Gjeni boshtin e simetrisë. Boshti i simetrisë së një parabole është vija vertikale që kalon nëpër kulmin e parabolës. Boshti i simetrisë përcaktohet nga funksioni x = n, ku n është koordinata "x" e kulmit të parabolës. Për të llogaritur boshtin e simetrisë, përdorni formulën x = -b/2a.

• Në shembullin tonë a = 2, b = 0. Futni këto vlera në formulën: x = -0/(2 x 2) = 0.
• Boshti i simetrisë x = 0.

Gjeni majën. Pasi të keni llogaritur boshtin e simetrisë, keni gjetur koordinatën "x" të kulmit të parabolës. Futni vlerën që gjetët në ekuacionin origjinal për të gjetur "y". Këto dy koordinata janë koordinatat e kulmit të parabolës. Në shembullin tonë, zëvendësoni x = 0 në y = 2x 2 -1 dhe merrni y = -1. Kulmi i parabolës ka koordinata (0, -1). Për më tepër, kjo është pika e kryqëzimit të parabolës me boshtin Y (pasi x = 0).

• Ndonjëherë koordinatat e një kulmi shënohen si (h,k). Në shembullin tonë, h = 0, k = -1. Nëse ekuacioni kuadratik është dhënë në formën y = a(x – h)2 + k, atëherë ju mund të gjeni lehtësisht koordinatat e kulmit direkt nga ekuacioni (pa llogaritje).

Në matematikë ekziston një cikël i tërë identitetesh, ndër të cilat një vend të rëndësishëm zënë ekuacionet kuadratike. Barazi të tilla mund të zgjidhen si veçmas ashtu edhe për të ndërtuar grafikë në boshtin koordinativ. ekuacionet janë pikat e prerjes së parabolës dhe drejtëzës oh.

Forma e përgjithshme

Në përgjithësi, ajo ka strukturën e mëposhtme:

Si variablat individuale ashtu edhe shprehjet e tëra mund të konsiderohen si "X". Për shembull:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

Në rastin kur roli i x-it është shprehje, është e nevojshme të paraqitet si variabël dhe të gjendet, pas kësaj, barazoni polinomin me to dhe gjeni x.

Pra, nëse (x+7)=a, atëherë ekuacioni merr formën a 2 +3a+2=0.

D=3 2 -4*1*2=1;

dhe 1 =(-3-1)/2*1=-2;

dhe 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Me rrënjë të barabarta me -2 dhe -1, marrim sa vijon:

x+7=-2 dhe x+7=-1;

Rrënjët janë vlera e koordinatave x të pikës ku parabola kryqëzon boshtin x. Në parim, vlera e tyre nuk është aq e rëndësishme nëse detyra është vetëm gjetja e majës së parabolës. Por për hartimin e një grafiku, rrënjët luajnë një rol të rëndësishëm.

Le të kthehemi te ekuacioni fillestar. Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të gjeni kulmin e një parabole, duhet të dini formulën e mëposhtme:

ku x VP është vlera e koordinatës x e pikës së dëshiruar.

Por si të gjejmë kulmin e një parabole pa vlerën e koordinatës y? Ne e zëvendësojmë vlerën x që rezulton në ekuacion dhe gjejmë variablin e dëshiruar. Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm:

Gjeni vlerën e koordinatës x për kulmin e parabolës:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Gjeni vlerën e koordinatës y për kulmin e parabolës:

y=2x 2 +4x-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

Si rezultat, ne gjejmë se kulmi i parabolës ndodhet në pikën me koordinata (-1.5;-7.25).

Një parabolë është një lidhje pikash që ka një vertikale Për këtë arsye, vetë ndërtimi i saj nuk është veçanërisht i vështirë. Gjëja më e vështirë është të bësh llogaritjet e sakta të koordinatave të pikave.

Vlen t'i kushtohet vëmendje e veçantë koeficientëve të ekuacionit kuadratik.

Koeficienti a ndikon në drejtimin e parabolës. Në rastin kur ka vlerë negative, degët do të drejtohen nga poshtë, dhe kur shenja është pozitive, degët do të drejtohen lart.

