A homogén lineáris egyenletrendszer megoldása mindig az. Homogén egyenletrendszerek

Rendszer m lineáris egyenletek c n ismeretleneknek nevezik lineáris homogén rendszer egyenletek, ha minden szabad tag nulla. Egy ilyen rendszer így néz ki:

Ahol és ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - adott számok; x i– ismeretlen.

A lineáris homogén egyenletrendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(). Mindig legalább nulla ( jelentéktelen) oldat (0; 0; …; 0).

Nézzük meg, hogy a homogén rendszereknek milyen feltételek mellett vannak nullától eltérő megoldásai.

1. tétel. Egy lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha főmátrixának rangja r kevesebb az ismeretlen n, azaz r < n.

□ 1). Legyen egy lineáris homogén egyenletrendszernek nullától eltérő megoldása. Mivel a rang nem haladhatja meg a mátrix méretét, akkor nyilvánvalóan r ≤ n. Hadd r = n. Aztán az egyik kisebb méret n n különbözik a nullától. Ezért a megfelelő lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van: ... Ez azt jelenti, hogy a triviálisokon kívül nincs más megoldás. Tehát, ha van nem triviális megoldás, akkor r < n.

2). Hadd r < n. Ekkor a homogén rendszer, mivel konzisztens, bizonytalan. Ez azt jelenti, hogy végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai vannak. ■

Tekintsünk egy homogén rendszert n lineáris egyenletek c n ismeretlen:

(2)

2. tétel. Homogén rendszer n lineáris egyenletek c n az ismeretleneknek (2) akkor és csak akkor vannak nem nullától eltérő megoldásai, ha a determinánsa egyenlő nullával: = 0.

□ Ha a (2) rendszernek nincs nullától eltérő megoldása, akkor = 0. Mert amikor a rendszernek csak egyetlen nulla megoldása van. Ha = 0, akkor a rang r a rendszer főmátrixa kisebb, mint az ismeretlenek száma, azaz. r < n. És ezért a rendszernek végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai vannak. ■

Jelöljük az (1) rendszer megoldását! x 1 = k 1 , x 2 = k 2 , …, x n = k n mint egy húr .

A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

1. Ha a vonal az (1) rendszer megoldása, akkor a vonal az (1) rendszer megoldása.

2. Ha a vonalak és az (1) rendszer megoldásai, akkor bármely értékre Val vel 1 és Val vel 2 lineáris kombinációjuk megoldást jelent az (1) rendszerre is.

Ezen tulajdonságok érvényessége úgy ellenőrizhető, hogy közvetlenül behelyettesítjük őket a rendszer egyenleteibe.

A megfogalmazott tulajdonságokból következik, hogy a lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak bármely lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása is.

Lineárisan független megoldások rendszere e 1 , e 2 , …, e r hívott alapvető, ha az (1) rendszer minden megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja e 1 , e 2 , …, e r.

3. tétel. Ha rang r a lineáris homogén egyenletrendszer (1) változóihoz tartozó együtthatók mátrixai kisebbek, mint a változók száma n, akkor az (1) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere abból áll n–r döntéseket.

Ezért közös döntés A lineáris homogén egyenletrendszer (1) alakja:

Ahol e 1 , e 2 , …, e r– a (9) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere, Val vel 1 , Val vel 2 , …, p- tetszőleges számok, R = n–r.

4. tétel. A rendszer általános megoldása m lineáris egyenletek c n ismeretlenek egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenletrendszer (1) általános megoldásának és e rendszer tetszőleges konkrét megoldásának (1) összegével.

Példa. Oldja meg a rendszert

Megoldás. Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

A 2. Tétel szerint a rendszernek csak egy triviális megoldása van: x = y = z = 0.

Példa. 1) Keresse meg a rendszer általános és egyedi megoldásait

2) Keresse meg a megoldások alapvető rendszerét!

