Utbildningsministeriet i Republiken Vitryssland

Läroanstalt

Brest State University uppkallad efter A.S. Pusjkin

Fysiska fakulteten

Institutionen för metoder för undervisning i fysik och OTD

KURSARBETE

ICELLINJÄRA OSCILLATIONER OCH OSCILLATIONSSYNKRONISERING

Utförs av en student i grupp FI-51

Pashkevich A.Ya.

Vetenskaplig rådgivare:

Ph.D. Sc., docent N.N

Brest, 2012

Introduktion

1.1 Linjära svängningar i närvaro av en deterministisk yttre kraft

2. Fria vibrationer av konservativa system med olinjära återställande krafter

2.1 Fria olinjära oscillationer av system med dämpning och olinjär återställningskraft

2.2 Olika typer av funktioner0

3. Odämpade och avslappningssvängningar

3.1 Kvalitativ analys av van der Pols ekvation

3.2 Kopplade olinjära oscillationer, faslåst regenerativ mottagare och synkroniseringsprincip

3.3 Grundläggande ekvationer

3.4 Svängningar med stor avstämning

3.5 Kombinerade oscillationer med konstant amplitud

3.6 Elektriska problem som leder till Hill-ekvationen

Slutsats

Bibliografi

Introduktion

Det är inte förvånande att en fysiker ska kunna hitta lösningar på olinjära problem, eftersom många fenomen som uppstår i världen runt honom styrs av olinjära beroenden. Under utveckling matematiska vetenskaper Svårigheterna med olinjär analys hindrade formuleringen av idéer om olinjära rörelser som skulle möjliggöra en djupare förståelse av sådana fenomen.

Om du ser tillbaka på historien om vetenskapliga landvinningar är det slående att forskarnas huvudsakliga ansträngningar endast fokuserades på att studera linjära system och på linjära begrepp. Om du samtidigt tar en titt på världen omkring oss, kommer du bokstavligen vid varje steg att stöta på fenomen som är olinjära till sin natur. Linjära begrepp ger endast en ytlig förståelse av mycket av det som sker i naturen. För att göra analysen mer realistisk är det nödvändigt att uppnå mer hög nivå och större lätthet att förstå och använda icke-linjära representationer.

De senaste åren har de utvecklats datormetoder analys, och i många fall trodde man att de resulterande lösningarna kunde ge en bättre förståelse för manifestationerna av olinjäritet. Generellt sett har man funnit att en enkel sökning av numeriska lösningar endast leder till en något större förståelse för icke-linjära processer än att till exempel observera naturen själv, ”mala” lösningar på ett så specifikt olinjärt problem som vädret. Det verkar som om vår förståelse inte bygger på ekvationer eller deras lösningar, utan snarare på grundläggande och välinlärda begrepp. Vanligtvis förstår vi vår miljö bara när vi kan beskriva den i termer av begrepp som är så enkla att de kan förstås väl och så breda att vi kan arbeta med dem utan att referera till en specifik situation. Listan över sådana begrepp är omfattande och inkluderar till exempel termer som resonans, hysteres, vågor, Respons, gränsskikt, turbulens, stötvågor, deformation, väderfronter, immunitet, inflation, depression, etc. De flesta av de mest användbara processerna är icke-linjära till sin natur, och vår oförmåga att på exakt matematiskt språk beskriva sådana vardagliga fenomen som flödet av vatten i en ränna eller cigarettrökens krullning, ligger delvis i det faktum att vi inte var villiga att dyka in i och förstå ickelinjär matematik tidigare.

Resonansfenomenet förekommer som bekant ofta i levande materia. Efter Wiener föreslog Szent-Györgyi vikten av resonans för musklernas struktur. Det visar sig att ämnen med starka resonansegenskaper vanligtvis har en exceptionell förmåga att lagra både energi och information, och sådan ansamling sker utan tvekan i muskeln.

Icke-linjära svängningar, slumpmässiga olinjära svängningar och kopplade (fassynkroniserade) olinjära svängningar utgör själva essensen av fenomen inom många områden av vetenskap och teknik, såsom kommunikation och energi; rytmiska processer äger rum i biologiska och fysiologiska system. Biofysiker, meteorolog, geofysiker, kärnfysiker, seismolog – alla sysslar de med olinjära svängningar, ofta faslåsta i en eller annan form. Till exempel hanterar en kraftingenjör problemet med stabiliteten hos synkrona maskiner, en kommunikationsingenjör behandlar instabiliteten i tidsval eller synkronisering, en fysiolog behandlar kloner, en neurolog behandlar ataxi, en meteorolog behandlar frekvensen av fluktuationer i atmosfäriskt tryck, en kardiolog behandlar fluktuationer som orsakas av hjärtats arbete, en biolog - med fluktuationer som orsakas av den biologiska klockans förlopp.

