Përçueshmëri termike- Ky është një nga llojet e transferimit të nxehtësisë. Transferimi i nxehtësisë mund të kryhet duke përdorur mekanizma të ndryshëm.

Të gjithë trupat lëshojnë valë elektromagnetike. Në temperaturën e dhomës është kryesisht rrezatim infra të kuqe. Kjo është ajo që ndodh transferimi i nxehtësisë rrezatuese.

Në prani të një fushe graviteti, një mekanizëm tjetër i transferimit të nxehtësisë në lëngje mund të jetë konvekcionit. Nëse nxehtësia furnizohet në një enë që përmban një lëng ose gaz përmes pjesës së poshtme, pjesët e poshtme të substancës nxehen së pari, densiteti i tyre zvogëlohet, ato notojnë lart dhe transferojnë një pjesë të nxehtësisë që rezulton në shtresat e sipërme.

Me përcjelljen termike, transferimi i energjisë ndodh si rezultat i transferimit të drejtpërdrejtë të energjisë nga grimcat (molekulat, atomet, elektronet) me energji më të lartë në grimcat me energji më të ulët.

Kursi ynë do të shqyrtojë transferimin e nxehtësisë me përçueshmëri.

Le të shqyrtojmë fillimisht rastin njëdimensional, kur temperatura varet vetëm nga një koordinatë X. Lërini dy media të ndahen nga një ndarje e sheshtë me trashësi l(Fig. 23.1). Temperaturat e medias T 1 dhe T 2 mbahen konstante. Mund të vërtetohet eksperimentalisht se sasia e nxehtësisë P, transmetuar përmes një seksioni të ndarjes me një zonë S gjatë t barazohet

, (23.1)

ku koeficienti i proporcionalitetit k varet nga materiali i murit.

Në T 1 > T 2 nxehtësi transferohet në drejtimin e boshtit pozitiv X, në T 1 < T 2 - negative. Drejtimi i përhapjes së nxehtësisë mund të merret parasysh nëse në ekuacionin (23.1) zëvendësojmë ( T 1 - T 2)/l në (- dT/dx). Në rastin njëdimensional, derivati dT/dx përfaqëson gradienti i temperaturës. Kujtojmë se gradienti është një vektor, drejtimi i të cilit përkon me drejtimin e rritjes më të shpejtë në funksionin e koordinatave skalar (në rastin tonë T), dhe moduli është i barabartë me raportin e rritjes së funksionit në një zhvendosje të vogël në këtë drejtim me distancën në të cilën ka ndodhur kjo rritje.

Për t'i dhënë ekuacioneve që përshkruajnë transferimin e nxehtësisë një formë më të përgjithshme dhe universale, ne konsiderojmë dendësia e fluksit të nxehtësisë j - sasia e nxehtësisë së transferuar përmes një njësie sipërfaqe për njësi të kohës

Pastaj relacioni (23.1) mund të shkruhet në formë

Këtu shenja minus pasqyron faktin se drejtimi i rrjedhës së nxehtësisë është i kundërt me drejtimin e gradientit të temperaturës (drejtimi i rritjes së tij). Kështu, dendësia e fluksit të nxehtësisë është një sasi vektoriale. Vektori i densitetit të fluksit të nxehtësisë drejtohet drejt uljes së temperaturës.

Nëse temperatura e mjedisit varet nga të tre koordinatat, atëherë marrëdhënia (23.3) merr formën

Ku , - gradienti i temperaturës ( e 1 ,e 2 ,e 3 - vektorët njësi të boshteve koordinative).

Marrëdhëniet (23.3) dhe (23.4) përfaqësojnë ligjin bazë të përçueshmërisë termike (ligji i Furierit): Dendësia e fluksit të nxehtësisë është proporcionale me gradientin e temperaturës. Faktori i proporcionalitetit k quhet koeficienti i përçueshmërisë termike(ose thjesht përçueshmëri termike). Sepse dimensioni i densitetit të fluksit të nxehtësisë [ j] = J/(m 2 s), dhe gradienti i temperaturës [ dT/dx] = K/m, pastaj dimensioni i koeficientit të përçueshmërisë termike [k] = J/(m×s×K).

Në përgjithësi, temperatura në pika të ndryshme të një substance të ndezur në mënyrë të pabarabartë ndryshon me kalimin e kohës. Le të shqyrtojmë rastin njëdimensional kur temperatura varet vetëm nga një koordinatë hapësinore X dhe koha t, dhe marrim ekuacioni i nxehtësisë- ekuacioni diferencial i plotësuar nga funksioni T = T(x,t).

Le të zgjedhim mendërisht në mes një element vëllimi të vogël në formën e një cilindri ose prizmi, gjeneratat e të cilit janë paralele me boshtin X, dhe bazat janë pingule (Figura 23.2). Zona e bazës S, dhe lartësinë dx. Masa e këtij vëllimi dm= r Sdx, dhe kapacitetin e tij të nxehtësisë c×dm ku r është dendësia e substancës, Me- kapaciteti specifik i nxehtësisë. Lëreni në një periudhë të shkurtër kohe dt temperatura në këtë vëllim ndryshoi me dT. Për ta bërë këtë, substanca në vëllim duhet të marrë një sasi nxehtësie të barabartë me produktin e kapacitetit të saj të nxehtësisë dhe ndryshimin e temperaturës: . Nga ana tjetër, d P mund të hyjë në vëllim vetëm përmes bazës së cilindrit: (densiteti i fluksit të nxehtësisë j mund të jetë edhe pozitive edhe negative). Barazimi i shprehjeve për d P, marrim

.

Duke zëvendësuar raportet e rritjeve të vogla me derivatet përkatëse, arrijmë në relacionin

. (23.5)

Le të zëvendësojmë shprehjen (23.3) për densitetin e fluksit të nxehtësisë në formulën (23.5)

. (23.6)

Ekuacioni që rezulton quhet ekuacioni i nxehtësisë. Nëse mjedisi është homogjen dhe përçueshmëria termike k nuk varet nga temperatura, ekuacioni merr formën

, (23.7)

ku quhet konstanta koeficienti i difuzivitetit termik mjedisi.

Ekuacionet (23.6) - (23.8) plotësohen nga një numër i pafund funksionesh T = T(x,t).

Për të izoluar një zgjidhje unike për ekuacionin e përcjelljes së nxehtësisë, është e nevojshme të shtohen kushtet fillestare dhe kufitare në ekuacion.

