5. Az alkalmazott statisztika főbb problémái - adatok leírása, becslések és hipotézisek tesztelése
A becslések következetessége, elfogulatlansága és hatékonysága
Hogyan hasonlítsuk össze az értékelési módszereket egymással? Az összehasonlítás az értékelési módszerek olyan minőségi mutatói alapján történik, mint a következetesség, elfogulatlanság, hatékonyság stb.
Tekintsük a θ becslést nθ numerikus paraméter, meghatározva a n= 1, 2, … Becslés θ n hívott gazdag, ha valószínűségében konvergál a becsült θ paraméter értékéhez a minta méretének korlátlan növekedésével. Fogalmazzuk meg részletesebben az elhangzottakat. θ statisztika n a θ paraméter konzisztens becslése akkor és csak akkor, ha bármely ε pozitív számra teljesül a határreláció
3. példa A nagy számok törvényéből az következik, hogy θ n= konzisztens becslés θ = M(X)(Csebisev fenti tétele a diszperzió létezését feltételezte D(x); azonban amint azt A.Ya. Khinchin, elég teljesíteni egy gyengébb feltételt - a létezést matematikai elvárás M(X)).
4. példa Az összes fenti paraméterbecslés normális eloszlás gazdagok.
Általánosságban elmondható, hogy a valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerekben használt összes paraméterbecslés (ritka kivételektől eltekintve) konzisztens.
5. példa. Tehát V.I. tétele szerint. Glivenko, empirikus eloszlásfüggvény Fn(x) a megfigyelési eredmények eloszlásfüggvényének következetes becslése F(x).
Új értékelési módszerek kidolgozásakor először a javasolt módszerek érvényességét kell ellenőrizni.
Az értékelések második fontos tulajdonsága az kitelepítetlen. θ torzítatlan becslése n a θ paraméter becslése, amelynek matematikai elvárása megegyezik a becsült paraméter értékével: M(θ n) = θ.
6. példa. A fenti eredményekből az következik, hogy és a paraméterek elfogulatlan becslései m És σ 2 normális eloszlás. Mivel M() = M( m** ) = m, akkor a variációs sorozat szélső tagjainak minta mediánja és félösszege m** - a matematikai elvárások elfogulatlan becslései is m normális eloszlás. azonban
ezért becslések s 2 és ( σ 2)** nem konzisztens varianciabecslések σ 2 normális eloszlás.
Becslések, amelyekre az arány M(θ n) = θ hibás, torzítottnak nevezzük. Ebben az esetben a θ becslés matematikai elvárása közötti különbség nés a becsült θ paraméter, azaz. M(θ n) – θ, becslési torzításnak nevezzük.
7. példa. Az árfolyamért s A 2. ábrán látható, a fentiekből következően az elmozdulás egyenlő
M(s 2) - σ 2 = - σ 2/n.
Becslési torzítás s 2 általában 0, amikor n → ∞.
Olyan becslést hívunk, amelynél a torzítás 0-hoz közelít, amikor a minta mérete a végtelenhez közelít aszimptotikusan elfogulatlan. A 7. példa azt mutatja, hogy a becslés s 2 aszimptotikusan elfogulatlan.
A valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerekben alkalmazott paraméterbecslések szinte mindegyike elfogulatlan vagy aszimptotikusan torzítatlan. Az elfogulatlan becsléseknél a becslés pontosságának mutatója a diszperzió – minél kisebb a szórás, annál jobb a becslés. Elfogult becsléseknél a pontosság mutatója a becslés négyzetének matematikai elvárása M(θ n– θ) 2 . Amint a matematikai elvárás és diszperzió alapvető tulajdonságaiból következik,
azok. a négyzetes hiba matematikai elvárása a becslés varianciájának és torzításának négyzetének összege.
A valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerekben használt paraméterbecslések túlnyomó többségénél a szórása 1/ nagyságrendű. n, és az elmozdulás nem több, mint 1/ n, Ahol n- minta nagysága. Az ilyen becslésekhez általában n a (3) jobb oldalán lévő második tag elhanyagolható az elsőhöz képest, és a közelítő egyenlőség igaz rájuk
Ahol Val vel– a θ becslések számítási módszerével meghatározott szám nés a becsült θ paraméter valódi értéke.
