UDK577.4: 517.9

MODIFIKIMI I MODELIT HETEROGJEN LESLIE PËR RASTIN E SHKALLAVE NEGATIVE TË Pjellorisë

BALAKIREVA A.G.

që në çdo pikë fikse në kohë (për shembull, t0) popullata mund të karakterizohet duke përdorur një vektor kolone

Është analizuar një model heterogjen Leslie me koeficientë negativ të fertilitetit. Në bazë të këtij modeli studiohet dhe parashikohet dinamika e moshës së stafit mësimdhënës brenda një universiteti të caktuar.

1. Hyrje

ku xi(tj) është numri i grupmoshës së i-të në kohën tj, i = 1,...,n.

Vektori X(ti), që karakterizon popullsinë në pikën tjetër të kohës, për shembull, në një vit, është i lidhur me vektorin X(to) përmes matricës së tranzicionit L:

Parashikimi dhe llogaritja e madhësisë së popullsisë duke marrë parasysh shpërndarjen e saj moshore është një detyrë urgjente dhe e vështirë. Një nga modifikimet e tij është parashikimi i strukturës së moshës së një grupi profesional homogjen brenda një ndërmarrjeje ose industrie specifike në tërësi. Le të shqyrtojmë një qasje për zgjidhjen e kësaj klase problemesh duke përdorur një model strukturor të shpërndarjes së moshës. Formalizmi i kësaj qasjeje bazohet në modelin Leslie, i njohur në dinamikën e popullsisë.

Qëllimi i kësaj pune është të tregojë mundësinë e përdorimit të modelit heterogjen Leslie në rastin e lindjeve negative për të parashikuar zhvillimin e dinamikës së popullsisë.

2. Ndërtimi i një modeli të dinamikës së popullsisë duke marrë parasysh përbërjen e moshës (modeli Leslie)

Për të ndërtuar modelin Leslie, është e nevojshme të ndahet popullata në një numër të kufizuar të klasave të moshës (për shembull, n klasat e moshës) me kohëzgjatje të vetme, dhe numri i të gjitha klasave rregullohet në kohë diskrete me një hap uniform (për shembull , 1 vit).

Nën supozimet e mësipërme dhe me kushtin që burimet ushqimore të mos jenë të kufizuara, mund të konkludojmë se 40

Kështu, duke ditur strukturën e matricës L dhe gjendjen fillestare të popullsisë (vektori i kolonës X(t0)), ne mund të parashikojmë gjendjen e popullsisë në çdo moment të caktuar kohor:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

Matrica e Leslie L ka formën e mëposhtme:

^ai a2 . .. a n-1 a > u-n

0 Р 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0 . .. Р n-1 0 V

ku a i janë normat e lindjeve specifike për moshën, që karakterizojnë numrin e individëve të lindur nga grupet përkatëse; Pi janë shkalla e mbijetesës e barabartë me probabilitetin e kalimit nga grupmosha i në grupin i +1 deri në momentin tjetër në kohë (në-

se ^Pi mund të jetë më i madh se 1). i=1

RI, 2011, nr. 1

Matrica L përcakton një operator linear në hapësirën Euklidiane n-dimensionale, të cilin do ta quajmë edhe operator Leslie. Meqenëse madhësitë x;(t) kanë kuptimin e numrave, ato janë jonegative dhe do të na interesojë veprimi i operatorit Leslie në oktantin pozitiv të hapësirës Pn n -dimensionale. Duke qenë se të gjithë elementët e matricës janë jonegativë (në këtë rast vetë matrica quhet jonegative), është e qartë se çdo vektor oktant pozitiv nuk merret përtej kufijve të tij nga operatori Leslie, d.m.th. trajektorja X(t j) (j = 1,2,...) mbetet në Pn. Të gjitha vetitë e mëtejshme të modelit Leslie rrjedhin nga jonegativiteti i matricës L dhe struktura e saj e veçantë.

Sjellja asimptotike e zgjidhjeve të ekuacionit (1) lidhet ndjeshëm me vetitë spektrale të matricës L, kryesore e të cilave përcaktohet nga teorema e mirënjohur Perron-Frobenius.

Përkufizimi. Një model heterogjen Leslie është një model i formës

X(tj+i) = L(j)X(të), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

ku Lj është matrica Leslie e hapit j.

Dinamika e modelit johomogjen është studiuar shumë dobët (ndërsa është kryesisht e ngjashme me dinamikën e modelit (1), ai gjithashtu ka disa dallime). Në të njëjtën kohë, ky model është padyshim më realist.

3. Vetitë spektrale të operatorit Leslie

Në vijim të punës, do të shqyrtojmë konceptin e indeksit të imprimativitetit të matricës Leslie.

Një matricë e pazbërthyeshme L me elementë jonegativë quhet primitive nëse mbart saktësisht një numër karakteristik me një modul maksimal. Nëse një matricë ka h > 1 numra karakteristikë me një modul maksimal, atëherë ajo quhet imprimitive. Numri h quhet indeksi i imprimimitivitetit të matricës L. Mund të tregohet se indeksi i imprimimit të matricës Leslie është i barabartë me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave të atyre grupmoshave në të cilat shkalla e lindjeve është e ndryshme nga zero. Në veçanti, për primitivitetin e matricës Leslie

mjafton që një 1 > 0, ose që lindshmëria të ndodhë në çdo dy grupe të njëpasnjëshme, d.m.th. ekzistonte një j e tillë që një j Ф 0 dhe

Duke marrë parasysh sa më sipër, mund të vërejmë disa veti të matricës Leslie.

