След като сте получили обща представа за равенствата и сте се запознали с един от техните видове - числови равенства, можете да започнете да говорите за друг тип равенства, който е много важен от практическа гледна точка - уравнения. В тази статия ще разгледаме какво е уравнениеи това, което се нарича корен на уравнението. Тук ще дадем съответните определения, както и ще предоставим различни примери за уравнения и техните корени.

Навигация в страницата.

Какво е уравнение?

Целенасоченото запознаване с уравненията обикновено започва в часовете по математика във 2. клас. По това време се дава следното определение на уравнението:

Определение.

Уравнениетое равенство, съдържащо неизвестно число, което трябва да се намери.

Неизвестните числа в уравненията обикновено се обозначават с малки латински букви, например p, t, u и т.н., но най-често се използват буквите x, y и z.

Така уравнението се определя от гледна точка на формата на писане. С други думи, равенството е уравнение, когато се подчинява на определени правила за писане - съдържа буква, чиято стойност трябва да се намери.

Нека дадем примери за първите и много прости уравнения. Нека започнем с уравнения като x=8, y=3 и т.н. Уравнения, които съдържат аритметични знаци заедно с цифри и букви, изглеждат малко по-сложни, например x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Разнообразието от уравнения нараства след запознаване - започват да се появяват уравнения със скоби, например 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3. Неизвестна буква в уравнение може да се появи няколко пъти, например x+3+3·x−2−x=9, също така буквите могат да бъдат от лявата страна на уравнението, от дясната му страна или от двете страни на уравнението, например, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .

По-нататък след изучаване естествени числанастъпва запознаване с цели, рационални, реални числа, изучават се нови математически обекти: степени, корени, логаритми и т.н., докато се появяват все повече и повече нови видове уравнения, съдържащи тези неща. Примери за тях можете да видите в статията основни видове уравненияуча в училище.

В 7 клас, наред с буквите, които означават някои конкретни числа, те започват да разглеждат букви, които могат да вземат различни значения, те се наричат ​​променливи (вижте статията). В същото време в дефиницията на уравнението се въвежда думата „променлива“ и тя става така:

Определение.

Уравнениенаречено равенство, съдържащо променлива, чиято стойност трябва да се намери.

Например уравнението x+3=6·x+7 е уравнение с променливата x, а 3·z−1+z=0 е уравнение с променливата z.

По време на уроците по алгебра в същия 7 клас се сблъскваме с уравнения, съдържащи не една, а две различни неизвестни променливи. Те се наричат ​​уравнения с две променливи. В бъдеще се допуска наличието на три или повече променливи в уравненията.

Определение.

Уравнения с едно, две, три и т.н. променливи– това са уравнения, съдържащи в писмен вид съответно една, две, три, ... неизвестни променливи.

Например, уравнението 3.2 x+0.5=1 е уравнение с една променлива x, на свой ред уравнение от вида x−y=3 е уравнение с две променливи x и y. И още един пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Ясно е, че такова уравнение е уравнение с три неизвестни променливи x, y и z.

Какъв е коренът на едно уравнение?

Дефиницията на уравнение е пряко свързана с дефиницията на корена на това уравнение. Нека направим някои разсъждения, които ще ни помогнат да разберем какъв е коренът на уравнението.

Да кажем, че имаме уравнение с една буква (променлива). Ако замените число вместо буква, включена в записа на това уравнение, тогава уравнението се превръща в числово равенство. Освен това полученото равенство може да бъде вярно или невярно. Например, ако замените числото 2 вместо буквата a в уравнението a+1=5, ще получите неправилното числово равенство 2+1=5. Ако заместим числото 4 вместо a в това уравнение, получаваме правилното равенство 4+1=5.

На практика в по-голямата част от случаите интересът е към онези стойности на променливата, чието заместване в уравнението дава правилното равенство; тези стойности се наричат ​​корени или решения дадено уравнение.

Определение.

Корен на уравнението- това е стойността на буквата (променливата), при заместването на която уравнението се превръща в правилно числово равенство.

Имайте предвид, че коренът на уравнение в една променлива също се нарича решение на уравнението. С други думи, решението на уравнение и коренът на уравнението са едно и също нещо.

