Belső és külső erők. Anyagi pontrendszer

Külső erők- ezek olyan erők, amelyek csak a tárgy felületére hatnak, de nem hatolnak be abba. Ezek az erők magukban foglalják az anyagi tárgy által kifejlesztett összes erőt.

Belső erők- ezek olyan erők, amelyek egy mozgó tárgy minden atomjára azonnal hatnak, függetlenül attól, hogy hol vannak: a tárgy felszínén vagy közepén. Ezek az erők magukban foglalják a tehetetlenségi erőket és a térerőket: gravitációs, elektromos, mágneses. És ez azért történik, mert a mező és a tehetetlenség hordozója, a fizikai vákuum szabadon behatol bármely testbe.

A mechanikában külső erők egy adott anyagi pontrendszerhez viszonyítva(azaz az anyagi pontok olyan halmaza, amelyben az egyes pontok mozgása az összes többi pont helyzetétől vagy mozgásától függ) azok az erők, amelyek más, általunk nem szereplő testek (más anyagi pontrendszerek) ezen rendszerére gyakorolt hatást képviselik. ennek a rendszernek az összetételében.

A belső erők egy adott rendszer egyes anyagi pontjai közötti kölcsönhatási erők. Az erők külsőre és belsőre való felosztása teljesen feltételes: a rendszer adott összetételének megváltozásakor egyes korábban külső erők belsővé válhatnak, és fordítva. Így például, ha mérlegeljük

ALAPOZÓ a Földből és műholdjából, a Holdból álló rendszer mozgása, a testek közötti kölcsönhatási erők belső erők lesznek a rendszer számára, a Nap, a fennmaradó bolygók, ezek műholdjai és az összes csillag gravitációs ereje pedig külső lesz. erők a meghatározott rendszerhez képest. De ha megváltoztatja a rendszer összetételét, és a Nap és az összes bolygó mozgását egyetlen általános rendszer mozgásának tekinti, akkor kívülről. az erők csak a kifejtett vonzás erői lesznek

Ha egy terhelt test egyensúlyban van, akkor a belső erők egyenlő értékűek a külső erőkkel, és ellentétes irányúak. Nyilvánvalóan megakadályozzák a deformáció kialakulását. A belső erők munkája Az (U) az alakváltozás irányát figyelembe véve mindig negatív.

Külső erők munkája egyenlő az ellenkező előjellel vett belső erők munkája:

Hagyja, hogy egy hosszúságú rúdelem feszültséget tapasztaljon (15.3. ábra, a).

Helyettesítsük a kidobott rúdrészek hatását a vizsgált elemre N hosszirányú erőkkel. Ezeket az erőket szaggatott vonallal ábrázoljuk az ábrán. Az elemhez képest úgymond külsőek. Az általuk okozott elemek megnyúlása egyenlő: .

A szóban forgó elem hatását a kiselejtezett részekre az ábrán folytonos vonalak jelzik. A belső longitudinális erők alapvető munkája, amelyek fokozatosan növelik és ellensúlyozzák a nyúlás kialakulását Clapeyron tétele szerint, a következő képlettel fejezzük ki: .

BELSŐ KERESZTÜLŐ ERŐK ELEMI MUNKÁJA () TISZTA NYÍRÁSBAN (15.3. ÁBRA, B)

Tiszta nyírás esetén a nyírófeszültségek egyenletesen oszlanak el a teljes szakaszon, és a következő képlettel határozzák meg: .

Az elem jobb oldali szakaszának abszolút eltolódása a bal oldali szakaszhoz képest, figyelembe véve a Hooke-törvényt, egyenlő: ,

Akkor .

A keresztirányú hajlítás során a tangenciális feszültségek egyenetlenül oszlanak el a szakaszon. Ebben az esetben a belső nyíróerők elemi munkájának kifejezése a következőképpen mutatható be: , ahol k a rúd keresztmetszeti alakjától függő együttható. Például egy téglalap keresztmetszethez.

A BELSŐ ERŐK ELEMI MUNKÁJA TORZIÓ ALATT

Az elem jobb oldali szakaszának a bal szakaszhoz viszonyított forgása, amely a rajta kívül álló nyomatékok hatására (), szaggatott vonallal ábrázolva (lásd a 15.3. ábrát, c) egyenlő: .

Ezután a belső nyomatékok (az ábrán nem láthatók) munkáját ebben a forgási szögben a következő képlet határozza meg: .

Hagyja, hogy a rúdelem meghajoljon. És hagyja, hogy a jobb oldali keresztmetszete egy forgásszöggel forogjon a bal oldali metszethez képest (lásd 15.3. ábra, d).

Ekkor a belső hajlítónyomatékok, amelyeket folytonos vonalak mutatnak (lásd a 15.3. ábrát, d), ebben a forgási szögben működnek:

A rúd egyidejű nyújtásával, csavarásával és közvetlen keresztirányú hajlításával (figyelembe véve azt a tényt, hogy a belső erők mindegyikének munkája a többi erő által okozott elmozdulásokon nulla) a következő kifejezést kapjuk az elemi munkára belső rugalmas erők:

A kifejezést a rúd teljes hosszára integrálva végül megkapjuk képlet a belső erők munkájára.

