Progresioni gjeometrik. Seritë e formuara nga një progresion gjeometrik Shuma e një serie të progresionit gjeometrik

TEMA 8. RENDET

SERIA NUMERIKE

1. Konceptet themelore të serisë së numrave.

2. Seritë e progresionit gjeometrik.

3. Vetitë themelore të serive konvergjente. Pjesa tjetër e rreshtit.

4. Një shenjë e nevojshme e konvergjencës së një serie numrash.

5. Seri harmonike.

Seritë janë një nga mjetet më të rëndësishme të analizës matematikore. Duke përdorur seritë, gjenden vlerat e përafërta të funksioneve, integraleve dhe zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale. Të gjitha tabelat që gjeni në aplikacione përpilohen duke përdorur rreshta.

Referencë historike

Teoria e serive numerike dhe funksionale u zhvillua në shekujt 17 dhe 18. Në atë kohë, ende nuk kishte përkufizime të sakta të koncepteve themelore të analizës matematikore. U konsiderua e mundur të trajtohej një seri, pavarësisht nga konvergjenca dhe divergjenca e saj, si një shumë e thjeshtë. Edhe pse kjo shumë konsiderohej se "përbëhej nga një numër i pafund termash", ajo trajtohej si një shumë e përbërë nga një numër i caktuar (i fundëm) termash. Kjo ndonjëherë çonte në gabime në llogaritje, të pashpjegueshme duke pasur parasysh gjendjen e atëhershme të shkencës matematikore.

Përmbledhja e progresioneve të pafundme gjeometrike me një emërues më të vogël se një është kryer tashmë në kohët e lashta (Arkimedi).

Divergjenca e serisë harmonike u vendos nga shkencëtari italian Meng në 1650, dhe më pas në mënyrë më rigoroze nga vëllezërit Jacob dhe Nicholas Bernoulli. Seritë e fuqisë u prezantuan nga Njutoni (1665), i cili tregoi se ato mund të përdoren për të përfaqësuar çdo funksion. Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Riemann dhe shumë matematikanë të tjerë të shquar i kushtuan shumë përpjekje zhvillimit të mëtejshëm të teorisë së serive.

Midis këtyre shkencëtarëve, pa dyshim, studenti i Njutonit, Taylor, i cili botoi veprën e tij kryesore "Metoda e rritjeve, të drejtpërdrejta dhe të kundërta", duhet të përfshihet në 1715. Në këtë libër, Taylor jep për herë të parë derivimin e zgjerimit të serisë së një funksioni analitik arbitrar. Falë kësaj, seria e energjisë u bë "ura" që bëri të mundur kalimin nga zona e funksioneve racionale në studimin e funksioneve transcendentale.

Megjithatë, rëndësia themelore e këtij kontributi në matematikë nuk u kuptua menjëherë. Në 1742, u botua e famshmja "Traktat mbi Fluxions" nga Colin Maclaurin, në të cilën Maclaurin mori në një mënyrë të re serinë që mban emrin e tij dhe tregoi se kjo seri gjendet në "Metodën e Rritjeve". Meqenëse Maclaurin tregoi në një numër të madh funksionesh se përdorimi i kësaj serie thjeshton pa masë problemin e zgjerimit të funksioneve, kjo seri, dhe për këtë arsye seria Taylor, filloi të gëzonte popullaritet të madh.

Rëndësia e serisë Taylor u rrit edhe më shumë kur në 1772 Lagranzhi e bëri atë bazën e të gjithë llogaritjeve diferenciale. Ai besonte se teoria e zgjerimit të serive të funksioneve përmban parimet e vërteta të llogaritjes diferenciale, të liruara nga infinitezimalet dhe kufijtë.

Pyetja 1. Konceptet bazë të serisë së numrave

Vetë koncepti i një serie të pafundme në thelb nuk është thelbësisht i ri. Një seri e pafundme është vetëm një formë e veçantë e një sekuence numerike. Megjithatë, kjo formë e re ka disa veçori që e bëjnë përdorimin e rreshtave më të përshtatshëm.

