10. sz. laboratóriumi munka

A munka célja az elmozdulások kölcsönösségére vonatkozó tétel érvényességének kísérleti igazolása, és ennek alapján a gerenda rugalmas vonalának megalkotása.

Alapinformációk

A munka reciprocitási tétele kimondja, hogy az első erő által az alkalmazási pont mozgatásakor a második erő hatására végzett munka megegyezik a második erő munkájával, amikor az első erő hatására elmozdítja az alkalmazási pontot. , azaz

F 1 y 12 = F 2 y 21 = W.(10,1)

Ha az erők egyenlőek, akkor a tétel az elmozdulások kölcsönösségének tételévé változik: az első szakasz elmozdulása a második szakaszban alkalmazott erő hatására megegyezik a második szakasz elmozdulásával az elmozdulások kölcsönösségére. ugyanaz az erő, de az első szakaszban alkalmazták.

y 12 = y 21. (10.2)

Végrehajtási sorrend és eredmények feldolgozása

A kísérleteket egy SM-4 asztali installáción végezzük, amely a 9. számú laboratóriumi munkában leírt kéttámaszú gerenda.

Az elmozdulások kölcsönösségére vonatkozó tétel ellenőrzése (10.1. ábra) a következőképpen történik.

Rizs. 10.1. Az elmozdulások reciprocitásáról szóló tétel igazolása

A gerenda két tetszőleges szakaszában számlapjelzők és súlytartók vannak felszerelve (1. és 2. szakasz, 10.1. ábra, a). A kezdeti leolvasás a 2. szakasz jelzőjén történik, a gerendát az 1. szakaszban F terheléssel terheljük, és a 2. szakaszban beszerelt jelzőt mérjük (lásd 10.1. ábra, b). Ez és a kezdeti értékek közötti különbség megegyezik a 2. szakasz 21-es lehajlási értékével. Ezután a gerenda tehermentes.

Az F és y 21 adatait a tesztnapló rögzíti. Ezután a kezdeti leolvasást az 1. szakaszba szerelt jelzőn mérjük, a gerendát a 2. szakaszban ugyanazzal az F terheléssel terheljük, és az 1. jelző leolvasási különbségéből meghatározzuk a 12-es kihajlás értékét (lásd 10.1. ábra). , c).

A gerenda tehermentes, és az y 12-re vonatkozó adatok bekerülnek a tesztnaplóba. A kapott adatokat a (10.2) egyenlőséggel összehasonlítva igazoljuk az elmozdulások kölcsönösségére vonatkozó tételt. Ha a (10.2) egyenlőség nem teljesül, határozza meg a hibaszázalékot

és vonjon le következtetéseket.

Az elmozdulások kölcsönösségére vonatkozó tételt felhasználva lehetőség van egy adott tervezési séma terhelési szakaszában tartósan rögzített mutató segítségével (10.2. ábra) kísérleti úton meghatározni egy gerenda elmozdulását bármely szakaszon, és rugalmas vonalat építeni. a gerenda.

Rizs. 10.2. Gerenda rugalmas vonalának megalkotása

A lineáris elmozdulásjelzőt a gerenda azon szakaszába kell felszerelni, amelyben a tervezési séma szerint a megadott terhelést alkalmazzák. Az egyik súlyfelfüggesztés a konzolra van helyezve, a második - a fesztávon belül.

Annak a szakasznak az elmozdulásait, amelybe a jelző be van szerelve, akkor határozzuk meg, ha egy adott F terhelést egymás után alkalmazunk az 1 ... 10 tervezési pontokra (lásd 10.2. ábra). Ez a művelet magában foglalja a súlyfelfüggesztés felszerelését a számított pontra, a jelző kezdeti leolvasását, a súlyfelfüggesztésre adott F terhelést, a mutató leolvasását és a leolvasott értékek növekményének meghatározását a meghatározott elmozdulással. A konzolon található részek terhelése érdekében egy második súlyfelfüggesztést használnak.

A mozgások kölcsönösségére vonatkozó tétel szerint ezek a mozgások megegyeznek a tervezési pontok mozgásával, amikor F terhelést alkalmazunk a jelzőberendezés beépítési szakaszában.

A kapott elmozdulási értékeket rögzítjük a tesztnaplóban.