Det huvudsakliga målet med avhandlingen är att överväga ett antal problem i teorin om icke-linjära svängningar relaterade till sådana grundläggande begrepp som infångning (eller synkronisering), spårning, demodulering och faskoherenta kommunikationssystem. Ett försök kommer att göras att ge en översikt över icke-linjära problem av praktiskt intresse, vars lösningar är skrivna i tillgänglig form. Genomgången är inte uttömmande, men den innehåller exempel på problem som tjänar till att illustrera de grundläggande begrepp som behövs för att förstå de olinjära egenskaperna hos faslåsta system. Frågan om lösningarnas existens och unika berörs endast ytligt; huvudfokus ligger på metoder för att få fram lösningar.

Det granskade materialet kan grupperas i tre huvudämnen. Det första ämnet inkluderar en presentation av resultaten av teorin om linjära svängningar i system med en frihetsgrad, med konstanta parametrar. Detta material används som referens och för jämförelse med resultaten från teorin om olinjära svängningar. Det andra ämnet ägnas åt lättintegrerade olinjära system som inte påverkas av externa tidsberoende krafter. Här, med hjälp av fasplansapparaten, studeras fria svängningar av icke-linjära system i detalj. En kort sammanfattning av Poincarés teori om singulära punkter i första ordningens differentialekvationer ges. Användbarheten av begreppet en singulär punkt illustreras genom att lösa ett antal fysiska problem. Slutligen täcker det tredje ämnet forcerade, självuppehållande svängningar (självsvängningar) och olinjära avslappningssvängningar. I synnerhet kommer tillämpningen av van der Pol-teorin på synkroniserings- och spårningsproblem att diskuteras, och kapitlet avslutas med en diskussion om Hill-ekvationen.

1. Fria vibrationer i linjära system

Det verkar värdefullt och intressant att sammanfatta huvuddragen i linjära svängningar. Det finns ett antal skäl att göra detta här. En av våra grundläggande uppgifter är att jämföra linjära och olinjära metoder vibrationsstudier. Dessutom har det blivit praxis att så långt det är möjligt tillämpa den terminologi som används i linjära problem på icke-linjära. Slutligen är det bra att ha en sammanfattning av huvudidéerna och formlerna linjär teori för enkel referens.

Det kanske enklaste exemplet på ett linjär oscillationsproblem tillhandahålls av en enkel elektrisk krets bestående av en induktans kopplad i serie med en kondensator och ett motstånd (fig. 1). Den mekaniska analogen som visas i fig. 1, består av en massa kropp fäst vid en fjäder som utvecklar en kraft (kallad återställande kraft) proportionell mot kroppens förskjutning. För detta elektriska system, med hjälp av Kirchhoffs lag, har vi

Om vi ​​antar att en kropp i ett mekaniskt system rör sig i ett medium som ger motstånd proportionellt mot hastigheten ( trögflytande friktion), sedan rörelseekvationen för svängningar mekaniskt system ges av relationen

I analogi har vi det; ; och är dessutom en analog av förskjutning.

Ris. 1.Linjära elektriska och mekaniska system

Förutsatt att för nu yttre kraft och introducera notationer

vi reducerar (1.2) till formen

Eftersom de oscillationer som bestäms av denna linjära homogena ekvation kallas fria linjära svängningar. Gemensamt beslut linjär ekvation Med konstanta koefficienter Det finns Linjär kombination två exponentialfunktioner:

var och är godtyckliga konstanter som bestäms initiala förhållanden, a och är rötterna till den karakteristiska ekvationen

Således och ges av relationerna

Om vi ​​vill presentera lösningen (1.5) i reell form överväger vi tre fall då kvantiteten är: a) reell, b) noll, c) imaginär. Det är lätt att visa att lösningarna tar formen

var och är verkliga; och är godtyckliga konstanter, som bestäms genom att ange värdena för förskjutning (ström) och hastighet vid något initialt ögonblick.

Ekvation (1.8 - a) uppstår i praktiken oftast. Som är lätt att se av (1.3) uppstår detta fall om dämpningskoefficienten är liten jämfört med. Ekvation (1.8 - a) i detta fall beskriver en sådan oscillerande rörelse att vartannat på varandra följande maxima och förskjutningar uppfyller förhållandet

