Një ekuacion i rendit të parë me tre të panjohura ka formën Ax + Ву + Cz + D = 0, dhe të paktën një nga koeficientët A, B, C duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Ai specifikon në hapësirën në sistem koordinativ drejtkëndor Sipërfaqja algjebrike Oxyz e rendit të parë.
Vetitë e një sipërfaqeje algjebrike të rendit të parë janë në shumë mënyra të ngjashme me vetitë e një vije të drejtë në një plan - imazhi gjeometrik i një ekuacioni të rendit të parë me dy të panjohura.
Teorema 5.1.Çdo rrafsh në hapësirë është një sipërfaqe e rendit të parë dhe çdo sipërfaqe e rendit të parë në hapësirë është një rrafsh.
◄ Si pohimi i teoremës ashtu edhe vërtetimi i saj janë të ngjashëm me teoremën 4.1. Në të vërtetë, le të përcaktohet rrafshi π nga pika e tij M 0 dhe vektor jozero n, e cila është pingul me të. Pastaj grupi i të gjitha pikave në hapësirë ndahet në tre nëngrupe. E para përbëhet nga pika që i përkasin aeroplanit, dhe dy të tjerat - nga pika të vendosura në njërën dhe anën tjetër të aeroplanit. Cila nga këto grupe i përket një pike arbitrare M të hapësirës varet nga shenja produkt me pika nM 0 M . Nëse pika M i përket rrafshit (Fig. 5.1, a), atëherë këndi ndërmjet vektorëve n dhe M 0 M është i drejtë, dhe për këtë arsye, sipas teoremës 2.7, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero:
nM 0 M = 0
Nëse pika M nuk i përket rrafshit, atëherë këndi ndërmjet vektorëve n dhe M 0 M është akut ose i mpirë, dhe për këtë arsye nM 0 M > 0 ose nM 0 M
Le të shënojmë koordinatat e pikave M 0, M dhe vektoriale n përmes (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) dhe (A; B; C), respektivisht. Meqenëse M 0 M = (x - x 0 0; y - y 0; z - z 0 ), atëherë, duke shkruar produktin skalar nga (5.1) në formën e koordinatave (2.14) si shuma e produkteve në çift të koordinatave të njëjta të vektorët n dhe M 0 M , marrim kushtin që pika M t'i përkasë rrafshit në shqyrtim në formën
A(x - x 0) + B(y - y 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)
Hapja e kllapave jep ekuacionin
Ax + Wu + Cz + D = 0, (5.3)
ku D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 dhe të paktën një nga koeficientët A, B ose C është i ndryshëm nga zero, pasi vektori n = (A; B; C) është jo zero. Kjo do të thotë se rrafshi është imazhi gjeometrik i ekuacionit (5.3), d.m.th. sipërfaqe algjebrike e rendit të parë.
Duke kryer vërtetimin e mësipërm të pohimit të parë të teoremës në rend të kundërt, do të vërtetojmë se imazhi gjeometrik i ekuacionit Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0, është një plan . Le të zgjedhim tre numra (x = x 0, y = y 0, z = z 0) që plotësojnë këtë ekuacion. Numra të tillë ekzistojnë. Për shembull, kur A ≠ 0 mund të vendosim y 0 = 0, z 0 = 0 dhe pastaj x 0 = - D/A. Numrat e zgjedhur korrespondojnë me pikën M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0), e cila i përket imazhit gjeometrik të ekuacionit të dhënë. Nga barazia Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 del se D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Duke e zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin në shqyrtim, marrim Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, që është ekuivalente me (5.2). Barazia (5.2) mund të konsiderohet si kriteri i ortogonalitetit të vektorit n = (A; B; C) dhe M 0 M, ku pika M ka koordinata (x; y; z). Ky kriter plotësohet për pikat e rrafshit që kalon në pikën M 0 pingul me vektorin n = (A; B; C), dhe nuk është i plotësuar për pikat e tjera në hapësirë. Kjo do të thotë se ekuacioni (5.2) është ekuacioni i rrafshit të treguar.
Quhet ekuacioni Ax + Wu + Cz + D = 0 ekuacioni i planit të përgjithshëm. Koeficientët A, B, C për të panjohurat në këtë ekuacion kanë një kuptim të qartë gjeometrik: vektori n = (A; B; C) është pingul me rrafshin. Ai quhet vektor i rrafshit normal. Ai, si ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit, përcaktohet deri në një faktor numerik (jo zero).
Duke përdorur koordinatat e njohura të një pike që i përket një rrafshi të caktuar dhe një vektori jozero pingul me të, duke përdorur (5.2), ekuacioni i rrafshit shkruhet pa asnjë llogaritje.
Shembulli 5.1. Le të gjejmë ekuacionin e përgjithshëm të një rrafshi pingul me vektori i rrezes pika A(2; 5; 7) dhe duke kaluar nëpër pikën M 0 (3; - 4; 1).
Meqenëse vektori jozero OA = (2; 5; 7) është pingul me rrafshin e dëshiruar, ekuacioni i tij i tipit (5.2) ka formën 2(x - 3) + 5(y + 4) + 7(z- 1) = 0. Duke hapur kllapat , marrim ekuacionin e përgjithshëm të dëshiruar të planit 2x + 5y + 7z + 7 = 0.