Megoldás. 1) Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

A 2. Tétel szerint a rendszernek vannak nem nulla megoldásai.

Mivel csak egy független egyenlet van a rendszerben

x + y – 4z = 0,

akkor abból fogjuk kifejezni x =4z- y. Hol kapunk végtelen számú megoldást: (4 z- y, y, z) – ez a rendszer általános megoldása.

Nál nél z= 1, y= -1, akkor egy konkrét megoldást kapunk: (5, -1, 1). Elhelyezés z= 3, y= 2, akkor a második konkrét megoldást kapjuk: (10, 2, 3) stb.

2) Az általános megoldásban (4 z- y, y, z) változók yÉs z szabadok, és a változó x- tőlük függ. A megoldások alapvető rendszerének megtalálásához rendeljünk értékeket a szabad változókhoz: először y = 1, z= 0, akkor y = 0, z= 1. Parciális megoldásokat kapunk (-1, 1, 0), (4, 0, 1), amelyek a megoldások alapvető rendszerét alkotják.

Illusztrációk:

Rizs. 1 Lineáris egyenletrendszerek osztályozása

Rizs. 2 Lineáris egyenletrendszerek tanulmányozása

Előadások:

· Megoldás SLAE_mátrix módszer

· A SLAE_Cramer módszer megoldása

· Megoldás SLAE_Gauss módszer

· Csomagok matematikai feladatok megoldásához Mathematica, MathCad: lineáris egyenletrendszerek analitikai és numerikus megoldásainak keresése

Ellenőrző kérdések:

1. Határozzon meg egy lineáris egyenletet!

2. Milyen típusú rendszer néz ki? m lineáris egyenletek -val n ismeretlen?

3. Mit nevezünk lineáris egyenletrendszer megoldásának?

4. Milyen rendszereket nevezünk egyenértékűnek?

5. Melyik rendszert nevezzük inkompatibilisnek?

6. Milyen rendszert nevezünk ízületnek?

7. Melyik rendszert nevezzük határozottnak?

8. Melyik rendszert nevezzük határozatlannak

9. Sorolja fel a lineáris egyenletrendszerek elemi transzformációit!

10. Sorolja fel a mátrixok elemi transzformációit!

11. Fogalmazzon meg tételt elemi transzformációk lineáris egyenletrendszerre való alkalmazásáról

12. Milyen rendszereket lehet megoldani mátrix módszerrel?

13. Milyen rendszereket lehet megoldani Cramer módszerével?

14. Milyen rendszereket lehet Gauss-módszerrel megoldani?

15. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása során merül fel

16. Ismertesse a mátrix módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására!

17. Ismertesse Cramer módszerét lineáris egyenletrendszerek megoldására!

18. Ismertesse Gauss módszerét lineáris egyenletrendszerek megoldására!

19. Milyen rendszerek oldhatók meg inverz mátrix segítségével?

20. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Cramer módszerrel történő megoldása során merül fel

Irodalom:

1. Felsőfokú matematika közgazdászoknak: Tankönyv egyetemeknek / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Friedman. Szerk. N.Sh. Kremer. – M.: EGYSÉG, 2005. – 471 p.

2. Felsőfokú matematika általános tantárgy közgazdászoknak: Tankönyv. / Szerk. AZ ÉS. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikából közgazdászoknak: Tankönyv / Szerk.: V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Útmutató a valószínűségszámítás és a magmatikus statisztika problémák megoldásához. - M.: Felsőiskola, 2005. – 400 p.

5. Gmurman. V.E Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. - M.: Felsőiskola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Felsőfokú matematika gyakorlatokban és feladatokban. 1. rész, 2. – M.: Ónix 21. század: Béke és Nevelés, 2005. – 304 p. 1. rész; – 416 p. 2. rész.

7. Matematika a közgazdaságtanban: Tankönyv: 2 részben / A.S. Solodovnikov, V.A. Babajcev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Pénzügy és Statisztika, 2006.

