„Обем на топка“ - Обем на параболичен сегмент. Намерете обема на топка, вписана в правилен тетраедър с ръб 1. Топка е вписана в конус, чийто радиус на основата е 1, а образуващата е 2. Сечение на топка с равнина, разположена на разстояние 8 см от центъра на топката, има радиус от 6 см, отсечен от топка с радиус R, се изразява с формулата .
„Кръг кръг сфера топка“ - Колело. Момчета, всички вече ставате членове на компютърния център. По аналогия с окръжност обяснете какво е: а) радиус; б) хорда; в) диаметър на сферата. Намерете повърхността на сфера с радиус 3 m. Диаметър. Център на топката (сфера). Топка и сфера. Топка. Спомнете си как се определя кръгът. Опитайте се да дефинирате сфера, като използвате понятията за разстояние между точките.
„Правилни полиедри“ - Сумата от равнинните ъгли на икосаедъра във всеки връх е 300?. Правилните полиедри са най-печелившите фигури. Сумата от равнинните ъгли на куба във всеки връх е 270?. Правилен октаедър. Икосаедрон-додекаедър структура на Земята. Кубът е най-стабилната фигура. Правилен додекаедър. Правилни изпъкнали полиедри.
„Топка” - Изследователска дейност извън учебните часове. Задача No1. Конус. Повторение на теоретичните положения. В правилна четириъгълна пирамида е вписана топка. Повърхността на топката се нарича сфера. Пирамида. В нашата работа ние: Изследователска практика, процес на работа по темата. Работа в кръжоци и факультативи.
“Вписана и описана окръжност” - АРХИМЕД (287-212 г. пр.н.е.) - древногръцки математик и механик. Описани и вписани окръжности. Можем да отговорим на проблемни въпроси. кръг. С увеличаването на броя на страните на правилен многоъгълник, ъгълът на многоъгълника се увеличава. Древните математици не са овладели понятията за математически анализ.
„Сфера и топка“ - Секцията, минаваща през центъра на топката, е голям кръг. (диаметрално сечение). Астрономическите наблюдения на небесния свод неизменно предизвикваха образа на сфера. Сферата винаги е била широко използвана в различни области на науката и технологиите. Допирателна равнина към сфера. Общи понятия. На повърхността на топката има три точки.
Полиедърът се нарича вписан в сфера, ако всичките му върхове принадлежат на тази сфера. За самата сфера се казва, че е описана около полиедъра.
Теорема. Сфера може да бъде описана около пирамида тогава и само ако около основата на тази пирамида може да се опише окръжност.
Полиедри, вписани в сфера
Теорема. Сфера може да бъде описана в близост до призма тогава и само ако окръжност може да бъде описана в близост до основата на тази призма. Центърът му ще бъде точка О, която е средата на отсечката, свързваща центровете на окръжностите, описани около основите на призмата. Радиус на сферата Ризчислено по формулата
Където ч– височина на призмата, r– радиус на окръжността, описана около основата на призмата.
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение 1
Възможно ли е да се опише сфера около правоъгълен паралелепипед?
Отговор: Да. Центърът му е точката на пресичане на диагоналите, а радиусът е равен на половината от диагонала на паралелепипеда
Упражнение 2
Възможно ли е да се опише сфера около наклонен паралелепипед, чиито лица са ромби?
Отговор: Не.
Упражнение 3
Възможно ли е да се опише сфера около наклонена призма?
Отговор: Не.
Упражнение 4
Може ли центърът на сфера, описана около призма, да се намира извън призмата?
Отговор: Да, ако основата на призмата е тъп триъгълник.
Упражнение 5
Може ли центърът на сфера, описана близо до пирамида, да се намира извън тази пирамида?
Отговор: Да.
Сфера, описана около куб
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение 1
Намерете радиуса на сферата, описана около единичния куб.
Упражнение 2
Намерете ръба на куб, вписан в единичната сфера.
Упражнение 3
Намерете радиуса на сфера, описана около правоъгълен паралелепипед, чиито ръбове, излизащи от един връх, са равни на 1, 2, 3.
Упражнение 4
Двата ръба на кубоид, излизащи от един и същи връх, са 1 и 2. Радиусът на описаната сфера е 1,5. Намерете третия ръб, излизащ от същия връх на паралелепипеда.
Сфера, описана около тетраедър
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение 1
Намерете радиуса на сферата, описана около единичния тетраедър.
