Puna laboratorike nr 10

Qëllimi i punës është të verifikojë në mënyrë eksperimentale vlefshmërinë e teoremës mbi reciprocitetin e zhvendosjeve dhe, në bazë të saj, të ndërtojë një vijë elastike të rrezes.

Informata themelore

Teorema e reciprocitetit të punës thotë se puna e bërë nga forca e parë në lëvizjen e pikës së aplikimit të saj nën veprimin e forcës së dytë është e barabartë me punën e forcës së dytë në lëvizjen e pikës së zbatimit të saj nën veprimin e forcës së parë. , d.m.th.

F 1 y 12 = F 2 y 21 = W. (10.1)

Nëse forcat janë të barabarta, atëherë teorema kthehet në një teoremë mbi reciprocitetin e zhvendosjeve: zhvendosja e seksionit të parë nën veprimin e një force të aplikuar në seksionin e dytë është e barabartë me zhvendosjen e seksionit të dytë nën veprimin e e njëjta forcë, por e aplikuar në pjesën e parë.

y 12 = y 21. (10.2)

Urdhri i ekzekutimit dhe përpunimi i rezultateve

Eksperimentet kryhen në një instalim desktopi SM-4, i cili është një rreze me dy mbështetëse e përshkruar në punën laboratorike nr. 9.

Verifikimi i teoremës mbi reciprocitetin e zhvendosjeve (Fig. 10.1) kryhet si më poshtë.

Oriz. 10.1. Verifikimi i teoremës mbi reciprocitetin e zhvendosjeve

Në dy seksione arbitrare të rrezes, janë instaluar treguesit e numrit dhe varëse peshe (seksionet 1 dhe 2, Fig. 10.1, a). Leximi fillestar merret në treguesin e seksionit 2, trau ngarkohet në seksionin 1 me ngarkesë F dhe merret leximi i treguesit të instaluar në seksionin 2 (shih Fig. 10.1, b). Dallimi midis kësaj dhe leximeve fillestare është i barabartë me vlerën e devijimit në 21 në seksionin 2. Pastaj trau shkarkohet.

Të dhënat për F dhe y 21 regjistrohen në regjistrin e testit. Më pas, leximi fillestar merret në treguesin e instaluar në seksionin 1, trau ngarkohet në seksionin 2 me të njëjtën ngarkesë F, dhe nga diferenca në leximet e treguesit 1, përcaktohet vlera e devijimit në 12 (shih Fig. 10.1 , c).

Rrezja shkarkohet dhe të dhënat për y 12 futen në regjistrin e provës. Duke krahasuar të dhënat e marra duke përdorur barazinë (10.2), vërtetohet teorema mbi reciprocitetin e zhvendosjeve. Nëse barazia (10.2) nuk plotësohet, përcaktoni përqindjen e gabimit

dhe nxirrni përfundime.

Duke përdorur teoremën mbi reciprocitetin e zhvendosjeve, është e mundur, duke përdorur një tregues të fiksuar përgjithmonë në seksionin e aplikimit të ngarkesës të një skeme të caktuar projektimi (Fig. 10.2), të përcaktohet në mënyrë eksperimentale zhvendosja e një trau në çdo seksion dhe të ndërtohet një vijë elastike. të traut.

Oriz. 10.2. Ndërtimi i një linje elastike të një trau

Treguesi i zhvendosjes lineare është instaluar në seksionin e rrezes në të cilën zbatohet ngarkesa e specifikuar sipas skemës së projektimit. Një pezullim peshe vendoset në tastierë, e dyta - brenda hapësirës.

Zhvendosjet e seksionit në të cilin është instaluar treguesi përcaktohen kur një ngarkesë e caktuar F aplikohet në mënyrë sekuenciale në pikat e projektimit 1 ... 10 (shih Fig. 10.2). Ky operacion përfshin instalimin e një pezullimi të peshës në pikën e llogaritur, marrjen e një lexim fillestar në tregues, aplikimin e një ngarkese të caktuar F në pezullimin e peshës, marrjen e një leximi tregues dhe përcaktimin e rritjes së leximeve të barabartë me zhvendosjen e përcaktuar. Për të aplikuar ngarkesën në seksionet e vendosura në tastierë, përdoret një pezullim i dytë i peshës.