Leksioni 2. Rrafshi si sipërfaqe e rendit të parë. Ekuacionet e planit dhe studimi i tyre. Një vijë e drejtë në hapësirë, pozicioni relativ i drejtëzave në hapësirë, një rrafsh dhe një vijë e drejtë në hapësirë. Një vijë e drejtë në një plan, ekuacionet e një vijë të drejtë në një plan, distanca nga një pikë në një vijë të drejtë në një plan. Kurbat e rendit të dytë; nxjerrja e ekuacioneve kanonike, studimi i ekuacioneve dhe ndërtimi i kurbave. Sipërfaqet e rendit të dytë, studimi i ekuacioneve kanonike të sipërfaqeve. Metoda e seksionit. 1
Elemente të gjeometrisë analitike § 1. Rrafsh. Kemi OXYZ dhe disa sipërfaqe S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Përkufizim 1: një ekuacion me tre ndryshore quhet ekuacion i sipërfaqes S në hapësirë nëse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat e secilit. pikë e shtrirë në sipërfaqe dhe e pa kënaqur nga koordinatat as edhe një pikë e vetme që shtrihet mbi të. 2
Shembull. Ekuacioni (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) përcaktojmë një sferë me qendër në pikën C(a, b, c) dhe rreze R. M M (x , y, z) – pika e ndryshueshme M ϵ (S) |CM| = R C 3
Përkufizimi 2: Një sipërfaqe S quhet një sipërfaqe e rendit të n-të nëse në një sistem koordinativ kartezian jepet nga një ekuacion algjebrik i shkallës së n-të F(x, y, z) = 0 (1) Në shembullin (S) - një rreth, një sipërfaqe e rendit të dytë. Nëse S është një sipërfaqe e rendit të n-të, atëherë F(x, y, z) është një polinom i shkallës së n-të në lidhje me (x, y, z) Konsideroni sipërfaqen e vetme të rendit të parë - një rrafsh. Le të krijojmë një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikën M (x, y, z), me një vektor normal 4
Le të jetë M(x, y, z) një pikë arbitrare (aktuale) e rrafshit. M M 0 O α ose në formë koordinative: (2) Ekuacioni (2) është ekuacioni i rrafshit që kalon në pikën M me një vektor normal të dhënë. 5
D (*) (3) - ekuacion i plotë i rrafshit Ekuacion jo i plotë i rrafshit. Nëse në ekuacionin (3) disa koeficientë (por jo A, B, C në të njëjtën kohë) = 0, atëherë ekuacioni quhet jo i plotë dhe rrafshi α ka veçori në vendndodhjen e tij. Për shembull, nëse D = 0, atëherë α kalon përmes origjinës. 6
Distanca nga pika M 1 në rrafshin α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 zbatohet në pikën M 0 K 7
- distanca nga pika M 1 në rrafshin α Ekuacioni i rrafshit "në segmente" Le të krijojmë një ekuacion të rrafshit duke prerë segmente jo zero në boshtet e koordinatave me vlera C(0, 0, c) a, b, c. Le të marrim si vlerë B(0, b, 0) Le të krijojmë një ekuacion për pikën A me A(a, 0, 0) 8
-ekuacioni i rrafshit α "në segmente" -ekuacioni i rrafshit që kalon në pikën A, pingul me vektorin normal 9
§ 2. Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës. Një vijë e drejtë në hapësirë mund të përcaktohet nga kryqëzimi i 2 planeve. (1) ekuacioni i një vije të drejtë Një sistem i tipit (1) përcakton një vijë të drejtë në hapësirë nëse koeficientët A 1, B 1, C 1 janë njëkohësisht në disproporcion me A 2, B 2, C 2. 10
Ekuacionet parametrike dhe kanonike të një drejtëze - pika arbitrare e një drejtëze pikë M M 0 Ekuacioni parametrik t - parametri 11
Duke eliminuar t, marrim: - ekuacioni kanonik Sistemi (3) përcakton lëvizjen e një pike materiale, drejtvizore dhe uniforme nga pozicioni fillestar M 0 (x 0, y 0, z 0) me shpejtësi në drejtim të vektorit. 12
Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë. Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit. Le të jenë dy drejtëza L 1, L 2 në hapësirë të dhëna nga ekuacionet e tyre kanonike: Atëherë detyra e përcaktimit të këndit ndërmjet këtyre vijave reduktohet në përcaktimin e këndit
vektorët e drejtimit të tyre: Duke përdorur përkufizimin e produktit skalar dhe shprehjen në koordinata të produktit skalar të specifikuar dhe gjatësitë e vektorëve q 1 dhe q 2, marrim të gjejmë: 15
Kushti për paralelizmin e drejtëzave l 1 dhe l 2 korrespondon me kolinearitetin e q 1 dhe q 2, qëndron në proporcionalitetin e koordinatave të këtyre vektorëve, d.m.th. ka formën: Kushti i pingulitetit rrjedh nga përkufizimi i produkti skalar dhe barazia e tij në zero (në cos = 0) dhe ka formën : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16
Këndi midis një drejtëze dhe një rrafshi: kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e një drejtëze dhe një rrafshi Shqyrtoni rrafshin P, të përcaktuar nga ekuacioni i përgjithshëm: Ax + By + Cz + D = 0, dhe drejtëza L, e përcaktuar nga ekuacioni kanonik: 17
Meqenëse këndi ndërmjet drejtëzës L dhe planit P është plotësues me këndin ndërmjet vektorit drejtues të drejtëzës q = (l, m, n) dhe vektorit normal të rrafshit n = (A, B, C) , atëherë nga përkufizimi i produktit skalar q n = q n cos dhe barazia cos = sin (= 90 -), marrim: 18
Kushti i paralelizmit të drejtëzës L dhe rrafshit П (duke përfshirë faktin që L i përket П) është ekuivalent me kushtin e pingulitetit të vektorëve q dhe n dhe shprehet me = 0 produkt skalar të këtyre vektorëve: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Kushti i pingulitetit të drejtëzës L dhe rrafshit P është ekuivalent me kushtin e paralelizmit të vektorëve n dhe q dhe shprehet me proporcionalitetin e koordinatave të këtyre vektorëve: 19.
Kushtet që dy drejtëza t'i përkasin të njëjtit rrafsh Dy drejtëza në hapësirën L 1 dhe L 2 mund: 1) të kryqëzohen; 2) të jetë paralel; 3) kryqëzohen. Në dy rastet e para, linjat L 1 dhe L 2 shtrihen në të njëjtin plan. Le të vendosim kushtin që dy drejtëza të përcaktuara nga ekuacionet kanonike t'i përkasin të njëjtit rrafsh: 20
Natyrisht, që dy linjat e treguara t'i përkasin të njëjtit rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që tre vektorë = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) dhe q 2 = (l 2, m 2, n 2), ishin koplanare, për të cilat, nga ana tjetër, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që produkti i përzier i këtyre tre vektorëve = 0. 21
Duke shkruar prodhimet e përziera të vektorëve të treguar në koordinata, marrim një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm që dy drejtëza L 1 dhe L 2 t'i përkasin të njëjtit rrafsh: 22
Kushti që një drejtëz t'i përkasë një rrafshi Le të jetë një drejtëz dhe një rrafsh Ax + Bi + Cz + D = 0. Këto kushte kanë formën: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 dhe Al + Bm + Cn = 0, e para nga e cila do të thotë se pika M 1(x1, y1, z 1) nëpër të cilën kalon drejtëza i përket rrafshit, dhe e dyta është kushti i paralelizmit të drejtëzës dhe rrafshit. 23
Kurbat e rendit të dytë. § 1. Koncepti i ekuacionit të drejtëzës në rrafsh. Ekuacioni f (x, y) = 0 quhet ekuacion i drejtëzës L në sistemin koordinativ të zgjedhur nëse plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në drejtëzë dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet në të. 24
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Shembull: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}
Drejtëza L quhet drejtëz e rendit të n-të nëse në ndonjë sistem koordinativ kartezian jepet nga një ekuacion algjebrik i shkallës së n-të në lidhje me x dhe y. Ne e dimë vijën e vetme të rendit të parë - një vijë e drejtë: Ax + By + D = 0 Do të shqyrtojmë kthesat e rendit të dytë: elips, hiperbolë, parabolë. Ekuacioni i përgjithshëm i rreshtave të rendit të dytë është: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26
Elipse (E) Përkufizim. Elipsa është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, shuma e distancave në dy pika fikse të planit F 1 dhe F 2, të quajtura vatra, është një vlerë konstante dhe një distancë e madhe midis vatrave. Le ta shënojmë konstanten si 2 a, distancën ndërmjet vatrave si 2 c. Vizato boshtin X nëpër vatër, (a > c, a > 0, c > 0). Boshti Y përmes mesit të gjatësisë fokale. Le të jetë M një pikë arbitrare e elipsës, t. M ε E r 1 + r 2 = 2 a (1), ku r 1, r 2 janë 27 rrezet fokale të E.