8. Shipachev V.S. Felsőfokú matematika: Tankönyv diákoknak. egyetemek - M.: Felsőiskola, 2007. - 479 p.

Kapcsolódó információ.

Lineáris homogén egyenletrendszerek- alakja ∑a k i x i = 0. ahol m > n vagy m Egy homogén lineáris egyenletrendszer mindig konzisztens, mivel rangA = rangB. Nyilván van egy nullákból álló megoldása, amit ún jelentéktelen.

A szolgáltatás célja. Az online számológépet úgy tervezték, hogy egy nem triviális és alapvető megoldást találjon az SLAE-hez. Az eredményül kapott megoldás egy Word-fájlba kerül mentésre (lásd a megoldás példáját).

Utasítás. Mátrixdimenzió kiválasztása:

Lineáris homogén egyenletrendszerek tulajdonságai

Annak érdekében, hogy a rendszer rendelkezzen nem triviális megoldások, szükséges és elegendő, hogy mátrixának rangja kisebb legyen, mint az ismeretlenek száma.

Tétel. Egy rendszernek m=n esetben akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Tétel. A megoldások bármely lineáris kombinációja egy rendszerre egyben megoldás is a rendszerre.
Meghatározás. A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak halmazát ún alapvető megoldási rendszer, ha ez a halmaz lineárisan független megoldásokból áll, és a rendszer bármely megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja.

Tétel. Ha a rendszermátrix r rangja kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor létezik egy alapvető megoldási rendszer, amely (n-r) megoldásokból áll.

Algoritmus lineáris homogén egyenletrendszerek megoldására

A mátrix rangjának megkeresése.
Kiválasztjuk az alapmollt. Megkülönböztetünk függő (alap) és szabad ismeretleneket.
Áthúzzuk a rendszer azon egyenleteit, amelyek együtthatói nem szerepelnek a bázis-mollban, mivel ezek a többi (a tétel alapján a moll) következményei.
A szabad ismeretleneket tartalmazó egyenletek tagjait a jobb oldalra mozgatjuk. Ennek eredményeként egy r egyenletrendszert kapunk r ismeretlennel, amely ekvivalens az adottval, amelynek determinánsa nem nulla.
A kapott rendszert az ismeretlenek kiiktatásával oldjuk meg. A függő változókat szabadon keresztül kifejező kapcsolatokat találunk.
Ha a mátrix rangja nem egyenlő a változók számával, akkor megtaláljuk a rendszer alapvető megoldását.
A cseng = n esetben triviális megoldásunk van.

Példa. Keresse meg a vektorrendszer alapját (a 1, a 2,...,a m), rangsorolja és fejezze ki a vektorokat az alap alapján! Ha a 1 =(0,0,1,-1), és 2 =(1,1,2,0), és 3 =(1,1,1,1), és 4 =(3,2,1 ,4), és 5 =(2,1,0,3).
Írjuk fel a rendszer fő mátrixát:

Szorozd meg a 3. sort (-3-mal). Adjuk hozzá a negyedik sort a harmadikhoz:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Szorozzuk meg a 4. sort (-2)-vel. Az 5. sort szorozzuk meg (3-mal). Adjuk hozzá az 5. sort a 4.-hez:
Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:
Keressük meg a mátrix rangját.
A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével egy nem triviális megoldást találunk:
Az x 1 , x 2 , x 3 függő változókat kifejező összefüggéseket a szabad x 4 változókon keresztül kaptuk, azaz általános megoldást találtunk:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

A lineáris egyenletet ún homogén, ha a szabad tagja nulla, egyébként pedig inhomogén. A homogén egyenletekből álló rendszert homogénnek nevezzük, és általános formája:

Nyilvánvaló, hogy minden homogén rendszer konzisztens, és van nulla (triviális) megoldása. Ezért, ha homogén lineáris egyenletrendszerekre alkalmazzuk, gyakran választ kell keresni a nullától eltérő megoldások létezésének kérdésére. A kérdésre a válasz a következő tételként fogalmazható meg.

