Това ръководство ще ви помогне да научите как да изпълнявате операции с матрици: матрично събиране (изваждане), матрично транспониране, матрично умножение, намиране обратна матрица. Целият материал е представен в проста и достъпна форма, дадени са подходящи примери, така че дори неподготвен човек може да се научи как да извършва действия с матрици. За самоконтрол и самопроверка можете да изтеглите безплатно матричен калкулатор >>>.

Ще се опитам да сведа до минимум теоретичните изчисления, на места са възможни обяснения „на пръсти“ и използването на ненаучни термини. Любителите на солидна теория, моля, не се занимавайте с критика, нашата задача е научете се да извършвате операции с матрици.

За СУПЕР БЪРЗА подготовка по темата (който „гори“) има интензивен pdf курс Матрица, определител и тест!

Матрицата е правоъгълна таблица на някои елементи. Като елементище разгледаме числата, тоест числови матрици. ЕЛЕМЕНТе термин. Препоръчително е да запомните термина, той ще се появява често, неслучайно използвах удебелен шрифт, за да го подчертая.

Обозначаване:матриците обикновено се обозначават с главни латински букви

Пример:Помислете за матрица две по три:

Тази матрицасе състои от шест елементи:

Всички числа (елементи) вътре в матрицата съществуват сами по себе си, тоест не става въпрос за изваждане:

Това е просто таблица (набор) от числа!

Ние също ще се съгласим не пренареждайномера, освен ако в обясненията не е посочено друго. Всяко число има собствено местоположение и не може да се разбърква!

Въпросната матрица има два реда:

и три колони:

СТАНДАРТ: когато говорим за размери на матрицата, тогава първопосочете броя на редовете и едва след това броя на колоните. Току-що разбихме матрицата две по три.

Ако броят на редовете и колоните на една матрица е еднакъв, тогава матрицата се нарича квадрат, Например: – матрица три на три.

Ако една матрица има една колона или един ред, тогава такива матрици също се наричат вектори.

Всъщност ние познаваме концепцията за матрица от училище; разгледайте например точка с координати „x“ и „y“: . По същество координатите на точка се записват в матрица едно по две. Между другото, ето един пример защо редът на числата има значение: и са две напълно различни точки в равнината.

Сега да преминем към изучаването операции с матрици:

1) Действие първо. Премахване на минус от матрицата (въвеждане на минус в матрицата).

Да се върнем към нашата матрица . Както вероятно сте забелязали, в тази матрица има твърде много отрицателни числа. Това е много неудобно от гледна точка на ефективността. различни действияс матрица е неудобно да пишете толкова много минуси и просто изглежда грозно в дизайна.

Нека преместим минуса извън матрицата, променяйки знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:

При нула, както разбирате, знакът не се променя; нулата също е нула в Африка.

Обратен пример: . Изглежда грозно.

Нека въведем минус в матрицата, като променим знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:

Е, стана много по-хубаво. И най-важното, ще бъде ПО-ЛЕСНО да извършвате всякакви действия с матрицата. Защото има такава математика народен знак: колкото повече минуси, толкова повече объркване и грешки.

2) Действие второ. Умножение на матрица по число.

Пример:

Просто е, за да умножите матрица по число, трябва всекиматричен елемент, умножен по дадено число. В случая - тройка.

Друг полезен пример:

– умножаване на матрица с дроб

Първо нека да видим какво да правим НЯМА НУЖДА:

НЯМА НУЖДА да въвеждате дроб в матрицата, първо, това само усложнява по-нататъшните действия с матрицата, и второ, затруднява учителя да провери решението (особено ако – краен отговор на задачата).

И най-вече, НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на минус седем:

От статията Математика за манекени или откъде да започна, помним това десетични знацивъв висшата математика по всякакъв начин се опитват да ги избегнат.

Единственото нещо е за предпочитанеКакво да направите в този пример е да добавите минус към матрицата:

Но ако само ВСИЧКОматричните елементи бяха разделени на 7 без следа, тогава би било възможно (и необходимо!) да се раздели.

Пример:

В този случай можете ТРЯБВА ДАумножете всички елементи на матрицата по , тъй като всички числа на матрицата се делят на 2 без следа.

