Az irracionális függvények osztálya nagyon széles, ezért egyszerűen nem létezik univerzális módszer az integrálásra. Ebben a cikkben megpróbáljuk azonosítani az irracionális integránsfüggvények legjellemzőbb típusait, és azokhoz társítani az integrációs módszert.

Vannak esetek, amikor célszerű a megkülönböztető jelre való feliratkozás módszerét alkalmazni. Például ha az alak határozatlan integráljait keresi, hol p– racionális tört.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

Ezt nem nehéz észrevenni. Ezért a különbségi jel alá helyezzük, és az antiderivatívek táblázatát használjuk:

Válasz:

.

13. Tört lineáris helyettesítés

Az olyan típusú integrálokat, ahol a, b, c, d valós számok, a, b,..., d, g természetes számok, behelyettesítéssel egy racionális függvény integráljaivá redukálják, ahol K a legkisebb közös többszöröse a törtek nevezőit

Valójában a helyettesítésből az következik

azaz x és dx t racionális függvényein keresztül fejeződik ki. Sőt, a tört minden foka keresztül van kifejezve racionális funkció a t.

33.4. példa. Keresse meg az integrált

Megoldás: A 2/3 és 1/2 törtek nevezőinek legkisebb közös többszöröse 6.

Ezért x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, ezért

33.5. példa. Adja meg az integrálok keresésének helyettesítését:

Megoldás: I 1 helyettesítésre x=t 2, I 2 helyettesítésre

14. Trigonometrikus helyettesítés

A típusú integrálok olyan függvények integráljaira redukálódnak, amelyek racionálisan függenek a trigonometrikus függvényektől, a következő trigonometrikus helyettesítések használatával: x = sint az első integrálhoz; x=a tgt a második integrálhoz; a harmadik integrálhoz.

33.6. példa. Keresse meg az integrált

Megoldás: Tegyük fel x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Akkor

Itt az integrandus egy racionális függvény az x és az x függvényében A gyök alatti teljes négyzet kiválasztásával és behelyettesítéssel a jelzett típusú integrálok a már vizsgált típusú integrálokra, azaz a típus integráljaira redukálódnak. Ezek az integrálok megfelelő trigonometrikus helyettesítésekkel számíthatók ki.

33.7. példa. Keresse meg az integrált

Megoldás: Mivel x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, akkor x+1=t, x=t-1, dx=dt. Ezért Tegyük fel

Megjegyzés: Integrált típus Célszerű megtalálni az x=1/t helyettesítéssel.

15. Határozott integrál

Legyen egy függvény definiálva egy szegmensen, és legyen rajta antiderivált. A különbséget ún határozott integrál a szegmens mentén funkcionál és jelöli. Így,

A különbség tehát a formába van írva . A számokat hívják az integráció határai .

Például egy függvény egyik antideriváltja. Ezért

16 . Ha c egy állandó szám és az ƒ(x) függvény integrálható -ra, akkor

vagyis a c állandó tényező kivehető a határozott integrál előjeléből.

▼Tegyük össze a függvény integrál összegét ƒ(x)-el. Nekünk van:

Ebből következik, hogy a c ƒ(x) függvény integrálható [a; b] és a (38.1) képlet érvényes.▲

2. Ha az ƒ 1 (x) és ƒ 2 (x) függvények integrálhatók [a;b]-re, akkor integrálhatók [a; b] összegük u

vagyis az összeg integrálja egyenlő az integrálok összegével.

▼
▲

A 2. tulajdonság tetszőleges véges számú tag összegére vonatkozik.

3.

Ez a tulajdonság definíció szerint elfogadható. Ezt a tulajdonságot a Newton-Leibniz képlet is megerősíti.

4. Ha a ƒ(x) függvény integrálható [a; b] és a< с < b, то

vagyis a teljes szegmensre kiterjedő integrál egyenlő a szegmens részein lévő integrálok összegével. Ezt a tulajdonságot egy határozott integrál additivitásának (vagy additív tulajdonságnak) nevezzük.