Mechanikai rendszer olyan anyagi pontok vagy testek gyűjteménye, amelyekben az egyes pontok vagy testek helyzete vagy mozgása az összes többi helyétől és mozgásától függ. Így például a Föld és a Hold Naphoz viszonyított mozgásának vizsgálatakor a Föld és a Hold összessége két anyagi pontból álló mechanikai rendszer, amikor egy lövedék darabokra törik, a töredékeket úgy tekintjük, mint egy mechanikus rendszer. A mechanikus rendszer bármilyen mechanizmus vagy gép.

Ha egy mechanikai rendszer pontjai közötti távolságok nem változnak a rendszer mozgása vagy nyugalmi állapotában, akkor egy ilyen mechanikai rendszert ún. változhatatlan.

A változtathatatlan mechanikai rendszer koncepciója lehetővé teszi a szilárd testek tetszőleges mozgásának vizsgálatát a dinamikában. Ebben az esetben, akárcsak a statikában és a kinematikában, merev testen olyan anyagi testet értünk, amelyben a két pont közötti távolság nem változik, amikor a test mozog vagy nyugszik. Bármely szilárd test mentálisan kellően sok kellően kicsi részre osztható, amelyek összessége megközelítőleg mechanikai rendszernek tekinthető. Mivel a szilárd test folytonos kiterjedést képez, pontos (és nem hozzávetőleges) tulajdonságainak megállapításához korlátozó átmenetre, a test végső feldarabolására van szükség, amikor a vizsgált testrészek méretei egyidejűleg hajlamosak nulla.

Így a mechanikai rendszerek mozgástörvényeinek ismerete lehetővé teszi számunkra, hogy tanulmányozzuk a szilárd testek önkényes mozgásának törvényeit.

A mechanikai rendszer pontjaira ható összes erőt külső és belső erőkre osztják.

A külső erők egy adott mechanikai rendszerrel kapcsolatban olyan erők, amelyek e rendszer pontjaira hatnak a rendszerben nem szereplő anyagi pontokból vagy testekből. Megnevezések: - a pontra ható külső erő; -a külső erők fő vektora; - a külső erők fő momentuma a pólushoz viszonyítva.

A belső erők azok az erők, amelyekkel egy adott mechanikai rendszer anyagi pontjai vagy testei hatnak ugyanazon rendszer pontjaira vagy testeire. Más szóval, a belső erők egy adott mechanikai rendszer pontjai vagy testei közötti kölcsönhatás erői. Megnevezések: - a pontra ható belső erő; -a belső erők fő vektora; - a belső erők fő momentuma a pólushoz képest.

3.2 A belső erők tulajdonságai.

Első ingatlan.Egy mechanikai rendszer összes belső erőjének fővektora nulla, azaz

. (3.1)

Második ingatlan.A mechanikai rendszer minden belső erőjének fő nyomatéka bármely pólushoz vagy tengelyhez viszonyítva nulla, azaz

, . (3.2)

17. ábra

Ezen tulajdonságok bizonyítására megjegyezzük, hogy mivel a belső erők a rendszerben lévő anyagi pontok kölcsönhatási erői, ezért Newton harmadik törvénye szerint a rendszer bármely két pontja (17. ábra) egyenlő erőkkel hat egymásra. nagyságrendben és ellentétes felé.

Így minden belső erőre van egy közvetlenül ellentétes belső erő, és ezért a belső erők páronként ellentétes erők egy bizonyos halmazát alkotják. De két egymással közvetlenül ellentétes erő geometriai összege nulla, tehát

Amint a statikából kiderült, két, egymással közvetlenül ellentétes erő nyomatékának ugyanazon pólushoz viszonyított geometriai összege nulla, ezért

Hasonló eredményt kapunk a tengely körüli főnyomaték kiszámításakor

3.3 Mechanikai rendszer mozgásdifferenciálegyenletei.

Tekintsünk egy mechanikai rendszert, amely olyan anyagi pontokból áll, amelyek tömege . Minden pontra alkalmazzuk a pontdinamika alapegyenletét

, ,

, (3.3)

de a pontra ható külső erők eredője, és a belső erők eredője.

A differenciálegyenletrendszert (3.3) ún mechanikai rendszer mozgásdifferenciálegyenletei vektoros formában.

A (3.3) vektoregyenleteket derékszögű derékszögű koordinátatengelyekre vetítve megkapjuk Mechanikai rendszer mozgásdifferenciálegyenletei koordináta alakban:

, (3.4)

Ezek az egyenletek másodrendű közönséges differenciálegyenletek rendszere. Következésképpen egy mechanikai rendszer adott erők és kezdeti feltételek szerinti mozgásának megtalálásához ennek a rendszernek minden pontjára szükség van egy differenciálegyenlet-rendszer integrálására. A (3.4) differenciálegyenlet-rendszer integrálása általánosságban jelentős, sokszor leküzdhetetlen matematikai nehézségekkel jár. Az elméleti mechanikában azonban olyan módszereket fejlesztettek ki, amelyek lehetővé teszik a mechanikai rendszer (3.3) vagy (3.4) formájú mozgási differenciálegyenleteinek alkalmazásakor felmerülő fő nehézségek megkerülését. Ide tartoznak azok a módszerek, amelyek általános tételeket adnak a mechanikai rendszer dinamikájára vonatkozóan, megállapítva a változás törvényeit a rendszer egészének egyes teljes (integrális) jellemzőiben, nem pedig egyes elemeinek mozgási mintáit. Ezek az úgynevezett mozgásmértékek - a lendület fő vektora; fő momentum; kinetikus energia. Ezen mennyiségek változásának természetét ismerve részleges, esetenként teljes képet alkothatunk egy mechanikai rendszer mozgásáról.