Забележка: в теорията на математиката във висшето училище няма понятие „деление“. Вместо да кажете „това разделено на това“, винаги можете да кажете „това умножено по дроб“. Тоест разделението е специален случайумножение.

3) Действие трето. Транспониране на матрица.

За да транспонирате матрица, трябва да запишете нейните редове в колоните на транспонираната матрица.

Пример:

Транспониране на матрица

Тук има само един ред и според правилото той трябва да бъде написан в колона:

– транспонирана матрица.

Транспонираната матрица обикновено се обозначава с горен индекс или просто число в горния десен ъгъл.

Пример стъпка по стъпка:

Транспониране на матрица

Първо пренаписваме първия ред в първата колона:

След това пренаписваме втория ред във втората колона:

И накрая, пренаписваме третия ред в третата колона:

Готов. Грубо казано, транспонирането означава обръщане на матрицата настрани.

4) Четвърто действие. Сума (разлика) на матрици.

Сумата от матрици е проста операция.
НЕ ВСИЧКИ МАТРИЦИ МОГАТ ДА СЕ СГЪВАТ. За събиране (изваждане) на матрици е необходимо те да са с ЕДНАКЪВ РАЗМЕР.

Например, ако е дадена матрица две по две, тогава тя може да бъде добавена само с матрица две по две и никаква друга!

Пример:

Добавяне на матрици И

За да добавите матрици, трябва да добавите съответните им елементи:

За разликата на матриците правилото е подобно, необходимо е да се намери разликата на съответните елементи.

Пример:

Намерете разликата на матрицата ,

Как да решим този примерпо-лесно, за да не се объркате? Препоръчително е да се отървете от ненужните минуси, добавете минус към матрицата:

Забележка: в теорията на математиката във висшето училище няма понятие „изваждане“. Вместо да казвате „извадете това от това“, винаги можете да кажете „добавете това към това“. отрицателно число" Тоест изваждането е частен случай на събиране.

5) Акт пет. Матрично умножение.

Какви матрици могат да бъдат умножени?

За да се умножи една матрица по матрица, е необходимо така че броят на колоните на матрицата да е равен на броя на редовете на матрицата.

Пример:
Възможно ли е да се умножи матрица по матрица?

Това означава, че матричните данни могат да бъдат умножени.

Но ако матриците се пренаредят, тогава в този случай умножението вече не е възможно!

Следователно умножението не е възможно:

Не е толкова рядко да срещнете задачи с трик, когато от ученика се иска да умножи матрици, чието умножение е очевидно невъзможно.

Трябва да се отбележи, че в някои случаи е възможно да се умножават матрици и по двата начина.
Например за матрици и е възможно както умножение, така и умножение

1-ва година, висша математика, уч матриции основните действия върху тях. Тук систематизираме основните операции, които могат да се извършват с матрици. Откъде да започнем да се запознаваме с матриците? Разбира се, от най-простите неща - определения, основни понятия и прости операции. Уверяваме ви, че матриците ще бъдат разбрани от всеки, който им отдели поне малко време!

Дефиниция на матрицата

Матрицае правоъгълна таблица от елементи. Е, с прости думи – таблица с числа.

Обикновено матриците се обозначават с главни латински букви. Например, матрица А , матрица б и така нататък. Матриците могат да бъдат с различни размери: правоъгълни, квадратни, а има и редови и колонни матрици, наречени вектори. Размерът на матрицата се определя от броя на редовете и колоните. Например, нека напишем правоъгълна матрица с размер м На н , Където м – брой редове, и н – брой колони.

Предмети, за които i=j (a11, a22, .. ) образуват главния диагонал на матрицата и се наричат диагонал.

Какво можете да правите с матрици? Добавяне/Изваждане, умножете по число, размножават помежду си, транспонирам. Сега за всички тези основни операции върху матрици по ред.

Операции събиране и изваждане на матрици

Нека веднага ви предупредим, че можете да добавяте само матрици с еднакъв размер. Резултатът ще бъде матрица със същия размер. Добавянето (или изваждането) на матрици е просто - просто трябва да съберете съответните им елементи . Нека дадем пример. Нека извършим събирането на две матрици A и B с размер две по две.