Нека обясним това определение с пример. За да направим това, нека се върнем към уравнението, написано по-горе a+1=5. Според дадената дефиниция на корена на уравнението, числото 4 е корен на това уравнение, тъй като при заместването на това число вместо буквата а получаваме правилното равенство 4+1=5, а числото 2 не е негово корен, тъй като съответства на неправилно равенство от вида 2+1= 5 .

В този момент възникват редица естествени въпроси: „Има ли корен някое уравнение и колко корена има?“ дадено уравнение"? Ние ще им отговорим.

Има както уравнения, които имат корени, така и уравнения, които нямат корени. Например уравнението x+1=5 има корен 4, но уравнението 0 x=5 няма корени, тъй като без значение какво число заместваме в това уравнение вместо променливата x, ще получим неправилното равенство 0=5 .

Що се отнася до броя на корените на едно уравнение, има както уравнения, които имат определен краен брой корени (един, два, три и т.н.), така и уравнения, които имат безкраен брой корени. Например уравнението x−2=4 има един корен 6, корените на уравнението x 2 =9 са две числа −3 и 3, уравнението x·(x−1)·(x−2)=0 има три корена 0, 1 и 2, а решението на уравнението x=x е произволно число, тоест има безкраен брой корени.

Трябва да се кажат няколко думи за приетата нотация за корените на уравнението. Ако уравнението няма корени, тогава те обикновено пишат „уравнението няма корени“ или използват знака за празно множество ∅. Ако уравнението има корени, тогава те се пишат разделени със запетаи или се записват като елементи от комплектавъв къдрави скоби. Например, ако корените на уравнението са числата −1, 2 и 4, тогава напишете −1, 2, 4 или (−1, 2, 4). Също така е допустимо корените на уравнението да се запишат под формата на прости равенства. Например, ако уравнението включва буквата x и корените на това уравнение са числата 3 и 5, тогава можете да напишете x=3, x=5 и често се добавят индекси x 1 =3, x 2 =5 към променливата, сякаш указва корените на числата на уравнението. Безкраен набор от корени на уравнение обикновено се записва във формата; ако е възможно, се използва и обозначението за набори от естествени числа N, цели Z и реални числа R. Например, ако коренът на уравнение с променлива x е цяло число, тогава напишете , а ако корените на уравнение с променлива y са произволно реално число от 1 до 9 включително, тогава напишете .

За уравнения с две, три и голяма сумапроменливи, като правило, терминът „корен на уравнението“ не се използва; в тези случаи се казва „решение на уравнението“. Какво се нарича решаване на уравнения с няколко променливи? Нека дадем съответното определение.

Определение.

Решаване на уравнение с две, три и т.н. променливинаречен чифт, тройка и т.н. стойности на променливите, превръщайки това уравнение в правилно числено равенство.

Нека покажем обяснителни примери. Да разгледаме уравнение с две променливи x+y=7. Нека заместим числото 1 вместо x и числото 2 вместо y и имаме равенството 1+2=7. Очевидно е неправилно, следователно двойката стойности x=1, y=2 не е решение на писменото уравнение. Ако вземем двойка стойности x=4, y=3, тогава след заместване в уравнението ще стигнем до правилното равенство 4+3=7, следователно тази двойка променливи стойности по дефиниция е решение към уравнението x+y=7.

Уравнения с няколко променливи, като уравнения с една променлива, може да нямат корени, могат да имат краен брой корени или могат да имат безкраен брой корени.

Двойки, тройки, четворки и др. Стойностите на променливите често се записват накратко, като се изброяват техните стойности, разделени със запетаи в скоби. В този случай написаните числа в скоби съответстват на променливите по азбучен ред. Нека изясним тази точка, като се върнем към предишното уравнение x+y=7. Решението на това уравнение x=4, y=3 може да се запише накратко като (4, 3).

Най-голямо внимание в училищния курс по математика, алгебра и началото на анализа се отделя на намирането на корените на уравнения с една променлива. Ще обсъдим правилата на този процес много подробно в статията. решаване на уравнения.

Библиография.

