Kur numri shumëfishohet vetë per veten time, puna thirrur shkallë.

Pra, 2.2 = 4, katror ose fuqia e dytë e 2
2.2.2 = 8, kub ose fuqi e tretë.
2.2.2.2 = 16, shkalla e katërt.

Gjithashtu, 10.10 = 100, fuqia e dytë e 10.
10.10.10 = 1000, fuqia e tretë.
10.10.10.10 = 10000 fuqia e katërt.

Dhe a.a = aa, fuqia e dytë e a
a.a.a = aaa, fuqia e tretë e a
a.a.a.a = aaaa, fuqia e katërt e a

Telefonohet numri origjinal rrënjë fuqitë e këtij numri sepse është numri nga i cili janë krijuar fuqitë.

Megjithatë, nuk është krejtësisht e përshtatshme, veçanërisht në rastin e fuqive të larta, të shënohen të gjithë faktorët që përbëjnë pushtetet. Prandaj, përdoret një metodë e shënimit stenografi. Rrënja e shkallës shkruhet vetëm një herë, dhe në të djathtë dhe pak më lart pranë saj, por me një font pak më të vogël, shkruhet sa herë. rrënja vepron si faktor. Ky numër ose shkronjë quhet eksponent ose shkallë numrat. Pra, a 2 është e barabartë me a.a ose aa, sepse rrënja a duhet të shumëzohet me vetveten dy herë për të marrë fuqinë aa. Gjithashtu, një 3 do të thotë aaa, domethënë këtu a përsëritet tri herë si shumëzues.

Eksponenti i shkallës së parë është 1, por zakonisht nuk shkruhet. Pra, një 1 shkruhet si a.

Nuk duhet të ngatërroni gradën me koeficientët. Koeficienti tregon se sa shpesh merret vlera Pjesë e gjitha. Fuqia tregon se sa shpesh merret një sasi faktor në punë.
Pra, 4a = a + a + a + a. Por a 4 = a.a.a.a

Skema e shënimit të fuqisë ka avantazhin e veçantë që na lejon të shprehemi i panjohur shkallë. Për këtë qëllim, në vend të një numri shkruhet eksponenti letër. Në procesin e zgjidhjes së një problemi, ne mund të marrim një sasi që dimë se është disa shkallë e një madhësie tjetër. Por deri tani nuk e dimë nëse është një katror, ​​një kub apo një shkallë tjetër, më e lartë. Pra, në shprehjen a x, eksponenti do të thotë që kjo shprehje ka disa shkallë, edhe pse e papërcaktuar çfarë shkalle. Pra, b m dhe d n janë ngritur në fuqitë e m dhe n. Kur të gjendet eksponenti, numri zëvendësohet në vend të shkronjës. Pra, nëse m=3, atëherë b m = b 3 ; por nëse m = 5, atëherë b m =b 5.

Metoda e shkrimit të vlerave duke përdorur fuqi është gjithashtu një avantazh i madh gjatë përdorimit shprehjet. Kështu, (a + b + d) 3 është (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), domethënë kubi i trinomit (a + b + d) . Por nëse e shkruajmë këtë shprehje pasi e ngremë në një kub, do të duket si
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Nëse marrim një seri fuqish, eksponentët e të cilëve rriten ose zvogëlohen me 1, gjejmë se produkti rritet me shumëzues i përbashkët ose zvogëlohet me pjesëtues i përbashkët, dhe ky faktor ose pjesëtues është numri origjinal që është ngritur në një fuqi.

Pra, në serialin aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ose një 5, një 4, një 3, një 2, një 1;
treguesit, nëse numërohen nga e djathta në të majtë, janë 1, 2, 3, 4, 5; dhe ndryshimi midis vlerave të tyre është 1. Nëse fillojmë në të djathtë shumohen me a, do të marrim me sukses vlera të shumta.

Pra a.a = a 2, termi i dytë. Dhe një 3.a = a 4
a 2 .a = a 3, termi i tretë. a 4 .a = a 5 .