IV. A PONT ÉS RENDSZER DINAMIKÁJÁNAK ALAPVETŐ (ÁLTALÁNOS) TÉTELEI

4.1 Tétel a tömegközéppont mozgásáról.

4.1.1. Mechanikai rendszer tömegközéppontja.

Tekintsünk egy mechanikai rendszert, amely olyan anyagi pontokból áll, amelyek tömege .

A mechanikai rendszer tömege, anyagi pontokból álló rendszer pontjainak összegét nevezzük:

Meghatározás. Egy mechanikai rendszer tömegközéppontja egy geometriai pont, amelynek sugárvektorát a következő képlet határozza meg:

ahol a tömegközéppont sugárvektora; -rendszerpontok sugárvektorai; -tömegük (18. kép).

; ; . (4.1")

A tömegközéppont nem anyagi pont, hanem geometriai. Nem eshet egybe a mechanikai rendszer egyetlen anyagi pontjával sem. Egyenletes gravitációs térben a tömegközéppont egybeesik a súlyponttal. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a tömegközéppont és a súlypont fogalma azonos. A tömegközéppont fogalma minden mechanikai rendszerre alkalmazható, a tömegközéppont fogalma pedig csak azokra a mechanikai rendszerekre vonatkozik, amelyek a gravitáció (vagyis a Földhöz való vonzódás) hatása alatt állnak. Így például az égi mechanikában, amikor két test, például a Föld és a Hold mozgásának problémáját vizsgáljuk, figyelembe lehet venni ennek a rendszernek a tömegközéppontját, de nem lehet figyelembe venni a súlypontot.

Így a tömegközéppont fogalma tágabb, mint a súlypont fogalma.

4.1.2. Tétel egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgásáról.

Tétel. Egy mechanikai rendszer tömegközéppontja anyagi pontként mozog, amelynek tömege megegyezik az egész rendszer tömegével, és amelyre a rendszerre ható összes külső erő hat, azaz

. (4.2)

Itt -a külső erők fő vektora.

Bizonyíték. Tekintsünk egy mechanikai rendszert, amelynek anyagi pontjai külső és belső erők hatására mozognak. a pontra ható külső erők eredője, és a belső erők eredője. A (3.3) szerint a pont mozgásegyenlete alakja

, .

Ezen egyenletek bal és jobb oldalát összeadva azt kapjuk

Mivel a belső erők fővektora nulla (3.2. szakasz, első tulajdonság), akkor

Alakítsuk át ennek az egyenlőségnek a bal oldalát. A tömegközéppont sugárvektorát meghatározó (4.1) képletből az következik:

A következőkben végig feltételezzük, hogy csak állandó összetételű mechanikai rendszereket veszünk figyelembe, azaz és . Vegyük ennek az egyenlőségnek mindkét oldaláról az időre vonatkozó második deriváltot

Mert , - a rendszer tömegközéppontjának gyorsulása, majd végül

Ennek a vektoregyenlőségnek mindkét oldalát a koordinátatengelyekre vetítve kapjuk:

, (4.3)

ahol , , az erő vetületei;

A külső erők fővektorának vetületei a koordinátatengelyekre.

(4.3) egyenletek mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgásdifferenciálegyenletei derékszögű koordinátatengelyekre vetítésben.

A (4.2) és (4.3) egyenletekből az következik A belső erők önmagukban nem változtathatják meg a mechanikai rendszer tömegközéppontja mozgásának természetét. A belső erők csak külső erők révén lehetnek közvetett hatással a tömegközéppont mozgására. Például egy autóban a motor által kifejtett belső erők a kerekek és az út súrlódási erőin keresztül befolyásolják a tömegközéppont mozgását.

4.1.3. A tömegközéppont mozgásának megmaradásának törvényei

(következmények a tételből).

A tömegközéppont mozgására vonatkozó tételből a következő következtetések vonhatók le.

Következmény 1.Ha a rendszerre ható külső erők fővektora nulla, akkor a tömegközéppontja nyugalomban van, vagy egyenesen és egyenletesen mozog.

Valóban, ha a külső erők fővektora , akkor a (4.2) egyenletből:

Ha különösen a tömegközéppont kezdeti sebessége , akkor a tömegközéppont nyugalmi helyzetben van. Ha a kezdeti sebesség , akkor a tömegközéppont egyenesen és egyenletesen mozog.

Következmény 2.Ha a külső erők fővektorának vetülete bármely rögzített tengelyre nulla, akkor a mechanikai rendszer tömegközéppontjának sebességének erre a tengelyre való vetülete nem változik.

Ez a következmény a (4.3) egyenletekből következik. Legyen például akkor

innen. Ha a kezdeti pillanatban, akkor:

vagyis a mechanikai rendszer tömegközéppontjának a tengelyre vetítése ebben az esetben nem fog a tengely mentén elmozdulni. Ha , akkor a tömegközéppont vetülete a tengelyre egyenletesen mozog.