• Математика. 2 класа Учебник за общо образование институции с прил. на електрон носител. В 14 ч. Част 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова и др.] - 3-то изд. - М.: Образование, 2012. - 96 с.: ил. - (Училище на Русия). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:учебник за 7 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Решаването на уравнения в математиката заема специално място. Този процес е предшестван от много часове изучаване на теория, по време на които ученикът се научава как да решава уравнения, да определя техния тип и довежда умението до пълна автоматизация. Търсенето на корени обаче не винаги има смисъл, тъй като те може просто да не съществуват. Има специални техники за намиране на корени. В тази статия ще анализираме основните функции, техните области на дефиниране, както и случаите, когато техните корени липсват.

Кое уравнение няма корени?

Едно уравнение няма корени, ако няма реални аргументи x, за които уравнението е идентично вярно. За неспециалист тази формулировка, както повечето математически теореми и формули, изглежда много неясна и абстрактна, но това е на теория. На практика всичко става изключително просто. Например: уравнението 0 * x = -53 няма решение, тъй като няма число x, чието произведение с нула би дало нещо различно от нула.

Сега ще разгледаме най-основните видове уравнения.

1. Линейно уравнение

Едно уравнение се нарича линейно, ако неговата дясна и лява страна са представени във формата линейни функции: ax + b = cx + d или в обобщен вид kx + b = 0. Където a, b, c, d са известни числа, а x е неизвестна величина. Кое уравнение няма корени? Примери за линейни уравнения са представени на илюстрацията по-долу.

Решават се основно линейни уравнения просто прехвърлянечисловата част в едната част, а съдържанието с x в другата. Резултатът е уравнение във формата mx = n, където m и n са числа, а x е неизвестно. За да намерите x, просто разделете двете страни на m. Тогава x = n/m. Повечето линейни уравнения имат само един корен, но има случаи, когато има безкрайно много корени или никакви корени. Когато m = 0 и n = 0, уравнението приема формата 0 * x = 0. Решението на такова уравнение ще бъде абсолютно всяко число.

Но кое уравнение няма корени?

За m = 0 и n = 0 уравнението няма корени в набора от реални числа. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - тези уравнения нямат корени.

2. Квадратно уравнение

Квадратното уравнение е уравнение от формата ax 2 + bx + c = 0 за a = 0. Най-често срещаното решение е чрез дискриминанта. Формулата за намиране на дискриминанта на квадратно уравнение е: D = b 2 - 4 * a * c. След това има два корена x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

При D > 0 уравнението има два корена, при D = 0 има един корен. Но кое квадратно уравнение няма корени? Най-лесният начин да наблюдавате броя на корените на квадратно уравнение е като начертаете графика на функцията, която е парабола. При a > 0 клоните са насочени нагоре, при a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Можете също така визуално да определите броя на корените, без да изчислявате дискриминанта. За да направите това, трябва да намерите върха на параболата и да определите в каква посока са насочени клоните. Координатата x на върха може да се определи с помощта на формулата: x 0 = -b / 2a. В този случай y координатата на върха се намира чрез просто заместване на стойността x 0 в оригиналното уравнение.

Квадратното уравнение x 2 - 8x + 72 = 0 няма корени, тъй като има отрицателен дискриминант D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Това означава, че параболата не докосва оста x и функцията никога не приема стойност 0, следователно уравнението няма истински корени.

3. Тригонометрични уравнения

Тригонометричните функции се разглеждат върху тригонометричната окръжност, но могат да бъдат представени и в Декартова системакоординати В тази статия ще разгледаме две основни тригонометрични функциии техните уравнения: sinx и cosx. Тъй като тези функции образуват тригонометрична окръжност с радиус 1, |sinx| и |cosx| не може да бъде по-голямо от 1. И така, кое уравнение sinx няма корени? Разгледайте графиката на функцията sinx, показана на снимката по-долу.

Виждаме, че функцията е симетрична и има период на повторение 2pi. Въз основа на това можем да кажем, че максималната стойност на тази функция може да бъде 1, а минималната -1. Например изразът cosx = 5 няма да има корени, тъй като абсолютната му стойност е по-голяма от единица.

Това е най-простият пример за тригонометрични уравнения. Всъщност решаването им може да отнеме много страници, в края на които разбирате, че сте използвали грешната формула и трябва да започнете отначало. Понякога, дори ако намерите корените правилно, може да забравите да вземете предвид ограниченията за OD, поради което в отговора се появява допълнителен корен или интервал и целият отговор се превръща в грешка. Затова стриктно спазвайте всички ограничения, защото не всички корени се вписват в обхвата на задачата.

