Безкрайно малки функции и техните основни свойства. Дефиниция на безкрайно голяма последователност Дали функция е безкрайно голяма при x

функция y=f(x)Наречен безкрайно малъкпри x→aили кога х→∞, ако или , т.е. безкрайно малка функцияе функция, чиято граница в дадена точка е нула.

Примери.

1. Функция f(x)=(х-1) 2 е безкрайно малко при х→1, тъй като (виж фигурата).

2. Функция f(x)= tg х– безкрайно малък при х→0.

3. f(x)= log(1+ х) – безкрайно малък at х→0.

4. f(x) = 1/х– безкрайно малък при х→∞.

Нека установим следната важна връзка:

Теорема.Ако функцията y=f(x)представителен с x→aкато сбор от постоянно число bи безкрайно малка величина α(x): f (x)=b+ α(x)Че .

Обратно, ако , тогава f (x)=b+α(x), Където a(x)– безкрайно малък при x→a.

Доказателство.

1. Нека докажем първата част от твърдението. От равенството f(x)=b+α(x)Трябва |f(x) – b|=| α|. Но тъй като a(x)е безкрайно малка, то за произволно ε съществува δ – околност на точката а,пред всички хот които, стойности a(x)задоволяват отношението |α(x)|< ε. Тогава |f(x) – b|< ε. И това означава, че.

2. Ако , то за всяко ε >0 за всички хот някакво δ – околност на точка аще |f(x) – b|< ε. Но ако обозначим f(x) – b= α, Че |α(x)|< ε, което означава, че а– безкрайно малък.

Нека разгледаме основните свойства на безкрайно малките функции.

Теорема 1.Алгебричната сума на две, три и изобщо всеки краен брой безкрайно малки е безкрайно малка функция.

Доказателство. Нека дадем доказателство за два термина. Позволявам f(x)=α(x)+β(x), където и . Трябва да докажем, че за произволно произволно малко ε > 0 намерени δ> 0, така че за х, удовлетворяваща неравенството |x – a|<δ , извършено |f(x)|< ε.

И така, нека фиксираме произволно число ε > 0. Тъй като според условията на теоремата α(x)е безкрайно малка функция, тогава има такова δ 1 > 0, което е |x – a|< δ 1 имаме |α(x)|< ε / 2. По същия начин, тъй като β(x)е безкрайно малка, тогава има такова δ 2 > 0, което е |x – a|< δ 2 имаме | β(x)|< ε / 2.

Да вземем δ=min(δ 1 , δ2 } .След това в околностите на точката арадиус δ всяко от неравенствата ще бъде изпълнено |α(x)|< ε / 2 и | β(x)|< ε / 2. Следователно в този квартал ще има

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

тези. |f(x)|< ε, което трябваше да се докаже.

Теорема 2.Произведение на безкрайно малка функция a(x)за ограничена функция f(x)при x→a(или кога x→∞) е безкрайно малка функция.

Доказателство. Тъй като функцията f(x)е ограничено, тогава има номер Мтака че за всички стойности хот някаква околност на точка a|f(x)|≤M.Освен това, тъй като a(x)е безкрайно малка функция при x→a, тогава за произволно ε > 0 има околност на точката а, в което неравенството ще е в сила |α(x)|< ε /М. Тогава в по-малкия от тези квартали, които имаме | αf|< ε /М= ε. И това означава, че аф– безкрайно малък. За случая x→∞доказателството се извършва по подобен начин.

От доказаната теорема следва:

Следствие 1.Ако и, тогава.

Следствие 2.Ако c= const, тогава .

Теорема 3.Отношение на безкрайно малка функция α(x)на функция f(x), чиято граница е различна от нула, е безкрайно малка функция.

Доказателство. Позволявам . След това 1 /f(x)Има ограничена функция. Следователно дробта е продукт на безкрайно малка функция и ограничена функция, т.е. функцията е безкрайно малка.

БЕЗКРАЙНО МАЛКИ ФУНКЦИИ И ТЕХНИТЕ ОСНОВНИ СВОЙСТВА

функция y=f(x)Наречен безкрайно малъкпри x→aили кога х→∞, ако или , т.е. Безкрайно малка функция е функция, чиято граница в дадена точка е нула.

Примери.

Нека установим следната важна връзка:

Обратно, ако , тогава f (x)=b+α(x), Където a(x)– безкрайно малък при x→a.

Доказателство.

