Klasa e funksioneve irracionale është shumë e gjerë, kështu që thjesht nuk mund të ketë një mënyrë universale për t'i integruar ato. Në këtë artikull do të përpiqemi të identifikojmë llojet më karakteristike të funksioneve të integrandit irracional dhe të lidhim metodën e integrimit me to.

Ka raste kur është e përshtatshme të përdoret metoda e nënshkrimit të shenjës diferenciale. Për shembull, kur gjenden integrale të pacaktuara të formës, ku fq– thyesa racionale.

Shembull.

Gjeni integralin e pacaktuar .

Zgjidhje.

Nuk është e vështirë të vërehet se. Prandaj, ne e vendosim atë nën shenjën diferenciale dhe përdorim tabelën e antiderivativëve:

Përgjigje:

.

13. Zëvendësimi linear thyesor

Integralet e tipit ku a, b, c, d janë numra realë, a, b,..., d, g janë numra natyrorë, reduktohen në integrale të një funksioni racional me zëvendësim, ku K është shumëfishi më i vogël i përbashkët i emëruesit e thyesave

Në të vërtetë, nga zëvendësimi rrjedh se

dmth x dhe dx shprehen përmes funksioneve racionale të t. Për më tepër, çdo shkallë e thyesës shprehet përmes një funksioni racional të t.

Shembulli 33.4. Gjeni integralin

Zgjidhje: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i emëruesve të thyesave 2/3 dhe 1/2 është 6.

Prandaj, vendosim x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Prandaj,

Shembulli 33.5. Specifikoni zëvendësimin për gjetjen e integraleve:

Zgjidhje: Për I 1 zëvendësim x=t 2, për I 2 zëvendësim

14. Zëvendësimi trigonometrik

Integralet e tipit reduktohen në integrale funksionesh që varen racionalisht nga funksionet trigonometrike duke përdorur zëvendësimet trigonometrike të mëposhtme: x = një sint për integralin e parë; x=a tgt për integralin e dytë; për integralin e tretë.

Shembulli 33.6. Gjeni integralin

Zgjidhje: Le të vendosim x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Pastaj

Këtu integrani është një funksion racional në lidhje me x dhe Duke zgjedhur një katror të plotë nën radikalin dhe duke bërë një zëvendësim, integralet e tipit të treguar reduktohen në integrale të tipit të konsideruar tashmë, d.m.th., në integrale të tipit Këto integrale mund të llogariten duke përdorur zëvendësimet e duhura trigonometrike.

Shembulli 33.7. Gjeni integralin

Zgjidhje: Meqenëse x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, atëherë x+1=t, x=t-1, dx=dt. Kjo është arsyeja pse Le të vendosim

Shënim: Lloji integral Është e përshtatshme për të gjetur duke përdorur zëvendësimin x=1/t.

15. Integrali i caktuar

Le të përcaktohet një funksion në një segment dhe të ketë një antiderivativ në të. Diferenca quhet integral i caktuar funksionojnë përgjatë segmentit dhe shënojnë. Kështu që,

Dallimi shkruhet në formë, atëherë . Numrat thirren kufijtë e integrimit .

Për shembull, një nga antiderivativët për një funksion. Kjo është arsyeja pse

16 . Nëse c është një numër konstant dhe funksioni ƒ(x) është i integrueshëm në , atëherë

pra faktori konstant c mund të nxirret nga shenja e integralit të caktuar.

▼Le të hartojmë shumën integrale për funksionin me ƒ(x). Ne kemi:

Më pas rrjedh se funksioni c ƒ(x) është i integrueshëm në [a; b] dhe formula (38.1) është e vlefshme.▲

2. Nëse funksionet ƒ 1 (x) dhe ƒ 2 (x) janë të integrueshëm në [a;b], atëherë të integrueshëm në [a; b] shuma e tyre u

pra, integrali i shumës është i barabartë me shumën e integraleve.

▼
▲

Vetia 2 zbatohet për shumën e çdo numri të kufizuar termash.

3.

