Мишена:Разгледайте концепцията за линия в равнина, дайте примери. Въз основа на определението за права, въведете понятието уравнение на права върху равнина. Разгледайте видовете прави линии, дайте примери и методи за определяне на права линия. Укрепване на способността за превод на уравнението на права линия от общ изгледв уравнението на права линия „в сегменти“, с ъглов коефициент.

1. Уравнение на права на равнина.
2. Уравнение на права на равнина. Видове уравнения.
3. Методи за уточняване на права линия.

1. Нека x и y са две произволни променливи.

Определение: Извиква се връзка от вида F(x,y)=0 уравнение , ако не е вярно за никакви двойки числа x и y.

Пример: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Ако равенството F(x,y)=0 е в сила за всеки x, y, тогава, следователно, F(x,y) = 0 е идентичност.

Пример: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Казват, че числата x са 0 и y са 0 удовлетворяват уравнението , ако при заместването им в това уравнение то се превръща в истинско равенство.

Най-важната концепция аналитична геометрияе концепцията за уравнението на линия.

Определение: Уравнението на дадена права е уравнението F(x,y)=0, което е изпълнено от координатите на всички точки, лежащи на тази права, и не е изпълнено от координатите на никоя от точките, които не лежат на тази права.

Правата, определена от уравнението y = f(x), се нарича графика на f(x). Променливите x и y се наричат ​​текущи координати, защото те са координатите на променлива точка.

някои примеридефиниции на линии.

1) x – y = 0 => x = y. Това уравнение определя права линия:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => точките трябва да удовлетворяват или уравнението x - y = 0, или уравнението x + y = 0, което съответства на равнината на двойка пресичащи се прави линии, които са ъглополовящи на координатни ъгли:

3) x 2 + y 2 = 0. Това уравнение се изпълнява само от една точка O(0,0).

2. определение: Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2 ¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите константа A, Bи C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – правата минава през началото

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – правата съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – правата съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в в различни формив зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права с ъглов коефициент.

Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:

и означаваме , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общо уравнениеправа Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, тогава, разделяйки на –С, получаваме: или, където

Геометрично значениекоефициенти е, че коефициентът Ае координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, и b– координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

Нормално уравнение на права.

Ако двете страни на уравнението Ax + By + C = 0 се разделят на число, наречено нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosj + ysinj - p = 0 – нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормиращия фактор трябва да бъде избран така, че m×С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, а j е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

3. Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.

Нека ъгловият коефициент на правата е равен на k, правата минава през точката M(x 0, y 0). Тогава уравнението на правата се намира по формулата: y – y 0 = k(x – x 0)

Уравнение на права, минаваща през две точки.

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:

Ако някой от знаменателите равно на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ¹ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Дробта = k се нарича наклонправ.

Нека на равнината  са дадени декартова правоъгълна координатна система Oxy и някаква права L.

Определение. Уравнението F(x;y)=0 (1)Наречен уравнение на праватаЛ(спрямо дадена координатна система), ако това уравнение е изпълнено от координатите x и y на която и да е точка, лежаща на правата L, а не от координатите x и y на всяка точка, която не лежи на правата L.

Че. линия на равнинае геометричното място на точки (M(x;y)), чиито координати отговарят на уравнение (1).

Уравнение (1) определя линията L.

Пример. Уравнение на окръжност.

кръг– набор от точки, равноотдалечени от дадена точка M 0 (x 0,y 0).

Точка M 0 (x 0,y 0) – център на кръга.

За всяка точка M(x;y), разположена върху окръжността, разстоянието MM 0 =R (R=const)

ММ 0 ==Р

(х-х 0 ) 2 +(ооо 0 ) 2 =Р 2 –(2) – уравнение на окръжност с радиус R с център в точка M 0 (x 0,y 0).

Параметрично уравнение на права.

Нека координатите x и y на точки на правата L бъдат изразени с помощта на параметъра t:

(3) – параметрично уравнение на правата в DSC

където функциите (t) и (t) са непрекъснати по отношение на параметъра t (в определен диапазон на изменение на този параметър).

Като изключим параметъра t от уравнение (3), получаваме уравнение (1).