Le të na jepet një sekuencë e pafundme numrash

a 1, a 2, …, a n,…

O.1.1. Shprehja e formës

(1)

thirrur seri numrash ose thjesht afër.

Numrat a 1, a 2, …, a n,… quhen anëtarët e një numri, dhe thirret numri a n me numër arbitrar n anëtar i përbashkët i serisë (1).

Seria (1) konsiderohet e dhënë nëse dihet termi i përgjithshëm i serisë a n, i shprehur si funksion i numrit të tij n:

a n = f(n), n=1,2,…

Shembulli 1. Një seri me një term të përbashkët ka formën

O.1.2. Shuma e n termave të parë të serisë (1) quhet n-shuma e pjesshme e serisë dhe shënohet me S n, d.m.th.

S n = a 1 + a 2 + …+ a n .

Merrni parasysh sekuencën e shumave të pjesshme të serisë (1):

S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, ……., S n = a 1 + a 2 + …+ a n, …… (2)

O.1.3. Rreshti (1) quhet konvergjente, nëse ka një kufi të fundëm S të sekuencës së shumave të saj të pjesshme (2), d.m.th. . Në këtë rast, thirret numri S shuma e serisë (1).

Regjistruar:

Nga përkufizimi O.1.3 rezulton se shuma e serisë nuk ekziston domosdoshmërisht. Ky është ndryshimi kryesor midis serive të pafundme dhe shumave të fundme: çdo grup i kufizuar numrash ka domosdoshmërisht një shumë, "por mbledhja e një grupi të pafund numrash nuk është gjithmonë e mundur".

Nëse nuk ekziston ose atëherë thirret seria (1). divergjent. Kjo seri nuk ka shumë.

Shembull 2.

1. Rreshti konvergon dhe shuma e tij S = 0.

2. Rreshti ndryshon sepse

Pyetja 2. Seritë e progresionit gjeometrik

O.2.1. Një seri e përbërë nga anëtarë të një progresion gjeometrik, d.m.th. seria e formës

, a¹ 0, (3)

Një kusht i domosdoshëm për konvergjencën e një serie.

Seri harmonike

Teorema mbi kushtin e nevojshëm për konvergjencën e serisë.

Nëse një seri konvergjon, atëherë kufiri i sekuencës së termave të përbashkët të kësaj serie është i barabartë me zero:

. (1.11)

Një formulim tjetër. Në mënyrë që një seri të konvergojë, është e nevojshme (por jo e mjaftueshme!) që kufiri i sekuencës së termave të përbashkët të serisë të jetë i barabartë me zero.

Komentoni. Ndonjëherë, për hir të shkurtësisë, fjala "rend" hiqet dhe thuhet: "kufiri i termit të përbashkët të serisë është i barabartë me zero". E njëjta gjë për një sekuencë shumash të pjesshme ("kufiri i shumës së pjesshme").

Vërtetimi i teoremës. Le të paraqesim termin e përgjithshëm të serisë në formën (1.10):

Sipas kushteve, seria konvergon, prandaj, Është e qartë se , sepse P Dhe P-1 priren drejt pafundësisë në të njëjtën kohë . Le të gjejmë kufirin e sekuencës së termave të zakonshëm të serisë:

Komentoni. Deklarata e kundërt nuk është e vërtetë. Një kusht i kënaqshëm i serisë (1.11) nuk konvergon domosdoshmërisht. Prandaj, kushti ose shenja (1.11) është e nevojshme, por jo një shenjë e mjaftueshme e konvergjencës së serisë.

Shembulli 1. Seri harmonike. Konsideroni serinë

(1.12)

Kjo seri quhet harmonike sepse secili prej termave të tij, duke filluar nga i dyti, është mesatarja harmonike e termave fqinjë:

Për shembull:

Fig.1.3.1 Fig.1.3.2

Termi i përgjithshëm i serisë harmonike plotëson kushtin e nevojshëm për konvergjencën e serisë (1.11): (Fig. 1.3.1). Megjithatë, do të tregohet më vonë (duke përdorur testin integral të Cauchy) se kjo seri divergon, d.m.th. shuma e tij është e barabartë me pafundësinë. Figura 1.3.2 tregon se shumat e pjesshme rriten në mënyrë të pacaktuar me rritjen e numrit.

