Tehetetlenségi nyomaték. A test tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest Relatív tehetetlenségi nyomaték

Legyen szilárd test. Válasszunk egy OO egyenest (6.1. ábra), amit tengelynek nevezünk (az OO egyenes lehet a testen kívül). Osszuk fel a testet tömegekkel elemi szakaszokra (anyagpontokra).
tengelytől távol helyezkedik el
illetőleg.

Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka egy tengelyhez képest (OO) az anyagi pont tömegének szorzata a tengelytől való távolságának négyzetével:

. (6.1)

A test tehetetlenségi nyomatéka (MI) egy tengelyhez viszonyítva (OO) a test elemi szakaszai tömegének szorzata a tengelytől való távolságuk négyzetével:

. (6.2)

Amint látható, a test tehetetlenségi nyomatéka additív mennyiség - az egész test tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos tengelyhez képest megegyezik az egyes részek tehetetlenségi nyomatékának összegével ugyanazon tengelyhez képest.

Ebben az esetben

A tehetetlenségi nyomaték mértéke kgm 2 -ben történik. Mert

, (6.3)

ahol  – az anyag sűrűsége,
- hangerő én- A szakasz tehát

vagy végtelenül kicsi elemekre lépve,

. (6.4)

A (6.4) képlet kényelmesen használható szabályos alakú homogén testek MI-jének kiszámításához a test tömegközéppontján áthaladó szimmetriatengelyhez viszonyítva. Például egy henger MI értékére a generatrixszal párhuzamos tömegközépponton átmenő tengelyhez viszonyítva ez a képlet

Ahol T- súly; R- a henger sugara.

Steiner tétele nagy segítséget nyújt a testek bizonyos tengelyekhez viszonyított MI-jének kiszámításához: testek MI-je én bármely tengelyhez viszonyítva egyenlő ennek a testnek az MI értékének összegével én c a test tömegközéppontján átmenő és azzal párhuzamos tengelyhez, valamint a test tömegének a távolság négyzetével való szorzatához d a feltüntetett tengelyek között:

. (6.5)

A tengely körüli erőnyomaték

Hagyja, hogy az erő hatson a testre F. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az erő F valamely OO egyenesre merőleges síkban fekszik (6.2. ábra, A), amelyet tengelynek fogunk nevezni (például ez a test forgástengelye). ábrán. 6.2, A A- az erő alkalmazási pontja F,
- a tengely metszéspontja azzal a síkkal, amelyben az erő fekszik; r- a pont helyzetét meghatározó sugárvektor A ponthoz képest RÓL RŐL"; O"B = b - az erő vállát. A tengelyhez viszonyított erőkar a legkisebb távolság a tengelytől az egyenes vonalig, amelyen az erővektor fekszik F(a pontból húzott merőleges hossza erre a sorra).

A tengelyhez viszonyított erőnyomaték az egyenlőséggel meghatározott vektormennyiség

. (6.6)

Ennek a vektornak a modulusa . Ezért néha azt mondják, hogy az erő egy tengely körüli nyomatéka az erő és a kar szorzata.

Ha erőt F tetszőlegesen irányul, akkor két komponensre bontható; És (6.2. ábra, b), azaz
+, Ahol - az OO tengellyel párhuzamos komponens, és tengelyére merőleges síkban fekszik. Ebben az esetben az erőnyomaték alatt F az OO tengelyhez viszonyítva érti a vektort

. (6.7)

A (6.6) és (6.7) kifejezésekkel összhangban a vektor M a tengely mentén irányítva (lásd 6.2. ábra, A,b).

Test lendülete a forgástengelyhez viszonyítva

P Hagyja, hogy a test egy bizonyos OO tengely körül forogjon szögsebességgel
. Bontsuk gondolatban tömegekkel ezt a testet elemi részekre
, amelyek a tengelytől, illetve távolságokban helyezkednek el
és körben forog, lineáris sebességgel
Köztudott, hogy az érték egyenlő
- van egy impulzus én-cselekmény. impulzus pillanata én-a forgástengelyhez viszonyított metszetet (anyagpontot) vektornak (pontosabban pszeudovektornak) nevezzük.

, (6.8)

Ahol r én– a pozíciót meghatározó sugárvektor én- a tengelyhez viszonyított terület.

Az egész testnek a forgástengelyhez viszonyított szögimpulzusát vektornak nevezzük

(6.9)

amelynek modulja
.