Le të shkruajmë (1) në formën e koordinatave: (2) Ky është ekuacioni i një elipsi në sistemin koordinativ të zgjedhur. Duke thjeshtuar (2) marrim: b 2 = a 2 - c 2 (3) – ekuacioni kanonik i elipsës. Mund të tregohet se (2) dhe (3) janë ekuivalente: 28
Studimi i formës së një elipse duke përdorur ekuacionin kanonik 1) Elipsa është një kurbë e rendit të dytë 2) Simetria e elipsës. meqenëse x dhe y përfshihen në (3) vetëm në fuqi çift, elipsa ka 2 boshte dhe 1 qendër simetrie, të cilat në sistemin e zgjedhur të koordinatave përkojnë me boshtet e zgjedhura të koordinatave dhe pikën O. 29
3) Vendndodhja e elipsit Domethënë, e gjithë E-ja ndodhet brenda një drejtkëndëshi, brinjët e të cilit janë x = ± a dhe y = ± b. 4) Kryqëzimi me akset. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: kulmet e elipsës C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); Për shkak të simetrisë së elipsës, sjelljen e saj (↓) do ta konsiderojmë vetëm në tremujorin e parë. tridhjetë
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Duke zgjidhur (3) në lidhje me y marrim: në tremujorin e parë x > 0 dhe elipsin zvogëlohet."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}
Hiperbola (Г) Përkufizim: Г është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, moduli i diferencës në distancë deri në 2 pika fikse të planit F 1, F 2 është një vlerë konstante dhe
Thjeshtimi (1): (2) është ekuacioni kanonik i G. (1) dhe (2) janë ekuivalent. Studimi i hiperbolës duke përdorur ekuacionin kanonik 1) Г është një vijë e rendit të dytë 2) Г ka dy boshte dhe një qendër simetrie, të cilat në rastin tonë përkojnë me boshtet koordinative dhe origjinën. 3) Vendndodhja e hiperbolës. 34
Hiperbola ndodhet jashtë shiritit ndërmjet vijave x = a, x = -a. 4) Pikat e kryqëzimit me akset. OX: OY: nuk ka zgjidhje A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – kulmet reale Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – kulme imagjinare Г 2 a – bosht real Г 2 b – bosht imagjinar Г 35
5) Asimptotat e një hiperbole. Për shkak të simetrisë së Г, konsiderojmë pjesën e saj në tremujorin e parë. Pasi të kemi zgjidhur (2) në lidhje me y, marrim: ekuacionin Г në tremujorin e parë x ≥ 0 Konsideroni drejtëzën: pasi në tremujorin e parë x>0, pra në tremujorin e parë me të njëjtën abshisë, ordinata. i drejtëzës > ordinoni pikën përkatëse Г, pra në tremujorin e parë Г shtrihet nën këtë drejtëz. I gjithë G-ja shtrihet brenda një këndi vertikal me brinjë 36
6) Mund të tregohet se në pjesën e parë G rritet 7) Plani për ndërtimin e G a) ndërtoni një drejtkëndësh 2 a, 2 b b) vizatoni diagonalet e tij c) shënoni A 1, A 2 - kulmet reale të G dhe 38 shkruani këto degë
Parabola (P) Konsideroni d (directrix) dhe F (fokus) në aeroplan. Përkufizimi. П – grup i të gjitha pikave të rrafshit në distancë të barabartë nga drejtëza d dhe pika F (fokus) 39
d-directrix F-fokusimi XOY pika М П pastaj, |MF| = |MN| (1) ekuacioni i P, i zgjedhur në sistemin koordinativ. Duke thjeshtuar (1) marrim y 2 = 2 px (2) - ekuacioni kanonik i P. (1) dhe (2) janë ekuivalent 40
Studimi i P-së duke përdorur ekuacionin kanonik x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41
§ 4. Cilindrat. Sipërfaqet cilindrike me gjenerata paralele me boshtet koordinative Nëpër pikën x të drejtëzës L vizatojmë një drejtëz paralele me boshtin OZ. Sipërfaqja e formuar nga këto vija të drejta quhet sipërfaqe cilindrike ose cilindër (C). Çdo vijë e drejtë paralele me boshtin OZ quhet gjenerator. l është udhëzuesi i sipërfaqes cilindrike të rrafshit XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42
Le të jetë M(x, y, z) një pikë arbitrare e një sipërfaqe cilindrike. Le ta projektojmë atë në L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 që është , koordinatat M plotësojnë (1), është e qartë se nëse M C, atëherë ajo nuk është projektuar në pikën M 0 ϵ L dhe për këtë arsye, koordinatat e M nuk do të plotësojnë ekuacionin (1), i cili përcakton C me një gjenerator paralele në boshtin OZ në hapësirë. Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se: Ф(x, z) = 0 në hapësirën Г || OY 43 (y, z) = 0 përcakton në hapësirën C || OK
Projeksioni i një vije hapësinore në një plan koordinativ Një vijë në hapësirë mund të përcaktohet në mënyrë parametrike dhe nga kryqëzimi i sipërfaqeve. E njëjta linjë mund të përkufizohet si ∩ e sipërfaqeve të ndryshme. Le të jepet drejtëza hapësinore L ∩ e dy sipërfaqeve α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 ekuacioni L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Le të gjejmë projeksionin e L në rrafshin XOY nga ekuacioni (1) dhe të përjashtojmë Z. Marrim ekuacionin: Z(x, y) = 0 – në hapësirë ky është ekuacioni Ε me gjeneratorin || OZ dhe udhëzuesi L. 46
Projeksion: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Sipërfaqe të rendit të dytë Elipsoid - ekuacioni kanonik i një sipërfaqeje ka formën: 1) Elipsoid - sipërfaqe e rendit të dytë. 2) X, Y, Z hyjnë në ekuacion vetëm në fuqi çift => sipërfaqja ka 3 plane dhe 1 qendër simetrie, të cilat në sistemin e zgjedhur koordinativ përkojnë me rrafshet koordinative dhe origjinën. 47
3) Vendndodhja e elipsoidit Sipërfaqja është e mbyllur ndërmjet || plane me ekuacione x = a, x = -a. Në mënyrë të ngjashme, d.m.th., e gjithë sipërfaqja gjendet brenda një paralelepipedi drejtkëndor. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Sipërfaqen do ta shqyrtojmë duke përdorur metodën e prerjeve - prerja e sipërfaqes me plane koordinative || koordinoj. Në seksion do të marrim vija, nga forma e të cilave do të gjykojmë formën e sipërfaqes. 48
Le të kryqëzojmë sipërfaqen me rrafshin XOY. Në seksion kemi një vijë. - elipsa a dhe b – gjysmë boshtet Ngjashëm me rrafshin YOZ - elipsa me gjysmëboshte b dhe c Rrafshi || XOY Nëse h(0, c), atëherë boshtet e elipseve zvogëlohen nga a dhe b në 0. 49
a = b = c - Paraboloidet e sferës a) Paraboloidi hiperbolik - një sipërfaqe me një ekuacion kanonik: 1) Sipërfaqja e rendit të dytë 2) Meqenëse x, y hyjnë në ekuacion vetëm në fuqi çift, sipërfaqja ka rrafshe simetrie, të cilat përkojnë për një zgjedhje të caktuar të koordinatave me 50 plane XOZ, YOZ.