1. Polinomi karakteristik i matricës L është i barabartë me

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

sprt e lehtë,

që vërtetohet lehtësisht me metodën e induksionit matematik.

2. Ekuacioni karakteristik A n(p) = 0 ka një rrënjë unike pozitive р1 të tillë që

ku p është çdo vlerë tjetër vetjake e matricës L. Numri p1 korrespondon me një eigenvektor pozitiv X1 të matricës L.

Deklarata 2 e vetive rrjedh drejtpërdrejt nga teorema mbi matricat jonegative dhe teorema e Dekartit.

3. Shenja e barabartë në (3) ndodh në rastin e jashtëzakonshëm kur vetëm një nga normat e fertilitetit është i ndryshëm nga zero:

dhe k > 0, dhe j = 0 për j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n.

4. Vlera p1 përcakton sjelljen asimptotike të popullatës. Madhësia e popullsisë rritet pafundësisht kur I1 >1 dhe asimptotikisht tenton në zero kur I1< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----,-I------,...,-^,1]"

Р1Р2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

Eigenvektori pozitiv i matricës L, i përcaktuar deri në një faktor.

Një tregues i vetive 4 për një matricë Leslie të pazbërthyeshme të formës (4) është sasia

R = а1 + £а iP1...Pi-1, i=2

i cili mund të interpretohet si potenciali riprodhues i popullsisë (parametri i përgjithësuar i shkallës së riprodhimit), d.m.th. nëse R > 1, atëherë p1 > 1 (popullsia rritet në mënyrë eksponenciale), nëse R< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Modifikimi i modelit Leslie për rastin e normave negative të lindshmërisë

Punimet konsideruan vetëm modelin Leslie me koeficientë jo negativë. Arsyeja për këtë zgjedhje, përveç avantazheve të dukshme matematikore, ishte se si probabilitetet e mbijetesës ashtu edhe normat e lindshmërisë nuk mund të jenë në thelb negative. Sidoqoftë, tashmë në punimet më të hershme mbi modelet e riprodhimit të popullsisë, u vërejt rëndësia e zhvillimit të modeleve me, në përgjithësi, koeficientët jo pozitiv të rreshtit të parë të matricës Leslie. Në veçanti, modelet e riprodhimit të popullatave biologjike me sjellje "anti-riprodhuese" të individëve jo riprodhues kanë koeficient negativ.

RI, 2011, nr. 1

cilat grupmosha (shkatërrimi i vezëve dhe individëve të rinj etj.). Konkurrenca për burime midis të porsalindurve dhe përfaqësuesve të grupmoshave të tjera mund të çojë gjithashtu në këtë. Në këtë drejtim, pyetja përkatëse është nëse vetia e ergodicitetit, që është e vërtetë për modelet Leslie me koeficientë jonegativë, ruhet në një klasë më të gjerë modelesh për riprodhimin e potencialit demografik.

Teorema e mëposhtme i përgjigjet kësaj pyetjeje.

Teorema (Për rrethin e paqëndrueshmërisë së modelit të riprodhimit të potencialit demografik).

Le të jepet struktura moshore e potencialit demografik dhe numri i njerëzve që jetojnë. Pastaj ka një rreth l = (p: |p|< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

Ne do ta quajmë këtë rreth rrethi i paqëndrueshmërisë, dhe rreze e tij rreze e paqëndrueshmërisë.

Vërejtje 1. Një përfundim i rëndësishëm rrjedh nga teorema - pavarësisht nga struktura e potencialit demografik, në vlera të caktuara të shkallës së vërtetë të riprodhimit do të vërehet vetia e ergodicitetit. Në veçanti, modelet me elemente negative në rreshtin e parë të matricës së riprodhimit dhe madje edhe vlera negative të potencialeve demografike mund të kenë vetinë e ergodicitetit.

Vërejtje 2. Nga teorema del se nëse për një vlerë të caktuar të koeficientit të riprodhimit të vërtetë një model ka vetinë e ergodicitetit, atëherë këtë veti e ka edhe për të gjithë koeficientët e riprodhimit që janë të mëdhenj në madhësi.

5. Studimi i dinamikës moshore të stafit pedagogjik të universitetit. Eksperiment numerik

Le të shqyrtojmë parashikimin e dinamikës së numrit dhe shpërndarjes së moshës së stafit mësimdhënës sipas të dhënave nga një prej universiteteve në Kharkov. Struktura e moshës standarde, e ashtuquajtura “e ngjeshur” e personelit mësimor është formuar nga statistikat në formën e 5 kategorive të moshave. Tabela tregon numrin N të çdo kategori moshe sipas vitit dhe përqindjen që përbën kjo kategori moshe në raport me numrin total.

Le të hartojmë matricat e tranzicionit L j të tilla që

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

Për ta bërë këtë, është e nevojshme të përcaktohet shkalla e lindjeve dhe nivelet e mbijetesës në një matricë të formës (2). Shkalla e mbijetesës mund të merret nga

zgjidhja e drejtpërdrejtë e ekuacionit (4) duke përdorur të dhëna nga tabela.