Nëse fillojmë majtas ndajnë tek një,
marrim një 5:a = a 4 dhe një 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Por ky proces i ndarjes mund të vazhdojë më tej, dhe ne marrim një grup të ri vlerash.

Pra, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Rreshti i plotë do të ishte: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ose një 5, një 4, një 3, një 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Këtu janë vlerat në të djathtë nga një ka e kundërta vlerat në të majtë të njërës. Prandaj këto gradë mund të quhen fuqitë e anasjellta a. Mund të themi gjithashtu se fuqitë në të majtë janë të kundërta të fuqive në të djathtë.

Pra, 1: (1/a) = 1.(a/1) = a. Dhe 1: (1/a 3) = a 3.

Mund të zbatohet i njëjti plan regjistrimi polinomet. Pra, për a + b, marrim grupin,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Për lehtësi, përdoret një formë tjetër e shkrimit të fuqive reciproke.

Sipas kësaj forme, 1/a ose 1/a 1 = a -1. Dhe 1/aaa ose 1/a 3 = a -3 .
1/aa ose 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ose 1/a 4 = a -4 .

Dhe për të bërë një seri të plotë me 1 si diferencë totale me eksponentë, a/a ose 1 konsiderohet si diçka që nuk ka shkallë dhe shkruhet si 0 .

Pastaj, duke marrë parasysh fuqitë e drejtpërdrejta dhe të kundërta
në vend të aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
ju mund të shkruani një 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Ose a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Dhe një seri vetëm gradash individuale do të duket si:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rrënja e një shkalle mund të shprehet me më shumë se një shkronjë.

Kështu, aa.aa ose (aa) 2 është fuqia e dytë e aa.
Dhe aa.aa.aa ose (aa) 3 është fuqia e tretë e aa.

Të gjitha fuqitë e numrit 1 janë të njëjta: 1.1 ose 1.1.1. do të jetë e barabartë me 1.

Shpejtësia është gjetja e vlerës së çdo numri duke e shumëzuar atë numër me vetveten. Rregulla për fuqizimin:

Shumëzojeni sasinë në vetvete aq herë sa tregohet në fuqinë e numrit.

Ky rregull është i përbashkët për të gjithë shembujt që mund të lindin gjatë procesit të fuqizimit. Por është e drejtë të jepet një shpjegim se si zbatohet në raste të veçanta.

Nëse vetëm një term është ngritur në një fuqi, atëherë ai shumëzohet në vetvete aq herë sa tregohet nga eksponenti.

Fuqia e katërt e a është 4 ose aaaa. (Neni 195.)
Fuqia e gjashtë e y është y 6 ose yyyyyy.
Fuqia e N e x është x n ose xxx..... n herë përsëritet.

Nëse është e nevojshme të ngrihet një shprehje e disa termave në një fuqi, parimi që fuqia e produktit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e këtyre faktorëve të ngritur në një fuqi.

Pra (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Por ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Pra, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Prandaj, në gjetjen e fuqisë së një produkti, ne ose mund të operojmë me të gjithë produktin në të njëjtën kohë, ose mund të operojmë me secilin faktor veç e veç dhe më pas t'i shumëzojmë vlerat e tyre me fuqitë.

Shembulli 1. Fuqia e katërt e dhy është (dhy) 4, ose d 4 h 4 y 4.

Shembulli 2. Fuqia e tretë është 4b, ka (4b) 3, ose 4 3 b 3, ose 64b 3.

Shembulli 3. Fuqia e N-të e 6ad është (6ad) n ose 6 n a n d n.

Shembulli 4. Fuqia e tretë e 3m.2y është (3m.2y) 3, ose 27m 3 .8y 3.

Shkalla e një binomi, i përbërë nga terma të lidhur me + dhe -, llogaritet duke shumëzuar termat e tij. Po,

(a + b) 1 = a + b, shkalla e parë.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, fuqia e dytë (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, fuqia e tretë.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fuqia e katërt.

Katrori i a - b është a 2 - 2ab + b 2.