Kushti fillestar është të specifikoni shpërndarjen e temperaturës në medium T(X,0) në momentin fillestar të kohës t = 0.

Kushtet kufitare mund të jenë të ndryshme në varësi të regjimit të temperaturës në kufij. Më shpesh, situatat ndodhin kur temperatura ose dendësia e fluksit të nxehtësisë specifikohet në kufijtë në funksion të kohës.

Në disa raste, mund të ketë burime nxehtësie në mjedis. Nxehtësia mund të lirohet si rezultat i kalimit të rrymës elektrike, reaksioneve kimike ose bërthamore. Prania e burimeve të nxehtësisë mund të merret parasysh duke futur densitetin vëllimor të energjisë q(x,y,z), e barabartë me sasinë e nxehtësisë së çliruar nga burimet për njësi vëllimi të mediumit për njësi të kohës. Në këtë rast, termi do të shfaqet në anën e djathtë të ekuacionit (23.5) q:

.

Më poshtë do të shqyrtojmë disa probleme për përcaktimin e fushave të temperaturës për kushte relativisht të thjeshta gjeometrike dhe fizike që lejojnë zgjidhje analitike që janë të thjeshta në formë dhe në të njëjtën kohë ofrojnë një ilustrim të dobishëm të proceseve karakteristike fizike që lidhen me transferimin e nxehtësisë në një trup të ngurtë.

Le të shqyrtojmë një shufër me një sipërfaqe anësore të izoluar termikisht (Fig. 38). Në këtë rast, transferimi i nxehtësisë mund të ndodhë përgjatë shufrës. Nëse shufra është në linjë me boshtin e sistemit koordinativ kartezian, atëherë ekuacioni i palëvizshëm i nxehtësisë do të ketë formën

Në vlera konstante të koeficientit të përçueshmërisë termike të fuqisë vëllimore të lëshimit të nxehtësisë, ekuacioni i fundit mund të integrohet dy herë

(75)

Konstantet e integrimit mund të gjenden nga kushtet kufitare. Për shembull, nëse temperatura në skajet e shufrës është vendosur në , . Pastaj nga (75) kemi

Prej këtu gjejmë konstantet e integrimit dhe . Zgjidhja në kushtet e përcaktuara kufitare do të marrë formën

Nga formula e fundit është e qartë se në mungesë të burimeve të nxehtësisë. Temperatura në shufër ndryshon në mënyrë lineare nga një vlerë kufitare në tjetrën

Le të shqyrtojmë tani një kombinim tjetër të kushteve kufitare. Lëreni një burim të jashtëm të krijojë një fluks nxehtësie në skajin e majtë të shufrës. Në skajin e djathtë të shufrës ruajmë gjendjen e mëparshme, kështu që kemi

Duke i shprehur këto kushte duke përdorur integralin e përgjithshëm (75), marrim një sistem në lidhje me konstantat e integrimit

Pasi kemi gjetur konstantet e panjohura nga sistemi që rezulton, marrim një zgjidhje në formë

Ashtu si në shembullin e mëparshëm, në mungesë të burimeve të brendshme të nxehtësisë, shpërndarja e temperaturës përgjatë shufrës do të jetë lineare

Në këtë rast, temperatura në skajin e majtë të shufrës, ku ndodhet burimi i jashtëm i nxehtësisë, do të jetë e barabartë me .

Si shembulli tjetër, le të gjejmë një shpërndarje të palëvizshme të temperaturës përgjatë rrezes në një cilindër të gjatë rrethor (Fig. 39). Në këtë rast, përdorimi i një sistemi të koordinatave cilindrike do të thjeshtojë ndjeshëm detyrën. Në rastin e një cilindri me një raport të madh gjatësi ndaj rrezes dhe shpërndarje konstante

Duke marrë parasysh burimin e brendshëm të nxehtësisë, temperatura larg skajeve të cilindrit mund të konsiderohet e pavarur nga koordinata boshtore e sistemit cilindrik. Atëherë ekuacioni i nxehtësisë stacionare (71) do të marrë formën

Integrimi i ekuacionit të fundit dy herë (në konstante ) jep

Kushti i simetrisë për shpërndarjen e temperaturës në boshtin e cilindrit () jep

Nga e marrim?

Kushti i fundit do të plotësohet kur . Le të specifikohet temperatura në sipërfaqen e cilindrit (). Atëherë mund të gjejmë konstantën e dytë të integrimit nga ekuacioni

Prej këtu gjejmë dhe shkruajmë zgjidhjen në formën e saj përfundimtare

Si shembull numerik i aplikimit të rezultatit të marrë, le të shqyrtojmë shpërndarjen e temperaturës në plazmë të një shkarkimi harku cilindrik me një rreze prej mm. Kufiri i kanalit të shkarkimit formohet si një rajon ku proceset e jonizimit ndalojnë. Më sipër pamë se jonizimi i dukshëm i një gazi gjatë ngrohjes ndalon në K. Prandaj, vlera e dhënë mund të merret si kufi K. Dendësinë vëllimore të fuqisë së çlirimit të nxehtësisë e gjejmë në plazmën e shkarkimit nga ligji Joule-Lenz, ku σ - përçueshmëria elektrike e plazmës, E- forca e fushës elektrike në kanalin e shkarkimit. Vlerat karakteristike për shkarkimin e harkut janë 1/Ohm m, V/m. Përçueshmëria termike e plazmës së harkut është më e lartë se në një gaz neutral; në temperatura të rendit 10,000 K, vlera e tij mund të merret e barabartë me . Pra parametri . Shpërndarja e temperaturës përgjatë rrezes është paraqitur në Fig. 39. Në këtë rast, temperatura në boshtin e shkarkimit () do të jetë 8000 K.

Në shembullin tjetër do të shqyrtojmë një fushë termike që ka simetri sferike. Kushte të tilla lindin, veçanërisht, nëse një burim i vogël nxehtësie ndodhet në një grup të madh, për shembull, një defekt i harkut të ndërprerjes në mbështjelljen e një makine të madhe elektrike. Në këtë rast, duke kombinuar qendrën e sistemit të koordinatave sferike me burimin e nxehtësisë, mund ta sjellim ekuacionin e nxehtësisë stacionare (64) në formën:

Duke e integruar këtë ekuacion dy herë, gjejmë

Duke u kthyer te shembulli ynë, supozojmë se gabimi i harkut ndodh brenda një zgavër sferike me rreze (Fig. 40). Le të marrim rezistencën e shkarkimit të harkut si Ohm, rryma e shkarkimit A. Atëherë fuqia e lëshuar në zgavër do të jetë . Le të shqyrtojmë një zgjidhje jashtë zonës së veprimit të burimit të nxehtësisë.