Pasoja. Nga kushti i nevojshëm për konvergjencën e serisë rrjedh prova të mjaftueshme të divergjencës rreshti: nëse ose nuk ekziston, atëherë seria ndryshon.

Dëshmi. Le të supozojmë të kundërtën, d.m.th. (ose nuk ekziston), por seria konvergon. Por sipas teoremës mbi kushtin e nevojshëm për konvergjencën e një serie, kufiri i termit të përbashkët duhet të jetë i barabartë me zero: . Kontradikta.

Shembulli 2. Shqyrtoni për konvergjencë një seri me një term të përbashkët .

Kjo seri duket si kjo:

Le të gjejmë kufirin e termit të përgjithshëm të serisë:

. Sipas përfundimit, kjo seri ndryshon.

Seritë e formuara nga progresion gjeometrik

Konsideroni një seri të përbërë nga terma të një progresion gjeometrik. Kujtojmë se një progresion gjeometrik është një sekuencë numerike, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër, i cili nuk është i barabartë me zero dhe quhet emërues i këtij progresioni. Progresioni gjeometrik duket si ky:

dhe një seri e përbërë nga anëtarët e saj:

Një seri e tillë quhet seri gjeometrike, por ndonjëherë për shkurtim quhet thjesht një progresion gjeometrik. Emri progresion "gjeometrik" u dha sepse secili prej termave të tij, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesatare gjeometrike anëtarët e saj fqinjë:

, ose .

Teorema. Një seri e përbërë nga terma të një progresion gjeometrik

divergjent në dhe konvergon në , dhe në shuma e serive

Dëshmi. Termi i përgjithshëm i serisë, si termi i përgjithshëm i progresionit gjeometrik, ka formën: .

1) Nëse , atëherë , sepse në këtë rast - një vlerë pafundësisht e madhe.

2) Kur rreshti sillet ndryshe, sepse merr lloje të ndryshme.

Në ;

Sepse kufiri i një konstante është i barabartë me vetë konstanten. Sepse sipas kushteve të teoremës , termi i zakonshëm i serisë nuk priret në zero.

Në ; nuk ka kufi.

Kështu, kur kushti i nevojshëm për konvergjencën e serisë nuk plotësohet:

Rrjedhimisht, seria (1.13) ndryshon.

3) Nëse , atëherë progresioni quhet pafundësisht në rënie. Nga kursi shkollor dihet se n Shuma e pjesshme e serisë (1.13) mund të përfaqësohet si:

Le të gjejmë shumën e serisë. Qe kur (vlera pafundësisht e vogël), atëherë

Kështu, kur seria (1.13) konvergon dhe ka një shumë të barabartë me

. (1.16)

Kjo është shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.

Shembulli 1º.

Fig.1.4.1

=2.

Le të vlerësojmë shumën e tij, d.m.th. Le të përpiqemi të përcaktojmë se për çfarë priret sekuenca e shumave të saj të pjesshme.

Mund të shihet se sekuenca e shumave të pjesshme priret në numrin 2 (Fig. 1.4.1).

Tani le ta vërtetojmë. Le të përfitojmë nga fakti se kjo seri është një seri e përbërë nga terma të një progresion gjeometrik, ku . Shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie

Shembulli 2º.

Është llogaritur në mënyrë të ngjashme. Meqenëse shumë nga termat e serisë, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, kanë një shenjë minus, shuma doli të jetë më e vogël.

Shembulli 3º.

Kjo është një seri gjeometrike ku > 1. Kjo seri ndryshon.

Vetitë e serive konvergjente

Konsideroni dy seri konvergjente:

, (1.17)

. (1.18)

1. Një seri e përftuar me mbledhje (zbritje) term pas termi të dy serive konvergjente gjithashtu konvergon dhe shuma e saj është e barabartë me shumën algjebrike të serisë origjinale, d.m.th.