Struktura e stafit mësimor

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Gjithsej 854 629 649 657

Sa i përket normave të lindshmërisë, duhen bërë supozime shtesë. Le të rritet numri i personelit mësimor me dhjetë veta çdo vit. Meqenëse normat e lindshmërisë janë a; interpretuar si lindshmëria mesatare e individëve të grupmoshës së i-të, mund të supozohet se a1, a 5 = 0, dhe a 2 = 7, dhe 3 = 3. Bazuar në të dhënat fillestare, konstatojmë se 4 janë negative. Ky kusht interpretohet si largim i disa anëtarëve të stafit pedagogjik nga universiteti. Nga sa më sipër rezulton se matricat L j kanë formën:

0 0 në 3 0 0 . (5)

Ne do të marrim parasysh vetëm klasat riprodhuese. Për ta bërë këtë, duhet të ndryshoni formën e matricës së reduktuar (le të heqim qafe kolonën e fundit zero). Dhe ne llogarisim klasat pas riprodhimit siç tregohet në paragrafin 2.

Kështu, duke marrë parasysh sa më sipër dhe të dhënat fillestare, marrim dy matrica:

Matrica Li e formës (5) me koeficientë а4 = 15, Р1 = 0,27, р2 = 1,39, р3 = 0,29;

Matrica L2 e tipit (5) me koeficientë а 4 = 11, Р1 = 0,381, р2 = 1,64, р3 = 0,43.

Matricat L1 dhe L2 korrespondojnë me tranzicionet e viteve 2005-2006 dhe 2007-2008, respektivisht. Për shpërndarjen fillestare të moshës marrim vektorin X(t0) = T.

Këto matrica kanë koeficientë riprodhimi p1, të cilët nuk hyjnë në rrethin e destabilizimit. Nga kjo rrjedh se një popullsi me një regjim të caktuar riprodhimi ka vetinë e ergodicitetit.

Duke aplikuar modelin heterogjen Leslie me një shpërndarje fillestare të dhënë, gjejmë se, duke filluar nga n=30 për numrin total, kushti është i plotësuar.

RI, 2011, nr. 1

stabilizimi i formës së mëposhtme: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., ku q = 1.64 është eigenvlera më e madhe e matricës L 2.

Pas stabilizimit, raporti i përqindjes së kategorive të moshave është si më poshtë: kategoria e parë - 39%, e dyta - 14%, e treta - 22%, e katërta - 12%, e pesta -13%.

Meqenëse eigenvlera më e madhe është më e madhe se një, modeli ynë është i hapur. Në këtë drejtim, ne do të marrim parasysh jo numrin e përgjithshëm të stafit mësimor, por raportin e këtij numri me shkallën më të madhe.

eigenvlera e matricës L2:

L(j)X(t0)/cc, ku j = 1,2,....

Figura tregon dinamikën e strukturës moshore të stafit mësimdhënës deri në vitin 2015.

Përqindje

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Ndryshimet në ndarjet e kategorive të moshave me kalimin e kohës

Në këtë shifër u zgjodh një shkallë nga 10 deri në 40 sepse përqindja e kategorive të moshave është në këtë diapazon.

Të dhënat e modelit të parashikimit përgjithësisht ruajnë një prirje të përgjithshme drejt rritjes së përqindjes së punonjësve mbi 50 vjeç, gjë që tregon se tendenca drejt “plakjes” së përbërjes moshore të universitetit vazhdon. U përcaktua se ishte e nevojshme të rriteshin dy kategoritë e para të moshave me të paktën 23% me një ulje korresponduese në kategoritë e mbetura të moshave për të ndryshuar këtë trend.

Risia shkencore qëndron në faktin se për herë të parë modeli heterogjen Leslie u konsiderua në rastin e normave negative të lindshmërisë. Kjo i mundëson modelit të marrë parasysh jo vetëm shkallën e lindshmërisë, por edhe shkallën e vdekshmërisë së individëve në periudhën paragjeneruese, gjë që e bën modelin më realist. Prania e koeficientëve negativë ndryshon rrënjësisht metodologjinë për studimin e dinamikës së modelit Leslie duke marrë parasysh rajonin përkatës të lokalizimit të vlerës kryesore (rrethi i paqëndrueshmërisë).

Rëndësia praktike: ky model bën të mundur parashikimin e ndryshimeve në madhësinë e popullsisë dhe strukturën e saj moshore, duke marrë parasysh si lindshmërinë ashtu edhe vdekshmërinë në çdo grupmoshë. Në veçanti, duke përdorur të dhëna reale statistikore që mbulojnë disa universitete në qytetin e Kharkovit, u bë një parashikim i dinamikës së ndryshimeve të lidhura me moshën në stafin mësimdhënës. Të dhënat e parashikimit lidhen mjaft mirë me të dhënat reale.

Literatura: 1. Leslie P.H. Mbi përdorimin e matricave në matematikë të caktuar të popullsisë // Biometrica. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Zuber I.E., Kolker Yu.I., Poluektov R.A. Kontrolli i madhësisë dhe përbërjes së moshës së popullatave // ​​Problemet e Kibernetikës. Çështja 25. Fq.129-138. 3. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Modelet matematikore të proceseve biologjike të prodhimit. M.: Shtëpia botuese. Universiteti Shtetëror i Moskës, 1993. 301 f. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Stabiliteti i bashkësive biologjike. M.: Nauka, 1978.352 f. 5. Gantmakher F. P. Teoria e matricave. M.: Nauka, 1967.548 f. 6. Logofet D.O, Belova I.N. Matricat jo-negative si një mjet për modelimin e dinamikës së popullsisë: modelet klasike dhe përgjithësimet moderne // Matematikë Themelore dhe e Aplikuar. 2007.T. 13. Vëll. 4. Fq.145-164. 7. Kurosh A. G. Kursi i algjebrës së lartë. M.: Nauka, 1965. 433 f.