4.2 Egy pont és egy rendszer mozgásának mértéke.

Tétel az impulzus változásáról.

4.2.1. Egy pont és egy rendszer mozgásának mértéke.

Meghatározás. Egy anyagi pont mozgási mennyisége egy vektor, amely egyenlő a pont tömegének és sebességének szorzatával, azaz

. (4.5)

Vektor kollineárisan a vektorral és érintőlegesen az anyagi pont pályájára irányítva (19. ábra).

Egy pont lendületét a fizikában gyakran nevezik egy anyagi pont impulzusa.

Az impulzus mérete SI-kg·m/s-ban vagy N·s-ban.

Meghatározás. Egy mechanikai rendszer mozgásmennyisége egy vektor, amely megegyezik a rendszerben szereplő egyes pontok mozgásmennyiségeinek vektorösszegével (a mozgásmennyiségek fővektora), azaz

(4.6)

Az impulzus vetületei derékszögű derékszögű koordinátatengelyekre:

A rendszer lendületvektora pont impulzusvektorával ellentétben nincs alkalmazási pontja. Egy pont lendületvektorát a leginkább mozgó pontban alkalmazzuk, és a vektort egy szabad vektor.

A mozgásmennyiségek lemmája. Egy mechanikai rendszer impulzusa egyenlő az egész rendszer tömegének és tömegközéppontjának sebességének szorzatával, azaz

Bizonyíték. A tömegközéppont sugárvektorát meghatározó (4.1) képletből az következik:

Vegyük mindkét oldal időderiváltját

, vagy .

Innen kapunk , amit bizonyítani kellett.

A (4.8) képletből világos, hogy ha egy test úgy mozog, hogy tömegközéppontja mozdulatlan marad, akkor a test lendülete nulla. Például a tömegközéppontján átmenő rögzített tengely körül forgó test mozgásának mértéke (20. ábra),

, mert

Ha a test mozgása síkkal párhuzamos, akkor a mozgás mértéke nem jellemzi a mozgás tömegközéppont körüli forgó részét. Például egy gördülő keréknél (21. ábra), függetlenül attól, hogy a kerék hogyan forog a tömegközéppont körül. A mozgás mértéke csak a mozgás transzlációs részét jellemzi a tömegközépponttal együtt.

4.2.2. Tétel egy mechanikai rendszer lendületének változásáról

differenciális formában.

Tétel.Egy mechanikai rendszer lendületének időbeli deriváltja egyenlő az erre a rendszerre ható külső erők geometriai összegével (fővektorával), azaz.

. (4.9)

Bizonyíték. Tekintsünk egy mechanikai rendszert, amely olyan anyagi pontokból áll, amelyek tömege ; -a pontra ható külső erők eredménye. Az impulzuslemmának megfelelően a (4.8) képlet:

Vegyük ennek az egyenlőségnek mindkét oldaláról az időre vonatkozó deriváltot

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldala a tömegközéppont mozgására vonatkozó tételből a (4.2) képlet:

Végül:

és a tétel bebizonyosodott .

A derékszögű derékszögű koordinátatengelyekre vetítéseknél:

; ; , (4.10)

vagyis egy mechanikai rendszer lendületének bármely koordinátatengelyre vetítésének időbeli deriváltja egyenlő a rendszer összes külső erőjének ugyanarra a tengelyre vetített vetületeinek (a fővektor vetületének) összegével.

4.2.3. A lendület megmaradásának törvényei

(következmények a tételből)

Következmény 1.Ha egy mechanikai rendszer összes külső erőjének fővektora nulla, akkor a rendszer mozgásának nagysága és iránya állandó.

Valóban, ha , akkor a lendület változására vonatkozó tételből, azaz a (4.9) egyenlőségből az következik, hogy

Következmény 2.Ha egy mechanikai rendszer összes külső erőjének fővektorának egy bizonyos rögzített tengelyre való vetülete nullával egyenlő, akkor a rendszer impulzusának erre a tengelyre való vetülete állandó marad.

Legyen az összes külső erő fővektorának a tengelyre vetülete nulla: . Ezután az első egyenlőségből (4.10):

4.2.4. Tétel egy mechanikai rendszer lendületének változásáról

integrált formában.

Egy elemi erőimpulzus vektormennyiségnek nevezzük, amely egyenlő az erővektor és egy elemi időintervallum szorzatával

. (4.11)

Az elemi impulzus iránya egybeesik az erővektor irányával.

Erőimpulzus véges időn keresztül egyenlő az elemi momentum egy bizonyos integráljával

. (4.12)

Ha az erő nagysága és iránya állandó (), akkor impulzusa időben egyenlő:

Az erőimpulzus vetületei a koordináta tengelyekre:

Bizonyítsuk be a mechanikai rendszer impulzusváltozásáról szóló tételt integrál formában.

Tétel.Egy mechanikai rendszer impulzusának egy bizonyos időtartam alatti változása megegyezik a rendszer külső erőinek impulzusainak ugyanazon időtartam alatti geometriai összegével, azaz.