Per. från engelska Boldova B. A. och Gusev G. G. Redigerad av V. E. Bogolyubov. - M.: Mir, 1968. - 432 sid.
UDC 534 (Mekaniska vibrationer. Akustik). Det finns ett textlager (dvs texten är lätt att kopiera).
Monografin av den berömda japanska forskaren T. Hayashi ägnas åt teorin om icke-linjära oscillerande processer som förekommer i en mängd olika fysiska system.
Boken är en reviderad och utökad upplaga av ett av författarens tidigare verk, bekant för den sovjetiska läsaren från den ryska översättningen (T. Hayashi, Forced oscillations in nonlinear systems, Il, M., 1957). Men efter bearbetning och tillägg blev resultatet faktiskt en ny bok.
Den skiljer sig från den tidigare inte bara i nya avsnitt, utan också i en avsevärt förbättrad presentationsmetod. Boken är av intresse både för fysiker och ingenjörer av olika specialiteter som arbetar med teorin om icke-linjära svängningar och dess tillämpningar, och för matematiker som arbetar med teorin om differentialekvationer.
Innehållsförteckning.
Förord ​​till den ryska utgåvan.
Förord.
Introduktion.
Del i. Grundläggande metoder för analys av olinjära svängningar.
Kapitel i.
Analytiska metoder.
Introduktion.
Störningsmetod.
Iterationsmetod.
Genomsnittsmetod.
Principen för harmonisk balans.
Numeriska exempel på att lösa Duffing-ekvationen.
Kapitel II.
Topologiska metoder och grafiska lösningar.
Introduktion.
Integralkurvor och singulära punkter på tillståndsplanet.
Integralkurvor och singulära punkter i tillståndsrummet.
Isoklinisk metod.
Lienards metod.
Delta metod.
Metod för lutande linjer.
Kapitel iii.
Stabilitet för icke-linjära system.
Bestämning av stabilitet enligt Lyapunov.
Routh-Hurwitz-kriterium för olinjära system.
Lyapunov stabilitetskriterium.
Stabilitet av periodiska svängningar.
Mathieus ekvation.
Hills ekvation.
Förbättrad approximation av den karakteristiska exponenten för.
Hillekvationer.
Del ii, Forcerade svängningar i stationärt tillstånd.
Kapitel iy.
Stabilitet av periodiska svängningar i andra ordningens system.
Introduktion.
Stabilitetsvillkor för periodiska lösningar.
Förbättrade stabilitetsförhållanden.
Ytterligare anmärkningar om stabilitetsförhållanden.
Kapitel y.
Harmoniska vibrationer.
Harmoniska svängningar med en symmetrisk olinjär karaktäristik.
Harmoniska svängningar med en asymmetrisk olinjär karaktäristik.

Kapitel Yi.
Ultraharmoniska vibrationer.
Ultraharmoniska vibrationer c.
serieresonanskretsar.
Experimentell studie.
Ultraharmoniska svängningar i parallella resonanskretsar.
Experimentell studie.
Kapitel Yii.
Subharmoniska vibrationer.
Introduktion.
Samband mellan olinjär karaktäristik och ordning.
subharmoniska vibrationer.

egenskap representerad av en kubisk funktion.
Subharmoniska svängningar är i storleksordningen 1/3 med olinjära.
egenskap representerad av ett femtegradspolynom.
Experimentell studie.

egenskap representerad av ett tredjegradspolynom.
Subharmoniska svängningar är i storleksordningen 1/2 när de är olinjära.
egenskap representerad av en symmetrisk kvadratisk.
fungera.
Experimentell studie.
Del iii. Övergående påtvingade svängningar.
Kapitel Yiii.
Harmoniska vibrationer.
Introduktion.
Periodiska lösningar och deras stabilitet.
Analys av harmoniska vibrationer med hjälp av integral.
kurvor.
Analys av övertonssvängningar på fasplanet.
Geometrisk analys av integralkurvor för konservativa system.
Geometrisk analys av integralkurvor för dissipativa system.
Experimentell studie.
Kapitel ix.
Subharmoniska vibrationer.
Analys av subharmoniska vibrationer med hjälp av integralkurvor.
Analys av subharmoniska svängningar av storleksordningen 1/3 på fasplanet.
Experimentell studie.
Subharmoniska vibrationer i storleksordningen 1/5.
Subharmoniska vibrationer är i storleksordningen 1/2.
Analys av subharmoniska svängningar av storleksordningen 1/2 på fas ett.
plan.
Forskning på en analog dator.
Kapitel x.
Initiala förhållanden som leder till olika arter.
periodiska svängningar.
Analysmetod.
Symmetriska system.

fluktuationerna är ca 1/3.
Asymmetriska system.
Attraktionsområden för harmonisk och subharmonisk.
vibrationer i storleksordningen 1/2 och 1/3.
Experimentella studier.
Kapitel Xi.

Introduktion.
Nästan periodiska oscillationer i en resonanskrets med DC-förspänning.
Innehållsförteckning.
Experimentell studie.
Nästan periodiska svängningar på ett parametriskt sätt.
exciterad krets.
Del iv. Självsvängande system under periodisk påverkan av yttre kraft.
Kapitel Xii.
Frekvenslåsning.
Introduktion.

Harmonisk fångst.
Ultraharmonisk fångst.
Subharmonisk fångst.
Frekvenslåsområden.
Analys med hjälp av en analog dator.