Atëherë do të thjeshtohet integrali i ekuacionit të nxehtësisë

Për të llogaritur konstantet e integrimit, së pari përdorim kushtin në pika pafundësisht të largëta nga vendi i shkarkimit, ku C është temperatura e ambientit. Nga shprehja e fundit gjejmë . Për të përcaktuar konstanten, supozojmë se energjia termike e lëshuar në shkarkim shpërndahet në mënyrë uniforme mbi sipërfaqen e një zgavër sferike me rreze . Prandaj, fluksi i nxehtësisë në kufirin e zgavrës do të jetë

Që nga , atëherë nga dy ekuacionet e fundit kemi

dhe vendimin përfundimtar

Në këtë rast, temperatura në kufirin e zgavrës (mm) në W/mK do të jetë K (Fig. 40).

Si shembulli i parë i këtij grupi, le të shqyrtojmë fushën termike në prerjen tërthore të një teli të rrumbullakët me një kanal ftohës (Fig. 41, A). Telat me kanale ftohëse përdoren në mbështjelljet e makinerive të fuqishme elektrike dhe mbështjelljeve për të prodhuar fusha të forta magnetike. Këto pajisje karakterizohen nga rrjedha afatgjatë e rrymave me një amplitudë prej qindra dhe madje mijëra Amperësh. Për shembull, pompohet një lëng, si uji, ose një gaz (hidrogjen, ajër), i cili siguron nxjerrjen e energjisë termike nga sipërfaqja e brendshme e kanalit dhe ftohjen e telit në tërësi. Në këtë rast, kemi të bëjmë me ftohje të detyruar konvektive të sipërfaqes së kanalit, për të cilën mund të përdorim kushtin kufitar të llojit të tretë (67) të justifikuar më sipër. Nëse boshti i sistemit të koordinatave cilindrike është në linjë me boshtin e telit, atëherë temperatura do të varet vetëm nga koordinata radiale. Ne morëm integralin e përgjithshëm të ekuacionit të nxehtësisë stacionare për këtë rast më herët

Dendësia vëllimore e fuqisë së çlirimit të nxehtësisë është gjetur nga ligji Joule-Lenz: j- dendësia e rrymës, σ - Përçueshmëria elektrike,

Ku R- rrezja e seksionit të telit, a- rrezja e kanalit të ftohjes. Teli është i rrethuar nga jashtë me shtresa izolimi, i cili, në krahasim me përcjellësin, ka përçueshmëri termike relativisht të ulët. Prandaj, si përafrim i parë, supozojmë se sipërfaqja e jashtme e telit është e izoluar termikisht, d.m.th., rrjedha e nxehtësisë në të.

Në sipërfaqen e kanalit të ftohjes, rrjedha e nxehtësisë përcaktohet nga gjendja e llojit të tretë

ku është koeficienti i transferimit të nxehtësisë, është temperatura e rrjedhës së ftohjes. Shenja minus në anën e djathtë merret për faktin se normalja në sipërfaqen e brendshme të kanalit drejtohet në drejtim të kundërt me boshtin.

Duke zëvendësuar shprehjen për temperaturën (76) në të parën nga kushtet e shkruara kufitare, marrim

ku . Kushti i dytë kufitar jep

nga e gjejmë?

Në të njëjtën kohë, nga (76)

Duke krahasuar dy shprehjet e fundit, gjejmë

Pas zëvendësimit të konstanteve të gjetura në zgjidhjen e përgjithshme (76) dhe transformimet, marrim

Temperatura në kufijtë e prerjes tërthore të telit nga zgjidhja që rezulton do të llogaritet duke përdorur formulat

Shpërndarja e temperaturës përgjatë rrezes së prerjes tërthore për një tel me një kanal ftohës me parametra: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm është paraqitur në Fig. 41, b.

Nga Fig. 41, b rrjedh se brenda prerjes tërthore të telit ndryshimi i temperaturës është relativisht i vogël në krahasim me vlerën mesatare të tij, gjë që shpjegohet me përçueshmërinë e lartë termike. λ dhe dimensione relativisht të vogla të prerjes tërthore të telit.

Një situatë e ndryshme lind në shpërndarjen e temperaturës përgjatë një teli të përbërë nga seksione të veçanta në kontakt me njëri-tjetrin. Përkeqësimi i cilësisë së kontakteve midis përçuesve të lidhur çon në një rritje të gjenerimit të nxehtësisë në kryqëzimin e dy telave në krahasim me vetë telin. Matja në distancë e temperaturës së telit duke përdorur imazhe termike ose pirometra ju lejon të diagnostikoni cilësinë e lidhjeve të kontaktit.

Le të llogarisim shpërndarjen e temperaturës përgjatë telit në prani të një kontakti të dëmtuar. Shembulli i mëparshëm tregoi se edhe në kushtet më të rënda, ndryshimi i temperaturës brenda seksionit kryq të telit është shumë i vogël. Prandaj, për llogaritjet tona, si përafrim i parë, mund të supozojmë se shpërndarja e temperaturës brenda seksionit kryq të telit është uniforme. Shpërndarja e gjenerimit të nxehtësisë përgjatë telit varet nga shpërndarja e rezistencës elektrike përgjatë telit, e cila është uniforme larg kontaktit dhe rritet kur i afrohet. Le të rreshtojmë boshtin e sistemit të koordinatave karteziane me boshtin e telit dhe origjinën e koordinatave me qendrën e zonës së kontaktit (Fig. 42). Si model për shpërndarjen e rezistencës përgjatë telit, marrim shpërndarjen e mëposhtme të rezistencës lineare

ku , është një parametër që karakterizon madhësinë lineare të zonës së kontaktit. Fuqia e gjenerimit të nxehtësisë për njësi gjatësi të telit është . E llogaritur për njësi vëllimi, fuqia e lëshimit të nxehtësisë është e barabartë me