Pas një dite të vështirë në punë, të gjithë ëndërrojnë të pushojnë shpejt në shtratin e tyre të preferuar dhe të shpërqendrohen nga video emocionuese. Çdo vizitor në faqen tonë do të jetë në gjendje të gjejë një video emocionuese që i përshtatet shijes dhe interesit të tyre. Edhe shikuesit më të sofistikuar do të gjejnë diçka të denjë për veten e tyre. Faqja jonë lejon çdo vizitor të shikojë video në domenin publik, pa asnjë regjistrim, dhe më e rëndësishmja, gjithçka është plotësisht falas.

Ne ju ofrojmë një gamë të gjerë videosh argëtuese, edukative, për fëmijë, lajme, muzikore dhe humoristike në cilësi të shkëlqyer, që është një lajm i mirë.

Videot edukative nuk do të lënë askënd indiferent. Ato përmbajnë fakte të konfirmuara që ofrojnë shpjegime të hollësishme për një temë specifike. Video të tilla tërheqin jo vetëm përmbajtjen e tyre të informacionit, por edhe pamjen e tyre dhe cilësinë e figurës. Jo vetëm të rriturit, por edhe fëmijët shikojnë me entuziazëm video për kafshët, natyrën dhe udhëtimet. Në fund të fundit, të gjithë janë shumë të interesuar të ndjekin botën e kafshëve në të egra, duke zhvilluar dhe mësuar diçka të re për veten e tyre.

Videot humoristike janë perfekte për argëtim në mbrëmje. Më shumë se kurrë pas një dite të vështirë në punë, humori do t'ju ndihmojë të hiqni mendjen nga problemet e jetës ose të qeshni me zemër në shoqërinë e miqve. Këtu mund të gjeni skeçe të ndryshme, stand-up, shaka, video shaka dhe shfaqje të ndryshme humori.

Muzika është shumë e rëndësishme në jetën e çdo njeriu. Ajo motivon secilin prej nesh, na ngre humorin dhe na bën të ecim përpara. Për çdo vizitor, ne kemi përzgjedhje të shkëlqyera videoklipesh, duke përfshirë një numër të madh të zhanreve dhe stileve të ndryshme, interpretues të huaj dhe vendas. Edhe nëse jeni në diçka, videot muzikore janë të shkëlqyera për t'u dëgjuar në sfond.

Video lajmet janë formati më spektakolar i lajmeve moderne. Në faqen tonë të internetit mund të gjeni video të ndryshme lajmesh për çdo temë që ju intereson. Lajme nga media zyrtare, lajme sportive, shkencë, teknologji, modë, lajme politike, ngjarje skandaloze nga bota e show bizit dhe shumë të tjera. Do të jeni gjithmonë të vetëdijshëm për të gjitha lajmet dhe ngjarjet më të fundit interesante dhe më të rëndësishme në botë.

Fëmijët e vegjël janë shumë aktivë, por ndonjëherë duhet të interesohen për diçka për të bërë biznesin e tyre ose thjesht të pushojnë me një filxhan kafe. Karikaturat do të jenë një ndihmë e madhe për prindërit në këtë çështje. Në fund të fundit, janë karikaturat që do të ndihmojnë në tërheqjen e fëmijës tuaj për disa orë. Ne kemi një shumëllojshmëri të gjerë të filmave vizatimorë të vjetër dhe të rinj, të shkurtër dhe të plotë. Për çdo moshë dhe çdo interes. Fëmija juaj do të jetë i kënaqur dhe ju do të shpërqendroheni.

Ne jemi shumë të kënaqur që faqja jonë do të jetë në gjendje t'ju ndihmojë në situata të ndryshme të jetës. Ne u përpoqëm të zgjidhnim përmbajtje të përshtatshme për shikuesit tanë. Ju urojmë shikim të këndshëm.

Twiggy- emri i vërtetë Lesley Hornby. Vitet 60 - epoka e revoltave të të rinjve - kur shumë të rinj nuk donin të përshtateshin, bindeshin apo braktisnin veten, donin të jetonin në kënaqësi. Ata u rebeluan kundër autoritetit të prindërve të tyre, kishës dhe shtetit, dhe filluan të kërkojnë vlera të reja. Konflikte të tilla midis brezave kanë ndodhur gjithmonë. E pazakontë ishte se të rinjtë jo vetëm protestuan, por krijuan edhe vlera të reja, një kulturë të re.

Sigurisht, në këtë epokë duhej të lindte një e re. Në atë kohë, llojet dhe Brigitte Bardot mbetën të njohura. Por mishërimi i idealit të ri ishte modelja Twiggy - një angleze gjashtëmbëdhjetë vjeçare me peshë vetëm 45 kilogramë dhe lartësi 169 cm. Ajo lindi në periferi të Londrës, në moshën 16 vjeçare Twiggy takoi parukierin Leonardo dhe u bë fytyra e sallonit të tij të bukurisë. Seti i parë fotografik i Twiggy-t si modele me flokë të shkurtër u realizua nga Barry Lategan. Ishte ai që doli me një pseudonim të paharrueshëm për Leslie Hornby - Twiggy.

Një nga gazetarët e një gazete londineze pa një fotografi të Twiggy në një dritare salloni dhe botoi portretin e saj në gazetë me titullin "Fytyra e 1966". Në të njëjtin vit, Twiggy u bë modelja më e njohur në botë.

Pasi punoi si modele për vetëm tre vjet, ajo u bë aq e pasur sa që në moshën 19-vjeçare mundi të dilte në pension. Twiggy - e përkthyer si një degëz e hollë - ishte modelja e parë që u bë një idhull i miliona njerëzve. Kur ajo doli në publik, turma u mblodhën rreth saj.