Az [a;b] szakasz részekre osztásánál a c pontot beszámítjuk az osztási pontok számába (ez az integrálösszeg határának függetlensége miatt tehető meg az [a;b] szakasz felosztásának módszerétől. részekre). Ha c = x m, akkor az integrálösszeg két összegre osztható:

A felírt összegek mindegyike integrál, illetve az [a; b], [a; s] és [s; b]. Az utolsó egyenlőségben n → ∞ (λ → 0) határértékre lépve megkapjuk a (38.3) egyenlőséget.

A 4. tulajdonság az a, b, c pontok tetszőleges helyére érvényes (feltételezzük, hogy az ƒ (x) függvény integrálható a kapott szegmensek közül a nagyobbikra).

Tehát például, ha a< b < с, то

(a 4-es és 3-as tulajdonságot használták).

5. „Tétel az átlagértékekről”. Ha a ƒ(x) függvény folytonos az [a; b], akkor van egy tonka є [a; b] olyan, hogy

▼A Newton-Leibniz képlet szerint

ahol F"(x) = ƒ(x). A Lagrange-tételt (a függvény véges növekményére vonatkozó tételt) alkalmazva az F(b)-F(a) különbségre, megkapjuk

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Az 5. tulajdonságnak („átlagérték tétel”) ƒ (x) ≥ 0 esetén egyszerű geometriai jelentése: a határozott integrál értéke bizonyos c є (a; b) esetén egyenlő egy ƒ (c) magasságú és b-a alappal rendelkező téglalap területével (lásd 170. ábra). Szám

az ƒ(x) függvény átlagos értékének nevezzük az [a; b].

6. Ha a ƒ (x) függvény megtartja előjelét az [a; b], ahol a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Az „átlagérték tétellel” (5. tulajdonság)

ahol c є [a; b]. És mivel ƒ(x) ≥ 0 minden x О [a; b], akkor

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Ezért ƒ(с) (b-а) ≥ 0, azaz. ▲

7. Egyenlőtlenség a folytonos függvények között az [a; b], (a

▼Mivel ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x) ≥ 0, akkor amikor a< b, согласно свойству 6, имеем

Vagy a 2. tulajdonság szerint

Vegyük észre, hogy lehetetlen megkülönböztetni az egyenlőtlenségeket.

8. Az integrál becslése. Ha m és M az y = ƒ (x) függvény legkisebb és legnagyobb értéke az [a; b], (a< b), то

▼Mivel bármely x є [a;b] esetén m≤ƒ(x)≤М, akkor a 7. tulajdonság szerint

Az 5. tulajdonságot a szélső integrálokra alkalmazva azt kapjuk, hogy

▲

Ha ƒ(x)≥0, akkor a 8-as tulajdonságot geometrikusan szemléltetjük: egy görbe vonalú trapéz területe olyan téglalapok területei közé esik, amelyek alapja , és amelyek magassága m és M (lásd 171. ábra).

9. Egy határozott integrál modulusa nem haladja meg az integrandus modulusának integrálját:

▼A 7. tulajdonságot alkalmazva a nyilvánvaló egyenlőtlenségekre -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, megkapjuk

Ebből következik, hogy

▲

10. Határozott integrál deriváltja egy változó felső határára vonatkoztatva egyenlő azzal az integrandusszal, amelyben az integrációs változót ezzel a határértékkel helyettesítjük, azaz.

Az ábra területének kiszámítása a területelmélet egyik legnehezebb problémája. Az iskolai geometria tanfolyamon megtanultuk megtalálni az alapvető geometriai alakzatok területeit, például kör, háromszög, rombusz stb. Sokkal gyakrabban kell azonban foglalkozni bonyolultabb figurák területeinek kiszámításával. Az ilyen feladatok megoldásánál integrálszámítást kell alkalmazni.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a görbe vonalú trapéz területének kiszámításának problémáját, és geometriai értelemben közelítjük meg. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy megtudjuk a közvetlen kapcsolatot a határozott integrál és a görbe vonalú trapéz területe között.

Legyen a függvény y = f(x) folyamatos a szegmensen és nem változtatja meg a rajta lévő jelet (azaz nem negatív vagy nem pozitív). Ábra G, vonalak határolják y = f(x), y = 0, x = aÉs x = b, hívott ívelt trapéz. Jelöljük a területét S(G).