Решение. В тетраедър SABCние имаме:
BE=SE=
В правоъгълен триъгълник OBEние имаме:
Р, намираме
Упражнение 2
Намерете ръба на правилен тетраедър, вписан в единичната сфера.
Упражнение 3
Основата на пирамидата е правилен триъгълник, чиято страна е равна на 3. Един от страничните ръбове е равен на 2 и е перпендикулярен на равнината на основата. Намерете радиуса на описаната сфера.
Решение. Позволявам О– центъра на описаната сфера, Q– центъра на окръжност, описана около основата, д– средата S.C.. Четириъгълник главен изпълнителен директор- правоъгълник, в който CE= 1, CQ=следователно R=OC= 2.
Отговор: Р = 2.
Упражнение 4
Картината показва пирамида SABC, за които ръба S.C.равен на 2 и перпендикулярен на равнината на основата ABC, ъгъл ACBравен на 90 o, AC = BC = 1. Построете центъра на сфера, описана около тази пирамида, и намерете нейния радиус.
Решение. През средата дребра ABнека начертаем права успоредна линия S.C.. През средата дребра S.C.нека начертаем права линия, успоредна CD. Тяхната пресечна точка Още бъде търсеният център на описаната сфера. В правоъгълен триъгълник OCDние имаме:
OD=CD=По теорема
Питагор, намираме
Упражнение 5
Намерете радиуса на сфера, описана около правилна триъгълна пирамида, чиито странични ръбове са равни на 1, а равнинните ъгли при върха са равни на 90°.
Решение. В тетраедър SABCние имаме:
AB=AE= SE =
В правоъгълен триъгълник OAEние имаме:
Решаване на това уравнение за Р, намираме
Сфера, описана около триъгълна призма
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение 1
Намерете радиуса на сфера, описана около правилна призма, всички ръбове на която са равни на 1.
Решение. Ние имаме:
А.А. 1 = 1, AD=OD=
следователно R=AO=
Упражнение 2
Сфера с радиус 2 е описана около правилна триъгълна призма, чиято страна е равна на 1. Намерете височината на призмата.
Решение. Ние имаме: А.О. = 2, OD=
следователно h = AA 1 = 2 AO=
Упражнение 3
Сфера с радиус 1 е описана около правилна триъгълна призма, чиято височина е 1. Намерете страната на основата на призмата.
Решение. Ние имаме: А.О. = 1 , OD=
следователно AD=
означава, AB =
Упражнение 4
Намерете радиуса на сфера, описана около права триъгълна призма, чиято основа е правоъгълен триъгълник с катети, равни на 1, и височина на призмата, равна на 2.
Решение. Радиусът на сферата е равен на половината от диагонала А 1 ° Справоъгълник ACC 1 А 1 .
Ние имаме: А.А. 1 = 2, AC =
следователно R=
Сфера, описана около правилна шестоъгълна призма
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение
Намерете радиуса на сфера, описана около правилна шестоъгълна призма, всички ръбове на която са равни на 1.
Решение. Ние имаме AG = 1, OG=
следователно R=AO=
Сфера, описана около правилна четириъгълна пирамида
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение
Намерете радиуса на сфера, описана около правилна четириъгълна пирамида, всички ръбове на която са равни на 1.
Сфера, описана около правилна шестоъгълна пирамида
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение
Намерете радиуса на сфера, описана около правилна 6-ъгълна пирамида, чиито основни ръбове са равни на 1 и чиито странични ръбове са равни на 2.
Решение. Триъгълник S.A.D.– равностранен със страна 2. Радиус Рописаната сфера е равна на радиуса на описаната окръжност на триъгълника S.A.D.. следователно
Сфера, описана около октаедър
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение
Намерете радиуса на сферата, описана около единичния октаедър.
Решение. Радиус Рописаната сфера е равна на половината от диагонала на квадрата ABCDсъс страна 1. Следователно,
Сфера, описана около икосаедъра
В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката
Упражнение
Намерете радиуса на сферата, описана около единичния икосаедър.
Решение. В правоъгълник ABCD AB = CD = 1, пр.н.е.И AD – диагонали на правилни петоъгълници със страни 1. Следователно,
пр.н.е.=н.е.=
Според Питагоровата теорема AC =
Необходимият радиус е равен на половината от този диагонал, т.е.
Упражнение
Намерете радиуса на сферата, описана около единичния додекаедър.
Решение. А Б В Г Д- правилен петоъгълник със страна
В правоъгълник ACGF AF=CG= 1, A.C.И FG – петоъгълни диагонали А Б В Г Ди следователно AC=FG=
Според Питагоровата теорема
FC=Необходим радиус
равен на половината от този диагонал, т.е.
