Ne do të konsiderojmë një vijë në një rrafsh si vendndodhjen e pikave M(x, y) që plotëson një kusht të caktuar.
Nëse shkruajmë në një sistem koordinativ kartezian një veti që kanë të gjitha pikat në një drejtëz, duke lidhur koordinatat dhe disa konstante, mund të marrim një ekuacion të formës: F(x, y) = 0 ose .
Shembull. Shkruani ekuacionin e një rrethi me qendër në pikën C(x 0 , y 0) dhe rreze R.
Një rreth është vendndodhja gjeometrike e pikave të barabarta nga pika C. Le të marrim pikën M me koordinatat aktuale. Pastaj |CM| = R ose 
ose .
Nëse qendra e rrethit është në origjinë, atëherë x 2 + y 2 = R 2 .
Jo çdo ekuacion i formës F(x, y) = 0 përcakton një vijë në kuptimin e treguar: x 2 + y 2 = 0 është një pikë.
Drejtpërsëdrejti në një avion.
Vijat në një plan të caktuar janë një rast i veçantë i vijave në hapësirë. Prandaj, ekuacionet e tyre mund të merren nga ekuacionet përkatëse të drejtëzave në hapësirë.
Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në një rrafsh. Ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor.
Çdo vijë e drejtë në rrafshin XOY mund të përkufizohet si vija e kryqëzimit të planit Ax + By + Cz + D = 0 me rrafshin XOY: z = 0.
- drejtëz në rrafshin XOY: Ax + By + D = 0.
Ekuacioni që rezulton quhet ekuacion i përgjithshëm i drejtëzës. Në të ardhmen do ta shkruajmë në formën:
Ax + By + C = 0 (1)
1) Le të , atëherë ose y = kx + b (2) – ekuacion i drejtëzës me koeficient këndor. Le të zbulojmë kuptimin gjeometrik të k dhe b.
Le të vendosim x = 0. Atëherë y = b është ordinata fillestare e drejtëzës.
Le të vendosim y = 0. Pastaj ; - koeficienti i pjerrësisë së një vije të drejtë.
Raste të veçanta: a) b = 0, y=kx – drejtëza kalon nga origjina; b) k = 0, y = b – drejtëza paralele me boshtin OX; b) nëse B = 0, atëherë Ax + C = 0, ,
Ky është vendndodhja e pikave me abshisa konstante të barabarta me a, d.m.th. drejtëza është pingul me boshtin OX.
Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Le të jepet ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës: Ax + By + C = 0, dhe . Le t'i ndajmë të dyja anët me –C:
ose (3),
Ku; . Ky është ekuacioni i një rreshti në segmente. Numrat a dhe b janë vlerat e segmenteve të prera në boshtet koordinative.
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar me një pjerrësi të caktuar.
Le të jepet një pikë M 0 (x 0 , y 0) e shtrirë në një drejtëz L dhe një koeficient këndor k. Le të shkruajmë ekuacionin:
Këtu b është i panjohur. Le ta gjejmë atë, duke marrë parasysh se M 0 L:
y 0 = kx 0 + b (**).
Zbrit term pas termi nga (1) (2):
y – y 0 = k(x – x 0) (4).
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar.
Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna.
Le të jepen dy pika M 1 (x 1 , y 1) dhe M 2 (x 2 , y 2) L. Le të shkruajmë ekuacionin (4) në formën: y – y 1 = k(x – x 1). Sepse M 2 L, pastaj y 2 – y 1 = k(x 2 – x 1). Le ta ndajmë atë term pas termi:
(5),
Ky ekuacion ka kuptim nëse , . Nëse x 1 = x 2, atëherë M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 1, y 2). Nëse y 2 = y 1, atëherë M 1 (x 1, y 1); M 2 (x 2, y 1).
Kështu, nëse një nga emëruesit në (5) bëhet zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero.
Shembull. M 1 (3, 1) dhe M 2 (-1, 4). Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër këto pika. Gjeni k.
Ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh.
Siç dihet, çdo pikë në aeroplan përcaktohet nga dy koordinata në një sistem koordinativ. Sistemet e koordinatave mund të jenë të ndryshme në varësi të zgjedhjes së bazës dhe origjinës.
Përkufizimi. Ekuacioni i linjës i quajtur raport y = f(x ) ndërmjet koordinatave të pikave që përbëjnë këtë drejtëz.
Vini re se ekuacioni i një drejtëze mund të shprehet në mënyrë parametrike, domethënë secila koordinatë e secilës pikë shprehet përmes një parametri të pavarur.t.
Një shembull tipik është trajektorja e një pike lëvizëse. Në këtë rast, roli i parametrit luhet nga koha.
Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.
Përkufizimi. Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë
Ax + Wu + C = 0,
Për më tepër, konstantet A dhe B nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë, d.m.th. A 2 + B 2¹ 0. Ky ekuacion i rendit të parë quhet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.
Në varësi të vlerave të konstanteve A, B dhe C, rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:
C = 0, A 1 0, B 1 0 - vija e drejtë kalon nëpër origjinë
A = 0, B 1 0, C 1 0 (Me + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Ox
B = 0, A ¹ 0, C 1 0 ( Ax + C = 0) – drejtëza paralele me boshtin Oy
B = C = 0, A 1 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Oy
A = C = 0, B 1 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Ox
Ekuacioni i një vije të drejtë mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të kushteve fillestare të dhëna.
Largësia nga një pikë në një vijë.
Teorema. Nëse është dhënë një pikë M(x 0, y 0), atëherë distanca në drejtëzën Ax + Bу + C = 0 përcaktohet si
.
Dëshmi. Le të jetë pika M 1 (x 1, y 1) baza e pingulit të rënë nga pika M në një drejtëz të dhënë. Atëherë distanca midis pikave M dhe M 1:
(1)
Koordinatat x 1 dhe y 1 mund të gjendet si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:
Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar M 0 pingul me një drejtëz të caktuar.
Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,
pastaj, duke zgjidhur, marrim:
Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:
.
Teorema është vërtetuar.
Shembull. Përcaktoni këndin midis vijave të drejta: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
K1 = -3; k 2 = 2 tg j = ; j = p /4.
Shembull. Tregoni se drejtëzat 3x – 5y + 7 = 0 dhe 10x + 6y – 3 = 0 janë pingul.
Gjejmë: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, pra, vijat janë pingule.
Shembull. Duke pasur parasysh kulmet e trekëndëshit A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Gjeni ekuacionin e lartësisë të nxjerrë nga kulmi C.
10.1. Konceptet Bazë
Një vijë në një rrafsh konsiderohet (e specifikuar) si një grup pikash që kanë disa veti gjeometrike të qenësishme vetëm për to. Për shembull, një rreth me rreze R është grupi i të gjitha pikave të rrafshit të vendosura në një distancë - R nga një pikë fikse O (qendra e rrethit).
Futja e një sistemi koordinativ në një aeroplan lejon që dikush të përcaktojë pozicionin e një pike në aeroplan duke specifikuar dy numra - koordinatat e tij dhe pozicionin e një linje në plan që do të përcaktohet duke përdorur një ekuacion (d.m.th., një barazi që lidh koordinatat e pikave në vijë).
Ekuacioni i linjës(ose kurbë) në planin Oxy është një ekuacion i tillë F(x;y) = 0 me dy ndryshore, i cili plotësohet nga koordinatat x dhe y të secilës pikë në vijë dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet. në këtë linjë.
Ndryshoret x dhe y në ekuacionin e një drejtëze quhen koordinatat aktuale të pikave të drejtëzës.
Ekuacioni i një drejtëze lejon që studimi i vetive gjeometrike të një linje të zëvendësohet me studimin e ekuacionit të saj.
