Pasi të keni marrë një ide të përgjithshme të barazive dhe duke u njohur me një nga llojet e tyre - barazitë numerike, mund të filloni të flisni për një lloj tjetër të barazive që është shumë i rëndësishëm nga pikëpamja praktike - ekuacionet. Në këtë artikull do të shikojmë çfarë është një ekuacion, dhe ajo që quhet rrënja e ekuacionit. Këtu do të japim përkufizimet përkatëse, si dhe do të japim shembuj të ndryshëm të ekuacioneve dhe rrënjëve të tyre.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion?

Hyrja e synuar në ekuacione zakonisht fillon në mësimet e matematikës në klasën e dytë. Në këtë kohë jepet si më poshtë përkufizimi i ekuacionit:

Përkufizimi.

Ekuacioniështë një barazi që përmban një numër të panjohur që duhet gjetur.

Numrat e panjohur në ekuacione zakonisht shënohen duke përdorur shkronja të vogla latine, për shembull, p, t, u, etj., por shkronjat x, y dhe z përdoren më shpesh.

Kështu, ekuacioni përcaktohet nga pikëpamja e formës së shkrimit. Me fjalë të tjera, barazia është një ekuacion kur i bindet rregullave të specifikuara të shkrimit - përmban një shkronjë, vlera e së cilës duhet gjetur.

Le të japim shembuj të ekuacioneve të para dhe më të thjeshta. Le të fillojmë me ekuacionet e formës x=8, y=3 etj. Ekuacionet që përmbajnë shenja aritmetike së bashku me numrat dhe shkronjat duken pak më të ndërlikuara, për shembull, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Shumëllojshmëria e ekuacioneve rritet pasi njiheni me - fillojnë të shfaqen ekuacionet me kllapa, për shembull, 2·(x−1)=18 dhe x+3·(x+2·(x−2))=3. Një shkronjë e panjohur në një ekuacion mund të shfaqet disa herë, për shembull, x+3+3·x−2−x=9, gjithashtu shkronjat mund të jenë në anën e majtë të ekuacionit, në anën e djathtë ose në të dy anët e ekuacioni, për shembull, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 ose 3·x−4=2·(x+12) .

Më tej, pas studimit të numrave natyrorë, njihet me numrat e plotë, racionalë, realë, studiohen objekte të reja matematikore: fuqitë, rrënjët, logaritmet etj., ndërsa shfaqen gjithnjë e më shumë lloje të reja ekuacionesh që përmbajnë këto gjëra. Shembuj të tyre mund të shihen në artikull llojet bazë të ekuacioneve duke studiuar në shkollë.

Në klasën e 7-të, së bashku me shkronjat, që nënkuptojnë disa numra specifikë, ata fillojnë të marrin në konsideratë shkronjat që mund të marrin vlera të ndryshme; ato quhen variabla (shih artikullin). Në të njëjtën kohë, fjala "ndryshore" futet në përkufizimin e ekuacionit dhe bëhet kështu:

Përkufizimi.

Ekuacioni quhet një barazi që përmban një variabël vlera e së cilës duhet gjetur.

Për shembull, ekuacioni x+3=6·x+7 është një ekuacion me ndryshoren x dhe 3·z−1+z=0 është një ekuacion me ndryshoren z.

Gjatë mësimeve të algjebrës në të njëjtën klasë të 7-të, hasim ekuacione që përmbajnë jo një, por dy ndryshore të ndryshme të panjohura. Ato quhen ekuacione në dy ndryshore. Në të ardhmen, lejohet prania e tre ose më shumë variablave në ekuacione.

Përkufizimi.

Ekuacionet me një, dy, tre etj. variablave– këto janë ekuacione që përmbajnë në shkrimin e tyre përkatësisht një, dy, tre, ... ndryshore të panjohura.

Për shembull, ekuacioni 3.2 x+0.5=1 është një ekuacion me një ndryshore x, nga ana tjetër, një ekuacion i formës x−y=3 është një ekuacion me dy ndryshore x dhe y. Dhe një shembull tjetër: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Është e qartë se një ekuacion i tillë është një ekuacion me tre ndryshore të panjohura x, y dhe z.

Cila është rrënja e një ekuacioni?