Közelítsük meg a görbe vonalú trapéz területének kiszámításának problémáját a következőképpen. A négyzet alakú alakzatokról szóló részben megtudtuk, hogy az ívelt trapéz négyzet alakú alak. Ha felosztja a szegmenst tovább n pontokkal ellátott részek jelzik , és válasszon pontokat úgy, hogy , akkor az alsó és felső Darboux-összegeknek megfelelő számokat tekintsük benne foglaltaknak Pés átfogó K sokszög alakú formák számára G.

Így még a partíciós pontok számának növekedésével is n, eljutunk az egyenlőtlenséghez, ahol egy tetszőlegesen kis pozitív szám, és sÉs S– alsó és felső Darboux összegek a szegmens adott partíciójára . Egy másik bejegyzésben . Ezért a határozott Darboux-integrál fogalmához fordulva azt kapjuk, hogy .

Az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy a folytonos és nemnegatív függvény határozott integrálja y = f(x) geometriai értelemben a megfelelő ívelt trapéz területét jelenti. Ez az, amit határozott integrál geometriai jelentése.

Vagyis a határozott integrál kiszámításával megtaláljuk az ábra vonalak által határolt területét y = f(x), y = 0, x = aÉs x = b.

Megjegyzés.

Ha a funkció y = f(x) nem pozitív a szegmensen , akkor egy ívelt trapéz területe így található meg .

Példa.

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! .

Megoldás.

Építsünk egy ábrát egy síkon: egyenes y = 0 egybeesik az x tengellyel, egyenes vonalakkal x = -2És x = 3 párhuzamosak az ordináta tengellyel, és a görbe a függvény grafikonjának geometriai transzformációival szerkeszthető meg.

Így meg kell találnunk egy ívelt trapéz területét. A határozott integrál geometriai jelentése azt jelzi számunkra, hogy a kívánt területet egy határozott integrál fejezi ki. Ennélfogva, . Ez a határozott integrál a Newton-Leibniz képlet segítségével számítható ki.

A forma integráljai (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - egész számok). Ezekben az integrálokban az integrandus racionális az integrációs változóhoz és x gyököihez képest. Kiszámításuk x=t s behelyettesítésével történik, ahol s a törtek közös nevezője, ... A változó ilyen cseréjével minden = r 1, = r 2, ... reláció egész szám, azaz az integrál a t változó racionális függvényére redukálva:

A forma integráljai (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - egész számok). Ezek az integrálok behelyettesítéssel:

ahol s a törtek közös nevezője, ..., a t változó racionális függvényére redukálódnak.

Az űrlap integráljai Az I 1 integrál kiszámításához válasszunk ki egy teljes négyzetet a gyökjel alatt:

és a helyettesítést alkalmazzák:

Ennek eredményeként ez az integrál táblázatossá redukálódik:

Az I 2 integrál számlálójában megkülönböztetjük a gyökjel alatti kifejezés differenciálját, és ezt az integrált két integrál összegeként ábrázoljuk:

ahol I 1 a fent kiszámított integrál.

Az I 3 integrál számítását az I 1 integrál kiszámítására redukáljuk helyettesítéssel:

Az űrlap integrálja Az ilyen típusú integrálok kiszámításának speciális eseteit az előző bekezdés tárgyalja. Számításukra többféle módszer létezik. Tekintsünk egyet ezen technikák közül, amely trigonometrikus helyettesítéseken alapul.

Az ax 2 +bx+c négyzethármas trinomiális a teljes négyzet elkülönítésével és a változó megváltoztatásával ábrázolható formában, így elegendő háromféle integrál figyelembevételére szorítkozni:

Integrál helyettesítéssel

u=ksint (vagy u=kcost)

egy racionális függvény integráljára redukálódik a szint és a költség tekintetében.

A forma integráljai (m, n, p є Q, a, b є R). A vizsgált integrálok, amelyeket differenciális binomiális integráloknak neveznek, csak a következő három esetben fejeződnek ki elemi függvényekkel:

1) ha p є Z, akkor a helyettesítést alkalmazzuk:

ahol s az m és n törtek közös nevezője;

2) ha Z, akkor a helyettesítést alkalmazzuk:

ahol s a tört nevezője

3) ha Z, akkor a helyettesítést alkalmazzuk:

ahol s a tört nevezője

Az irracionális egyenletek megoldására nincs univerzális módszer, mivel az osztályuk mennyiségileg különbözik. A cikk az integrációs módszerrel helyettesített egyenletek jellemző típusait emeli ki.