3) ne ekzaminojmë sipërfaqen duke përdorur metodën e seksionit të shalës. XOZ Në prerje tërthore, parabola është simetrike me boshtin OZ, në ngjitje. pl. YOZ 51
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" zona ||XOY për h > 0 hiperbola, me gjysmë-bosht real përgjatë OX, për h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}
b) Hiperboloid me dy fletë 1) sipërfaqe e rendit të dytë 2) ka 3 plane dhe 1 qendër simetrie 3) vendndodhjen e sipërfaqes x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Sipërfaqja përbëhet nga dy pjesë të vendosura jashtë shiritit midis rrafsheve me ekuacionet x = a, x = -a 4) studiojmë metodën e seksioneve (Vetë!) 57
Koni i rendit të dytë Koni i rendit të dytë është një sipërfaqe, ekuacioni kanonik i së cilës ka formën: 1) një sipërfaqe të rendit të dytë 2) ka 3 plane dhe 1 qendër simetrie 3) studiojmë metodën e seksioneve katrore. XOY 58
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" katror ||XOY |h| –>∞ nga 0 në ∞ katror YOZ palë vijash të drejta, duke kaluar nëpër"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}
60
Në hapësirë, gjeometria analitike studion sipërfaqet që përcaktohen në koordinatat karteziane drejtkëndore nga ekuacionet algjebrike së pari, së dyti, etj. gradë në raport me X,Y,Z:
Ax+By+Cz+D=0 (1)
Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)
e kështu me radhë. Rendi i një ekuacioni quhet rendi i sipërfaqes që ai përcakton. Ne kemi parë tashmë se ekuacioni Porosia e pare(lineare) (1) gjithmonë specifikon aeroplanështë e vetmja sipërfaqe e rendit të parë. Tashmë ka shumë sipërfaqe të rendit të dytë. Le të shohim më të rëndësishmet prej tyre.
§2. Sipërfaqe cilindrike me gjenerata paralele me një nga boshtet koordinative.
Le të jepet, për shembull, një drejtëz L e caktuar në rrafshin XОY, ekuacioni i tij është F(x,y)=0 (1) . Atëherë grupi i vijave të drejta paralele me boshtin oz (gjeneratorët) dhe që kalojnë nëpër pika në L formojnë një sipërfaqe S të quajtur sipërfaqe cilindrike.
Le të tregojmë se ekuacioni (1), i cili nuk përmban ndryshoren z, është ekuacioni i kësaj sipërfaqe cilindrike S. Merrni një pikë arbitrare M(x,y,z) që i përket S. Le të presë gjeneratën që kalon nëpër M. në pikën N. Pika N ka koordinata N(x,y,0), ato plotësojnë ekuacionin (1), sepse (·)N i përket L. Por atëherë koordinatat (x,y,z,) plotësojnë edhe (1), sepse nuk përmban z. Kjo do të thotë se koordinatat e çdo pike të sipërfaqes cilindrike S plotësojnë ekuacionin (1). Kjo do të thotë se F(x,y)=0 është ekuacioni i kësaj sipërfaqe cilindrike. Kurba L quhet udhëzues (lakore) sipërfaqe cilindrike. Vini re se në sistemin hapësinor L duhet të jepet, në përgjithësi, me dy ekuacione F(x,y)=0, z=0, si vijë kryqëzimi.
Shembuj:
Udhëzuesit në rrafshin si janë elipsa, parabola, hiperbola. Natyrisht, ekuacionet F=(y,z)=0 dhe F(x,z)=0 përcaktojnë, përkatësisht, sipërfaqe cilindrike me gjeneratorë paralelë me boshtet OX dhe OY. Udhëzuesit e tyre shtrihen në aeroplanët YOZ dhe XOZ, përkatësisht.
Komentoni. Një sipërfaqe cilindrike nuk është domosdoshmërisht një sipërfaqe e rendit të dytë. Për shembull, ekziston një sipërfaqe cilindrike e rendit të tretë, dhe ekuacioni y=sin(x) specifikon një cilindër sinusoidal, të cilit nuk i është caktuar asnjë renditje; kjo nuk është fare një sipërfaqe algjebrike.
§3. Ekuacioni i sipërfaqes së rrotullimit.
Disa sipërfaqe të rendit të dytë janë sipërfaqe të revolucionit. Le të shtrihet një kurbë L F(y,z)=0(1) në rrafshin YOZ. Le të zbulojmë se cili do të jetë ekuacioni i sipërfaqes S, i formuar nga kurba rrotulluese (1) rreth boshtit oz.
Le të marrim një pikë arbitrare M(x,y,z) në sipërfaqen S. Mund të konsiderohet i marrë nga (.) N që i përket L, atëherë aplikimet e pikave M dhe N janë të barabarta (=z). Ordinata e pikës N është këtu rrezja e rrotullimit, sepse .Por C(0,0,z) dhe sepse 
. Por pika N shtrihet në kurbë dhe për këtë arsye koordinatat e saj e kënaqin atë. Do të thotë 
(2)
. Ekuacioni (2) plotësohet nga koordinatat e sipërfaqes së rrotullimit S. Kjo do të thotë (2) është ekuacioni i sipërfaqes së rrotullimit. Shenjat "+" ose "-" merren në varësi të asaj se në cilën pjesë të lakores planore YOZ (1) ndodhet, ku y>0 ose .
Pra, rregulli: Për të gjetur ekuacionin e sipërfaqes së formuar duke rrotulluar kurbën L rreth boshtit OZ, duhet të zëvendësoni variablin y në ekuacionin e lakores
Ekuacionet për sipërfaqet e rrotullimit rreth boshteve OX dhe OY janë ndërtuar në mënyrë të ngjashme.