Kjo pronë mund të pranohet me përkufizim. Kjo veti konfirmohet edhe nga formula e Newton-Leibniz.

4. Nëse funksioni ƒ(x) është i integrueshëm në [a; b] dhe a< с < b, то

domethënë, integrali mbi të gjithë segmentin është i barabartë me shumën e integraleve mbi pjesët e këtij segmenti. Kjo veti quhet aditiviteti i një integrali të caktuar (ose vetia e aditivitetit).

Kur e ndajmë segmentin [a;b] në pjesë, ne përfshijmë pikën c në numrin e pikave të ndarjes (kjo mund të bëhet për shkak të pavarësisë së kufirit të shumës integrale nga metoda e ndarjes së segmentit [a;b] në pjesë). Nëse c = x m, atëherë shuma integrale mund të ndahet në dy shuma:

Secila nga shumat e shkruara është integrale, përkatësisht, për segmentet [a; b], [a; s] dhe [s; b]. Duke kaluar në kufirin në barazinë e fundit si n → ∞ (λ → 0), marrim barazinë (38.3).

Vetia 4 është e vlefshme për çdo vendndodhje të pikave a, b, c (supozojmë se funksioni ƒ (x) është i integrueshëm në pjesën më të madhe të segmenteve që rezultojnë).

Kështu, për shembull, nëse a< b < с, то

(u përdorën vetitë 4 dhe 3).

5. "Teorema mbi vlerat mesatare". Nëse funksioni ƒ(x) është i vazhdueshëm në intervalin [a; b], atëherë ka një tonka me є [a; b] të tillë që

▼Me formulën Njuton-Leibniz kemi

ku F"(x) = ƒ(x). Duke zbatuar teoremen e Lagranzhit (teoremen mbi rritjen e fundme te nje funksioni) ne ndryshimin F(b)-F(a), marrim

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Vetia 5 ("teorema e vlerës mesatare") për ƒ (x) ≥ 0 ka një kuptim të thjeshtë gjeometrik: vlera e integralit të caktuar është e barabartë, për disa c є (a; b), me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me lartësi ƒ (c) dhe bazë b-a (shih Fig. 170). Numri

quhet vlera mesatare e funksionit ƒ(x) në intervalin [a; b].

6. Nëse funksioni ƒ (x) ruan shenjën e tij në segmentin [a; b], ku a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Me "teoremën e vlerës mesatare" (vetia 5)

ku c є [a; b]. Dhe meqenëse ƒ(x) ≥ 0 për të gjithë x О [a; b], atëherë

ƒ(с)≥0, b-a>0.

Prandaj ƒ(с) (b-а) ≥ 0, d.m.th. ▲

7. Pabarazi ndërmjet funksioneve të vazhdueshme në intervalin [a; b], (a

▼Meqenëse ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, atëherë kur një< b, согласно свойству 6, имеем

Ose, sipas pronës 2,

Vini re se është e pamundur të dallohen pabarazitë.

8. Vlerësimi i integralit. Nëse m dhe M janë, përkatësisht, vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit y = ƒ (x) në segmentin [a; b], (a< b), то

▼Meqenëse për çdo x є [a;b] kemi m≤ƒ(x)≤M, atëherë, sipas vetive 7, kemi

Duke aplikuar vetinë 5 në integralet ekstreme, marrim

▲

Nëse ƒ(x)≥0, atëherë vetia 8 ilustrohet gjeometrikisht: zona e një trapezi lakor është e mbyllur midis zonave të drejtkëndëshave baza e të cilëve është , dhe lartësitë e të cilëve janë m dhe M (shih Fig. 171).

9. Moduli i një integrali të caktuar nuk e kalon integralin e modulit të integrandit:

▼Duke zbatuar vetinë 7 për pabarazitë e dukshme -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, marrim

Nga kjo rrjedh se

▲

10. Derivati ​​i një integrali të caktuar në lidhje me një kufi të sipërm të ndryshores është i barabartë me integrandin në të cilin ndryshorja e integrimit zëvendësohet me këtë kufi, d.m.th.