Koeficienti b tregon se sa i gjerë do të jetë krahu i parabolës. Sa më e lartë të jetë vlera e saj, aq më e gjerë do të jetë.

Koeficienti c tregon zhvendosjen e parabolës përgjatë boshtit op në lidhje me origjinën.

Ne kemi mësuar tashmë se si të gjejmë kulmin e një parabole dhe për të gjetur rrënjët, duhet të udhëhiqemi nga formulat e mëposhtme:

ku D është diskriminuesi që është i nevojshëm për të gjetur rrënjët e ekuacionit.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

Vlerat që rezultojnë x do të korrespondojnë me vlerat zero y, sepse ato janë pikat e kryqëzimit me boshtin OX.

Pas kësaj, ne shënojmë vlerat që rezultojnë në krye të parabolës. Për një grafik më të detajuar, duhet të gjeni disa pika të tjera. Për ta bërë këtë, zgjidhni çdo vlerë të x të lejuar nga fusha e përkufizimit dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e funksionit. Rezultati i llogaritjeve do të jetë koordinata e pikës përgjatë boshtit op-amp.

Për të thjeshtuar procesin e grafikimit, mund të vizatoni një vijë vertikale përmes majës së parabolës dhe pingul me boshtin OX. Kjo do të jetë me ndihmën e së cilës, duke pasur një pikë, mund të caktoni një të dytë, në distancë të barabartë nga vija e tërhequr.

Unë sugjeroj që pjesa tjetër e lexuesve të zgjerojë ndjeshëm njohuritë e tyre shkollore për parabolat dhe hiperbolat. Hiperbola dhe parabola - a janë të thjeshta? ...Mezi pres =)

Hiperbola dhe ekuacioni i saj kanonik

Struktura e përgjithshme e prezantimit të materialit do të ngjajë me paragrafin e mëparshëm. Le të fillojmë me konceptin e përgjithshëm të hiperbolës dhe detyrën e ndërtimit të saj.

Ekuacioni kanonik i hiperbolës ka formën , ku janë numra realë pozitivë. Ju lutemi vini re se, ndryshe nga elips, kushti nuk vendoset këtu, pra vlera e “a” mund të jetë më e vogël se vlera e “be”.

Duhet të them, krejt papritur... ekuacioni i hiperbolës "shkollë" as që i ngjan shumë shënimit kanonik. Por ky mister do të duhet të na presë akoma, por tani për tani le të gërvishtim kokën dhe të kujtojmë se çfarë tipare karakteristike ka kurba në fjalë? Le ta shpërndajmë në ekranin e imagjinatës sonë grafiku i një funksioni ….

Një hiperbolë ka dy degë simetrike.

Progres jo i keq! Çdo hiperbolë ka këto veti, dhe tani ne do të shikojmë me admirim të vërtetë në qafën e kësaj linje:

Shembulli 4

Ndërtoni hiperbolën e dhënë nga ekuacioni

Zgjidhje: në hapin e parë, e sjellim këtë ekuacion në formën kanonik. Ju lutemi mbani mend procedurën standarde. Në të djathtë ju duhet të merrni "një", kështu që ne ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me 20:

Këtu mund të zvogëloni të dy fraksionet, por është më optimale të bëni secilën prej tyre trekatëshe:

Dhe vetëm pas kësaj kryeni uljen:

Zgjidhni katrorët në emërues:

Pse është më mirë të kryhen transformime në këtë mënyrë? Në fund të fundit, fraksionet në anën e majtë mund të zvogëlohen dhe të merren menjëherë. Fakti është se në shembullin në shqyrtim ishim pak me fat: numri 20 pjesëtohet si me 4 ashtu edhe me 5. Në rastin e përgjithshëm, një numër i tillë nuk funksionon. Konsideroni, për shembull, ekuacionin . Këtu me pjesëtueshmëri gjithçka është më e trishtuar dhe pa thyesat trekatëshe nuk është më e mundur:

Pra, le të përdorim frytin e punës sonë - ekuacionin kanonik:

Si të ndërtoni një hiperbolë?

