Не винаги можем да изчислим антипроизводни функции, но проблемът с диференцирането може да бъде решен за всяка функция. Ето защо няма единен метод за интегриране, който да може да се използва за всеки тип изчисление.

В този материал ще разгледаме примери за решаване на задачи, свързани с намирането на неопределен интеграл, и ще видим за какви типове интегранти е подходящ всеки метод.

Метод на директна интеграция

Основният метод за изчисляване на първоизводната функция е директното интегриране. Това действие се основава на свойствата на неопределения интеграл и за изчисленията се нуждаем от таблица с първоизводни. Други методи могат само да помогнат за привеждането на оригиналния интеграл в таблична форма.

Пример 1

Изчислете множеството от първоизводни на функцията f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Решение

Първо, нека променим формата на функцията на f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Знаем, че интегралът от сбора на функциите ще бъде равно на суматаот тези интеграли, това означава:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Извеждаме числовия коефициент зад интегралния знак:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

За да намерим първия интеграл, ще трябва да се позовем на таблицата на първоизводните. Вземаме от него стойността ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

За да намерите втория интеграл, ще ви трябва таблица с първоизводни за степенна функция∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , както и правилото ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Следователно ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Получихме следното:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

с C = C 1 + 3 2 C 2

Отговор:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Посветихме отделна статия на директното интегриране с помощта на таблици с антипроизводни. Препоръчваме ви да се запознаете с него.

Метод на заместване

Този метод на интегриране се състои в изразяване на интегранта чрез нова променлива, въведена специално за тази цел. В резултат на това трябва да получим таблична форма на интеграла или просто по-малко сложен интеграл.

Този метод е много полезен, когато трябва да интегрирате функции с радикали или тригонометрични функции.

Пример 2

Изчислете неопределения интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Нека добавим още една променлива z = 2 x - 9. Сега трябва да изразим x чрез z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Взимаме таблицата с първоизводните и откриваме, че 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Сега трябва да се върнем към променливата x и да получим отговора:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Отговор:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Ако трябва да интегрираме функции с ирационалност под формата x m (a + b x n) p, където стойностите m, n, p са рационални числа, тогава е важно правилно да съставите израза за въвеждане на нова променлива. Прочетете повече за това в статията за интегриране на ирационални функции.

Както казахме по-горе, методът на заместване е удобен за използване, когато трябва да интегрирате тригонометрична функция. Например, използвайки универсално заместване, можете да намалите израз до частично рационална форма.

Този метод обяснява правилото за интегриране ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Добавяме друга променлива z = k x + b. Получаваме следното:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Сега вземаме получените изрази и ги добавяме към интеграла, посочен в условието:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Ако приемем C 1 k = C и се върнем към първоначалната променлива x, тогава получаваме:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Метод на подписване на диференциалния знак

Този метод се основава на трансформиране на интегралната функция във функция от формата f (g (x)) d (g (x)). След това извършваме заместване, като въвеждаме нова променлива z = g (x), намираме антипроизводна за нея и се връщаме към първоначалната променлива.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

За да разрешите проблемите по-бързо с помощта на този метод, дръжте под ръка таблица с производни под формата на диференциали и таблица с антипроизводни, за да намерите израза, до който ще трябва да бъде намален интеграндът.

Нека анализираме задача, в която трябва да изчислим множеството от първоизводни на функцията котангенс.

Пример 3

Изчислете неопределения интеграл ∫ c t g x d x .

Решение

Нека трансформираме оригиналния израз под интеграла, използвайки основни тригонометрични формули.

c t g x d x = cos s d x sin x

Разглеждаме таблицата с производни и виждаме, че числителят може да бъде включен под диференциалния знак cos x d x = d (sin x), което означава:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, т.е. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Нека приемем, че sin x = z, в този случай ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Според таблицата на първоизводните, ∫ d z z = ln z + C . Сега нека се върнем към първоначалната променлива ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Цялото решение може да бъде написано накратко, както следва:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Отговор: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Методът за абониране на диференциалния знак се използва много често на практика, затова ви съветваме да прочетете отделна статия, посветена на него.