A (6.8) és (6.9) kifejezésekkel összhangban a vektorok
És a forgástengely mentén irányítva (6.3. ábra). Könnyen kimutatható, hogy egy test szögimpulzusa L a forgástengelyhez és a tehetetlenségi nyomatékhoz képest én ennek a testnek az azonos tengelyhez viszonyított relációja összefügg

. (6.10)

Határozzuk meg a test tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest u, áthalad egy bizonyos ponton RÓL RŐL(36. ábra).

36. ábra

Értelemszerűen tehetetlenségi nyomaték.

Tegyük a lényegre RÓL RŐL koordinátatengelyek origója x, y, z. Derékszögű háromszögből OAM i következik , ahol . És mivel a pont sugárvektora , akkor ezt az egyenlőséget a tengelyre vetítve u, a tengely közötti ( , , - szögeket kapjuk ués tengelyek x, y, z).

Mint a trigonometriából ismeretes

És az azonos szögek koszinuszait tartalmazó hasonló kifejezéseket csoportosítva a következőket kapjuk:

De - távolságok a ponttól M i tengelyekhez x, y, z, illetőleg. Ezért

Ahol I x , I y , I z– a test tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez képest; I xy, J yz, J xz - centrifugális tehetetlenségi nyomatékok az indexekben jelölt tengelyekhez képest.

Ha két centrifugális tehetetlenségi nyomaték, amelyek indexei egy-egy tengely nevét tartalmazzák, egyenlő nullával, akkor ezt a tengelyt ún. fő tehetetlenségi tengely. Például ha J yz = 0és J xz= 0, majd a tengely z– fő tehetetlenségi tengely.

Mivel minden tehetetlenségi nyomaték attól függ, hogy hol van a pont RÓL RŐL, a koordináták origójának megválasztásából, akkor azt kell jelezni, hogy ezek a tehetetlenségi nyomatékok melyik pontra vonatkoznak. Ha a koordináták origóját a tömegközéppontban vesszük fel VAL VEL, akkor az összes fő tehetetlenségi tengelyt nevezzük fő központi tehetetlenségi tengelyek.

Ha egy adott pontban a koordinátatengelyek a fő tehetetlenségi tengelyek (a hozzájuk viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékok egyenlők nullával), akkor a (2) képlet egyszerűsödik:

Néha bizonyos jelek alapján nem nehéz megtalálni a test fő tehetetlenségi tengelyeit.

1. Ha egy homogén testnek van szimmetriatengelye, akkor ez a tengely a fő központi tehetetlenségi tengely.

Igazán. Irányítsuk a koordinátatengelyt z a szimmetriatengely mentén. Ezután a test minden pontjára koordinátákkal ( x i, y i, z i) találhat egy pontot koordinátákkal ( -x i , -y i , -z i) és ezért a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok és . Tehát a tengely z– a fő tehetetlenségi tengely, és a központi tengely, mert a tömegközéppont, mint ismeretes, a szimmetriatengelyen helyezkedik el. Ezenkívül ez a tengely lesz a fő tengely a szimmetriatengelyen található bármely pontban.

2. Ha egy homogén testnek van szimmetriasíkja, akkor bármely rá merőleges tengely lesz a fő tehetetlenségi tengely ennek a síknak az összes pontjára.

Irányítsuk a tengelyt z merőleges a szimmetriasíkra annak bármely pontjából RÓL RŐL, hozzárendelve ott a koordináták origóját. Ezután a test minden pontjára koordinátákkal ( x i, y i, z i) koordinátákkal találsz rá szimmetrikus pontot ( x i , y i , - z i). Ezért a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok én xzÉs én yz egyenlő lesz a nullával. Tehát a tengely z– fő tehetetlenségi tengely.

9. példa. Határozzuk meg a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát a tengelyhez képest u, amely a korong szimmetriatengelyéhez képest szöget zár be z(37. ábra).

37. ábra

Tengelyek x, yÉs z– a fő központi tehetetlenségi tengelyek, mert szimmetriatengelyek.

Akkor hol van a tengelyek közötti szög uÉs z; szög - a tengelyek közötti szög uÉs y, egyenlő ; szög - a tengelyek közötti szög uÉs x, egyenlő 90°-kal. Ezért

Differenciális a rendszer mozgásegyenletei.