Sipas teoremës mbi reciprocitetin e lëvizjeve, këto lëvizje do të jenë të barabarta me lëvizjet e pikave të projektimit kur ngarkesa F aplikohet në seksionin e instalimit të treguesit.

Vlerat e marra të zhvendosjes regjistrohen në regjistrin e provës.

Për të krahasuar zhvendosjet eksperimentale me ato teorike, këto të fundit llogariten për një të dhënë

Le të zbatohet një forcë në sistemin në gjendjen e parë, dhe në gjendjen e dytë - (Fig. 6). Le të shënojmë zhvendosjet e shkaktuara nga forcat e njësisë (ose momentet e njësisë) me një simbol. Atëherë zhvendosja e sistemit në shqyrtim në drejtim të një force njësi në gjendjen e parë (d.m.th., e shkaktuar nga forca) është , dhe zhvendosja në drejtim të forcës në gjendjen e dytë është .

Bazuar në teoremën e reciprocitetit të punës:

Por, pra, ose në rastin e përgjithshëm të veprimit të ndonjë force të vetme:

Barazia që rezulton (1.16) quhet teorema mbi reciprocitetin e zhvendosjeve (ose teorema e Maksuellit): për dy gjendje njësi të një sistemi elastik, zhvendosja në drejtim të forcës së njësisë së parë të shkaktuar nga forca njësi e dytë është e barabartë me zhvendosja në drejtim të forcës së dytë të shkaktuar nga forca e parë.

Llogaritja e zhvendosjeve me metodën e Mohr-it

Metoda e paraqitur më poshtë është një metodë universale për përcaktimin e zhvendosjeve (si lineare ashtu edhe këndore) që lindin në çdo sistem shufrash nga një ngarkesë arbitrare.

Le të shqyrtojmë dy gjendje të sistemit. Në të parën prej tyre (gjendja e ngarkesës) le të aplikohet ndonjë ngarkesë arbitrare në tra, dhe në të dytën (gjendja e njësisë) një forcë e përqendruar (Fig. 7).

Puna A21 e forcës në zhvendosjen që rrjedh nga forcat e gjendjes së parë:

Duke përdorur (1.14) dhe (1.15), ne shprehim A21 (dhe, për rrjedhojë, dhe) në termat e faktorëve të forcës së brendshme:

Shenja “+” e marrë gjatë përcaktimit do të thotë se drejtimi i zhvendosjes së dëshiruar përkon me drejtimin e forcës së njësisë. Nëse përcaktohet zhvendosja lineare, atëherë forca e përgjithësuar e njësisë është forca njësi e përqendruar pa dimensione e aplikuar në pikën në fjalë; dhe nëse përcaktohet këndi i rrotullimit të seksionit, atëherë forca e përgjithësuar e njësisë është një moment njësi i përqendruar pa dimension.

Ndonjëherë (1.17) shkruhet si:

ku është lëvizja në drejtim të forcës që shkaktohet nga veprimi i një grupi forcash. Produktet në emëruesin e formulës (1.18) quhen përkatësisht ngurtësi përkulëse, tërheqëse (ngjeshje) dhe prerëse; me përmasa konstante të prerjes tërthore përgjatë gjatësisë dhe me të njëjtin material, këto sasi mund të hiqen nga shenja integrale. Shprehjet (1.17) dhe (1.18) quhen integrale (ose formula) Mohr.