Përkufizimi i një ekuacioni lidhet drejtpërdrejt me përcaktimin e rrënjës së këtij ekuacioni. Le të bëjmë disa arsyetime që do të na ndihmojnë të kuptojmë se cila është rrënja e ekuacionit.

Le të themi se kemi një ekuacion me një shkronjë (ndryshore). Nëse në vend të një shkronje të përfshirë në hyrjen e këtij ekuacioni, zëvendësohet një numër i caktuar, atëherë ekuacioni kthehet në një barazi numerike. Për më tepër, barazia që rezulton mund të jetë ose e vërtetë ose e rreme. Për shembull, nëse zëvendësoni numrin 2 në vend të shkronjës a në ekuacionin a+1=5, do të merrni barazinë numerike të pasaktë 2+1=5. Nëse në këtë ekuacion zëvendësojmë numrin 4 në vend të a, marrim barazinë e saktë 4+1=5.

Në praktikë, në shumicën dërrmuese të rasteve, interesi është në ato vlera të ndryshores, zëvendësimi i të cilave në ekuacion jep barazinë e saktë; këto vlera quhen rrënjë ose zgjidhje të këtij ekuacioni.

Përkufizimi.

Rrënja e ekuacionit- kjo është vlera e shkronjës (ndryshores), me zëvendësimin e së cilës ekuacioni kthehet në një barazi të saktë numerike.

Vini re se rrënja e një ekuacioni në një ndryshore quhet gjithashtu zgjidhja e ekuacionit. Me fjalë të tjera, zgjidhja e një ekuacioni dhe rrënja e ekuacionit janë e njëjta gjë.

Le ta shpjegojmë këtë përkufizim me një shembull. Për ta bërë këtë, le të kthehemi te ekuacioni i shkruar më sipër a+1=5. Sipas përkufizimit të dhënë të rrënjës së një ekuacioni, numri 4 është rrënja e këtij ekuacioni, pasi kur zëvendësohet ky numër në vend të shkronjës a, marrim barazinë e saktë 4+1=5, dhe numri 2 nuk është i tij. rrënjë, pasi i përgjigjet një barazie të pasaktë të formës 2+1= 5 .

Në këtë pikë, lindin një sërë pyetjesh natyrore: "A ka ndonjë ekuacion një rrënjë dhe sa rrënjë ka një ekuacion i caktuar?" Ne do t'u përgjigjemi atyre.

Ka edhe ekuacione që kanë rrënjë dhe ekuacione që nuk kanë rrënjë. Për shembull, ekuacioni x+1=5 ka rrënjë 4, por ekuacioni 0 x=5 nuk ka rrënjë, pasi pavarësisht se cilin numër zëvendësojmë në këtë ekuacion në vend të ndryshores x, do të marrim barazinë e pasaktë 0=5. .

Për sa i përket numrit të rrënjëve të një ekuacioni, ekzistojnë edhe ekuacione që kanë një numër të caktuar të fundëm rrënjësh (një, dy, tre, etj.) dhe ekuacione që kanë një numër të pafund rrënjësh. Për shembull, ekuacioni x−2=4 ka një rrënjë të vetme 6, rrënjët e ekuacionit x 2 =9 janë dy numra −3 dhe 3, ekuacioni x·(x−1)·(x−2)=0 ka tre rrënjë 0, 1 dhe 2, dhe zgjidhja e ekuacionit x=x është çdo numër, domethënë ka një numër të pafund rrënjësh.