Изваждането се извършва по аналогия, само с обратен знак.

Всяка матрица може да бъде умножена по произволно число. Да го направя, трябва да умножите всеки от неговите елементи по това число. Например, нека умножим матрицата A от първия пример по числото 5:

Операция умножение на матрица

Не всички матрици могат да се умножават заедно. Например, имаме две матрици - A и B. Те могат да се умножават една по друга само ако броят на колоните на матрица A е равен на броя на редовете на матрица B. В този случай всеки елемент от получената матрица, разположен в i-тия ред и j-тата колона, ще бъде равно на суматапродукти на съответните елементи в i-ти редпървия фактор и j-тата колона на втория. За да разберем този алгоритъм, нека запишем как се умножават две квадратни матрици:

И пример с реални числа. Нека умножим матриците:

Операция за транспониране на матрица

Транспонирането на матрицата е операция, при която съответните редове и колони се разменят. Например, нека транспонираме матрицата A от първия пример:

Матрична детерминанта

Детерминантът или детерминантата е едно от основните понятия линейна алгебра. Имало едно време хората измислили линейни уравнения, а зад тях трябваше да измислим детерминанта. В крайна сметка от вас зависи да се справите с всичко това, така че последният тласък!

Детерминантата е числена характеристика на квадратна матрица, която е необходима за решаване на много задачи.
За да изчислите детерминантата на най-простата квадратна матрица, трябва да изчислите разликата между продуктите на елементите на главния и второстепенния диагонал.

Детерминантата на матрица от първи ред, тоест състояща се от един елемент, е равна на този елемент.

Ами ако матрицата е три на три? Това е по-трудно, но можете да се справите.

За такава матрица стойността на детерминантата е равна на сумата от продуктите на елементите на главния диагонал и продуктите на елементите, лежащи върху триъгълниците с лице, успоредно на главния диагонал, от което произведението на се изваждат елементи от вторичния диагонал и произведението на елементите, лежащи върху триъгълниците с лицето на успоредния вторичен диагонал.

За щастие на практика рядко се налага да се изчисляват детерминанти на матрици с големи размери.

Тук разгледахме основните операции върху матрици. Разбира се, в Истински животможе никога да не срещнете дори намек за матрична системауравнения или, напротив, да се сблъскате с много по-сложни случаи, когато наистина трябва да си набиете мозъка. Именно за такива случаи съществуват професионалните студентски услуги. Поискайте помощ, получете висококачествено и подробно решение, насладете се на академичен успех и свободно време.

Събиране на матрица$ A $ и $ B $ е аритметична операция, в резултат на която трябва да се получи матрицата $ C $, всеки елемент от която е равен на сумата от съответните елементи на добавяните матрици:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

В детайли Формулата за събиране на две матрици изглежда така:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ край (pmatrix) = C$$

Моля, обърнете внимание, че можете да добавяте и изваждате само матрици с една и съща величина. Със сумата или разликата резултатът ще бъде матрица $ C $ със същото измерение като членовете (извадени) на матриците $ A $ и $ B $. Ако матриците $ A $ и $ B $ се различават една от друга по размер, тогава добавянето (изваждането) на такива матрици ще бъде грешка!

Формулата добавя матрици 3 на 3, което означава, че резултатът трябва да бъде матрица 3 на 3.

Изваждане на матрицинапълно подобен на алгоритъма за добавяне, само със знак минус. Всеки елемент от търсената матрица $C$ се получава чрез изваждане на съответните елементи от матриците $A$ и $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Нека запишем подробно формула за изваждане на две матрици:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ край (pmatrix) = C$$

Също така си струва да се отбележи, че не можете да добавяте и изваждате матрици с обикновени числа, както и с някои други елементи

Ще бъде полезно да знаете свойствата на събирането (изваждането) за по-нататъшни решения на задачи с матрици.