Modeli Twiggy Për shumë vite me radhë ajo mbeti mbretëresha e padiskutueshme e modeleve të modës. Ajo ishte modelja e parë e modës që filloi procesin që i bëri modelet pjesë integrale të kulturës pop së bashku me muzikantët dhe aktorët.

Twiggy pasqyroi më së miri imazhin, duke marrë frymë rininë dhe pastërtinë.

Ikona e stilit: Leslie Winer

TEKST: Alla Anatsko

Modelja, poetja dhe këngëtarja, Leslie Winer u zhgënjye nga moda, sepse u vlerësua nga pamja e saj. Por moda është edhe një herë magjepsur nga Winer. Dhe kjo është arsyeja pse.

Modeli i parë androgjen në botë, mik i Basquiat dhe Burroughs, fytyra e Valentino dhe Miss Dior, një grindje me inteligjencë të jashtëzakonshme, një poet dhe muzikant, pa të cilin Massive Attack dhe Portishead nuk do të kishin ekzistuar - e gjithë kjo është Leslie Winer , një intelektuale dhe një e huaj me vullnetin e saj të lirë, e cila, ndoshta, shpiku trip-hopin. Pse, pas disa dekadash, industria e modës nuk e harron Leslie?

Modeli i parë androgjen

Nju Jork, 1979. Fraza OK, Leslie, koha për të punuar magjinë tuaj të interpretuar nga Vincent Gallo, me të cilin modelja dhe muzikanti i kultit Leslie Winer do të regjistrojë këngën I Sat Back, është më shumë se tridhjetë vjeç. Young Winer zhvendoset në metropolin kryesor të botës nga Massachusetts për t'u regjistruar në Shkollën e Arteve të Bukura për të marrë një kurs nga pionieri i artit konceptual Joseph Kosuth. Për të paguar për strehimin dhe materialet e studimit, Leslie ndihmon fqinjin e saj të shkruajë romane pornografike dhe më vonë bëhet asistent dhe mbrojtës i William Burroughs. Shumë shpejt ajo lidh një kontratë me Elite Model Management - përbërja e saj e parë përmban pesë fotografi. Ata janë një vajzë krejtësisht konvencionale: deri më tani nuk ka asnjë aluzion për pamjen me gjemba dhe androgjininë.

Tashmë në vitin 1980, Leslie preu flokët e saj - fotografitë e bëra nga Paolo Roversi dhe Peter Lindbergh u shfaqën në portofolin e saj. Kështu nis karriera e "modeles së parë androgjene në botë", siç e quajti Jean-Paul Gaultier. Leslie sillet keq dhe argëtohet në festa, ka një lidhje të shkurtër me Jean-Michel Basquiat, por funksionon mirë - ajo është fotografuar nga Helmut Newton dhe Irving Penn, ajo është vendosur në kopertinat e Vogue italiane dhe franceze, e madhja The Face dhe Revista Mademoiselle, e njohur në ato vite. Ajo fiton një kënd të veçantë, të stërvitur mirë nga i cili njihet, një vështrim i vrenjtur dhe një rrahje grabitqare mashkullore, e cila më vonë do të bëhet pothuajse një klishe e kulturës masive - ato do të përsëriten nga Hilary Swank në filmin "Boys Don't Cry” dhe vulgarizuar nga Ruby Rose.

Vogue US, tetor 1981

Vogue US, nëntor 1982

Vogue US, korrik 1982

Tani Leslie quhet një supermodele e viteve '80, megjithëse vetë Winer bën shaka me helm: "Çfarë lloj muti është ky? Në atë kohë, as një koncept i tillë nuk ekzistonte. Bëra shumë gjëra, dhe isha alkoolike, përdora tampona - shumë më gjatë sesa punoja si modele dhe me shumë më tepër entuziazëm.”

("pikat":[("id":1,"vetitë":("x":0,"y":0,"z":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":4," vetitë":("x":778,"y":0,"z":0,"opacity":0,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY": 0,"rotationZ":0))],"steps":[("id":2,"properties":("kohëzgjatja":0.8,"delay":0,"bezier":"lehtësi":" Power2.easeInOut","duration_automatic":true)),("id":5,"properties":("kohëzgjatja":0.1,"delay":0,"bezier":"ease":"Power2.easeInOut ","automatic_duration":true))],"transform_origin":("x":0.5,"y":0.5))

Zhgënjimi i modës dhe albumi Witch

Kopertina e albumit WITCH

Vogue Italia, shtator 1989

Leslie filmoi në mënyrë aktive dhe udhëtoi nëpër botë, por ajo gjithashtu skandalizoi me sukses në klube - qasja në institucionet më në modë nga Parisi në Tokio ishte përgjithmonë e mbyllur për të. Në mesin e viteve 1980, ajo e gjeti veten në Londër, ku ndau akomodimin me përfaqësuesit e nëntokës lokale dhe filloi të rrinte në klubin Leigh Bowery Taboo. Në një moment, Winer u mësua me imazhin e saj të ri me shkëlqim - një këmishë mashkulli, flokë të çrregullt, një cigare në dhëmbë dhe një gisht të mesit te thjerrëzat; por të kuptuarit se ajo po humbiste jetën dhe nuk e përdorte në maksimum talentin e saj letrar nuk e lejonte të pajtohej me një karrierë si modele apo muze. Për të qëndruar në Londër, Leslie shpejt martohet me ish-basistin e Adam and the Ants - për hir të dokumenteve; Dëshmitarët e dasmës janë fqinjët dhe miqtë e saj Bowery: regjisori John Maybury dhe artisti Trojan, i cili vdes nga një mbidozë disa muaj pas dasmës. Kjo vdekje e bën Winer në mënyrë indirekte një këngëtare: Max, grupi i ri i burrit të saj, vendos të regjistrojë një homazh për artistin dhe Leslie, e cila më parë shkruante vetëm tekste, provon veten si vokaliste. Kënga e saj debutuese quhej 337.5537's Little Ghost, ku kodi i telefonimit në fakt doli të ishte një etiketë e shpikur nga Basquiat dhe përfaqësonte emrin e Winer të shkruar me numra - LESSLEE.