Метод на интегриране по части

Този метод се основава на трансформиране на подинтегралната функция в продукт под формата f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), след което формулата ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Това е много удобен и често срещан метод за решение. Понякога частичното интегриране в един проблем трябва да се приложи няколко пъти, преди да се получи желан резултат.

Нека анализираме задача, в която трябва да изчислим множеството от първоизводни на арктангенса.

Пример 4

Изчислете неопределения интеграл ∫ a r c t g (2 x) d x .

Решение

Да приемем, че u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, в този случай:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Когато изчисляваме стойността на функцията v (x), не трябва да добавяме произволна константа C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Изчисляваме получения интеграл, като използваме метода на добавяне на диференциалния знак.

Тъй като ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , тогава 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Отговор:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Основната трудност при използването на този метод е необходимостта да се избере коя част да се вземе като диференциал и коя като функция u (x). Статията за метода на интегриране по части предоставя някои съвети по този въпрос, с които трябва да се запознаете.

Ако трябва да намерим множеството от първоизводни на дробно рационална функция, тогава първо трябва да представим интегранта като сбор от прости дроби и след това да интегрираме получените дроби. За повече информация вижте статията за интегриране на прости дроби.

Ако интегрираме израз на степен от формата sin 7 x · d x или d x (x 2 + a 2) 8, тогава ще се възползваме от формули за повторение, които могат постепенно да намалят степента. Те се извличат чрез последователно повтарящо се интегриране по части. Препоръчваме да прочетете статията „Интегриране с помощта на рекурентни формули.

Нека да обобщим. За решаване на проблеми е много важно да се знае методът на директното интегриране. Други методи (заместване, заместване, интегриране по части) също ви позволяват да опростите интеграла и да го приведете в таблична форма.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Този метод се основава на следната формула: (*)

Позволявам И - функции на x, имащи непрекъснати производни и .

Известно е, че или ; или .

Интеграли и , тъй като по условие функциите u и v са диференцируеми и следователно непрекъснати.

Формула (*) се нарича формула за интегриране по части.

Методът, основан на приложението му, се нарича метод на интегриране по части.

Той намалява изчислението до друг интеграл: .

Приложението на метода на интегриране по части е, че те се опитват да представят интегралния израз на даден интеграл под формата на произведение , където и са някои функции на x и тези функции са избрани така, че беше по-лесен за изчисляване от първоначалния интеграл. Кога за изчисление намери и .

(като „v“ вземаме една от оригиналните антипроизводни, открити от dv, така че в бъдеще, когато изчисляваме „v“, ще пропуснем константата C в нотацията).

Коментирайте.Когато разделяте интегрален израз на множители, трябва да разберете това и трябва да съдържате.

За съжаление е невъзможно да се дадат общи правила за разлагане на интегрален израз на фактори "u" и "dv". Много и обмислена практика може да научи това.

При всичко това трябва да се има предвид, че беше по-прост от оригиналния интеграл.

Пример 6.6.22.

Понякога, за да се получи крайният резултат, правилото за интегриране по части се прилага няколко пъти последователно.

Методът на интегриране по части, разбира се, не е удобен за използване всеки път и способността да се използва зависи от опита.

При изчисляване на интеграли е важно правилно да се установи кой метод на интегриране трябва да се използва (както в предишния пример, тригонометричното заместване води до целта по-бързо).

Нека разгледаме най-често срещаните интеграли, които се изчисляват чрез интегриране по части.

1.Интеграли на формата :

където е цяло число (спрямо x) полином; a е постоянно число.

Ако под интегралния знак има произведение на тригонометрични или експоненциална функцияалгебрична, тогава "u" обикновено се приема за алгебрична функция.

Пример 6.6.23.

Имайте предвид, че друга разбивка на фактори: не води до целта.

Доказано е
.

Нека получим по-сложен интеграл.

2.Интеграли на формата :

където е полином.

