Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Ahol x* - az inhomogén rendszer (2) egyik megoldása (például (4)), (E−A+A) a mátrix magját (null terét) alkotja A.

Végezzük el a mátrix vázszerkezeti dekompozícióját (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Ahol K n×n-r- rang mátrix (Q)=n-r, S n−r×n-rang mátrix (S)=n-r.

Ekkor a (13) a következő formában írható fel:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Ahol k=Sz.

Így, általános megoldás megtalálásának eljárása A pszeudoinverz mátrixot használó lineáris egyenletrendszerek a következő formában ábrázolhatók:

1. A pszeudoinverz mátrix kiszámítása A + .
2. Kiszámolunk egy adott megoldást a (2) inhomogén lineáris egyenletrendszerre: x*=A + b.
3. Ellenőrizzük a rendszer kompatibilitását. Ehhez kiszámoljuk A.A. + b. Ha A.A. + b≠b, akkor a rendszer inkonzisztens. Ellenkező esetben folytatjuk az eljárást.
4. Találjuk ki E−A+A.
5. Csontváz lebontást végez E−A + A=Q·S.
6. Megoldás felépítése

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Lineáris egyenletrendszer online megoldása

Az online számológép lehetővé teszi, hogy megtalálja a lineáris egyenletrendszer általános megoldását részletes magyarázatokkal.

M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

Ahol a ijÉs b i (én=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij első index én jelöli az egyenlet számát, és a második j– az ismeretlen száma, amelyen ez az együttható áll.

Az ismeretlenek együtthatóit mátrix formájában írjuk fel , amit hívni fogunk a rendszer mátrixa.

Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívják ingyenes tagok.

Totalitás n számok c 1 ,…,c n hívott döntés egy adott rendszerre, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.

A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet állhat elő:

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelynek legalább egy megoldása van közös. Ellenkező esetben pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún nem ízületi.

Nézzük meg, hogyan lehet megoldást találni a rendszerre.

MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA

A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszermátrixot valamint ismeretlen és szabad kifejezések mátrixoszlopait

Keressük a munkát

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer a formába írható

vagy rövidebb A∙X=B.

Itt vannak a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert... elemei jelentik a megoldást erre a rendszerre. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.

Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A = EÉs E∙X = X, akkor a mátrixegyenlet megoldását kapjuk a formában X = A -1 B .

Megjegyzendő, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra található, a mátrixmódszer csak azokat a rendszereket tudja megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos rögzítése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem lesz négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.

Példák. Egyenletrendszerek megoldása.

CRAMER SZABÁLYA

Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszermátrixnak megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott a rendszer meghatározója.

Állítsunk össze három további determinánst a következőképpen: cseréljük le egymás után a D determináns 1, 2 és 3 oszlopát egy szabad tagokból álló oszlopra.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani.

Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet – be A 21és 3. – on A 31:

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Nézzük meg ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. Az 1. oszlop elemeiben a determináns kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .

Végül is ezt könnyű észrevenni

Így megkapjuk az egyenlőséget: .

Ennélfogva, .

Hasonlóan származnak a és egyenlőségek, amiből a tétel állítása következik.

Megjegyezzük tehát, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és fordítva. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen.

Példák. Egyenletrendszer megoldása

GAUSS MÓDSZER

A korábban tárgyalt módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Ez az ismeretlenek következetes kiiktatásából áll a rendszer egyenleteiből.

Tekintsünk ismét egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

.

Az első egyenletet változatlanul hagyjuk, a 2. és 3. egyenlettől pedig kizárjuk a x 1. Ehhez el kell osztani a második egyenletet A 21 és szorozzuk meg – A 11, majd add hozzá az 1. egyenlethez. Hasonlóképpen elosztjuk a harmadik egyenletet A 31 és szorozzuk meg – A 11, majd add hozzá az elsőhöz. Ennek eredményeként az eredeti rendszer a következő formában lesz:

Most az utolsó egyenletből kiküszöböljük a tartalmazó kifejezést x 2. Ehhez osszuk el a harmadik egyenletet, szorozzuk meg és adjuk össze a másodikkal. Ekkor lesz egy egyenletrendszerünk:

Innen az utolsó egyenletből könnyű megtalálni x 3, majd a 2. egyenletből x 2és végül 1-től - x 1.