Tétel . Egy homogén lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor rendelkezik nullától eltérő megoldással, ha a rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma .

Bizonyíték: Tegyük fel, hogy egy egyenlő rangú rendszernek van egy nem nullától eltérő megoldása. Nyilvánvalóan nem haladja meg. Abban az esetben, ha a rendszer egyedi megoldással rendelkezik. Mivel a homogén lineáris egyenletrendszernek mindig van nulla megoldása, akkor a nulla megoldás lesz ez az egyedi megoldás. Így a nullától eltérő megoldások csak a esetén lehetségesek.

Következmény 1 : Egy homogén egyenletrendszernek, amelyben az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, mindig van nullától eltérő megoldása.

Bizonyíték: Ha egy egyenletrendszerben van , akkor a rendszer rangja nem haladja meg az egyenletek számát, azaz. . Így a feltétel teljesül, és ezért a rendszer nullától eltérő megoldással rendelkezik.

Következmény 2 : Az ismeretleneket tartalmazó homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha a determinánsa nulla.

Bizonyíték: Tegyük fel, hogy egy lineáris homogén egyenletrendszernek, amelynek mátrixa a determinánssal van, nem nulla megoldása van. Ekkor a bizonyított tétel szerint, és ez azt jelenti, hogy a mátrix szinguláris, azaz .

Kronecker-Capelli tétel: Egy SLU akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszermátrix rangja megegyezik a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával. Egy rendszert konzisztensnek nevezünk, ha van legalább egy megoldása.

Lineáris algebrai egyenletek homogén rendszere.

Az m lineáris egyenletrendszert n változóval lineáris homogén egyenletrendszernek nevezzük, ha minden szabad tag egyenlő 0-val. A lineáris homogén egyenletrendszer mindig konzisztens, mert mindig van legalább nulla megoldása. Egy lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nem nulla megoldása, ha a változókra vonatkozó együtthatómátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, azaz. A ranghoz (n. Bármilyen lineáris kombináció

Lin rendszermegoldások. homogén. ur-ii is megoldás erre a rendszerre.

Az e1, e2,...,еk lineáris független megoldások rendszerét fundamentálisnak nevezzük, ha a rendszer minden megoldása megoldások lineáris kombinációja. Tétel: ha egy lineáris homogén egyenletrendszer változóihoz tartozó együtthatómátrix r rangja kisebb, mint az n változók száma, akkor a rendszer minden alapvető megoldási rendszere n-r megoldásból áll. Ezért a lineáris rendszer általános megoldása. egy nap ur-th alakja: c1e1+c2e2+...+skek, ahol e1, e2,..., ek bármely alapvető megoldási rendszer, c1, c2,...,ck tetszőleges számok és k=n-r. Az m lineáris egyenletrendszer általános megoldása n változóval egyenlő az összeggel

a neki megfelelő rendszer általános megoldásának homogén. lineáris egyenletek és ennek a rendszernek egy tetszőleges konkrét megoldása.

7. Lineáris terek. Alterek. Alap, méret. Lineáris héj. A lineáris teret ún n-dimenziós, ha lineárisan független vektorok rendszerét tartalmazza, és bármely nagyobb számú vektorból álló rendszer lineárisan függő. A számot hívják dimenzió (méretek száma) lineáris tér és jelölése. Más szóval, egy tér mérete a tér lineárisan független vektorainak maximális száma. Ha létezik ilyen szám, akkor a teret véges dimenziósnak nevezzük. Ha bármely n természetes számra létezik olyan rendszer a térben, amely lineárisan független vektorokból áll, akkor az ilyen teret végtelen dimenziósnak nevezzük (írva: ). A következőkben, hacsak másképp nem jelezzük, véges dimenziós tereket fogunk figyelembe venni.

Az n-dimenziós lineáris tér alapja lineárisan független vektorok rendezett gyűjteménye ( bázisvektorok).