Më vonë, Winer dhe burri i saj do të dilnin me një këngë për Sinead O'Connor, por vetë Leslie do të mbetej e pakënaqur - asaj nuk i pëlqente mënyra se si grupi Max regjistroi muzikën, ajo nuk ndjeu asnjë energji në kolegët e saj. Për fat të mirë, në jetën e saj u shfaq një model roli: producenti legjendar Trevor Horn - stili i tij i punës e detyroi Leslie të fitonte forcë dhe të publikonte këngën e parë Kind of Easy, kopje të piratuara të së cilës papritmas u bënë të njohura në qarqe të ngushta. Hapi tjetër ishte albumi i plotë Witch, të cilin Leslie e regjistroi me pseudonimin grafik, një simbol i të drejtës së autorit, tre vjet përpara se publiku të përballej me fenomenin e quajtur "këngëtari i njohur më parë si Prince". Por për ironi, regjistrimi u publikua vetëm tre vjet më vonë - në 1993.

Vogue UK, maj 1990

Leslie Winer dhe ilustruesi Tony Viramontes

Albumi u bë pikërisht mishërimi i magjisë së veçantë të Leslie Winer: ajo shqipton në distancë, sikur krejtësisht pa reflektim, tekstet e saj, në të cilat problemet akute politike dhe sociale tingëllojnë aq të zakonshme dhe rrëqethëse sa është e pamundur të heqësh veten - dhe e gjithë kjo nën bas i thellë. Në atë kohë, Winer doli të ishte pothuajse interpretuesi më i politizuar, por ajo mbeti në nëntokë - ajo nuk u përpoq veçanërisht për tabelat, por, pa dashur, ajo doli me trip-hop. Puna dhe teknikat e Winer shfaqen gjithnjë e më shumë në këngët e Massive Attack, Tricky dhe Portishead, megjithëse disa kritikë e konsiderojnë mendimin e revistës MNE se Winer është "gjyshja e trip-hop" të jetë disi e diskutueshme: në kohën kur u publikua albumi, i njëjti Massive. Attack ishin tashmë aktivë dhe basi i trashë u bë baza për pothuajse çdo eksperiment të dytë muzikor të fillimit të viteve 1990. Nga ana tjetër, kur tingulli i famshëm i Bristol sapo po merrte formë, diçka e zakonshme ishte në ajër, jo vetëm mënyra e performancës, por edhe disponimi dhe, më e rëndësishmja, tekstet karakteristike distopike - dhe Leslie e kapi atë para kujtdo tjetër. .

Le x i(k) , ku është numri i individëve në popullatë në i grupmosha e th në pika të veçanta kohore k. Proceset e riprodhimit, vdekjes dhe kalimit të individëve nga një grupmoshë në tjetrën mund të formalizohen si më poshtë (Rosenberg, 1984). Së pari, le të përcaktojmë se si është gjendja e popullsisë në këtë moment k+ 1 varet nga gjendja në momentin e kohës k. Numri i grupit të parë ( k= 1) përfaqëson numrin e pasardhësve të porsalindur të të gjitha grupeve të tjera gjatë një intervali të vetëm kohor; Besohet se individët e një grupmoshe të caktuar prodhojnë pasardhës në proporcion të drejtpërdrejtë me numrin e individëve në këtë grup:

Ku f i- lindshmëria i grupmosha e th. Nëse shënojmë me dj<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы j te grupi j+ 1, atëherë mund të shkruajmë n– Raporti i tipit 1:

Pastaj, duke kombinuar dhe , ne mund të shkruajmë sistemin n ekuacionet e diferencës që përfaqësojnë një model diskret të përbërjes moshore të popullsisë. Në formën e matricës kemi:

x(k + 1) = Lx(k),

Ku x(k) = {x i(k)) është vektori i numrave të grupmoshave individuale, dhe

– matrica e normave të lindshmërisë dhe mbijetesës

Nëse e përshkruajmë më në detaje, marrim:

Vektori i kolonës më të majtë pasqyron numrin e individëve të grupmoshave të ndryshme në një moment në kohë k+1, dhe vektori më i djathtë i kolonës është numri i individëve të grupmoshave të ndryshme në një moment në kohë k. Matrica e shkallës së fertilitetit dhe mbijetesës është një matricë e kalimit nga një gjendje në tjetrën.

Për të llogaritur përbërjen e moshës së popullsisë në çdo kohë, ne përdorim marrëdhënie të thjeshta:

x(k + 1) = Lx(k)

x(k + 2) = Lx(k+1) =LLx(k) = L 2 x(k)

x(k+m) = L m x(k)

Ky model njihet si modeli i Leslie (Leslie, 1945).

Matrica katrore Lështë jonegative (të gjithë elementët e tij janë jonegativë). Në mënyrë që matrica Leslie të jetë e pazbërthyeshme (d.m.th., ajo nuk mund të reduktohet në formë nga ndonjë ndryshim i rreshtave dhe kolonave përkatëse):

Ku A Dhe B janë nënmatrica katrore), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që . Biologjikisht, kjo gjendje do të thotë se si n Nuk është maksimumi i mundshëm, por mosha më e madhe riprodhuese e individëve.