Pra, për të përcaktuar nëse pika A (x 0 ; y 0) shtrihet në një vijë të caktuar, mjafton të kontrolloni (pa iu drejtuar ndërtimeve gjeometrike) nëse koordinatat e pikës A plotësojnë ekuacionin e kësaj drejtëze në koordinatën e zgjedhur. sistemi.
Problemi i gjetjes së pikave të kryqëzimit të dy drejtëzave, të dhëna nga ekuacionet F 1 (x 1 ;y 1) = 0 dhe F 2 (x 2 ;y) = 0, reduktohet në gjetjen e pikave, koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionet e të dyjave. linjat, d.m.th., reduktohet në zgjidhjen e një sistemi prej dy ekuacionesh me dy të panjohura:
Nëse ky sistem nuk ka zgjidhje reale, atëherë linjat nuk kryqëzohen.
Koncepti i ekuacionit të një linje në një sistem koordinativ polar është prezantuar në mënyrë të ngjashme.
Ekuacioni F(r; φ)=O quhet ekuacioni i një drejtëze të caktuar në sistemin koordinativ polar nëse koordinatat e çdo pike që shtrihet në këtë drejtëz dhe vetëm ato e plotësojnë këtë ekuacion.
Një vijë në një aeroplan mund të përcaktohet duke përdorur dy ekuacione:
ku x dhe y janë koordinatat e një pike arbitrare M(x; y) që shtrihet në një vijë të caktuar, dhe t është një ndryshore e quajtur parametër; parametri t përcakton pozicionin e pikës (x; y) në plan.
Për shembull, nëse x = t + 1, y = t 2, atëherë vlera e parametrit t = 1 korrespondon me pikën (3; 4) në aeroplan, pasi x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.
Nëse parametri t ndryshon, atëherë pika në aeroplan lëviz, duke përshkruar këtë linjë. Kjo metodë e përcaktimit të një linje quhet parametrike, dhe ekuacionet (10.1) - ekuacionet parametrike linjat.
Për të kaluar nga ekuacionet parametrike të një rreshti në një ekuacion të formës F(x;y) = 0, është e nevojshme që disi të eliminohet parametri t nga dy ekuacionet.
Për shembull, nga ekuacionet duke zëvendësuar t = x
në ekuacionin e dytë, është e lehtë të merret ekuacioni y = x 2 ; ose y-x 2 = 0, d.m.th., të formës F(x; y) = 0. Megjithatë, vini re se një tranzicion i tillë nuk është gjithmonë e mundur.
Një vijë në një rrafsh mund të specifikohet nga një ekuacion vektorial r =r(t), ku t është një parametër variabël skalar. Çdo vlerë t 0 korrespondon me një vektor specifik r =r(t) aeroplan. Kur parametri t ndryshon, fundi i vektorit r =r(t) do të përshkruajë një linjë të caktuar (shih Fig. 31).
Ekuacioni i vijës vektoriale r =r(t) në sistemin e koordinatave Oxy korrespondojnë dy ekuacione skalare (10.1), d.m.th., ekuacionet e projeksioneve në boshtet koordinative të ekuacionit vektorial të një linje janë ekuacionet parametrike të saj. I Ekuacioni vektorial dhe ekuacionet parametrike të drejtëzës I kanë kuptim mekanik. Nëse një pikë lëviz në një plan, atëherë ekuacionet e treguara quhen ekuacione të lëvizjes, dhe vija quhet trajektorja e pikës; parametri t është koha. Pra, çdo vijë në plan korrespondon me një ekuacion të formës F(x; y) = 0.
Çdo ekuacioni të formës F(x; y) = 0 i korrespondon, në përgjithësi, një vijë e caktuar, vetitë e së cilës përcaktohen nga ky ekuacion (shprehja "në përgjithësi" do të thotë se sa më sipër lejon përjashtime. Kështu, ekuacioni (x-2) 2 + (y- 3) 2 =0 nuk korrespondon me një vijë, por me një pikë (2; 3); ekuacioni x 2 + y 2 + 5 = 0 në plan nuk korrespondon me çdo imazh gjeometrik).