Нека разгледаме основните свойства на безкрайно малките функции.

Теорема 1.Алгебричната сума на две, три и изобщо всеки краен брой безкрайно малки е безкрайно малка функция.

Доказателство. Нека дадем доказателство за два термина. Позволявам f(x)=α(x)+β(x), където и . Трябва да докажем, че за произволно произволно малко ε > 0 намерени δ> 0, така че за х, удовлетворяващи неравенството |x – a|<δ , извършено |f(x)|< ε.

И така, нека фиксираме произволно число ε > 0. Тъй като според условията на теоремата α(x)е безкрайно малка функция, тогава има такава δ 1 > 0, което е |x – a|< δ 1 имаме |α(x)|< ε / 2. По същия начин, тъй като β(x)е безкрайно малка, тогава има такова δ 2 > 0, което е |x – a|< δ 2 имаме | β(x)|< ε / 2.

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

тези. |f(x)|< ε, което трябваше да се докаже.

Доказателство. Тъй като функцията f(x)е ограничено, тогава има номер Мтака че за всички стойности хот някаква околност на точка a|f(x)|≤M.Освен това, тъй като a(x)е безкрайно малка функция при x→a, тогава за произволно ε > 0 има околност на точката а, в което неравенството ще е в сила |α(x)|< ε /М. След това в по-малкия от тези квартали, които имаме | αf|< ε /М= ε. И това означава, че аф– безкрайно малък. За случая x→∞доказателството се извършва по подобен начин.

От доказаната теорема следва:

Следствие 1.Ако и, тогава.

Следствие 2.Ако c= const, тогава .

Доказателство. Позволявам . След това 1 /f(x)има ограничена функция. Следователно фракцията е продукт на безкрайно малка функция и ограничена функция, т.е. функцията е безкрайно малка.

ВРЪЗКА МЕЖДУ БЕЗКРАЙНО МАЛКИ И БЕЗКРАЙНО ГОЛЕМИ ФУНКЦИИ

Теорема 1.Ако функцията f(x)е безкрайно голям при x→a, след това функция 1 /f(x)е безкрайно малка при x→a.

Доказателство.Нека вземем произволно число ε >0 и покажете това за някои δ>0 (в зависимост от ε) за всички х, за което |x – a|<δ , неравенството е изпълнено и това ще означава, че 1/f(x)е безкрайно малка функция. Наистина, тъй като f(x)е безкрайно голяма функция при x→a, тогава ще има δ>0 такъв, че веднага щом |x – a|<δ , така че | f(x)|> 1/ ε. Но след това за същото х.

Примери.

Може да се докаже и обратната теорема.

Теорема 2.Ако функцията f(x)- безкрайно малък при x→a(или x→∞)и тогава не изчезва y= 1/f(x)е безкрайно голяма функция.

Направете доказателството на теоремата сами.

Примери.

По този начин най-простите свойства на безкрайно малки и безкрайно големи функции могат да бъдат записани с помощта на следните условни отношения: А≠ 0

ГРАНИЧНИ ТЕОРЕМИ

Теорема 1.Границата на алгебричната сума на две, три и изобщо определен брой функции е равна на алгебричната сума на границите на тези функции, т.е.

Доказателство. Нека проведем доказателството за два члена, тъй като то може да се направи по същия начин за произволен брой членове. Позволявам .Тогава f(x)=b+α(x)И g(x)=c+β(x), Където α И β – безкрайно малки функции. следователно

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

защото b+cИма постоянен, А α(x) + β(x)тогава е безкрайно малка функция

Пример. .

Теорема 2.Границата на произведението на две, три и най-общо краен брой функции е равна на произведението на границите на тези функции:

Доказателство. Позволявам . следователно f(x)=b+α(x)И g(x)=c+β(x)И

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

работа пр.н.еима постоянна стойност. функция bβ + c α + αβвъз основа на свойствата на безкрайно малките функции, има безкрайно малко количество. Ето защо .

Следствие 1.Постоянният фактор може да бъде взет отвъд граничния знак:

Следствие 2.Граничната степен е равна на граничната степен:

Пример..

Теорема 3.Границата на частното на две функции е равна на частното на границите на тези функции, ако границата на знаменателя е различна от нула, т.е.

Доказателство. Позволявам . следователно f(x)=b+α(x)И g(x)=c+β(x), Където α, β – безкрайно малък. Нека разгледаме коефициента

Дробта е безкрайно малка функция, тъй като числителят е безкрайно малка функция, а знаменателят има граница c 2 ≠0.