Integrali Mohr ka formën më të përgjithshme në rastin kur të gjashtë faktorët e forcës së brendshme lindin në seksionet kryq të shufrave të sistemit:

Algoritmi për llogaritjen e zhvendosjes me metodën e Mohr është si më poshtë:

1. Përcaktoni shprehjet për forcat e brendshme nga një ngarkesë e caktuar si funksione të koordinatës Z të një seksioni arbitrar.
2. Një forcë e përgjithësuar njësi zbatohet në drejtim të zhvendosjes së dëshiruar (forca e përqendruar - kur llogaritet zhvendosja lineare; momenti i përqendruar - kur llogaritet këndi i rrotullimit).
3. Përcaktoni shprehjet për forcat e brendshme nga një forcë njësi e përgjithësuar si funksione të koordinatës Z të një seksioni arbitrar.
4. Zëvendësoni shprehjen për forcat e brendshme të gjetura në paragrafët 1.3 në (1.18) ose (1.19) dhe duke integruar mbi seksione brenda të gjithë gjatësisë së strukturës, përcaktoni zhvendosjen e dëshiruar.

Formulat e Mohr janë të përshtatshme edhe për elementë që janë shufra me lakim të vogël, me zëvendësimin e elementit të gjatësisë dz në integrand me elementin e harkut ds.

Në shumicën e rasteve të një problemi të rrafshët, përdoret vetëm një term i formulës (1.18). Kështu, nëse merren parasysh strukturat që punojnë kryesisht në përkulje (trarët, kornizat dhe pjesërisht harqet), atëherë në formulën e zhvendosjes, me saktësi të mjaftueshme, mund të lihet vetëm integrali në varësi të momenteve të përkuljes; Gjatë llogaritjes së strukturave, elementët e të cilave punojnë kryesisht në tension qendror (ngjeshje), për shembull, deformimet e lakimit dhe prerjes mund të injorohen, domethënë, vetëm termi që përmban forcat gjatësore do të mbetet në formulën e zhvendosjes.

Në mënyrë të ngjashme, në shumicën e rasteve të një problemi hapësinor, formula e Mohr (1.19) është thjeshtuar ndjeshëm. Kështu, kur elementët e sistemit punojnë kryesisht në përkulje dhe përdredhje (për shembull, kur llogariten sistemet e hapësirës në plan, shufrat e thyer dhe kornizat hapësinore) vetëm tre termat e parë mbeten në (1.19); dhe gjatë llogaritjes së trungjeve hapësinore - vetëm termi i katërt.

Paraqitja e teoremës së reciprocitetit të punës (teorema e Betit), vërtetuar në 1872 nga E. Betti: puna e mundshme e forcave të shtetit të parë mbi zhvendosjet përkatëse të shkaktuara nga forcat e shtetit të dytë është e barabartë me punën e mundshme të forcave të shtetit të dytë në zhvendosjet përkatëse të shkaktuara nga forcat e shtetit të parë.

24. Teorema mbi reciprocitetin e zhvendosjeve (Maxwell)

Lëre të jetë. Teorema mbi reciprocitetin e zhvendosjeve duke marrë parasysh shënimin e pranuar për zhvendosje nga një forcë njësi ka formën: .Teorema mbi reciprocitetin e zhvendosjeve është vërtetuar nga Maxwell. Formulimi i teoremës mbi reciprocitetin e zhvendosjeve: zhvendosja e pikës së aplikimit të forcës së njësisë së parë të shkaktuar nga veprimi i forcës së dytë është e barabartë me zhvendosjen e pikës së aplikimit të forcës së njësisë së dytë të shkaktuar nga veprimi i forcës së njësisë së parë

25. Teorema e Rejlit mbi reciprocitetin e reaksioneve.

26. Teorema e Gvozdev mbi reciprocitetin e zhvendosjeve dhe reaksioneve.

27. Përcaktimi i zhvendosjeve për shkak të ngarkesës. formula e Mohr-it.

Formula e murtajës

28. Përcaktimi i zhvendosjeve për shkak të efekteve të temperaturës dhe zhvendosjes.

Efekti i temperaturës.

Drafti

29. Rregulli i Vereshchagin. Formula e shumëzimit trapezoid, formula e Simpsonit.

Formula e shumëzimit të trapezit.

Formula për shumëzimin e trapezoideve të lakuar

31. Vetitë e sistemeve statikisht të papërcaktuara.

Për të përcaktuar forcat dhe reaksionet, ekuacionet e statikës nuk janë të mjaftueshme, është e nevojshme të përdoren ekuacionet e vazhdimësisë së deformimit dhe zhvendosjes.