§7. Plani si sipërfaqe e rendit të parë. Ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit. Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar Le të prezantojmë një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor Oxyz në hapësirë dhe të shqyrtojmë një ekuacion të shkallës së parë (ose ekuacioni linear) për x, y, z: (7.1) Ax Nga Cz D 0, A2 B2 C 2 0 . Teorema 7.1. Çdo plan mund të specifikohet në një sistem koordinativ arbitrar drejtkëndor kartezian me një ekuacion të formës (7.1). Pikërisht në të njëjtën mënyrë si në rastin e një drejtëze në një plan, anasjellta e teoremës 7.1 është e vlefshme. Teorema 7.2. Çdo ekuacion i formës (7.1) përcakton një rrafsh në hapësirë. Vërtetimi i teoremave 7.1 dhe 7.2 mund të kryhet në mënyrë të ngjashme me vërtetimin e teoremave 2.1, 2.2. Nga teorema 7.1 dhe 7.2 rezulton se rrafshi dhe vetëm ai është një sipërfaqe e rendit të parë. Ekuacioni (7.1) quhet ekuacioni i planit të përgjithshëm. Koeficientët e tij A, B, C interpretohen gjeometrikisht si koordinata të vektorit n pingul me rrafshin e përcaktuar nga ky ekuacion. Ky vektor n(A, B, C) quhet vektor normal në rrafshin e dhënë. Ekuacioni (7.2) A(x x0) B(y y0) C (z z0) 0 për të gjitha vlerat e mundshme të koeficientëve A, B, C përcakton të gjitha rrafshet që kalojnë nëpër pikën M 0 ( x0, y0, z0). Quhet ekuacioni i një tufe planesh. Zgjedhja e vlerave specifike të A, B, C në (7.2) nënkupton zgjedhjen e planit P nga lidhja që kalon nëpër pikën M 0 pingul me vektorin e dhënë n(A, B, C) (Fig. 7.1 ). Shembulli 7.1. Shkruani ekuacionin e rrafshit P që kalon në pikën A(1, 2, 0) paralel me vektorët a (1, 2,–1), b (2, 0, 1) . Vektori normal n në P është ortogonal me vektorët e dhënë a dhe b (Fig. 7.2), prandaj për n mund të marrim vektorin n prodhim të tyre: A P i j k 1 1 2 n a b 1 2 1 i j 2 1 k 12 0 0 1 2 0 1 n a 4k. Le të zëvendësojmë koordinatat e Fig. 7.2. Për shembull, 7.1 P M0 pika M 0 dhe vektori n në ekuacionin (7.2), marrim Fig. 7.1. Tek ekuacioni i rrafshit të një tufe planesh P: 2(x 1) 3(y 2) 4z 0 ose P: 2x 3y 4z 4 0 nëse dy koeficientët 1. A, B, C të ekuacionit (7.1) janë të barabarta me zero, ai specifikon një plan paralel me një nga rrafshet koordinative. Për shembull, kur A B 0, C 0 – plani P1: Cz D 0 ose P1: z D / C (Fig. 7.3). Ai është paralel me rrafshin Oxy, sepse vektori i tij normal n1(0, 0, C) është pingul me këtë rrafsh. Për A C 0, B 0 ose B C 0, A 0, ekuacioni (7. 1) përcakton rrafshet P2: Me D 0 dhe P3: Ax D 0, paralel me planet koordinative Oxz dhe Oyz, pasi vektorët e tyre normalë n2(0, B, 0) dhe n3(A, 0 , 0 ) janë pingul me to (Fig. 7.3). Nëse vetëm një nga koeficientët A, B, C të ekuacionit (7.1) është i barabartë me zero, atëherë ai specifikon një rrafsh paralel me një nga boshtet e koordinatave (ose që e përmban atë nëse D 0). Kështu, plani P: Ax Nga D 0 është paralel me boshtin Oz, z z n1 n n2 P1 L P O n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Plani P: Ax B y D 0, paralel me boshtin Oz Fig. 7.3. Planet janë paralele me planet koordinative pasi vektori i tij normal n(A, B, 0) është pingul me boshtin Oz. Vini re se ai kalon nëpër drejtëzën L: Ax Nga D 0 që shtrihet në rrafshin Oxy (Fig. 7.4). Për D 0, ekuacioni (7.1) specifikon një plan që kalon nga origjina. Shembulli 7.2. Gjeni vlerat e parametrit për të cilin ekuacioni x (2 2) y (2 2)z 3 0 përcakton rrafshin P me një: të planeve koordinative; b) paralel me një nga boshtet koordinative; c) duke kaluar nga origjina e koordinatave. Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formën x ( 2) y ( 2)( 1) z 3 0 . (7.3) Për çdo vlerë , ekuacioni (7.3) përcakton një plan të caktuar, pasi koeficientët e x, y, z në (7.3) nuk zhduken njëkohësisht. a) Për 0, ekuacioni (7.3) përcakton një plan P paralel me rrafshin Oxy, P: z 3 / 2, dhe për 2 përcakton një plan P 2 paralel me rrafshin Oyz, P: x 5/ 2. Për asnjë vlerë të rrafshi P i përcaktuar nga ekuacioni (7.3) është paralel me rrafshin Oxz, pasi koeficientët e x, z në (7.3) nuk zhduken njëkohësisht. b) Për 1, ekuacioni (7.3) përcakton një plan P paralel me boshtin Oz, P: x 3y 2 0. Për vlerat e tjera të parametrit , ai nuk përcakton një rrafsh paralel me vetëm një nga boshtet e koordinatave. c) Për 3, ekuacioni (7.3) përcakton rrafshin P që kalon nga origjina, P: 3x 15 y 10 z 0 . ◄ Shembulli 7.3. Shkruani ekuacionin e rrafshit P që kalon nëpër: a) pikën M (1, 3, 2) paralel me boshtin e rrafshit Oxy; b) boshti Ox dhe pika M (2, – 1, 3). a) Për vektorin normal n në P këtu mund të marrim vektorin k (0, 0,1) - vektorin njësi të boshtit Oz, pasi ai është pingul me rrafshin Oxy. Zëvendësojmë koordinatat e pikës M (1, 3, 2) dhe vektorit n në ekuacionin (7.2), marrim ekuacionin e planit P: z 3 0. b) Vektori normal n në P është ortogonal me vektorët i (1, 0, 0) dhe OM (2, 1, 3) , prandaj produktin e vektorit të tyre mund ta marrim si n: i j k n OM 1 0 0 j 12 03 k 12 01 3 j k . 2 1 3 Zëvendësojmë koordinatat e pikës O dhe vektorit n në ekuacionin (7.2), marrim ekuacionin e planit P: 3(y 0) (z 0) 0 ose P: 3 y z 0 .◄ 3
Me ndryshimin që në vend të grafikëve "të sheshtë", ne do të shqyrtojmë sipërfaqet hapësinore më të zakonshme, dhe gjithashtu do të mësojmë se si t'i ndërtojmë ato me kompetencë me dorë. Kalova mjaft kohë duke zgjedhur mjete softuerike për krijimin e vizatimeve tredimensionale dhe gjeta disa aplikacione të mira, por me gjithë lehtësinë e përdorimit, këto programe nuk zgjidhin mirë një çështje të rëndësishme praktike. Fakti është se në të ardhmen e parashikueshme historike, studentët do të jenë akoma të armatosur me një vizore dhe një laps, dhe madje duke pasur një vizatim "makine" me cilësi të lartë, shumë nuk do të jenë në gjendje ta transferojnë saktë atë në letër me kuadrate. Prandaj, në manual i kushtohet vëmendje e veçantë teknikës së ndërtimit manual, dhe një pjesë e konsiderueshme e ilustrimeve të faqeve është një produkt i punuar me dorë.