Ku S- seksion kryq teli. Teli ftohet me konvekcion natyral nga sipërfaqja e tij. Fluksi konvektiv i nxehtësisë për njësi të gjatësisë së telit është

Ku α - koeficienti i transferimit të nxehtësisë, - temperatura e ambientit, fq- perimetri i prerjes tërthore të telit. Transferimi i nxehtësisë në mjedis për njësi vëllimi të përcjellësit do të jetë

Shpërndarja e palëvizshme e temperaturës përgjatë telit do t'i bindet ekuacionit të përçueshmërisë termike

Për transformime të mëtejshme të ekuacionit që rezulton, le të marrim koeficientin e përçueshmërisë termike konstante përgjatë telit, të zëvendësojmë shprehjet e marra më sipër me dhe, dhe gjithashtu si funksionin e dëshiruar në vend të T le ta marrim:

arrijmë në një ekuacion diferencial johomogjen linear

Ne do të kërkojmë zgjidhjen e ekuacionit që rezulton në formën e shumës së zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit homogjen

dhe një zgjidhje të veçantë në formën e anës së djathtë

.

Zgjidhja e ekuacioneve algjebrike duke përdorur metodën e Njutonit

Një metodë mjaft e njohur për zgjidhjen e ekuacioneve është metoda tangjente, ose Metoda e Njutonit. Në këtë rast, një ekuacion i formës f(x) = 0 zgjidhet si më poshtë. Së pari, përafrimi zero (pika x 0). Në këtë pikë ndërtohet një tangjente me grafikun y = f(x). Pika e prerjes së kësaj tangjente me boshtin x është përafrimi tjetër për rrënjën (pika x 1). Në këtë pikë përsëri ndërtohet një tangjente, etj. Sekuenca e pikave x 0 , x 1 , x 2 ... duhet të çojë në vlerën e vërtetë të rrënjës. Kushti për konvergjencë është.

Meqenëse ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë është x 0 , f(x 0) (dhe kjo është tangjentja), shkruhet në formë

dhe si një përafrim tjetër x 1 për rrënjën e ekuacionit origjinal merret pika e prerjes së kësaj drejtëze me boshtin e abshisës, atëherë duhet të vendosim në këtë pikë y = 0:

nga i cili menjëherë pason ekuacioni për gjetjen e përafrimit pasardhës përmes atij të mëparshëm:

Në Fig. Figura 3 tregon zbatimin e metodës së Njutonit duke përdorur Excel. Përafrimi fillestar ( x 0 = -3), dhe më pas të gjitha vlerat e ndërmjetme llogariten në qelizat e mbetura të kolonës deri në llogaritjen x 1 . Për të kryer hapin e dytë, vlera nga qeliza B10 futet në qelizën C3 dhe procesi i llogaritjes përsëritet në kolonën C. Më pas, me qelizat C2:C10 të zgjedhura, mund të tërhiqni dorezën në këndin e poshtëm djathtas të përzgjedhjes për ta zgjatur. atë në kolonat D:F. Si rezultat, vlera 0 merret në qelizën F6, d.m.th. vlera në qelizën F3 është rrënja e ekuacionit.

I njëjti rezultat mund të merret duke përdorur llogaritjet ciklike. Pastaj pasi të keni mbushur kolonën e parë dhe të merrni vlerën e parë x 1, futni formulën =H10 në qelizën H3. Në këtë rast, procesi llogaritës do të hapet dhe në mënyrë që ai të ekzekutohet, në meny Shërbimi | Opsione në skedën Llogaritjet kutia e kontrollit duhet të kontrollohet Përsëritjet dhe tregoni numrin kufizues të hapave të procesit përsëritës dhe gabimin relativ (numri i paracaktuar prej 0.001 është qartësisht i pamjaftueshëm në shumë raste), me arritjen e të cilit procesi llogaritës do të ndalojë.

Siç dihet, proceset fizike si transferimi i nxehtësisë dhe transferimi i masës gjatë difuzionit i binden ligjit të Fick-ut

Ku l- koeficienti i përçueshmërisë termike (difuzioni), dhe T– temperatura (përqendrimi), dhe – rrjedha e vlerës përkatëse. Nga matematika dihet se divergjenca e rrjedhës është e barabartë me densitetin vëllimor të burimit P kjo vlerë, d.m.th.

ose, për rastin dydimensional, kur studiohet shpërndarja e temperaturës në një plan, ky ekuacion mund të shkruhet si:

Zgjidhja e këtij ekuacioni në mënyrë analitike është e mundur vetëm për zonat me formë të thjeshtë: drejtkëndësh, rreth, unazë. Në situata të tjera, zgjidhja e saktë e këtij ekuacioni është e pamundur, d.m.th. Është gjithashtu e pamundur të përcaktohet shpërndarja e temperaturës (ose përqendrimi i një substance) në raste komplekse. Atëherë duhet të përdorni metoda të përafërta për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla.

Një zgjidhje e përafërt e ekuacionit (4) në një fushë me formë komplekse përbëhet nga disa faza: 1) ndërtimi i një rrjetë; 2) ndërtimi i një skeme diferencash; 3) zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike. Le të shqyrtojmë secilën nga fazat në mënyrë sekuenciale dhe zbatimin e tyre duke përdorur paketën Excel.

Ndërtimi i rrjetit. Lëreni zonën të ketë formën e treguar në Fig. 4. Me këtë formë, një zgjidhje e saktë analitike e ekuacionit (4), për shembull, me metodën e ndarjes së ndryshoreve, është e pamundur. Prandaj, ne do të kërkojmë një zgjidhje të përafërt të këtij ekuacioni në pika të veçanta. Le të aplikojmë një rrjet uniform në zonën, të përbërë nga katrorë me anët h. Tani, në vend që të kërkojmë një zgjidhje të vazhdueshme për ekuacionin (4), të përcaktuar në secilën pikë të rajonit, do të kërkojmë një zgjidhje të përafërt, të përcaktuar vetëm në pikat nyje të rrjetit të aplikuara në rajon, d.m.th. në cepat e katrorëve.