Упражнение
Фигурата показва пресечен тетраедър, получен чрез отрязване на ъглите на правилен тетраедър от триъгълни пирамиди, чиито лица са правилни шестоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен тетраедър, чиито ръбове са равни на 1.
Упражнение
Фигурата показва пресечен куб, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на куба, чиито лица са правилни осмоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен куб, чиито ръбове са равни на 1.
Упражнение
Фигурата показва пресечен октаедър, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на октаедъра, чиито лица са правилни шестоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен октаедър, чиито ръбове са равни на 1.
Упражнение
Фигурата показва пресечен икосаедър, получен чрез отрязване на ъглите на икосаедъра на петоъгълни пирамиди, чиито лица са правилни шестоъгълници и петоъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен икосаедър, чиито ръбове са равни на 1.
Упражнение
Фигурата показва пресечен додекаедър, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на додекаедъра, чиито лица са правилни десетоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен додекаедър, чиито ръбове са равни на 1.
Упражнение
Намерете радиуса на сферата, описана около единичния кубоктаедър
Решение. Припомнете си, че кубоктаедърът се получава от куб чрез отрязване на правилни триъгълни пирамиди с върхове във върховете на куба и странични ръбове, равни на половината от ръба на куба. Ако ръбът на октаедъра е равен на 1, то ръбът на съответния куб е равен на Радиусът на описаната сфера е равен на разстоянието от центъра на куба до средата на ръба му, т.е. е равно на 1.
Отговор: Р = 1.
Полиедри, вписани в сфера. Изпъкналият многостен се нарича вписан, ако всичките му върхове лежат на някаква сфера. Тази сфера се нарича описана за даден полиедър. Центърът на тази сфера е точка, еднакво отдалечена от върховете на многостена. Това е пресечната точка на равнини, всяка от които минава през средата на перпендикулярния на нея ръб на полиедъра.
Формула за намиране на радиуса на описана сфера. Нека SABC е пирамида с еднакви странични ръбове, h е нейната височина, R е радиусът на окръжността, описана около основата. Нека намерим радиуса на описаната сфера. Нека забележим приликата правоъгълни триъгълници SKO1 и SAO. Тогава SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Но KS = SA/2. Тогава R1 = SA2/(2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), където b е страничен ръб.
Паралелепипед, вписан в сфера Теорема: Сфера може да бъде описана около паралелепипед тогава и само ако паралелепипедът е правоъгълен, тъй като в този случай той е прав и може да се опише окръжност около основата му - успоредник (тъй като основата е правоъгълник).
Задача 1 Намерете радиуса на сфера, описана около правилен тетраедър с ръб a. Решение: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Отговор: SO 1 = a /4. Нека първо изградим образ на центъра на описана топка, използвайки образа на правилен тетраедър SABC. Нека начертаем апотемите SD и AD (SD = AD). В равнобедрения триъгълник ASD всяка точка от медианата DN е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AS. Следователно точка O 1 е пресечната точка на височината SO и отсечката DN. Използвайки формулата от R 1 = b 2 /(2h), получаваме:
Решение на задача 2: Използвайки формулата R 1 =b 2 /(2h), за да намерим радиуса на описаната топка, намираме SC и SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α В правилна четириъгълна пирамида страната на основата е a, a плосък ъгълна върха е равно на α. Намерете радиуса на описаната сфера. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2)). Отговор: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).
Полиедри, описани около сфера. Изпъкналият многостен се нарича описан, ако всичките му лица докосват някаква сфера. Тази сфера се нарича вписана за даден полиедър. Центърът на вписана сфера е точка, еднакво отдалечена от всички страни на многостена.
Положение на центъра на вписана сфера Понятие за ъглополовяща равнина на двустенен ъгъл. Симетрална равнина е равнина, която разделя двустенен ъгъл на два равни двустенни ъгъла. Всяка точка от тази равнина е на еднакво разстояние от лицата на двустенния ъгъл. IN общ случайцентърът на сфера, вписана в полиедър, е пресечната точка на ъглополовящите равнини на всички двустенни ъгли на многостена. Винаги се намира вътре в многостена.