A közvetlen integrációs módszer használatához ∫ k x + b p d x típusú határozatlan integrálokat kell kiszámítani, ahol p racionális tört, k és b valós együtthatók.

1. példa

Határozzuk meg és számítsuk ki az y = 1 3 x - 1 3 függvény antideriváltjait!

Megoldás

Az integrációs szabály szerint a ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C képletet kell alkalmazni, és az antideriválták táblázata jelzi, hogy erre a függvényre van kész megoldás. . Ezt értjük

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Válasz:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Vannak esetek, amikor lehetséges a különbségi jel felvételének módszere. Ezt a ∫ f " (x) · (f (x)) p d x alakú határozatlan integrálok keresésének elve oldja meg, ha p értéke racionális törtnek tekinthető.

2. példa

Határozzuk meg a ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x határozatlan integrált.

Megoldás

Vegyük észre, hogy d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Ekkor a differenciáljelet az antiderivált táblázatok segítségével kell felvenni. Azt kapjuk, hogy

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Válasz:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

A határozatlan integrálok megoldása egy ∫ d x x 2 + p x + q formájú képletet foglal magában, ahol p és q valós együtthatók. Ezután ki kell választania egy teljes négyzetet a gyökér alól. Ezt értjük

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

A határozatlan integrálok táblázatában található képlet alkalmazásával kapjuk:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Ezután kiszámítjuk az integrált:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

3. példa

Határozzuk meg a ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 alakú határozatlan integrált.

Megoldás

A kiszámításhoz ki kell venni a 2-es számot, és a gyök elé kell helyezni:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Válasszon ki egy teljes négyzetet radikális kifejezésben. Ezt értjük

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Ekkor egy 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - alakú határozatlan integrált kapunk. 1 2 + C

Válasz: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Az irracionális függvények integrálása hasonló módon történik. Az y = 1 - x 2 + p x + q alakú függvényekre alkalmazható.

4. példa

Határozzuk meg a ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 határozatlan integrált .

Megoldás

Először a gyök alól kell származtatnia a kifejezés nevezőjének négyzetét.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

A táblázatintegrál alakja ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, akkor azt kapjuk, hogy ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Válasz:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Az y = M x + N x 2 + p x + q alakú antiderivatív irracionális függvények megtalálásának folyamata, ahol a meglévő M, N, p, q valós együtthatók, és hasonlóak a harmadik típusú egyszerű törtek integrálásához . Ennek az átalakulásnak több szakasza van:

a gyök alatti differenciál összegzése, a gyök alatti kifejezés teljes négyzetének elkülönítése táblázatos képletekkel.

5. példa

Határozzuk meg az y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 függvény antideriváltjait!

Megoldás

A feltételből azt kapjuk, hogy d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x és x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, akkor (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Számítsuk ki az integrált: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Válasz:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

A ∫ x m (a + b x n) p d x függvény határozatlan integráljainak keresése helyettesítési módszerrel történik.

A megoldáshoz új változókat kell bevezetni:

1. Ha p egész szám, akkor x = z N, és N az m, n közös nevezője.
2. Ha m + 1 n egész szám, akkor a + b x n = z N, és N a p nevezője.
3. Ha m + 1 n + p egész szám, akkor az a x - n + b = z N változóra van szükség, és N a p szám nevezője.

6. példa

Határozzuk meg a ∫ 1 x 2 x - 9 d x határozott integrált.

Megoldás

Azt kapjuk, hogy ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Ebből következik, hogy m = - 1, n = 1, p = - 1 2, akkor m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 egész szám. Bevezethet egy új változót - 9 + 2 x = z 2. Az x-et z-ben kell kifejezni. Kimenetként ezt kapjuk

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Az adott integrálba be kell cserélni. Nekünk az van

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Válasz:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Az irracionális egyenletek megoldásának egyszerűsítésére alapvető integrációs módszereket alkalmazunk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Megadjuk az irracionális függvények (gyökök) integrálásának alapvető módszereit. Ide tartoznak: lineáris tört irracionalitás integrálása, differenciális binomiális, integrálok a négyzetes trinom négyzetgyökével. A trigonometrikus helyettesítések és az Euler-helyettesítések megadva. Néhány elemi függvényen keresztül kifejezett elliptikus integrált figyelembe veszünk.