Duhet thënë disa fjalë për shënimin e pranuar për rrënjët e ekuacionit. Nëse një ekuacion nuk ka rrënjë, atëherë ata zakonisht shkruajnë "ekuacioni nuk ka rrënjë" ose përdorin shenjën e grupit bosh ∅. Nëse ekuacioni ka rrënjë, atëherë ato shkruhen të ndara me presje, ose shkruhen si elementet e kompletit në kllapa kaçurrelë. Për shembull, nëse rrënjët e ekuacionit janë numrat −1, 2 dhe 4, atëherë shkruani −1, 2, 4 ose (−1, 2, 4). Gjithashtu lejohet të shënohen rrënjët e ekuacionit në formën e barazive të thjeshta. Për shembull, nëse ekuacioni përfshin shkronjën x, dhe rrënjët e këtij ekuacioni janë numrat 3 dhe 5, atëherë mund të shkruani x=3, x=5, dhe nënshkrimet x 1 =3, x 2 =5 shpesh shtohen. tek ndryshorja, sikur të tregonte numrat rrënjët e ekuacionit. Një grup i pafund i rrënjëve të një ekuacioni zakonisht shkruhet në formë; nëse është e mundur, përdoret gjithashtu shënimi për grupet e numrave natyrorë N, numrat e plotë Z dhe numrat realë R. Për shembull, nëse rrënja e një ekuacioni me ndryshore x është një numër i plotë, atëherë shkruani, dhe nëse rrënjët e një ekuacioni me ndryshore y janë çdo numër real nga 1 në 9 përfshirëse, atëherë shkruani .

Për ekuacionet me dy, tre ose më shumë ndryshore, si rregull, termi "rrënjë e ekuacionit" nuk përdoret; në këto raste ata thonë "zgjidhje ekuacioni". Çfarë quhet zgjidhja e ekuacioneve me disa ndryshore? Le të japim përkufizimin përkatës.

Përkufizimi.

Zgjidhja e një ekuacioni me dy, tre etj. variablave quhet një çift, tre etj. vlerat e variablave, duke e kthyer këtë ekuacion në një barazi të saktë numerike.

Le të tregojmë shembuj shpjegues. Konsideroni një ekuacion me dy ndryshore x+y=7. Zëvendësojmë numrin 1 në vend të x, dhe numrin 2 në vend të y, dhe kemi barazinë 1+2=7. Natyrisht, është e pasaktë, prandaj, çifti i vlerave x=1, y=2 nuk është zgjidhje e ekuacionit të shkruar. Nëse marrim një çift vlerash x=4, y=3, atëherë pas zëvendësimit në ekuacion do të arrijmë në barazinë e saktë 4+3=7, pra, ky çift vlerash të ndryshueshme, sipas definicionit, është zgjidhje. te ekuacioni x+y=7.

Ekuacionet me disa ndryshore, si ekuacionet me një variabël, mund të mos kenë rrënjë, mund të kenë një numër të kufizuar rrënjësh ose mund të kenë një numër të pafund rrënjësh.

Çifte, treshe, katërshe etj. Vlerat e variablave shpesh shkruhen shkurtimisht, duke renditur vlerat e tyre të ndara me presje në kllapa. Në këtë rast, numrat e shkruar në kllapa korrespondojnë me variablat sipas rendit alfabetik. Le ta sqarojmë këtë pikë duke iu kthyer ekuacionit të mëparshëm x+y=7. Zgjidhja e këtij ekuacioni x=4, y=3 mund të shkruhet shkurtimisht si (4, 3).

Vëmendja më e madhe në lëndën shkollore të matematikës, algjebrës dhe fillimeve të analizës i kushtohet gjetjes së rrënjëve të ekuacioneve me një ndryshore. Ne do të diskutojmë rregullat e këtij procesi në detaje në artikull. zgjidhjen e ekuacioneve.

Bibliografi.

• Matematika. 2 klasa Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm institucionet me adj. për elektron bartëse. Në orën 14:00 Pjesa 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etj.] - 3rd ed. - M.: Arsimi, 2012. - 96 f.: ill. - (Shkolla e Rusisë). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 7-të arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Zgjidhja e ekuacioneve në matematikë zë një vend të veçantë. Ky proces paraprihet nga shumë orë studimi të teorisë, gjatë të cilave studenti mëson se si të zgjidhë ekuacionet, të përcaktojë llojin e tyre dhe të sjellë aftësinë në automatizimin e plotë. Sidoqoftë, kërkimi i rrënjëve nuk ka gjithmonë kuptim, pasi ato thjesht mund të mos ekzistojnë. Ekzistojnë teknika të veçanta për gjetjen e rrënjëve. Në këtë artikull do të analizojmë funksionet kryesore, domenet e tyre të përkufizimit, si dhe rastet kur mungojnë rrënjët e tyre.

Cili ekuacion nuk ka rrënjë?