Katrori i a + b + h është a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Ushtrimi 1. Gjeni kubin a + 2d + 3

Ushtrimi 2. Gjeni fuqinë e katërt të b + 2.

Ushtrimi 3. Gjeni fuqinë e pestë të x + 1.

Ushtrimi 4. Gjeni fuqinë e gjashtë 1 - b.

Katrore shumës shumat Dhe dallimet binomet ndodhin aq shpesh në algjebër saqë është e nevojshme t'i njohim shumë mirë.

Nëse shumëzojmë a + h me vete ose a - h me vete,
marrim: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 gjithashtu, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Kjo tregon se në çdo rast, termat e parë dhe të fundit janë katrorët e a dhe h, dhe termi i mesëm është dyfishi i prodhimit të a dhe h. Nga këtu, katrori i shumës dhe ndryshimit të binomeve mund të gjendet duke përdorur rregullin e mëposhtëm.

Katrori i një binomi, të dy anëtarët e të cilit janë pozitiv, është i barabartë me katrorin e anëtarit të parë + dyfishin e produktit të të dy anëtarëve + katrorin e anëtarit të fundit.

Sheshi dallimet binomet është e barabartë me katrorin e anëtarit të parë minus dyfishin e produktit të të dy anëtarëve plus katrorin e anëtarit të dytë.

Shembulli 1. Katrori 2a + b, ka 4a 2 + 4ab + b 2.

Shembulli 2. Katrori ab + cd, ka një 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Shembulli 3. Katrori 3d - h, ka 9d 2 + 6dh + h 2.

Shembulli 4. Katrori a - 1 është 2 - 2a + 1.

Për një metodë për gjetjen e fuqive më të larta të binomeve, shihni seksionet e mëposhtme.

Në shumë raste është efektive për të shkruar gradë pa shumëzim.

Pra, katrori i a + b është (a + b) 2.
Fuqia e N-të e bc + 8 + x është (bc + 8 + x) n

Në raste të tilla, kllapat mbulojnë Të gjitha anëtarë nën diplomë.

Por nëse rrënja e shkallës përbëhet nga disa shumëzuesit, kllapat mund të mbulojnë të gjithë shprehjen ose mund të aplikohen veçmas për faktorët në varësi të komoditetit.

Kështu, katrori (a + b) (c + d) është ose [(a + b).(c + d)] 2 ose (a + b) 2 .(c + d) 2.

Për të parën nga këto shprehje, rezultati është katrori i produktit të dy faktorëve, dhe për të dytën, rezultati është prodhimi i katrorëve të tyre. Por ata janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Kubi a.(b + d), është 3, ose a 3.(b + d) 3.

Duhet të merret parasysh edhe shenja përpara anëtarëve të përfshirë. Është shumë e rëndësishme të mbani mend se kur rrënja e një diplome është pozitive, të gjitha fuqitë e saj pozitive janë gjithashtu pozitive. Por kur rrënja është negative, vlerat me i çuditshëm fuqitë janë negative, ndërsa vlerat madje gradat janë pozitive.

Shkalla e dytë (- a) është +a 2
Shkalla e tretë (-a) është -a 3
Fuqia e katërt (-a) është +a 4
Fuqia e pestë (-a) është -a 5

Prandaj ndonjë i çuditshëm shkalla ka të njëjtën shenjë me numrin. Por madje shkalla është pozitive pavarësisht nëse numri ka shenjë negative apo pozitive.
Pra, +a.+a = +a 2
Dhe -a.-a = +a 2

Një sasi që tashmë është ngritur në një fuqi rritet përsëri në një fuqi duke shumëzuar eksponentët.

Fuqia e tretë e një 2 është një 2.3 = a 6.

Për një 2 = aa; kubi aa është aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; që është fuqia e gjashtë e a, por fuqia e tretë e a 2.

Fuqia e katërt e a 3 b 2 është a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Fuqia e tretë e 4a 2 x është 64a 6 x 3.