Ndërtimi i një skeme diferenciale. Për të ndërtuar një skemë ndryshimi, merrni parasysh një nyje arbitrare të rrjetit të brendshëm C (qendrore) (Fig. 5). Katër nyje janë ngjitur me të: B (sipër), N (poshtë), L (majtas) dhe P (djathtas). Kujtojmë se distanca ndërmjet nyjeve në rrjet është h. Pastaj, duke përdorur shprehjen (2) për të shkruar afërsisht derivatet e dytë në ekuacionin (4), mund të shkruajmë përafërsisht:

nga e cila është e lehtë të merret një shprehje që lidh vlerën e temperaturës në pikën qendrore me vlerat e saj në pikat fqinje:

Shprehja (5) na lejon, duke ditur vlerat e temperaturës në pikat fqinje, të llogarisim vlerën e saj në pikën qendrore. Një skemë e tillë, në të cilën derivatet zëvendësohen me diferenca të fundme dhe për të kërkuar vlerat në një pikë rrjeti, përdoren vetëm vlerat në pikat fqinje më të afërta, quhet skemë e diferencës qendrore, dhe vetë metoda quhet metoda e diferencës së fundme.

Është e nevojshme të kuptohet se marrim një ekuacion të ngjashëm me (5) PËR ÇDO pikë rrjeti, e cila, kështu, rezulton të jetë e lidhur me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë, ne kemi një sistem ekuacionesh algjebrike në të cilin numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e nyjeve të rrjetit. Një sistem i tillë ekuacionesh mund të zgjidhet duke përdorur metoda të ndryshme.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike. Metoda e përsëritjes. Le të vendoset temperatura në nyjet kufitare dhe e barabartë me 20, dhe fuqia e burimit të nxehtësisë e barabartë me 100. Dimensionet e rajonit tonë janë të vendosura dhe të barabarta vertikalisht me 6 dhe horizontalisht me 8, kështu që ana e katrorit të rrjetës ( hap) h= 1. Pastaj shprehja (5) për llogaritjen e temperaturës në pikat e brendshme merr formën

Le t'i caktojmë çdo NODE një qelizë në fletën Excel. Në qelizat që korrespondojnë me pikat kufitare, futim numrin 20 (ato janë të theksuara me gri në Fig. 6). Në qelizat e mbetura shkruajmë formulën (6). Për shembull, në qelizën F2 do të duket kështu: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Pasi të keni shkruar këtë formulë në qelizën F2, mund ta kopjoni dhe ta ngjisni në qelizat e mbetura të zonës që korrespondojnë me nyjet e brendshme. Në këtë rast, Excel do të raportojë pamundësinë e kryerjes së llogaritjeve për shkak të rrotullimit të rezultateve:

Klikoni "Anulo" dhe shkoni te dritarja Mjetet|Opsionet|Llogaritjet, ku kontrolloni kutinë në seksionin "Iterations", duke specifikuar 0.00001 si gabim relativ dhe 10000 si numrin maksimal të përsëritjeve:

Vlera të tilla do të na japin një gabim të vogël të NUMËRUESHËM dhe garantojnë që procesi i përsëritjes do të arrijë gabimin e specifikuar.

Sidoqoftë, këto vlera NUK sigurojnë një gabim të vogël të vetë metodës, pasi kjo e fundit varet nga gabimi kur zëvendësohen derivatet e dytë me diferenca të fundme. Natyrisht, ky gabim është më i vogël, sa më i vogël të jetë hapi i rrjetit, d.m.th. madhësia e katrorit në të cilin bazohet skema jonë e dallimeve. Kjo do të thotë se vlera e LLOGARITUR saktë e temperaturës në nyjet e rrjetit, e paraqitur në Fig. 6, në fakt, mund të rezultojë krejtësisht e pavërtetë. Ekziston vetëm një metodë për të kontrolluar zgjidhjen e gjetur: gjeni atë në një rrjet më të hollë dhe krahasoni atë me atë të mëparshme. Nëse këto zgjidhje ndryshojnë pak, atëherë mund të supozojmë se shpërndarja e temperaturës së gjetur korrespondon me realitetin.

Le ta zvogëlojmë hapin përgjysmë. Në vend të 1 do të bëhet e barabartë me ½. Numri ynë i nyjeve do të ndryshojë në përputhje me rrethanat. Vertikalisht, në vend të 7 nyjeve (kishte 6 hapa, d.m.th. 7 nyje) do të ketë 13 (12 katrorë, pra 13 nyje), dhe horizontalisht në vend të 9 do të ketë 17. Nuk duhet harruar se madhësia e hapit ka qenë përgjysmohet dhe tani në formulën (6) në vend të 1 2 ju duhet të zëvendësoni (1/2) 2 në anën e djathtë. Si pikë kontrolli në të cilën do të krahasojmë tretësirat e gjetura, do të marrim pikën me temperaturën maksimale, të shënuar në Fig. 6 në të verdhë. Rezultati i llogaritjeve është paraqitur në Fig. 9:

Mund të shihet se ulja e hapit çoi në një ndryshim të rëndësishëm në vlerën e temperaturës në pikën e kontrollit: me 4%. Për të rritur saktësinë e zgjidhjes së gjetur, hapi i rrjetit duhet të reduktohet më tej. Për h= ¼ marrim 199.9 në pikën e kontrollit, dhe për h = 1/8 vlera përkatëse është 200.6. Ju mund të vizatoni varësinë e vlerës së gjetur nga madhësia e hapit:

Nga figura mund të konkludojmë se ulja e mëtejshme e hapit nuk do të çojë në një ndryshim të rëndësishëm të temperaturës në pikën e kontrollit dhe saktësia e zgjidhjes së gjetur mund të konsiderohet e kënaqshme.

Duke përdorur aftësitë e paketës Excel, mund të ndërtoni një sipërfaqe me temperaturë që përfaqëson vizualisht shpërndarjen e saj në zonën e studimit.

METODAT ANALITIKE PËR ZGJIDHJEN E EKUACIONIT TË PËRQITJES SË NXEHTËSISË

Aktualisht, një numër shumë i madh i problemeve njëdimensionale të përcjelljes së nxehtësisë janë zgjidhur në mënyrë analitike.

A.V. Lykov, për shembull, konsideron katër metoda për zgjidhjen e ekuacionit të nxehtësisë në kushtet e një problemi njëdimensional: metodën e ndarjes së variablave, metodën e burimeve, metodën operacionale, metodën e transformimeve integrale të fundme.

Në vijim do të ndalemi vetëm në metodën e parë, e cila është bërë më e përhapur.

