

Тук първият и третият член представляват еластичната работа на силите и . Според теоремата на Клапейрон те имат коефициент . Вторият член няма този коефициент, тъй като силата не променя стойността си и извършва възможна работа върху изместването, причинено от друга сила.

Нека разгледаме две състояния на еластична система в равновесие. Във всяко от тези състояния върху системата действа определено статично натоварване (фиг. 23, а). Нека обозначим движенията по посоките на силите F 1 и F 2 с, където индексът "i" показва посоката на движение, а индексът "j" е причината, която го е причинила.

Ориз. 23

Нека обозначим работата на натоварването на първото състояние (сила F 1) върху движенията на първото състояние с A 11, а работата на силата F 2 върху движенията, причинени от него с A 22:

.

Използвайки (2.9), работата A 11 и A 22 може да бъде изразена чрез вътрешни силови фактори:

(2.10)

Нека разгледаме случая на статично натоварване на същата система (фиг. 23, а) в следната последователност. Първо, към системата се прилага статично нарастваща сила F 1 (фиг. 23, b); когато процесът на статичното му нарастване е завършен, деформацията на системата и вътрешните сили, действащи в нея, стават същите като в първото състояние (фиг. 23, а). Работата, извършена от сила F 1 ще бъде:

Тогава върху системата започва да действа статично нарастваща сила F 2 (фиг. 23, b). В резултат на това системата получава допълнителни деформации и в нея възникват допълнителни вътрешни сили, както във второто състояние (фиг. 23, а). По време на процеса на увеличаване на силата F 2 от нула до крайната й стойност, силата F 1, оставайки непроменена, се движи надолу с размера на допълнителното отклонение
и следователно извършва допълнителна работа:

Силата F 2 върши работата:

Общата работа A с последователно натоварване на системата от сили F 1, F 2 е равна на:

От друга страна, в съответствие с (2.4), общата работа може да се определи като:

(2.12)

Приравнявайки изразите (2.11) и (2.12) един към друг, получаваме:

(2.13)

A 12 = A 21 (2,14)

Извиква се равенство (2.14). теореми за реципрочност на работата,или Теорема на Бети:работата на силите от първото състояние върху преместванията в техните посоки, причинени от силите на второто състояние, е равна на работата на силите от второто състояние върху преместванията в техните посоки, причинени от силите на първото състояние.

Пропускайки междинните изчисления, ние изразяваме работата A 12 по отношение на огъващи моменти, надлъжни и напречни сили, възникващи в първото и второто състояние:

Всеки интегранд от дясната страна на това равенство може да се разглежда като произведение на вътрешната сила, възникваща в сечението на пръта от силите на първото състояние, и деформацията на елемента dz, причинена от силите на второто състояние.

2.4 Теорема за реципрочност на преместванията

Нека в първото състояние към системата е приложена сила
, а във втория -
(фиг. 24). Нека обозначим преместванията, причинени от единични сили (или единични моменти).
) символ . Тогава движението на разглежданата система в посока на единична сила в първото състояние (т.е. причинено от сила
) -
, и движение по посока на силата
във второ състояние -
.

Въз основа на теоремата за реципрочност на работата:

, Но
, Ето защо
, или в общия случай на действие на всякакви единици сили:

(2.16)

Ориз. 24

Полученото равенство (2.16) се нарича теореми за реципрочностдвижения(или Теорема на Максуел):за две единични състояния на еластична система преместването по посока на първата единична сила, причинено от втората единична сила, е равно на изместването по посока на втората сила, причинено от първата сила.

Подобни статии