Llogaritja e sipërfaqes së një figure është një nga problemet më të vështira në teorinë e zonës. Në kursin e gjeometrisë shkollore mësuam të gjejmë sipërfaqet e formave bazë gjeometrike, për shembull, rreth, trekëndësh, romb etj. Sidoqoftë, shumë më shpesh duhet të merreni me llogaritjen e zonave të shifrave më komplekse. Kur zgjidhen probleme të tilla, duhet të përdoret llogaritja integrale.

Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemin e llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor, dhe do t'i qasemi asaj në një kuptim gjeometrik. Kjo do të na lejojë të zbulojmë lidhjen e drejtpërdrejtë midis integralit të caktuar dhe zonës së një trapezi lakor.

Lëreni funksionin y = f(x) e vazhdueshme në segment dhe nuk e ndryshon shenjën në të (d.m.th., jo negative ose jo pozitive). Figura G, i kufizuar me vija y = f(x), y = 0, x = a Dhe x = b, thirri trapezoid i lakuar. Le të shënojmë zonën e saj S(G).

Le t'i qasemi problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor si më poshtë. Në seksionin mbi figurat katrore, zbuluam se një trapez i lakuar është një figurë katrore. Nëse ndani segmentin në n pjesë me pika për të treguar , dhe zgjidhni pikat në mënyrë që për , atëherë shifrat që korrespondojnë me shumat e poshtme dhe të sipërme Darboux mund të konsiderohen të përfshira P dhe gjithëpërfshirëse P forma poligonale për G.

Kështu, edhe me një rritje të numrit të pikave të ndarjes n, vijmë te pabarazia , ku është një numër pozitiv arbitrarisht i vogël, dhe s Dhe S– shumat e poshtme dhe të sipërme Darboux për një ndarje të caktuar të segmentit . Në një postim tjetër . Prandaj, duke iu kthyer konceptit të një integrali të caktuar Darboux, marrim .

Barazia e fundit do të thotë se integrali i caktuar për një funksion të vazhdueshëm dhe jo negativ y = f(x) përfaqëson në kuptimin gjeometrik sipërfaqen e trapezit të lakuar përkatës. Kjo është ajo që kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar.

Kjo do të thotë, duke llogaritur integralin e caktuar, do të gjejmë sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat y = f(x), y = 0, x = a Dhe x = b.

Komentoni.

Nëse funksioni y = f(x) jo pozitive në segment , atëherë zona e një trapezi të lakuar mund të gjendet si .

Shembull.

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija .

Zgjidhje.

Le të ndërtojmë një figurë në një plan: vijë e drejtë y = 0 përkon me boshtin x, drejtëza x = -2 Dhe x = 3 janë paralele me boshtin e ordinatave, dhe kurba mund të ndërtohet duke përdorur transformimet gjeometrike të grafikut të funksionit.

Kështu, ne duhet të gjejmë zonën e një trapezi të lakuar. Kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar na tregon se zona e dëshiruar shprehet me një integral të caktuar. Prandaj, . Ky integral i caktuar mund të llogaritet duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

Integrale të formës (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - numra të plotë). Në këto integrale, integrani është racional në lidhje me variablin e integrimit dhe radikalët e x. Ato llogariten duke zëvendësuar x=t s, ku s është emëruesi i përbashkët i thyesave, ... Me një zëvendësim të tillë të ndryshores, të gjitha marrëdhëniet = r 1, = r 2, ... janë numra të plotë, d.m.th. integrali është reduktuar në një funksion racional të ndryshores t:

Integrale të formës (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - numra të plotë). Këto integrale janë me zëvendësim:

ku s është emëruesi i përbashkët i thyesave, ..., reduktohen në një funksion racional të ndryshores t.

