В тази статия ще анализираме много подробно дефиницията на числовия кръг, ще разберем основното му свойство и ще подредим числата 1,2,3 и т.н. За това как да маркирате други числа върху кръга (например \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) разбира .

Цифров кръг наречен кръг с единичен радиус, чиито точки съответстват , подредени по следните правила:

1) Началото е в крайната дясна точка на окръжността;

2) Обратно на часовниковата стрелка - положителна посока; по часовниковата стрелка – отрицателно;

3) Ако нанесем разстоянието \(t\) върху окръжността в положителна посока, тогава ще стигнем до точка със стойност \(t\);

4) Ако начертаем разстоянието \(t\) върху окръжността в отрицателна посока, тогава ще стигнем до точка със стойност \(–t\).

Защо кръгът се нарича числов кръг?
Защото има цифри. По този начин кръгът е подобен на числовата ос - върху кръга, както и върху оста, има определена точка за всяко число.

Защо да знаете какво е числова окръжност?
С помощта на числовия кръг се определят стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите. Следователно, за да знаете тригонометрията и полагане на Единния държавен изпитза 60+ точки, трябва да разберете какво е числов кръг и как да поставите точки върху него.

Какво означават думите „...с единичен радиус...“ в определението?
Това означава, че радиусът на тази окръжност е \(1\). И ако построим такава окръжност с център в началото, тогава тя ще се пресича с осите в точки \(1\) и \(-1\).

Не е необходимо да се рисува малко; можете да промените „размера“ на деленията по осите, тогава картината ще бъде по-голяма (вижте по-долу).

Защо радиусът е точно единица? Това е по-удобно, защото в този случай при изчисляване на обиколката по формулата \(l=2πR\) получаваме:

Дължината на числовата окръжност е \(2π\) или приблизително \(6,28\).

Какво означава „...чиито точки съответстват на реални числа“?
Както беше казано по-горе, върху числовия кръг за всеки реално числоопределено ще има неговото „място“ - точка, която съответства на това число.

Защо да определяте началото и посоката върху числовата окръжност?
Основната цел на числовата окръжност е еднозначно да определи своята точка за всяко число. Но как можете да определите къде да поставите точката, ако не знаете откъде да броите и накъде да се движите?

Тук е важно да не бъркате началото на координатната линия и на числовата окръжност - това са две различни системиобратно броене! И също така не бъркайте \(1\) на оста \(x\) и \(0\) на окръжността - това са точки върху различни обекти.

Кои точки съответстват на числата \(1\), \(2\) и т.н.?

Не забравяйте, че предположихме, че числовата окръжност има радиус \(1\)? Това ще бъде нашата единична отсечка (по аналогия с числовата ос), която ще начертаем върху окръжността.

За да маркирате точка в числовия кръг, съответстващ на числото 1, трябва да преминете от 0 до разстояние, равно на радиуса в положителната посока.

За да маркирате точка в окръжността, съответстваща на числото \(2\), трябва да изминете разстояние, равно на два радиуса от началото, така че \(3\) да е разстояние, равно на три радиуса и т.н.

Когато гледате тази снимка, може да имате 2 въпроса:
1. Какво се случва, когато кръгът „свърши“ (т.е. направим пълен оборот)?
Отговор: да отидем на втори кръг! И когато вторият свърши, ще отидем на третия и така нататък. Следователно безкраен брой числа могат да бъдат нанесени върху кръг.

2. Къде ще бъдат отрицателни числа?
Отговор: точно там! Те също могат да бъдат подредени, като се брои от нула необходимия брой радиуси, но вече в отрицателна посока.

За съжаление е трудно да се обозначат цели числа върху числовата окръжност. Това се дължи на факта, че дължината на числовата окръжност няма да бъде равна на цяло число: \(2π\). И на най-удобните места (в точките на пресичане с осите) също ще има дроби, а не цели числа

ОбиколкаНаречен локусточки от равнината, равноотдалечени от фиксирана точка, т.нар център.

Нека точката е центърът и точката
, е произволна точка от окръжността. Тогава

където R се извиква радиускръг или разширен

Уравнение (4) се нарича канониченуравнение на окръжност.

Коментирайте.Ако в уравнение (4) означим
,
и разделете двете части на
, получаваме уравнението
. Че. кръгът е частен случай на елипса с равни полуоси.

7.1.3. Хипербола

Хиперболае геометричното място на точките в равнината, за всяка от които модулът на разликата в разстоянията от две фиксирани точки, т.нар. трикове, е постоянна стойност.