Пирамида, описана около топка За топка се казва, че е вписана в (произволна) пирамида, ако докосва всички страни на пирамидата (както странична, така и основа). Теорема: Ако страничните стени са еднакво наклонени спрямо основата, тогава в такава пирамида може да се впише топка. Тъй като двустенните ъгли при основата са равни, техните половини също са равни и ъглополовящите се пресичат в една точка на височината на пирамидата. Тази точка принадлежи на всички ъглополовящи равнини в основата на пирамидата и е на еднакво разстояние от всички лица на пирамидата - центъра на вписаната топка.
Формула за намиране на радиуса на вписана сфера Нека SABC е пирамида с еднакви странични ръбове, h е нейната височина, r е радиусът на вписаната окръжност. Нека намерим радиуса на описаната сфера. Нека SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Тогава, по свойството на ъглополовящата на вътрешния ъгъл на триъгълник, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Отговор: r 1 = rh/(+ r).
Паралелепипед и куб, описани около сфера Теорема: Сфера може да бъде вписана в паралелепипед тогава и само ако паралелепипедът е прав и основата му е ромб, а височината на този ромб е диаметърът на вписаната сфера, която, на свой ред е равна на височината на паралелепипеда. (От всички успоредници само окръжност може да бъде вписана в ромб) Теорема: Сфера винаги може да бъде вписана в куб. Центърът на тази сфера е пресечната точка на диагоналите на куба, а радиусът е равен на половината от дължината на ръба на куба.
Комбинации от фигури Вписани и описани призми Описана около цилиндър призма е призма, чиито основни равнини са равнините на основите на цилиндъра, а страничните стени се допират до цилиндъра. Призма, вписана в цилиндър, е призма, чиито базови равнини са равнините на основите на цилиндъра, а страничните ръбове са образуващите на цилиндъра. Допирателна равнина към цилиндър е равнина, минаваща през образуващата на цилиндъра и перпендикулярна на равнината на аксиалното сечение, съдържащо тази образуваща.
Вписани и описани пирамиди Вписана в конус пирамида е пирамида, чиято основа е многоъгълник, вписан в окръжността на основата на конуса, а върхът е върхът на конуса. Страничните ръбове на пирамида, вписана в конус, образуват конуса. Пирамида, описана около конуса, е пирамида, чиято основа е многоъгълник, описан около основата на конуса, а върхът съвпада с върха на конуса. Равнините на страничните стени на описаната пирамида са допирателни към равнината на конуса. Допирателна равнина към конус е равнина, минаваща през образуващата и перпендикулярна на равнината на аксиалното сечение, съдържащо тази образуваща.
Други видове конфигурации Цилиндърът е вписан в пирамида, ако окръжността на едната му основа докосва всички странични стени на пирамидата, а другата му основа лежи върху основата на пирамидата. Конусът е вписан в призма, ако върхът му лежи върху горната основа на призмата, а основата му е окръжност, вписана в многоъгълник - долната основа на призмата. Призма е вписана в конус, ако всички върхове на горната основа на призмата лежат на страничната повърхност на конуса, а долната основа на призмата лежи върху основата на конуса.
Задача 1 В правилна четириъгълна пирамида страната на основата е равна на a, а плоският ъгъл при върха е равен на α. Намерете радиуса на топката, вписана в пирамидата. Решение: Нека изразим страните на SOK чрез a и α. OK = a/2. SK = KC cot(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Използвайки формулата r 1 = rh/(+ r), намираме радиуса на вписаната топка: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Отговор: r 1 = (a/2)
Заключение Темата „Многогранници“ се изучава от ученици в 10 и 11 клас, но в учебна програмаима много малко материали по темата „Вписани и описани полиедри“, въпреки че представлява голям интерес за учениците, тъй като изучаването на свойствата на полиедрите допринася за развитието на абстрактно и логическо мислене, което по-късно ще ни бъде полезно в обучение, работа и живот. Докато работихме върху това есе, ние проучихме всички теоретичен материалпо темата „Вписани и описани полиедри“, разгледаха възможните комбинации от фигури и се научиха да прилагат целия изучен материал на практика. Задачите, свързани с комбинацията от тела, са най-трудният въпрос в курса по стереометрия за 11. клас. Но сега можем да кажем с увереност, че няма да имаме проблеми с решаването на такива проблеми, тъй като по време на нашия изследователска работаустановихме и доказахме свойствата на вписани и описани многостени. Много често учениците срещат трудности при конструирането на чертеж за задача по тази тема. Но след като научихме, че за решаване на проблеми, свързани с комбинацията от топка с многостен, изображението на топката понякога не е необходимо и е достатъчно да посочим центъра и радиуса, можем да сме сигурни, че няма да имаме тези трудности. Благодарение на това есе успяхме да разберем тази трудна, но много завладяваща тема. Надяваме се, че сега няма да имаме затруднения при прилагането на изучения материал на практика.