Примери.

Теорема 4.Нека са дадени три функции f(x), u(x)И v(x), удовлетворяващи неравенствата u (x)≤f(x)≤ v(x). Ако функциите u(x)И v(x)имат същия лимит при x→a(или x→∞), след това функцията f(x)клони към същата граница, т.е. Ако

, Че .

Значението на тази теорема е ясно от фигурата.

Доказателството на теорема 4 може да се намери например в учебника: Пискунов Н. С. Диференциално и интегрално смятане, том 1 - М.: Наука, 1985.

Теорема 5.Ако при x→a(или x→∞) функция y=f(x)приема неотрицателни стойности y≥0и в същото време клони към границата b, тогава тази граница не може да бъде отрицателна: b≥0.

Доказателство. Ще проведем доказателството от противно. Нека се преструваме, че b<0 , Тогава |y – b|≥|b|и следователно модулът на разликата не клони към нула, когато x→a. Но след това гне достига лимита bпри x→a, което противоречи на условията на теоремата.

Теорема 6.Ако две функции f(x)И g(x)за всички стойности на аргумента худовлетворяват неравенството f(x)≥ g(x)и имат граници, тогава неравенството е в сила b≥c.

Доказателство.Според условията на теоремата f(x)-g(x) ≥0, следователно, по теорема 5 , или .

ЕДНОСТРАННИ ОГРАНИЧЕНИЯ

Досега разглеждахме определянето на границата на функция, когато x→aпо произволен начин, т.е. границата на функцията не зависи от това как е разположена хкъм а, отляво или отдясно на а. Въпреки това е доста обичайно да се намерят функции, които нямат ограничение при това условие, но имат ограничение ако x→a, оставайки от едната страна на А, наляво или надясно (вижте фигурата). Поради това се въвеждат концепциите за едностранни граници.

Ако f(x)клони към границата bпри хклонящи към определено число аТака хприема само стойности по-малки от а, после пишат и звънят границата на функцията f(x) в точка a отляво.

Дефиниция на числова функция. Методи за специфициране на функции.

Нека D е множество на числовата ос R. Ако всяко x, принадлежащо на D, е свързано с едно число y=f(x), тогава казваме, че е дадена функция f.

Методи за определяне на функции:

1) таблични – за функции, дефинирани върху крайно множество.

2) аналитичен

3) графика

2 и 3 – за функции, дефинирани върху безкрайно множество.

Концепцията за обратна функция.

Ако функцията y=f(x) е такава, че различни стойности на аргумента x съответстват на различни стойности на функцията, тогава променливата x може да бъде изразена като функция на променливата y: x=g(y ). Функцията g се нарича обратна на f и се означава с f^(-1).

Концепцията за сложна функция.

Сложна функция е функция, чийто аргумент е всяка друга функция.

Нека са дадени функции f(x) и g(x). Нека направим две сложни функции от тях. Считайки функцията f за външна (главна), а функцията g за вътрешна, получаваме комплексна функция u(x)=f(g(x)).

Определяне на границата на последователността.

Число a се нарича граница на редица (xn), ако за всяко положително има число n0, започвайки от което всички членове на редицата се различават от a по модул с по-малко от ε (т.е. попадат в ε-околността от буква а):

Правила за изчисляване на границите на конвергентни последователности.

1. Всяка конвергентна последователност има само една граница. 2. Ако всички елементи на редицата (x n) са равни на C (константа), тогава границата на редицата (x n) също е равна на C. 3. ; 4. ; 5. .

Дефиниция на ограничена последователност.

Последователността (x n) се нарича ограничена, ако множеството от числа X=(x n) е ограничено: .

Дефиниция на безкрайно малка последователност.

Последователността (x n) се нарича безкрайно малка, ако за всяко (без значение колко малко) >0 съществува число n 0 такова, че за всяко n>n 0 неравенството |x n |< .

Дефиницията е безкрайна голяма последователност.

Една поредица се нарича безкрайно голяма, ако за всяко (независимо колко голямо) число A>0 съществува число n 0 такова, че за всяко число n>n 0 е в сила неравенството |x n |>A.

Дефиниция на монотонни последователности.

Монотонни поредици: 1) нарастващ ifx n x n +1 за всички n, 4) ненарастващ, ако x n x n +1 за всички n.