A becslési módszer harmadik fontos tulajdonsága a becslés varianciájához kapcsolódik: hatékonyság. A hatékony becslő olyan torzítatlan becslő, amely egy adott paraméter összes lehetséges torzítatlan becslése közül a legkisebb szórással rendelkezik.
Bebizonyosodott, hogy és hatékony paraméterbecslések m És σ 2 normális eloszlás. Ugyanakkor a korlátozó összefüggés a minta mediánjára érvényes
Vagyis a minta medián hatékonysága, i.e. effektív paraméterbecslés varianciahányada m ennek a paraméternek a torzítatlan becslésének varianciájához nagy n esetén közel 0,637. Éppen a minta mediánjának viszonylag alacsony hatékonysága miatt szokták a minta számtani átlagát használni a normális eloszlás matematikai elvárásának becslésére.
A hatékonyság fogalmát az elfogulatlan becslésekhez vezetjük be, amelyekre M(θ n) = θ a θ paraméter összes lehetséges értékére. Ha nem követeljük meg a torzítatlanságot, akkor megadhatunk olyan becsléseket, amelyek bizonyos θ esetén kisebb szórással és átlagos négyzetes hibával rendelkeznek, mint az effektívek.
8. példa. Tekintsük a matematikai elvárás „becslését”. m 1 ≡ 0. Akkor D(m 1 ) = 0, azaz mindig kisebb a szórás D() hatékony értékelés. Az átlagos négyzetes hiba várható d n(m 1 ) = m 2 , azaz amikor megvan d n(m 1 ) < d n(). Nyilvánvaló azonban, hogy a statisztikák m Nincs értelme 1 ≡ 0-t a matematikai elvárás becslésének tekinteni m.
9. példa. Több érdekes példa J. Hodges amerikai matematikus ismertette:
Ez egyértelmű Tn– a matematikai elvárás következetes, aszimptotikusan torzítatlan becslése m, míg, ahogyan könnyen kiszámítható,
Az utolsó képlet azt mutatja, hogy mikor m≠ 0 értékelés Tn nem rosszabb (ha az átlagos négyzetes hibával hasonlítjuk össze d n), és mikor m= 0 – négyszer jobb.
A θ becsléseinek túlnyomó többsége n, valószínűségi-statisztikai módszerekben használt, aszimptotikusan normálisak, azaz. rájuk a következő határviszonyok érvényesek:
bárkinek x, Ahol F(x)– a standard normális eloszlás függvénye 0 matematikai elvárással és 1 szórással. Ez azt jelenti, hogy nagy mintaméreteknél (gyakorlatilag több tíz vagy száz megfigyelésnél) a becslések eloszlását teljes mértékben leírják a matematikai elvárásaik és szórásaik , és a becslések minősége az átlagos négyzetes hibák értékei alapján történik d n(θ n).
| Előző |
Egy valószínűségi változó eloszlását (a sokaság megoszlását) általában számos numerikus jellemző jellemzi:
- normál eloszlás esetén N(a, σ) az a matematikai elvárás és a σ szórás;
- egyenletes eloszlás esetén R(a,b) annak az intervallumnak a határa, amelyben ennek a valószínűségi változónak az értékeit megfigyeljük.
Ha egy pontszámot egyetlen szám határoz meg, akkor azt hívják pontbecslés. A pontbecslés a minta függvényében egy valószínűségi változó, és ismételt kísérletekkel mintánként változik.
A pontbecsléseknek meg kell felelniük ahhoz, hogy bármilyen értelemben „jóindulatúak” lehessenek. Ez kitelepítetlen, hatékonyságÉs jólét.
Intervallumbecslések két szám határozza meg - a becsült paramétert lefedő intervallum végei. Ellentétben a pontbecslésekkel, amelyek nem adnak képet arról, hogy a becsült paraméter milyen messze lehet tőlük, az intervallumbecslések lehetővé teszik a becslések pontosságának és megbízhatóságának megállapítását.
A matematikai elvárás, a variancia és az átlag pontbecsléseiként négyzetes eltérés mintajellemzőket használunk, rendre: minta átlagát, minta szórását és minta szórását.
Az elfogulatlan becslés tulajdonsága.