Självoscillerande system med olinjär återställande kraft.
Kapitel XIII.
Nästan periodiska svängningar.
Van der Pols ekvation med en tvingande term.

harmoniska vibrationer.
Geometrisk övervägande av integralkurvor på.
gränsen för harmonisk fångst.
Nästan periodiska svängningar som härrör från.
ultraharmoniska vibrationer.
Nästan periodiska svängningar som härrör från.
subharmoniska vibrationer.
Självoscillerande system med olinjär återställande kraft.
Bilaga i. Utökningar av Mathieus funktioner.
Bilaga ii. Instabila lösningar av Hill-ekvationen.
Bilaga iii. Instabila lösningar av den generaliserade Hill-ekvationen.
Bilaga iv. Stabilitetskriterium erhållet med metoden.
störningar.
Bilaga v. Anmärkningar angående integralkurvor och singularpunkter.
Vi app. Elektronisk synkron kommutator.
Uppgifter.
Litteratur.
Pekare.
T. Hayashi.
Icke-linjära svängningar i fysiska system.

Redaktör N. Pluzhnakova Konstnär A. Shklovskaya.
Konstredaktör V. Shapovalov Teknisk redaktör N. Tursukova.
Sad i produktion 9/X 1967. Signerad för tryckning 25/W 1968.
Papper 60х90у1в-= 13,5 papper. l. 27,0 st. l.
Usch. -red. l. 24,
0. Ed. nr 1/3899.
Pris 1 rub. 91 k. 907.
Templan 1968, Mir förlag, por. Nr 38.
Förlag "Mir", Moskva, 1:a Rizhsky per. , 2.
Leningrad tryckeri nr 2 uppkallat efter Evgenia Sokolova från Glavpoligrafprom-kommittén.
för press under Sovjetunionens ministerråd. Izmailovsky pr., 29.

se även

Andrianov I.V., Danishevsky V.V., Ivankov A.O. Asymptotiska metoder i teorin om vibrationer av balkar och plattor

• filformat: pdf
• storlek: 5,53 MB
• Lagt till: 25 september 2011

Dnepropetrovsk: Pridneprovskaya statliga akademin konstruktion och arkitektur, 2010, 217 sid. Monografin diskuterar asymptotiska metoder för att lösa problem med vibrationer av balkar och plattor. Den största uppmärksamheten ägnas åt homotopi-störningsmetoden, som är baserad på införandet av en artificiell liten parameter. Linjära vibrationer av strukturer med blandade randvillkor, såväl som olinjära vibrationer av system med distribuerad...

Vibrationer i teknik. Volym 6. Skydd mot vibrationer och stötar

• filformat: djvu
• storlek: 7,28 MB
• tillagd: 27 oktober 2009

Frolov K.V. Den sjätte volymen beskriver metoder för att minska vibrationsaktiviteten hos vibrationskällor och justera dynamiska dämpare. Frågan om balansering av roterande maskindelar, balanseringsmaskiner och mekanismer, val av rationella lagar för rörelse av arbetsdelar av maskiner, isoleringsutrustning och baser samt problemet med att skydda människor från vibrationer beaktas. Uppslagsboken är avsedd för ingenjörer och tekniker som arbetar med beräkningar,...

Ganiev R.F., Kononenko V.O. Vibrationer av stela kroppar

• filformat: djvu
• storlek: 8,89 MB
• tillagd: 27 oktober 2011

M.: Nauka, 1976, 432 sid. Icke-linjära svängningar i rumslig rörelse, i synnerhet förutsättningarna för uppkomsten av resonanser, har studerats. Arbetet är relevant när man skapar avskrivningssystem för flyg- och rymdteknik. Ganiev R.F. - akademiker RAS, Kononenko V. O. - akademiker. Ukrainas vetenskapsakademi. Elastisk stötdämpare 39 Vibrationsdämpning 145, 41, 7 Vibrationsisolering 145, 417 Kinematisk excitation 134, 358 Biaxiellt gyroskop 343 Triaxiellt gyroskop 353 Astatiskt gyroskop...

Den-Gartog D.P. Mekaniska vibrationer

• filformat: djvu
• storlek: 7,5 MB
• tillagd: 25 maj 2010

M. Fizmatgiz. 1960 574 sid. Oscillations kinematik. System med en frihetsgrad. Två frihetsgrader. System med ett godtyckligt antal frihetsgrader. Flercylindriga motorer. Roterande maskindelar. Självsvängningar. Kvasi-harmoniska och olinjära svängningar av system.

Migulin V.V. Grunderna i vibrationsteori

• filformat: djvu
• storlek: 3,88 MB
• tillagd: 10 januari 2010

Boken introducerar läsaren till generella egenskaper oscillerande processer som förekommer i radioteknik, optiska och andra system, samt med olika kvalitativa och kvantitativa metoder för att studera dem. Betydande uppmärksamhet ägnas åt övervägandet av parametriska, självoscillerande och andra olinjära oscillerande system. Studiet av de oscillerande systemen och processerna i dem som beskrivs i boken presenteras med hjälp av välkända metoder för teorin om oscillationer utan detaljer...