A kísérleti és az elméleti elmozdulások összehasonlításához az utóbbiakat számítjuk ki adott adottságra

Legyen erő hat a rendszerre az első állapotban, és a második állapotban - (6. ábra). Jelöljük szimbólummal az egységnyi erők (vagy egységnyomatékok) okozta elmozdulásokat. Ekkor a vizsgált rendszer elmozdulása egységnyi erő irányában az első állapotban (vagyis az erő által okozott) , a második állapotban pedig az erő irányában lévő elmozdulása.

A munkareciprocitás tétele alapján:

De ezért, vagy benne általános eset bármely egységerõ tevékenysége:

Az így kapott egyenlőséget (1.16) az elmozdulások reciprocitásáról szóló tételnek (vagy Maxwell-tételnek) nevezzük: egy rugalmas rendszer két egységállapota esetén a második egységnyi erő által okozott első egységnyi erő irányába történő elmozdulás egyenlő a az első erő által okozott második erő irányába történő elmozdulás.

Az elmozdulások számítása Mohr-módszerrel

Az alábbiakban vázolt módszer az univerzális módszer tetszőleges terhelésből bármely rúdrendszerben fellépő (lineáris és szöges) elmozdulások meghatározása.

Tekintsük a rendszer két állapotát. Legyen az elsőben (terhelési állapot) tetszőleges terhelés a gerendára, a másodikban (egységes állapot) pedig koncentrált erő (7. ábra).

Az első állapot erőiből eredő elmozdulási erő A21 munkája:

Az (1.14) és (1.15) felhasználásával kifejezzük az A21-et (és ezért és) belső erőtényezőkkel:

A meghatározás során kapott „+” jel azt jelenti, hogy a kívánt elmozdulás iránya egybeesik az egységnyi erő irányával. Ha lineáris elmozdulást definiálunk, akkor az általánosított egységerő a kérdéses pontban alkalmazott dimenzió nélküli koncentrált egységerő; és ha a metszet elfordulási szögét meghatározzuk, akkor az általánosított egységerő egy dimenzió nélküli koncentrált egységnyomaték.

Néha (1.17) így írják:

ahol az erők egy csoportjának hatása által okozott erő irányába történő mozgás. Az (1.18) képlet nevezőjében szereplő szorzatokat hajlítási, húzási (kompressziós) és nyírómerevségnek nevezzük; hossz mentén állandó keresztmetszeti méretekkel és azonos anyaggal ezek a mennyiségek kivehetők az integráljelből. Az (1.17) és (1.18) kifejezéseket Mohr-integráloknak (vagy formuláknak) nevezzük.

A legtöbb általános forma Mohr integrál van abban az esetben, amikor in keresztmetszetek A rendszer magjában mind a hat belső erőtényező megjelenik:

Az elmozdulás Mohr-módszerrel történő kiszámításának algoritmusa a következő:

• 1. Határozza meg a kifejezéseket belső erőfeszítéseket adott terhelésből egy tetszőleges szakasz Z koordinátájának függvényében.
• 2. Általánosított egységnyi erőt alkalmazunk a kívánt elmozdulás irányában (koncentrált erő - lineáris elmozdulás számításakor; koncentrált nyomaték - forgásszög számításánál).
• 3. Határozza meg a belső erők kifejezéseit általánosított egységnyi erőből egy tetszőleges szakasz Z koordinátájának függvényében.
• 4. Helyettesítse az 1.3. szakaszban található belső erők kifejezést az (1.18) vagy (1.19) pontban, és a szerkezet teljes hosszán belüli szakaszok integrálásával határozza meg a kívánt elmozdulást.

A Mohr-képletek olyan elemekre is alkalmasak, amelyek kis görbületű rudak, az integrandus dz hosszúságú elemét ds ív elemre cserélve.

A síkproblémák esetében a legtöbb esetben az (1.18) képlet egyetlen tagját használjuk. Ha tehát elsősorban hajlításban működő szerkezeteket vesszük figyelembe (gerendák, keretek, részben ívek), akkor az eltolási képletben kellő pontossággal csak a hajlítási nyomatékoktól függő integrál hagyható meg; Az olyan szerkezetek számításánál, amelyek elemei főként központi feszítésben (kompresszióban) működnek, például a rácsos tartókat, a hajlítási és nyírási alakváltozásokat figyelmen kívül hagyhatjuk, vagyis csak a hosszanti erőket tartalmazó kifejezés marad meg az elmozdulási képletben.

Hasonlóképpen, a legtöbb térbeli probléma esetében a Mohr-féle képlet (1.19) jelentősen leegyszerűsödik. Így amikor a rendszer elemei elsősorban hajlításban és csavarásban működnek (például sík-tér rendszerek, törött rudak és térbeli keretek számításakor), csak az első három tag marad az (1.19)-ben; és a térbeli rácsok kiszámításakor - csak a negyedik kifejezés.