Ekuacioni karakteristik i sistemit ka formën e mëposhtme:

Ku E– një matricë me njësitë në diagonalen kryesore dhe të gjithë termat e tjerë të saj janë të barabartë me zero.

Meqenëse matrica Leslie është jo negative dhe e pazbërthyeshme, atëherë, në përputhje me teoremën Perron-Frobenius, ekuacioni karakteristik ka një numër karakteristik pozitiv real (maksimumi midis të gjithë numrave të tjerë karakteristikë), i cili është rrënja e thjeshtë e kësaj ekuacioni. Përveç kësaj, meqenëse , ekuacioni nuk ka zero rrënjë. Nga këto kushte del se zgjidhja asimptotike e sistemit për mjaftueshëm të mëdha k do të përcaktohet nga eigenvlera λ 1 (maksimumi i të gjithëve) dhe eigenvektori përkatës b 1 matricë Leslie:

Ku Me 1 – disa konstante në varësi të koordinatave të shpërndarjes fillestare të vektorit x(0).

Nëse λ 1 >1, atëherë popullsia rritet ( x(k) rritet me rritjen k). Nëse λ 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. P(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, d.m.th. gjendja e rritjes së popullsisë (shih formulën 5), e ngjashme me P(1)>0 korrespondon me vdekjen, dhe P(1) = 0 – madhësia e palëvizshme e popullsisë. Kështu, nga forma e matricës pa përcaktuar vlerën vetjake λ 1, mund të nxirren përfundime cilësore për natyrën e popullatës së simuluar me kalimin e kohës.

Disavantazhi i modelit Leslie është i ngjashëm me disavantazhin e modelit Malthus - është rritja e pakufizuar e popullsisë me λ 1 >1, që korrespondon vetëm me fazat fillestare të rritjes së disa popullsive (Rosenberg, 1984).

Modeli i Leslie u përdor për të përshkruar strukturën e moshës së bashkëpopullimit të deleve të Schell ( Helictotrichon schellinum). Ky është një bar me terren të vogël me shkurre të lirshme të stepave të livadheve veriore. A.N. Cheburaeva (1977) studioi shpërndarjen e numrit të individëve të kësaj drithëra sipas grupmoshave në stepën Poperechenskaya të rajonit të Penzës në një pllajë pellgu ujëmbledhës në një sipërfaqe totale prej 50 m2 në vite të ndryshme (1970-1974). Çdo vit, numërimi i individëve të deleve kryhej në 200 parcela me përmasa 0,5×0,5 m. Një përsëritje kaq e madhe e vëzhgimeve na lejon të konsiderojmë vlerësimet e marra të numrit të individëve në çdo grupmoshë si mjaft të qëndrueshme. Studiuesi identifikoi nëntë grupmosha:

· lakër Dhe gjuan

· Individët paragjenerues ( të mitur, i papjekur Dhe i ri vegjetativ)

· Individët gjenerues ( i ri, i pjekur Dhe e vjetër)

· Individët pas gjenerimit ( subsenile Dhe senile)

Për të marrë parasysh ndikimin e kushteve të motit në dinamikën e cenoppulacionit të deleve Shell (1972 ishte viti i thatësirës), është e nevojshme të kalojmë nga numrat absolut në ato relative. Në intervale të barabarta për çdo grupmoshë duhet të plotësohet raporti i mëposhtëm: x i + 1 (k + 1) < x une ( k), d.m.th. në një moment të mëpasshëm kohor nuk duhet të ketë më shumë individë në grupmoshën më të madhe se sa ka pasur në momentin aktual në grupin më të ri. Në këtë drejtim, shtatë klasat e para të moshave të A.N. Cheburaeva ishin të bashkuar. Të dhënat fillestare për ndërtimin e modelit janë dhënë në tabelë. 1.

Tabela 1

Numrat absolut dhe relativ të cenoppulacionit të deleve Shell për grupmosha të ndryshme (sipas A.N. Cheburaeva, 1977)

Pavarësisht modifikimit, të dhënat e vitit 1972 janë ende të ndryshme, kështu që modeli i Leslie nuk duhet të pritet të parashikojë me saktësi bollëkun. Për të marrë një parashikim më të saktë, koeficientët e matricës Leslie duhet të varen nga kushtet e motit.

Për të ndërtuar matricën L Ne përdorim disa ide për vlerat e mundshme të koeficientëve të tij. Kështu, lindshmëria f i gjatë kalimit nga grupi i parë, që përfshin të gjitha gjendjet gjeneruese, te bimët më të vjetra, ato duhet të ulen. Shkalla e mbijetesës d i marrë afërsisht të barabartë (gjysma e individëve lëvizin nga grupi i parë në të dytin, pak më pak nga i dyti në tjetrin). Më në fund, matrica Leslie duket kështu:

Ekuacioni karakteristik për modelin Leslie në këtë rast është një polinom i shkallës së tretë:

Është e lehtë ta verifikosh këtë P(1) = 0.23>0 sipas teorisë së P. Leslie tregon plakjen dhe vyshkjen e një koenopopulimi të caktuar në intervalin kohor të vëzhguar.