(4.14)

Bizonyíték. Legyen az idő pillanatában a mechanikai rendszer mozgásának mértéke egyenlő, az idő pillanatában pedig -; -a th pontra ható külső erő impulzusa.

Az impulzus változására vonatkozó tételt használjuk differenciális formában - egyenlőség (4.9):

Ennek az egyenlőségnek a mindkét oldalát megszorozva és a -tól -ig terjedő tartományba integrálva megkapjuk

, , .

Az impulzus integrál alakban bekövetkező változására vonatkozó tétel bizonyítást nyert.

A (4.14) szerinti koordinátatengelyekre történő vetítéseknél:

, (4.15)

4.3. Tétel a szögimpulzus változásáról.

4.3.1. Egy pont és egy rendszer kinetikus nyomatéka.

A statikában a pólushoz és a tengelyhez viszonyított erőnyomaték fogalmát bevezették és széles körben alkalmazták. Mivel egy anyagi pont impulzusa vektor, a pólushoz és a tengelyhez viszonyított nyomatékait ugyanúgy meg lehet határozni, mint az erőnyomatékokat.

Meghatározás. a pólushoz képest impulzusvektorának ugyanahhoz a pólushoz viszonyított momentumának nevezzük, azaz.

. (4.16)

Anyagi pont lendülete a pólushoz képest egy vektor (22. ábra), amely merőleges a vektort és a pólust tartalmazó síkra abban az irányban, ahonnan a vektor a pólushoz viszonyítva van az óramutató járásával ellentétes irányban látható. Vektor modul

egyenlő a modul és a kar szorzatával - a pólusról leeresztett merőleges hossza a vektor hatásvonalán:

A pólushoz viszonyított szögimpulzus vektorszorzatként ábrázolható: egy anyagi pont pólushoz viszonyított impulzusimpulzusa egyenlő a pólustól a pontig az impulzusvektor által a pontig húzott vektor sugarának vektorszorzatával:

(4.17)

Meghatározás. Anyagi pont kinetikus nyomatéka viszonylag tengelyt impulzusvektorának ugyanahhoz a tengelyhez viszonyított nyomatékának nevezzük, azaz.

. (4.18)

Anyagi pont kinetikus nyomatéka a tengelyhez képest (23. ábra) egyenlő a plusz vagy mínusz előjellel felvett vektor tengelyre merőleges síkra vetítésének szorzatával. , ennek a vetületnek a vállán:

ahol a váll a pontból leejtett merőleges hossza tengely metszéspontjai a vetület hatásvonalán lévő síkkal, és ha a tengely felé nézve , a ponthoz viszonyított vetület látható az óramutató járásával ellentétes irányba, és más módon.

A kinetikus nyomaték mérete SI-kg m 2 /s-ban vagy N m s-ban.

Meghatározás. Egy mechanikai rendszer pólushoz viszonyított kinetikus nyomatéka vagy főnyomatéka egy vektor, amely egyenlő a rendszer összes anyagi pontjának ehhez a pólushoz viszonyított kinetikai nyomatékainak geometriai összegével:

. (4.19)

Meghatározás. A mechanikai rendszer tengelyhez viszonyított kinetikus nyomatéka vagy lendületi nyomatéka a rendszer összes anyagi pontjának ehhez a tengelyhez viszonyított kinetikai nyomatékainak algebrai összege:

. (4.20)

Egy mechanikai rendszer kinetikus nyomatékai egy pólushoz és egy ezen a póluson áthaladó tengelyhez képest ugyanazzal a függéssel függenek össze, mint egy erőrendszer pólushoz és tengelyhez viszonyított fő nyomatékai:

-mechanikai rendszer pólushoz viszonyított kinetikai nyomatékának a tengelyre vetítése ,ezen a póluson áthaladva egyenlő a rendszer e tengelyhez viszonyított szögimpulzusával, azaz.

. (4.21)

4.3.2. Tételek egy mechanikai rendszer kinetikai nyomatékának változásáról.

Tekintsünk egy mechanikai rendszert, amely olyan anyagi pontokból áll, amelyek tömege . Bizonyítsuk be a mechanikai rendszer szögimpulzusának a pólushoz viszonyított változásáról szóló tétel.

Tétel.Egy mechanikai rendszer rögzített pólushoz viszonyított kinetikus nyomatékának időderiváltája egyenlő a rendszer külső erőinek ugyanarra a pólusra vonatkoztatott főnyomatékával, azaz.

. (4.22)

Bizonyíték. Válasszunk egy rögzített pólust . A mechanikai rendszer kinetikai nyomatéka ehhez a pólushoz definíció szerint egyenlő (4.19):

Különböztessük meg ezt a kifejezést az idő függvényében:

Nézzük ennek a kifejezésnek a jobb oldalát. A termék származékának kiszámítása:

, (4.24)

Itt figyelembe veszik, hogy . A és vektorok iránya megegyezik, vektorszorzatuk nulla, ezért a (4.24) egyenlőség első összege.

E kérdések tanulmányozása szükséges a mechanikai rendszerek rezgőmozgásának dinamikájához, az ütközéselmélethez, valamint az „Anyagszilárdság” és „Gépalkatrészek” tudományágak problémáinak megoldásához.

Mechanikai rendszer Az anyagi pontok vagy testek ezek gyűjteménye, amelyben az egyes pontok (vagy testek) helyzete vagy mozgása az összes többi helyzetétől és mozgásától függ.