Fuqia e pestë e (a + b) 2 është (a + b) 10.

Fuqia e N-të e një 3 është një 3n

Fuqia e N-të e (x - y) m është (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Rregulli zbatohet njëlloj për negativ gradë.

Shembulli 1. Fuqia e tretë e a -2 është a -3.3 =a -6.

Për një -2 = 1/aa, dhe fuqia e tretë e kësaj
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Fuqia e katërt e një 2 b -3 është një 8 b -12 ose a 8 /b 12.

Katrori është b 3 x -1, ka b 6 x -2.

Fuqia e N-të e ax -m është x -mn ose 1/x.

Megjithatë, këtu duhet të kujtojmë se nëse shenja e mëparshme shkalla është "-", atëherë duhet të ndryshohet në "+" sa herë që shkalla është numër çift.

Shembulli 1. Katrori -a 3 është +a 6. Katrori i -a 3 është -a 3 .-a 3, i cili, sipas rregullave të shenjave në shumëzim, është +a 6.

2. Por kubi -a 3 është -a 9. Për -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Fuqia e N-të -a 3 është një 3n.

Këtu rezultati mund të jetë pozitiv ose negativ në varësi të faktit nëse n është çift apo tek.

Nëse fraksioniështë ngritur në një fuqi, atëherë numëruesi dhe emëruesi janë ngritur në një fuqi.

Katrori i a/b është a 2 /b 2 . Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Fuqitë e dytë, të tretë dhe të n-të të 1/a janë 1/a 2, 1/a 3 dhe 1/a n.

Shembuj binomet, në të cilin një nga termat është një thyesë.

1. Gjeni katrorin x + 1/2 dhe x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Katrori i a + 2/3 është një 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Katrori x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Katrori i x - b/m është x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Më parë u tregua se koeficienti i pjesshëm mund të zhvendoset nga numëruesi në emërues ose nga emëruesi në numërues. Duke përdorur skemën për shkrimin e kompetencave reciproke, është e qartë se ndonjë shumëzues gjithashtu mund të zhvendoset, nëse ndryshohet shenja e gradës.

Pra, në thyesën ax -2 /y, ne mund ta zhvendosim x nga numëruesi në emërues.
Pastaj ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Në thyesën a/nga 3, mund të kalojmë y nga emëruesi në numërues.
Pastaj a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Në të njëjtën mënyrë, ne mund të zhvendosim një faktor që ka një eksponent pozitiv në numërues ose një faktor me një eksponent negativ në emërues.

Pra, sëpatë 3 /b = a/bx -3. Për x 3 anasjelltas është x -3 , që është x 3 = 1/x -3 .

Prandaj, emëruesi i çdo thyese mund të hiqet plotësisht, ose numëruesi mund të reduktohet në një, pa ndryshuar kuptimin e shprehjes.

Pra, a/b = 1/ba -1, ose ab -1.

Formulat e diplomës përdoret në procesin e zvogëlimit dhe thjeshtimit të shprehjeve komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.

Numri cështë n-fuqia e një numri a Kur:

Operacionet me gradë.

1. Duke shumëzuar shkallët me të njëjtën bazë, shtohen treguesit e tyre:

jam·a n = a m + n .

2. Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre:

3. Shkalla e prodhimit të 2 ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

(a/b) n = a n /b n .

5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

(a m) n = a m n .

Çdo formulë e mësipërme është e vërtetë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.

Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacionet me rrënjë.

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e dividendit dhe pjesëtuesit të rrënjëve:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse rrit shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë të ndërtuar në n Fuqia e th është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës në n nxirrni rrënjën në të njëjtën kohë n-fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent jo pozitiv (numër i plotë) përcaktohet si ai i pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit jopozitiv:

Formula jam:a n =a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe me m< n.

Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Në formulë jam:a n =a m - n u bë e drejtë kur m=n, kërkohet prania e shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jo të barabartë me zero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real A deri në shkallën m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m-fuqia e këtij numri A.

mund të gjendet duke përdorur shumëzimin. Për shembull: 5+5+5+5+5+5=5x6. Një shprehje e tillë thuhet se është që shuma e termave të barabartë paloset në një produkt. Dhe anasjelltas, nëse e lexojmë këtë barazi nga e djathta në të majtë, gjejmë se kemi zgjeruar shumën e termave të barabartë. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të rrëzoni produktin e disa faktorëve të barabartë 5x5x5x5x5x5=5 6.

Kjo do të thotë, në vend që të shumëzojnë gjashtë faktorë identikë 5x5x5x5x5x5, ata shkruajnë 5 6 dhe thonë "pesë në fuqinë e gjashtë".

Shprehja 5 6 është fuqia e një numri, ku:

5 - baza e shkallës;

6 - eksponent.

Veprimet me të cilat produkti i faktorëve të barabartë reduktohet në një fuqi quhen duke u ngritur në një pushtet.

Në përgjithësi, një shkallë me bazë "a" dhe eksponent "n" shkruhet si më poshtë

Ngritja e numrit a në fuqinë n nënkupton gjetjen e prodhimit të n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me një

Nëse baza e shkallës “a” është e barabartë me 1, atëherë vlera e shkallës për çdo numër natyror n do të jetë e barabartë me 1. Për shembull, 1 5 =1, 1 256 =1

Nëse e ngrini numrin "a" në shkalla e parë, atëherë marrim vetë numrin a: a 1 = a

Nëse ngrini ndonjë numër në shkallë zero, pastaj si rezultat i llogaritjeve marrim një. a 0 = 1

Fuqitë e dyta dhe të treta të një numri konsiderohen të veçanta. Ata dolën me emra për ta: shkalla e dytë quhet katrore numrin, e treta - kubik këtë numër.

Çdo numër mund të rritet në një fuqi - pozitive, negative ose zero. Në këtë rast, rregullat e mëposhtme nuk zbatohen:

Kur gjen fuqinë e një numri pozitiv, rezultati është një numër pozitiv.

Kur llogaritim zero ndaj fuqisë natyrore, marrim zero.

x m · x n = x m + n

për shembull: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

për të ndani fuqitë me të njëjtat baza Ne nuk e ndryshojmë bazën, por zbresim eksponentët:

x m / x n = x m - n , Ku, m > n,

për shembull: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Gjatë llogaritjes ngritja e një pushteti në një pushtet Ne nuk e ndryshojmë bazën, por shumëzojmë eksponentët me njëri-tjetrin.

(në m ) n = y m n

për shembull: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

për shembull:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Gjatë kryerjes së llogaritjeve sipas duke ngritur një fraksion në një fuqi ngremë numëruesin dhe emëruesin e thyesës në një fuqi të caktuar

(x/y)n = x n / y n

për shembull: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Sekuenca e llogaritjeve kur punoni me shprehje që përmbajnë një shkallë.

Kur kryejnë llogaritjet e shprehjeve pa kllapa, por që përmbajnë fuqi, para së gjithash, ata kryejnë fuqizim, pastaj shumëzim dhe pjesëtim, dhe vetëm më pas veprime mbledhje dhe zbritje.

Nëse keni nevojë të llogaritni një shprehje që përmban kllapa, atëherë së pari bëni llogaritjet në kllapa në rendin e treguar më sipër, dhe më pas veprimet e mbetura në të njëjtin rend nga e majta në të djathtë.

Shumë gjerësisht në llogaritjet praktike, tabelat e gatshme të fuqive përdoren për të thjeshtuar llogaritjet.

Duke vazhduar bisedën për fuqinë e një numri, është logjike të kuptosh se si të gjesh vlerën e fuqisë. Ky proces quhet fuqizimi. Në këtë artikull do të studiojmë se si kryhet fuqizimi, ndërsa do të prekim të gjithë eksponentët e mundshëm - natyror, numër të plotë, racional dhe irracional. Dhe sipas traditës, ne do të shqyrtojmë në detaje zgjidhjet e shembujve të rritjes së numrave në fuqi të ndryshme.