Tekintsünk egy rendszert, amely a következőkből áll P anyagi pontok. Válasszunk ki egy tömegpontot a rendszerből. Jelöljük a pontra ható összes külső erő eredőjét (aktív és reakció kötések egyaránt) , és minden belső erő eredője – keresztül . Ha a pontnak van gyorsulása , akkor a dinamika alaptörvénye szerint

Bármely pontra hasonló eredményt kapunk. Ezért az egész rendszerre ez lesz:

Ezeket az egyenleteket, amelyekből a rendszer egyes pontjainak mozgástörvénye meghatározható, nevezzük a rendszer mozgásának differenciálegyenletei vektoros formában. Az egyenletek differenciálisak, mert ; Az egyenletek jobb oldalán szereplő erők általában az időtől, a rendszer pontjainak koordinátáitól és azok sebességétől függenek.

Néhány koordinátatengelyre vetítve megkaphatjuk a rendszer mozgásának differenciálegyenleteit ezekre a tengelyekre vetítve.

A dinamika fő problémájának teljes megoldása egy rendszer esetében abban állna, hogy az adott erők ismeretében integráljuk a megfelelő differenciálegyenleteket, és ily módon a rendszer minden pontjának mozgástörvényét külön-külön meghatározzuk.

Ezt a megoldást azonban általában két okból nem használják. Először is, ez az út túl bonyolult, és szinte mindig leküzdhetetlen matematikai nehézségekkel jár. Másodszor, a legtöbb esetben a mechanikai problémák megoldása során elegendő a rendszer egészének mozgásának néhány összefoglaló jellemzőjét ismerni, nem pedig az egyes pontjainak mozgását külön-külön. Ezeket az összefoglaló jellemzőket a segítségével határozzuk meg általános tételek a rendszer dinamikája, amelynek tanulmányozásával folytatjuk.

Az egyenletek fő szerepe abban rejlik, hogy ezek, illetve az azokból származó következmények a megfelelő általános tételek megszerzésének kiindulópontjai.

A mechanikai rendszer dinamikájának általános tételei: a mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgására és az impulzus változására vonatkozó tételek, a mozgási impulzus és a mozgási energia változására vonatkozó tételek a dinamika alapegyenletének következményei. . Ezek a tételek nem a mechanikai rendszerben lévő egyes pontok és testek mozgását veszik figyelembe, hanem egyes integrált jellemzőket, mint például egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgását, lendületét, mozgási nyomatékát és mozgási energiáját. Ennek eredményeként az ismeretlen belső erők és esetenként a kapcsolási reakciók kizárásra kerülnek a számításból, ami jelentősen leegyszerűsíti a probléma megoldását.

Gyakran halljuk a következő kifejezéseket: „tehetetlen”, „tehetetlenség nyoma”, „tehetetlenségi pillanat”. Átvitt értelemben a „tehetetlenség” szó a kezdeményezés és a cselekvés hiányaként értelmezhető. Minket a közvetlen jelentés érdekel.

Mi a tehetetlenség

Definíció szerint tehetetlenség a fizikában a testek azon képessége, hogy külső erők hiányában nyugalmi vagy mozgási állapotot tartsanak fenn.

Ha minden világos a tehetetlenség fogalmával intuitív szinten, akkor tehetetlenségi nyomaték– külön kérdés. Egyetértek, nehéz elképzelni, mi az. Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan oldja meg a témával kapcsolatos alapvető problémákat "Tehetetlenségi nyomaték".

A tehetetlenségi nyomaték meghatározása

Az iskolai tanfolyamból ismert, hogy tömeg – a test tehetetlenségének mértéke. Ha két különböző tömegű kocsit tolunk, akkor a nehezebbet nehezebb lesz megállítani. Vagyis minél nagyobb a tömeg, annál nagyobb külső hatás szükséges a test mozgásának megváltoztatásához. Amit tekintünk, az a transzlációs mozgásra vonatkozik, amikor a példában szereplő kocsi egyenes vonalban mozog.

A tömeggel és a transzlációs mozgással analóg módon a tehetetlenségi nyomaték a test tehetetlenségének mértéke egy tengely körüli forgó mozgás során.

Tehetetlenségi nyomaték– skaláris fizikai mennyiség, a test tehetetlenségének mértéke a tengely körüli forgás során. Betűvel jelölve J és a rendszerben SI kilogramm-szer négyzetméterben mérve.