Integralet e formës Për të llogaritur integralin I 1, zgjidhni një katror të plotë nën shenjën radikale:

dhe zëvendësimi zbatohet:

Si rezultat, ky integral reduktohet në një integral:

Në numëruesin e integralit I 2 dallohet diferenciali i shprehjes nën shenjën radikale dhe ky integral paraqitet si shuma e dy integraleve:

ku I 1 është integrali i llogaritur më sipër.

Llogaritja e integralit I 3 reduktohet në llogaritjen e integralit I 1 me zëvendësim:

Integral i formës Raste të veçanta të llogaritjes së integraleve të këtij lloji janë shqyrtuar në paragrafin e mëparshëm. Ka disa mënyra të ndryshme për llogaritjen e tyre. Le të shqyrtojmë një nga këto teknika, bazuar në përdorimin e zëvendësimeve trigonometrike.

Trinomi katror sëpata 2 +bx+c duke izoluar katrorin e plotë dhe duke ndryshuar ndryshoren mund të paraqitet në formën Kështu, mjafton të kufizohemi në shqyrtimin e tre llojeve të integraleve:

Integrale me zëvendësim

u=ksint (ose u=kcost)

reduktohet në integralin e një funksioni racional në lidhje me sint dhe kosto.

Integrale të formës (m, n, p є Q, a, b є R). Integralet në shqyrtim, të quajtur integrale të një binomi diferencial, shprehen përmes funksioneve elementare vetëm në tre rastet e mëposhtme:

1) nëse p є Z, atëherë zbatohet zëvendësimi:

ku s është emëruesi i përbashkët i thyesave m dhe n;

2) nëse Z, atëherë përdoret zëvendësimi:

ku s është emëruesi i thyesës

3) nëse Z, atëherë zbatohet zëvendësimi:

ku s është emëruesi i thyesës

Nuk ka asnjë mënyrë universale për të zgjidhur ekuacionet irracionale, pasi klasa e tyre ndryshon në sasi. Artikulli do të nxjerrë në pah llojet karakteristike të ekuacioneve me zëvendësim duke përdorur metodën e integrimit.

Për të përdorur metodën e integrimit të drejtpërdrejtë, është e nevojshme të llogariten integrale të pacaktuara të tipit ∫ k x + b p d x, ku p është një thyesë racionale, k dhe b janë koeficientë realë.

Shembulli 1

Gjeni dhe njehsoni antiderivativët e funksionit y = 1 3 x - 1 3 .

Zgjidhje

Sipas rregullit të integrimit, është e nevojshme të zbatohet formula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, dhe tabela e antiderivativëve tregon se ekziston një zgjidhje e gatshme për këtë funksion. . Ne e kuptojmë atë

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Përgjigje:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Ka raste kur është e mundur të përdoret metoda e nënshtrimit të një shenje diferenciale. Kjo zgjidhet me parimin e gjetjes së integraleve të pacaktuara të formës ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , kur vlera e p konsiderohet thyesë racionale.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x.

Zgjidhje

Vini re se d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Pastaj është e nevojshme të nënshtrohet shenja diferenciale duke përdorur tabelat e antiderivativëve.

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Përgjigje:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Zgjidhja e integraleve të pacaktuar përfshin një formulë të formës ∫ d x x 2 + p x + q, ku p dhe q janë koeficientë realë. Pastaj ju duhet të zgjidhni një katror të plotë nga nën rrënjë. Ne e kuptojmë atë

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Duke zbatuar formulën e vendosur në tabelën e integraleve të pacaktuar, marrim:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Pastaj llogaritet integrali:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar të trajtës ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Zgjidhje

Për të llogaritur, duhet të hiqni numrin 2 dhe ta vendosni përpara radikalit:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Zgjidhni një katror të plotë në shprehje radikale. Ne e kuptojmë atë

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Pastaj marrim një integral të pacaktuar të formës 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Përgjigje: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrimi i funksioneve irracionale kryhet në mënyrë të ngjashme. E zbatueshme për funksionet e formës y = 1 - x 2 + p x + q.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Zgjidhje

Së pari ju duhet të nxirrni katrorin e emëruesit të shprehjes nga poshtë rrënjës.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Integrali i tabelës ka formën ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, atëherë marrim se ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + C

Përgjigje:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Procesi i gjetjes së funksioneve irracionale antiderivative të formës y = M x + N x 2 + p x + q, ku M, N, p, q ekzistuese janë koeficientë realë dhe janë të ngjashëm me integrimin e thyesave të thjeshta të tipit të tretë. . Ky transformim ka disa faza:

duke përmbledhur diferencialin nën rrënjë, duke veçuar katrorin e plotë të shprehjes nën rrënjë, duke përdorur formulat tabelare.