Një ekuacion nuk ka rrënjë nëse nuk ka argumente reale x për të cilat ekuacioni është identikisht i vërtetë. Për një jo-specialist, ky formulim, si shumica e teoremave dhe formulave matematikore, duket shumë i paqartë dhe abstrakt, por kjo është në teori. Në praktikë, gjithçka bëhet jashtëzakonisht e thjeshtë. Për shembull: ekuacioni 0 * x = -53 nuk ka zgjidhje, pasi nuk ka asnjë numër x prodhimi i të cilit me zero do të jepte diçka tjetër përveç zeros.

Tani do të shikojmë llojet më themelore të ekuacioneve.

1. Ekuacioni linear

Një ekuacion quhet linear nëse anët e tij të djathta dhe të majta paraqiten si funksione lineare: ax + b = cx + d ose në formë të përgjithësuar kx + b = 0. Ku a, b, c, d janë numra të njohur dhe x është një sasi e panjohur. Cili ekuacion nuk ka rrënjë? Shembuj të ekuacioneve lineare janë paraqitur në ilustrimin e mëposhtëm.

Në thelb, ekuacionet lineare zgjidhen thjesht duke transferuar pjesën e numrave në një pjesë dhe përmbajtjen e x në një tjetër. Rezultati është një ekuacion i formës mx = n, ku m dhe n janë numra, dhe x është një e panjohur. Për të gjetur x, mjafton të ndajmë të dyja anët me m. Atëherë x = n/m. Shumica e ekuacioneve lineare kanë vetëm një rrënjë, por ka raste kur ka ose pafundësisht shumë rrënjë ose nuk ka rrënjë fare. Kur m = 0 dhe n = 0, ekuacioni merr formën 0 * x = 0. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë do të jetë absolutisht çdo numër.

Megjithatë, cili ekuacion nuk ka rrënjë?

Për m = 0 dhe n = 0, ekuacioni nuk ka rrënjë në bashkësinë e numrave realë. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - këto ekuacione nuk kanë rrënjë.

2. Ekuacioni kuadratik

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0 për a = 0. Zgjidhja më e zakonshme është përmes diskriminuesit. Formula për gjetjen e diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik është: D = b 2 - 4 * a * c. Më pas janë dy rrënjë x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Për D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë, për D = 0 ka një rrënjë. Por cili ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë? Mënyra më e lehtë për të vëzhguar numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik është duke paraqitur grafikun e funksionit, i cili është një parabolë. Për a > 0 degët janë të drejtuara lart, për a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Ju gjithashtu mund të përcaktoni vizualisht numrin e rrënjëve pa llogaritur diskriminuesin. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni kulmin e parabolës dhe të përcaktoni se në cilin drejtim drejtohen degët. Koordinata x e kulmit mund të përcaktohet duke përdorur formulën: x 0 = -b / 2a. Në këtë rast, koordinata y e kulmit gjendet thjesht duke zëvendësuar vlerën x 0 në ekuacionin origjinal.

Ekuacioni kuadratik x 2 - 8x + 72 = 0 nuk ka rrënjë, pasi ka një diskriminues negativ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Kjo do të thotë që parabola nuk prek boshtin x dhe funksioni nuk merr kurrë vlerën 0, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë reale.

3. Ekuacionet trigonometrike

Funksionet trigonometrike konsiderohen në një rreth trigonometrik, por gjithashtu mund të përfaqësohen në një sistem koordinativ kartezian. Në këtë artikull do të shikojmë dy funksione bazë trigonometrike dhe ekuacionet e tyre: sinx dhe cosx. Meqenëse këto funksione formojnë një rreth trigonometrik me rreze 1, |sinx| dhe |cosx| nuk mund të jetë më i madh se 1. Pra, cili ekuacion sinx nuk ka rrënjë? Merrni parasysh grafikun e funksionit sinx të paraqitur në figurën më poshtë.

Shohim që funksioni është simetrik dhe ka një periudhë përsëritjeje prej 2 pi. Bazuar në këtë, mund të themi se vlera maksimale e këtij funksioni mund të jetë 1, dhe minimumi -1. Për shembull, shprehja cosx = 5 nuk do të ketë rrënjë, pasi vlera e saj absolute është më e madhe se një.