A munka reciprocitás tételének állítása (Betti-tétel), 1872-ben E. Betti bebizonyította: az első állapot erőinek lehetséges munkája a megfelelő elmozdulásokon, amelyeket a második állapot erői okoznak, megegyezik a második állapot erőinek lehetséges munkájával a megfelelő elmozdulásokon, amelyeket a második állapot okoz. az első állam erői.

24. Tétel az elmozdulások reciprocitásáról (Maxwell)

Hadd legyen. Tétel az elmozdulások reciprocitásáról figyelembe véve az egységnyi erőből való elmozdulás elfogadott jelölését, alakja: .Az elmozdulások kölcsönösségére vonatkozó tételt Maxwell bizonyította. Az elmozdulások reciprocitásáról szóló tétel megfogalmazása: az első egységnyi erő alkalmazási pontjának a második egységnyi erő hatására bekövetkező elmozdulása megegyezik az első egységnyi erő hatása által okozott második egységnyi erő alkalmazási pontjának elmozdulásával

25. Rayleigh-tétel a reakciók reciprocitásáról.

26. Gvozdev tétele az elmozdulások és reakciók kölcsönösségéről.

27. Terhelésből adódó elmozdulások meghatározása. Mohr képlete.

Pestiles formula

28. Hőmérsékleti hatások és elmozdulások miatti elmozdulások meghatározása.

Hőmérséklet hatás.

Piszkozat

29. Verescsagin szabálya. Trapéz szorzóképlet, Simpson-képlet.

Trapéz szorzóképlet.

Képlet ívelt trapézok szorzására

31. Statikusan határozatlan rendszerek tulajdonságai.

Az erők és reakciók meghatározásához a statika egyenletei nem elegendőek az alakváltozás és az elmozdulás folytonossági egyenleteinek alkalmazása.

Az erők és reakciók az egyes elemek merevségének arányától függenek.

A hőmérséklet változása és az alátámasztás lerakódása belső erők megjelenését idézi elő.

Terhelés hiányában önfeszültség állapota lehetséges.

32. A statikus határozatlanság mértékének meghatározása, az erők módszerének alaprendszerének megválasztásának elvei.

Statikailag határozatlan rendszerek esetén W<0

Az extra csatlakozások számát a következő képlet határozza meg:

L = -W+ 3K,

ahol W azoknak a független geometriai paramétereknek a száma, amelyek meghatározzák a szerkezet helyzetét a síkon anélkül, hogy figyelembe vennék a szerkezet deformációját (a szabadságfokok száma), K a zárt kontúrok száma (kontúrok, amelyekben van nincs csuklópánt).

W= 3D – 2SH – Co

Csebisev képlete a szabadságfok meghatározására, ahol D a tárcsák száma, Ш a csuklópántok száma, Co a tartórudak száma.

Az OSMS-nek geometriailag megváltoztathatatlannak kell lennie.

Statikusan definiálhatónak kell lennie (a szükségtelen kapcsolatok eltávolítása).

Ennek a rendszernek könnyen kiszámíthatónak kell lennie.

Ha az eredeti rendszer szimmetrikus volt, akkor az OSMS-t, ha lehetséges, szimmetrikusnak választjuk.

33. Az erőmódszer kanonikus egyenletei, fizikai jelentésük.

Kanonikus egyenletek:

Fizikai jelentése:

Az egyes távoli linkek irányába történő teljes mozgásnak = 0-nak kell lennie

34. Kanonikus egyenletek együtthatóinak számítása, fizikai jelentésük, a talált együtthatók helyességének ellenőrzése.

Egyetlen erő által okozott távoli kapcsolat irányába való mozgás.

Külső terhelés okozta mozgás a távoli kapcsolat irányába.

A talált együtthatók helyességének ellenőrzéséhez be kell cserélni őket a kanonikus egyenletrendszerbe, és meg kell találni az X1 és X2 értékeket.

A munkareciprocitás tétel bizonyítása

Jelöljünk a gerendán két 1. és 2. pontot (15.4. ábra, a).

Alkalmazzuk statikus erőt az 1. pontban. Ezen a ponton elhajlást okoz, a 2. pontban pedig – .

A mozgások jelzésére két indexet használunk. Az első index a mozgás helyét, a második pedig a mozgás okát jelenti. Vagyis majdnem mint egy levélborítékon, ahol feltüntetjük: honnan és kitől.