Tartalom

Integrálok differenciális binomiálisokból

A differenciális binomiálisokból származó integrálok alakja a következő:
,
ahol m, n, p racionális számok, a, b valós számok.
Az ilyen integrálok három esetben redukálódnak racionális függvények integráljaivá.

1) Ha p egész szám. Behelyettesítés x = t N, ahol N az m és n törtek közös nevezője.
2) Ha - egész szám. Behelyettesítés a x n + b = t M, ahol M a p szám nevezője.
3) Ha - egész szám. Behelyettesítés a + b x - n = t M, ahol M a p szám nevezője.

Más esetekben az ilyen integrálokat nem elemi függvényekkel fejezzük ki.

Néha az ilyen integrálok leegyszerűsíthetők redukciós képletekkel:
;
.

A négyzetes trinom négyzetgyökét tartalmazó integrálok

Az ilyen integrálok alakja:
,
ahol R egy racionális függvény. Mindegyik ilyen integrálhoz többféle megoldás létezik.
1) A transzformációk használata egyszerűbb integrálokhoz vezet.
2) Alkalmazzon trigonometrikus vagy hiperbolikus helyettesítéseket.
3) Alkalmazza az Euler-helyettesítéseket.

Nézzük ezeket a módszereket részletesebben.

1) Az integrandus függvény átalakítása

A képlet alkalmazásával és algebrai transzformációk végrehajtásával az integrand függvényt a következő alakra redukáljuk:
,
ahol φ(x), ω(x) racionális függvények.

I. típusú

Az űrlap integrálja:
,
ahol P n (x) egy n fokú polinom.

Az ilyen integrálokat a határozatlan együtthatók módszerével találjuk meg, az azonosságot használva:

.
Ezt az egyenletet differenciálva és a bal és jobb oldalt egyenlítve megkapjuk az A i együtthatót.

II

Az űrlap integrálja:
,
ahol P m (x) egy m fokú polinom.

Helyettesítés t = (x - α) -1 ez az integrál az előző típusra redukálódik. Ha m ≥ n, akkor a törtnek egész résznek kell lennie.

III típusú

Itt végezzük el a helyettesítést:
.
Ezután az integrál a következő alakot veszi fel:
.
Ezután az α, β állandókat úgy kell megválasztani, hogy a t együtthatói a nevezőben nullák legyenek:
B = 0, B 1 = 0.
Ekkor az integrál kétféle integrál összegére bomlik:
,
,
amelyeket helyettesítések integrálnak:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Trigonometrikus és hiperbolikus helyettesítések

A forma integráljaira a > 0 ,
három fő helyettesítésünk van:
;
;
;

Integráloknál a > 0 ,
a következő helyettesítésekkel rendelkezünk:
;
;
;

És végül az integrálok esetében a > 0 ,
a helyettesítések a következők:
;
;
;

3) Euler-helyettesítések

Ezenkívül az integrálok redukálhatók a három Euler-helyettesítés egyikének racionális függvényeinek integráljaira:
, ha a > 0;
, ha c > 0;
, ahol x 1 az a x 2 + b x + c = 0 egyenlet gyöke. Ha ennek az egyenletnek valódi gyökerei vannak.

Elliptikus integrálok

Végezetül vegyük figyelembe az űrlap integráljait:
,
ahol R egy racionális függvény, . Az ilyen integrálokat elliptikusnak nevezzük. Általában nem elemi függvényekkel fejeződnek ki. Vannak azonban olyan esetek, amikor az A, B, C, D, E együtthatók között összefüggések vannak, amelyekben az ilyen integrálokat elemi függvényekkel fejezzük ki.

Az alábbiakban a reflexív polinomokra vonatkozó példa látható. Az ilyen integrálok kiszámítása helyettesítések segítségével történik:
.

Példa

Számítsa ki az integrált:
.

Csináljunk egy cserét.

.
Itt x > 0 (u> 0 ) vegye a felső „+” jelet. x-nél< 0 (u< 0 ) - Alsó '- '.

.

Referenciák:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikában, „Lan”, 2003.