Anyaga abszolút szilárd test ezt a testet alkotó anyagi pontok rendszerének is fogjuk tekinteni, amelyek úgy kapcsolódnak egymáshoz, hogy a köztük lévő távolságok nem változnak és állandóak maradnak.

A mechanikai rendszer klasszikus példája a naprendszer, amelyben minden testet kölcsönös vonzási erők kapcsolnak össze. Egy másik példa a mechanikus rendszerre minden olyan gép vagy mechanizmus, amelyben az összes testet zsanérok, rudak, kábelek, szíjak stb. (azaz különféle geometriai kapcsolatok). Ebben az esetben a rendszer testei kölcsönös nyomásnak vagy feszítőerőknek vannak kitéve, amelyek a csatlakozásokon keresztül továbbadnak.

Olyan testek halmaza, amelyek között nincsenek kölcsönhatási erők (például a levegőben repülő repülőgépek csoportja), nem alkot mechanikai rendszert.

Az elmondottaknak megfelelően a rendszer pontjaira vagy testeire ható erők külsőre és belsőre oszthatók.

Külső olyan erőknek nevezzük, amelyek egy rendszer pontjaira hatnak olyan pontokból vagy testekből, amelyek nem részei az adott rendszernek.

Belső olyan erőknek nevezzük, amelyek egy rendszer pontjaira ugyanazon rendszer más pontjaiból vagy testeiből hatnak. A külső erőket - jellel jelöljük, a belső erőket pedig - jellel.

A külső és belső erők egyaránt lehetnek aktív, vagy kapcsolatok reakciói.

Link reakciók vagy egyszerűen - reakciók, ezek olyan erők, amelyek korlátozzák a rendszer pontjainak mozgását (koordinátáikat, sebességüket stb.). A statikában ezek a kapcsolatokat helyettesítő erők voltak. A dinamikában egy általánosabb definíciót vezetnek be számukra.

Aktív vagy meghatározott erők minden más erőt hívnak, mindent, kivéve a reakciókat.

Az erők ezen osztályozásának szükségessége a következő fejezetekből válik világossá.

Az erők külső és belső felosztása feltételes, és attól függ, hogy melyik testrendszert vizsgáljuk. Például, ha az egész naprendszer mozgását tekintjük egészének, akkor a Földnek a Naphoz való vonzóereje belső lesz; amikor a Föld mozgását a Nap körüli pályáján tanulmányozzuk, ugyanazt az erőt külsőnek tekintjük.

A belső erők a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

1.A rendszer összes belső erőjének geometriai összege (fővektora) egyenlő nullával. Valójában a dinamika harmadik főtétele szerint a rendszer bármely két pontja (31. ábra) egyenlő nagyságú, ellentétes irányú erőkkel hat egymásra, amelyek összege nulla. Mivel hasonló eredmény érvényes a rendszer bármely pontpárjára, akkor

Nagyon könnyű elképzelni egy erős embert. Erőteljes testalkat, nagy izmok, magabiztos megjelenés. De vajon ezek a jelek mindig valódi erőt mutatnak? És mi ez a belső erő, amiről nagyon gyakran lehet hallani? Illik a lenyűgöző megjelenéshez? Lehet-e egy fizikálisan kevésbé fejlett ember erősebb egy felsőbbrendű ellenfélnél? Milyen esetekben nyilvánul meg az ember belső ereje? Lehetséges-e fejleszteni, vagy ez egy veleszületett tulajdonság, ami öröklődik? Próbáljuk megérteni ezt a kérdést.

Mi a belső erő?

A belső erő a lelkierő, az akaraterős tulajdonságok összessége, amelyek lehetővé teszik az ember számára, hogy leküzdje a különféle élet nehézségeit. Ennek megfelelően stresszes esetekben nyilvánul meg, amikor az ember, úgy érezve, hogy nem tudja irányítani a helyzetet, továbbra is „jellemben” cselekszik.

Ez a tulajdonság szó szerint emberfeletti képességeket ad az embereknek, lehetővé téve számukra, hogy odamenjenek, ahol még a hatlábnyi kidobó is eltörne. A belső erő nem függ az ember korától, nemétől vagy egyéb paramétereitől.

Jobb döntéseket akar hozni, megtalálja ideális karrierjét, és kihasználja a maximális potenciált? Ismerje meg ingyen hogy születéskor milyen emberré szánta a rendszer

Ez bárkiben megnyilvánulhat, a lényeg, hogy ne nyomd el. A belső erő fejlődését elnyomó fő tényezők a káros komplexumok, a stressz, a félelmek, aggodalmak stb.

Hogyan jön létre a belső erő?

Az ember belső ereje nem függ külső erejétől, de nem is zárja ki. Hiszen minden erőhöz mindig több az erő. A vele való ütközés esetén pedig éppen a belső erő nyilvánul meg.

Persze a gyengébb ellenfelet könnyebb legyőzni. De mindannyian ismerünk példákat arra, amikor egy kicsi, de „lelki” ember kerül ki győztesen egy nála nyilvánvalóan nagyobb emberrel vívott harcból. Miért történik ez? Nyilvánvalóan magabiztosabb, és ez a bizalom az ellenségre száll át, szó szerint lefegyverezve őt. A Moska tankönyv elve szerint, aki minden helyi elefántba rémületet sújt.