Описание на презентацията по отделни слайдове:
1 слайд
Описание на слайда:
общинска автономна образователна институция средно училище № 45 Методическо ръководство за ученици от 11 клас Съставено от учител по математика от най-висока категория Елена Вячеславовна Гавинская. Калининград 2016-2017 учебна година
2 слайд
Описание на слайда:
Полиедри, вписани в сфера. Темата е подобна на тази от курса по планиметрия, където се каза, че около триъгълници и правилни n-ъгълници могат да се опишат окръжности. Аналогът на кръга в пространството е сфера, а многоъгълникът е многостен. В този случай аналогът на триъгълника е триъгълна призма, а аналогът правилни многоъгълници- правилни полиедри. Определение. Полиедърът се нарича вписан в сфера, ако всичките му върхове принадлежат на тази сфера. За самата сфера се казва, че е описана около полиедъра.
3 слайд
Описание на слайда:
„Сфера може да бъде описана около права призма тогава и само ако около основата на тази призма може да се опише окръжност.“ Доказателство: Ако една сфера е описана около права призма, тогава всички върхове на основата на призмата принадлежат на сферата и следователно на окръжността, която е пресечната линия на сферата и равнината на основата. Обратно, нека близо до основата на права призма е описана окръжност с център в точка O1 и радиус r. Тогава около втората основа на призмата може да се опише окръжност с център в точка O2 и същия радиус. Нека O1O2=d, O – средата на O1O2. Тогава сферата с център O и радиус R= ще бъде желаната описана сфера. Теорема 1.
4 слайд
Описание на слайда:
„Сфера може да бъде описана около всяка триъгълна пирамида и само една.“ Доказателство. Нека се обърнем към доказателство, подобно на това от курса по планиметрия. Първо, трябва да намерим геометричното място на точките, еднакво отдалечени от двата върха на триъгълника. Например A и B. Такова геометрично място е перпендикулярната ъглополовяща, начертана към сегмента AB. След това намираме геометричното място на точките, еднакво отдалечени от A и C. Това е ъглополовящата на отсечката AC. Пресечната точка на тези бисекторални перпендикуляри ще бъде желаният център O на окръжността, описана около триъгълник ABC. Теорема 2.
5 слайд
Описание на слайда:
Сега нека разгледаме пространствената ситуация и да направим подобни конструкции. Нека е дадена триъгълна пирамида DABC и точките A, B и C определят равнината α. Геометрично мястоточки, еднакво отдалечени от точки A, B и C, е права a, перпендикулярна на равнината α и минаваща през центъра O1 на окръжността, описана около триъгълника ABC. Геометричното място на точките, равноотдалечени от точките A и D, е равнината β, перпендикулярна на отсечката AD и минаваща през нейния връх - точка E. Равнината β и правата a се пресичат в точка O, която ще бъде търсеният център на сфера, описана около триъгълната пирамида DABC. Наистина, по силата на конструкцията точка O е еднакво отдалечена от всички върхове на пирамидата DABC. Освен това такава точка ще бъде уникална, тъй като пресичащата се права линия и равнина имат една обща точка.
6 слайд
Описание на слайда:
Топка, описана около правилна пирамида. Топката може да бъде описана около всяка правилна пирамида. Центърът на топката лежи на права линия, минаваща през височината на пирамидата и съвпада с центъра на окръжност, описана около равнобедрен триъгълник, чиято страна е страничният ръб на пирамидата, а височината е височината на пирамидата. Радиусът на топката е равен на радиуса на тази окръжност. Радиусът на топката R, височината на пирамидата H и радиусът на окръжността r, описана близо до основата на пирамидата, са свързани с връзката: R2=(H-R)2+r2 Тази връзка е валидна и в случая, когато з< R.
7 слайд
Описание на слайда:
Задачата е за топка, описана около правилна пирамида. „В близост до правилната пирамида PABC е описана сфера с център в точка O и радиус 9√3 m. Правата PO, съдържаща височината на пирамидата, пресича основата на пирамидата в точка H, така че PH:OH = 2:1. Намерете обема на пирамидата, ако всеки от нейните странични ръбове сключва ъгъл 45 градуса с равнината на основата.