Имоти

Ако матриците $ A,B,C $ са с еднакъв размер, тогава за тях се прилага свойството за асоциативност: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
За всяка матрица има нулева матрица, означена като $ O $, при събиране (изваждане), с която оригиналната матрица не се променя: $$ A \pm O = A $$
За всяка ненулева матрица $ A $ има противоположна матрица $ (-A) $, чиято сума е нула: $ $ A + (-A) = 0 $ $
При добавяне (изваждане) на матрици се допуска свойството на комутативност, т.е. матриците $ A $ и $ B $ могат да се разменят: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Примери за решения

Пример 1
Дадени матрици $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ и $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. Извършете матрично събиране и след това изваждане.
Решение
На първо място, ние проверяваме матриците за размерност. Матрицата $ A $ има размерност $ 2 \times 2 $, втората матрица $ B $ има размерност $ 2 \times 2 $. Това означава, че с тези матрици е възможно да се извърши съвместна операция събиране и изваждане. Спомнете си, че за сумата е необходимо да се извърши по двойки събиране на съответните елементи на матриците $ A \text( и ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmatrix) $$ Подобно на сумата, намираме разликата на матриците, като заменяме знака „плюс“ с „минус“: $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ край (pmatrix) $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме!
Отговор
$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); A - B = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$

В статията: "Събиране и изваждане на матрици" дефиниции, правила, коментари, свойства на операциите и практически примерирешения.

Въведение

матричен ред аксиоматично умножение

Операции върху матрици, свойства на операциите.

В тази статия ще разберем как се извършва операцията събиране върху матрици от един и същи ред, операцията за умножаване на матрица по число и операцията за умножение на матрици с подходящ ред, ще зададем аксиоматично свойствата на операциите и също така обсъдете приоритета на операциите върху матрици. Успоредно с теорията ще представим подробни решенияпримери, в които се извършват операции върху матрици.

Нека веднага да отбележим, че всичко по-долу се отнася за матрици, чиито елементи са реални (или комплексни) числа.

Операцията за събиране на две матрици

Дефиниция на операцията събиране на две матрици.

Операцията събиране е дефинирана САМО ЗА МАТРИЦИ ОТ ЕДНАКЪВ РЕД. С други думи, невъзможно е да се намери сумата от матрици с различни размери и като цяло е невъзможно да се говори за събиране на матрици с различни размери. Също така не можете да говорите за сумата от матрица и число или сумата от матрица и някакъв друг елемент.

Определение.

Сумата от две матрици и е матрица, чиито елементи са равни на сумата от съответните елементи на матрици A и B, т.е.

По този начин резултатът от операцията за събиране на две матрици е матрица от същия ред.

Свойства на операцията събиране на матрици.

Какви свойства има операцията за събиране на матрици? На този въпрос е доста лесно да се отговори, като се започне от дефинирането на сумата от две матрици от даден ред и се запомнят свойствата на операцията за добавяне на реални (или комплексни) числа.

Матрици A, B и C от един и същи ред се характеризират със свойството асоциативност на добавяне A+(B+C)=(A+B)+C.

За матрици от даден ред има неутрален елемент по отношение на събирането, който е нулевата матрица. Тоест свойството A+O=A е вярно.

За ненулева матрица A от даден ред има матрица (-A), тяхната сума е нулева матрица: A+(-A)=O.

За матрици A и B от даден ред, свойството на добавяне A+B=B+A е комутативно.

Следователно набор от матрици от даден ред генерира адитивна Абелова група (Абелева група по отношение на алгебричната операция на събиране).

Операция за умножение на матрица по число

Определение на операцията за умножение на матрица по число.

Операцията за умножаване на матрица по число е дефинирана ЗА МАТРИЦИ ОТ ВСЯКАКЪВ РЕД.

Определение.

Произведението на матрица и реално (или комплексно) число е матрица, чиито елементи се получават чрез умножаване на съответните елементи на оригиналната матрица по числото, т.е.

По този начин резултатът от умножаването на матрица по число е матрица от същия ред.

Свойства на операцията умножение на матрица по число.

За матрици от един и същи ред A и B, както и произволно реално (или комплексно) число, разпределителното свойство на умножението спрямо събирането е вярно.

За произволна матрица A и всякакви реални (или комплексни) числа е валидно свойството за разпределимост.