Определяне на границата на функция в точка.

Границата на функцията y=f(x) в точката x 0 (или в x x 0) е числото a, ако за всяка последователност (x n) стойности на аргумента, сходни към x 0 (всички x n x 0), The последователност от (f (x n)) стойности на функцията се сближава до границата a.

Дефиниция на безкрайно малка функция.

Ф-ия f(x) се казва, че е безкрайно малка като x→A, ако .

Дефиниция на безкрайно голяма функция.

Ф-ия f(x) се казва, че е безкрайно голямо за x→A, ако .

Смятане на безкрайно малки и големи

Инфинитезимално смятане- изчисления, извършвани с безкрайно малки величини, при които полученият резултат се разглежда като безкрайна сума от безкрайно малки. Инфинитезималното смятане е обща концепцияза диференциално и интегрално смятане, които са в основата на съвременната висша математика. Концепцията за безкрайно малко количество е тясно свързана с концепцията за граница.

Безкрайно малък

Последователност а нНаречен безкрайно малък, Ако . Например, поредица от числа е безкрайно малка.

Функцията се извиква безкрайно малък в близост до точка х 0 ако .

Функцията се извиква безкрайно малък в безкрайност, Ако или .

Също така безкрайно малка е функция, която е разликата между функция и нейната граница, тоест ако , Че f(х) − а = α( х) , .

Безкрайно голямо количество

Във всички формули по-долу се предполага, че безкрайността вдясно от равенството има определен знак (или „плюс“, или „минус“). Това е например функцията хгрях х, неограничен от двете страни, не е безкрайно голям при .

Последователност а нНаречен безкрайно голям, Ако .

Функцията се извиква безкрайно големи в близост до точка х 0 ако .

Функцията се извиква безкрайно голям в безкрайност, Ако или .

Свойства на безкрайно малки и безкрайно големи

Сравнение на безкрайно малки величини

Как да сравняваме безкрайно малки количества?
Съотношението на безкрайно малки количества формира така наречената несигурност.

Дефиниции

Да предположим, че имаме безкрайно малки стойности α( х) и β( х) (или, което не е важно за дефиницията, безкрайно малки последователности).

За изчисляване на такива граници е удобно да се използва правилото на L'Hopital.

Примери за сравнение

Използвайки ОТНОСНО-символизъм, получените резултати могат да бъдат записани в следната форма х 5 = о(х 3). В този случай следните записи са верни: 2х 2 + 6х = О(х) И х = О(2х 2 + 6х).

Еквивалентни стойности

Определение

Ако , тогава се наричат безкрайно малките величини α и β еквивалентен ().
Очевидно е, че еквивалентните количества са частен случай на безкрайно малки количества от същия порядък на малки размери.

Когато са валидни следните отношения на еквивалентност (като следствие от така наречените забележителни граници):

Теорема

Границата на частното (отношението) на две безкрайно малки количества няма да се промени, ако едно от тях (или и двете) се замени с еквивалентно количество.

Тази теорема има практическо значение при намиране на граници (виж примера).

Пример за употреба

Замяна сазн 2х еквивалентна стойност 2 х, получаваме

Исторически очерк

Концепцията за „безкрайно малко“ е била обсъждана още в древността във връзка с концепцията за неделимите атоми, но не е била включена в класическата математика. Той е възроден отново с появата на „метода на неделимите“ през 16 век - разделяне на изследваната фигура на безкрайно малки секции.

През 17 век се извършва алгебраизацията на безкрайно малкото смятане. Те започват да се определят като числени величини, които са по-малки от всяко крайно (различно от нула) количество и въпреки това не са равни на нула. Изкуството на анализа се състоеше в изготвянето на връзка, съдържаща безкрайно малки (диференциали) и след това интегрирането ѝ.

Математиците от старата школа подложиха концепцията на изпитание безкрайно малъкостра критика. Мишел Рол пише, че новото смятане е „ набор от гениални грешки"; Волтер язвително отбеляза, че смятането е изкуството да се изчисляват и точно измерват неща, чието съществуване не може да бъде доказано. Дори Хюйгенс признава, че не разбира значението на диференциалите от по-високи порядки.