Obmorshev A.N. Introduktion till oscillationsteori

• filformat: pdf
• storlek: 8,75 MB
• tillagd: 23 februari 2010

Icke-linjära effekter kan visa sig på många olika sätt. Det klassiska exemplet är en olinjär fjäder, där återställningskraften varierar olinjärt med förlängningen. I fallet med symmetrisk olinjäritet (samma svar under kompression och spänning) tar rörelseekvationen formen

Om det inte finns någon dämpning och det finns periodiska lösningar där den naturliga frekvensen ökar med amplituden.

Ris. 1.7. Den klassiska resonanskurvan för en olinjär oscillator med en stel fjäder i det fall där svängningarna är periodiska och har samma period som drivkraften (och definieras i ekvation (1.2.4)).

Denna modell kallas ofta för Duffing-ekvationen, uppkallad efter matematikern som studerade den.

Om en periodisk kraft verkar på ett system, så tror man i klassisk teori att responsen också kommer att vara periodisk. Resonansen hos en olinjär fjäder vid en svarsfrekvens som matchar kraftens frekvens visas i fig. 1.7. Som visas i denna figur, när amplituden för drivkraften är konstant, finns det ett område av drivfrekvenser där tre är möjliga olika betydelser svarsamplituder. Det kan visas att den streckade linjen i fig. 1,7 är instabil, och hysteres uppstår när frekvensen ökar och minskar. Detta fenomen kallas overshoot, och det observeras i experiment med många mekaniska och elektriska system.

Det finns andra periodiska lösningar, såsom subharmoniska och överharmoniska svängningar. Om drivkraften har formen kan subharmoniska svängningar ha formen plus högre övertoner (- ett heltal). Som vi kommer att se nedan spelar subharmoniker en viktig roll i prekaotiska svängningar.

Teorin om olinjär resonans bygger på antagandet att en periodisk stimulans orsakar en periodisk respons. Det är dock just detta postulat som utmanas av den nya teorin om kaotiska svängningar.

Självexciterade oscillationer är en annan viktig klass av icke-linjära fenomen. Det är oscillerande rörelser som sker i system utan periodiska yttre påverkan eller periodiska krafter. I fig. 1.8 visar några exempel.

Ris. 1.8. Exempel på självexciterade svängningar: a - torr friktion mellan massa och flytande remium; b - aeroelastiska krafter som verkar på en tunn vinge; c - negativt motstånd i kretsen med det aktiva elementet.

I det första exemplet orsakas vibrationer av skapad friktion relativ rörelse massa och rörligt bälte. Det andra exemplet illustrerar en hel klass av aeroelastiska vibrationer, där stationära vibrationer orsakar stadigt flöde vätskor för fast kropp på en elastisk upphängning. I det klassiska elektriska exemplet som visas i fig. 1.9 och studerat av Van der Pol, ingår ett vakuumrör i kretsen.

I alla dessa exempel innehåller systemet en stationär energikälla och en förlustkälla, eller en olinjär dämpningsmekanism. När det gäller Van der Pol-oscillatorn är energikällan en konstant spänning.

Ris. 1.9. Diagram över en krets med ett vakuumrör som oscillerar på en gränscykel av samma typ som studerats av Van der Pol.

I matematisk modell I denna krets kommer energikällan in i form av negativt motstånd:

Energi kan komma in i systemet med små amplituder, men när amplituden ökar begränsas dess tillväxt av olinjär dämpning.

I fallet med en Froude-pendel (se t.ex. ) tillförs energi genom stationär rotation av axeln. För små oscillationer spelar olinjär friktion rollen som negativ dämpning; Samtidigt, med starka svängningar, begränsas amplituden av svängningar av den olinjära termen

De oscillerande rörelserna hos sådana system kallas ofta för gränscykler. I fig. Figur 1.10 visar banorna för Van der Pol-oscillatorn på fasplanet. Små svängningar lindas av i en spiral, närmar sig en stängd asymptotisk bana, och rörelser med stor amplitud dras samman i en spiral till samma gränscykel (se fig. 1.10 och 1.11, där ).

När man studerar sådana problem uppstår ofta två frågor. Vad är amplituden och frekvensen av svängningar vid gränscykeln? För vilka parametervärden finns stabila gränscykler?

Ris. 1.10. Gränscykellösningen för Van der Pol-oscillatorn, avbildad på fasplanet.

Ris. 1.11. Avslappningssvängningar för Van der Pol-oscillatorn.