Forcat dhe reagimet varen nga raporti i ngurtësisë së elementeve individuale.

Ndryshimet në temperaturë dhe vendosjen e mbështetjes shkaktojnë shfaqjen e forcave të brendshme.

Në mungesë të ngarkesës, një gjendje vetëtensioni është e mundur.

32. Përcaktimi i shkallës së papërcaktimit statik, parimet e zgjedhjes së sistemit bazë të metodës së forcave.

Për sistemet statikisht të papërcaktuara W<0

Numri i lidhjeve shtesë përcaktohet nga formula:

L = -W+ 3K,

ku W është numri i parametrave gjeometrikë të pavarur që përcaktojnë pozicionin e strukturës në rrafsh pa marrë parasysh deformimin e strukturës (numri i shkallëve të lirisë), K është numri i kontureve të mbyllura (konturet në të cilat ka pa mentesha).

W= 3D – 2SH – Co

Formula e Chebyshev për përcaktimin e shkallës së lirisë, ku D është numri i disqeve, Ш është numri i menteshave, Co është numri i shufrave mbështetës.

OSMS duhet të jetë gjeometrikisht i pandryshueshëm.

Duhet të jetë i përcaktuar statikisht (hiqni lidhjet e panevojshme A).

Ky sistem duhet të jetë i lehtë për t'u llogaritur.

Nëse sistemi origjinal ishte simetrik, atëherë OSMS, nëse është e mundur, zgjidhet të jetë simetrik.

33. Ekuacionet kanonike të metodës së forcës, kuptimi fizik i tyre.

Ekuacionet kanonike:

Kuptimi fizik:

Lëvizja totale në drejtim të secilës lidhje të largët duhet të jetë = 0

34. Llogaritja e koeficientëve të ekuacioneve kanonike, kuptimi fizik i tyre, kontrollimi i korrektësisë së koeficientëve të gjetur.

Lëvizja në drejtim të një lidhjeje në distancë të shkaktuar nga një forcë e vetme.

Lëvizja në drejtim të një lidhjeje në distancë të shkaktuar nga një ngarkesë e jashtme.

Për të kontrolluar korrektësinë e koeficientëve të gjetur, duhet t'i zëvendësoni ato në sistemin e ekuacioneve kanonike dhe të gjeni X1 dhe X2.

Vërtetimi i teoremës së reciprocitetit të punës

Le të shënojmë dy pika 1 dhe 2 në tra (Fig. 15.4, a).

Le të zbatojmë një forcë statike në pikën 1. Do të shkaktojë devijim në këtë pikë, dhe në pikën 2 – .

Ne përdorim dy indekse për të treguar lëvizjet. Indeksi i parë nënkupton vendin e lëvizjes, dhe i dyti - arsyen që e shkakton këtë lëvizje. Kjo është, pothuajse si në një zarf letre, ku tregojmë: ku dhe nga kush.

Kështu, për shembull, do të thotë devijimi i rrezes në pikën 2 nga ngarkesa.

Pasi të përfundojë rritja e forcës. Le të zbatojmë një forcë statike (15.4, b) në gjendjen e deformuar të rrezes në pikën 2. Rrezja do të marrë devijime shtesë: në pikën 1 dhe në pikën 2.

Të krijojmë një shprehje për punën që bëjnë këto forca në zhvendosjet e tyre përkatëse: .

Këtu termat e parë dhe të tretë paraqesin punën elastike të forcave dhe . Sipas teoremës së Clapeyron-it, ato kanë një koeficient. Termi i dytë nuk e ka këtë koeficient, pasi forca nuk e ndryshon vlerën e saj dhe bën punë të mundshme në zhvendosjen e shkaktuar nga një forcë tjetër.

Le të shqyrtojmë dy gjendje të një sistemi elastik në ekuilibër. Në secilën prej këtyre gjendjeve, një ngarkesë e caktuar statike vepron në sistem (Fig. 23, a). Le të shënojmë lëvizjet në drejtimet e forcave F 1 dhe F 2 me, ku indeksi "i" tregon drejtimin e lëvizjes dhe indeksi "j" është shkaku që e ka shkaktuar atë.