4. Системи уравнения

Система от уравнения е набор от уравнения, съединени с фигурни или квадратни скоби. Къдравите скоби показват, че всички уравнения се изпълняват заедно. Тоест, ако поне едно от уравненията няма корени или противоречи на друго, цялата система няма решение. Квадратните скоби означават думата "или". Това означава, че ако поне едно от уравненията на системата има решение, то цялата система има решение.

Отговорът на системата c е множеството от всички корени на отделните уравнения. А системите с фигурни скоби имат само общи корени. Системите от уравнения могат да включват напълно различни функции, така че такава сложност не ни позволява веднага да кажем кое уравнение няма корени.

Среща се в задачници и учебници различни видовеуравнения: тези, които имат корени и тези, които нямат. Първо, ако не можете да намерите корените, не мислете, че те изобщо не са там. Може би сте направили грешка някъде, тогава просто трябва внимателно да проверите отново решението си.

Разгледахме най-основните уравнения и техните видове. Сега можете да кажете кое уравнение няма корени. В повечето случаи това не е трудно да се направи. Постигането на успех в решаването на уравнения изисква само внимание и концентрация. Практикувайте повече, това ще ви помогне да се ориентирате в материала много по-добре и по-бързо.

И така, уравнението няма корени, ако:

• V линейно уравнение mx = n стойност m = 0 и n = 0;
• V квадратно уравнение, ако дискриминантът е по-малък от нула;
• в тригонометрично уравнение във формата cosx = m / sinx = n, ако |m| > 0, |n| > 0;
• в система от уравнения с къдрави скоби, ако поне едно уравнение няма корени, и с квадратни скоби, ако всички уравнения нямат корени.

След като изучихме понятието равенства, а именно един от техните видове – числови равенства, можем да преминем към друг важен вид – уравненията. В рамките на този материал ще обясним какво е уравнение и неговия корен, ще формулираме основни определения и ще дадем различни примери за уравнения и намиране на техните корени.

Понятие за уравнение

Обикновено концепцията за уравнение се преподава в самото начало на училищния курс по алгебра. Тогава се определя така:

Определение 1

Уравнениенарича равенство с неизвестно число, което трябва да се намери.

Прието е неизвестните да се обозначават с малки латински букви, например t, r, m и т.н., но най-често се използват x, y, z. С други думи, уравнението се определя от формата на неговия запис, тоест равенството ще бъде уравнение само когато се сведе до определена форма - трябва да съдържа буква, стойността, която трябва да се намери.

Нека дадем няколко примера за най-простите уравнения. Това могат да бъдат равенства от вида x = 5, y = 6 и т.н., както и такива, които включват аритметични операции, например x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.

След изучаването на понятието скоби се появява понятието уравнения със скоби. Те включват 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и т.н. Буквата, която трябва да се намери, може да се появи повече от веднъж, но няколко пъти, като например , например в уравнението x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. Освен това неизвестните могат да бъдат разположени не само отляво, но и отдясно или в двете части едновременно, например x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 или 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Освен това, след като учениците се запознаят с концепциите за цели числа, реални числа, рационални числа, естествени числа, както и логаритми, корени и степени, се появяват нови уравнения, които включват всички тези обекти. Посветихме отделна статия на примери за такива изрази.

В учебната програма за 7. клас за първи път се появява понятието променливи. Това са букви, които могат да приемат различни значения (за повече подробности вижте статията за числови, буквени и променливи изрази). Въз основа на тази концепция можем да предефинираме уравнението:

Определение 2

Уравнениетое равенство, включващо променлива, чиято стойност трябва да бъде изчислена.

Тоест, например, изразът x + 3 = 6 x + 7 е уравнение с променливата x, а 3 y − 1 + y = 0 е уравнение с променливата y.

Едно уравнение може да има повече от една променлива, но две или повече. Те се наричат ​​съответно уравнения с две, три променливи и т.н. Нека запишем определението:

Определение 3

Уравнения с две (три, четири или повече) променливи са уравнения, които включват съответен брой неизвестни.