Ky është shembulli më i thjeshtë i ekuacioneve trigonometrike. Në fakt, zgjidhja e tyre mund të marrë shumë faqe, në fund të të cilave kupton se ke përdorur formulën e gabuar dhe duhet të fillosh nga e para. Ndonjëherë, edhe nëse i gjeni rrënjët saktë, mund të harroni të merrni parasysh kufizimet në OD, kjo është arsyeja pse një rrënjë ose interval shtesë shfaqet në përgjigje dhe e gjithë përgjigja kthehet në një gabim. Prandaj, ndiqni rreptësisht të gjitha kufizimet, sepse jo të gjitha rrënjët përshtaten në qëllimin e detyrës.

4. Sistemet e ekuacioneve

Një sistem ekuacionesh është një grup ekuacionesh të bashkuara me kllapa kaçurrelë ose katrore. Kllapat kaçurrelë tregojnë se të gjitha ekuacionet ekzekutohen së bashku. Kjo do të thotë, nëse të paktën një nga ekuacionet nuk ka rrënjë ose kundërshton një tjetër, i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje. Kllapat katrore tregojnë fjalën "ose". Kjo do të thotë që nëse të paktën një nga ekuacionet e sistemit ka një zgjidhje, atëherë i gjithë sistemi ka një zgjidhje.

Përgjigja e sistemit c është bashkësia e të gjitha rrënjëve të ekuacioneve individuale. Dhe sistemet me mbajtëse kaçurrelë kanë vetëm rrënjë të përbashkëta. Sistemet e ekuacioneve mund të përfshijnë funksione krejtësisht të ndryshme, kështu që një kompleksitet i tillë nuk na lejon të themi menjëherë se cili ekuacion nuk ka rrënjë.

Në librat me probleme dhe tekstet shkollore ekzistojnë lloje të ndryshme ekuacionesh: ato që kanë rrënjë dhe ato që nuk kanë. Para së gjithash, nëse nuk mund t'i gjeni rrënjët, mos mendoni se ato nuk janë fare aty. Ndoshta keni bërë një gabim diku, atëherë thjesht duhet të kontrolloni me kujdes vendimin tuaj.

Ne shikuam ekuacionet më themelore dhe llojet e tyre. Tani mund të dalloni cili ekuacion nuk ka rrënjë. Në shumicën e rasteve kjo nuk është e vështirë për t'u bërë. Arritja e suksesit në zgjidhjen e ekuacioneve kërkon vetëm vëmendje dhe përqendrim. Praktikoni më shumë, do t'ju ndihmojë të lundroni në material shumë më mirë dhe më shpejt.

Pra, ekuacioni nuk ka rrënjë nëse:

• në ekuacionin linear mx = n vlera është m = 0 dhe n = 0;
• në një ekuacion kuadratik, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero;
• në një ekuacion trigonometrik të formës cosx = m / sinx = n, nëse |m| > 0, |n| > 0;
• në një sistem ekuacionesh me kllapa kaçurrelë, nëse të paktën një ekuacion nuk ka rrënjë, dhe me kllapa katrore, nëse të gjitha ekuacionet nuk kanë rrënjë.

Pasi të kemi studiuar konceptin e barazive, përkatësisht një nga llojet e tyre - barazitë numerike, mund të kalojmë në një lloj tjetër të rëndësishëm - ekuacionet. Në kuadrin e këtij materiali, ne do të shpjegojmë se çfarë është një ekuacion dhe rrënja e tij, do të formulojmë përkufizimet bazë dhe do të japim shembuj të ndryshëm të ekuacioneve dhe gjetjen e rrënjëve të tyre.

Koncepti i ekuacionit

Në mënyrë tipike, koncepti i një ekuacioni mësohet që në fillim të një kursi shkollor algjebër. Pastaj përkufizohet kështu:

Përkufizimi 1

Ekuacioni quhet një barazi me një numër të panjohur që duhet gjetur.

Është zakon të shënohen të panjohurat me shkronja të vogla latine, për shembull, t, r, m, etj., Por më shpesh përdoren x, y, z. Me fjalë të tjera, ekuacioni përcaktohet nga forma e regjistrimit të tij, domethënë, barazia do të jetë një ekuacion vetëm kur reduktohet në një formë të caktuar - duhet të përmbajë një shkronjë, vlerën që duhet gjetur.