Oriz. 23

Le të shënojmë punën e ngarkesës së gjendjes së parë (forca F 1) në lëvizjet e gjendjes së parë me A 11 dhe punën e forcës F 2 në lëvizjet e shkaktuara prej saj nga A 22:

Duke përdorur (2.9), puna A 11 dhe A 22 mund të shprehet në terma të faktorëve të forcës së brendshme:

(2.10)

Le të shqyrtojmë rastin e ngarkimit statik të të njëjtit sistem (Fig. 23, a) në sekuencën vijuese. Së pari, një forcë statike në rritje F 1 zbatohet në sistem (Fig. 23, b); kur procesi i rritjes statike të tij përfundon, deformimi i sistemit dhe forcat e brendshme që veprojnë në të bëhen të njëjta si në gjendjen e parë (Fig. 23, a). Puna e bërë me forcën F 1 do të jetë:

Pastaj një forcë statike në rritje F 2 fillon të veprojë në sistem (Fig. 23, b). Si rezultat i kësaj, sistemi merr deformime shtesë dhe në të lindin forca të brendshme shtesë, njësoj si në gjendjen e dytë (Fig. 23, a). Gjatë procesit të rritjes së forcës F 2 nga zero në vlerën e saj përfundimtare, forca F 1, duke mbetur e pandryshuar, lëviz poshtë me sasinë e devijimit shtesë.
dhe, për rrjedhojë, kryen punë shtesë:

Forca F 2 bën punën:

Puna totale A me ngarkimin vijues të sistemit nga forcat F 1, F 2 është e barabartë me:

Nga ana tjetër, në përputhje me (2.4), puna totale mund të përkufizohet si:

(2.12)

Duke barazuar shprehjet (2.11) dhe (2.12) me njëra-tjetrën, marrim:

(2.13)

A 12 = A 21 (2.14)

Barazimi (2.14) quhet teoremat e reciprocitetit të punës, ose Teorema e Betit: puna e forcave të shtetit të parë në zhvendosjet në drejtimet e tyre të shkaktuara nga forcat e shtetit të dytë është e barabartë me punën e forcave të shtetit të dytë në zhvendosjet në drejtimet e tyre të shkaktuara nga forcat e shtetit të parë.

Duke lënë mënjanë llogaritjet e ndërmjetme, ne shprehim punën A 12 për sa i përket momenteve të përkuljes, forcave gjatësore dhe tërthore që lindin në gjendjen e parë dhe të dytë:

Çdo integrand në anën e djathtë të kësaj barazie mund të konsiderohet si produkt i forcës së brendshme që lind në seksionin e shufrës nga forcat e gjendjes së parë dhe deformimi i elementit dz të shkaktuar nga forcat e gjendjes së dytë.

2.4 Teorema mbi reciprocitetin e zhvendosjeve

Në gjendjen e parë le të zbatohet një forcë në sistem
, dhe në të dytën -
(Fig. 24). Le të shënojmë zhvendosjet e shkaktuara nga forcat e njësisë (ose momentet e njësisë
) simbol . Pastaj lëvizja e sistemit në shqyrtim në drejtim të një force njësi në gjendjen e parë (d.m.th. i shkaktuar me forcë
) -
, dhe lëvizjen në drejtim të forcës
në gjendjen e dytë -
.

Bazuar në teoremën e reciprocitetit të punës:

, Por
, Kjo është arsyeja pse
, ose në rastin e përgjithshëm të veprimit të forcave të njësisë:

(2.16)

Oriz. 24

Barazia që rezulton (2.16) quhet teoremat e reciprocitetitlëvizjet(ose Teorema e Maksuellit): për dy gjendje njësi të një sistemi elastik, zhvendosja në drejtim të forcës së njësisë së parë të shkaktuar nga forca e dytë e njësisë është e barabartë me zhvendosjen në drejtim të forcës së dytë të shkaktuar nga forca e parë.