Tehát például a gerenda elhajlását jelenti a 2. pontban a terheléstől.

Miután az erő növekedése befejeződött. Fejlesszünk statikus erőt (15.4, b) a gerenda deformált állapotára a 2. pontban. A gerenda további elhajlást kap: az 1. pontban és a 2. pontban.

Hozzunk létre egy kifejezést arra a munkára, amelyet ezek az erők a megfelelő elmozdulásaik során végeznek: .

Itt az első és a harmadik tag az erők rugalmas munkáját és . Clapeyron tétele szerint van egy együtthatójuk. A második tag nem rendelkezik ezzel az együtthatóval, mivel az erő nem változtatja meg az értékét, és lehetséges munkát végez egy másik erő által okozott elmozduláson.

Tekintsük egy rugalmas rendszer két egyensúlyi állapotát. Ezen állapotok mindegyikében bizonyos statikus terhelés hat a rendszerre (23. ábra, a). Jelöljük az F 1 és F 2 erők irányú elmozdulásait, ahol az „i” index a mozgás irányát, a „j” index pedig az azt okozó ok.

Rizs. 23

Jelöljük az első állapot terhelésének (F 1 erő) hatását az első állapot mozgásaira A 11-el, az F 2 erőnek az általa okozott mozgásokra A 22-vel:

.

A (2.9) segítségével az A 11 és A 22 munka belső erőtényezőkkel fejezhető ki:

(2.10)

Tekintsük ugyanazon rendszer statikus terhelésének esetét (23. ábra, a) a következő sorrendben. Először egy statikusan növekvő F 1 erőt fejtünk ki a rendszerre (23. ábra, b); statikus növekedési folyamatának befejeztével a rendszer deformációja és a benne ható belső erők az első állapottal megegyezővé válnak (23. ábra, a). Az F 1 erővel végzett munka a következő lesz:

Ekkor statikailag növekvő F 2 erő kezd hatni a rendszerre (23. ábra, b). Ennek eredményeként a rendszer további deformációkat kap, és további belső erők keletkeznek benne, ugyanúgy, mint a második állapotban (23. ábra, a). Az F 2 erő nulláról a végső értékre való növelésének folyamata során az F 1 erő változatlan maradva a további elhajlás mértékével lefelé mozdul el.
és ezért további munkát végez:

Az F 2 erő végzi a munkát:

A teljes A munka a rendszer F 1, F 2 erők általi szekvenciális terhelésével egyenlő:

Másrészt a (2.4) pont szerint a teljes munka a következőképpen határozható meg:

(2.12)

A (2.11) és (2.12) kifejezéseket egymással egyenlővé téve a következőket kapjuk:

(2.13)

A 12 = A 21 (2,14)

A (2.14) egyenlőséget nevezzük munka reciprocitás tételei, vagy Betti tétele: az első állapot erőinek munkája az irányukban a második állapot erői által kiváltott elmozdulásokon megegyezik a második állapot erőinek az első állapot erői által kiváltott irányukban történő elmozdulásaira gyakorolt ​​hatásával.

A közbenső számítások mellőzésével az A 12 munkát az első és második állapotban fellépő hajlítónyomatékok, hosszanti és keresztirányú erők segítségével fejezzük ki:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán minden integrandus tekinthető az első állapot erőiből a rúd szakaszában fellépő belső erő és a dz elemnek a második állapot erői által okozott deformációjának szorzatának.

2.4 Tétel az elmozdulások reciprocitásáról

Legyen az első állapotban erő hat a rendszerre
és a másodikban -
(24. ábra). Jelöljük az egységnyi erők (vagy egységnyomatékok) okozta elmozdulásokat
) szimbólum . Ezután a vizsgált rendszer mozgása egységnyi erő irányában az első állapotban (vagyis erőszak okozta
) -
, és mozgás az erő irányába
a második állapotban -
.

A munka reciprocitás tétele alapján:

, De
, Ezért
, vagy bármely egységerők működésének általános esetben:

(2.16)

Rizs. 24

A kapott (2.16) egyenlőséget ún kölcsönösségi tételekmozgások(vagy Maxwell tétel): egy rugalmas rendszer két egységállapota esetén a második egységnyi erő által kiváltott első egységnyi erő irányában bekövetkező elmozdulás egyenlő az első erő által kiváltott második erő irányú elmozdulásával.

Hasonló cikkek