A Gauss-módszer használatakor az egyenletek szükség esetén felcserélhetők.

Gyakran ahelyett, hogy új egyenletrendszert írnának fel, a rendszer kiterjesztett mátrixának kiírására szorítkoznak:

majd elemi transzformációk segítségével hozza háromszög vagy átló formába.

NAK NEK elemi átalakulások A mátrixok a következő transzformációkat tartalmazzák:

1. sorok vagy oszlopok átrendezése;
2. egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;
3. további sorok hozzáadása egy sorhoz.

Példák: Egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Így a rendszernek végtelen számú megoldása van.

• Rendszerek m lineáris egyenletek -val n ismeretlen.
  Lineáris egyenletrendszer megoldása- ez egy ilyen számkészlet ( x 1 , x 2 , …, x n), ha a rendszer minden egyenletébe behelyettesítjük, a helyes egyenlőséget kapjuk.
  Ahol a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, n— rendszeregyütthatók;
  b i , i = 1, …, m- ingyenes tagok;
  x j , j = 1, …, n- ismeretlen.
  A fenti rendszer felírható mátrix formában: A X = B,
  
  
  
  
  Ahol ( A|B) a rendszer fő mátrixa;
  A— kiterjesztett rendszermátrix;
  x— ismeretlenek oszlopa;
  B— szabad tagok oszlopa.
  Ha mátrix B nem nullmátrix ∅, akkor ezt a lineáris egyenletrendszert inhomogénnek nevezzük.
  Ha mátrix B= ∅, akkor ezt a lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük. Egy homogén rendszernek mindig van nulla (triviális) megoldása: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Együttes lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer, amelynek van megoldása.
  Inkonzisztens lineáris egyenletrendszer egy megoldhatatlan lineáris egyenletrendszer.
  Egy bizonyos lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer, amelynek egyedi megoldása van.
  Határozatlan lineáris egyenletrendszer egy lineáris egyenletrendszer végtelen számú megoldással.
• N lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel
  Ha az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor a mátrix négyzet. A mátrix determinánsát a lineáris egyenletrendszer fő determinánsának nevezik, és a Δ szimbólummal jelöljük.
  Cramer módszer rendszerek megoldására n lineáris egyenletek -val n ismeretlen.
  Cramer szabálya.
  Ha egy lineáris egyenletrendszer fő determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a rendszer konzisztens és definiált, és az egyetlen megoldást a Cramer-képletekkel számítjuk ki:
  ahol Δ i a rendszer Δ fődeterminánsából kapott determinánsok cserével én oszlopból a szabad tagok oszlopába. .
• M lineáris egyenletrendszerek n ismeretlennel
  Kronecker–Capelli tétel.
  
  
  Ahhoz, hogy egy adott lineáris egyenletrendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszermátrix rangja egyenlő legyen a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával, cseng(Α) = cseng(Α|B).
  Ha hang(Α) ≠ cseng(Α|B), akkor a rendszernek nyilvánvalóan nincsenek megoldásai.
  Ha cseng(Α) = cseng(Α|B), akkor két eset lehetséges:
  1) rang(Α) = n(ismeretlenek száma) - a megoldás egyedi, és a Cramer-képletekkel érhető el;
  2) rang (Α)< n - végtelenül sok megoldás létezik.
• Gauss módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására
  