Öt fő összetevő alkotja az ember belső erejét:

A szellem ereje a személyiség magja;
Az életenergia minden, ami az élethez szükséges;
Az akaraterő egy belső tartalék, amely a nehézségek során megnyílik;
Önkontroll - a test és a gondolatok irányításának képessége;
Mentális energia – érzelmi és mentális stabilitás.

Kölcsönhatásuk határozza meg, hogy egy adott helyzetben mennyire lesz erős az ember, ezért nagyon fontos odafigyelni ezen összetevők mindegyikének fejlődésére.

A földfelszínen folyamatosan hatnak az erők, amelyek kőzeteket pusztítanak, partokat erodálnak, zúzott és oldott ásványi anyagok tömegeit szállítják, üledékrétegeket raknak le és halmoznak fel. A Föld felszínén uralkodó hasonló folyamatokat ún külső vagy exogén. Hosszú ideig a mélyek elszakadtak tőlük, belső, vagy endogén, erők, amelyek forrásai a bolygó beleiben találhatók. A Hold és a Nap gravitációs ereje kívülről hat a Földre. Más égitestek gravitációs ereje nagyon kicsi és elhanyagolható. Egyes tudósok azonban úgy vélik, hogy a Föld több tízmillió éves geológiai történetében az űrből érkező gravitációs hatások jelentősen megnövekedhetnek. Ennek eredményeként például tengeri árapály lép fel. Egyes tudósok a gravitációt is külső erőként tartják számon, ami földcsuszamlásokat és lavinákat okoz, víz áramlását, gleccserek mozgását stb.

Exogén az erők elpusztítják és kémiailag átalakítják a kőzeteket, szállítják a víz, a szél és a gleccserek pusztulásából származó laza és oldható termékeket. Ugyanakkor a pusztulási termékek lerakódása és felhalmozódása (felhalmozódása) történik a szárazföldön vagy a tározók alján üledék formájában (később üledékes kőzetekké alakulnak). A külső erők a belső erőkkel kombinálva részt vesznek a Föld domborzatának kialakításában, az üledékes kőzetek és sokféle ásványi lerakódás (például alumíniumércek - bauxit, nikkel stb.) kialakulásában.

Általában úgy gondolják, hogy a domborzatfejlődés iránya a kéregmozgások és a denudáció arányától függ: amikor a pusztulás és a denudáció dominál a tektonikai folyamatokkal szemben, a domborzat általános kiegyenlítése és csökkenése következik be. A hegyek fokozatosan átalakulnak Peneplains- enyhén dombos, helyenként szinte lapos, peremsíkság. A közelmúltbeli tektonikus mozgások hatására a félsíkságok felemelkednek, magas lapos gerinceket képezve (például a Sayan-hegységben, Tien Shanban), vagy leesnek, és vastag, időjárásálló kéreggel borítják be.

A Föld felszíne az ilyen elképzelések szerint úgy néz ki, mint a bolygó belső és külső erői közötti harc arénája. Az előbbiek mozgásokat okoznak a földkéregben, az utóbbiak a hegyek felszínét rombolják, és újra elosztják a pusztulás termékeit. Kiderül, hogy a bolygó belső erői kreatívak, „fő”, enélkül megfagyna a Föld élete, kisimulna a domborzat és mindenhol szétterülne a Világóceán felszíne. így van?

Mielőtt válaszolnánk erre a kérdésre, ismerkedjünk meg a belső (endogén) erőkkel. Fő energiaforrásuk a Föld belsejében lévő belső hő. A belső erők a következők: radioaktív anyagok bomlása, különféle kémiai reakciók és anyagok átalakulása a belekben, a bolygó vastagságában fellépő hirtelen feszültségkisülések. Az endogén erők magmamozgásokat, vulkáni tevékenységet, kőzet metamorfózist, földrengéseket, a földkéreg lassú emelkedését és süllyedését, vízszintes mozgását, kőzettöréseket, ásványi lerakódások kialakulását stb.

Jól láthatóak benne magmatizmus- a magma (olvadt tüzes folyékony tömeg) megjelenésének és mozgásának összetett folyamatai a kéreg felső horizontjaiba és a Föld felszínére. Túlnyomóan szilikát összetételű, és a földkéregben vagy (ritkán) a felső köpenyben képződik. A magmák fő típusai: bázikus (bazaltos) és savas (gránit). Amikor a magma kitör a Föld felszínére, vulkánokat képez.

Ez effúziós magmatizmus.

A magma nem mindig ömlik ki, hanem gyakran behatol a sziklák vastagságába, és ott lassan lehűl. Így keletkeznek behatolások. Az őket alkotó magmás kőzeteket intruzívnak nevezzük. A magma nagy nyomás alatti lassú lehűlésének körülményei között kialakuló intruzív kőzetek szabályos, egyenletes szemcsés szerkezetet kapnak. A denudáció folyamata során behatoló kőzetek tömegei kerülhetnek a föld felszínére. Például Transbajkáliában nagyon sok gránittömb található, van az Urálban, Ukrajnában és Közép-Ázsiában.