Az értékelés kívánatos követelménye a szisztematikus hiba hiánya, pl. a θ paraméter becslése helyett többszöri használatakor a közelítési hiba átlagos értéke nulla - ez az elfogulatlan becslés tulajdonsága.
Meghatározás. Egy becslést torzítatlannak nevezünk, ha a matematikai elvárása megegyezik a becsült paraméter valódi értékével:
A minta aritmetikai átlaga a matematikai elvárás és a minta varianciájának torzítatlan becslése 
- az általános variancia torzított becslése D. Az általános variancia torzítatlan becslése a becslés
Az értékelési konzisztencia tulajdonsága.
A becslés második követelménye - konzisztenciája - azt jelenti, hogy a becslés a minta méretének növekedésével javul.
Meghatározás. Fokozat 
konzisztensnek nevezzük, ha valószínűségében konvergál a becsült θ paraméterhez n→∞.
A valószínűségi konvergencia azt jelenti, hogy nagy mintaméret esetén kicsi a valószínűsége annak, hogy a becslés nagy eltéréseket mutat a valódi értéktől.
Hatékony becslési tulajdonság.
A harmadik követelmény lehetővé teszi a legjobb becslés kiválasztását ugyanazon paraméter több becslése közül.
Meghatározás. Egy torzítatlan becslő akkor hatékony, ha a legkisebb szórással rendelkezik az összes torzítatlan becslés között.
Ez azt jelenti, hogy az effektív becslés minimális szórással rendelkezik a paraméter valódi értékéhez képest. Vegyük észre, hogy effektív becslés nem mindig létezik, de két becslés közül általában ki lehet választani a hatékonyabbat, pl. kisebb szórással. Például egy N(a,σ) normál sokaság egy ismeretlen a paraméterére mind a minta aritmetikai átlaga, mind a minta mediánja torzítatlan becslésnek tekinthető. De a minta mediánjának szórása körülbelül 1,6-szor nagyobb, mint a számtani átlag varianciája. Ezért hatékonyabb becslés a minta számtani átlaga.
1. számú példa. Határozzuk meg egy eszközzel (szisztematikus hibák nélkül) valamely valószínűségi változó mérési varianciájának elfogulatlan becslését, melynek mérési eredménye (mm-ben): 13,15,17.
Megoldás. Táblázat a mutatók kiszámításához.
| x | |x - x av | | (x - x átlag) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Egyszerű számtani átlag(a matematikai elvárások elfogulatlan becslése)
Diszperzió- átlagértéke körül jellemzi a szórás mértékét (a szóródás mértéke, azaz az átlagtól való eltérés - torzított becslés).
Elfogulatlan varianciabecslő- konzisztens varianciabecslés (korrigált variancia).
2. példa. Határozzuk meg egy adott valószínűségi változó egy eszközzel történő mérésének matematikai elvárásainak elfogulatlan becslését (szisztematikus hibák nélkül), melynek mérési eredménye (mm-ben): 4,5,8,9,11.
Megoldás. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4
3. példa. Határozza meg a korrigált S2 variancia értéket n=10 mintaméret esetén, ha a minta szórása D = 180.
Megoldás. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
) matematikai statisztika problémái.
Tegyük fel, hogy van egy paraméteres valószínűségi eloszláscsalád (az egyszerűség kedvéért a valószínűségi változók eloszlását és egy paraméter esetét vesszük figyelembe). Itt van egy numerikus paraméter, amelynek értéke ismeretlen. Meg kell becsülni az ezen eloszlás által generált értékek rendelkezésre álló mintája alapján.
Az értékelésnek két fő típusa van: pontbecslésekÉs konfidencia intervallumok.
Pontbecslés
A pontbecslés a statisztikai becslés egyik fajtája, amelyben egy ismeretlen paraméter értékét külön számmal közelítik. Azaz meg kell adni a minta funkcióját (statisztika)
,amelynek értékét az ismeretlen valódi érték közelítésének tekintjük.
NAK NEK általános módszerek A paraméterek pontbecsléseinek megalkotása a következőket tartalmazza: maximum likelihood módszer, momentumok módszere, kvantilis módszer.
Az alábbiakban felsorolunk néhány olyan tulajdonságot, amelyekkel a pontbecslések rendelkezhetnek, vagy nem.
