Keresse meg a szimmetriatengelyt! A parabola szimmetriatengelye a parabola csúcsán áthaladó függőleges egyenes. A szimmetriatengelyt az x = n függvény adja meg, ahol n a parabola csúcsának „x” koordinátája. A szimmetriatengely kiszámításához használja a képletet x = -b/2a.

• Példánkban a = 2, b = 0. Illessze be ezeket az értékeket a képletbe: x = -0/(2 x 2) = 0.
• Szimmetriatengely x = 0.

Keresse meg a tetejét. A szimmetriatengely kiszámítása után megtalálta a parabola csúcsának „x” koordinátáját. Illessze be a talált értéket az eredeti egyenletbe, hogy megtalálja az „y”-t. Ez a két koordináta a parabola csúcsának koordinátája. Példánkban az x = 0 helyett y = 2x 2 -1-et kapunk, és y = -1 lesz. A parabola csúcsának koordinátái vannak (0, -1). Ráadásul ez a parabola metszéspontja az Y tengellyel (mivel x = 0).

• Néha egy csúcs koordinátáit (h,k) jelöljük. Példánkban h = 0, k = -1. Ha a másodfokú egyenletet a formában adjuk meg y = a(x – h)2 + k, akkor közvetlenül az egyenletből (számítások nélkül) könnyen megtalálhatja a csúcs koordinátáit.

A matematikában az identitások egész ciklusa létezik, amelyek között a másodfokú egyenletek jelentős helyet foglalnak el. Az ilyen egyenlőségeket külön-külön is meg lehet oldani, és a koordináta-tengelyen gráfokat is lehet készíteni. az egyenletek a parabola és az oh egyenes metszéspontjai.

Általános forma

Általában a következő felépítésű:

Mind az egyes változók, mind a teljes kifejezések „X”-nek tekinthetők. Például:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

Abban az esetben, ha x szerepe egy kifejezés, akkor változóként kell ábrázolni és megkeresni, majd a polinomot egyenlővé kell tenni velük, és meg kell keresni x-et.

Tehát, ha (x+7)=a, akkor az egyenlet a 2 +3a+2=0 alakot ölti.

D=3 2 -4*1*2=1;

és 1 =(-3-1)/2*1=-2;

és 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Ha a gyökök egyenlő -2 és -1, a következőket kapjuk:

x+7=-2 és x+7=-1;

A gyökök annak a pontnak az x koordinátája, ahol a parabola metszi az x tengelyt. Értékük elvileg nem olyan fontos, ha csak a parabola csúcsának megtalálása a feladat. Ám egy grafikon ábrázolásához a gyökök fontos szerepet játszanak.

Térjünk vissza a kezdeti egyenlethez. A parabola csúcsának megkeresésére vonatkozó kérdés megválaszolásához ismernie kell a következő képletet:

ahol x VP a kívánt pont x-koordináta értéke.

De hogyan találjuk meg a parabola csúcsát az y-koordináta értéke nélkül? A kapott x értéket behelyettesítjük az egyenletbe, és megkeressük a kívánt változót. Például oldjuk meg a következő egyenletet:

Keresse meg a parabola csúcsának x-koordináta értékét:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Keresse meg a parabola csúcsának y-koordináta értékét:

y=2x2 +4x-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

Ennek eredményeként azt találjuk, hogy a parabola csúcsa a (-1,5;-7,25) koordinátájú pontban található.

A parabola pontok olyan kapcsolata, amelynek van egy függőleges. Emiatt maga a felépítése nem különösebben nehéz. A legnehezebb a pontok koordinátáinak helyes számítása.

Érdemes külön figyelmet fordítani a másodfokú egyenlet együtthatóira.

Az a együttható befolyásolja a parabola irányát. Abban az esetben, ha ennek értéke negatív, az ágak lefelé, pozitív előjel esetén pedig felfelé irányulnak.

A b együttható azt jelzi, hogy milyen széles lesz a parabolakar. Minél magasabb az értéke, annál szélesebb lesz.

A c együttható a parabola elmozdulását jelzi az op tengely mentén az origóhoz képest.

Azt már megtanultuk, hogyan kell megtalálni a parabola csúcsát, és a gyökerek megtalálásához a következő képleteket kell követnünk:

ahol D az a diszkrimináns, amely az egyenlet gyökereinek megtalálásához szükséges.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

A kapott x értékek nulla y értéknek felelnek meg, mert ezek az OX tengellyel való metszéspontok.

Ezt követően a kapott értékeket a parabola tetején jelöljük. A részletesebb grafikonhoz még néhány pontot kell találnia. Ehhez válassza ki a definíciós tartomány által megengedett x tetszőleges értékét, és cserélje be a függvény egyenletébe. A számítások eredménye a pont koordinátája lesz az op-amp tengely mentén.

A grafikus folyamat egyszerűsítése érdekében függőleges vonalat húzhat a parabola tetején és merőlegesen az OX tengelyére. Ennek segítségével egy pont birtokában a húzott egyenestől egyenlő távolságra kijelölhet egy másodikat.