Hogyan kell kiszámítani a tehetetlenségi nyomatékot? Van egy általános képlet, amellyel bármely test tehetetlenségi nyomatékát kiszámítják a fizikában. Ha egy testet tömegével végtelenül kicsi darabokra törünk dm , akkor a tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz ezen elemi tömegek szorzatának összegével a forgástengely távolságának négyzetével.

Ez a fizikában a tehetetlenségi nyomaték általános képlete. Anyagi tömegponthoz m , távolról egy tengely körül forog r ebből ez a képlet a következő alakot veszi fel:

Steiner tétele

Mitől függ a tehetetlenségi nyomaték? A tömegtől, a forgástengely helyzetétől, a test alakjától és méretétől.

A Huygens-Steiner tétel egy nagyon fontos tétel, amelyet gyakran használnak a problémák megoldásában.

Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak bármilyen típusú munka

A Huygens-Steiner tétel kimondja:

A test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának egy tetszőleges tengellyel párhuzamos tömegközépponton átmenő tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának összegével, valamint a test tömegének a négyzet szorzatával a tengelyek közötti távolságról.

Azok számára, akik nem akarnak állandóan integrálódni a tehetetlenségi nyomaték megtalálásának problémáinak megoldása során, bemutatunk egy rajzot, amely néhány homogén test tehetetlenségi nyomatékát jelzi, amelyek gyakran előfordulnak a problémák során:

Példa egy probléma megoldására a tehetetlenségi nyomaték megtalálására

Nézzünk két példát. Az első feladat a tehetetlenségi nyomaték megtalálása. A második feladat a Huygens-Steiner tétel alkalmazása.

1. feladat Határozza meg egy m tömegű és R sugarú homogén korong tehetetlenségi nyomatékát. A forgástengely átmegy a korong középpontján.

Megoldás:

Osszuk fel a korongot végtelen vékony gyűrűkre, amelyek sugara től változik 0 előtt Rés vegyünk egy ilyen gyűrűt. Legyen a sugara rés tömeg - dm. Ekkor a gyűrű tehetetlenségi nyomatéka:

A gyűrű tömege a következőképpen ábrázolható:

Itt dz– a gyűrű magassága. Helyettesítsük be a tömeget a tehetetlenségi nyomaték képletébe, és integráljuk:

Az eredmény egy abszolút vékony tárcsa vagy henger tehetetlenségi nyomatékának képlete.

2. feladat. Legyen ismét egy m tömegű és R sugarú korong. Most meg kell találnunk a korong tehetetlenségi nyomatékát az egyik sugarának közepén átmenő tengelyhez képest.

Megoldás:

A korong tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton átmenő tengelyhez képest az előző feladatból ismert. Alkalmazzuk Steiner tételét, és keressük meg:

Blogunkon egyébként további hasznos anyagokat is találhat a fizikáról és a problémamegoldásról.

Reméljük, hogy a cikkben talál valami hasznosat magának. Ha nehézségek merülnek fel a tehetetlenségi tenzor kiszámítása során, ne feledkezzünk meg a hallgatói szolgáltatásról. Szakembereink bármilyen kérdésben tanácsot adnak, és percek alatt segítenek megoldani a problémát.

Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka egy tengelyhez képest (OO) az anyagi pont tömegének szorzata a tengelytől való távolságának négyzetével:

. (6.1)

A test tehetetlenségi nyomatéka (MI) egy tengelyhez viszonyítva (OO) a test elemi szakaszai tömegének szorzata a tengelytől való távolságuk négyzetével:

. (6.2)

Ebben az esetben

A tehetetlenségi nyomaték mértéke kgm 2 -ben történik. Mert

, (6.3)

ahol  – az anyag sűrűsége,
- hangerő én- A szakasz tehát

vagy végtelenül kicsi elemekre lépve,

. (6.4)

Ahol T- súly; R- a henger sugara.

. (6.5)

A tengely körüli erőnyomaték

A tengelyhez viszonyított erőnyomaték az egyenlőséggel meghatározott vektormennyiség

. (6.6)

Ennek a vektornak a modulusa . Ezért néha azt mondják, hogy az erő egy tengely körüli nyomatéka az erő és a kar szorzata.

. (6.7)

A (6.6) és (6.7) kifejezésekkel összhangban a vektor M a tengely mentén irányítva (lásd 6.2. ábra, A,b).