Si ndryshon ky material referimi nga analogët?
Duke pasur përvojë të mirë praktike, e di shumë mirë se me cilat sipërfaqe duhet të merremi më shpesh në problemet reale të matematikës së lartë dhe shpresoj se ky artikull do t'ju ndihmojë të rimbushni shpejt bagazhin tuaj me njohuritë përkatëse dhe aftësitë e aplikuara, të cilat përbëjnë 90 -95% duhet të ketë raste të mjaftueshme.
Çfarë duhet të jeni në gjendje të bëni në këtë moment?
Më themelore:
Së pari, duhet të jeni në gjendje ndërtoni saktë sistemi hapësinor i koordinatave karteziane (shiko fillimin e artikullit Grafikët dhe vetitë e funksioneve) .
Çfarë do të fitoni pasi të lexoni këtë artikull?
Shishe Pasi të keni zotëruar materialet e mësimit, do të mësoni të përcaktoni shpejt llojin e sipërfaqes sipas funksionit dhe/ose ekuacionit të saj, të imagjinoni se si ndodhet në hapësirë dhe, natyrisht, të bëni vizatime. Është në rregull nëse nuk keni gjithçka në kokën tuaj pas leximit të parë - gjithmonë mund të ktheheni në çdo paragraf më vonë sipas nevojës.
Informacioni është në fuqinë e të gjithëve - për ta zotëruar atë nuk keni nevojë për ndonjë super njohuri, talent të veçantë artistik apo vizion hapësinor.
Filloni!
Në praktikë zakonisht jepet sipërfaqja hapësinore funksioni i dy variablave ose një ekuacion të formës (konstantja në anën e djathtë është më shpesh e barabartë me zero ose një). Emërtimi i parë është më tipik për analizën matematikore, i dyti - për gjeometria analitike. Ekuacioni është në thelb dhënë në mënyrë implicite një funksion prej 2 ndryshoresh, të cilat në raste tipike mund të reduktohen lehtësisht në formën . Më lejoni t'ju kujtoj shembullin më të thjeshtë c:
–ekuacioni i rrafshët lloj .
– funksioni i aeroplanit në në mënyrë eksplicite .
Le të fillojmë me të:
Ekuacionet e zakonshme të planeve
Opsionet tipike për rregullimin e avionëve në një sistem koordinativ drejtkëndor diskutohen në detaje në fillim të artikullit. Ekuacioni i planit. Megjithatë, le të ndalemi edhe një herë në ekuacionet që kanë një rëndësi të madhe për praktikën.
Para së gjithash, ju duhet të njihni plotësisht automatikisht ekuacionet e planeve që janë paralele me rrafshet koordinuese. Fragmentet e planeve përshkruhen në mënyrë standarde si drejtkëndësha, të cilët në dy rastet e fundit duken si paralelogramë. Si parazgjedhje, ju mund të zgjidhni çdo dimension (brenda kufijve të arsyeshëm, natyrisht), por është e dëshirueshme që pika në të cilën boshti i koordinatave "shpëton" rrafshin të jetë qendra e simetrisë: 
Në mënyrë të rreptë, boshtet e koordinatave duhet të përshkruhen me vija me pika në disa vende, por për të shmangur konfuzionin ne do ta neglizhojmë këtë nuancë.
– (vizatimi majtas) pabarazia specifikon gjysmëhapësirën më të largët prej nesh, duke përjashtuar vetë rrafshin;
– (vizatim i mesëm) pabarazia specifikon gjysmëhapësirën e djathtë, duke përfshirë rrafshin;
– (vizatim djathtas) pabarazia e dyfishtë përcakton një "shtresë" të vendosur midis planeve, duke përfshirë të dy rrafshet.
Për vetë-ngrohje:
Shembulli 1
Vizatoni një trup të kufizuar nga aeroplanët
Krijo një sistem pabarazish që përcaktojnë një trup të caktuar.
Një i njohur i vjetër duhet të dalë nën drejtimin e lapsit tuaj. kuboid. Mos harroni se skajet dhe fytyrat e padukshme duhet të vizatohen me një vijë me pika. Vizatimi përfundoi në fund të mësimit.
Ju lutem, MOS LËSHKONI detyra mësimore, edhe nëse duken shumë të thjeshta. Përndryshe, mund të ndodhë që ta humbisni një herë, ta humbisni dy herë dhe më pas të kaloni një orë të qëndrueshme duke u përpjekur të kuptoni një vizatim tredimensional në ndonjë shembull real. Për më tepër, puna mekanike do t'ju ndihmojë të mësoni materialin në mënyrë shumë më efektive dhe të zhvilloni inteligjencën tuaj! Nuk është rastësi që në kopsht dhe në shkollën fillore fëmijët ngarkohen me vizatim, modelim, lodra ndërtimi dhe detyra të tjera për aftësitë e shkëlqyera motorike të gishtërinjve. Më falni për digresionin, por dy fletoret e mia mbi psikologjinë e zhvillimit nuk duhet të mungojnë =)
Ne do ta quajmë me kusht grupin tjetër të avionëve "proporcionalitet i drejtpërdrejtë" - këto janë aeroplanë që kalojnë nëpër boshtet koordinative:
2) një ekuacion i formës specifikon një plan që kalon nëpër bosht;
3) një ekuacion i formës specifikon një plan që kalon nëpër bosht.
Edhe pse shenja formale është e dukshme (cila variabël i mungon ekuacionit - rrafshi kalon nëpër atë bosht), është gjithmonë e dobishme për të kuptuar thelbin e ngjarjeve që ndodhin:
Shembulli 2
Ndërtoni aeroplan
Cila është mënyra më e mirë për të ndërtuar? Unë propozoj algoritmin e mëposhtëm:
Së pari, le të rishkruajmë ekuacionin në formën , nga e cila shihet qartë se "y" mund të marrë ndonjë kuptimet. Le të rregullojmë vlerën, domethënë do të shqyrtojmë planin koordinativ. Ekuacionet e vendosura linjë hapësinore, i shtrirë në një plan të caktuar koordinativ. Le ta përshkruajmë këtë linjë në vizatim. Vija e drejtë kalon nëpër origjinën e koordinatave, kështu që për ta ndërtuar atë mjafton të gjesh një pikë. Le . Lini mënjanë një pikë dhe vizatoni një vijë të drejtë.