За произволна матрица A и всякакви реални (или комплексни) числа и асоциативното свойство на умножението е вярно.

Неутралното число, когато се умножи по произволна матрица A, е едно, т.е.

От свойствата на операцията за умножаване на матрица по число следва, че умножаването на нулева матрица по числото нула ще даде нулева матрица, а произведението на произволно число и нулева матрица е нулева матрица.

Умножение на матрица с число - примери и тяхното решение.

Нека да разгледаме операцията за умножаване на матрица по число, използвайки примери.

Намерете произведението на числото 2 и матрицата.

За да умножите матрица по число, трябва да умножите всеки от нейните елементи по това число:

Умножете матрица по число.

Ние умножаваме всеки елемент от дадена матрица по дадено число:

Операция за умножение на две матрици

Дефиниция на операцията за умножение на две матрици.

Операцията за умножение на две матрици A и B е дефинирана само за случая, когато БРОЙТО НА КОЛОНИТЕ НА МАТРИЦА A Е РАВЕН НА БРОЯ НА РЕДОВЕТЕ НА МАТРИЦА B.

Определение. Произведението на матрица A от ред и матрица B от ред е матрица C от ред, всеки елемент от която е равен на сумата от произведенията на елементите на i-тия ред на матрица A от съответните елементи на j-та колона на матрица B, т.е.

По този начин резултатът от операцията за умножаване на матрица за поръчка по матрица за поръчка е матрица за поръчка.

Умножение на матрица по матрица - решения на примери.

Нека да разгледаме умножението на матрици с помощта на примери и след това да преминем към изброяване на свойствата на операцията за умножение на матрици.

Намерете всички елементи на матрица C, която се получава чрез умножаване на матрици и.

Редът на матрица A е p=3 по n=2, редът на матрица B е n=2 по q=4, следователно редът на произведението на тези матрици ще бъде p=3 по q=4. Нека използваме формулата

Ние последователно вземаме стойностите на i от 1 до 3 (тъй като p=3) за всяко j от 1 до 4 (тъй като q=4), и n=2 в нашия случай, тогава

По този начин се изчисляват всички елементи на матрица C, а матрицата, получена чрез умножаване на две дадени матрици, има формата.

Извършете умножение на матрици и.

Редът на оригиналните матрици позволява да се извърши операцията умножение. В резултат на това трябва да получим матрица от порядък 2 на 3.

Дадени са матриците и . Намерете произведението на матриците A и B, както и на матриците B и A.

Тъй като редът на матрицата A е 3 по 1, а матрицата B е 1 по 3, тогава A?B ще има ред 3 по 3, а произведението на матриците B и A ще има ред 1 по 1.

Както виждаш, . Това е едно от свойствата на операцията за умножение на матрица.

Свойства на операцията умножение на матрица.

Ако матриците A, B и C са с подходящи порядъци, тогава следните свойства на операцията за умножение на матрици са валидни.

Свойство за асоциативност на умножението на матрици.

Две свойства на дистрибутивността и.

IN общ случайоперацията на матрично умножение е некомутативна.

Единичната матрица E от ред n по n е неутрален елемент по отношение на умножението, тоест за произволна матрица A от ред p по n равенството е вярно, а за произволна матрица A от ред n по p равенството е вярно.

Трябва да се отбележи, че при подходящи поръчки произведението на нулевата матрица O и матрицата A дава нулевата матрица. Произведението на A и O също дава нулева матрица, ако поръчките позволяват умножение на матрици.

Между квадратни матрициИма така наречените пермутационни матрици, операцията за умножение при тях е комутативна, т.е. Пример за матрици за пермутация е двойка от матрица за идентичност и всяка друга матрица от същия ред, както е вярно.

Добавяне на матрица:

Изваждане и събиране на матрицисвежда до съответните операции върху техните елементи. Операция за събиране на матрицивъведен само за матрицисъщия размер, т.е матрици, в които броят на редовете и колоните е съответно равен. Сума от матрици A и B се наричат матрица C, чиито елементи са равни на сумата от съответните елементи. C = A + B c ij = a ij + b ij Дефинира се по подобен начин матрична разлика.