8.1. Tétel egy vektor bázisban kifejezett bővítéséről. Ha egy n-dimenziós lineáris tér alapja, akkor bármely vektor ábrázolható bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
és ráadásul az egyetlen módon, i.e. az együtthatókat egyedileg határozzák meg. Más szóval, a tér bármely vektora bázissá bővíthető, ráadásul egyedi módon.

Valójában a tér dimenziója . A vektorok rendszere lineárisan független (ez egy alap). Miután bármilyen vektort hozzáadtunk a bázishoz, egy lineárisan függő rendszert kapunk (mivel ez a rendszer n-dimenziós tér vektoraiból áll). 7 lineárisan függő és lineárisan független vektor tulajdonságát felhasználva megkapjuk a tétel következtetését.

A homogén rendszer mindig konzisztens, és van egy triviális megoldása
. Egy nemtriviális megoldás létezéséhez szükséges, hogy a mátrix rangja kevesebb volt, mint az ismeretlenek száma:

A megoldások alapvető rendszere homogén rendszer
megoldások rendszerét nevezzük oszlopvektorok formájában
, amelyek megfelelnek a kanonikus alapnak, i.e. alapja, amelyben tetszőleges állandók
felváltva eggyel, míg a többi nullára van állítva.

Ekkor a homogén rendszer általános megoldása a következőképpen alakul:

Ahol
- tetszőleges állandók. Más szavakkal, az átfogó megoldás a megoldások alapvető rendszerének lineáris kombinációja.

Így az általános megoldásból alapmegoldásokat kaphatunk, ha a szabad ismeretleneknek sorra egy értéket adunk, az összes többit nullára állítva.

Példa. Keressünk megoldást a rendszerre

Fogadjuk el , akkor a következő formában kapunk megoldást:

Most alkossunk egy alapvető megoldási rendszert:

Az általános megoldás így lesz leírva:

A homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Más szóval, a megoldások bármely lineáris kombinációja egy homogén rendszerhez ismét megoldás.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel

A lineáris egyenletrendszerek megoldása évszázadok óta foglalkoztatja a matematikusokat. Az első eredmények a 18. században születtek. 1750-ben G. Kramer (1704–1752) publikálta munkáit a négyzetmátrixok determinánsairól, és algoritmust javasolt az inverz mátrix megtalálására. Gauss 1809-ben felvázolt egy új megoldási módszert, amelyet az elimináció módszereként ismernek.

A Gauss-módszer, vagy az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere abból áll, hogy elemi transzformációk segítségével egy egyenletrendszert egy lépés (vagy háromszög) alakú ekvivalens rendszerré redukálunk. Az ilyen rendszerek lehetővé teszik az összes ismeretlen szekvenciális megtalálását egy bizonyos sorrendben.

Tegyük fel, hogy az (1) rendszerben
(ami mindig lehetséges).

(1)

Az első egyenletet egyesével megszorozva az ún megfelelő számok

és összeadva a szorzás eredményét a rendszer megfelelő egyenleteivel, egy ekvivalens rendszert kapunk, amelyben az első kivételével az összes egyenletben nem lesz ismeretlen x 1

(2)

Most szorozzuk meg a (2) rendszer második egyenletét megfelelő számokkal, feltételezve, hogy

és az alacsonyabbakkal összeadva kiküszöböljük a változót minden egyenletből, a harmadiktól kezdve.

Ezt a folyamatot folytatva, miután
lépést kapunk:

(3)

Ha a számok közül legalább az egyik
nem egyenlő nullával, akkor a megfelelő egyenlőség ellentmondásos és az (1) rendszer inkonzisztens. Ezzel szemben bármilyen közös számrendszerhez
egyenlők nullával. Szám nem más, mint az (1) rendszer mátrixának rangja.

Az (1) rendszerből a (3) rendszerbe való átmenetet nevezzük egyértelmű Gauss-módszer, és az ismeretlenek megtalálása a (3)-ból – hátrafelé .