Нека разгледаме правата L като пътя, изминат от материална точка, непрекъснато движеща се по определен закон. Нека променливата t представлява време, отброено от някакъв начален момент. Тогава спецификацията на закона за движение представлява спецификацията на координатите x и y на движещата се точка като някои непрекъснати функции x=(t) и y=(t) от времето t.

Пример. Нека изведем параметрично уравнение за окръжност с радиус r>0 с център в началото. Нека M(x,y) е произволна точка от тази окръжност и t е ъгълът между радиус вектора и оста Ox, броен обратно на часовниковата стрелка.

Тогава x=r cos x y=r sin t. (4)

Уравнения (4) са параметрични уравнения на разглежданата окръжност. Параметърът t може да приема всякакви стойности, но за да може точката M(x,y) да обиколи окръжността веднъж, диапазонът на изменение на параметъра е ограничен до полусегмента 0t2.

Чрез повдигане на квадрат и събиране на уравнения (4) получаваме общото уравнение на окръжност (2).

2. Полярна координатна система (psc).

Нека изберем оста L ( полярна ос) и определете точката на тази ос O ( полюс). Всяка точка от равнината се определя еднозначно от полярните координати ρ и φ, където

ρ – полярен радиус, равно на разстоянието от точка M до полюс O (ρ≥0);

φ – ъгълмежду посоката на вектора ОМи L ос ( полярен ъгъл). М(ρ ; φ )

Уравнение на линията в UCSможе да се напише:

ρ=f(φ) (5) явно уравнение на правата в UCS

F=(ρ; φ) (6) имплицитно линейно уравнение в UCS

Връзка между декартови и полярни координати на точка.

(x;y) (ρ ; φ ) От триъгълник OMA:

tan φ=(възстановяване на ъгълаφ според известнотополучава се допирателнакато се вземе предвид в кой квадрант се намира точка М).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Пример . Намерете полярните координати на точките M(3;4) и P(1;-1).

За M:=5, φ=arctg (4/3). За P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Класификация на плоските линии.

Определение 1.Линията се нарича алгебричен,ако в някаква декартова правоъгълна координатна система, ако е дефинирана от уравнението F(x;y)=0 (1), в което функцията F(x;y) е алгебричен полином.

Определение 2.Всяка неалгебрична линия се нарича трансцендентален.

Определение 3. Алгебричната линия се нарича линия на редан, ако в някаква декартова правоъгълна координатна система тази права се определя от уравнение (1), в което функцията F(x;y) е алгебричен полином от n-та степен.

По този начин линия от n-ти ред е линия, дефинирана в някаква декартова правоъгълна система от алгебрично уравнение от степен n с две неизвестни.

Следващата теорема допринася за установяване на коректността на определения 1,2,3.

Теорема(документ на стр. 107). Ако права в някаква декартова правоъгълна координатна система се определя от алгебрично уравнение от степен n, тогава тази линия във всяка друга декартова правоъгълна координатна система се определя от алгебрично уравнение от същата степен n.

Равенството на формата F (x, y) = 0наречено уравнение с две променливи х, y,ако не е вярно за всички двойки числа x, y.Казват две числа х = х 0 , y=y 0, удовлетворяват някакво уравнение от вида F(x, y)=0,ако при заместване на тези числа вместо променливи хИ прив уравнението лявата му страна изчезва.

Уравнението на дадена права (в определена координатна система) е уравнение с две променливи, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея.

По-нататък вместо израза „е дадено уравнението на правата F(x, y) = 0" често ще казваме накратко: дадена линия F (x, y) = 0.

Ако са дадени уравненията на две прави F(x, y) = 0И Ф(x, y) = Q,след това съвместното решение на системата

дава всички техни пресечни точки. По-точно, всяка двойка числа, която е съвместно решение на тази система, определя една от пресечните точки.

*) В случаите, когато координатната система не е назована, се приема, че е декартова правоъгълна.