Metoda për ndarjen e variablave gjatë zgjidhjes së ekuacionit të nxehtësisë

Ekuacioni diferencial i përcjelljes së nxehtësisë në kushtet e një problemi njëdimensional dhe pa burime nxehtësie ka formën

T/?f = a ? 2 t/?x 2 .(3.1)

Ky ekuacion është një rast i veçantë i një ekuacioni diferencial homogjen me koeficientë konstante për disa funksione t të dy ndryshoreve x dhe φ:

Është e lehtë të kontrollohet nëse një zgjidhje e veçantë e këtij ekuacioni është shprehja

t = C exp (bx + vf).(3.3)

Vërtet:

• ?t/?x = bС exp (bx + vf);?t/?ф = вС exp (bx + vf);
• ? 2 t/?x 2 = b 2 C exp (bx + vf);
• ? 2 t/?f 2 = në 2 C exp (bx + vf);? 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + vf).(3.4)

Zgjidhja e shtatë ekuacioneve të fundit së bashku jep

a 1 b 2 + b 1 bv + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0.(3.5)

Ekuacioni i fundit quhet ekuacioni i koeficientit.

Duke kaluar te ekuacioni (3.1) dhe duke e krahasuar atë me ekuacionin (3.2), arrijmë në përfundimin se

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0;a 1 = - a;l 1 = 1.(3.6)

Ekuacioni i koeficientëve (3.5) për një rast të veçantë të ekuacionit (3.1) merr formën

B 2 a + c = 0 (3.7)

c = b 2 a.(3.8)

Kështu, zgjidhja e veçantë (3.3) është një integral i ekuacionit diferencial (3.1) dhe, duke marrë parasysh (3.8), merr formën

t = C exp (b 2 af + bx).(3.9)

Në këtë ekuacion, mund të specifikoni çdo vlerë të numrit për C, b, a.

Shprehja (3.9) mund të përfaqësohet si produkt

t = C exp (b 2 aph) exp (bx), (3.10)

ku faktori exp (b 2 af) është vetëm një funksion i kohës f, dhe faktori exp (bx) është vetëm një funksion i distancës x:

exp (b 2 af) = f (f); exp (bx) = c (x). (3.11)

Me rritjen e kohës φ, temperatura në të gjitha pikat rritet vazhdimisht dhe mund të bëhet më e lartë se vlera e paracaktuar, gjë që nuk ndodh në problemet praktike. Prandaj, ata zakonisht marrin vetëm ato vlera të b për të cilat b 2 është negative, gjë që është e mundur kur b është një vlerë thjesht imagjinare. Le të pranojmë

b = ± iq, (3.12)

ku q është një numër real arbitrar (më parë simboli q tregonte fluksin specifik të nxehtësisë),

Në këtë rast, ekuacioni (3.10) do të marrë formën e mëposhtme:

t = C exp (- q 2 aph) exp (± iqx).(3.13)

Duke iu referuar formulës së famshme të Euler-it

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3.14)

dhe, duke e përdorur atë, ne transformojmë ekuacionin (3.13). Ne marrim dy zgjidhje në formë komplekse:

Ne mbledhim anën e majtë dhe të djathtë të ekuacioneve (3.15), pastaj ndajmë pjesët reale nga ato imagjinare në anën e majtë dhe të djathtë të shumës dhe i barazojmë ato në përputhje me rrethanat. Pastaj marrim dy zgjidhje:

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

(C 1 + C 2)/2 = D; (C 1 - C 2) / 2 = C (3.17)

atëherë marrim dy zgjidhje që plotësojnë ekuacionin diferencial të nxehtësisë (3.1):

t 1 = D exp (- q 2 aph) cos (qx);t 2 = C exp (- q 2 aph) sin (qx).(3.18)

Dihet se nëse funksioni i dëshiruar ka dy zgjidhje të pjesshme, atëherë shuma e këtyre zgjidhjeve të pjesshme do të plotësojë ekuacionin diferencial origjinal (3.1), pra zgjidhja e këtij ekuacioni do të jetë

t = C exp (- q 2 aph) sin (qx) + D exp (- q 2 aph) cos (qx),(3.19)

dhe zgjidhja e përgjithshme që plotëson këtë ekuacion mund të shkruhet si më poshtë:

Çdo vlerë e q m, q n, C i, D i në ekuacionin (3.20) do të plotësojë ekuacionin (3.1). Specifikimi në zgjedhjen e këtyre vlerave do të përcaktohet nga kushtet fillestare dhe kufitare të çdo problemi praktik të veçantë, dhe vlerat e q m dhe q n përcaktohen nga kushtet kufitare, dhe C i, dhe Di, nga ato fillestare.

Përveç zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit të nxehtësisë (3.20) në të cilën ekziston një produkt i dy funksioneve, njëri prej të cilëve varet nga x dhe tjetri nga φ, ka edhe zgjidhje në të cilat një ndarje e tillë është e pamundur, për shembull:

Të dyja zgjidhjet plotësojnë ekuacionin e përcjelljes së nxehtësisë, i cili mund të verifikohet lehtësisht duke i diferencuar fillimisht në lidhje me φ dhe më pas 2 herë në lidhje me x dhe duke zëvendësuar rezultatin në ekuacionin diferencial (3.1).

Një shembull i veçantë i një fushe të temperaturës jo-stacionare në një mur

Le të shqyrtojmë një shembull të aplikimit të zgjidhjes së marrë më sipër.

Të dhënat fillestare.

• 1. Jepet një mur betoni me trashësi 2X = 0,80 m.
• 2. Temperatura e mjedisit që rrethon murin dhe = 0°C.
• 3. Në momentin fillestar të kohës, temperatura e murit në të gjitha pikat është F(x)=1°C.
• 4. Koeficienti i transferimit të nxehtësisë në mur b = 12,6 W/(m 2 °C); koeficienti i përçueshmërisë termike të murit l = 0,7 W/(m ° C); dendësia e materialit të murit c = 2000 kg/m 3 ; kapaciteti termik specifik c=1,13·10 3 J/(kg·°С); koeficienti i difuzivitetit termik a=1,1·10 -3 m 2 /h; koeficienti relativ i transferimit të nxehtësisë b/l = h=18,0 1/m. Kërkohet të përcaktohet shpërndarja e temperaturës në mur 5 orë pas kohës fillestare.