Като ирония на съдбата може да се разглежда появата в средата на века на нестандартен анализ, който доказа, че първоначалната гледна точка - действителните безкрайно малки - също е последователна и може да се използва като основа за анализ.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „безкрайно малко количество“ в други речници:

БЕЗКРАЙНО МАЛКО КОЛИЧЕСТВО - променливо количествов някакъв процес, ако в този процес той безкрайно се приближава (клони) към нула... Голяма политехническа енциклопедия

Безкрайно малък- ■ Нещо непознато, но свързано с хомеопатията... Лексикон на общите истини

Функцията се извиква безкрайно малък при
или кога
, Ако
или
.

Например: функция
безкрайно малък при
; функция
безкрайно малък при
.

Бележка 1. Без да се посочи посоката на промяна на аргумента, никоя функция не може да се нарече безкрайно малка. Да, функцията
при
е безкрайно малка и кога
вече не е безкрайно малък (
).

Бележка 2. От дефиницията на границата на функция в точка, за безкрайно малки функции е валидно следното неравенство:
Ще използваме този факт повече от веднъж в бъдеще.

Нека установим някои важни свойства на безкрайно малки функции.

Теорема (за връзката между функция, нейната граница и безкрайно малкото): Ако функцията
може да се представи като сбор от постоянно число Аи безкрайно малка функция
при
, след това числото

Доказателство:

От условията на теоремата следва, че функцията
.

Нека изразим от тук
:
. Тъй като функцията
безкрайно малък, неравенството е в сила за него
, след това за израза (
) неравенството също е в сила

И това означава, че
.

Теорема (обратно): ако
, след това функцията
може да се представи като сбор от число Аи безкрайно малък при
функции
, т.е.
.

Доказателство:

защото
, след това за
неравенството е в сила
(*) Разгледайте функцията
като едно и препишете неравенството (*) във формата

От последното неравенство следва, че стойността (
) е безкрайно малък при
. Нека го обозначим
.

Където
. Теоремата е доказана.

Теорема 1 . Алгебричната сума на краен брой безкрайно малки функции е безкрайно малка функция.

Доказателство:

Нека проведем доказателството за два термина, тъй като за всеки краен брой термини то е дадено по подобен начин.

Позволявам
И
безкрайно малък при
функции и
– сумата от тези функции. Нека докажем това за
, има такова нещо
това е за всички х, удовлетворяваща неравенството
, неравенството е в сила
.

Тъй като функцията
безкрайно малка функция
това е за всички
неравенството е в сила
.

Тъй като функцията
безкрайно малка функция
, и следователно има такъв това е за всички
неравенството е в сила
.

Да вземем равно на по-малкото число И , след това в – околностите на точката Анеравенствата ще бъдат изпълнени
,
.

Нека създадем функционален модул
и да оценим значението му.

Това е
, тогава функцията е безкрайно малка, което трябваше да се докаже.

Теорема 2. Произведение на безкрайно малка функция
при
за ограничена функция
е безкрайно малка функция.

Доказателство:

Тъй като функцията
ограничено, тогава има положително число
това е за всички неравенството е в сила
.

Тъй като функцията
безкрайно малък при
, тогава има такъв – околност на точка това е за всички в този квартал неравенството
.

Помислете за функцията
и оценете неговия модул

Така
, и тогава
– безкрайно малък.

Теоремата е доказана.

Пределни теореми.

Теорема 1. Границата на алгебрична сума на краен брой функции е равна на алгебричната сума на границите на тези функции

Доказателство:

За да го докажем, достатъчно е да разгледаме две функции, което няма да наруши общото разсъждение.

Позволявам
,
.

Според теоремата за връзката между функция, нейната граница и безкрайно малка функция
И
могат да бъдат представени във формата
Където
И
– безкрайно малък при
.

Нека намерим сумата от функциите
И

величина
има постоянна стойност
– количеството е безкрайно малко. Така че функцията
представен като сбор от постоянна стойност и безкрайно малка функция.

След това числото
е границата на функцията
, т.е.

Теоремата е доказана.

Теорема 2 . Границата на произведението на краен брой функции е равна на произведението на границите на тези функции

Доказателство:

Без да губим общността на разсъждението, ще проведем доказателството за две функции
И
.

Нека бъде тогава
,

Нека намерим произведението на функциите
И

величина
има константна величина, безкрайно малка функция. Следователно броят
е границата на функцията
, тоест равенството е вярно

Последица:
.

Теорема 3. Границата на частното на две функции е равна на частното на границите на тези функции, ако границата на знаменателя е различна от нула

Доказателство: Нека
,

Тогава
,
.

