Понятие за криволинейни интеграли и примери за решения. Интеграл в затворен контур, формула на Грийн, примери

За случая, когато областта на интегриране е сегмент от дадена крива, лежаща в равнина. Общата нотация за линеен интеграл е както следва:

Където f(х, г) е функция на две променливи и Л- крива, по отсечка ABкоято интеграция се извършва. Ако интегралната функция е равна на единица, тогава линейният интеграл равен на дължинатадъга AB .

Както винаги в интегралното смятане, линейният интеграл се разбира като границата на интегралните суми на някои много малки части от нещо много голямо. Какво се сумира в случай на криволинейни интеграли?

Нека има сегмент на равнината ABнякаква крива Л, и функция на две променливи f(х, г) определени в точките на кривата Л. Нека изпълним следния алгоритъм с този сегмент от кривата.

Разделена крива ABна части с точки (снимките по-долу).
Изберете свободно точка във всяка част М.
Намерете стойността на функцията в избрани точки.
Стойностите на функцията се умножават по
- дължини на частите в случай криволинеен интеграл от първи род ;
- проекции на части върху координатната ос в корпуса криволинеен интеграл от втори род .
Намерете сбора на всички продукти.
Намерете границата на намерената интегрална сума при условие, че дължината на най-дългата част от кривата клони към нула.

Ако споменатото ограничение съществува, то това границата на интегралната сума и се нарича криволинеен интеграл на функцията f(х, г) по кривата AB .

първи вид

Случай на криволинеен интеграл
втори вид

Нека въведем следната нотация.

Маз ( ζ i; η и)- точка с избрани координати на всеки сайт.

fаз ( ζ i; η и)- стойност на функцията f(х, г) в избраната точка.

Δ саз- дължина на част от сегмент на крива (при криволинеен интеграл от първи род).

Δ хаз- проекция на част от сегмента на кривата върху оста вол(в случай на криволинеен интеграл от втори род).

д= maxΔ саз- дължината на най-дългата част от сегмента на кривата.

Криволинейни интеграли от първи род

Въз основа на горното за границата на интегралните суми, линеен интеграл от първи род се записва по следния начин:

Криволинейни интегралиот първия вид има всички свойства, които има определен интеграл. Има обаче една важна разлика. За определен интеграл, когато границите на интегриране се разменят, знакът се променя на противоположния:

При криволинейния интеграл от първи род няма значение коя е точката на кривата AB (Аили б) се счита за начало на сегмента, а кой е за край, т.е

Криволинейни интеграли от втори род

Въз основа на казаното за границата на интегралните суми криволинейният интеграл от втори род се записва по следния начин:

При криволинейния интеграл от втори род, когато началото и краят на сегмента на кривата се разменят, знакът на интеграла се променя:

При съставянето на интегралната сума на криволинейния интеграл от втори вид, стойностите на функцията fаз ( ζ i; η и)може също да се умножи по проекцията на части от крива сегмент върху оста Ой. Тогава получаваме интеграла

На практика обикновено се използва обединението на криволинейни интеграли от втори род, т.е. две функции f = П(х, г) И f = Q(х, г) и интеграли

и сумата от тези интеграли

Наречен общ криволинеен интеграл от втори род .

Изчисляване на криволинейни интеграли от първи род

Изчисляването на криволинейни интеграли от първи род се свежда до изчисляване на определени интеграли. Нека разгледаме два случая.

Нека на равнината е дадена крива г = г(х) и крива сегмент ABсъответства на промяна в променливата хот апреди b. След това в точките на кривата функцията интегранд f(х, г) = f(х, г(х)) ("Y" трябва да се изрази чрез "X") и разликата на дъгата и линейният интеграл може да се изчисли с помощта на формулата

Ако интегралът е по-лесен за интегриране г, тогава от уравнението на кривата, което трябва да изразим х = х(г) („x“ до „y“), където изчисляваме интеграла с помощта на формулата

Пример 1.

Където AB- права отсечка между точките А(1; −1) и б(2; 1) .

Решение. Нека съставим уравнение на права линия AB, използвайки формулата (уравнение на права, минаваща през две дадени точки А(х1 ; г 1 ) И б(х2 ; г 2 ) ):

От уравнението на права линия изразяваме гпрез х :

Тогава и сега можем да изчислим интеграла, тъй като ни остават само „X“:

Нека е дадена крива в пространството

Тогава в точките на кривата функцията трябва да се изрази чрез параметъра T() и диференциал на дъгата , следователно криволинейният интеграл може да се изчисли с помощта на формулата

По същия начин, ако на равнината е дадена крива

тогава криволинейният интеграл се изчислява по формулата

Пример 2.Изчисляване на линеен интеграл

Където Л- част от кръгова линия

разположени в първи октант.