Le të llogarisim rrënjët e ekuacionit karakteristik. Për këtë do të përdorim Formula Cardano. Konsideroni një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni kub të formës:

Le të bëjmë një zëvendësim:

Ne marrim ekuacionin:

Supozoni se vlera e rrënjës paraqitet si shuma e dy sasive y = α + β, atëherë ekuacioni do të marrë formën:

Le të barazojmë shprehjen (3 αβ + f), atëherë mund të kalojmë nga ekuacioni në sistemin:

që është ekuivalente me sistemin:

Ne kemi marrë formulat e Vietës për dy rrënjët e ekuacionit kuadratik ( α 3 – rrënja e parë; β 3 – rrënja e dytë). Nga këtu:

– diskriminues i ekuacionit.

Nëse D>0, atëherë ekuacioni ka tre rrënjë reale të ndryshme.

Nëse D = 0, atëherë të paktën dy rrënjë përkojnë: ose ekuacioni ka një rrënjë reale të dyfishtë dhe një tjetër rrënjë reale të ndryshme, ose të tre rrënjët përkojnë, duke formuar një rrënjë me tre të shumta.

Nëse D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Kështu, rrënjët e ekuacionit kub në formë kanonike janë:

Ku i= është një numër imagjinar.

Ju duhet të aplikoni këtë formulë për secilën vlerë të rrënjës së kubit (rrënja e kubit gjithmonë jep tre vlera!) dhe të merrni vlerën e rrënjës në mënyrë që kushti të plotësohet:

Marrëdhëniet e mëposhtme mund të përdoren për të kontrolluar:

Ku d≠ 0

Ku d≠ 0

Së fundi:

Në rastin tonë: a = 1; b = –0,6; c = –0,15; d = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Më pas, duke përdorur formulat e mësipërme, gjejmë eigenvlerat e ekuacionit karakteristik: λ 1 = 0,814; λ 2 = – 0,107 + 0,112 i; λ 3 = – 0,107 – 0,112 i, Ku i= është një numër imagjinar. Kështu, ekuacioni karakteristik ka një rrënjë reale dhe dy komplekse. λ 1 është rrënja maksimale e këtij ekuacioni, dhe meqë λ 1<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

Përveç kësaj, sipas Yu.M. Svirzhev dhe D.O. Logofet (1978), një kusht i thjeshtë dhe i mjaftueshëm për ekzistencën e luhatjeve periodike në numrin total janë shprehjet:

Në këtë drejtim, duhet pritur ekzistenca e luhatjeve periodike në madhësinë e popullsisë së deleve Schell, pasi λ 1 >max (0.5, 0.4).

Në kuadrin e modelit të Leslie, i vëzhguari A.N. Fenomeni Cheburaeva është plakja e koenopopulimit të deleve dhe prania e luhatjeve në shpërndarjen e individëve përgjatë spektrit të moshës gjatë një numri vitesh. Në Fig. Figura 1 tregon dinamikën e numrit të individëve për secilën nga grupmoshat e identifikuara. Në mënyrë që modeli të japë një parashikim të kënaqshëm, është e nevojshme që koeficientët e matricës L nuk ishin konstante, por vareshin nga kushtet e motit. Nëse e plotësojmë modelin Leslie me kushte normalizimi për vektorin që rezulton x(k+1) në mënyrë që shuma e madhësisë së të gjithë popullsisë të jetë e barabartë me madhësinë totale të vëzhguar në atë kohë k+1, atëherë indirekt merret parasysh ndikimi i kushteve të motit. Modeli në këtë rast do të duket si ky:

x(k+1) = Lx(k), ,

Ku X(k+1) - madhësia totale e popullsisë në një kohë k+1 (shënimet e tjera janë të ngjashme me modelin e Leslie). Kështu, duke ditur numrin total të individëve të një cenoppopulate të caktuar në vite të ndryshme, duke ndërtuar matricën Leslie nga konsideratat e përgjithshme biologjike dhe duke marrë si x(1) shpërndarja e individëve të deleve sipas grupmoshave në vitin 1970, është e mundur që në mënyrë të besueshme të rivendoset shpërndarja e individëve sipas grupmoshave në vitet e tjera.

Llogaritja e madhësisë absolute të cenoppulacionit Helictotrichon schellinum për grupmosha të ndryshme në vite të ndryshme kryhet si më poshtë. Ne marrim të dhënat origjinale për vitin 1970 dhe i zëvendësojmë ato në matricë. Ne kryejmë shumëzimin e matricës sipas rregullave të duhura. Ne marrim një matricë të re me numrat e grupmoshave të ndryshme për vitin 1971.

Ne e përsërisim këtë çdo herë për çdo vit. Ne i vendosim rezultatet në një tabelë, llogarisim numrin total të individëve duke përdorur modelin Leslie dhe e krahasojmë atë me të dhënat empirike. Më pas, ne prezantojmë një faktor korrigjimi dhe i sjellim llogaritjet sipas modelit në përputhje me numrin total (Tabela 2).

tabela 2

Madhësia absolute e cenoppulacionit të deleve Shell për grupmosha të ndryshme sipas modelit të Leslie dhe të dhënave empirike

Grupmosha
të dhëna empirike	modelja Leslie	të dhëna empirike	modelja Leslie		të dhëna empirike	modelja Leslie	Modeli Leslie i përshtatur për popullsinë totale	të dhëna empirike	modelja Leslie	Modeli Leslie i përshtatur për popullsinë totale	të dhëna empirike	modelja Leslie	Modeli Leslie i përshtatur për popullsinë totale
Fidanët, individët pregjenerues dhe gjenerues				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
Individët subsenile				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
Individët e moshuar				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
Numri total				532,7			449,2			360,9			294,6

Artikuj të ngjashëm