Navigimi i faqes.

Çfarë do të thotë "përhapje"?

Le të fillojmë duke shpjeguar atë që quhet fuqizim. Këtu është përkufizimi përkatës.

Përkufizimi.

Eksponentimi- kjo është gjetja e vlerës së fuqisë së një numri.

Kështu, gjetja e vlerës së fuqisë së një numri a me eksponent r dhe ngritja e numrit a në fuqinë r janë e njëjta gjë. Për shembull, nëse detyra është "llogaritni vlerën e fuqisë (0.5) 5", atëherë ajo mund të riformulohet si më poshtë: "Ngrini numrin 0.5 në fuqinë 5".

Tani mund të shkoni drejtpërdrejt te rregullat me të cilat kryhet fuqizimi.

Ngritja e një numri në një fuqi natyrore

Në praktikë, barazia e bazuar në zakonisht zbatohet në formën . Kjo do të thotë, kur një numër a ngrihet në një fuqi thyesore m/n, së pari merret rrënja e n-të e numrit a, pas së cilës rezultati që rezulton ngrihet në një fuqi numër të plotë m.

Le të shohim zgjidhjet e shembujve të ngritjes në një fuqi thyesore.

Shembull.

Llogaritni vlerën e gradës.

Zgjidhje.

Ne do të tregojmë dy zgjidhje.

Mënyra e parë. Sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent thyesor. Ne llogarisim vlerën e shkallës nën shenjën e rrënjës dhe më pas nxjerrim rrënjën e kubit: .

Mënyra e dytë. Nga përkufizimi i një shkalle me një eksponent thyesor dhe bazuar në vetitë e rrënjëve, barazitë e mëposhtme janë të vërteta: . Tani nxjerrim rrënjën , në fund, e ngremë atë në një fuqi numër të plotë .

Natyrisht, rezultatet e marra të ngritjes në një fuqi fraksionale përkojnë.

Përgjigje:

Vini re se një eksponent thyesor mund të shkruhet si një thyesë dhjetore ose një numër i përzier, në këto raste ai duhet të zëvendësohet me thyesën e zakonshme përkatëse dhe më pas të rritet në një fuqi.

Shembull.

Njehsoni (44,89) 2,5.

Zgjidhje.

Le të shkruajmë eksponentin në formën e një fraksioni të zakonshëm (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): . Tani kryejmë ngritjen në një fuqi të pjesshme:

Përgjigje:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Duhet thënë gjithashtu se ngritja e numrave në fuqi racionale është një proces mjaft i mundimshëm (veçanërisht kur numëruesi dhe emëruesi i eksponentit thyesor përmbajnë numra mjaftueshëm të mëdhenj), i cili zakonisht kryhet duke përdorur teknologjinë kompjuterike.

Për të përfunduar këtë pikë, le të ndalemi në ngritjen e numrit zero në një fuqi thyesore. Fuqisë thyesore të zeros të formës i dhamë këtë kuptim: kur kemi , dhe në zero në fuqinë m/n nuk është përcaktuar. Pra, zero në një fuqi pozitive të pjesshme është zero, për shembull, . Dhe zero në një fuqi negative të pjesshme nuk ka kuptim, për shembull, shprehjet 0 -4.3 nuk kanë kuptim.

Ngritja në një fuqi irracionale

Ndonjëherë bëhet e nevojshme të zbulohet vlera e fuqisë së një numri me një eksponent irracional. Në këtë rast, për qëllime praktike zakonisht mjafton të merret vlera e shkallës e saktë në një shenjë të caktuar. Le të vërejmë menjëherë se në praktikë kjo vlerë llogaritet duke përdorur kompjuterë elektronikë, pasi ngritja e saj në një fuqi irracionale me dorë kërkon një numër të madh llogaritjesh të rënda. Por ne ende do të përshkruajmë në terma të përgjithshëm thelbin e veprimeve.