Решение. Тази крива е една четвърт от кръгова линия, разположена в равнината z= 3 . Съответства на стойностите на параметрите. защото

след това диференциала на дъгата

Нека изразим функцията интегранд чрез параметъра T :

Сега, когато имаме всичко изразено чрез параметър T, можем да намалим изчислението на този криволинеен интеграл до определен интеграл:

Изчисляване на криволинейни интеграли от втори род

Точно както в случая на криволинейни интеграли от първи вид, изчисляването на интеграли от втори род се свежда до изчисляване на определени интеграли.

Кривата е дадена в декартови правоъгълни координати

Нека една крива на равнината е дадена от уравнението на функцията "Y", изразена чрез "X": г = г(х) и дъгата на кривата ABсъответства на промяната хот апреди b. След това заместваме израза на „y“ през „x“ в интегранта и определяме диференциала на този израз на „y“ по отношение на „x“: . Сега, когато всичко е изразено чрез "x", линейният интеграл от втория вид се изчислява като определен интеграл:

Криволинейният интеграл от втори вид се изчислява по подобен начин, когато кривата е дадена от уравнението на функцията "x", изразена чрез "y": х = х(г) , . В този случай формулата за изчисляване на интеграла е следната:

Пример 3.Изчисляване на линеен интеграл

, Ако

а) Л- прав сегмент О.А., Където ОТНОСНО(0; 0) , А(1; −1) ;

б) Л- дъга на парабола г = х² от ОТНОСНО(0; 0) към А(1; −1) .

а) Нека изчислим криволинейния интеграл върху отсечка от права линия (синьо на фигурата). Нека напишем уравнението на правата линия и изразим "Y" през "X":

Получаваме dy = dx. Решаваме този криволинеен интеграл:

б) ако Л- дъга на парабола г = х², получаваме dy = 2xdx. Изчисляваме интеграла:

В току-що решения пример получихме същия резултат в два случая. И това не е съвпадение, а резултат от закономерност, тъй като този интеграл удовлетворява условията на следната теорема.

Теорема. Ако функциите П(х,г) , Q(х,г) и техните частни производни са непрекъснати в областта дфункции и в точки в тази област частните производни са равни, тогава криволинейният интеграл не зависи от пътя на интегриране по правата Лразположени в района д .

Кривата е дадена в параметрична форма

Нека е дадена крива в пространството

и в интеграндите, които заместваме

изразяване на тези функции чрез параметър T. Получаваме формулата за изчисляване на криволинейния интеграл:

Пример 4.Изчисляване на линеен интеграл

Ако Л- част от елипса

отговарящ на условието г ≥ 0 .

Решение. Тази крива е частта от елипсата, разположена в равнината z= 2. Съответства на стойността на параметъра.

можем да представим криволинейния интеграл под формата на определен интеграл и да го изчислим:

Ако е даден крива интеграл и Ле затворена линия, тогава такъв интеграл се нарича интеграл със затворен контур и е по-лесен за изчисляване с помощта Формулата на Грийн .

Още примери за изчисляване на линейни интеграли

Пример 5.Изчисляване на линеен интеграл

Където Л- права линия между точките на нейното пресичане с координатните оси.

Решение. Нека определим точките на пресичане на правата с координатните оси. Заместване на права линия в уравнението г= 0, получаваме ,. Заместване х= 0, получаваме ,. По този начин, точката на пресичане с оста вол - А(2; 0) , с ос Ой - б(0; −3) .

От уравнението на права линия изразяваме г :

, .

Сега можем да представим линейния интеграл като определен интеграл и да започнем да го изчисляваме:

В интегранта избираме фактора и го преместваме извън знака за интеграл. В получения интегранд, който използваме подписване на диференциалния знаки накрая го разбираме.

определение:Нека във всяка точка на гладка крива L=ABв самолета Оксидадено непрекъсната функциядве променливи f(x,y). Нека произволно разделим кривата ЛНа нчасти с точки A = M 0, M 1, M 2, ... M n = B.След това върху всяка от получените части $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ избираме произволна точка $\bar((M)_(i))\left (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)$и направете сумата $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ където $\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)$ - дъга от дъга $\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))$ . Получената сума се нарича интегрална сума от първи род за функцията f(x,y) , дадено на кривата L.