. (1.19)

Dëshmi. Le të bëjmë shuma të pjesshme të serive (1.17) dhe (1.18):

Sepse Sipas kushteve, këto seri konvergojnë, ka kufizime për këto shuma të pjesshme:

, .

Le të hartojmë një shumë të pjesshme të serive (1.19) dhe të gjejmë kufirin e saj:

Shembull.

;

Komentoni. Deklarata e kundërt është e rreme, d.m.th. konvergjenca e serisë në anën e majtë të barazisë (1.19) nuk nënkupton konvergjencën e serisë dhe . Për shembull, seria e konsideruar në shembullin 4 konvergon dhe shuma e saj është 1; termi i përgjithshëm i kësaj serie u shndërrua në formën:

Prandaj, seria mund të shkruhet si:

Le të shqyrtojmë tani veçmas rreshtat:

Këto seri ndryshojnë sepse janë seri harmonike. Kështu, konvergjenca e një shume algjebrike të serive nuk nënkupton konvergjencën e termave.

2. Nëse të gjithë termat e një serie konvergjente me shumën S shumëzohen me të njëjtin numër Me, atëherë edhe seria që rezulton do të konvergojë dhe do të ketë shumën cS:

. (1.20)

Prova është e ngjashme me vetinë e parë (provojeni vetë).

Shembull.c= 10000;

Të dyja seritë konvergojnë, sepse shumat e tyre janë të fundme.

Kështu, seritë konvergjente mund të shtohen, zbriten dhe shumëzohen term pas termi me një faktor konstant.

3. Teorema në lidhje me heqjen e disa termave të parë të një serie.

Heqja (ose shtimi) i disa termave të parë të një serie nuk ndikon në konvergjencën ose divergjencën e kësaj serie. Me fjalë të tjera, nëse seria konvergon

atëherë seria konvergon

. (1.22)

(por shuma mund të jetë e ndryshme). Dhe anasjelltas, nëse seria (1.22) konvergon, atëherë edhe seria (1.21) konvergjon.

Shënim 1. Në matematikë, termi "disa" do të thotë "numër i kufizuar", d.m.th. mund të jetë 2, ose 100, ose 10,100, ose më shumë.

Shënim 2. Nga kjo veti del se seritë me terma të përbashkët dhe janë të barasvlershëm në kuptimin e konvergjencës. Për shembull, një seri harmonike ka një term të përbashkët, dhe seri me terma të përbashkët dhe - gjithashtu harmonike.

4. Pjesa tjetër e rreshtit. Prona e saj. Nëse të parat e një rreshti hidhen k anëtarë, atëherë marrim një seri të re të quajtur pjesa tjetër e serisë pas k- anëtari.

Përkufizimi. k-E mbetura e serisë

quajtur një rresht

(1.23),

të fituara duke hedhur poshtë të parën k anëtarë të serisë origjinale.

Indeksi k do të thotë se sa terma të parë të serisë janë hedhur poshtë. Kështu,

etj.

Fig.1.5.2

Ju mund të ndërtoni një sekuencë mbetjesh dhe ta ekzaminoni atë për konvergjencë në

, në ndryshim nga teorema e mëparshme, ku pritej në pafundësi P. Çdo term pasues i kësaj sekuence ka "më pak" terma (në fakt, çdo mbetje ka një numër të pafund të tyre). Mund të themi gjithashtu se këtu dinamika zhvillohet në fillim të serialit, dhe jo në fund të tij.

Pjesa e mbetur e një serie mund të përkufizohet gjithashtu si diferenca midis shumës së serisë dhe shumës së pjesshme të saj (Fig. 1.5.1):

. (1.24)

Fig.1.5.2

Le të gjejmë kufirin e sekuencës për një seri konvergjente me shumën S në . Nga përkufizimi i shumës së serisë rrjedh:

Pastaj nga (1.24) vijon:

Ne zbuluam se pjesa e mbetur e një serie konvergjente është një sasi infinite e vogël në , d.m.th. kur numri i termave të hedhura të serisë tenton në pafundësi. Kjo mund të shihet nga figurat 1.5.1 dhe 1.5.2.