A magmás elhelyezések közül a leghíresebbek lakkolitok- üledékes rétegeket emelő gomba- vagy cipószerű behatolások. A lakkolitok sekélyen fekszenek, és a megemelkedett rétegek néha hatalmas kupolákat alkotnak, amelyek átmérője több száz métertől 5-6 km-ig vagy még nagyobb. Az észak-kaukázusi Mineralnye Vody régió lakkolitjai széles körben ismertek, lapos fennsík között emelkednek: a Zheleznaya, Beshtau, Mashuk stb. Ayudag - a Krím-félszigeten.

Dykes- a magma repedéseken keresztül a földkéregbe való behatolásának eredménye. Az őket alkotó kőzetek gyakran keményebbek, mint a környező kőzetek; ezért mállott állapotban a gátak fal formájában maradnak. Vastagságuk elérheti a tíz, sőt több száz métert is. A kis vastagságú és szabálytalan alakú repedésbetöréseket nevezzük magma erek. Néha a repedések metszéspontjában vannak rudak, mint az oszlopok. A mély kőzetek nagy tömegeit, főleg granitoidokat, hosszúkás ovális alakúak, amelyek jelentős mélységben fekszenek, batolitoknak nevezik. Hosszúságuk eléri a 2000 km-t, szélességük pedig legalább 100 km-t. Ón, wolfram, arany és sok más fém lerakódásai a gránit batolitokhoz kapcsolódnak.

A földkéreg hatalmas területeinek lassú felemelkedései és süllyedései végigkísérik a Föld egész történetét, természetesen még ma is előfordulnak. Ezeknek az oszcilláló, ill epeirogén mozgások (epeirogenezis) idővel változik: az emelkedő területek süllyedni kezdenek, és fordítva. Az ilyen mozgások sebessége olyan alacsony, hogy rövid időn belül nehéz észrevenni őket. A sebességet milliméter/év törtrészben, a maximális sebességet pedig centiméterben fejezik ki évente. A süllyedés klasszikus példája Hollandia területe. Jelentős része a tengerszint alatt van, és gátak védik a tengeri inváziótól. Úgy épülnek rájuk, ahogy a föld leszáll. A süllyedés mértéke itt 0,5-0,7 cm/év. És a földkéreg emelkedik, például Svédországban és Finnországban, ahol a Botteni-öböl partja mentén számos kikötő található, jelentős távolságra a tengertől.

A belső erők a bolygó belsejében dolgoznak, és teljesen el vannak rejtve a szemünk elől. Az epirogén oszcillációs mozgások olyan lazaak, hogy észre sem lehet venni őket. Természetesen a Föld belső életének bizonyos megnyilvánulásai láthatók a felszínen (vulkánok), vagy az emberek által is érezhetők (földrengések). De a behatolások, gátak, erek - évszázados felszínmozgások, földkéregszakadások és még sok más eredménye - mindezt megfigyelheti egy helytörténész? Igen talán. Főleg hegyvidéken, olyan kiemelkedéseken, ahol jól láthatóak, erózió által kitett kőzetrétegek, erek, állományok, gátak stb.. Hazánk különböző vidékein vannak olyan sziklakibúvások, amelyekben különböző geológiai korszakok lerakódásai kerülnek felszínre: a legősibb kőzetektől (a balti pajzson belül, Kelet-Szibériában, az ukrán kristálymasszívumban vannak kitéve) a modern kőzetekig, amelyek emberi tevékenység eredményeként jöttek létre.

A múlt század végén fedezték fel a radioaktivitás jelenségét. Az atommagok bomlási energiája nagyon magas, a mélyben sok radioaktív ásvány található. A tudósok elkezdték kiszámítani a Föld külső és belső energiaforrásainak erejét. Kiderült, hogy közöttük a Nap sugárzó energiája abszolút túlsúlyban van. A Föld által felfogott Nap sugárzási energiája ezerszer nagyobb, mint az összes belső forrás együttvéve. Kiderült, hogy bolygónk életében a külső erőknek kell nagy szerepet játszaniuk. V. I. Vernadsky szovjet természettudós szerint a földkéreg alatti bolygó mélyén a geológiai tevékenység gyorsan elhalványul. Valójában szinte az összes földrengés epicentruma és vulkáni góca a földkéregre és részben az asztenoszféra alatti rétegére korlátozódik (a kéreg alatti anyag viszonylag alacsony viszkozitású területe, amely részben plasztikus állapotban van). De, mint tudják, a földkéreg a korábbi bioszférák területe. Szinte az összes kőzet, amely ezt alkotó kőzet egyszer felkereste a Föld felszínét, külső erők által „feldolgozásnak” volt kitéve, és ilyen vagy olyan formában felhalmozódott a napenergia. Aztán sok kilométert leereszkedve a Föld belsejébe, a fedő sziklák hatalmas nyomása alatt felszabadítják a felhalmozott energiát. Most mintegy a Föld belső termikus (geotermikus) energiájává válik, amely számos geológiai folyamatot okoz mind a mélyben (például magmatizmus), mind a felszínen (vulkanizmus stb.).

A vulkán szerkezete: 1 - kaldera; 2 - somma; 3 - kúp, 4 - kráter; 5 - szellőző. 6 - lávafolyás; 7 - lávakamra.