Shembulli 5

Gjeni antiderivativët e funksionit y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Zgjidhje

Nga kushti kemi që d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x dhe x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, pastaj (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Le të llogarisim integralin: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Përgjigje:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Kërkimi i integraleve të pacaktuar të funksionit ∫ x m (a + b x n) p d x kryhet duke përdorur metodën e zëvendësimit.

Për të zgjidhur është e nevojshme të futen variabla të rinj:

1. Kur p është një numër i plotë, atëherë konsiderohet x = z N dhe N është emëruesi i përbashkët për m, n.
2. Kur m + 1 n është një numër i plotë, atëherë a + b x n = z N, dhe N është emëruesi i p.
3. Kur m + 1 n + p është një numër i plotë, atëherë kërkohet ndryshorja a x - n + b = z N dhe N është emëruesi i numrit p.

Shembulli 6

Gjeni integralin e caktuar ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Zgjidhje

Marrim se ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Nga kjo rrjedh se m = - 1, n = 1, p = - 1 2, pastaj m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 është një numër i plotë. Ju mund të prezantoni një variabël të ri të formës - 9 + 2 x = z 2. Është e nevojshme të shprehet x në terma z. Si rezultat e marrim atë

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

Është e nevojshme të bëhet një zëvendësim në integralin e dhënë. Ne e kemi atë

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Përgjigje:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Për të thjeshtuar zgjidhjen e ekuacioneve irracionale, përdoren metodat bazë të integrimit.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Janë dhënë metodat bazë për integrimin e funksioneve irracionale (rrënjët). Ato përfshijnë: integrimin e irracionalitetit thyesor linear, binomin diferencial, integralet me rrënjën katrore të një trinomi katror. Janë dhënë zëvendësimet trigonometrike dhe zëvendësimet e Euler-it. Janë marrë parasysh disa integrale eliptike të shprehura përmes funksioneve elementare.

përmbajtja

Integrale nga binomet diferenciale

Integralet nga binomet diferenciale kanë formën:
,
ku m, n, p janë numra racional, a, b janë numra realë.
Integrale të tilla reduktohen në integrale të funksioneve racionale në tre raste.

1) Nëse p është një numër i plotë. Zëvendësimi x = t N, ku N është emëruesi i përbashkët i thyesave m dhe n.
2) Nëse - një numër i plotë. Zëvendësimi a x n + b = t M, ku M është emëruesi i numrit p.
3) Nëse - një numër i plotë. Zëvendësimi a + b x - n = t M, ku M është emëruesi i numrit p.

Në raste të tjera, integrale të tilla nuk shprehen përmes funksioneve elementare.

Ndonjëherë integrale të tilla mund të thjeshtohen duke përdorur formulat e reduktimit:
;
.

Integrale që përmbajnë rrënjën katrore të një trinomi katror

Integrale të tilla kanë formën:
,
ku R është një funksion racional. Për secilin integral të tillë ekzistojnë disa metoda për zgjidhjen e tij.
1) Përdorimi i transformimeve çon në integrale më të thjeshta.
2) Aplikoni zëvendësime trigonometrike ose hiperbolike.
3) Aplikoni zëvendësimet e Euler-it.

Le t'i shikojmë këto metoda në më shumë detaje.

1) Transformimi i funksionit integrand

Duke aplikuar formulën dhe duke kryer transformime algjebrike, ne reduktojmë funksionin integrand në formën:
,
ku φ(x), ω(x) janë funksione racionale.