Jólét
A pontbecsléssel szemben támasztott egyik legnyilvánvalóbb követelmény az, hogy elég nagy mintaméret esetén a paraméter valós értékének ésszerűen jó közelítése várható. Ez azt jelenti, hogy a becslésnek konvergálnia kell a valós értékhez. Ezt az értékelési tulajdonságot ún jólét. Mert a arról beszélünk O Véletlen változók ah, amihez vannak különböző típusok konvergencia, akkor ez a tulajdonság többféleképpen is pontosan megfogalmazható:
Ha csak egy kifejezést használunk jólét, akkor általában gyenge konzisztenciát értünk, i.e. a valószínűség konvergenciája.
A konzisztencia feltétele gyakorlatilag minden gyakorlatban használt becslésnél kötelező. A hibabecsléseket rendkívül ritkán alkalmazzák.
Elfogulatlanság és aszimptotikus elfogulatlanság
A paraméterbecslést ún elfogulatlan, ha a matematikai elvárása megegyezik a becsült paraméter valódi értékével:
.Gyengébb állapot az aszimptotikus elfogulatlan, ami azt jelenti, hogy a becslés matematikai elvárása a minta méretének növekedésével konvergál a paraméter valódi értékéhez:
.Az elfogulatlanság ajánlott tulajdonság a becslésekhez. Fontosságát azonban nem szabad túlbecsülni. Leggyakrabban léteznek elfogulatlan paraméterbecslések, és csak azokat próbálják figyelembe venni. Előfordulhatnak azonban olyan statisztikai problémák, amelyekben nem léteznek elfogulatlan becslések. A leghíresebb példa a következő: tekintsük a Poisson-eloszlást egy paraméterrel, és tegyük fel a paraméter becslésének problémáját. Bizonyítható, hogy erre a problémára nincs torzítatlan becslés.
A minősítések és a hatékonyság összehasonlítása
Ugyanazon paraméter különböző becsléseinek összehasonlításához a következő módszert alkalmazzuk: válasszon néhányat kockázati funkció, amely a becslés eltérését méri a paraméter valódi értékétől, és a legjobbnak azt tekintjük, amelyre ez a függvény kisebb értéket vesz fel.
Leggyakrabban a becslés valódi értéktől való négyzetes eltérésének matematikai várakozását tekintik kockázati függvénynek.
Az elfogulatlan becslések esetében ez egyszerűen a szórás.
Ennek a kockázati függvénynek van egy alsó korlátja, az úgynevezett Cramer-Rao egyenlőtlenség.
Azokat a (torzítatlan) becsléseket, amelyeknél ez az alsó korlát elérhető (azaz a lehető legkisebb szórással), ún. hatékony. Az effektív becslés megléte azonban meglehetősen erős követelmény a feladathoz, ami nem mindig van így.
Gyengébb állapot az aszimptotikus hatékonyság, ami azt jelenti, hogy az elfogulatlan becslés szórásának aránya a Cramer-Rao alsó korláthoz képest egységnyire hajlamos.
Megjegyzendő, hogy a vizsgált eloszlásra vonatkozó kellően tág feltételezések mellett a maximum likelihood módszer aszimptotikusan hatékony becslést ad a paraméterre, és ha létezik effektív becslés, akkor effektív becslést ad.
Elegendő statisztika
A statisztikákat ún elegendő a paraméter esetében, ha a feltételes mintavételezési eloszlás ezt feltételezte, nem függ az összes paramétertől.
Az elegendő statisztika fogalmának fontosságát a következők határozzák meg jóváhagyás. Ha elegendő statisztika és a paraméter torzítatlan becslése, akkor a feltételes várakozás egyben a paraméter torzítás nélküli becslése is, és szórása kisebb vagy egyenlő, mint az eredeti becslés szórása.
Emlékezzünk vissza, hogy a feltételes elvárás egy valószínűségi változó, amely függvénye. Így az elfogulatlan becslések osztályában elegendő csak azokat figyelembe venni, amelyek elegendő statisztika függvényei (feltéve, hogy egy adott problémára létezik ilyen statisztika).
A (torzítatlan) effektív paraméterbecslés mindig elegendő statisztika.
Elmondhatjuk, hogy az elegendő statisztika tartalmazza a becsült paraméterről a mintában található összes információt.