Например, равенство от вида 3, 7 · x + 0, 6 = 1 е уравнение с една променлива x, а x − z = 5 е уравнение с две променливи x и z. Пример за уравнение с три променливи би бил x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Корен на уравнението

Когато говорим за уравнение, веднага възниква необходимостта да се дефинира понятието неговия корен. Нека се опитаме да обясним какво означава.

Пример 1

Дадено ни е определено уравнение, което включва една променлива. Ако заместим неизвестната буква с число, уравнението се превръща в числово равенство - вярно или невярно. И така, ако в уравнението a + 1 = 5 заменим буквата с числото 2, тогава равенството ще стане невярно, а ако 4, тогава правилното равенство ще бъде 4 + 1 = 5.

Ние се интересуваме повече от тези стойности, с които променливата ще се превърне в истинско равенство. Те се наричат ​​корени или разтвори. Нека напишем определението.

Определение 4

Корен на уравнениетоТе наричат ​​стойността на променлива, която превръща дадено уравнение в истинско равенство.

Коренът може да се нарече и решение или обратното - и двете понятия означават едно и също нещо.

Пример 2

Нека вземем пример, за да изясним това определение. По-горе дадохме уравнението a + 1 = 5. Според дефиницията коренът в този случай ще бъде 4, тъй като при заместване вместо буква дава правилно числово равенство, а две няма да бъде решение, тъй като съответства на неправилното равенство 2 + 1 = 5.

Колко корена може да има едно уравнение? Всяко уравнение има ли корен? Нека отговорим на тези въпроси.

Съществуват и уравнения, които нямат един корен. Пример би бил 0 x = 5. Можем да заместим безкраен брой различни числа в него, но нито едно от тях няма да го превърне в истинско равенство, тъй като умножаването по 0 винаги дава 0.

Има и уравнения, които имат няколко корена. Те могат да имат краен или безкраен брой корени.

Пример 3

И така, в уравнението x − 2 = 4 има само един корен - шест, в x 2 = 9 два корена - три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корена - нула, едно и две, има безкрайно много корени в уравнението x=x.

Сега нека обясним как правилно да напишем корените на уравнението. Ако ги няма, тогава пишем: „уравнението няма корени“. В този случай можете също да посочите знака на празното множество ∅. Ако има корени, тогава ги пишем разделени със запетаи или ги посочваме като елементи на множество, ограждайки ги във фигурни скоби. И така, ако някое уравнение има три корена - 2, 1 и 5, тогава пишем - 2, 1, 5 или (- 2, 1, 5).

Позволено е да се записват корени под формата на прости равенства. И така, ако неизвестното в уравнението е означено с буквата y, а корените са 2 и 7, тогава пишем y = 2 и y = 7. Понякога към буквите се добавят индекси, например x 1 = 3, x 2 = 5. По този начин посочваме номерата на корените. Ако уравнението има безкраен брой решения, тогава записваме отговора като числов интервал или използваме общоприета нотация: множеството от естествени числа се обозначава с N, цели числа - Z, реални числа - R. Да кажем, че ако трябва да напишем, че решението на уравнението ще бъде цяло число, тогава ще напишем, че x ∈ Z, и ако всяко реално число от едно до девет, тогава y ∈ 1, 9.

Когато едно уравнение има два, три корена или повече, тогава по правило говорим не за корени, а за решения на уравнението. Нека формулираме дефиницията на решение на уравнение с няколко променливи.

Определение 5

Решението на уравнение с две, три или повече променливи е две, три или повече стойности на променливите, които превръщат даденото уравнение в правилно числово равенство.

Нека обясним определението с примери.

Пример 4

Да кажем, че имаме израза x + y = 7, който е уравнение с две променливи. Нека заместим едно вместо първото и две вместо второто. Ще получим неправилно равенство, което означава, че тази двойка стойности няма да бъде решение на това уравнение. Ако вземем двойката 3 и 4, тогава равенството става вярно, което означава, че сме намерили решение.

Такива уравнения може също да нямат корени или да имат безкраен брой от тях. Ако трябва да запишем две, три, четири или повече стойности, тогава ги пишем разделени със запетаи в скоби. Тоест в примера по-горе отговорът ще изглежда като (3, 4).

На практика най-често трябва да се справяте с уравнения, съдържащи една променлива. Ще разгледаме подробно алгоритъма за решаването им в статията, посветена на решаването на уравнения.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Подобни статии