Për të marrë një vlerë të përafërt të fuqisë së një numri a me një eksponent irracional, merret një përafrim dhjetor i eksponentit dhe llogaritet vlera e fuqisë. Kjo vlerë është një vlerë e përafërt e fuqisë së numrit a me një eksponent irracional. Sa më i saktë të merret fillimisht përafrimi dhjetor i një numri, aq më e saktë do të merret vlera e shkallës në fund.

Si shembull, le të llogarisim vlerën e përafërt të fuqisë së 2 1,174367... . Marrim përafrimin dhjetor të mëposhtëm të eksponentit irracional: . Tani e ngremë 2 në fuqinë racionale 1.17 (e kemi përshkruar thelbin e këtij procesi në paragrafin e mëparshëm), marrim 2 1.17 ≈2.250116. Kështu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Nëse marrim një përafrim dhjetor më të saktë të eksponentit irracional, për shembull, atëherë marrim një vlerë më të saktë të eksponentit origjinal: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksti mësimor i matematikës për klasën e 5-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për klasën e 7-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. institucionet arsimore.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Shpejtësia është një veprim i lidhur ngushtë me shumëzimin; ky operacion është rezultat i shumëzimit të përsëritur të një numri në vetvete. Le ta paraqesim me formulën: a1 * a2 * … * an = an.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Në përgjithësi, fuqizimi përdoret shpesh në formula të ndryshme në matematikë dhe fizikë. Ky funksion ka një qëllim më shkencor se katër kryesoret: Mbledhja, Zbritja, Shumëzimi, Pjesëtimi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Ngritja e një numri në një fuqi nuk është një operacion i komplikuar. Ajo lidhet me shumëzimin në një mënyrë të ngjashme me marrëdhënien midis shumëzimit dhe mbledhjes. Shënimi an është një shënim i shkurtër i numrit të n-të të numrave "a" të shumëzuar me njëri-tjetrin.

Merrni parasysh fuqizimin duke përdorur shembujt më të thjeshtë, duke kaluar në ato komplekse.

Për shembull, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Katër katror (në fuqinë e dytë) është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë. Nëse nuk e kuptoni shumëzimin 4 * 4, atëherë lexoni artikullin tonë rreth shumëzimit.

Le të shohim një shembull tjetër: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pesë kube (në fuqinë e tretë) është e barabartë me njëqind e njëzet e pesë.

Një shembull tjetër: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nëntë kubik është i barabartë me shtatëqind e njëzet e nëntë.

Formulat e fuqizimit

Për të ngritur saktë një fuqi, duhet të mbani mend dhe të njihni formulat e dhëna më poshtë. Nuk ka asgjë shtesë të natyrshme në këtë, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe atëherë ato jo vetëm që do të mbahen mend, por edhe do të duken të lehta.

Ngritja e një monomi në një fuqi

Çfarë është një monom? Ky është një produkt i numrave dhe variablave në çdo sasi. Për shembull, dy është një monom. Dhe ky artikull ka të bëjë pikërisht me ngritjen e monomeve të tilla në pushtet.

Duke përdorur formulat për fuqizim, nuk do të jetë e vështirë të llogaritet fuqia e një monomi.

Për shembull, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Nëse e ngrini një monom në një fuqi, atëherë çdo përbërës i monomit ngrihet në një fuqi.

Duke ngritur një ndryshore që tashmë ka një fuqi në një fuqi, fuqitë shumëzohen. Për shembull, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Ngritja në një fuqi negative

Një fuqi negative është reciprociteti i një numri. Cili është numri reciprok? Reciproku i çdo numri X është 1/X. Domethënë X-1=1/X. Ky është thelbi i shkallës negative.

Shqyrtoni shembullin (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Pse eshte ajo? Meqenëse ka një minus në shkallë, ne thjesht e transferojmë këtë shprehje në emërues, dhe më pas e ngremë atë në fuqinë e tretë. E thjeshtë apo jo?