Tani kthehemi te ekuacioni i aeroplanit. Meqenëse "Y" pranon ndonjë vlerat, atëherë vija e drejtë e ndërtuar në rrafsh "përsëritet" vazhdimisht majtas dhe djathtas. Pikërisht kështu është formuar avioni ynë, duke kaluar nëpër bosht. Për të përfunduar vizatimin, vendosim dy vija paralele majtas dhe djathtas të vijës së drejtë dhe "mbyllim" paralelogramin simbolik me segmente horizontale tërthore: 
Meqenëse gjendja nuk impononte kufizime shtesë, një fragment i aeroplanit mund të përshkruhej në përmasa pak më të vogla ose pak më të mëdha.
Le të përsërisim edhe një herë kuptimin e pabarazisë lineare hapësinore duke përdorur shembullin. Si të përcaktohet gjysma e hapësirës që përcakton? Le të marrim një pikë që nuk i përket rrafshoni, për shembull, një pikë nga gjysma e hapësirës më afër nesh dhe zëvendësoni koordinatat e saj në pabarazinë:
Marrë pabarazi e vërtetë, që do të thotë se pabarazia specifikon gjysmëhapësirën e poshtme (në raport me rrafshin), ndërsa vetë rrafshi nuk përfshihet në zgjidhje.
Shembulli 3
Ndërtoni aeroplanë
A) ;
b) .
Këto janë detyra për vetë-ndërtim; në rast vështirësish, përdorni arsyetime të ngjashme. Udhëzime dhe vizatime të shkurtra në fund të mësimit.
Në praktikë, aeroplanët paralel me boshtin janë veçanërisht të zakonshëm. Rasti i veçantë kur aeroplani kalon nëpër bosht u diskutua vetëm në paragrafin "be", dhe tani do të analizojmë një problem më të përgjithshëm:
Shembulli 4
Ndërtoni aeroplan
Zgjidhje: ndryshorja “z” nuk përfshihet shprehimisht në ekuacion, që do të thotë se rrafshi është paralel me boshtin aplikativ. Le të përdorim të njëjtën teknikë si në shembujt e mëparshëm.
Le të rishkruajmë ekuacionin e rrafshit në formë 
nga e cila është e qartë se “zet” mund të marrë ndonjë kuptimet. Le ta rregullojmë atë dhe të vizatojmë një vijë të rregullt "të sheshtë" në rrafshin "amtare". Për ta ndërtuar atë, është e përshtatshme të merren pika referimi.
Meqenëse "Z" pranon Të gjitha vlerat, atëherë vija e drejtë e ndërtuar vazhdimisht "shumohet" lart e poshtë, duke formuar kështu planin e dëshiruar. 
. Ne hartojmë me kujdes një paralelogram të një madhësie të arsyeshme: 
Gati.
Ekuacioni i një rrafshi në segmente
Shumëllojshmëria më e rëndësishme e aplikuar. Nëse Të gjitha shanset ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit jo zero, atëherë mund të paraqitet në formë 
që quhet ekuacioni i rrafshit në segmente. Është e qartë se aeroplani kryqëzon boshtet e koordinatave në pikat , dhe avantazhi i madh i një ekuacioni të tillë është lehtësia e ndërtimit të një vizatimi:
Shembulli 5
Ndërtoni aeroplan
Zgjidhje: Së pari, le të krijojmë një ekuacion të rrafshit në segmente. Le ta hedhim termin e lirë djathtas dhe t'i ndajmë të dyja anët me 12: 
Jo, këtu nuk ka asnjë gabim shtypi dhe të gjitha gjërat ndodhin në hapësirë! Ne ekzaminojmë sipërfaqen e propozuar duke përdorur të njëjtën metodë që është përdorur kohët e fundit për aeroplanët. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë 
, nga ku del se “zet” merr ndonjë kuptimet. Le të rregullojmë dhe ndërtojmë një elips në rrafsh. Meqenëse "zet" pranon Të gjitha vlerat, atëherë elipsa e ndërtuar "përsëritet" vazhdimisht lart e poshtë. Është e lehtë të kuptohet se sipërfaqja e pafundme:
Kjo sipërfaqe quhet cilindër eliptik. Një elipsë (në çdo lartësi) quhet udhërrëfyes cilindër dhe quhen vijat paralele që kalojnë nëpër secilën pikë të elipsës duke formuar cilindër (që fjalë për fjalë e formojnë atë). Boshti është boshti i simetrisë sipërfaqe (por jo pjesë e saj!).
Koordinatat e çdo pike që i përket një sipërfaqeje të caktuar domosdoshmërisht plotësojnë ekuacionin 
.
Hapësinor pabarazia përcakton "brenda" e "tubit" të pafund, duke përfshirë vetë sipërfaqen cilindrike, dhe, në përputhje me rrethanat, pabarazia e kundërt përcakton grupin e pikave jashtë cilindrit.
Në problemet praktike, rasti i veçantë më popullor është kur udhërrëfyes cilindër është rrethi:
Shembulli 8
Ndërtoni sipërfaqen e dhënë nga ekuacioni
Është e pamundur të përshkruhet një "tub" i pafund, kështu që arti zakonisht kufizohet në "zvogëlimin".
Së pari, është e përshtatshme të ndërtoni një rreth me rreze në aeroplan, dhe më pas disa rrathë të tjerë sipër dhe poshtë. Rrathët që rezultojnë ( udhërrëfyes cilindër) lidheni me kujdes me katër vija të drejta paralele ( duke formuar cilindër): 
Mos harroni të përdorni vija me pika për linjat që janë të padukshme për ne.
Koordinatat e çdo pike që i përket një cilindri të caktuar plotësojnë ekuacionin 
. Koordinatat e çdo pike që shtrihet rreptësisht brenda "tubit" plotësojnë pabarazinë 
, dhe pabarazia 
përcakton një grup pikash të pjesës së jashtme. Për një kuptim më të mirë, unë rekomandoj të konsideroni disa pika specifike në hapësirë dhe të shihni vetë.
Shembulli 9
Ndërtoni një sipërfaqe dhe gjeni projeksionin e saj në rrafsh
Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë 
nga ku del se “x” merr ndonjë kuptimet. Le të rregullojmë dhe përshkruajmë në aeroplan rrethi– me qendër në origjinë, rreze njësi. Meqenëse "x" pranon vazhdimisht Të gjitha vlerat, atëherë rrethi i ndërtuar gjeneron një cilindër rrethor me bosht simetrie. Vizatoni një rreth tjetër ( udhërrëfyes cilindër) dhe i lidhni me kujdes me vija të drejta ( duke formuar cilindër). Në disa vende kishte mbivendosje, por çfarë të bëni, një pjerrësi e tillë: 
Këtë herë u kufizova në një pjesë të cilindrit në hendek, dhe kjo nuk është e rastësishme. Në praktikë, shpesh është e nevojshme të përshkruhet vetëm një fragment i vogël i sipërfaqes.
Këtu, nga rruga, ka 6 gjeneratorë - dy vija të drejta shtesë "mbulojnë" sipërfaqen nga këndi i sipërm i majtë dhe i poshtëm i djathtë.