Нека означим с днай-голямата от дължините на дъгата $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ (по този начин d = $max_(i)\Delta(l)_(i)\ )). Ако при d? 0 има граница на интегралните суми S n (независима от метода за разделяне на кривата L на части и избора на точки \(\bar((M)_(i))$), тогава тази граница се нарича криволинеен интеграл от първи редот функция f(x,y)по кривата L и се означава с $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Може да се докаже, че ако функцията f(x,y)е непрекъсната, тогава линейният интеграл $\int_(L)f(x,y)dl$ съществува.

Свойства на криволинейния интеграл от 1-ви род

Криволинейният интеграл от първи вид има свойства, подобни на съответните свойства на определен интеграл:

адитивност,
линейност,
модулна оценка,
теорема за средната стойност.

Въпреки това има разлика: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$, т.е. линеен интеграл от първи род не зависи от посоката на интегриране.

Изчисляване на криволинейни интеграли от първи род

Изчисляването на криволинейния интеграл от първи вид се свежда до изчислението определен интеграл. а именно:

Ако кривата L е дадена от непрекъснато диференцируема функция y=y(x), x $\in $ , тогава $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right)) \ дясно))^ 2)) dx) ;)$$ в този случай изразът $dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^2 ))) dx $ се нарича разлика в дължината на дъгата.
Ако кривата L е зададена параметрично, т.е. във формата x=x(t), y=y(t), където x(t), y(t) са непрекъснато диференцируеми функции на някакъв интервал $\left [ \alpha ,\beta \right ]$, тогава $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right), y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left( t \right)) \right))^2)) dt)) $$ Това равенство се простира до случая на пространствена крива L, дефинирана параметрично: x=x(t), y=y(t), z=z( t), $t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$. В този случай, ако f(x,y,z) е непрекъсната функция по кривата L, тогава $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left (( z"\left(t \right)) \right))^2)) dt)) $$
Ако равнинна крива L е дадена от полярното уравнение r=r($\varphi $), $\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] $, тогава $$ (\int\ limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

Криволинейни интеграли от 1-ви род - примери

Пример 1

Да се изчисли линеен интеграл от първи род

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ където L е дъгата на параболата y 2 =2x, затворена между точки (2,2) и (8,4).

Решение: Намерете диференциала на дъгата dl за кривата $y=\sqrt(2x)$. Ние имаме:

$(y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) $ $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \right)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Следователно този интеграл е равен на : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\left (1+2x \right)^(\frac(3)(2))|_ (2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

Пример 2

Изчислете криволинейния интеграл от първи вид $\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl $, където L е окръжността x 2 +y 2 =ax (a>0).

Решение: Нека въведем полярни координати: $x = r\cos \varphi $, $y=r\sin \varphi $. След това, тъй като x 2 +y 2 =r 2, уравнението на окръжността има формата: $r^(2)=arcos\varphi $, т.е. $r=acos\varphi $, а диференциалът на дъгата $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

В този случай $\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] $. Следователно $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