Lloji I

Integrali i formës:
,
ku P n (x) është një polinom i shkallës n.

Integrale të tilla gjenden me metodën e koeficientëve të pacaktuar duke përdorur identitetin:

.
Duke e diferencuar këtë ekuacion dhe duke barazuar anën e majtë dhe të djathtë, gjejmë koeficientët A i.

Lloji II

Integrali i formës:
,
ku P m (x) është një polinom i shkallës m.

Zëvendësimi t = (x - α) -1 ky integral reduktohet në llojin e mëparshëm. Nëse m ≥ n, atëherë thyesa duhet të ketë një pjesë të plotë.

Lloji III

Këtu bëjmë zëvendësimin:
.
Pas së cilës integrali do të marrë formën:
.
Më pas, konstantet α, β duhet të zgjidhen të tilla që koeficientët e t në emërues të bëhen zero:
B = 0, B 1 = 0.
Pastaj integrali zbërthehet në shumën e integraleve të dy llojeve:
,
,
të cilat janë të integruara nga zëvendësimet:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Zëvendësimet trigonometrike dhe hiperbolike

Për integrale të formës , a > 0 ,
kemi tre zëvendësime kryesore:
;
;
;

Për integralet, a > 0 ,
kemi zëvendësimet e mëposhtme:
;
;
;

Dhe së fundi, për integralet, a > 0 ,
zëvendësimet janë si më poshtë:
;
;
;

3) Zëvendësimet e Euler-it

Gjithashtu, integralet mund të reduktohen në integrale të funksioneve racionale të njërit prej tre zëvendësimeve të Euler-it:
, për një > 0;
, për c > 0 ;
, ku x 1 është rrënja e ekuacionit a x 2 + b x + c = 0. Nëse ky ekuacion ka rrënjë reale.

Integrale eliptike

Si përfundim, merrni parasysh integralet e formës:
,
ku R është një funksion racional, . Integrale të tilla quhen eliptike. Në përgjithësi, ato nuk shprehen përmes funksioneve elementare. Megjithatë, ka raste kur ka marrëdhënie midis koeficientëve A, B, C, D, E, në të cilat integrale të tilla shprehen përmes funksioneve elementare.

Më poshtë është një shembull i lidhur me polinomet refleksive. Llogaritja e integraleve të tillë kryhet duke përdorur zëvendësimet:
.

Shembull

Llogarit integralin:
.

Le të bëjmë një zëvendësim.

.
Këtu në x > 0 (u> 0 ) merrni shenjën e sipërme "+". Në x< 0 (u< 0 ) - më e ulët ′- ′.

.

Referencat:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksioni i problemeve në matematikën e lartë, "Lan", 2003.

Shiko gjithashtu:

Plani:

1. Integrimi i thyesave të thjeshta racionale.
2. Integrimi i disa funksioneve irracionale.
3. Zëvendësimi universal trigonometrik.

1. Integrimi i thyesave të thjeshta racionale

Kujtojmë se një funksion i formës P(x)=a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…+ a n-1 x n + a n, Ku, a o, a 1 ...a p - quhen koeficientë konstante polinom ose funksioni racional . Numri P thirrur shkalla e polinomit .

Funksioni racional thyesor quhet funksion i barabartë me raportin e dy polinomeve, d.m.th. .

Le të shqyrtojmë disa integrale të thjeshta të funksioneve racionale të pjesshme:

1.1. Për të gjetur integrale të formës (A - konst) do të përdorim integrale të disa funksioneve komplekse: = .

Shembulli 20.1. Gjeni integralin.

Zgjidhje. Le të përdorim formulën e mësipërme = . Ne marrim se = .

1.2. Për të gjetur integrale të formës (A - konst) do të përdorim metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë në emërues. Si rezultat i transformimeve, integrali origjinal do të reduktohet në një nga dy integralet tabelare: ose .

Le të shqyrtojmë llogaritjen e integraleve të tillë duke përdorur një shembull specifik.