Умножение на матрица по число:

Операция умножение (деление) на матрицаот всякакъв размер с произволно число се свежда до умножаване (деление) на всеки елемент матрициза този номер. Матричен продуктИ се нарича числото k матрицаБ, такова, че

b ij = k × a ij. B = k × A b ij = k × a ij . Матрица- A = (-1) × A се нарича обратното матрицаА.

Свойства на събиране на матрици и умножение на матрица по число:

Операции за събиране на матрициИ матрично умножениевърху число имат следните свойства: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. А - А = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , където A, B и C са матрици, α и β са числа.

Матрично умножение (Матричен продукт):

Операция за умножение на две матрицисе въвежда само за случая, когато броят на колоните на първия матрициравен на броя на редовете на втория матрици. Матричен продуктИ m×n на матрицаВ n×p, наречено матрицаС m × p, така че с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , т.е. сумата от продуктите на елементите на i-тия ред се намира матрициИ към съответните елементи на j-тата колона матрициБ. Ако матрици A и B са квадрати с еднакъв размер, тогава продуктите AB и BA винаги съществуват. Лесно е да се покаже, че A × E = E × A = A, където A е квадрат матрица, Е - единица матрицаеднакъв размер.

Свойства на матрично умножение:

Матрично умножениене е комутативен, т.е. AB ≠ BA дори и двата продукта да са дефинирани. Въпреки това, ако за някакви матрицивръзката AB=BA е изпълнена, тогава такова матрицисе наричат комутативни. Най-характерният пример е единичен матрица, който пътува с всеки друг матрицаеднакъв размер. Само квадратните могат да бъдат променяни матрициот същия ред. A × E = E × A = A

Матрично умножениеима следните свойства: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Детерминанти от 2-ри и 3-ти ред. Свойства на детерминантите.

Матрична детерминантавтори ред, или детерминантвтори ред е число, което се изчислява по формулата:

Матрична детерминантатрети ред, или детерминанттрети ред е число, което се изчислява по формулата:

Това число представлява алгебрична сума, състояща се от шест члена. Всеки термин съдържа точно един елемент от всеки ред и всяка колона матрици. Всеки член се състои от произведението на три фактора.

Знаци с кои членове детерминанта на матрицатавключени във формулата намиране на детерминанта на матрицататрети ред може да се определи с помощта на дадената схема, която се нарича правило на триъгълниците или правило на Сарус. Първите три члена се вземат със знак плюс и се определят от лявата фигура, а следващите три члена се вземат със знак минус и се определят от дясната фигура.

Определете броя на термините за намиране детерминанта на матрицата, в алгебрична сума, можете да изчислите факториела: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Свойства на матричните детерминанти

Свойства на матричните детерминанти:

Свойство №1:

Матрична детерминантаняма да се промени, ако неговите редове се заменят с колони, всеки ред с колона със същия номер и обратно (транспониране). |A| = |A| T

Последица:

Колони и редове детерминанта на матрицатаса равни, следователно свойствата, присъщи на редовете, са изпълнени и за колоните.

Свойство №2:

При пренареждане на 2 реда или колони матрична детерминантаще промени знака на противоположния, запазвайки абсолютната стойност, т.е.

Свойство #3:

Матрична детерминантаналичието на два еднакви реда е равно на нула.

Имот #4:

Общ коефициент на елементи от всяка серия детерминанта на матрицатаможе да се приеме като знак детерминант.

Следствия от свойства № 3 и № 4:

Ако всички елементи на определена серия (ред или колона) са пропорционални на съответните елементи на паралелна серия, тогава такива матрична детерминантаравен на нула.

Имот #5:

детерминанта на матрицататогава са равни на нула матрична детерминантаравен на нула.

Имот #6:

Ако всички елементи на ред или колона детерминантпредставено като сбор от 2 члена, тогава детерминант матрициможе да се представи като сбор от 2 детерминантипо формулата:

Имот #7:

Ако към някой ред (или колона) детерминантслед това добавете съответните елементи от друг ред (или колона), умножени по същото число матрична детерминантаняма да промени стойността си.