Tani le të shohim projeksionin e një cilindri në një aeroplan. Shumë lexues e kuptojnë se çfarë është projeksioni, por, megjithatë, le të bëjmë një tjetër ushtrim fizik pesë-minutësh. Ju lutemi qëndroni dhe përkulni kokën mbi vizatim në mënyrë që pika e boshtit të jetë pingul me ballin tuaj. Ajo që duket të jetë një cilindër nga ky kënd është projeksioni i tij në një plan. Por duket se është një rrip i pafund, i mbyllur mes vijave të drejta, duke përfshirë edhe vetë linjat e drejta. Ky projeksion është pikërisht domain funksionet ("ulluku" i sipërm i cilindrit), ("ulluku" i poshtëm).
Nga rruga, le të sqarojmë situatën me projeksionet në plane të tjera koordinative. Lërini rrezet e diellit të shkëlqejnë në cilindër nga maja dhe përgjatë boshtit. Hija (projeksioni) i një cilindri mbi një aeroplan është një shirit i ngjashëm i pafund - një pjesë e planit të kufizuar nga vija të drejta (- çdo), duke përfshirë vetë linjat e drejta.
Por projeksioni në aeroplan është disi i ndryshëm. Nëse e shikoni cilindrin nga maja e boshtit, atëherë ai do të projektohet në një rreth me rreze njësi 
, me të cilin filluam ndërtimin.
Shembulli 10
Ndërtoni një sipërfaqe dhe gjeni projeksionet e saj në plane koordinative
Kjo është një detyrë që ju duhet ta zgjidhni vetë. Nëse gjendja nuk është shumë e qartë, katrore të dyja anët dhe analizoni rezultatin; zbuloni se cila pjesë e cilindrit specifikohet nga funksioni. Përdorni teknikën e ndërtimit të përdorur në mënyrë të përsëritur më lart. Një zgjidhje e shkurtër, vizatim dhe komente në fund të orës së mësimit.
Sipërfaqet eliptike dhe të tjera cilindrike mund të kompensohen në lidhje me boshtet e koordinatave, për shembull:
(bazuar në motivet e njohura të artikullit rreth Linjat e rendit të dytë)
– një cilindër me rreze njësi me një vijë simetrie që kalon nëpër një pikë paralele me boshtin. Sidoqoftë, në praktikë, cilindra të tillë hasen mjaft rrallë dhe është absolutisht e pabesueshme të hasësh një sipërfaqe cilindrike që është "e zhdrejtë" në krahasim me boshtet koordinative.
Cilindra parabolikë
Siç sugjeron emri, udhërrëfyes një cilindër i tillë është parabolë.
Shembulli 11
Ndërtoni një sipërfaqe dhe gjeni projeksionet e saj në plane koordinative.
Nuk mund t'i rezistoja këtij shembulli =)
Zgjidhje: Të ecim në rrugën e rrahur. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën, nga e cila rezulton se "zet" mund të marrë çdo vlerë. Le të rregullojmë dhe ndërtojmë një parabolë të zakonshme në aeroplan, pasi kemi shënuar më parë pikat e parëndësishme të referencës. Meqenëse "Z" pranon Të gjitha vlerat, atëherë parabola e ndërtuar "përsëritet" vazhdimisht lart e poshtë deri në pafundësi. Ne shtrojmë të njëjtën parabolë, të themi, në një lartësi (në aeroplan) dhe i lidhim me kujdes me vija të drejta paralele ( duke formuar cilindrin): 
po ju kujtoj teknikë e dobishme: nëse fillimisht nuk jeni të sigurt për cilësinë e vizatimit, atëherë është më mirë që fillimisht të vizatoni vijat shumë hollë me laps. Më pas vlerësojmë cilësinë e skicës, zbulojmë zonat ku sipërfaqja fshihet nga sytë tanë dhe vetëm atëherë bëjmë presion në majë shkruese.
Projeksionet.
1) Projeksioni i një cilindri në një aeroplan është një parabolë. Duhet të theksohet se në këtë rast është e pamundur të flitet domeni i përkufizimit të një funksioni të dy variablave– për arsye se ekuacioni i cilindrit nuk është i reduktueshëm në formë funksionale.
2) Projeksioni i një cilindri në një aeroplan është një gjysmë rrafshi, duke përfshirë boshtin
3) Dhe së fundi, projeksioni i cilindrit në aeroplan është i gjithë rrafshi.
Shembulli 12
Ndërtoni cilindra parabolikë:
a) kufizoni veten në një fragment të sipërfaqes në gjysmë-hapësirën afër;
b) në interval
Në rast vështirësish, ne nuk nxitojmë dhe arsyetojmë në analogji me shembujt e mëparshëm; për fat të mirë, teknologjia është zhvilluar plotësisht. Nuk është kritike nëse sipërfaqet dalin pak të ngathët - është e rëndësishme të shfaqni saktë pamjen themelore. Unë vetë nuk shqetësohem vërtet me bukurinë e linjave; nëse marr një vizatim të kalueshëm me notë C, zakonisht nuk e ribëj. Nga rruga, zgjidhja e mostrës përdor një teknikë tjetër për të përmirësuar cilësinë e vizatimit ;-)
Cilindra hiperbolikë
Udhëzues cilindra të tillë janë hiperbola. Ky lloj sipërfaqeje, sipas vëzhgimeve të mia, është shumë më pak i zakonshëm se llojet e mëparshme, kështu që unë do të kufizohem në një vizatim të vetëm skematik të një cilindri hiperbolik: 
Parimi i arsyetimit këtu është saktësisht i njëjtë - i zakonshëm hiperbola shkollore nga rrafshi vazhdimisht “shumohet” lart e poshtë deri në pafundësi.
Cilindrat e konsideruar i përkasin të ashtuquajturve Sipërfaqet e rendit të dytë, dhe tani do të vazhdojmë të njihemi me përfaqësues të tjerë të këtij grupi:
Elipsoid. Sferë dhe top
Ekuacioni kanonik i një elipsoidi në një sistem koordinativ drejtkëndor ka formën 
, ku janë numrat pozitivë ( boshtet e boshtit elipsoid), i cili në rastin e përgjithshëm të ndryshme. Një elipsoid quhet sipërfaqe, kështu që trupi, i kufizuar nga një sipërfaqe e caktuar. Trupi, siç kanë menduar shumë, përcaktohet nga pabarazia 
dhe koordinatat e çdo pike të brendshme (si dhe çdo pike sipërfaqësore) domosdoshmërisht e plotësojnë këtë pabarazi. Dizajni është simetrik në lidhje me boshtet e koordinatave dhe planet koordinative: 
Origjina e termit "elipsoid" është gjithashtu e qartë: nëse sipërfaqja "prehet" nga plane koordinative, atëherë seksionet do të rezultojnë në tre të ndryshme (në rastin e përgjithshëm)
Artikuj të ngjashëm