Në gjeometrinë analitike në aeroplan, lindin dy probleme kryesore. Së pari: njohja e vetive gjeometrike të lakores, gjeni ekuacionin e saj) së dyti: njohja e ekuacionit të lakores, studioni formën dhe vetitë e saj.
Figurat 32-40 tregojnë shembuj të disa kthesave dhe ekuacionet e tyre.
10.2. Ekuacionet e një drejtëze në një rrafsh
Vija më e thjeshtë është një vijë e drejtë. Në një sistem koordinativ drejtkëndor, mënyra të ndryshme për të përcaktuar një vijë korrespondojnë me lloje të ndryshme të ekuacioneve të saj.
Ekuacioni i një drejtëze me pjerrësi
Le të jepet një vijë e drejtë arbitrare në rrafshin Oxy, jo paralel me boshtin Oy. Pozicioni i tij përcaktohet plotësisht nga ordinata b e pikës N(0; b) të kryqëzimit me boshtin Oy dhe këndi a ndërmjet boshtit Ox dhe drejtëzës (shih Fig. 41).
Në një kënd a (0 Nga përkufizimi i tangjentes së një këndi del se Le të prezantojmë shënimin tg a=k , marrim ekuacionin e cila plotësohet nga koordinatat e çdo pike M(x;y) të drejtëzës. Mund të siguroheni që koordinatat e çdo pike P(x;y) që shtrihet jashtë kësaj vije të mos plotësojnë ekuacionin (10.2). Numri k = tga quhet pjerrësia e drejtëzës, dhe ekuacioni (10.2) është ekuacioni i drejtëzës me pjerrësinë. Nëse një drejtëz kalon nga origjina, atëherë b = 0 dhe, për rrjedhojë, ekuacioni i kësaj drejtëze do të ketë formën y=kx. Nëse drejtëza është paralele me boshtin Ox, atëherë a = 0, pra, k = tga = 0 dhe ekuacioni (10.2) merr formën y = b. Nëse drejtëza është paralele me boshtin Oy, atëherë ekuacioni (10.2) humbet kuptimin e tij, pasi për të koeficienti këndor Në këtë rast, ekuacioni i drejtëzës do të ketë formën Ku a- abshisa e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Ox. Vini re se ekuacionet (10.2) dhe (10.3) janë ekuacione të shkallës së parë. Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze. Le të shqyrtojmë një ekuacion të shkallës së parë për x dhe y në formë të përgjithshme ku A, B, C janë numra arbitrar, dhe A dhe B nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Le të tregojmë se ekuacioni (10.4) është ekuacioni i një drejtëze. Ka dy raste të mundshme. Nëse B = 0, atëherë ekuacioni (10.4) ka formën Ax + C = O, dhe A ¹ 0 d.m.th. Ky është ekuacioni i një vije të drejtë paralele me boshtin Oy dhe që kalon nëpër pikë Nëse B 1 0, atëherë nga ekuacioni (10.4) marrim Pra, ekuacioni (10.4) është ekuacioni i një drejtëze, quhet ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës. Disa raste të veçanta të ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze: 1) nëse A = 0, atëherë ekuacioni reduktohet në formë. Ky është ekuacioni i një vije të drejtë paralele me boshtin Ox; 2) nëse B = 0, atëherë drejtëza është paralele me boshtin Oy; 3) nëse C = 0, atëherë marrim . Ekuacioni plotësohet nga koordinatat e pikës O(0;0), drejtëza kalon nëpër origjinë. Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar Le të kalojë një drejtëz nëpër një pikë dhe drejtimi i saj përcaktohet nga pjerrësia k. Ekuacioni i kësaj rreshti mund të shkruhet në formën , ku b është një madhësi aktualisht e panjohur. Meqenëse drejtëza kalon nëpër pikën, koordinatat e pikës plotësojnë ekuacionin e drejtëzës:. Nga këtu. Duke zëvendësuar vlerën e b në ekuacion, marrim ekuacionin e dëshiruar të drejtëzës: , d.m.th. Ekuacioni (10.5) me vlera të ndryshme k quhen edhe ekuacionet e një lapsi me vija me qendër në pikë. Nga ky laps është e pamundur të përcaktohet vetëm një drejtëz paralele me boshtin Oy. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika Lëreni vijën të kalojë nëpër pikat dhe . Ekuacioni i drejtëzës që kalon në pikën M 1 ka formën ku k është një koeficient ende i panjohur. Meqenëse drejtëza kalon nëpër pikë, koordinatat e kësaj pike duhet të plotësojnë ekuacionin (10.6): . Këtu e gjejmë. Duke zëvendësuar vlerën e gjetur të k në ekuacionin (10.6), marrim ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika. M 1 dhe M 2. Supozohet se në këtë ekuacion Nëse x 2 = x 1 është një drejtëz që kalon nëpër pika dhe është paralele me ordinatën. Ekuacioni i tij duket si . Nëse y 2 = y 1 atëherë ekuacioni i drejtëzës mund të shkruhet në formën, vijë M 1 M 2 paralel me boshtin x. Ekuacioni i një drejtëze në segmente Ky ekuacion quhet ekuacioni i një drejtëze në segmente, meqenëse numrat α dhe b tregojnë se cilat segmente i pret drejtëza në boshtet koordinative. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar Le të gjejmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar jozero. Quhet ekuacioni (10.8). ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar. Një vektor pingul me një drejtëzë quhet vektor normal i kësaj drejtëze. Ekuacioni (10.8) mund të rishkruhet si ku A dhe B janë koordinatat e vektorit normal dhe është termi i lirë. Ekuacioni (10.9) është ekuacioni i përgjithshëm i një vije të drejtë (shih (10.4)). Ekuacioni polar i një drejtëze Për çdo pikë në një vijë të caktuar kemi: Ne anen tjeter, Prandaj, Ekuacioni që rezulton (10.10) është ekuacioni i një vije të drejtë në koordinata polare. Ekuacioni normal i një drejtëze Lëreni vijën e drejtë të përcaktohet duke specifikuar p dhe α (shih Fig. 45). Konsideroni një sistem koordinativ drejtkëndor. Le të prezantojmë sistemin polar, duke marrë polin dhe boshtin polar. Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet si Por, për shkak të formulave që lidhin koordinatat drejtkëndore dhe polare, kemi: , . Rrjedhimisht, ekuacioni (10.10) i një vije të drejtë në një sistem koordinativ drejtkëndor merr formën Quhet ekuacioni (10.11). ekuacioni normal i një drejtëze. Le të shumëzojmë të gjithë termat e ekuacionit (10.4) me një faktor. Do ta marrim. Ky ekuacion duhet të kthehet në ekuacion (10.11). Prandaj, duhet të plotësohen barazitë: , , . Nga dy barazitë e para gjejmë, d.m.th. e. Siç dihet, çdo pikë në aeroplan përcaktohet nga dy koordinata në një sistem koordinativ. Sistemet e koordinatave mund të jenë të ndryshme në varësi të zgjedhjes së bazës dhe origjinës. Përkufizimi. Ekuacioni i linjës quhet relacioni y = f(x) ndërmjet koordinatave të pikave që përbëjnë këtë drejtëz. Vini re se ekuacioni i një drejtëze mund të shprehet në mënyrë parametrike, domethënë secila koordinatë e secilës pikë shprehet përmes një parametri të pavarur. t. Një shembull tipik është trajektorja e një pike lëvizëse. Në këtë rast, roli i parametrit luhet nga koha. Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan. Përkufizimi.
Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë Ax + Wu + C = 0, Për më tepër, konstantet A dhe B nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë, d.m.th. A 2 + B 2 ¹ 0. Ky ekuacion i rendit të parë quhet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze. Në varësi të vlerave të konstanteve A, B dhe C, rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme: C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - vija e drejtë kalon përmes origjinës A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Ox B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - vijë e drejtë paralele me boshtin Oy B = C = 0, A ¹ 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Oy A = C = 0, B ¹ 0 - vija e drejtë përkon me boshtin Ox Ekuacioni i një vije të drejtë mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të kushteve fillestare të dhëna. Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal. Përkufizimi.
Në sistemin koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me përbërës (A, B) është pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni Ax + By + C = 0. Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në pikën A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1). Me A = 3 dhe B = -1, le të përpilojmë ekuacionin e drejtëzës: 3x – y + C = 0. Për të gjetur koeficientin C, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës së dhënë A në shprehjen që rezulton. Marrim: 3 – 2 + C = 0, pra C = -1. Totali: ekuacioni i kërkuar: 3x – y – 1 = 0. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika. Le të jepen në hapësirë dy pika M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër këto pika është: Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero. Në plan, ekuacioni i vijës së drejtë të shkruar më sipër është thjeshtuar: nëse x 1 ¹ x 2 dhe x = x 1, nëse x 1 = x 2. Thyehet thyesa = k shpat drejt. Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4). Duke zbatuar formulën e shkruar më sipër, marrim: Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi. Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + By + C = 0 reduktohet në formën: dhe shënojmë , atëherë thirret ekuacioni që rezulton ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k. Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor drejtimi. Në analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një drejtëze përmes një vektori normal, mund të futni përkufizimin e një drejtëze përmes një pike dhe vektorin drejtues të vijës së drejtë. Përkufizimi.
Çdo vektor jozero (a 1 , a 2), përbërësit e të cilit plotësojnë kushtin Aa 1 + Ba 2 = 0 quhet vektor drejtues i drejtëzës Ax + Wu + C = 0. Shembull. Gjeni ekuacionin e një drejtëze me një vektor drejtimi (1, -1) dhe që kalon në pikën A(1, 2). Ekuacionin e vijës së dëshiruar do ta kërkojmë në formën: Ax + By + C = 0. Në përputhje me përkufizimin, koeficientët duhet të plotësojnë kushtet. Një vijë në një rrafsh është një koleksion pikash në këtë rrafsh që kanë veti të caktuara, ndërsa pikat që nuk shtrihen në një vijë të caktuar nuk i kanë këto veti. Ekuacioni i një drejtëze përcakton një marrëdhënie të shprehur në mënyrë analitike midis koordinatave të pikave që shtrihen në këtë vijë. Le të jepet kjo marrëdhënie nga ekuacioni F( x, y)=0. (2.1) Një çift numrash që kënaqin (2.1) nuk është arbitrar: nëse X dhënë, atëherë në nuk mund të jetë asgjë, do të thotë në lidhur me X. Kur ndryshon X ndryshimet në, dhe një pikë me koordinata ( x, y) përshkruan këtë linjë. Nëse koordinatat e pikës M 0 ( X 0 ,në 0) plotësoni ekuacionin (2.1), d.m.th. F( X 0 ,në 0)=0 është një barazi e vërtetë, atëherë pika M 0 shtrihet në këtë vijë. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Përkufizimi. Një ekuacion i një drejtëze në një rrafsh është një ekuacion që plotësohet nga koordinatat e çdo pike që shtrihet në këtë drejtëz dhe nuk plotësohet nga koordinatat e pikave që nuk shtrihen në këtë drejtëz.. Nëse dihet ekuacioni i një linje të caktuar, atëherë studimi i vetive gjeometrike të kësaj linje mund të reduktohet në studimin e ekuacionit të saj - kjo është një nga idetë kryesore të gjeometrisë analitike. Për të studiuar ekuacionet, ekzistojnë metoda të zhvilluara mirë të analizës matematikore që thjeshtojnë studimin e vetive të vijave. Kur merren parasysh rreshtat, përdoret termi pika aktuale vija – pika e ndryshueshme M( x, y), duke lëvizur përgjatë kësaj linje. Koordinatat X Dhe në quhen pika aktuale koordinatat aktuale pikat e vijës. Nëse nga ekuacioni (2.1) mund të shprehemi në mënyrë eksplicite në 1. Është dhënë barazimi: , ose . Nëse X merr vlera arbitrare, atëherë në merr vlera të barabarta me X. Rrjedhimisht, vija e përcaktuar nga ky ekuacion përbëhet nga pika të barabarta nga boshtet koordinative Ox dhe Oy - kjo është përgjysmuesja e këndeve të koordinatave I–III (drejtëza në Fig. 2.1). Ekuacioni, ose, përcakton përgjysmuesin e këndeve të koordinatave II–IV (drejtëza në Fig. 2.1). 0 x 0 x C 0 x oriz. 2.1 fig. 2.2 fig. 2.3 2. Ekuacioni është dhënë: , ku C është disa konstante. Ky ekuacion mund të shkruhet ndryshe: . Ky ekuacion plotësohet nga ato dhe vetëm ato pika, ordinata në të cilat janë të barabarta me C për çdo vlerë abshise X. Këto pika shtrihen në një vijë të drejtë paralele me boshtin Ox (Fig. 2.2). Në mënyrë të ngjashme, ekuacioni përcakton një vijë të drejtë paralele me boshtin Oy (Fig. 2.3). Jo çdo ekuacion i formës F( x, y)=0 përcakton një vijë në rrafsh: ekuacioni plotësohet nga një pikë e vetme – O(0,0), dhe ekuacioni nuk plotësohet nga asnjë pikë në rrafsh. Në shembujt e dhënë, ne përdorëm një ekuacion të caktuar për të ndërtuar një vijë të përcaktuar nga ky ekuacion. Le të shqyrtojmë problemin e anasjelltë: ndërtoni ekuacionin e tij duke përdorur një vijë të caktuar. 3. Krijo një ekuacion për një rreth me qendër në pikën P( a,b) Dhe ○ Një rreth me qendër në pikën P dhe rreze R është një grup pikash të vendosura në një distancë R nga pika P. Kjo do të thotë se për çdo pikë M që shtrihet në rreth, MP = R, por nëse pika M nuk shtrihet në rrethi, pastaj MP ≠ R.. ●
(10.2)
nuk ekziston.
(10.4)
. Ky është ekuacioni i një vije të drejtë me një koeficient këndor 
|.
(10.5)
(10.6)
(10.7)
Lëreni vijën e drejtë të presë boshtin Ox në pikë, dhe boshtin Oy në pikën (shih Fig. 42). Në këtë rast, ekuacioni (10.7) do të marrë formën
Le të marrim një pikë arbitrare M(x;y) në vijë dhe të shqyrtojmë vektorin (shih Fig. 43). Meqenëse vektorët dhe janë pingul, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: , domethënë
(10.9)
Le të gjejmë ekuacionin e një drejtëze në koordinatat polare. Pozicioni i tij mund të përcaktohet duke treguar distancën ρ nga poli O në një vijë të drejtë të caktuar dhe këndin α ndërmjet boshtit polar OP dhe boshtit l, duke kaluar nëpër polin O pingul me këtë vijë (shih Fig. 44).
(10.10)
(10.11)
Le të tregojmë se si të reduktojmë ekuacionin (10.4) të një vije të drejtë në formën (10.11).
. Faktori λ quhet faktori normalizues. Sipas barazisë së tretë, shenja e faktorit normalizues është e kundërt me shenjën e termit të lirë C të ekuacionit të përgjithshëm të drejtëzës.
përmes X d.m.th., shkruani ekuacionin (2.1) në formën , atëherë kurba e përcaktuar nga një ekuacion i tillë quhet orarin funksione f(x).
rrezja R .
Artikuj të ngjashëm