  
  Hozzunk létre egy kiterjesztett mátrixot ( A|B) egy adott rendszerben az ismeretlenek és a jobb oldal együtthatóiból.
  A Gauss-módszer vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere a kiterjesztett mátrix csökkentéséből áll ( A|B) elemi transzformációkkal a sorain átlós alakra (a felső háromszög alakra). Visszatérve az egyenletrendszerhez, minden ismeretlen meghatározott.
  A karakterláncok feletti elemi transzformációk a következők:
  1) cserélj két sort;
  2) egy karakterlánc szorzata 0-tól eltérő számmal;
  3) újabb karakterlánc hozzáadása egy karakterlánchoz, tetszőleges számmal megszorozva;
  4) nulla vonal kidobása.
  Egy diagonális formára redukált kiterjesztett mátrix az adottval egyenértékű lineáris rendszernek felel meg, amelynek megoldása nem okoz nehézséget. .
• Homogén lineáris egyenletrendszer.
  A homogén rendszernek a következő formája van:
  
  a mátrixegyenletnek felel meg A X = 0.
  1) Egy homogén rendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(A|B), mindig van nulla megoldás (0, 0, …, 0).
  2) Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek legyen nullától eltérő megoldása, szükséges és elegendő, hogy r = r(A)< n , ami ekvivalens Δ = 0-val.
  3) Ha r< n , akkor nyilván Δ = 0, akkor szabad ismeretlenek keletkeznek c 1, c 2, …, c n-r, a rendszernek vannak nem triviális megoldásai, és ezekből végtelenül sok van.
  4) Általános megoldás x nál nél r< n mátrix formában a következőképpen írható fel:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  hol vannak a megoldások X 1, X 2, …, X n-r alapvető megoldási rendszert alkotnak.
  5) A megoldások alapvető rendszere egy homogén rendszer általános megoldásából adódik:
  
  ,
  ha szekvenciálisan beállítjuk a paraméterértékeket (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Az általános megoldás kiterjesztése a megoldások alapvető rendszerére vonatkozóan egy általános megoldás feljegyzése az alaprendszerhez tartozó megoldások lineáris kombinációja formájában.
  Tétel. Ahhoz, hogy egy lineáris homogén egyenletrendszernek nullától eltérő megoldása legyen, szükséges és elegendő, hogy Δ ≠ 0.
  Tehát, ha a determináns Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van.
  Ha Δ ≠ 0, akkor a lineáris homogén egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van.
  Tétel. Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek nullától eltérő megoldása legyen, szükséges és elegendő az r(A)< n .
  Bizonyíték:
  1) r nem lehet több n(a mátrix rangja nem haladja meg az oszlopok vagy sorok számát);
  2) r< n , mert Ha r = n, akkor a rendszer fő determinánsa Δ ≠ 0, és a Cramer-képletek szerint létezik egy egyedi triviális megoldás x 1 = x 2 = … = x n = 0, ami ellentmond a feltételnek. Eszközök, r(A)< n .
  Következmény. A homogén rendszer érdekében n lineáris egyenletek -val n Az ismeretleneknek nem nulla megoldása volt, szükséges és elégséges, hogy Δ = 0.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a lineáris algebra egyik fő problémája. Ennek a problémának fontos alkalmazott jelentősége van a tudományos és műszaki problémák megoldásában, emellett számos számítási matematikai, matematikai fizika algoritmus megvalósításában, kísérleti kutatási eredmények feldolgozásában is kisegítő.

Lineáris algebrai egyenletrendszer a következő alakú egyenletrendszernek nevezzük: (1)

Ahol – ismeretlen; - ingyenes tagok.

Egyenletrendszer megoldása(1) hívja meg a számok tetszőleges halmazát, amely az (1) rendszerben az ismeretlenek helyére kerül a rendszer összes egyenletét helyes numerikus egyenlőséggé alakítja.

Az egyenletrendszert ún közös, ha van legalább egy megoldása, és nem ízületi, ha nincs megoldása.

A szimultán egyenletrendszert ún bizonyos, ha van egy egyedi megoldása, és bizonytalan, ha legalább két különböző megoldása van.

A két egyenletrendszert ún egyenértékű vagy egyenértékű, ha azonos megoldáskészlettel rendelkeznek.