Позволявам
, - фокусира, разстояние
,Ме произволна точка от хиперболата. Тогава, според дефиницията, имаме

, (5)

Където А– определена стойност.

Нека въведем координатна система, използвайки метода, показан по-долу на фигурата.

тогава връзката (5) след алгебрични трансформации и елиминиране на ирационалността може да бъде представена като:

(6)

което се нарича каноничното уравнение на хипербола.В тази координатна система и посоченото уравнение (6) графиката на хиперболата има формата:

Ако уравнението на хиперболата има формата

(7)

тогава, съответно, неговата графика изглежда така:

Настроики И наречени полуоси - валиден, - изрично. Параметър

(8)

Наречен ексцентричност. Характеризира формата на хипербола.

Нека отбележим някои свойства на хиперболата.

1) Хиперболата има поне две оси на симетрия и център на симетрия.

Наистина, точка (0;0) за всяко местоположение на графиката на хипербола в каноничната координатна система, това е центърът на симетрия. Ролята на осите на симетрия се играе от осите ОХИ OU.

2) Хипербола пресича една от осите на симетрия в две точки, т.нарвърхове , хиперболата не се пресича с другата ос на симетрия.

Така, в първата графика, върховете на хиперболата (6) са разположени на оста О,това са точките
И
, на втората графика (7) - на оста OU,-Това
И
.

3) Хиперболата има асимптоти, тоест прави линии, към които хиперболата се приближава неограничено., ако точка, плъзгаща се по нея, отива в безкрайност.

За хипербола с канонично уравнение
асимптотите се описват от уравненията

И
. (9)

За хипербола, дадена от уравнението
асимптотите са дадени с прави линии

. (10)

Трикове с хипербола
(или
За
) са разположени на една и съща ос с неговите върхове. Тук

. (11)

Оптично свойство на хипербола. Лъч, излизащ от един от фокусите на хиперболата, след отражението си от кривата се движи така, сякаш е излязъл от втория фокус.

7.1.4. Парабола

Параболае геометричното място на точки в равнината, равноотдалечени от фиксирана точка, наречена фокус, и тази линия, която се нарича директорка.

Нека е направо л, - директорка, - фокус и отстранен от директорката на разстояние стр, и точка М, е произволна точка от параболата. Тогава

Нека изберем координатна система, както е показано по-долу.

.

Тогава уравнението на параболата, след елиминиране на ирационалността, ще приеме формата

,
(12)

което се нарича уравнение на канонична парабола. В тази координатна система и посоченото уравнение (12) графиката на параболата има формата:

За намереното канонично уравнение на парабола, уравнението на директрисата

,
(13)

и фокус разположен в точка
.

Нека отбележим едно от свойствата.

Параболата има една ос на симетрия.

В избраната по-горе координатна система оста на симетрия на параболата е ОХ

Коментирайте. 1. Ако фокусът има координати
, а директрисата се описва от уравнението
, тогава уравнението на параболата приема формата

. (14)

Ако фокусът е поставен върху оста 0 г, тогава уравнението приема формата

или
, (15)

в зависимост от местоположението на директорката (
или
, съответно). Тези уравнения се наричат ​​още каноничен. Отбелязаните характеристики позволяват недвусмислено да се определи местоположението на параболата и нейните характерни особености (координати на фокуса, уравнение на директриса).

ОптиченИмотпараболи.Лъчи, успоредни на оста на параболата, след отражение от кривата преминават през нейния фокус.

кръг- геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

Тази точка (О) се нарича център на кръга.
Радиус на кръга- това е сегмент, свързващ центъра с всяка точка от окръжността. Всички радиуси имат еднаква дължина (по дефиниция).
Акорд- сегмент, свързващ две точки от окръжност. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. Дъгата се нарича полукръг, ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
Дължината на единичен полукръг се означава с π .
Сумата от градусните мерки на две дъги на окръжност с общи краища е равна на 360º.
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича навсякъде наоколо.
Кръгов сектор- част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, свързващи краищата на дъгата с центъра на окръжността. Дъгата, която ограничава сектора, се нарича дъга на сектора.
Две окръжности с общ център се наричат концентричен.
Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Относителното положение на права линия и окръжност

1. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( г), тогава правата и окръжността имат две общи точки. В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.
2. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, то правата линия и окръжността имат само една обща точка. Тази линия се нарича допирателна към окръжността, а тяхната обща точка се нарича точка на допир между права и окръжност.
3. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността нямат допирни точки
.