8 слайд
Описание на слайда:
Дадено е: PABC – правилна пирамида; топката (O;R=9√3 m) е описана близо до пирамидата; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Намерете: Впир. Решение: Тъй като RN:OH=2:1 (по условие), тогава RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (като височина на пирамидата) => => RN _ AN (по дефиниция) => RAS - правоъгълен. 3. В РАН:
Слайд 9
Описание на слайда:
4. Тъй като по условие RABC е правилна пирамида и PH е нейната височина, то по дефиниция ABC е правилна; H е центърът на окръжност, описана около ABC, което означава 5. Отговор: 486 m3.
10 слайд
Описание на слайда:
Сфера, описана около призма. Може да се опише сфера около призма, ако тя е права и нейните основи са многоъгълници, вписани в окръжност. Центърът на топката лежи в средата на височината на призмата, свързваща центровете на кръговете, описани около основите на призмата. Радиусът на топката R, височината на призмата H и радиусът на окръжността r, описана около основата на призмата, са свързани по отношение:
11 слайд
Описание на слайда:
Задачата е за сфера, описана около призма. „Правилна призма ABCDA1B1C1D1 с височина 6 см е вписана в сфера (така че; R = 5 см). Намерете площта на напречното сечение на призмата с равнина, успоредна на равнините на основата и минаваща през точка O - центъра на топката."
12 слайд
Описание на слайда:
Дадено е: ABCDA1B1C1D1 – правилна призма; около призма е описана топка (O;R=5 cm); височината на призмата h е 6 cm; α║(ABC); O с α. Намерете: Ssec α, Решение: Тъй като по условие призмата е вписана в топка, тогава (r е радиусът на окръжността, описана около основата на призмата) Но по условие е дадена правилна призма, което означава
Слайд 13
Описание на слайда:
а) (АВВ1) ║(СС1D1) (по свойството на права призма) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (по свойството на успоредни равнини) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (по свойството на права призма) => KM=NR (по свойството на успоредни равнини). Това означава, че KMNR е успоредник (по атрибут) => MN=KR и MN ║ KR b) α ║ (ABC) (по конструкция) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (според свойството на успоредни равнини) 2. 3. Тъй като според условието ABCDA1B1C1D1 е правилна призма, а сечението с равнина α е успоредно на основите, то фигурата, образувана от сечението е квадрат. Нека го докажем: => => =>
Слайд 14
Описание на слайда:
KMH= ABC=90o (като ъгли със съответно подравнени страни) Това означава, че ромбът KMNR е квадрат (по дефиниция), което трябваше да се докаже. Освен това квадратите KMNR и ABCD са равни. Следователно по свойство повърхнините им са равни и следователно Sсечение α.=SABCD=32 (cm2) Отговор: 32 cm2. в) KM ║ AB (доказано) (BCC1) ║(ADD1) (по свойството на права призма) => KM=AB=4√2 cm (по свойството на успоредни равнини). г) По същия начин се доказва, че MN ║ BC и MN = BC = 4√2 cm Това означава, че MN = KM => успоредник MNRK е ромб (по дефиниция). д) MN ║ BC (доказано) KM ║ AB (доказано) => =>
15 слайд
Описание на слайда:
Цилиндър, описан около призма. Може да се опише цилиндър около права призма, ако основата му е многоъгълник, вписан в окръжност. Радиусът на цилиндъра R е равен на радиуса на тази окръжност. Оста на цилиндъра лежи на една и съща права линия с височината Н на призмата, свързваща центровете на окръжностите, описани в близост до основите на призмата. В случай на четириъгълна призма (ако основата е правоъгълник), оста на цилиндъра минава през пресечната точка на диагоналите на основите на призмата.
16 слайд
Описание на слайда:
Задачата е за цилиндър, описан около призма. Правата призма ABCDA1B1C1D1, чиято основа е правоъгълник, е вписана в цилиндър, чиято образуваща е 7 cm, а радиусът е 3 cm. Намерете площта на страничната повърхност на призмата, ако ъгълът между диагоналите ABCD е 60 градуса. ОО1 – ос на цилиндъра.
Слайд 17
Описание на слайда:
Дадено е: ABCDA1B1C1D1 – права призма; цилиндърът е описан близо до призмата; образуваща на цилиндър AA1=7 cm; радиусът на основата на цилиндъра е 3 cm; ъгълът между диагоналите ABCD е 60°; ОО1 – ос на цилиндъра. Намерете: S странична призма. Решение: Тъй като според условието в топка е вписана четириъгълна призма, в основата на която е правоъгълник, то съгласно свойството AC∩ВD=O. Това означава AOB=60o и AO=OB=3cm. 2. В AOB с помощта на косинусовата теорема.
Подобни статии