157. Дават се точки *) М 1 (2; - 2), М 2 (2; 2), М 3 (2; - 1), М 4 (3; -3), М 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Определете кои публикувани точки лежат на линията, определена от уравнението х+ y = 0,и кои не лежат върху него. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)

158. На правата, определена от уравнението х 2 +y 2 =25, намерете точките, чиито абциси са равни на следните числа: а) 0, б) - 3, в) 5, г) 7; на същата права намерете точки, чиито ординати са равни на следните числа: д) 3, е) - 5, ж) - 8. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)

159. Определете кои прави се определят от следните уравнения (конструирайте ги на чертежа):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) х- 2 = 0; 4) х+ 3 = 0;

5) у - 5 = 0; 6) г+ 2 = 0; 7) х = 0; 8) г = 0;

9) х 2 - ху = 0; 10) xy+ y 2 = 0; единадесет) х 2 - г 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) х 2 y - 7xy + 10г = 0; 17) y =|х|; 18) x =|при|; 19)г + |х|=0;

20) x +|при|= 0; 21)y =|Х- 1|; 22) г = |х+ 2|; 23) х 2 + при 2 = 16;

24) (х-2) 2 +(г-1) 2 =16; 25) (х+ 5) 2 +(г- 1) 2 = 9;

26) (Х - 1) 2 + г 2 = 4; 27) х 2 +(г + 3) 2 = 1; 28) (х -3) 2 + г 2 = 0;

29) х 2 + 2г 2 = 0; 30) 2х 2 + 3г 2 + 5 = 0

31) (х- 2) 2 + (г + 3) 2 + 1=0.

160. Дадени редове:

1)х+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) х 2 + г 2 - 36 = 0;

4) х 2 +г 2 -2х==0; 5) х 2 +г 2 + 4х-6г-1 =0.

Определете кои от тях преминават през началото.

161. Дадени редове:

1) х 2 + г 2 = 49; 2) (х- 3) 2 + (г+ 4) 2 = 25;

3) (х+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( х + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) х 2 +г 2 - 12x + 16y = 0; 6) х 2 +г 2 - 2x + 8при+ 7 = 0;

7) х 2 +г 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Намерете пресечните им точки: а) с оста о;б) с ос OU.

162. Намерете пресечните точки на две прави;

1)х 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) х 2 +y 2 -16х+4при+18 = 0, x + y= 0;

3) х 2 +y 2 -2х+4при -3 = 0, х 2 + y 2 = 25;

4) х 2 +y 2 -8х+10у+40 = 0, х 2 + y 2 = 4.

163. Точките са дадени в полярната координатна система

М 1 (1; ), М 2 (2; 0), М 3 (2; )

М 4 (
;) И М 5 (1; )

Определете кои от тези точки лежат на правата, определена от уравнението в полярни координати = 2 cos , и кои не лежат на него. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа :)

164. На правата, определена от уравнението  = , намерете точки, чиито полярни ъгли са равни на следните числа: а) ,б) - , в) 0, г) . Коя права се определя от това уравнение?

(Изградете го върху чертежа.)

165.На правата, определена от уравнението  = , намерете точки, чиито полярни радиуси са равни на следните числа: а) 1, б) 2, в)
. Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)

166. Установете кои линии се определят в полярни координати от следните уравнения (построете ги на чертежа):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167. Построете следните спирали на Архимед по чертежа:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Построете върху чертежа следните хиперболични спирали:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Построете следните логаритмични спирали по чертежа:

,
.

170. Определете дължините на отсечките, на които се разрязва спиралата на Архимед

лъч, излизащ от полюса и наклонен към полярната ос под ъгъл
. Направете рисунка.

171. На спиралата на Архимед
взета точка С,чийто полярен радиус е 47. Определете на колко части тази спирала пресича полярния радиус на точката С,Направете рисунка.

172. На хиперболична спирала
намери точка R,чийто полярен радиус е 12. Начертайте.

173. На логаритмична спирала
намерете точка Q, чийто полярен радиус е 81. Начертайте.

Права в равнина може да се дефинира с помощта на две уравнения

Където хИ y -координати на произволна точка М(х; при), лежащ на тази линия, и T- наречена променлива параметър.

Параметър Tопределя позицията на точката ( х; при) на повърхността.

Така че, ако

след това стойността на параметъра T= 2 съответства на точка (4; 1) на равнината, т.к х = 2 + 2 = 4, г= 2 2 – 3 = 1.

Ако параметърът Tсе променя, тогава точката на равнината се премества, описвайки тази права. Този метод за дефиниране на крива се нарича параметричени уравнения (1) - уравнения на параметрични линии.