Le të japim disa shembuj të ekuacioneve më të thjeshta. Këto mund të jenë barazi të formës x = 5, y = 6, etj., si dhe ato që përfshijnë veprime aritmetike, për shembull, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Pasi mësohet koncepti i kllapave, shfaqet koncepti i ekuacioneve me kllapa. Këto përfshijnë 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, etj. Shkronja që duhet gjetur mund të shfaqet më shumë se një herë, por disa herë, si p.sh. , për shembull, në ekuacionin x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Gjithashtu, të panjohurat mund të vendosen jo vetëm në të majtë, por edhe në të djathtë ose në të dy pjesët në të njëjtën kohë, për shembull, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 ose 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Më tej, pasi nxënësit njihen me konceptet e numrave të plotë, realë, racionalë, numra natyrorë, si dhe me logaritmet, rrënjët dhe fuqitë, shfaqen ekuacione të reja që përfshijnë të gjitha këto objekte. Ne i kemi kushtuar një artikull të veçantë shembujve të shprehjeve të tilla.

Në kurrikulën e klasës së 7-të, koncepti i variablave shfaqet për herë të parë. Këto janë shkronja që mund të marrin kuptime të ndryshme (për më shumë detaje, shihni artikullin mbi shprehjet numerike, shkronja dhe ndryshore). Bazuar në këtë koncept, ne mund të ripërcaktojmë ekuacionin:

Përkufizimi 2

Ekuacioniështë një barazi që përfshin një ndryshore, vlera e së cilës duhet të llogaritet.

Kjo është, për shembull, shprehja x + 3 = 6 x + 7 është një ekuacion me ndryshoren x, dhe 3 y − 1 + y = 0 është një ekuacion me ndryshoren y.

Një ekuacion mund të ketë më shumë se një ndryshore, por dy ose më shumë. Ato quhen përkatësisht ekuacione me dy, tre ndryshore etj. Le të shkruajmë përkufizimin:

Përkufizimi 3

Ekuacionet me dy (tre, katër ose më shumë) variabla janë ekuacione që përfshijnë një numër përkatës të panjohurash.

Për shembull, një barazi e formës 3, 7 · x + 0, 6 = 1 është një ekuacion me një ndryshore x, dhe x − z = 5 është një ekuacion me dy ndryshore x dhe z. Një shembull i një ekuacioni me tre ndryshore do të ishte x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Rrënja e ekuacionit

Kur flasim për një ekuacion, menjëherë lind nevoja për të përcaktuar konceptin e rrënjës së tij. Le të përpiqemi të shpjegojmë se çfarë do të thotë.

Shembulli 1

Na jepet një ekuacion i caktuar që përfshin një ndryshore. Nëse zëvendësojmë një numër për shkronjën e panjohur, ekuacioni bëhet një barazi numerike - e vërtetë ose e gabuar. Pra, nëse në ekuacionin a + 1 = 5 zëvendësojmë shkronjën me numrin 2, atëherë barazia do të bëhet false, dhe nëse 4, atëherë barazia e saktë do të jetë 4 + 1 = 5.

Ne jemi më të interesuar pikërisht për ato vlera me të cilat ndryshorja do të kthehet në një barazi të vërtetë. Ato quhen rrënjë ose zgjidhje. Le të shkruajmë përkufizimin.

Përkufizimi 4

Rrënja e ekuacionit Ata e quajnë vlerën e një ndryshoreje që e kthen një ekuacion të caktuar në një barazi të vërtetë.

Rrënja mund të quhet gjithashtu një zgjidhje, ose anasjelltas - të dy këto koncepte nënkuptojnë të njëjtën gjë.

Shembulli 2

Le të marrim një shembull për të sqaruar këtë përkufizim. Më sipër dhamë ekuacionin a + 1 = 5. Sipas përkufizimit, rrënja në këtë rast do të jetë 4, sepse kur zëvendësohet në vend të një shkronje jep barazinë e saktë numerike, dhe dy nuk do të jenë zgjidhje, pasi korrespondon me barazinë e gabuar 2 + 1 = 5.