Az (1) rendszert hívják homogén, ha az ingyenes feltételek nullák:

Egy homogén rendszer mindig konzisztens – van megoldása (talán nem az egyetlen).

Ha az (1) rendszerben van, akkor megvan a rendszer n lineáris egyenletek -val n ismeretlen: hol – ismeretlen; – az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok.

Egy lineáris rendszernek lehet egyetlen megoldása, végtelen sok megoldása vagy egyáltalán nincs megoldása.

Tekintsünk két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel

Ha akkor a rendszer egyedi megoldással rendelkezik;

ha akkor a rendszernek nincsenek megoldásai;

ha akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Példa. A rendszer egyedi megoldást kínál egy számpárra

A rendszernek végtelen számú megoldása van. Például egy adott rendszer megoldásai számpárok stb.

A rendszernek nincs megoldása, mivel két szám különbsége nem vehet fel két különböző értéket.

Meghatározás. Másodrendű determináns a forma kifejezésének nevezzük:

A determinánst a D szimbólum jelöli.

Számok A 11, …, A 22 a determináns elemeinek nevezzük.

Elemek által alkotott átló A 11 ; A 22-t hívnak fő- elemek alkotta átló A 12 ; A 21 − oldal

Így a másodrendű determináns egyenlő a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséggel.

Vegye figyelembe, hogy a válasz egy szám.

Példa. Számítsuk ki a determinánsokat:

Tekintsünk két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel: ahol x 1, x 2 – ismeretlen; A 11 , …, A 22 – ismeretlenek együtthatói, b 1 ,b 2 – ingyenes tagok.

Ha egy két egyenletből álló rendszernek két ismeretlennel van egyedi megoldása, akkor az másodrendű determinánsok segítségével kereshető meg.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst nevezzük rendszer meghatározó: D= .

A D determináns oszlopai az együtthatókat, ill x 1 és at , X 2. Mutassunk be kettőt kiegészítő minősítő, amelyeket a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy az egyik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük: D 1 = D 2 = .

14. tétel(Kramer, n=2 esetre). Ha a rendszer D determinánsa különbözik nullától (D¹0), akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a következő képletekkel találhatunk meg:

Ezeket a képleteket ún Cramer képletei.

Példa. Oldjuk meg a rendszert a Cramer-szabály segítségével:

Megoldás. Keressük a számokat

Válasz.

Meghatározás. Harmadik rendű determináns a forma kifejezésének nevezzük:

Elemek A 11; A 22 ; A 33 – alkotják a főátlót.

Számok A 13; A 22 ; A 31 – oldalátlót alkotnak.

A pluszjeles bejegyzés a következőket tartalmazza: a főátlón lévő elemek szorzata, a maradék két tag a főátlóval párhuzamos alapokkal rendelkező háromszög csúcsaiban elhelyezkedő elemek szorzata. A mínusz tagok a másodlagos átlóhoz képest ugyanazon séma szerint vannak kialakítva.

Példa. Számítsuk ki a determinánsokat:

Tekintsünk egy három lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel: ahol – ismeretlen; – az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok.

Egyedi megoldás esetén egy 3 lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel oldható meg 3. rendű determinánsok segítségével.

A D rendszer determinánsának alakja:

Mutassunk be három további meghatározó tényezőt:

15. tétel(Kramer, az n=3 esetre). Ha a rendszer D determinánsa eltér nullától, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-képletekkel találunk meg:

Példa. Oldjuk meg a rendszert a Cramer-szabály segítségével.

Megoldás. Keressük a számokat

Használjuk Cramer képleteit, és keressük meg az eredeti rendszer megoldását:

Válasz.

Vegyük észre, hogy a Cramer-tétel akkor alkalmazható, ha az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, és ha a D rendszer determinánsa nem nulla.

Ha a rendszer determinánsa nulla, akkor ebben az esetben a rendszernek vagy nem lehet megoldása, vagy lehet végtelen számú megoldása. Ezeket az eseteket külön tanulmányozzuk.