Zgjidhje. Duke iu kthyer zgjidhjes së përgjithshme (3.20) dhe duke pasur parasysh se shpërndarja e temperaturës fillestare dhe pasuese janë simetrike në lidhje me boshtin e murit, arrijmë në përfundimin se seria e sinuseve në këtë zgjidhje të përgjithshme zhduket dhe për x = X do të ketë formën

Vlerat përcaktohen nga kushtet kufitare (pa shpjegime shtesë këtu) dhe janë dhënë në tabelën 3.1.

Duke pasur vlerat nga tabela 3.1, gjejmë serinë e kërkuar të vlerave duke përdorur formulën

Tabela 3.1 Vlerat e funksioneve të përfshira në formulën (3.24)

	0,982 0,189	--0,862 --0,507	0,713 0,701	10,03 --0,572 --0,820	13,08 0,488 0,874

dmth D1 = 1.250; D2 = -- 0,373; D3 = 0,188; D4 = -- 0,109; D5 = 0,072.

Shpërndarja fillestare e temperaturës në murin në shqyrtim do të marrë formën e mëposhtme:

Për të marrë shpërndarjen e llogaritur të temperaturës 5 orë pas momentit fillestar, është e nevojshme të përcaktohen një sërë vlerash për një kohë pas 5 orësh.Këto llogaritje janë kryer në tabelën 3.2.

Tabela 3.2 Vlerat e funksioneve të përfshira në formulën (3.23)

A=(q ni X) 2 (af/X 2)

Shprehja përfundimtare për shpërndarjen e temperaturës në trashësinë e murit 5 orë pas momentit fillestar

Figura 3.1 tregon shpërndarjen e temperaturës në trashësinë e murit në momentin fillestar dhe pas 5 orësh. Së bashku me zgjidhjen e përgjithshme, këtu janë paraqitur edhe zgjidhjet e pjesshme, me numra romakë që tregojnë kthesat e pjesshme që korrespondojnë me termat e njëpasnjëshëm të seritë (3.25) dhe (3.26).

Fig.3.1.

Gjatë zgjidhjes së problemeve praktike, zakonisht nuk ka nevojë të përcaktohet temperatura në të gjitha pikat e murit. Ju mund të kufizoni veten në llogaritjen e temperaturës vetëm për një pikë, për shembull, për një pikë në mes të murit. Në këtë rast, sasia e punës llogaritëse duke përdorur formulën (3.23) do të reduktohet ndjeshëm.

Nëse temperatura fillestare në rastin e konsideruar më sipër nuk është 1 °C, por Tc, atëherë ekuacioni (3.20) do të marrë formën

Zgjidhja e ekuacionit të nxehtësisë në kushte të ndryshme kufitare

Nuk do të japim një progresion sekuencial të zgjidhjes së ekuacionit të nxehtësisë në kushte të tjera kufitare, të cilat kanë rëndësi praktike në zgjidhjen e disa problemeve. Më poshtë do të kufizohemi vetëm në formulimin e kushteve të tyre me një shfaqje të zgjidhjeve të gatshme të disponueshme.

Të dhënat fillestare. Muri ka një trashësi prej 2X. Në momentin fillestar, në të gjitha pikat e saj përveç sipërfaqes, temperatura T c Temperatura në sipërfaqe 0°C ruhet gjatë gjithë periudhës së llogaritjes.

Duhet të gjejmë t = f(x, φ).

Rezervuari i palëvizshëm u mbulua me akull në temperaturën e densitetit më të lartë të ujit (Tc = 4°C). Thellësia e rezervuarit është 5 m (X = 5 m). Llogaritni temperaturën e ujit në rezervuar 3 muaj pas ngrirjes. Difuziviteti termik i ujit të qetë a = 4,8·10 -4 m 2 /h. Nuk ka rrjedhje nxehtësie në fund, d.m.th. në x = 0.

Gjatë periudhës së llogaritjes (f = 3·30·24 = 2160 h), temperatura në sipërfaqe mbahet konstante dhe e barabartë me zero, pra në x = X T p = 0°C. Ne përmbledhim të gjithë llogaritjen në tabelë. 3 dhe 4. Këto tabela ju lejojnë të llogaritni vlerat e temperaturës 3 muaj pas momentit fillestar për thellësi afër fundit, dhe më pas më të larta pas 1 m, d.m.th. t 0 (poshtë) = 4 ° C; t 1 = 4°C; t 2 = 3,85°C; t 3 = 3,30°C; t 4 = 2,96°C; t 5(sur) = 0°C.

Tabela 3.3

Tabela 3.4

Siç e shohim, në ujë absolutisht të qetë, shqetësimet e temperaturës depërtojnë thellë në ujë shumë ngadalë. Në kushte natyrore, rrymat vërehen gjithmonë në rezervuarët nën mbulesën e akullit, qoftë gravitacionale (rrjedhëse), qoftë konvektive (dendësi të ndryshme), ose, së fundi, të shkaktuara nga fluksi i ujërave nëntokësore. E gjithë diversiteti i këtyre veçorive natyrore duhet të merret parasysh në llogaritjet praktike, dhe rekomandimet për këto llogaritje mund të gjenden në manuale dhe në veprat e K.I. Rossinsky.

Trupi është i kufizuar në njërën anë (gjysmë-rrafsh). Në momentin e kohës φ = 0 në të gjitha pikat temperatura e trupit është e barabartë me T c. Për të gjitha momentet e kohës f > 0, temperatura T p = 0°C mbahet në sipërfaqen e trupit.

Kërkohet të gjendet shpërndarja e temperaturës në të gjithë trupin dhe humbja e nxehtësisë përmes sipërfaqes së lirë në funksion të kohës: t = f (x, f),

Zgjidhje. Temperatura kudo në trup dhe në çdo kohë

ku është integrali i Gausit. Vlerat e tij në varësi të funksionit janë dhënë në tabelën 3.5.

Tabela 3.5

Në praktikë, zgjidhja fillon me përcaktimin e marrëdhënies në të cilën x dhe φ janë të specifikuara në deklaratën e problemit.

Sasia e nxehtësisë së humbur nga një njësi sipërfaqe e një trupi në mjedis përcaktohet nga ligji i Furierit. Për të gjithë periudhën e faturimit nga momenti fillestar deri në faturim

Në momentin fillestar, temperatura e tokës nga sipërfaqja në një thellësi të konsiderueshme ishte konstante dhe e barabartë me 6°C. Në këtë moment, temperatura në sipërfaqen e tokës ra në 0°C.