Ekzistojnë dy qasje për të ndërtuar një hiperbolë - gjeometrike dhe algjebrike.
Nga pikëpamja praktike, vizatimi me busull... madje do të thosha utopik, ndaj është shumë më fitimprurëse të përdorësh edhe një herë llogaritjet e thjeshta për të ndihmuar.

Këshillohet që t'i përmbaheni algoritmit të mëposhtëm, së pari vizatimin e përfunduar, pastaj komentet:

Në praktikë, shpesh haset një kombinim i rrotullimit nga një kënd arbitrar dhe përkthimi paralel i hiperbolës. Kjo situatë diskutohet në klasë Reduktimi i ekuacionit të linjës së rendit të dytë në formën kanonike.

Parabola dhe ekuacioni i saj kanonik

Eshte mbaruar! Ajo është ajo. Gati për të zbuluar shumë sekrete. Ekuacioni kanonik i një parabole ka formën , ku është një numër real. Është e lehtë të vërehet se në pozicionin e saj standard parabola "shtrihet në anën e saj" dhe kulmi i saj është në origjinë. Në këtë rast, funksioni specifikon degën e sipërme të kësaj linje, dhe funksioni - degën e poshtme. Është e qartë se parabola është simetrike rreth boshtit. Në fakt, pse të shqetësoheni:

Shembulli 6

Ndërtoni një parabolë

Zgjidhje: kulmi është i njohur, le të gjejmë pika shtesë. Ekuacioni përcakton harkun e sipërm të parabolës, ekuacioni përcakton harkun e poshtëm.

Për të shkurtuar regjistrimin e llogaritjeve, ne do të kryejmë llogaritjet "me një furçë":

Për regjistrim kompakt, rezultatet mund të përmblidhen në një tabelë.

Përpara se të kryejmë një vizatim elementar pikë për pikë, le të formulojmë një strikt

Përkufizimi i parabolës:

Një parabolë është bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që janë të barabarta nga një pikë e caktuar dhe një vijë e caktuar që nuk kalon nëpër pikë.

Pika quhet fokusi parabola, vijë e drejtë - drejtoreshë (shkruhen me një "es") parabola. Konstanta "pe" e ekuacionit kanonik quhet parametri fokal, e cila është e barabartë me distancën nga fokusi në drejtimin. Në këtë rast . Në këtë rast, fokusi ka koordinata, dhe direktoria jepet nga ekuacioni.
Në shembullin tonë:

Përkufizimi i një parabole është edhe më i thjeshtë për t'u kuptuar sesa përkufizimet e një elipsi dhe një hiperbole. Për çdo pikë në një parabolë, gjatësia e segmentit (distanca nga fokusi në pikën) është e barabartë me gjatësinë e pingules (distanca nga pika në drejtimin):

urime! Shumë prej jush kanë bërë një zbulim të vërtetë sot. Rezulton se një hiperbolë dhe një parabolë nuk janë fare grafikë të funksioneve "të zakonshme", por kanë një origjinë të theksuar gjeometrike.

Natyrisht, me rritjen e parametrit fokal, degët e grafikut do të "ngriten" lart e poshtë, duke u afruar pafundësisht afër boshtit. Ndërsa vlera "pe" zvogëlohet, ato do të fillojnë të ngjeshen dhe shtrihen përgjatë boshtit

Ekscentriciteti i çdo parabole është i barabartë me unitetin:

Rrotullimi dhe përkthimi paralel i një parabole

Parabola është një nga linjat më të zakonshme në matematikë dhe do t'ju duhet ta ndërtoni shumë shpesh. Prandaj, ju lutemi kushtojini vëmendje të veçantë paragrafit të fundit të mësimit, ku do të diskutoj opsionet tipike për vendndodhjen e kësaj kurbë.

! shënim : si në rastet me kurbat e mëparshme, është më e saktë të flitet për rrotullim dhe përkthim paralel të boshteve koordinative, por autori do të kufizohet në një version të thjeshtuar të prezantimit, në mënyrë që lexuesi të ketë një kuptim bazë të këtyre shndërrimeve.

Mësimi: Si të ndërtoni një funksion parabolë ose kuadratik?