Централни и вписани ъгли

Централен ъгъле ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл- ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността.

Теорема за вписания ъгъл

Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която той се намира.

• Следствие 1.
  Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.


• Следствие 2.
  Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.

Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Основни формули

• Обиколка:

C = 2∙π∙R

• Дължина на кръговата дъга:

R = С/(2∙π) = D/2

• Диаметър:

D = C/π = 2∙R

• Дължина на кръговата дъга:

l = (π∙R) / 180∙α,
Където α - градусна мярка за дължината на кръгова дъга)

• Площ на кръг:

S = π∙R 2

• Площ на кръговия сектор:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение на окръжност

• IN правоъгълна системакоординатно уравнение на радиус на окръжност rцентриран в точка ° С(x o; y o) има формата:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

• Уравнението на окръжност с радиус r с център в началото има формата:

x 2 + y 2 = r 2

И кръг - геометрични фигури, свързани помежду си. има граница начупена линия (крива) кръг,

Определение. Окръжността е затворена крива, всяка точка от която е на еднакво разстояние от точка, наречена център на окръжността.

За да се построи окръжност, се избира произволна точка O, която се приема за център на окръжността и се начертава затворена линия с помощта на компас.

Ако точка O от центъра на окръжността е свързана с произволни точки от окръжността, тогава всички получени сегменти ще бъдат равни един на друг и такива сегменти се наричат ​​радиуси, съкратени с латинската малка или главна буква „er“ ( rили Р). Можете да начертаете толкова радиуси в кръг, колкото точки има в дължината на кръга.

Отсечка, свързваща две точки от окръжност и минаваща през нейния център, се нарича диаметър. Диаметърсе състои от две радиуси, лежащи на една и съща права линия. Диаметърът се обозначава с латинската малка или главна буква "de" ( дили д).

правило. Диаметъредна окръжност е равна на две нейни радиуси.

d = 2r
D=2R

Обиколката на окръжност се изчислява по формулата и зависи от радиуса (диаметъра) на окръжността. Формулата съдържа числото ¶, което показва колко пъти обиколката е по-голяма от диаметъра си. Числото ¶ има безкраен бройдесетични знаци. За изчисленията е взето ¶ = 3,14.

Обиколката на кръга се обозначава с латинската главна буква "tse" ( ° С). Обиколката на кръга е пропорционална на неговия диаметър. Формули за изчисляване на обиколката на кръг въз основа на неговия радиус и диаметър:

C = ¶d
C = 2¶r

• Примери
• Дадено е: d = 100 cm.
• Обиколка: С=3,14*100см=314см
• Дадено е: d = 25 mm.
• Обиколка: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Циркулярна секуща и окръжна дъга

Всеки секанс (права линия) пресича окръжност в две точки и я разделя на две дъги. Размерът на дъгата на окръжност зависи от разстоянието между центъра и секущата и се измерва по затворена крива от първата точка на пресичане на секущата с окръжността до втората.

дъгикръговете са разделени секущана голяма и малка, ако секансът не съвпада с диаметъра, и на две равни дъги, ако секансът минава по диаметъра на окръжността.

Ако секанс минава през центъра на кръг, тогава неговият сегмент, разположен между точките на пресичане с кръга, е диаметърът на кръга или най-голямата хорда на кръга.

Колкото по-далеч се намира секущата от центъра на окръжността, толкова по-малка е градусната мярка на по-малката дъга на окръжността и толкова по-голяма е по-голямата дъга на окръжността, а сегментът на секущата, т.нар. акорд, намалява, когато секансът се отдалечава от центъра на кръга.

Определение. Окръжност е част от равнина, разположена вътре в окръжност.

Центърът, радиусът и диаметърът на окръжност са едновременно център, радиус и диаметър на съответната окръжност.

Тъй като кръгът е част от равнина, един от неговите параметри е площта.

правило. Площ на кръг ( С) е равно на произведението на квадрата на радиуса ( r 2) към числото ¶.

• Примери
• Дадено е: r = 100 cm
• Площ на кръг:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Дадено: d = 50 mm
• Площ на кръг:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Ако начертаете два радиуса в окръжност до различни точки от окръжността, тогава се образуват две части на окръжността, които се наричат сектори. Ако нарисувате хорда в кръг, тогава частта от равнината между дъгата и хордата се нарича кръгов сегмент.

Подобни статии