Kërkohet të përcaktohet temperatura e tokës në një thellësi prej 0,5 m pas 48 orësh me një koeficient të difuzionit termik të tokës prej a = 0,001 m 2 / orë, si dhe të vlerësohet sasia e nxehtësisë së humbur nga sipërfaqja gjatë kësaj kohe.

Sipas formulës (3.29), temperatura e tokës në thellësi 0.5 m pas 48 orësh është t=6·0.87=5.2°С.

Sasia totale e nxehtësisë së humbur për njësi të sipërfaqes së tokës, me një koeficient përçueshmërie termike l = 0,35 W/(m °C), nxehtësi specifike c = 0,83 10 3 J/(kg °C) dhe densitet c = 1500 kg/m 3 përcaktohet me formulën (3.30) Q = l.86·10 6 J/m 2.

trup integral termik i përçueshmërisë termike

Fig.3.2

Për shkak të disa ndikimeve të jashtme, temperatura e sipërfaqes së një trupi të kufizuar në njërën anë (gjysmë-rrafsh) pëson luhatje periodike rreth zeros. Ne do të supozojmë se këto lëkundje janë harmonike, d.m.th., temperatura e sipërfaqes ndryshon përgjatë një kurbë kosinusi:

ku është kohëzgjatja e lëkundjes (periudha), T 0 është temperatura e sipërfaqes,

T 0 max -- devijimi maksimal i tij.

Kërkohet të përcaktohet fusha e temperaturës në funksion të kohës.

Amplituda e luhatjeve të temperaturës ndryshon me x sipas ligjit të mëposhtëm (Fig. 3.2):

Shembull për problemin nr. 3. Ndryshimi i temperaturës në sipërfaqen e tokës ranore të thatë gjatë gjithë vitit karakterizohet nga një kurbë kosinusi. Temperatura mesatare vjetore është 6°C me devijime maksimale nga mesatarja në verë dhe dimër që arrijnë në 24°C.

Kërkohet përcaktimi i temperaturës së tokës në një thellësi prej 1 m në momentin kur temperatura e sipërfaqes është 30°C (konvencionalisht 1/VII).

Shprehja e kosinusit (3.31) në lidhje me këtë rast (temperatura e sipërfaqes) në T 0 max = 24 0 C do të marrë formën

T 0 = 24 cos (2рф/8760) + 6.

Për shkak të faktit se sipërfaqja e tokës ka një temperaturë mesatare vjetore prej 6°C, dhe jo zero, si në ekuacionin (3.32), ekuacioni i projektimit do të marrë formën e mëposhtme:

Marrja e koeficientit të difuzivitetit termik a = 0,001 m 2 /h për tokën dhe duke pasur parasysh se sipas kushteve të problemit është e nevojshme të përcaktohet temperatura në fund të periudhës së llogaritjes (8760 orë nga momenti fillestar), ne gjejme

Shprehja e llogaritur (3.34) do të marrë formën e mëposhtme: t = 24e -0.6 ·0.825 + 6 = 16.9 °C.

Në të njëjtën thellësi prej 1 m, amplituda maksimale e luhatjes vjetore të temperaturës, sipas shprehjes (3.33), do të jetë

T 1 max = 24e -0,6 = 13,2 °C,

dhe temperatura maksimale në një thellësi prej 1 m

t 1 max = T x max + 6 = 13,2 + 6 = 19,2 °C.

Si përfundim, vërejmë se problemet dhe qasjet e konsideruara mund të përdoren për të zgjidhur çështjet që lidhen me lëshimin e ujit të ngrohtë në një rezervuar, si dhe me metodën kimike të përcaktimit të rrjedhës së ujit dhe në raste të tjera.

Derivimi i ekuacionit të nxehtësisë

Le të imagjinojmë një trup homogjen dhe të izolojmë prej tij një vëllim elementar me anë (Figura 1).

Figura 1. Vëllimi i kontrollit në një sistem koordinativ drejtkëndor

Rrjedhat e nxehtësisë hyrëse të vendosura pingul me sipërfaqet shënojmë si, . Ne shprehim rrjedhat në sipërfaqe të kundërta nga seria Taylor:

Mund të ketë gjithashtu burime të brendshme të nxehtësisë brenda trupit, nëse ka kullues, nëse:

Ndryshimi i energjisë së brendshme:

Le të zëvendësojmë ekuacionet (1.1.1) në ekuacionin që rezulton (1.1.5):

Duke i zëvendësuar ato në ekuacionin (1.1.6), marrim ekuacionin e përcjelljes së nxehtësisë në formë të përgjithshme për hapësirën tredimensionale:

Le të prezantojmë koeficientin e difuzivitetit termik:

dhe ulni burimet e brendshme të nxehtësisë. Ne marrim ekuacionin e përçueshmërisë termike në hapësirën tredimensionale pa burime të brendshme të nxehtësisë:

Kushtet unike

Ekuacioni (1.1) përshkruan procesin në formë të përgjithshme. Për ta zbatuar atë në një problem specifik, kërkohen kushte shtesë, të quajtura kushte të paqartësisë. Këto kushte përfshijnë kushtet gjeometrike (formën dhe madhësinë e trupit), fizike (vetitë fizike të trupit), kohën (shpërndarjen fillestare të temperaturës) dhe kushtet kufitare (përshkruajnë procesin e shkëmbimit të nxehtësisë me mjedisin).

Kushtet kufitare mund të ndahen në tre lloje kryesore:

1. Kushtet kufitare të Dirichlet-it: jepet vlera e funksionit në kufi.

Në rastin e problemit të përçueshmërisë termike, specifikohen vlerat e temperaturës në sipërfaqen e trupit.

2. Kushtet kufitare të Neumanit: specifikohet derivati ​​normal i funksionit në kufi.

Vendosni densitetin e fluksit të nxehtësisë në sipërfaqen e trupit.

3. Kushtet kufitare të Robinit: specifikohet një kombinim linear i vlerës së funksionit dhe derivatit të tij në kufi.

Përshkruani shkëmbimin e nxehtësisë midis sipërfaqes së trupit dhe mjedisit sipas ligjit të Njuton-Richmanit.

Në këtë punim do të përdoren vetëm kushtet kufitare Dirichlet, për shkak të kompleksitetit të zbatimit të kushteve kufitare të mbetura.

Artikuj të ngjashëm