Ако под интегралния знак има произведение от логаритъм на функция или обратна тригонометрична функция и алгебрична, тогава функциите трябва да се приемат като "u".

Пример 6.6.23.

3.Интеграли от формата:

Тук можете да използвате всяка от 2 възможни разбивки на интегралния израз на фактори: за „u“ можете да вземете и двете, и .

Освен това изчисляването на такива интеграли с помощта на метода на интегриране по части води до първоначалния интеграл, т.е. получава се уравнение по отношение на желания интеграл.

Пример 6.6.24. Пресметнете .

.

При интегриране често се налага последователно прилагане на метода на заместване и метода на интегриране по части.

Пример 6.6.25.

Интегриране на някои функции, съдържащи квадратен трином

1)

.

и това са таблични интеграли.

2) коефициенти на реални числа

в числителя избираме производната на знаменателя.

a,b,c – реални числа

А) ; тогава имаме:

б) . В този случай има смисъл да се разглежда само когато дискриминантът тричлен положителен:

Сега имаме:

Коментирайте. На практика те обикновено не използват готови резултати, а предпочитат да изпълнят подобни изчисленияотново.

Пример.

4)

Нека трансформираме числителя, така че да можем да извлечем производната от него квадратен тричлен:

Поради факта, че на практика няма удобен общ метод за изчисляване на неопределени интеграли, е необходимо наред с частните методи за интегриране (вижте предишната лекция) да се разгледат и методите за интегриране на някои отделни класове функции, интегралите на които често се срещат в практиката.

Най-важният клас сред тях е класът на рационалните функции.

„Интеграция дробни рационални функции»

Интегрирането на правилна рационална дроб се основава на разлагането на рационална дроб в сбор от елементарни дроби.

Елементарни (най-прости) дроби и тяхното интегриране.

Определение. Дроби от формата: ; (1)

(2), където

(т.е. корените на тричлена са комплексни) се наричат ​​елементарни.

Помислете за интегрирането на елементарни дроби

2)

(където нека).

Нека изчислим интеграла

(*)

Последният интеграл се изчислява с помощта на рекурентна формула.

Понякога интегрирането по части ни позволява да получим връзка между неопределен интеграл, съдържащ степента на някаква функция и подобен интеграл, но с по-малка степен на същата функция. Такива отношения се наричат ​​рекурентни формули.

Нека означим с .

Ние имаме:

В последния интеграл поставяме:

Ето защо

където

Така стигнахме до повтаряща се формула: многократното прилагане на която в крайна сметка води до „табуличен“ интеграл:

Тогава вместо “t” и “k” заместваме техните стойности.

Пример 6.6.26.

(по рекурентната формула).=

.

Рационалната дроб е функция, представима във формата ; където и са полиноми с реални коефициенти.

Рационалната дроб се нарича правилна, ако степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя.

Всяка правилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от краен брой елементарни дроби.

Разлагането на правилна дроб на елементарни се определя от следната теорема, която ще разгледаме без доказателство.

Теорема . Ако фракцията е правилно и , (където тричленът няма реални корени), тогава идентичността е валидна:

(аз)

Имайте предвид, че всички истински корен, например, a, кратността " " на полинома в това разширение съответства на сумата от елементарни дроби от формата (1) и всяка двойка комплексно спрегнати корени и (така че ) кратността " " - сумата от елементарни дроби от вида (2).

За да извършите разширение (I), трябва да се научите как да определяте коефициентите .

Съществуват различни начиниместоположението им. Ще разгледаме метода на неопределените коефициенти и метода на частичните стойности.

Нека U(x) и V(x) са диференцируеми функции. Тогава d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . Следователно U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . Изчислявайки интеграла от двете страни на последното равенство, като вземем предвид факта, че ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, получаваме отношението

Нарича се формула за интегриране по части. Разбира се в смисъл, че множеството от антипроизводни от лявата страна съвпада с множеството от антипроизводни, получени от дясната страна.