Lásd még:

Terv:

1. Egyszerű racionális törtek integrálása.
2. Néhány irracionális függvény integrálása.
3. Univerzális trigonometrikus helyettesítés.

1. Egyszerű racionális törtek integrálása

Emlékezzünk vissza, hogy az űrlap függvénye P(x)=a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…+ a n-1 x n + a n, Ahol , a o, a 1 ...a p –állandó együtthatóknak nevezzük polinom vagy racionális funkció . Szám P hívott polinom foka .

Tört racionális függvény függvénynek nevezzük, amely egyenlő két polinom arányával, azaz. .

Tekintsük a tört racionális függvények néhány egyszerű integrálját:

1.1. Az űrlap integráljainak megtalálása (A - konst) néhány összetett függvény integrálját fogjuk használni: = .

Példa 20.1. Keresse meg az integrált.

Megoldás. Használjuk a fenti = képletet. Azt kapjuk, hogy = .

1.2. Az űrlap integráljainak megtalálása (A - konst) a nevezőben egy teljes négyzet kiválasztásának módszerét fogjuk használni. Az átalakítások eredményeként az eredeti integrál a két táblázatos integrál egyikére csökken: vagy .

Tekintsük az ilyen integrálok kiszámítását egy konkrét példa segítségével.

Példa 20.2. Keresse meg az integrált.

Megoldás. Próbáljuk meg elkülöníteni a nevezőben a teljes négyzetet, azaz. képlethez jutni (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2.

Erre a 4 xábrázolja a 2∙2∙ szorzat duplájaként x. Ezért a kifejezéshez x 2 + 4x hogy teljes négyzetet kapjunk, hozzá kell adni a kettes szám négyzetét, azaz. 4: x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 . x + 2) 2 kivonás 4. A következő transzformációs láncot kapjuk:

x + 2 = És, Akkor . Cseréljük ÉsÉs dx a kapott integrálba: = = . Használjuk a táblázat integrált: , Ahol A= 3. Azt kapjuk, hogy = . Cseréljük ki helyette És kifejezés x+ 2:

Válasz: = .

1.3. Az űrlap integráljainak megtalálása (M, N - állandó) a következőket fogjuk használni algoritmus :

1. Jelöljön ki egy teljes négyzetet a nevezőben.

2. A zárójelben lévő kifejezést új változóként jelöljük t. meg fogjuk találni x, dxés rakd össze őket azzal t az eredeti integrálba (egy olyan integrált kapunk, amely csak a változót tartalmazza t).

3. A kapott integrált felosztjuk két integrál összegére, amelyek mindegyikét külön-külön számítjuk ki: az egyik integrált helyettesítési módszerrel oldjuk meg, a másodikat redukáljuk az egyik képletre. vagy .

20.3. példa. Keresse meg az integrált.

Megoldás. 1. Próbáljuk meg elkülöníteni a nevezőben a teljes négyzetet . Erre a 6 xábrázolja a 2∙3∙ szorzat duplájaként x. Aztán a kifejezésre x 2 - 6x hozzá kell adni a három négyzetét, azaz. 9. szám: x 2 – 6x + 9 = (X - 3) 2 . De ahhoz, hogy a nevezőben lévő kifejezés ne változzon, szükséges a ( X- 3) 2 kivonjuk a 9-et. Transzformációs láncot kapunk:

2. Vezessük be a következő helyettesítést: legyen x-3=t(Eszközök , X=t+ 3), akkor . Cseréljük t, x, dx az integrálba:

3. Képzeljük el a kapott integrált két integrál összegeként:

Keressük őket külön-külön.

3.1 Az első integrált helyettesítési módszerrel számítjuk ki. Jelöljük a tört nevezőjét, akkor . Innen. Cseréljük ÉsÉs dt integrálba, és hozzuk a következő alakba: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+C. Már csak vissza kell térni a változóhoz x. Azóta ln|t 2+16|+C = ln|x 2 - 6x+25|+C.

3.2 A második integrál kiszámítása a következő képlettel történik: (Ahol a= 4). Ekkor = = .

3.3 Az eredeti integrál egyenlő a 3.1. és 3.2. bekezdésben található integrálok összegével: = ln|x 2 - 6x+25|+ .

Válasz: =ln|x 2 - 6x+25|+ .