Теоретичен минимум
Криволинейните и повърхностните интеграли често се срещат във физиката. Те се предлагат в два вида, първият от които се обсъжда тук. Това
видът на интегралите се конструира по общата схема, според която определени, двойни и тройни интеграли. Нека си припомним накратко тази схема.
Има някакъв обект, върху който се извършва интеграция (едномерен, двумерен или тримерен). Този обект е разбит на малки части,
във всяка част се избира точка. Във всяка от тези точки стойността на интегранта се изчислява и умножава по мярката на частта, която
принадлежи дадена точка(дължина на сегмент, площ или обем на частичен регион). След това всички такива продукти се сумират и лимитът е удовлетворен
преход към разбиване на обекта на безкрайно малки части. Получената граница се нарича интеграл.
1. Определение на криволинеен интеграл от първи род
Нека разгледаме функция, дефинирана върху крива. Приема се, че кривата е коригираема. Нека си припомним какво означава това, грубо казано,
че начупена линия с произволно малки връзки може да бъде вписана в крива и в ограничението на безкрайно голям брой връзки дължината на начупената линия трябва да остане
финал. Кривата е разделена на частични дъги с дължина и на всяка от дъгите е избрана точка. Съставя се произведение
сумирането се извършва по всички частични дъги . След това преминаването към границата се извършва с тенденцията на дължината на най-голямата
от частични дъги до нула. Границата е криволинеен интеграл от първи род
.
Важна характеристика на този интеграл, която пряко следва от неговата дефиниция, е неговата независимост от посоката на интегриране, т.е.
.
2. Определение на повърхностен интеграл от първи род
Помислете за функция, дефинирана върху гладка или частично гладка повърхност. Повърхността е разделена на частични зони
с области, във всяка такава област се избира точка. Съставя се произведение , се извършва сумиране
над всички частични зони . След това преминаването към границата се извършва с тенденцията на диаметъра на най-големия от всички части
области до нула. Границата е повърхностен интеграл от първи род
.
3. Изчисляване на криволинеен интеграл от първи род
Методът за изчисляване на криволинеен интеграл от първи род може да се види още от неговата формална нотация, но всъщност следва директно от
дефиниции. Интегралът се свежда до определен, просто трябва да запишете диференциала на дъгата на кривата, по която се извършва интегрирането.
Нека започнем с простия случай на интегриране по равнинна крива, дадена от явно уравнение. В този случай диференциалът на дъгата
.
След това се извършва промяна на променлива в интегранта и интегралът приема формата
,
където сегментът съответства на промяната на променливата по тази част от кривата, по която се извършва интегрирането.
Много често кривата се задава параметрично, т.е. уравнения на формата След това диференциалът на дъгата
.
Тази формула е много просто обоснована. По същество това е Питагоровата теорема. Диференциалът на дъгата всъщност е дължината на безкрайно малката част от кривата.
Ако кривата е гладка, тогава нейната безкрайно малка част може да се счита за праволинейна. За права линия имаме отношението
.
За да се извърши за малка дъга на кривата, трябва да се премине от крайни стъпки към диференциали:
.
Ако кривата е зададена параметрично, тогава диференциалите се изчисляват просто:
и т.н.
Съответно, след промяна на променливите в интегранта, интегралът на кривата се изчислява, както следва:
,
където частта от кривата, по която се извършва интегрирането, съответства на сегмента на промяната на параметъра.
Ситуацията е малко по-сложна в случая, когато кривата е зададена в криволинейни координати. Този въпрос обикновено се обсъжда в рамките на диференциала
геометрия. Нека дадем формула за изчисляване на интеграла по кривата, дадена в полярни координатиуравнение:
.
Нека дадем обосновка за диференциала на дъгата в полярни координати. Подробно обсъждане на изграждането на решетката на полярната координатна система
см. . Нека изберем малка дъга от кривата, разположена по отношение на координатните линии, както е показано на фиг. 1. Поради малкия размер на всички представени
отново можем да приложим Питагоровата теорема и да напишем:
.
От тук следва желаният израз за диференциала на дъгата.
От чисто теоретична гледна точка е доста лесно да се разбере, че криволинейният интеграл от първи вид трябва да се сведе до неговия специален случай -
до определен интеграл. Наистина, като направим промяната, продиктувана от параметризацията на кривата, по която се изчислява интегралът, установяваме
съпоставяне едно към едно между част от дадена крива и сегмент от промяна на параметъра. И това е редукция до интеграла
по права линия, съвпадаща с координатна ос- определен интеграл.
4. Изчисляване на повърхностен интеграл от първи род
След предишната точка трябва да стане ясно, че една от основните части на изчисляването на повърхностен интеграл от първи вид е записването на повърхностния елемент,
върху които се извършва интегрирането. Отново, нека започнем с простия случай на повърхност, дефинирана от явно уравнение. Тогава
.
Прави се заместване в интегранта и повърхностният интеграл се редуцира до двойно:
,
където е областта от равнината, в която се проектира частта от повърхността, върху която се извършва интегрирането.
Въпреки това, често е невъзможно да се дефинира повърхност чрез явно уравнение и тогава тя се дефинира параметрично, т.е. уравнения на формата
.
Повърхностният елемент в този случай е написан по-сложно:
.
Повърхностният интеграл може да бъде записан по следния начин:
,
където е зоната на промяна на параметрите, съответстваща на частта от повърхността, върху която се извършва интегрирането.
5. Физически смисъл на криволинейни и повърхностни интеграли от първи род
Обсъжданите интеграли имат много прост и ясен физически смисъл. Нека има някаква крива, чиято линейна плътност не е
константа и е функция на точката . Нека намерим масата на тази крива. Нека разделим кривата на много малки елементи,
в рамките на които неговата плътност може приблизително да се счита за постоянна. Ако дължината на малка част от крива е равна на , тогава нейната маса
, където е всяка точка от избраната част от кривата (всяка, тъй като плътността е в рамките на
тази част приблизително се приема за постоянна). Съответно масата на цялата крива се получава чрез сумиране на масите на отделните й части:
.
За да стане равенството точно, трябва да се стигне до границата на разделянето на кривата на безкрайно малки части, но това е криволинеен интеграл от първи род.