Komentoni. Teorema mbi heqjen e disa termave të një serie mund të formulohet si më poshtë: në mënyrë që një seri të konvergojë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që mbetja e saj të priret në zero.

§ 1.6. Seri pozitive

Konsideroni një seri me terma jo negativë

Ne do të quajmë seri të tilla shenjë pozitive. Konsideroni sekuencën e shumave të pjesshme të një serie pozitive (1.26). Sjellja e kësaj sekuence është veçanërisht e thjeshtë: rritet në mënyrë monotone si n, d.m.th. . (pasi një numër jo negativ i shtohet secilës shumë të pjesshme pasuese).

Sipas teoremës së Weierstrass-it, çdo sekuencë e kufizuar monotonike konvergon (shih semestrin I të vitit të parë). Bazuar në këtë, ne formulojmë kriter i përgjithshëm konvergjenca e serive me terma pozitivë.

Teorema(kriteri i përgjithshëm për konvergjencën e serive pozitive). Në mënyrë që një seri pozitive të konvergojë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që sekuenca e shumave të saj të pjesshme të jetë e kufizuar.

Le të kujtojmë përkufizimin e kufirit të një sekuence: një sekuencë quhet e kufizuar nëse ekziston M>0 të tilla që për (Fig. 1.6.1). Për serialet pozitive , dhe mund të flasim për kufirin nga lart, sepse kufizohet më poshtë me zero.

Dëshmi. 1) Domosdoshmëri. Le të konvergojë seria (1.26) dhe le të ketë një kufi sekuenca e shumave të pjesshme, d.m.th. konvergon. Nga teorema mbi kufirin e një sekuence konvergjente, çdo sekuencë konvergjente është e kufizuar Þ e kufizuar.

2) Mjaftueshmëria. Le të jetë e kufizuar sekuenca e shumave të pjesshme të serive (1.26).

Sepse , d.m.th. monotone. Nga teorema e Weierstrass-it mbi sekuencat monotonike të kufizuara, ajo konvergon dhe seria (1.26) konvergon.

A e dini legjendën e mahnitshme për kokrrat në një tabelë shahu?

Legjenda e kokrrave në një tabelë shahu

Kur krijuesi i shahut (një matematikan i lashtë indian i quajtur Sessa) ia tregoi shpikjen e tij sundimtarit të vendit, atij i pëlqeu aq shumë loja saqë i lejoi shpikësit të drejtën të zgjidhte vetë shpërblimin. I urti i kërkoi mbretit t'i paguante një kokërr grurë për katrorin e parë të tabelës së shahut, dy për të dytin, katër për të tretën, etj., duke dyfishuar numrin e kokrrave në çdo katror të mëpasshëm. Sundimtari, i cili nuk e kuptonte matematikën, u pajtua shpejt, madje duke u ofenduar disi nga një vlerësim kaq i ulët i shpikjes, dhe urdhëroi arkëtarin të llogariste dhe t'i jepte shpikësit sasinë e kërkuar të grurit. Megjithatë, kur një javë më vonë, arkëtari ende nuk mund të llogariste se sa kokrra duheshin, sundimtari pyeti se cila ishte arsyeja e vonesës. Arkëtari i tregoi llogaritë dhe tha se ishte e pamundur të paguhej. Mbreti i dëgjoi me habi fjalët e plakut.

Më thuaj këtë numër monstruoz,” tha ai.

18 kuintilion 446 kuadrilion 744 trilion 73 miliardë 709 milion 551 mijë 615, o Zot!

Nëse supozojmë se një kokërr gruri ka një masë prej 0,065 gram, atëherë masa totale e grurit në tabelën e shahut do të jetë 1200 trilion tonë, që është më shumë se i gjithë vëllimi i grurit të korrur në të gjithë historinë e njerëzimit!

Përkufizimi

Progresioni gjeometrik- sekuenca e numrave ( anëtarët e progresionit) në të cilin çdo numër pasues, duke filluar nga i dyti, merret nga ai i mëparshmi duke e shumëzuar me një numër të caktuar ( emëruesi i progresionit):

Për shembull, sekuenca 1, 2, 4, 8, 16, ... është gjeometrike ()