Shembulli 20.2. Gjeni integralin.

Zgjidhje. Le të përpiqemi të izolojmë katrorin e plotë në emërues, d.m.th. vijnë në një formulë (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2.

Për këtë 4 X përfaqësojeni atë si dyfishin e prodhimit 2∙2∙ X. Prandaj, tek shprehja X 2 + 4X për të marrë një katror të plotë duhet të shtoni katrorin e numrit dy, d.m.th. 4: X 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 . x + 2) 2 zbresim 4. Marrim zinxhirin e mëposhtëm të transformimeve:

x + 2 = Dhe, Pastaj. Le të zëvendësojmë Dhe Dhe dx në integralin që rezulton: = = . Le të përdorim integralin e tabelës: , Ku A=3. Marrim se = . Le të zëvendësojmë në vend Dhe shprehje x+ 2:

Përgjigje: = .

1.3. Për të gjetur integrale të formës (M, N - konst) do të përdorim sa vijon algoritmi :

1. Zgjidhni një katror të plotë në emërues.

2. Shprehjen në kllapa e shënojmë si ndryshore të re t. Ne do të gjejmë X, dx dhe vendosini ato së bashku me t në integralin origjinal (marrim një integral që përmban vetëm variablin t).

3. Ne e ndajmë integralin që rezulton në shumën e dy integraleve, secila prej të cilave llogaritet veçmas: një integral zgjidhet me metodën e zëvendësimit, i dyti reduktohet në njërën nga formulat. ose .

Shembulli 20.3. Gjeni integralin.

Zgjidhje. 1. Le të përpiqemi të veçojmë katrorin e plotë në emërues . Për këtë 6 X përfaqësojeni atë si dyfishin e prodhimit 2∙3∙ X. Pastaj te shprehja X 2 - 6X duhet të shtoni katrorin e numrit tre, d.m.th. numri 9: X 2 – 6X + 9 = (X - 3) 2 . Por në mënyrë që shprehja në emërues të mos ndryshojë, është e nevojshme nga ( X- 3) 2 zbresim 9. Marrim një zinxhir transformimesh:

2. Le të prezantojmë zëvendësimin e mëposhtëm: let x-3=t(Do të thotë , X=t+ 3), pastaj. Le të zëvendësojmë t, x, dx në integral:

3. Le ta imagjinojmë integralin që rezulton si shuma e dy integraleve:

Le t'i gjejmë ato veç e veç.

3.1 Integrali i parë llogaritet me metodën e zëvendësimit. Le të shënojmë emëruesin e thyesës, atëherë . Nga këtu. Le të zëvendësojmë Dhe Dhe dt në integral dhe e sjellim në formën: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+C. Mbetet të kthehemi te ndryshorja X. Që atëherë ln|t 2+16|+C = ln|x 2 - 6X+25|+C.

3.2 Integrali i dytë llogaritet duke përdorur formulën: (ku a= 4). Pastaj = = .

3.3 Integrali origjinal është i barabartë me shumën e integraleve të gjetura në paragrafët 3.1 dhe 3.2: = ln|x 2 - 6X+25|+ .

Përgjigje: =ln|x 2 - 6X+25|+ .

Metodat për integrimin e funksioneve të tjera racionale diskutohen në kursin e plotë të analizës matematikore (shih, për shembull, Pismenny D.T. Shënimet e leksioneve në matematikën e lartë, pjesa 1 - M.: Airis-press, 2006.).

1. Integrimi i disa funksioneve irracionale.

Le të shqyrtojmë gjetjen e integraleve të pacaktuar të llojeve të mëposhtme të funksioneve irracionale: dhe ( a,b,c – konst). Për t'i gjetur ato, do të përdorim metodën e izolimit të një katrori të plotë në një shprehje irracionale. Pastaj integralet në shqyrtim mund të reduktohen në format e mëposhtme: ,

Le të shohim gjetjen e integraleve të disa funksioneve irracionale duke përdorur shembuj specifikë.

Shembulli 20.4. Gjeni integralin.