Въпросът за общия заряд на кривата се решава по подобен начин, ако е известна линейната плътност на заряда .
Тези аргументи могат лесно да бъдат прехвърлени към случая на неравномерно заредена повърхност с повърхностна плътност на заряда . Тогава
повърхностният заряд е повърхностен интеграл от първи род
.
Забележка. Тромавата формула за повърхностен елемент, дефиниран параметрично, е неудобна за запомняне. Друг израз се получава в диференциалната геометрия,
тя използва т.нар първи квадратна формаповърхности.
Примери за изчисляване на криволинейни интеграли от първи род
Пример 1. Интеграл по права.
Изчислете интеграл

по отсечка, минаваща през точките и .
Първо, записваме уравнението на правата линия, по която се извършва интегрирането: . Нека намерим израз за:
.
Изчисляваме интеграла:
Пример 2. Интеграл по крива в равнина.
Изчислете интеграл

по дъга на парабола от точка до точка.
Контролни точкии ви позволяват да изразите променлива от уравнението на параболата: .

Изчисляваме интеграла:
.
Въпреки това беше възможно да се извършат изчисления по друг начин, като се възползва от факта, че кривата е дадена от уравнение, разрешено по отношение на променливата.
Ако вземем променливата като параметър, това ще доведе до лека промяна в израза за диференциала на дъгата:
.
Съответно интегралът ще се промени леко:
.
Този интеграл се изчислява лесно чрез заместване на променливата под диференциала. Резултатът е същият интеграл като при първия метод на изчисление.
Пример 3. Интеграл по крива в равнина (чрез параметризация).
Изчислете интеграл

по горната половина на кръга .
Можете, разбира се, да изразите една от променливите от уравнението на окръжност и след това да извършите останалите изчисления по стандартния начин. Но можете също да използвате
параметрична спецификация на кривата. Както знаете, една окръжност може да се определи с уравнения. Горен полукръг
съответства на промяна в параметъра в рамките на . Нека изчислим диференциала на дъгата:
.
По този начин,
Пример 4. Интеграл по крива в равнина, определена в полярни координати.
Изчислете интеграл

по десния дял на лемниската .

Чертежът по-горе показва лемниската. Интегрирането трябва да се извърши по десния му лоб. Нека намерим диференциала на дъгата за кривата :
.
Следващата стъпка е да се определят границите на интегриране върху полярния ъгъл. Ясно е, че неравенството трябва да бъде изпълнено и следователно
.
Изчисляваме интеграла:
Пример 5. Интеграл по крива в пространството.
Изчислете интеграл

по завоя на спиралата, съответстващ на границите на промяна на параметъра

1-ви вид.

1.1.1. Дефиниция на криволинеен интеграл от 1-ви род

Нека в самолета Оксидадена крива (L).Нека за всяка точка от кривата (L)дефинирана непрекъсната функция f(x;y).Нека счупим дъгата ABлинии (L)точки A=P 0, P 1, P n = BНа нпроизволни дъги P i -1 P iс дължини ( i = 1, 2, n) (фиг. 27)

Нека изберем на всяка дъга P i -1 P iпроизволна точка M i (x i; y i),нека изчислим стойността на функцията f(x;y)в точката М и. Нека направим интегрална сума

Нека къде.

λ→0 (n→∞), независимо от метода на разделяне на кривата ( Л) към елементарни части, нито от избора на точки М и криволинеен интеграл от 1-ви родот функция f(x;y)(криволинеен интеграл по дължината на дъгата) и означават:

Коментирайте. По подобен начин се въвежда дефиницията на криволинейния интеграл на функцията f(x;y;z)по пространствената крива (L).

Физическо значение на криволинейния интеграл от 1-ви род:

Ако (L)-плоска крива с линейна равнина, тогава масата на кривата се намира по формулата:

1.1.2. Основни свойства на криволинейния интеграл от 1-ви род:

3. Ако интеграционният пъте разделен на части, така че , и имат една обща точка, тогава .