Sa rrënjë mund të ketë një ekuacion? A ka çdo ekuacion një rrënjë? Le t'u përgjigjemi këtyre pyetjeve.

Ekzistojnë gjithashtu ekuacione që nuk kanë një rrënjë të vetme. Një shembull do të ishte 0 x = 5. Ne mund të zëvendësojmë një numër të pafund numrash të ndryshëm në të, por asnjëri prej tyre nuk do ta kthejë atë në një barazi të vërtetë, pasi shumëzimi me 0 jep gjithmonë 0.

Ka edhe ekuacione që kanë disa rrënjë. Ato mund të kenë një numër të kufizuar ose të pafund rrënjësh.

Shembulli 3

Pra, në ekuacionin x − 2 = 4 ka vetëm një rrënjë - gjashtë, në x 2 = 9 dy rrënjë - tre dhe minus tre, në x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tre rrënjë - zero, një dhe dy, ka pafundësisht shumë rrënjë në ekuacionin x=x.

Tani le të shpjegojmë se si të shkruajmë saktë rrënjët e ekuacionit. Nëse nuk ka asnjë, atëherë shkruajmë: "ekuacioni nuk ka rrënjë". Në këtë rast, ju gjithashtu mund të tregoni shenjën e grupit bosh ∅. Nëse ka rrënjë, atëherë i shkruajmë ato të ndara me presje ose i tregojmë si elementë të një grupi, duke i mbyllur në kllapa kaçurrelë. Pra, nëse ndonjë ekuacion ka tre rrënjë - 2, 1 dhe 5, atëherë shkruajmë - 2, 1, 5 ose (- 2, 1, 5).

Lejohet të shkruhen rrënjë në formën e barazive të thjeshta. Pra, nëse e panjohura në ekuacion shënohet me shkronjën y, dhe rrënjët janë 2 dhe 7, atëherë shkruajmë y = 2 dhe y = 7. Ndonjëherë abonentët u shtohen shkronjave, për shembull, x 1 = 3, x 2 = 5. Në këtë mënyrë tregojmë numrat e rrënjëve. Nëse ekuacioni ka një numër të pafund zgjidhjesh, atëherë përgjigjen e shkruajmë si një interval numerik ose përdorim shënimin e pranuar përgjithësisht: grupi i numrave natyrorë shënohet N, numrat e plotë - Z, numrat realë - R. Le të themi, nëse duhet të shkruajmë se zgjidhja e ekuacionit do të jetë çdo numër i plotë, atëherë shkruajmë se x ∈ Z, dhe nëse ndonjë numër real nga një në nëntë, atëherë y ∈ 1, 9.

Kur një ekuacion ka dy, tre rrënjë ose më shumë, atëherë, si rregull, nuk flasim për rrënjët, por për zgjidhjet e ekuacionit. Le të formulojmë përkufizimin e një zgjidhjeje të një ekuacioni me disa ndryshore.

Përkufizimi 5

Zgjidhja e një ekuacioni me dy, tre ose më shumë ndryshore është dy, tre ose më shumë vlera të variablave që e kthejnë ekuacionin e dhënë në një barazi të saktë numerike.

Le të shpjegojmë përkufizimin me shembuj.

Shembulli 4

Le të themi se kemi shprehjen x + y = 7, e cila është një ekuacion me dy ndryshore. Le të zëvendësojmë një në vend të të parës dhe dy në vend të të dytit. Do të marrim një barazi të pasaktë, që do të thotë se ky çift vlerash nuk do të jetë një zgjidhje për këtë ekuacion. Nëse marrim çiftin 3 dhe 4, atëherë barazia bëhet e vërtetë, që do të thotë se kemi gjetur një zgjidhje.

Ekuacione të tilla gjithashtu mund të mos kenë rrënjë ose një numër të pafund të tyre. Nëse duhet të shkruajmë dy, tre, katër ose më shumë vlera, atëherë i shkruajmë të ndara me presje në kllapa. Kjo do të thotë, në shembullin e mësipërm, përgjigja do të duket si (3, 4).

Në praktikë, më së shpeshti duhet të merreni me ekuacione që përmbajnë një ndryshore. Ne do të shqyrtojmë algoritmin për zgjidhjen e tyre në detaje në artikullin kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Artikuj të ngjashëm