Test lendülete a forgástengelyhez viszonyítva

, (6.8)

Ahol r én– a pozíciót meghatározó sugárvektor én- a tengelyhez viszonyított terület.

Az egész testnek a forgástengelyhez viszonyított szögimpulzusát vektornak nevezzük

(6.9)

amelynek modulja
.

. (6.10)

Tekintsünk egy m tömegű anyagpontot, amely a rögzített tengelytől r távolságra található (26. ábra). Egy anyagi pont J tehetetlenségi nyomatéka egy tengelyhez képest egy skaláris fizikai mennyiség, amely egyenlő az m tömeg és az ettől a tengelytől mért távolság négyzetének szorzatával:

J = mr 2(75)

Egy N anyagi pontból álló rendszer tehetetlenségi nyomatéka egyenlő lesz az egyes pontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével:

Rizs. 26.

Egy pont tehetetlenségi nyomatékának meghatározása.

Ha a tömeg folyamatosan oszlik el a térben, akkor az összegzést integráció váltja fel. A test dv elemi térfogatokra van felosztva, amelyek mindegyikének tömege dm.

Az eredmény a következő kifejezés:

Egy térfogatban homogén test esetén a ρ sűrűség állandó, és az elemi tömeget a következő alakba írjuk:

dm = ρdv, a (70) képletet a következőképpen alakítjuk át:

A tehetetlenségi nyomaték mérete - kg*m2.

A test tehetetlenségi nyomatéka a forgó mozgásban lévő test tehetetlenségi nyomatéka, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke.

Tehetetlenségi nyomaték - ez a szilárd test tehetetlenségi tulajdonságainak mértéke a forgó mozgás során, a tömeg forgástengelyhez viszonyított eloszlásától függően. Más szóval, a tehetetlenségi nyomaték a test tömegétől, alakjától, méretétől és a forgástengely helyzetétől függ.

Bármely testnek, függetlenül attól, hogy forog vagy nyugalomban van, tehetetlenségi nyomatéka van bármely tengely körül, mint ahogy a testnek tömege van, függetlenül attól, hogy mozog vagy nyugalomban van. A tömeghez hasonlóan a tehetetlenségi nyomaték is additív mennyiség.

Egyes esetekben a tehetetlenségi nyomaték elméleti számítása meglehetősen egyszerű. Az alábbiakban néhány szabályos geometriai alakú szilárd test tehetetlenségi nyomatéka látható a súlyponton átmenő tengely körül.

Egy R sugarú végtelenül lapos korong tehetetlenségi nyomatéka a korong síkjára merőleges tengelyhez képest:

Egy sugarú golyó tehetetlenségi nyomatéka R:

Rúdhosszúság tehetetlenségi nyomatéka L a rúd rá merőleges közepén áthaladó tengelyhez képest:

Egy végtelenül vékony sugarú karika tehetetlenségi nyomatéka R a síkjára merőleges tengelyhez képest:

A test tehetetlenségi nyomatékát egy tetszőleges tengely körül Steiner tételével számítjuk ki:

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengely körül egyenlő a vele párhuzamos tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével, valamint a test tömegének a tengelyek közötti távolság négyzetének szorzatával. .

A Steiner-tétel segítségével kiszámítjuk egy hosszúságú rúd tehetetlenségi nyomatékát L a rá merőleges végén átmenő tengelyhez képest (27. ábra).

A rúd tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához

Steiner tétele szerint a rúd tehetetlenségi nyomatéka az O′O′ tengelyhez viszonyítva egyenlő az OO tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékkal plusz md 2. Innen kapjuk:

Nyilvánvaló, hogy a tehetetlenségi nyomaték nem azonos a különböző tengelyekhez képest, ezért a forgómozgás dinamikájával kapcsolatos feladatok megoldásánál minden alkalommal külön kell keresni a testnek a számunkra érdekes tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékát. . Tehát például forgó alkatrészeket tartalmazó műszaki eszközök tervezésekor (vasúti közlekedésben, repülőgépgyártásban, elektrotechnikában stb.) Ismerni kell ezen alkatrészek tehetetlenségi nyomatékának értékét. Bonyolult testforma esetén a tehetetlenségi nyomaték elméleti kiszámítása nehézkes lehet. Ezekben az esetekben előszeretettel mérik kísérletileg egy nem szabványos alkatrész tehetetlenségi nyomatékát.

F erőnyomaték az O ponthoz viszonyítva