Válogatott jellemzők. Gazdag,
A kurzus elején olyan fogalmakat vettek figyelembe, mint a klasszikus és a statisztikai valószínűség.
Ha a klasszikus valószínűség olyan elméleti jellemző, amely tapasztalat igénybevétele nélkül határozható meg, akkor a statisztikai valószínűség csak egy kísérlet eredményeiből határozható meg. Nagyobb számú kísérletnél az érték W(A) a valószínűség becsléseként szolgálhat P(A). Elég, ha felidézzük Buffon és Pearson klasszikus kísérleteit. Hasonló analógiákat folytathatunk tovább. Például egy elméleti jellemzőre M(x) egy ilyen hasonlat lenne - átlagos:
= i f i / n ,
szórásért D(x) az empirikus analóg a statisztikai variancia lenne:
S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n .
Empirikus jellemzők, S 2 (x) ,W(A) paraméterbecslések M(x) ,D(x) ,P(A) . Azokban az esetekben, amikor az empirikus jellemzőket nagyszámú kísérlet alapján határozzák meg, ezek elméleti paraméterként történő felhasználása nem vezet jelentős hibákhoz a vizsgálatban, de olyan esetekben, ahol a kísérletek száma korlátozott, a pótlási hiba jelentős lesz. . Ezért három követelményt támasztanak az empirikus jellemzőkkel szemben, amelyek az elméleti paraméterek becslései:
a becsléseknek következetesnek, elfogulatlannak és hatékonynak kell lenniük.
Egy becslést konzisztensnek nevezünk, ha annak valószínűsége, hogy a becsült paramétertől tetszőlegesen kis pozitív számnál kisebb mértékben tér el, a megfigyelések számának korlátlan növekedésével egységre hajlamos. n, azok.
P(| - | < ) = 1
Ahol - az általános populáció néhány paramétere,
/ - ennek a paraméternek az értékelése. A különféle numerikus paraméterekre vonatkozó becslések többsége megfelel ezeknek a követelményeknek. Ez a követelmény azonban önmagában nem elegendő. Szükséges, hogy ők is kiszorítatlanok legyenek.
Egy becslést torzítatlannak nevezünk, ha ennek a becslésnek a matematikai elvárása megegyezik a becsült paraméterrel:
M ( / ) = .
A szisztematikus várakozás következetes és elfogulatlan becslésére példa a számtani átlag:
M() = .
A következetes és elfogult becslésre példa az
diszperzió:
M ( S 2 (x)) = [ (n – 1)/ n ] D(x) .
Ezért az elméleti variancia torzítás nélküli becsléséhez D(x) empirikus variancia szükséges S 2 (x) szorozva n/(n – 1) , azaz
S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n n/(n – 1) = (x i - ) 2 f i /(n – 1) .
A gyakorlatban ez a korrekció a varianciabecslés kiszámításakor történik olyan esetekben, amikor n< 30 .
Több érvényes, elfogulatlan becslés lehet. Például egy normális eloszlás diszperziós középpontjának becsléséhez a számtani átlaggal együtt a mediánt vehetjük . A medián a csoportosítási központ elfogulatlan következetes becslése is. Ugyanarra a paraméterre vonatkozó két konzisztens torzítatlan becslés közül természetes, hogy a kisebb szórással rendelkezőt részesítjük előnyben.
Ilyen azt a becslést, amelynek a legkisebb szórása a becsült paraméterhez képest, hatékonynak nevezzük. Például egy normális eloszlás diszperziós középpontjának két becsléséből M(x) a hatékony értékelés nem , mivel a szórás kisebb, mint a szórás . Összehasonlító hatékonyság ezeknek a becsléseknek a nagy minta esetén megközelítőleg egyenlő: D() / D= 2/ = 0,6366.
Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a népességeloszlás középpontját (nevezzük 0-nak) az határozza meg n megfigyelés esetén ugyanolyan pontossággal, mint 0,6366-nál n megfigyelések a számtani átlag segítségével.
4.4. A mintaátlagok és szórások tulajdonságai.
1. Ha a minta mérete elég nagy, akkor az egységhez közeli valószínűségű nagy számok törvénye alapján kijelenthető, hogy a számtani átlag és variancia S 2 a lehető legkisebb mértékben fog eltérni M(x) És D(x ), azaz
M(x) ,S 2 (x) D(x ), és a szórás D() , a minta méretétől függetlenül n, amíg a minták száma elég nagy.