När det gäller van der Pol-ekvationen är det lämpligt att normalisera den rumsliga variabeln med och tiden med så att ekvationen tar formen

Var . För små värden är gränscykeln en cirkel med radie 2 på fasplanet, dvs.

där övertoner av tredje och högre ordningen betecknas. Vid stor rörelse tar formen av avslappningssvängningar som visas i fig. 1,11, med en dimensionslös period på cirka 1,61 kl

Problemet med periodisk kraft i van der Pol-systemet är mer komplext:

Eftersom detta system är olinjärt är principen om överlagring av fria och forcerade svängningar inte tillämplig. Istället fångas den resulterande periodiska rörelsen vid körfrekvensen när den senare är nära gränscykelfrekvensen. Med en svag yttre påverkan finns det tre periodiska lösningar, men endast en av dem är stabil (Fig. 1.12). För stora kraftamplituder finns det bara en lösning. I vilket fall som helst, med en ökning av avstämningen - vid en fast sådan, visar sig den fångade periodiska lösningen vara instabil och andra typer av rörelse blir möjliga.

Ris. 1.12. Amplitudkurvor för forcerad rörelse av Van der Pol-oscillatorn (1.2.9).

När det finns stora skillnader mellan driv- och egenfrekvensen dyker ett nytt fenomen upp i Van der Pol-systemet - kombinationssvängningar, ibland kallade nästan periodiska eller kvasiperiodiska lösningar. Kombinationssvängningarna har formen

När frekvenserna och är injämförbara, dvs. irrationellt tal, lösningen kallas kvasiperiodisk. För van der Pols ekvation, var är frekvensen för gränscykeln för fria svängningar (se till exempel).

Långt ifrån alla svängningar är återställningskraften proportionell mot avböjningen (det vill säga den ändras enligt lagen (- kh)). Betrakta till exempel fjädern som visas i figur 2.74. Den består av flera plattor. För små deformationer böjs endast långa plattor. Vid högre belastning är kortare (och styvare) plattor också föremål för böjning. Återställande kraften kan nu beskrivas på följande sätt:

stridsläget växlar till aperiodisk, när vibrationerna försvinner och kroppen helt enkelt sakta närmar sig jämviktspositionen (Fig. 2.72, före Kristus).

Ange istället för raden där prickarna är placerade (t,x), linje där prickar kommer att placeras ( x,v), och få fasporträtt av dämpade svängningar vid olika friktion. Du kan också använda något av de färdiga programmen Phaspdem* eller Phport * från de som finns i PAKPRO-paketet. Du bör få diagram som de som visas i figur 2.73.

Så att den återkommer, d.v.s. F Och X alltid haft olika tecken, den borde utökas till en serie i udda potenser X. Eftersom potentiell energi U relaterad till styrka genom formeln F = - dU/dx, det betyder att

det vill säga svängningar uppstår i en potentiell brunn med väggar som är brantare än en parabels (fig. 2.75, a). Plåtarnas friktion mot varandra ger den dämpning som krävs för att dämpa vibrationer.

Oscillationer är också möjliga i en asymmetrisk grop när

(Fig. 2.75, b). Återställningskraften kommer att vara lika med

När man löser problem som involverar olinjära vibrationer är användningen av en dator oundviklig, eftersom det inte finns några analytiska lösningar. På en dator är lösningen inte alls svår. Behövs endast i linjen där hastigheten höjs (v = v + F At/m), skriv till exempel hela uttrycket för F -gh-gh 2 - px 3.

Exempel. Programmet för att plotta olinjära svängningar finns i PAKPRO-paketet under namnet Nlkol. Sätt det i arbete. Du bör få en serie kurvor för olika initiala avvikelser. När x 0 är större än ett visst värde lämnar den oscillerande partikeln potentialbrunnen efter att ha övervunnit potentialbarriären.

Testa även programmen Nlcol* Och Nlosc.*, tillgängliga i PAKPRO-paketet, samt program med vilka du kan få fasporträtt av olinjära svängningar: Phaspnl.*, Phportnl*.

Observera att strängt taget är nästan alla oscillationer olinjära. Endast vid små amplituder kan de betraktas som linjära (försumma termer med x 2, x 3, etc. i formler som (2.117)).

Låt oscillatorn, förutom att den återställande kraften ger sina egna svängningar med en frekvens Co, påverkas av en extern kraft, som ändras periodiskt med en frekvens co, lika med eller inte lika med (Oo). med en frekvens co. Oscillationerna som uppstår i detta fall kallas tvingade.

Rörelseekvationen i detta fall kommer att vara följande:

Först inträffar processen att etablera oscillationer. Från den första stöten börjar kroppen svänga med sin egen frekvens från 0. Sedan dör gradvis de naturliga svängningarna ut, och drivkraften börjar styra processen. Forcerade svängningar etableras inte längre med frekvens (Оо, utan med frekvensen av drivkraften co. Övergångsprocessen är mycket komplex, det finns ingen analytisk lösning. När man löser problemet numerisk metod programmet kommer inte att vara mer komplicerat än, säg, ett program för dämpade svängningar. Det är bara nödvändigt i linjen där, i enlighet med rörelseekvationen, hastigheten ökas, lägg till en drivkraft i formen FobiH = Focos(cot).