Javaslom, hogy a többi olvasó jelentősen bővítse a parabolákkal és hiperbolákkal kapcsolatos iskolai ismereteit. Hiperbola és parabola – egyszerűek? ...alig várom =)

A hiperbola és kanonikus egyenlete

Az anyag bemutatásának általános felépítése az előző bekezdéshez fog hasonlítani. Kezdjük a hiperbola általános fogalmával és a megalkotásának feladatával.

A hiperbola kanonikus egyenlete alakja , ahol pozitív valós számok. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ellentétben ellipszis, a feltétel itt nincs beállítva, vagyis az „a” értéke kisebb lehet, mint a „be” érték.

Meg kell mondanom, egészen váratlanul... az „iskolai” hiperbola egyenlete még csak nem is hasonlít a kanonikus jelölésre. De erre a rejtélyre még várni kell, de egyelőre kapkodjuk a fejünket, és emlékezzünk arra, hogy milyen jellegzetességei vannak a kérdéses görbének? Terítsük szét képzeletünk képernyőjén függvény grafikonja ….

A hiperbolának két szimmetrikus ága van.

Nem rossz előrelépés! Bármely hiperbola rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, és most őszinte csodálattal nézzük ennek a vonalnak a nyakkivágását:

4. példa

Szerkessze meg az egyenlettel megadott hiperbolát!

Megoldás: első lépésben ezt az egyenletet kanonikus formába hozzuk. Kérjük, ne feledje a szabványos eljárást. A jobb oldalon egy „egyet” kell kapnia, ezért az eredeti egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 20-zal:

Itt mindkét frakciót csökkentheti, de optimálisabb mindegyiket elvégezni háromemeletes:

És csak ezután hajtsa végre a csökkentést:

Válassza ki a négyzeteket a nevezőkben:

Miért jobb így végrehajtani az átalakításokat? Hiszen a bal oldali frakciók azonnal csökkenthetők és megszerezhetők. A helyzet az, hogy a vizsgált példában egy kis szerencsénk volt: a 20-as szám osztható 4-gyel és 5-tel is. Általános esetben egy ilyen szám nem működik. Tekintsük például az egyenletet. Itt az oszthatósággal minden szomorúbb és anélkül háromemeletes törtek már nem lehetséges:

Használjuk tehát munkánk gyümölcsét – a kanonikus egyenletet:

Hogyan készítsünk hiperbolát?

Kétféle megközelítés létezik a hiperbola felépítésére: geometriai és algebrai.
Gyakorlati szempontból iránytűvel rajzolni... akár utópisztikusnak is mondanám, így sokkal kifizetődőbb ismét egyszerű számításokkal segíteni.

Célszerű betartani a következő algoritmust, először a kész rajzot, majd a megjegyzéseket:

A gyakorlatban gyakran előfordul a hiperbola tetszőleges szöggel történő elforgatásának és párhuzamos transzlációjának kombinációja. Ezt a helyzetet az órán megbeszélik A 2. rendű egyenes egyenlet visszavezetése kanonikus formára.

Parabola és kanonikus egyenlete

Kész van! Ő az egyetlen. Készen áll arra, hogy felfedjen sok titkot. A parabola kanonikus egyenlete alakja , ahol egy valós szám. Könnyen észrevehető, hogy standard helyzetében a parabola „oldalt fekszik”, csúcsa pedig az origóban van. Ebben az esetben a függvény ennek a sornak a felső ágát adja meg, a függvény pedig az alsó ágat. Nyilvánvaló, hogy a parabola szimmetrikus a tengelyre. Tulajdonképpen miért is zavarna:

6. példa

Szerkessz egy parabolát

Megoldás: a csúcs ismert, keressünk további pontokat. Az egyenlet meghatározza a parabola felső ívét, az egyenlet az alsó ívet.

A számítások rögzítésének lerövidítése érdekében a számításokat „egy ecsettel” végezzük:

A kompakt rögzítésnél az eredményeket táblázatban lehetne összefoglalni.

Az elemi pontonkénti rajz elvégzése előtt fogalmazzunk meg egy szigorút

parabola definíciója:

A parabola a sík azon pontjainak halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól és egy adott egyenestől, amely nem megy át a ponton.

A lényeg az ún fókusz parabolák, egyenes - igazgatónő (egy "es"-vel írva) parabolák. A kanonikus egyenlet állandó "pe"-jét nevezzük fókusz paraméter, ami egyenlő a fókusz és a direktix távolságával. Ebben az esetben . Ebben az esetben a fókusznak vannak koordinátái, és a direktrixet az egyenlet adja meg.
Példánkban:

A parabola definícióját még egyszerűbb megérteni, mint az ellipszis és a hiperbola definícióit. A parabola bármely pontja esetén a szakasz hossza (a fókusz és a pont távolsága) egyenlő a merőleges hosszával (a pont és az irányító távolsága):

Gratulálunk! Sokan közületek igazi felfedezést tettek ma. Kiderült, hogy a hiperbola és a parabola egyáltalán nem „hétköznapi” függvények grafikonjai, hanem kifejezett geometriai eredetűek.