Нека намерим коефициента и извършете някои идентични трансформации върху него

величина константа, дроб
безкрайно малък. Следователно функцията представено като сбор от постоянно число и безкрайно малка функция.

Тогава
.

Коментирайте. Теореми 1–3 са доказани за случая
. Въпреки това, те могат да бъдат приложими, когато
, тъй като доказателството на теоремите в този случай се извършва по подобен начин.

Например. Намерете ограничения:

Първото и второто са прекрасни граници.

функция не е дефиниран при
. Съществуват обаче неговите стойности в близост до нулевата точка. Следователно можем да разгледаме границата на тази функция при
. Тази граница се нарича първи чудесен лимит .

Изглежда като:
.

Например . Намерете граници: 1.
. Определете
, Ако
, Че
.
; 2.
. Нека преобразуваме този израз, така че границата да бъде намалена до първата забележителна граница.
; 3..

Нека разгледаме променлива от формата
, при което приема стойностите на естествените числа във възходящ ред. Да дадем различни значения: ако

даване следните стойности от набора
, лесно се вижда, че изразът
при
ще
. Освен това е доказано, че
има ограничение. Тази граница е обозначена с буквата :
.

Номер ирационален:
.

Сега разгледайте границата на функцията
при
. Тази граница се нарича второ забележително ограничение

Изглежда като
.

Например.

а)
. Изразяване
заменете го с продукта идентични фактори
, прилагаме теоремата за ограничение на произведението и втората прекрасен лимит; б)
. Да сложим
, Тогава
,
.

Втората забележителна граница се използва в проблем с непрекъснатото комбиниране

При изчисляване на паричния доход от депозити често се използва формулата за сложна лихва, която изглежда така:

Където - първоначална вноска,

- годишна банкова лихва,

- брой на начислените лихви годишно,

- време, в години.

Въпреки това, в теоретични изследваниякогато обосновават инвестиционните решения, те често използват формулата на експоненциалния (експоненциален) закон за растеж

Формулата за експоненциалния закон за растеж се получава в резултат на прилагане на втората забележителна граница към формулата за сложната лихва

Непрекъснатост на функциите.

Помислете за функцията
определени в някакъв момент и някои околности на точката . Нека функцията има стойност в посочената точка
.

Определение 1. Функция
Наречен непрекъснато в точка , ако е дефиниран в околност на точка, включително самата точка и
.

Определението за непрекъснатост може да се формулира по различен начин.

Нека функцията
определени на някаква стойност ,
. Ако аргументът давам увеличение
, тогава функцията ще получи увеличение

Нека функцията в точката непрекъснато (по първата дефиниция за непрекъснатост на функция в точка),

Тоест, ако функцията е непрекъсната в точката , след това безкрайно малко увеличение на аргумента
в тази точка съответства безкрайно малко нарастване на функцията.

Обратното също е вярно: ако безкрайно малко увеличение в аргумента съответства на безкрайно малко увеличение във функцията, тогава функцията е непрекъсната.

Определение 2. Функция
се нарича непрекъснат при
(в точката ), ако е дефиниран в тази точка и някои от околностите му и ако
.

Като вземем предвид първото и второто определение за непрекъснатост на функция в точка, можем да получим следното твърдение:

или
, Но
, Тогава
.

Следователно, за да се намери границата на непрекъсната функция при
достатъчно е да използвате израз на аналитична функция вместо аргумент замени стойността му .

Определение 3. Нарича се функция, която е непрекъсната във всяка точка от дадена област непрекъснато в тази област.

Например:

Пример 1. Докажете, че функцията
е непрекъсната във всички точки от областта на дефиниране.

Нека използваме второто определение за непрекъснатост на функция в точка. За да направите това, вземете произволна стойност на аргумента и му дайте увеличение
. Нека намерим съответното нарастване на функцията

Пример 2. Докажете, че функцията
непрекъснато във всички точки от
.

Нека дадем аргумента нарастване
, тогава функцията ще бъде увеличена

Нека намерим тъй като функцията
, тоест ограничено.

По същия начин може да се докаже, че всички основни елементарни функции са непрекъснати във всички точки от тяхната област на дефиниране, тоест областта на дефиниция на елементарна функция съвпада с нейната област на непрекъснатост.

Определение 4. Ако функцията
непрекъснато във всяка точка от някакъв интервал
, тогава казваме, че функцията е непрекъсната на този интервал.