Exempel. Paketet PAKG1RO ger ett exempel på ett program för att få en graf över påtvingade vibrationer på en datorskärm. Se även program Ustvcol.pas Och UstvcoW.pas. Det resulterande x(?)-diagrammet och fasdiagrammet v(x) visas i figur 2.76. Med ett framgångsrikt urval av parametrar syns det tydligt hur forcerade svängningar gradvis etableras. Det är också intressant att observera etableringen av forcerade oscillationer i fasdiagrammet (program Phpforc.pas).

När svängningar med frekvens co redan har etablerat sig, kan en lösning på ekvation (2.118) hittas i formuläret

Här är Jo amplituden av stabila svängningar. Om vi ​​ersätter (2.119) med (2.118), efter att först ha hittat tidsderivatorna X" Och X" och givet det Till= coo 2 tn, då visar det sig att (2.119) kommer att vara en lösning på ekvation (2.118) förutsatt att

Friktion togs inte med i beräkningen, koefficient A förlitat sig lika med noll. Man kan se att svängningarnas amplitud ökar kraftigt när co närmar sig C0 (fig. 2.77). Detta fenomen kallas resonans.

Om det verkligen inte fanns någon friktion så skulle amplituden vid с = (Оо vara oändligt stor. I verkligheten sker inte detta. Samma figur 2.77 visar hur resonanskurvan förändras med ökande friktion. Men ändå, om co och co sammanfaller, amplituden kan bli tiotals och hundratals gånger mer än med F Så o. Inom tekniken är detta fenomen farligt, eftersom motorns tvingande vibrationer kan resonera med den naturliga frekvensen hos alla delar av maskinen, och den kan förstöras.

ICKELINJÄRA OSCILLATIONER

Svängningar i fysiska system som beskrivs av icke-linjära system av vanliga differentialekvationer

Var innehåller termer av minst 2:a graden i vektorkomponenterna - vektorfunktion av tiden - liten parameter (eller och ). Möjliga generaliseringar är associerade med hänsyn till diskontinuerliga system, effekter med diskontinuerliga egenskaper (till exempel, såsom hysteres), fördröjning och slumpmässiga effekter, integro-differential- och differentialoperatorekvationer, oscillerande system med distribuerade parametrar som beskrivs av partiella differentialekvationer, liksom som att använda metoder för optimal kontroll av olinjära oscillerande system. N.K.s huvudsakliga allmänna uppgifter: hitta jämviktspositioner, stationära regimer, särskilt periodiska. rörelser, självsvängningar och studiet av deras stabilitet, problem med synkronisering och stabilisering av N.K.

Allt fysiskt strikt sett är systemen olinjära. En av de mest karakteristiska egenskaperna hos NC är deras brott mot principen om överlagring av svängningar: resultatet av var och en av influenserna i närvaro av den andra visar sig vara annorlunda än i frånvaro av den andra påverkan.

Kvasilinjära system - system (1) för . Den huvudsakliga forskningsmetoden är liten parametermetod. Först och främst är detta Poincaré-Lindstedt-metoden för att bestämma periodicitet. lösningar av kvaslinjära system som är analytiska i parametern för tillräckligt små värden, antingen i form av serier i potenser (se kapitel IX), eller i form av serier i potenser och - tillägg till de initiala värdena för vektorkomponenterna (se kapitel III). För vidareutveckling av denna metod, se till exempel i -.

En annan liten parametermetod är metoden i genomsnitt. Samtidigt trängde också nya metoder in i studiet av kvaslinjära system: asymptotiska. metoder (se,), metoden för K-funktioner (se), baserad på de grundläggande resultaten av A. M. Lyapunov - N. G. Chetaeva, etc.

I huvudsak olinjära system, där det inte finns någon förutbestämd liten parameter. För Lyapunov-system

och bland matrisens egenvärden finns det inga multipler av roten - analytisk vektor funktion X, expansionen börjar med termer av åtminstone 2:a ordningen, och det finns en analytisk av en speciell typ (se § 42) föreslog en metod för att hitta periodiska. lösningar i form av en serie i potenser av en godtycklig konstant c (för vilken startvärdet för en av de två kritiska variablerna eller kan tas).

För system nära Lyapunov-system,

där av samma form som i (2), - analytisk. vektorfunktion och liten parameter, kontinuerlig och -periodisk in t, en metod för att bestämma periodicitet föreslås också. beslut (se kapitel VIII). System av Lyapunov typ (2), där den har lnoll egenvärden med enkla elementära divisorer är två rent imaginära egenvärden och har inga egenvärden som är multiplar av - samma som i (2), kan reduceras till Lyapunov-system (se IV.2). N.K. studerades också i Lyapunov-system och i den sk. Lyapunov-system med dämpning och löste också det allmänna problemet med att pumpa in energi i dem (se kapitel I, III, IV).