Az egyéb racionális függvények integrálásának módszereit a matematikai elemzés teljes szakasza tárgyalja (lásd például Pismenny D.T. Lecture notes in high mathematics, 1. rész - M.: Airis-press, 2006.).

1. Néhány irracionális függvény integrálása.

Nézzük meg a következő típusú irracionális függvények határozatlan integrálját: és ( a,b,c – konst). Megtalálásukhoz azt a módszert fogjuk használni, hogy egy teljes négyzetet izolálunk egy irracionális kifejezésben. Ekkor a vizsgált integrálok a következő formákra redukálhatók: ,

Nézzük meg néhány irracionális függvény integráljának megtalálását konkrét példák segítségével.

Példa 20.4. Keresse meg az integrált.

Megoldás. Próbáljuk meg elkülöníteni a nevezőben a teljes négyzetet . Erre a 2 xábrázolja a 2∙1∙ szorzat duplájaként x. Aztán a kifejezésre x 2 +2x hozzá kell adni az egység négyzetét ( x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2) és kivonjuk az 1-et. Transzformációs láncot kapunk:

Számítsuk ki a kapott integrált helyettesítési módszerrel. Tegyük fel x + 1 = És, Akkor . Cseréljük és dx , Ahol A= 4. Megértjük . Cseréljük ki helyette És kifejezés x+ 1:

Válasz: = .

20.5. példa. Keresse meg az integrált.

Megoldás. Próbáljunk meg egy teljes négyzetet elkülöníteni a gyökérjel alatt . Erre a 8 xábrázolja a 2∙4∙ szorzat duplájaként x. Aztán a kifejezésre x 2 -8x hozzá kell adni a négyes négyzetet ( x 2 - 8x + 16 = (X - 4) 2) és vonjuk ki. Az átalakulások láncát kapjuk:

Számítsuk ki a kapott integrált helyettesítési módszerrel. Tegyük fel X - 4 = És, Akkor . Cseréljük és dx a kapott integrálba: = . Használjuk a táblázat integrált: , Ahol A= 3. Megértjük . Cseréljük ki helyette És kifejezés X- 4:

Válasz: = .

1. Univerzális trigonometrikus helyettesítés.

Ha meg akarjuk találni egy olyan függvény határozatlan integrálját, amely tartalmazza sinxÉs cosx, amelyeket csak az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás műveletei kapcsolnak össze, akkor használhatja univerzális trigonometrikus helyettesítés .

Ennek a helyettesítésnek az a lényege sinxÉs cosx a félszög érintőjével a következőképpen fejezhető ki: , . Akkor, ha bevezetjük a helyettesítést, akkor sinxÉs cosx keresztül lesz kifejezve t a következő módon: , . Marad a kifejezés x keresztül tés megtalálni dx.

Ha akkor. meg fogjuk találni dx: = .

Tehát az univerzális helyettesítés alkalmazásához elegendő kijelölni sinxÉs cosx keresztül t(a képletek keretben vannak kiemelve), és dxírd mint . Ennek eredményeként az integráljel alatt egy racionális függvényt kell kapnia, amelynek integrálását az 1. bekezdésben tárgyaltuk. Általában az univerzális helyettesítés módszere nagyon körülményes, de mindig az eredményre vezet.

Nézzünk egy példát az univerzális trigonometrikus helyettesítés használatára.

Példa 20.6. Keresse meg az integrált.

Megoldás. Alkalmazzunk egy univerzális helyettesítést, akkor , , dx=. Ezért = = = = = ., akkor veszik ").

Sok integrál van, az úgynevezett " el nem vett ". Az ilyen integrálok nem a számunkra ismert elemi függvényeken keresztül fejeződnek ki. Például lehetetlen az integrált venni, mivel nincs olyan elemi függvény, amelynek deriváltja egyenlő lenne -vel. A „nem vett" integrálok egy része azonban így nevezik az integrált Poisson-integrálnak, és széles körben használják a valószínűségszámításban.

Vannak más fontos „nem integrálható” integrálok is: - integrál logaritmus (a számelméletben használatos) és - Fresnel integrál (a fizikában használatos). Részletes értéktáblázatokat állítottak össze számukra az érvelés különböző értékeihez. x.

Ellenőrző kérdések:

Hasonló cikkek