Zgjidhje. Le të përpiqemi të izolojmë katrorin e plotë në emërues . Për këtë 2 X përfaqësojeni atë si dyfishin e prodhimit 2∙1∙ X. Pastaj te shprehja X 2 +2X duhet shtuar katrori i njësisë ( X 2 + 2X + 1 = (x + 1) 2) dhe zbresim 1. Marrim një zinxhir transformimesh:

Le të llogarisim integralin që rezulton duke përdorur metodën e zëvendësimit. Le të vendosim x + 1 = Dhe, Pastaj. Le të zëvendësojmë dhe, dx , Ku A=4. Ne e kuptojmë atë . Le të zëvendësojmë në vend Dhe shprehje x+ 1:

Përgjigje: = .

Shembulli 20.5. Gjeni integralin.

Zgjidhje. Le të përpiqemi të izolojmë një katror të plotë nën shenjën e rrënjës . Për këtë 8 X përfaqësojeni atë si dyfishin e prodhimit 2∙4∙ X. Pastaj te shprehja X 2 -8X duhet të shtohet katrori prej katër ( X 2 - 8X + 16 = (X - 4) 2) dhe zbres atë. Ne marrim një zinxhir transformimesh:

Le të llogarisim integralin që rezulton duke përdorur metodën e zëvendësimit. Le të vendosim X - 4 = Dhe, Pastaj. Le të zëvendësojmë dhe, dx në integralin që rezulton: = . Le të përdorim integralin e tabelës: , Ku A= 3. Ne e kuptojmë atë . Le të zëvendësojmë në vend Dhe shprehje X- 4:

Përgjigje: = .

1. Zëvendësimi universal trigonometrik.

Nëse dëshironi të gjeni integralin e pacaktuar të një funksioni që përmban sinx Dhe cosx, të cilat lidhen vetëm me veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit ose pjesëtimit, atëherë mund t'i përdorni zëvendësimi universal trigonometrik .

Thelbi i këtij zëvendësimi është se sinx Dhe cosx mund të shprehet me tangjenten e gjysmëkëndit si më poshtë: , . Pastaj, nëse prezantojmë zëvendësimin , atëherë sinx Dhe cosx do të shprehet përmes t në mënyrën e mëposhtme: , . Mbetet për t'u shprehur X përmes t dhe gjeni dx.

Nese atehere. Ne do të gjejmë dx: = .

Pra, për të aplikuar një zëvendësim universal mjafton të caktohet sinx Dhe cosx përmes t(formulat janë të theksuara në një kornizë), dhe dx shkruani si. Si rezultat, nën shenjën integrale, duhet të merrni një funksion racional, integrimi i të cilit u konsiderua në paragrafin 1. Zakonisht metoda e përdorimit të zëvendësimit universal është shumë e rëndë, por gjithmonë çon në rezultat.

Le të shqyrtojmë një shembull të përdorimit të zëvendësimit universal trigonometrik.

Shembulli 20.6. Gjeni integralin.

Zgjidhje. Le të aplikojmë një zëvendësim universal, pastaj , , dx=. Prandaj, = = = = = ., atëherë janë marrë ").

Ka shumë integrale të quajtura " i pamarrë ". Integrale të tilla nuk shprehen përmes funksioneve elementare të njohura për ne. Për shembull, është e pamundur të merret integrali, pasi nuk ka asnjë funksion elementar derivati ​​i të cilit do të ishte i barabartë me . Por disa nga integralet "të pamarra" janë me rëndësi të madhe praktike.Kështu integrali quhet integral Poisson dhe përdoret gjerësisht në teorinë e probabilitetit.

Ekzistojnë integrale të tjera të rëndësishme "jo të integrueshme": - logaritmi integral (përdoret në teorinë e numrave) dhe - integrale Fresnel (të përdorura në fizikë). Për to janë përpiluar tabela të detajuara vlerash për vlera të ndryshme të argumentit. X.

Pyetjet e kontrollit:

Artikuj të ngjashëm