PJESA TEORIKE

Parabola është një grafik i një funksioni të përshkruar me formulën ax 2 +bx+c=0.
Për të ndërtuar një parabolë, duhet të ndiqni një algoritëm të thjeshtë:

1) Formula e parabolës y=ax 2 +bx+c,
Nëse a>0 atëherë drejtohen degët e parabolës lart,
përndryshe degët e parabolës janë të drejtuara poshtë.
Anëtar i lirë c kjo pikë pret parabolën me boshtin OY;

2), gjendet duke përdorur formulën x=(-b)/2a, e zëvendësojmë x-në e gjetur në ekuacionin e parabolës dhe gjejmë y;

3)Funksioni zero ose e thënë ndryshe pikat e prerjes së parabolës me boshtin OX quhen edhe rrënjët e ekuacionit. Për të gjetur rrënjët e barazojmë ekuacionin me 0 sëpatë 2 +bx+c=0;

Llojet e ekuacioneve:

a) Ekuacioni i plotë kuadratik ka formën sëpatë 2 +bx+c=0 dhe zgjidhet nga diskriminuesi;
b) Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës sëpatë 2 +bx=0. Për ta zgjidhur atë, duhet të hiqni x nga kllapat, pastaj të barazoni çdo faktor me 0:
sëpatë 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 dhe ax+b=0;
c) Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës sëpatë 2 +c=0. Për ta zgjidhur atë, duhet të zhvendosni të panjohurat në njërën anë dhe të njohurat në anën tjetër. x =±√(c/a);

4) Gjeni disa pika shtesë për të ndërtuar funksionin.

PJESA PRAKTIKE

Dhe kështu tani, duke përdorur një shembull, ne do të analizojmë gjithçka hap pas hapi:
Shembulli #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 do të thotë parabola pret OY në pikën x=0 y=3. Degët e parabolës duken lart pasi a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 kulmi është në pikën (-2;-1)
Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit x 2 +4x+3=0
Duke përdorur diskriminuesin gjejmë rrënjët
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Le të marrim disa pika arbitrare që ndodhen pranë kulmit x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Zëvendësoni në vend të x në ekuacionin y=x 2 +4x+3 vlera
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Nga vlerat e funksionit mund të shihet se parabola është simetrike në lidhje me vijën e drejtë x = -2

Shembulli #2:
y=-x 2 +4x
c=0 do të thotë parabola pret OY në pikën x=0 y=0. Degët e parabolës shikojnë poshtë pasi a=-1 -1 Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit -x 2 +4x=0
Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës ax 2 +bx=0. Për ta zgjidhur atë, duhet të hiqni x nga kllapat, pastaj të barazoni çdo faktor me 0.
x(-x+4)=0, x=0 dhe x=4.

Le të marrim disa pika arbitrare që ndodhen pranë kulmit x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Zëvendësoni në vend të x në ekuacionin y=-x 2 +4x vlera
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Nga vlerat e funksionit mund të shihet se parabola është simetrike në lidhje me vijën e drejtë x = 2

Shembulli nr. 3
y=x 2 -4
c=4 do të thotë parabola pret OY në pikën x=0 y=4. Degët e parabolës duken lart pasi a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 kulmi është në pikën (0;- 4 )
Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit x 2 -4=0
Ekuacioni kuadratik jo i plotë i formës ax 2 +c=0. Për ta zgjidhur atë, duhet të zhvendosni të panjohurat në njërën anë dhe të njohurat në anën tjetër. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Le të marrim disa pika arbitrare që ndodhen pranë kulmit x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Zëvendësoni në vend të x në ekuacionin y= x 2 -4 vlera
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Nga vlerat e funksionit mund të shihet se parabola është simetrike në lidhje me vijën e drejtë x = 0

Abonohu në kanalin në YOUTUBE të jeni të informuar me të gjitha produktet e reja dhe të përgatiteni me ne për provime.

Artikuj të ngjashëm

Si të ndihmoni një të dashur nga distanca?

Si të bëni një pasqyrë magjike Ritual për krijimin e një pasqyre magjike

Çfarë duhet të jetë në tryezën e Vitit të Ri

Sesionet fotografike të Vitit të Ri në studio: foto dhe ide