Megjegyzés : Kényelmesebb a transzformációkat nem magukkal az egyenletekkel, hanem a rendszer kiterjesztett mátrixával (1) végezni.

Példa. Keressünk megoldást a rendszerre

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:

Adjuk hozzá az elsőt a 2,3,4 sorokhoz, szorozva (-2), (-3), (-2)-vel:

Cseréljük fel a 2. és 3. sort, majd a kapott mátrixban adjuk hozzá a 2. sort a 4. sorhoz, megszorozva :

Adja hozzá a 4. sorhoz a 3. sor szorzatát
:

Ez nyilvánvaló
, ezért a rendszer konzisztens. A kapott egyenletrendszerből

fordított helyettesítéssel találjuk meg a megoldást:

,
,
,
.

2. példa Keressen megoldást a rendszerre:

Nyilvánvaló, hogy a rendszer következetlen, mert
, A
.

A Gauss-módszer előnyei :

Kevésbé munkaigényes, mint Cramer módszere.

Egyértelműen megállapítja a rendszer kompatibilitását, és lehetővé teszi a megoldás megtalálását.

Lehetővé teszi bármely mátrix rangjának meghatározását.

2.4.1. Meghatározás. Adjunk meg egy inhomogén lineáris egyenletrendszert

Tekintsünk egy homogén rendszert

amelynek együtthatói mátrixa egybeesik a (2.4.1) rendszer együtthatóinak mátrixával. Ekkor a (2.4.2) rendszer meghívódik redukált homogén rendszer (2.4.1).

2.4.2. Tétel. Egy inhomogén rendszer általános megoldása egyenlő az inhomogén rendszer valamely konkrét megoldásának és a redukált homogén rendszer általános megoldásának összegével.

Tehát ahhoz, hogy általános megoldást találjunk az inhomogén rendszerre (2.4.1), elegendő:

1) Vizsgálja meg a kompatibilitást. Kompatibilitás esetén:

2) Keresse meg a redukált homogén rendszer általános megoldását!

3) Keressen egy konkrét megoldást az eredeti (inhomogén) megoldásra.

4) A talált konkrét megoldás és az adott általános megoldásának összeadásával keresse meg az eredeti rendszer általános megoldását.

2.4.3. Gyakorlat. Vizsgálja meg a rendszer kompatibilitását, és kompatibilitás esetén keresse meg annak általános megoldását a konkrét és az általános adott összege formájában.

Megoldás. a) A probléma megoldásához a fenti sémát alkalmazzuk:

1) Megvizsgáljuk a rendszer kompatibilitását (a kiskorúak szegélyezésének módszerével): A főmátrix rangja 3 (lásd a 2.2.5. feladat megoldását, a), a maximális rendű nem nulla moll pedig az 1. elemeiből áll, 2., 4. sor és 1., 3., 4. oszlop. A kiterjesztett mátrix rangjának meghatározásához a kiterjesztett mátrix 3. sorával és 6. oszlopával határoljuk: =0. Eszközök, rg A =rg=3, és a rendszer konzisztens. Különösen egyenértékű a rendszerrel

2) Keressünk egy általános megoldást X 0 redukált homogén rendszer

x 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(lásd a 2.2.5. gyakorlat megoldását, a)).

3) Keressük az eredeti rendszer tetszőleges x h megoldását . Ehhez az eredetivel ekvivalens (2.4.3) rendszerben a szabad ismeretlenek x 2 és x Feltételezzük, hogy 5 egyenlő például nullával (ez a legkényelmesebb adat):

és oldja meg a kapott rendszert: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Így a (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ a rendszer sajátos megoldása.

4) Keresse meg az eredeti rendszer X n általános megoldását! :

X n={x h }+x 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

Megjegyzés. Hasonlítsa össze a kapott választ az 1.2.1 c) példa második válaszával. Az 1.2.1 c) pont első alakjában szereplő válasz megszerzéséhez az alapvető ismeretleneket veszik x 1 , x 3 , x 5 (amelynek a moll szintén nem egyenlő nullával), és mint szabad ¾ x 2 és x 4 .