4. Amikor variancia D(x ), a populáció ismeretlen, akkor nagy értékek esetén n Kis hiba nagyobb valószínűséggel a mintaátlagok szórása megközelítőleg kiszámítható az egyenlőséggel:
D() = S 2 (x)/n,
Ahol S 2 (x) = (x i - ) 2 f i/n - nagy minta szórása.
Meghatározás.A valószínűségi változót ún értékelés ismeretlen paraméter, ha ennek a valószínűségi változónak a mérési sorozat eredményeiből kapott értéke ennek a paraméternek közelítő értékének vehető, pl. ha az egyenlőség igaz.
Példa. Ha egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét ismeretlen paraméternek tekintjük, akkor ennek a paraméternek a becslése az esemény előfordulási gyakorisága független kísérletekben (lásd a valószínűség statisztikai definícióját és Bernoulli tételét).
Példa. Legyen a valószínűségi változók ugyanaz a matematikai elvárás, pl. . Ekkor az ilyen valószínűségi változók általános matematikai várható értékének becslése a számtani átlag ezek a valószínűségi változók. A vizsgált helyzet fontos speciális esete a következő
Példa. Egy bizonyos paraméter becslése a számtani átlag eredmények ennek a paraméternek a független mérése (lásd Csebisev-tétel).
Ha közvetlenül a közelítő egyenlőséget használja beszél valamiről pontbecslés ismeretlen paraméter.
Az is lehetséges intervallum becslés ismeretlen paraméter. Annak érdekében, hogy megmagyarázzuk, miből áll, a következő fogalmakat vezetjük be.
Meghatározás.Egy tetszőleges intervallumhoz ún megbízhatósági intervallum;ez esetben magát a mennyiséget nevezzük marginális mintavételi hiba.
Meghatározás.Meghívjuk annak a valószínűségét, hogy a becsült paraméter ismeretlen értékét lefedi egy konfidenciaintervallum megbízhatósági valószínűség.
Így ha – paraméterbecslés , Azt
– megbízhatósági valószínűség (feltételezzük, hogy a becslés folytonos valószínűségi változó).
Az intervallumbecslés például egy adott maximális mintavételi hiba megbízhatósági valószínűségének kiszámításából áll.
Az intervallumbecslés problémájának megoldása az alkalmazott becslés eloszlási törvényének természetének meghatározásához kapcsolódik .
Nézzük most a becslések néhány tulajdonságát.
Meghatározás.A paraméterbecslést ún elfogulatlan, ha ennek a becslésnek a matematikai elvárása megegyezik a becsült paraméterrel, azaz.
Meghatározás.A paraméterbecslést ún gazdag, ha egy tetszőlegesre teljesül a következő határreláció
Más szóval, egy paraméter becslése konzisztens, ha ez a becslés valószínűsége konvergál az adott paraméterhez. (Emlékezzünk vissza, hogy az ilyen jellegű konvergenciára Bernoulli és Csebisev tételei adnak példákat, lásd a 6.2. szakaszt.)
Meghatározás.Valamely paraméter torzítatlan becslését nevezzük hatékony, ha a legkisebb szórással rendelkezik egy adott méretű mintából származó elfogulatlan becslések között.
Példa. Frekvencia valamely esemény bekövetkezése a valószínűség elfogulatlan, következetes és hatékony becslése ez az esemény . Vegyük észre, hogy az elfogulatlanság és a gyakoriság konzisztenciája tulajdonságait korábban egy kicsit más kontextusban vettük figyelembe. Valójában a gyakorisági torzítatlanság – egyenlőség – a binomiális eloszlású valószínűségi változó egyik tulajdonsága (lásd 3.3. §). A frekvencia konzisztenciáját Bernoulli tétele határozza meg (lásd 6.2. §).
Példa. Egy bizonyos számú független és azonos eloszlású valószínűségi változó számtani átlaga az ezen valószínűségi változókra vonatkozó általános matematikai elvárások elfogulatlan és konzisztens becslése. Valójában az elfogulatlanság a matematikai elvárások 5. tulajdonsága (lásd 3.3. §). A konzisztenciát Csebisev tétele igazolja (lásd 6.2. §).
Hasonló cikkek