Приложение на метода на интегриране по части

Поради особеностите на намирането на определени количества, формулата за интегриране по части се използва много често в следните задачи:

1. Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива. Формула за намиране математическо очакванеи непрекъсната дисперсия случайна величинавключва два фактора: полиномиална функция на x и плътността на разпределение f(x).
2. Разширение в ред на Фурие. При разлагането е необходимо да се определят коефициентите, които се намират чрез интегриране на произведението на функцията f(x) и тригонометричната функция cos(x) или sin(x).

Типични разлагания по части

Когато използвате формулата за интегриране по части, трябва да изберете успешно U и dV, така че интегралът, получен от дясната страна на формулата, да бъде по-лесен за намиране. Нека поставим U=e x, dV=xdx в първия пример. Тогава dU=e x dx и Малко вероятно е интегралът ∫ x 2 e x dx да се счита за по-прост от оригиналния.
Понякога е необходимо да се приложи формулата за интегриране по части няколко пъти, например при изчисляване на интеграла ∫ x 2 sin(x)dx.

Интегралите ∫ e ax cos(bx)dx и ∫ e ax sin(bx)dx се наричат цикличени се изчисляват с помощта на формулата за интегриране по части два пъти.

Пример №1. Изчислете ∫ xe x dx.
Нека поставим U=x, dV=e x dx. Тогава dU=dx, V=e x. Следователно ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

Пример №2. Изчислете ∫ xcos(x)dx.
Приемаме U=x, dV=cos(x)dx. Тогава dU=dx, V=sin(x) и ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Пример №3. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Решение:

Отговор: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

Представен е метод за интегриране на неопределен интеграл по части. Дадени са примери за интеграли, изчислени по този метод. Обсъждат се примери за решения.

Съдържание

Вижте също: Методи за изчисляване на неопределени интеграли
Таблица на неопределените интеграли
Основни елементарни функции и техните свойства

Формулата за интегриране по части изглежда така:
.

Методът на интегриране по части се състои в прилагането на тази формула. При практическо приложениеСтрува си да се отбележи, че u и v са функции на интеграционната променлива. Нека интеграционната променлива бъде обозначена като x (символът след диференциалния знак d в края на интегралната нотация). Тогава u и v са функции на x: u(x) и v(x) .
Тогава
, .
А формулата за интегриране по части приема формата:
.

Тоест функцията интегранд трябва да се състои от произведението на две функции:
,
единият от които означаваме като u: g(x) = u, а интегралът на другия трябва да бъде изчислен (по-точно трябва да се намери първоизводната):
, тогава dv = f(x) dx .

В някои случаи f(x) = 1 . Тоест в интеграла
,
можем да поставим g(x) = u, x = v.

Резюме

Така че при този метод формулата за интегриране по части трябва да се запомни и приложи в две форми:
;
.

Интеграли, изчислени чрез интегриране по части

Интеграли, съдържащи логаритми и обратни тригонометрични (хиперболични) функции

Интегралите, съдържащи логаритми и обратни тригонометрични или хиперболични функции, често се интегрират по части. В този случай частта, която съдържа логаритъма или обратните тригонометрични (хиперболични) функции, се означава с u, а останалата част с dv.

Ето примери за такива интеграли, които се изчисляват по метода на интегриране по части:
, , , , , , .

Интеграли, съдържащи произведението на полином и sin x, cos x или e x

С помощта на формулата за интегриране по части се намират интеграли от вида:
, , ,
където P(x) е полином от x. При интегриране полиномът P(x) се означава с u и e ax dx, cos ax dxили sin ax dx- чрез dv.

Ето примери за такива интеграли:
, , .

Примери за изчисляване на интеграли с помощта на метода на интегриране по части

Примери за интеграли, съдържащи логаритми и обратни тригонометрични функции

Пример

Изчислете интеграла:

Подробно решение

Тук интегралната функция съдържа логаритъм. Правене на замествания
u = в х,
dv = x 2 dx.
Тогава
,
.