Csak egy esetet jegyezzünk meg. Ha a rendszer determinánsa nulla (D=0), és a további determinánsok közül legalább egy különbözik nullától, akkor a rendszernek nincs megoldása, azaz inkonzisztens.

A Cramer-tétel általánosítható a rendszerre n lineáris egyenletek -val n ismeretlen: hol – ismeretlen; – az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok.

Ha egy ismeretlenekkel rendelkező lineáris egyenletrendszer determinánsa, akkor a rendszer egyetlen megoldását a Cramer-képletekkel találjuk meg:

További determinánst kapunk a D determinánsból, ha az ismeretlenre vonatkozó együtthatók oszlopát tartalmazza x i cserélje ki a szabad tagok oszlopával.

Vegye figyelembe, hogy a D, D 1 , … , D determinánsok n legyen rendje n.

Gauss-módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának egyik legelterjedtebb módja az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere. − Gauss-módszer. Ez a módszer a helyettesítési módszer általánosítása, és az ismeretlenek szekvenciális kiküszöböléséből áll, amíg egy egyenlet marad egy ismeretlennel.

A módszer egy lineáris egyenletrendszer néhány transzformációján alapul, ami az eredeti rendszerrel egyenértékű rendszert eredményez. A módszer algoritmusa két szakaszból áll.

Az első szakasz az ún egyértelmű Gauss módszer. Ez abból áll, hogy szekvenciálisan eliminálja az ismeretleneket az egyenletekből. Ehhez első lépésben osszuk el a rendszer első egyenletét ezzel (ellenkező esetben rendezzük át a rendszer egyenleteit). Jelölik a kapott redukált egyenlet együtthatóit, megszorozzák az együtthatóval, és kivonják a rendszer második egyenletéből, ezáltal kiiktatják a második egyenletből (az együttható nullázása).

Tegye meg ugyanezt a fennmaradó egyenletekkel, és kapjon egy új rendszert, amelynek minden egyenletében a másodiktól kezdve az együtthatók csak nullákat tartalmaznak. Nyilvánvaló, hogy a létrejövő új rendszer egyenértékű lesz az eredeti rendszerrel.

Ha az új együtthatók (-re) nem mind egyenlőek nullával, akkor ugyanúgy kizárhatók a harmadik és az azt követő egyenletekből. Folytatva ezt a műveletet a következő ismeretlenekre, a rendszer az úgynevezett háromszög alakra kerül:

Itt a szimbólumok az átalakítások következtében megváltozott számszerű együtthatókat és szabad tagokat jelölik.

A rendszer utolsó egyenletéből a fennmaradó ismeretlenek egyedi módon, majd szekvenciális helyettesítéssel kerülnek meghatározásra.

Megjegyzés. Előfordul, hogy transzformációk eredményeként bármelyik egyenletben az összes együttható és a jobb oldal nullára fordul, vagyis az egyenlet 0=0 azonossággá változik. Egy ilyen egyenlet kiiktatásával a rendszerből az egyenletek száma csökken az ismeretlenek számához képest. Egy ilyen rendszernek nem lehet egyetlen megoldása.

Ha a Gauss-módszer alkalmazása során bármely egyenlet 0 = 1 alakú egyenlőséggé változik (az ismeretlenek együtthatói 0-ra fordulnak, és a jobb oldal nullától eltérő értéket vesz fel), akkor a Az eredeti rendszernek nincs megoldása, mivel egy ilyen egyenlőség hamis minden ismeretlen értékre.

Tekintsünk egy három lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

Ahol – ismeretlen; – az ismeretlenek együtthatói, - ingyenes tagok. , helyettesítve a találtakat

Megoldás. A Gauss-módszert erre a rendszerre alkalmazva azt kapjuk, hogy

Hol bukik el az utolsó egyenlőség az ismeretlenek bármely értékére, ezért a rendszernek nincs megoldása.

Válasz. A rendszernek nincsenek megoldásai.

Megjegyezzük, hogy a korábban tárgyalt Cramer-módszerrel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas.

Hasonló cikkek