Låt det väsentligen olinjära reduceras till Jordan-formen av dess linjära del

där vektorn genom antagande har minst en komponent som inte är noll; , är lika med noll respektive en, i frånvaro eller närvaro av komplexa elementära divisorer av matrisen för den linjära delen, - koefficienter; Värdena för en vektor med heltalskomponenter är följande:

Sedan finns det en normaliserande transformation:

leder (3) till normalformen av differentialekvationer

och sådant att , om . Således innehåller (5) endast , dvs. koefficienterna kan skilja sig från noll endast för de för vilka resonansekvationen är uppfylld

spelar en betydande roll i teorin om oscillationer. Konvergensen och divergensen av den normaliserande transformationen (4) har studerats (se del I, kapitel II, III); beräkningen av koefficienterna (genom deras symmetri) ges (se § 5.3). I ett antal problem på icke-linjära autonoma system har metoden visat sig vara effektiv. normala former(se kap. VI-VIII).

Bland andra metoder för att studera väsentligen olinjära system används metoden för punktavbildning (se,), stroboskonic. metod och funktionsanalytisk. metoder.

Kvalitativa metoder för olinjära differentialekvationer Utgångspunkten här är studiet av formen av integralkurvor för olinjära vanliga differentialekvationer utfört av A. Poincare (N. Poincare, se). Ansökningar för N.K-problem som beskrivs av autonoma system av 2:a ordningen, se. Frågorna om förekomsten av periodicitet har studerats. lösningar och deras stabilitet i det stora för flerdimensionella system; Nästan periodiska icke-periodiska ekvationer övervägs Tillämpningar av teorin om vanliga differentialekvationer med en liten parameter för vissa derivator på problem med icke-linjära relaxationsekvationer, se.

Viktiga aspekter av N. k. och lit. se artiklar Störningar, Oscillationsteori.

Belyst.: Poincaré A., Izbr. verk, trans. från French, vol. 1, M., 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Theory of Oscillations, 2:a upplagan, M., 1959; Bulgakov B.V., Oscillations, M., 1954; Malkin I.G., Några problem med teorin om icke-linjära svängningar, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. verk, vol. 1, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Asymptotic methods in theory of nonlinar oscillations, 4:e upplagan, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. verk, vol. 1-2, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Samling. soch., vol 2, M.-L., 195B, sid. 7-263; Starzhinsky V.M., Applied methods of nonlinear oscillations, M., 1977; Bruno A.D., "Tr. Moscow Mathematical Society", 1971, vol 25, sid. 119-262; 1972, vol 26, sid. 199-239; Neimark Yu I., Method of point mappings in theory of nonlinar oscillations, M., 1972; Minorsky N., Introduktion till icke-linjär mekanik, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky M.A., Burd V.Sh., Kolesov Yu.S., Icke-linjära nästan periodiska oscillationer, M., 1970; Poincaré A., På kurvor bestämda av differentialekvationer, trans. från French, M. -L., 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Introduktion till teorin om olinjära oscillationer, M., 1976; Plise V.A., Nonlocal problems of theory of oscillations, M. -L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Differentialekvationer med en liten parameter och avslappningssvängningar, M., 1975.

V. M. Starzhinsky.

Matematisk uppslagsverk. - M.: Sovjetiskt uppslagsverk. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Se vad "NOLINJÄRA OSCILLATIONER" är i andra ordböcker:

olinjära svängningar- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engelsk-rysk ordbok för elektroteknik och kraftteknik, Moskva, 1999] Ämnen inom elektroteknik, grundläggande begrepp EN olinjära svängningar ... Teknisk översättarguide

olinjära svängningar- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. icke linjära oscillationer; icke linjära vibrationer vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. olinjära svängningar, n pranc. oscillationer icke linjära, f … Fizikos terminų žodynas

En term som ibland används för att betyda svängningar i olinjära system (se olinjära system) ... Stora sovjetiska encyklopedien

Icke-linjära svängningar Icke-linjära vibrationer Specialisering ... Wikipedia

Processer i oscillation. och vågsystem som inte uppfyller superpositionsprincipen. Icke-linjära svängningar eller vågor in allmänt fall interagerar med varandra och deras egenskaper (frekvens, vibrationsform, fortplantningshastighet, profiltyp... ... Fysisk uppslagsverk

Oscillerande system är starkt beroende av de processer som sker i dem. Svängningarna hos sådana system beskrivs av icke-linjära ekvationer. Icke-linjära fenomen: mekaniska. system där kropparnas elasticitetsmoduler beror på de senares deformationer eller koefficienter. friktion ... ... Fysisk uppslagsverk

Liknande artiklar