§3. Néhány alkalmazás.

3.1. A mátrixegyenletek kérdéséről. Emlékeztetünk erre mátrix egyenlet a mező fölött F egy egyenlet, amelyben az ismeretlen egy mátrix a mező felett F .

A legegyszerűbb mátrixegyenletek az alábbi alakú egyenletek

FEJSZE=B , XA =B (2.5.1)

Ahol A , B ¾ adott (ismert) mátrix egy mező felett F , A x ¾ olyan mátrixok, amelyek behelyettesítésekor a (2.5.1) egyenletek valódi mátrixegyenlőségekké alakulnak. Különösen bizonyos rendszerek mátrixmódszere redukálódik egy mátrixegyenlet megoldására.

Abban az esetben, ha a mátrixok A a (2.5.1) egyenletekben nem degeneráltak, megoldásaik vannak, ill x =A B És x =B.A. .

Abban az esetben, ha a (2.5.1) egyenletek bal oldalán lévő mátrixok legalább egyike szinguláris, ez a módszer már nem alkalmas, mivel a megfelelő inverz mátrix A nem létezik. Ebben az esetben a (2.5.1) egyenletek megoldásainak megtalálása rendszerek megoldására redukálódik.

De először is vezessünk be néhány fogalmat.

Nevezzük a rendszer összes megoldásának halmazát általános döntés . Nevezzük egy határozatlan rendszer külön vett megoldását privát megoldás .

3.1.1. Példa. Oldja meg a mátrixegyenletet a mező felett R.

A) x = ; b) x = ; V) x = .

Megoldás. a) Mivel =0, akkor a képlet x =A B nem alkalmas ennek az egyenletnek a megoldására. Ha a munkában XA =B mátrix A 2 sora van, akkor a mátrix x 2 oszlopa van. Sorok száma x meg kell egyeznie a sorok számával B . Ezért x 2 sora van. És így, x ¾ néhány másodrendű négyzetmátrix: x = . Cseréljük x az eredeti egyenletbe:

A (2.5.2) bal oldalán lévő mátrixokat megszorozva az egyenlőséghez jutunk

Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha méretük azonos, és a hozzájuk tartozó elemeik egyenlőek. Ezért (2.5.3) ekvivalens a rendszerrel

Ez a rendszer egyenértékű a rendszerrel

Megoldása során például a Gauss-módszerrel megoldások halmazához jutunk (5-2 b , b , -2d , d ), Ahol b , d egymástól függetlenül futnak R. És így, x = .

b) Hasonló a) van x = és.

Ez a rendszer inkonzisztens (nézze meg!). Ezért ennek a mátrixegyenletnek nincs megoldása.

c) Jelöljük ezt az egyenletet FEJSZE =B . Mert A 3 oszlopa van és B akkor 2 oszlopa van x ¾ néhány 3´2 dimenziójú mátrix: x = . Ezért a következő egyenértékűségi láncot kapjuk:

Az utolsó rendszert Gauss-módszerrel oldjuk meg (kihagyjuk a megjegyzéseket)

Így elérkeztünk a rendszerhez

amelynek megoldása (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Ahol z , w egymástól függetlenül futnak R.

Válasz: a) x = , b , d Î R.

b) Nincsenek megoldások.

V) x = z , w Î R.

3.2. A mátrixok permutációjának kérdéséről.Általában a mátrixok szorzata nem kommutálható, vagyis ha A És B oly módon, hogy AB És B.A. akkor általánosságban elmondható, AB ¹ B.A. . De egy példa az identitásmátrixra E azt mutatja, hogy lehetséges az cserélhetőség is A.E. =E.A. bármilyen mátrixhoz A , csak ha A.E. És E.A. elhatározták.