Nyilvánvaló, hogy a fókuszparaméter növekedésével a grafikon ágai fel-le „emelkednek”, végtelenül közelítve a tengelyhez. Ahogy a „pe” érték csökken, elkezdenek összenyomódni és nyúlni a tengely mentén

Bármely parabola excentricitása egyenlő az egységgel:

Parabola forgatása és párhuzamos fordítása

A parabola az egyik leggyakoribb vonal a matematikában, és nagyon gyakran kell megépíteni. Ezért kérjük, fordítson különös figyelmet a lecke utolsó bekezdésére, ahol a görbe elhelyezésének tipikus lehetőségeit tárgyalom.

! jegyzet : a korábbi görbékhez hasonlóan helyesebb a koordinátatengelyek elforgatásáról és párhuzamos fordításáról beszélni, de a szerző az előadás egyszerűsített változatára szorítkozik, hogy az olvasó alapvetően megértse ezeket a transzformációkat.

Lecke: Hogyan készítsünk parabolát vagy másodfokú függvényt?

ELMÉLETI RÉSZ

A parabola az ax 2 +bx+c=0 képlettel leírt függvény grafikonja.
A parabola felépítéséhez egy egyszerű algoritmust kell követnie:

1) Parabola képlet y=ax 2 +bx+c,
Ha a>0 akkor a parabola ágai irányulnak fel,
egyébként a parabola ágai irányítottak le-.
Ingyenes tag c ez a pont metszi a parabolát az OY tengellyel;

2), a képlet segítségével találjuk meg x=(-b)/2a, behelyettesítjük a talált x-et a parabola egyenletbe, és megtaláljuk y;

3)Funkció nullák vagy más szóval a parabola OX tengellyel való metszéspontjai, ezeket az egyenlet gyökeinek is nevezik. A gyökök megtalálásához az egyenletet 0-val egyenlővé tesszük ax 2 +bx+c=0;

Az egyenletek típusai:

a) A teljes másodfokú egyenlet alakja ax 2 +bx+c=0és a diszkrimináns oldja meg;
b) A forma hiányos másodfokú egyenlete ax 2 +bx=0. A megoldáshoz ki kell venni x-et a zárójelekből, majd minden tényezőt 0-val egyenlővé kell tenni:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 és ax+b=0;
c) A forma hiányos másodfokú egyenlete ax 2 +c=0. A megoldáshoz az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra kell mozgatni. x =±√(c/a);

4) Keressen néhány további pontot a függvény összeállításához.

GYAKORLATI RÉSZ

És most egy példa segítségével mindent lépésről lépésre elemzünk:
1. példa:
y=x 2 +4x+3
c=3 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=3 pontban metszi. A parabola ágai felfelé néznek, mivel a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 csúcs a (-2;-1) pontban van
Keressük meg az x 2 +4x+3=0 egyenlet gyökereit
A diszkrimináns segítségével megtaláljuk a gyökereket
a=1 b=4 c=3
D=b 2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Vegyünk több tetszőleges pontot, amelyek az x = -2 csúcs közelében találhatók

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Helyettesítsen be x helyett az y=x 2 +4x+3 egyenletet
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = -2 egyenesre

2. példa:
y=-x 2 +4x
c=0 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=0 pontban metszi. A parabola ágai lefelé néznek, mivel a=-1 -1 Keressük meg a -x 2 +4x=0 egyenlet gyökereit
Hiányos másodfokú egyenlet ax 2 +bx=0 alakú. A megoldáshoz ki kell venni x-et a zárójelekből, majd minden tényezőt 0-val egyenlővé kell tenni.
x(-x+4)=0, x=0 és x=4.

Vegyünk néhány tetszőleges pontot, amelyek az x=2 csúcs közelében találhatók
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Helyettesíts be x helyett az y=-x egyenletbe 2 +4x értékeket
y=0 2 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = 2 egyenesre

3. példa
y=x 2-4
c=4 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=4 pontban metszi. A parabola ágai felfelé néznek, mivel a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 a csúcs a (0) pontban van;- 4 )
Keressük meg az x 2 -4=0 egyenlet gyökereit
Hiányos másodfokú egyenlet ax 2 +c=0 alakú. A megoldáshoz az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra kell mozgatni. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Vegyünk néhány tetszőleges pontot, amelyek az x=0 csúcs közelében találhatók
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Helyettesítse be x helyett az y= x egyenletet 2 -4 értékkel
y=(-2) 2-4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=2 2-4=4-4=0
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = 0 egyenesre

Iratkozz fel a YOUTUBE csatornájára hogy lépést tartson az összes új termékkel, és velünk készüljön a vizsgákra.

Hasonló cikkek

A Miller név eredettörténete és értelmezése A Muller vezetéknév fordítása oroszra

Szovjet katonai szakemberek a nicaraguai Comandante családi munkában

A szülőváros államszimbólumai Leírás és szimbolika

Viaszfigurák értelmezése jósláshoz