4. Криволинейният интеграл от 1-ви вид не зависи от посоката на интегриране:

5. , където е дължината на кривата.

1.1.3. Изчисляване на криволинеен интеграл от 1-ви род.

Изчисляването на криволинейния интеграл се свежда до изчисляването на определен интеграл.

1. Нека кривата (L)се дава от уравнението. Тогава

Тоест диференциалът на дъгата се изчислява по формулата.

Пример

Изчислете масата на отсечка от права линия от точка A(1;1)към основния въпрос B(2;4),ако .

Решение

Уравнение на права, минаваща през две точки: .

Тогава уравнението на правата ( AB): , .

Нека намерим производната.

Тогава . = .

2. Нека кривата (L)определени параметрично: .

След това, т.е. диференциалът на дъгата се изчислява по формулата.

За пространствения случай на задаване на крива: Тогава

Тоест диференциалът на дъгата се изчислява по формулата.

Пример

Намерете дължината на дъгата на кривата, .

Решение

Намираме дължината на дъгата по формулата: .

За да направим това, намираме диференциала на дъгата.

Нека намерим производните , , , Тогава дължината на дъгата: .

3. Нека кривата (L)определени в полярната координатна система: . Тогава

Тоест диференциалът на дъгата ще бъде изчислен с помощта на формулата.

Пример

Изчислете масата на дъгата, 0≤ ≤ ако .

Решение

Намираме масата на дъгата по формулата:

За да направим това, намираме диференциала на дъгата.

Нека намерим производната.

1.2. Криволинеен интеграл от 2-ри род

1.2.1. Дефиниция на криволинеен интеграл от 2-ри род

Нека в самолета Оксидадена крива (L). Нека (L)дадена е непрекъсната функция f(x;y).Нека счупим дъгата ABлинии (L)точки A = P 0 , P 1 , P n = Bв посока от точката Акъм основния въпрос INНа нпроизволни дъги P i -1 P iс дължини ( i = 1, 2, n) (фиг. 28).

Нека изберем на всяка дъга P i -1 P iпроизволна точка M i (x i ; y i), нека изчислим стойността на функцията f(x;y)в точката М и. Нека направим интегрална сума, където - дължина на проекцията на дъгата P i -1 P iна ос о. Ако посоката на движение по проекцията съвпада с положителната посока на оста о, тогава се разглежда проекцията на дъгите положителен, в противен случай - отрицателен.

Нека къде.

Ако има ограничение на интегралната сума при λ→0 (n→∞), независимо от метода на разделяне на кривата (L)на елементарни части, нито от избора на точки М ивъв всяка елементарна част, тогава тази граница се нарича криволинеен интеграл от 2-ри родот функция f(x;y)(криволинеен интеграл върху координатната х) и обозначават:

Коментирайте.Криволинейният интеграл по y координатата се въвежда по подобен начин:

Коментирайте.Ако (L)е затворена крива, тогава интегралът върху нея се означава

Коментирайте.Ако е на ( Л) три функции са дадени наведнъж и от тези функции има интеграли , , ,

тогава се извиква изразът: + + общ криволинеен интеграл от 2-ри роди запиши:

1.2.2. Основни свойства на криволинейния интеграл от 2-ри род:

3. При промяна на посоката на интегриране криволинейният интеграл от 2-ри род сменя знака си.

4. Ако интеграционният път е разделен на части, така че , и имат една обща точка, тогава

5. Ако кривата ( Л) лежи в равнината:

Перпендикулярна ос о, тогава =0;

Перпендикулярна ос Ой, Че ;

Перпендикулярна ос Оз, след това =0.

6. Криволинейният интеграл от 2-ри род върху затворена крива не зависи от избора на начална точка (зависи само от посоката на преминаване на кривата).

1.2.3. Физическо значение на криволинейния интеграл от 2-ри род.

Работа Адвижещи сили материална точкаединица маса от точка Мточно нзаедно ( MN) е равно на:

1.2.4. Изчисляване на криволинеен интеграл от 2-ри род.

Изчисляването на криволинейния интеграл от 2-ри род се свежда до изчисляването на определен интеграл.

1. Нека кривата ( Л) се дава от уравнението .

Пример

Изчислете къде ( Л) - прекъсната линия OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Решение

Тъй като (фиг. 29), тогава

1) Уравнение (OA): , ,

2) Уравнение на права (AB): .

2. Нека кривата (L)определени параметрично: .