Изчисляваме оставащия интеграл:
.
Тогава
.
В края на изчисленията е необходимо да добавите константата C, тъй като неопределеният интеграл е множеството от всички първоизводни. Може да се добави и в междинни изчисления, но това само би затрупало изчисленията.

По-кратко решение

Можете да представите решението в по-кратък вариант. За да направите това, не е необходимо да правите замествания с u и v, но можете да групирате факторите и да приложите формулата за интегриране по части във втората форма.

.

Други примери

Примери за интеграли, съдържащи произведението на полином и sin x, cos x или ex

Пример

Изчислете интеграла:
.

Нека въведем показателя под диференциалния знак:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Нека интегрираме по части.
.
Използваме и метода на интегриране по части.
.
.
.
Най-накрая имаме.

Концепцията за първоизводна и неопределен интеграл. Теорема за колекцията от първоизводни. Свойства на неопределения интеграл. Таблица на интегралите.

Функцията F(x) се нарича първоизводна за функцията f(x) на даден интервал, ако функцията F(x) е непрекъсната на този интервал и във всеки вътрешна точкаинтервал е валидно следното равенство: F’(x) = f(x)

Теорема 1. Ако функция F(x) има първоизводна F(x) на интервал, тогава всички функции от формата F(x)+C ще бъдат първоизводни за нея на същия интервал. Обратно, всяка първоизводна Ф(x) за функцията y = f(x) може да бъде представена като Ф(x) = F(x)+C, където F(x) е една от първоизводните функции, а C е произволна постоянен.

Доказателство:

По дефиниция на антипроизводна имаме F’(x) = f(x). Като се има предвид, че производната на константата е равна на нула, получаваме

(F(x)+C)’ = F’(x)+C’ = F’(x) = f(x). Това означава, че F(x)+C е първоизводна за y = f(x) Нека сега покажем, че ако функцията y = f(x) е дадена на определен интервал и F(x) е една от нейните първоизводни. , тогава Ф (x) може да се представи като

Всъщност, по дефиницията на антипроизводно, което имаме

Ф'(x) = F(x)+C и F'(x) = f(x).

Но две функции, които имат равни производни на интервал, се различават една от друга само с постоянен член. Това означава, че Ф(x) = F(x)+C, което трябваше да се докаже.

Определение.

Множеството от всички първоизводни за функцията y = f(x) на даден интервал се нарича неопределен интеграл на тази функция и се обозначава ∫f(x)dx = F(x)+C

Функцията f(x) се нарича интегранд, а произведението f(x)*dx се нарича интегранд.

Те често казват: „вземете неопределения интеграл“ или „изчислете неопределения интеграл“, което означава следното: намерете множеството от всички първоизводни за интегранта,

Свойства на неопределения интеграл

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Таблица на интегралите

Интегриране чрез заместване и по части в неопределения интеграл.

Метод на интегриране чрез заместванесе състои във въвеждане на нова интеграционна променлива (т.е. заместване). В този случай даденият интеграл се редуцира до нов интеграл, който е табличен или сводим към него (при „успешна” замяна). Общи методиняма избор на замествания.

Нека е необходимо да се изчисли интегралът ∫f(x)dx. Нека направим заместването x =φ(t), където φ(t) е функция, която има непрекъсната производна. Тогава dx=φ"(t) dt и въз основа на свойството за инвариантност на формулата за интегриране за неопределения интеграл, получаваме формулата за интегриране чрез заместване ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Тази формула се нарича още променливи на формулата за заместване в неопределения интеграл След като намерим интеграла от дясната страна на това равенство, трябва да преминем от новата интегрална променлива t обратно към променливата x.

Метод на интегриране по части

Нека u=u(x) и ν=v(x) са функции, които имат непрекъснати производни. Тогава d(uv)=u dv+v du.

Интегрирайки това равенство, получаваме ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu или

∫udv =uv - ∫vdu

Получената формула се нарича формула за интегриране по части. Това дава възможност да се намали изчисляването на интеграла ∫udv до изчисляването на интеграла ∫vdu, което може да се окаже значително по-просто от първоначалното.

Подобни статии