Нека разгледаме примери за добре познати криви, посочени в параметрична форма.

1) Астроид:

Където А> 0 – постоянна стойност.

При А= 2 има формата:

Фиг.4. Астроид

2) Циклоид: Където А> 0 – константа.

При А= 2 има формата:

Фиг.5. Циклоид

Векторно уравнениелинии

Може да се посочи права на равнина векторно уравнение

Където T– параметър скаларна променлива.

Всяка стойност на параметъра T 0 съответства на определен вектор в равнина. При промяна на параметър Tкраят на вектора ще описва определена линия (фиг. 6).

Векторно уравнение на права в координатна система охоо

съответстват на две скаларни уравнения (4), т.е. проекционни уравнения

на координатната ос на векторното уравнение на правата има своя параметрични уравнения.

Фиг.6. Уравнение на векторна линия

Векторното уравнение и уравненията на параметричните линии имат механичен смисъл. Ако една точка се движи по равнина, тогава се извикват посочените уравнения уравнения на движението, ред – траекторияточки, параметър T- време.

Права в равнина е набор от точки в тази равнина, които имат определени свойства, докато точките, които не лежат на дадена права, нямат тези свойства. Уравнението на права дефинира аналитично изразена връзка между координатите на точките, лежащи на тази права. Нека тази връзка е дадена от уравнението

F( x,y)=0. (2.1)

Двойка числа, удовлетворяващи (2.1), не е произволна: ако хдадено, тогава прине може да бъде нищо, смисъл присвързани с х. Когато се промени хпромени при, и точка с координати ( x,y) описва този ред. Ако координатите на точка M 0 ( х 0 ,при 0) удовлетворяват уравнение (2.1), т.е. F( х 0 ,при 0)=0 е вярно равенство, тогава точка M 0 лежи на тази права. Обратното също е вярно.

Определение. Уравнение на права в равнина е уравнение, което е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е удовлетворено от координатите на точки, които не лежат на тази права.

Ако уравнението на определена линия е известно, тогава изследването геометрични свойстватази линия може да се сведе до изследване на нейното уравнение - това е една от основните идеи на аналитичната геометрия. Има добре разработени методи за изследване на уравнения математически анализ, които опростяват изучаването на свойствата на линията.

Когато се разглеждат линиите, се използва терминът текуща точкалиния – променлива точка M( x,y), движейки се по тази линия. Координати хИ присе наричат ​​текуща точка текущи координатилинейни точки.

Ако от уравнение (2.1) можем да изразим изрично при
през х, т.е. напишете уравнение (2.1) във формата , тогава кривата, дефинирана от такова уравнение, се нарича графикфункции f(x).

1. Дадено е уравнението: , или . Ако хтогава приема произволни стойности приприема стойности, равни на х. Следователно линията, дефинирана от това уравнение, се състои от точки, еднакво отдалечени от координатни оси Ox и Oy са ъглополовящата на I–III координатни ъгли (права на фиг. 2.1).

Уравнението или определя ъглополовящата на координатните ъгли II–IV (права линия на фиг. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

ориз. 2.1 фиг. 2.2 фиг. 2.3

2. Дадено е уравнението: , където C е някаква константа. Това уравнение може да бъде написано по различен начин: . Това уравнение се удовлетворява от тези и само тези точки, ординати прикоито са равни на C за всяка стойност на абсцисата х. Тези точки лежат на права линия, успоредна на оста Ox (фиг. 2.2). По същия начин уравнението определя права линия, успоредна на оста Oy (фиг. 2.3).

Не всяко уравнение от формата F( x,y)=0 определя права в равнината: уравнението е изпълнено от една точка – O(0,0), а уравнението не е изпълнено от нито една точка от равнината.

В дадените примери ние дадено уравнениепострои линия, определена от това уравнение. Нека помислим обратна задача: съставете неговото уравнение, като използвате дадена линия.

3. Създайте уравнение за окръжност с център в точка P( а,б) И
радиус R .

○ Окръжност с център в точка P и радиус R е набор от точки, разположени на разстояние R от точка P. Това означава, че за всяка точка M, лежаща на окръжността, MP = R, но ако точката M не лежи на кръга, тогава MP ≠ R.. ●

Подобни статии