Ngritja në një fuqi të pjesshme

Le të fillojmë duke e parë çështjen me një shembull specifik. 43/2. Çfarë do të thotë shkalla 3/2? 3 - numërues, nënkupton ngritjen e një numri (në këtë rast 4) në një kub. Numri 2 është emëruesi; është nxjerrja e rrënjës së dytë të një numri (në këtë rast, 4).

Pastaj marrim rrënjën katrore 43 = 2^3 = 8. Përgjigje: 8.

Pra, emëruesi i një fuqie thyesore mund të jetë ose 3 ose 4 ose deri në pafundësi çdo numër, dhe ky numër përcakton shkallën e rrënjës katrore të marrë nga një numër i caktuar. Natyrisht, emëruesi nuk mund të jetë zero.

Ngritja e një rrënjë në një fuqi

Nëse rrënja është ngritur në një shkallë të barabartë me shkallën e vetë rrënjës, atëherë përgjigja do të jetë një shprehje radikale. Për shembull, (√x)2 = x. Dhe kështu në çdo rast, shkalla e rrënjës dhe shkalla e ngritjes së rrënjës janë të barabarta.

Nëse (√x)^4. Pastaj (√x)^4=x^2. Për të kontrolluar zgjidhjen, ne e shndërrojmë shprehjen në një shprehje me fuqi thyesore. Meqenëse rrënja është katrore, emëruesi është 2. Dhe nëse rrënja është ngritur në fuqinë e katërt, atëherë numëruesi është 4. Marrim 4/2=2. Përgjigje: x = 2.

Në çdo rast, opsioni më i mirë është thjesht të konvertohet shprehja në një shprehje me një fuqi thyesore. Nëse thyesa nuk anulohet, atëherë kjo është përgjigja, me kusht që rrënja e numrit të dhënë të mos jetë e izoluar.

Ngritja e një numri kompleks në fuqi

Çfarë është një numër kompleks? Një numër kompleks është një shprehje që ka formulën a + b * i; a, b janë numra realë. i është një numër që, kur vihet në katror, ​​jep numrin -1.

Le të shohim një shembull. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Regjistrohuni në kursin "Përshpejtoni aritmetikën mendore, JO aritmetikën mendore" për të mësuar se si të mblidhni, zbrisni, shumëzoni, pjesëtoni, katrorë numrat dhe madje të nxirrni rrënjët shpejt dhe saktë. Në 30 ditë, do të mësoni se si të përdorni truket e thjeshta për të thjeshtuar veprimet aritmetike. Çdo mësim përmban teknika të reja, shembuj të qartë dhe detyra të dobishme.

Eksponimi në internet

Duke përdorur kalkulatorin tonë, mund të llogarisni ngritjen e një numri në një fuqi:

Shpallja e klasës së 7-të

Nxënësit e shkollës fillojnë të ngrihen në fuqi vetëm në klasën e shtatë.

Shpejtësia është një veprim i lidhur ngushtë me shumëzimin; ky operacion është rezultat i shumëzimit të përsëritur të një numri në vetvete. Le ta paraqesim me formulën: a1 * a2 * … * an=an.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Shembuj për zgjidhje:

Prezantimi eksponencial

Prezantim mbi ngritjen e fuqive, projektuar për nxënësit e klasës së shtatë. Prezantimi mund të sqarojë disa pika të paqarta, por këto pika ndoshta nuk do të pastrohen falë artikullit tonë.

Fundi

Ne kemi parë vetëm majën e ajsbergut, për të kuptuar më mirë matematikën - regjistrohuni në kursin tonë: Përshpejtimi i aritmetikës mendore - JO aritmetika mendore.

Nga kursi jo vetëm që do të mësoni dhjetëra teknika të shumëzimit të thjeshtuar dhe të shpejtë, mbledhjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe llogaritjes së përqindjeve, por do t'i praktikoni edhe në detyra të veçanta dhe lojëra edukative! Aritmetika mendore gjithashtu kërkon shumë vëmendje dhe përqendrim, të cilat stërviten në mënyrë aktive kur zgjidhin probleme interesante.

Artikuj të ngjashëm